分式
【教学目标】
1、能根据分式的概念,辨别出分式,理解当分母为零时,分式无意义。
2、能确定分式中字母的取值范围,使分式有意义、无意义,或使分式的值为零。
3、会用分式表示实际问题中的数量关系,并会求分式的值,体验分式在实际中的价值。
【教学重点】
分式的有关概念
【教学难点】
理解并能确定分式何时有意义,何时无意义。
【教学方法与教学手段】
通过讲授法与学生自主探究学习、合作探究学习交错进行,做好课堂中的引导者,适当进行不同难度的练习,达到巩固和拓展本节课的知识。采用多媒体教学手段,丰富课堂内容,扩展课堂容量。
【教学过程】
一、创设情景,引出课题你喜欢骑自行车吗?提问:
1、做个小调查:班里在座的老师与全校老师的人数比值 。
2、过了一会儿可能会还有m 名老师继续走进我们班级指导学习,班里在座的老师与全校老师的人数比值 。
全校老师的人数与班里在座的老师人数比值 。
班里在座的老师人数与教室外面的我校教师人数 。
思考:在[5021、18
S 、1+x 、x x 1+、1-x x 、1212-+x x ](待定)六个代数式中,其中整式有 ;那么,另外三个代数式有什么共同的特征?怎样
的代数式是分式?他与整式有什么不同?
二、合作学习,探究新知
1、观察,并归纳:怎样的代数式是分式?
概念:表示两个整式相除,且除式中含有字母的代数式叫做分式。
特征:①分子、分母都是整式;②分母中含有字母。
2、练习:
(1)辨一辨:下列代数式中那些是整式?那些是分式?
23、x 1、1+a b 、s π、523y x +、ab
b a + 3、合作探索:当x 分别取下列各数时,分别求分式x+1、1
-x x 的值。请同学们完成下面这张表格:
思考:(1)对于任意的x 的值,都能求出整式x+1的值吗?那么1
-x x 呢? (2)当x 时,对于分式1
-x x 的值为0。此时,分子x 0,分母 x-1 0填(“等于”或者“不等于”)。那么
1-x x 的值何时为零? (3)归纳:分式什么时候有意义?什么时候无意义?什么时候知为零?
归纳:(1)分式中,分母的值不能为零;当分母的值为零时,分式就没有意义。
(2)分式的值为零需满足两个条件:①分子为零;②分母不为零。
4、例题:已知分式5
332-+x x (1) 当x 取什么数时,分式有意义?
(2) 当x 取什么数时,分式的值为零?
(3) 当x=0时,分式的值是多少?
5、练习(从一星到五星五个难度等级的问题) 是不是分式?,是不是分式?1
2-=x t s
v 当 时,分式
1212+-x x 无意义;当 时,分式1212+-x x 值为0。 当x ≠2时,分式b
x a x +-+有意义,则b= ; 当 时,分式2
42+-x x 的值为0。 是不是分式?x
x 2代数式有哪些区别?与x x x 2 ()()
的正确的结论。说几个关于分式212---x x x 6. 例2情境一:小华今天早晨以每分钟a 米的速度步行上学,出门6分钟后,爸爸发现他忘带数学课本,立即以每分钟b 米的速度去追他(b>a ),问(1)几分钟后爸爸追上他?
①这是什么类型问题?(行程问题中追及问题)
②对于行程问题我们应该找哪些量?(路程,速度和时间)
③对于追及问题中的追及时间我们又该找出哪些量呢?
请在练习本上动笔解题(学生板演同时介绍自己的解题思路)
(2)当a=70,b=130时,几分钟后爸爸追上他?
(3)若时,分式会出现什么情况?在本题中,它表示怎样一种实际情境?
所以,当用分式表示实际问题时,虽然分母为0,分式无意义,但是也反映了某种实际情境。
情境二:
学校与小华家相距1000米,放学时小华仍以每分钟a米的速度步行回家,他从学校出发6分钟后,爸爸也从家中以每分钟b米的速度往学校方向去接他。问:几分钟后父子相遇?(学生板演及讲解自己的解题思路)
【设计意图】:体会分式与整式一样,也是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。从解决同学们身边的事情,激发学生的学习兴趣,解决行程问题中的追及问题,让学生感受当数学模型没有意义时,它也反映了某种实际情境。例2是本节教学的难点,所以先设计几个小问题来适当分散难点。(四)拓展提高:
请写出一个分式:使x为任何实数时,分式都有意义
(某些条件下分式会恒有意义)
(五)、谈收获,提问题:
(1)同学们,通过本节课的学习,你有哪些收获?
