分式综合应用(习题)
例题示范
例1:已知关于x 的方程
223242
ax x x x +=--+无解,求a 的值. 【思路分析】
分式方程无解包括两部分:第一,分式方程化为整式方程,整式方程的解是原分式方程的增根;第二,分式方程化为整式方程,整式方程无解.
【过程书写】
2(2)3(2)
2436
(1)10x ax x x ax x a x ++=-++=--=-解:
(1)当a -1≠0,即a ≠1时
10
1x a =--
∵原分式方程无解 ∴10
1x a =--是原分式方程的增根 ∴10
10
2211a a -=-=---或
∴a =-4或a =6
(2)当a -1=0,即
a =1时
0=-10,不成立 此时原分式方程无解
综上,a 的值为1,-4或6
巩固练习
1. 化简下列分式.
1(3)(6)x x ++++…
221156712a a a a ++-+-+
2. 下列关于x 的分式方程无解,求m 的值.
132x x
-+=--;
(2)33m x x
=-;
(3)2213m x x x
+-=-.
3. 若113x y -=,则2322x xy y x xy y
+-=--_________.
4. 若2
310x x -+=,则2
421
x x x ++的值为_________.
5. 若a 为正实数,且15a a -=,则221a a
-=_________.
6. 若53m n =,则222m m n m n m n m n
+-=+--_________. 【思路分析】
①观察已知和所求,发现已知条件为连比的形式,考虑_____________. ②设________________,
∴m =____________,n =____________,
∴原式=
7. 分式224321
x x -++的最大值是_________. 【思路分析】
①由已知条件求分式最大值,考虑_____________.
②原式=
河南省洛阳市下峪镇初级中学八年级数学下册《分式的概念》教案 主持人: 时间 参加人员 地点 主备人 课题 分式的概念 教学 目标 知识与技能:经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式 2、过程与方法:使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3.情感态度与价值观:。能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件,渗透数学中的类比,分类等数学思想。 重、难点 即考点 分析 重点:探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 难点:能通过回忆分数的意义,探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 分析:分式的混合运算的关键是掌握异分母分式的通分以及因式分解的熟练程度 课时安排 1课时 教具使用 彩色粉笔 教 学 环 节 安 排 备 注 (一)复习与情境导入:填空 (1)面积为2平方米的长方形一边长为3米,则它的另一边长为 米。 (2)面积为S 平方米的长方形一边长为a 米,则它的另一边长为 米。 (3)一箱苹果售价p 元,总重m 千克,箱重n 千克,则每千克苹果的住售 价是 元。 (4)根据一组数据的规律填空:1,16 1,91,41…… (用n 表示) 观察你列出的式子,与以前学过的有什么不同?像这样的式子叫分式。 先根据题意列代数式,并观察出它们的共性:分母中含字母的式子。 (二)实践与探索 例1、下列各式中,哪些是整式?哪些是分式? (1)x 1; (2)2 x ; (3)y x xy +2; (4)33y x -.
例2、探究: 练习 讨论探索 当x 取什么数时,分式 2||24x x -- (1)有意义 (2)值为零? 例3、已知分式 b ax a x +-2,当x=3时,分式值为0,当x=-3时,分式无意义,求a,b 的值。 可类比分数来解。 讨论探索 (四)小结与作业 分式的概念和分式有意义的条件。 作 业 布 置 本章复习B 组题
第4页 1、图中有几个三角形?用符号表示这些三角形。 D C 2、 (1)3,4,8;(2)5,6,11;(3)5,6,10. 5页 1、如图,(1)(2)和(3)中的三个B 有什么不同?这三条△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置?你能说出其中的规律吗? B(D) C D B 2、 (1)如下页图(1),AD,BE,CF是△ABC的三条中线,则AB=2____,BD=____, AE=1/2____. (2)如下页图(2),AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线,则∠1=____, ∠3=1/2____,∠ACB=2____, AA F FE E B D C B D C 习题11.1 1、图中有几个三角形?用符号表示这些三角形。 E C 2、长为 3、 C B C B C (2)(3 4ABC中,AD是角平分线,AF是高。填空:(1)BE=____=1/2____.