(2)整式学习之后我们接着学习了整式的运算,那我们今天学习了分式之后还有什么值得我们继续研究的?(分式的运算)。而这就是我们下节课开始本单元要学习的内容:分式的基本性质及四则运算。(幻灯显示本章目录)
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义: 例:下列式子中,y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为( ) (A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D) 5 练习题:(1)下列式子中,是分式的有 . ⑴275x x -+; ⑵ 123 x -;⑶25a a -;⑷22x x π--;⑸22b b -;⑹22 2xy x y +. (2)下列式子,哪些是分式? 5a -; 234x +;3 y y ; 78x π+;2x xy x y +-;145b -+. 2、分式有,无意义,总有意义: 例1:当x 时,分式 51 -x 有意义; 例2:分式x x -+212中,当____=x 时,分式没有意义 例3:当x 时,分式112-x 有意义。 例4:当x 时,分式1 2+x x 有意义 例5:x ,y 满足关系 时,分式 x y x y -+无意义; 例6:无论x 取什么数时,总是有意义的分式是( ) A . 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7:使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为( )A .2≠x B .2-≠x C .2->x D .2 1.1 分式 1.1.1分式的概念 (第1课时) 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点: 重点:分式的概念和性质难点:理解分式的性质。 教学过程 一创设情境,导入新课 探究: 1把三个一样的苹果分给4位小朋友,每位小朋友分到多少苹果?你怎么分给他们?(交流讨论) (1)每位小朋友分3 4 (2)分法: ①每个苹果切成四个相等的小块,共12块,每人分3块,这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便,每个苹果切成8块,共24块,每人分6块,这 六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多?(36 = 48 ,即: 3326 == 4428 ? ? )由此表明了什 么? 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数,分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数,分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为:把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友,每位小朋友分到多少苹果? 用除法表示:3n ÷,用分数表示为:3 n , 3 3n n ÷、相等吗?( 3 3= n n ÷)这里的n 可以是实数吗?(n不能为0) (2) 33 4n 与有什么区别?(后者分母含有字母)我们把前者叫分数,后者叫分 式,什么叫分式呢?分式有没有和分数一样的性质? 这节课我们来学习-----分式的基本性质。(板书课题) 二合作交流,探究新知 1 分式的概念填空: (1 )如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子,那么每袋瓜子的价格是______元。 (2)一个梯形木板的面积是6 2 m,如果梯形上底是am,下底是bm,那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩,b亩的稻田m kg,n kg,这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式: 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点?(分子分母都是整 式,分母含有字母) 一般地,如果f、g分别表示两个整式,并且g中含有字母,那么代数式f g 叫分 式。 说明:分式的分子分母一般是多项式,单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考:33a 44a 与分式相等吗? 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗? 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义,那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗? 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式,分式值不变。分式的分子与分母约去共因式,分式的值不变。 用式子表示为:设h≠0,则f f h g g h ?= ? 分式方程应用题 1、温(州)--福(州)铁路全长298千米.将于2009年6月通车,通车后,预计从福州直达温州的 火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时.已知福州至温州的高速公路长331千米,火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍.求通车后火车从福州直达温州所用的时间(结果精确到0.01小时). 2、某商店在“端午节”到来之际,以2400元购进一批盒装粽子,节日期间每盒按进价增加20%作为 售价,售出了50盒;节日过后每盒以低于进价5元作为售价,售完余下的粽子,整个买卖过程共盈利350元,求每盒粽子的进价. 4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作.甲队单独工作2天完成总量的三分之一, 这时增加了乙队,两队又共同工作了1天,总量全部完成.那么乙队单独完成总量需要( ) A.6天 B.4天 C.3天 D.2天 5、炎炎夏日,甲安装队为A 小区安装66台空调,乙安装队为B 小区安装60台空调,两队同时开工 且恰好同时完工,甲队比乙队每天多安装2台.设乙队每天安装x 台,根据题意,下面所列方程中正确的是( ) A .66602x x =- B .66602x x =- C .66602x x =+ D .66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书,已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书 所用的时间相同,且李强平均每分钟比张明多清点10本,求张明平均每分钟清点图书的数量. 7、有两块面积相同的试验田,分别收获蔬菜900kg 和1500kg ,已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第 二块少300kg ,求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ,根据题意,可得方程( ) A .9001500300x x =+ B .9001500300 x x =- C .9001500300x x =+ D .9001500300x x =- 8、进入防汛期后,某地对河堤进行了加固.该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务.这是记 者与驻军工程指挥官的一段对话: 通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数. 8 2 2 一、选择题 1. (广东珠海)若分式 2a a +b 的 a 、b 的值同时扩大到原来的 10 倍,则此分式的值 ( ) A. 是原来的 20 倍 B .是原来的 10 倍 C . 是原来的 1 倍 D .不变 10 2. 计算-22+(-2)2-(- 12)-1 的正确结果是( ) A 、2 B 、-2 C 、6 D 、10 3. (四川遂宁)下列分式是最简分式的( ) A. 2a 3a 2b B. a a 2 - 3a C. a + b a 2 + b 2 D. a 2 - ab a 2 - b 2 2 4. (广东湛江)化简 a - b 的结果是( ) a - b a - b A 、a+b B 、a-b C 、a 2-b 2 D 、1 5.(丽江)计算 1 -1 + (1- 2)0 = . ( ) 2 6. (江苏徐州) 30 - 2-1 = . 7. (江苏镇江常州)计算:-(- 1 )= ;︱- 1 ︱= ; (- 1 )0 = ; (- 1 )-1 = . 8. (云南保山)计算( 1 )-1 + (1- 2 2 2 2 2 2)0 = . 9. (北京)计算: ( 1 )-1 - 2 cos 30? + 2 + (2 - )?. 10. 计 算:|-3|+20110- × +6×2-1. 11. (重庆江津区)下列式子是分式的是( ) A 、 x 2 B 、 x x + 1 C 、 x + y 2 D 、 x 12. (四川眉山)化简(- n ) ÷ m n m 2 - m 的结果是( ) A. ﹣m ﹣1 B .﹣m+1 C .﹣mn+m D .﹣mn ﹣n 13.(南充)若分式 x -1 的值为零,则 x 的值是( ) x + 2 A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、﹣2 27 分式 一 下列各有理式中,哪些是整式,哪些是分式。 1x , 2x π, 23a b , 20.5xy y +, b c a +, 32y -+, 5x z y -, 18- 二 x 等于什么数时,分式的值为零。 (1) 3289x x -+ (2) 26412x x x -+- (3) 33x x -+ 三 当x 满足什么条件时,分式 211x x +-满足 (1)分式的值为零 (2)分式没有意义 (3)分式的值是1 四 不改变分式的值,把下列各式分子和分母中各项的系数都化为整数,并且使各项系数 最小。 (1)11231134 a b a b +- (2) 0.3 1.20.051 x x +- (3)22230.41010.64x y x y + - 五 不改变分式的值,使下列各式的分子与分母的最高次项的系数为正数。 (1)2 2311a a a a --+- (2)211x x -- (3)3 211 a a a ---+ 六 约分 (1)322222x x y x y xy -- (2)()()()()32 247474x y a b x y a b -+-+ (3)33222 y y y y y +-+- 分式的计算 一 先化简再求值 (1)2 232712 x x x x +--+ 其中13x =- (2)22 26362x xy y x x y xy ----+ 其中9x =-, 13y =- (3)22222222a b c bc c a b ab --+--+ 其中3a =, 7b =,2c =- 二 计算 (1)232231049x y a b ab xy ? (2)22346b a a b -? (3)322243x z xz y y ÷- (4)3 4224189xy x y x y ÷- (5)22212221 a a a a a a -+-+?+- (6)222233a b a a b a b a b ++÷-- (7)()22 22 4442x xy y x y x y -+-÷- (8)23222222x y x x x y x xy y x y x xy y -+÷?++--+ 15.1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ,它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间,与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ●自主学习 指向目标 1.自学教材第127至128页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一 分式的概念 活动一:阅读教材思考问题:式子S a ,V S 以及式子10020+v 和6020-v 有什么共同特点?它们与分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果A ,B 表示两个________(整式),并且B 中含有________(字母),那么式子A B 叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?八年级上册数学-分式的概念
(完整版)初二数学分式方程经典应用题(含答案)
八年级数学经典练习题(分式及分式方程)(可编辑修改word版)
八年级上册数学-分式练习题
(完整版)人教版八年级数学上分式教案