(2)∠ A (3)∠AFB=____=90° (4) E D F C 5、选择题。 下列图形中有稳定性的是() A、正方形 B、长方形 C、直角三角形 D、平行四边形 12页 例1如图,在△ABC 中,∠BAC =40°, ∠B =75°,AD 是△ABC 的角平分线.求∠ADB 的度数. C D A B 例2B岛在A岛的北偏东80°方向,C 岛在 13页 1.°,从B处观测C处时仰角∠CBD=45°.是多少? 2.ABCD,其中∠A=150°,, ∠B= D 14页 1、D,∠ACD与∠B有什么关系? 为什么? C D B 2、如图,∠C=90°,∠1=∠2,△ADE是直角三角形吗?为什么? 北
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义: 例:下列式子中,y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为( ) (A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D) 5 练习题:(1)下列式子中,是分式的有 . ⑴275x x -+; ⑵ 123 x -;⑶25a a -;⑷22x x π--;⑸22b b -;⑹22 2xy x y +. (2)下列式子,哪些是分式? 5a -; 234x +;3 y y ; 78x π+;2x xy x y +-;145b -+. 2、分式有,无意义,总有意义: 例1:当x 时,分式 51 -x 有意义; 例2:分式x x -+212中,当____=x 时,分式没有意义 例3:当x 时,分式112-x 有意义。 例4:当x 时,分式1 2+x x 有意义 例5:x ,y 满足关系 时,分式 x y x y -+无意义; 例6:无论x 取什么数时,总是有意义的分式是( ) A . 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7:使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为( )A .2≠x B .2-≠x C .2->x D .2 八年级数学下册《分式》测试题 一、填空题:(每小题2分,共26分) 1、分式3 92--x x 当x __________时分式的值为零。 2、当≠x 时,分式 x -13有意义。当________________x 时,分式8x 32x +-无意义; 3、①())0(,10 53≠=a axy xy a ②() 1422=-+a a 。 4、约分:①=b a a b 2205__________,②=+--96922x x x __________。 5、若分式231 --x x 的值为负数,则x 的取值范围是__________。 6、已知a+b=5, ab=3,则 =+b a 11_______。 7、一项工程,甲单独做x 小时完成,乙单独做y 小时完成,则两人一起完成这项工程需要__________小时。 8、要使2415--x x 与的值相等,则x =__________。 9、若关于x 的分式方3 132--=-x m x x 无解,则m 的值为__________。 10、已知a + a 1=6,则(a -a 1)2 = 。 11.用科学记数法表示:-0.00002005= . 12.已知311=-y x ,则分式y xy x y xy x ---+2232的值为 . 13. 计算: a b b b a a -+-= . 二、选择题:(每小题3分,共30分) 1、下列各式y x +15、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、6 5xy :其中分式共有( ) 个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2、下列判断中,正确的是( ) A 、分式的分子中一定含有字母 B 、当B=0时,分式B A 无意义 C 、分式B A 的值为0,则A=0或 B =0即可 D 、分数一定是分式 3、下列各式正确的是( ) A 、11++=++b a x b x a B 、22x y x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、a m a n m n --= 4、下列各分式中,最简分式是( ) A 、()()y x y x +-8534 B 、y x x y +-2 2 C 、2222xy y x y x ++ D 、() 222y x y x +- 5、关于x 的方程4 332=-+x a ax 的解为x=1,则a=( ) A 、1 B 、3 C 、-1 D 、-3 6、小明通常上学时走上坡路,通常的速度为m 千米/时,放学回家时,沿原路返回,通常的速度为n 千米/时,则小明上学和放学路上的平均速度为( )千米/时 A 、2n m + B 、 n m mn + C 、 n m mn +2 D 、mn n m + 7、若把分式 xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍,那么分式的值( ) A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍 8、若0≠-=y x xy ,则分式 =-x y 11( ) A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、-1 9、A 、B 两地相距48千米,一艘轮船从A 地顺流航行至B 地,又立即从B 地逆流返回A 地,共用去9小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时,则可列方程( ) A 、9448448=-++x x B 、9448448=-++x x C 9448=+x D 94 96496=-++x x 初二上册数学练习题及答案北师大版第一章勾股定理课后练习题答案 说明:因录入格式限制,“√”代表“根号”,根号下内用放在“”里面; “⊙”,表示“森哥马”,,¤,♀,∮,≒ ,均表示本章节内的类似符号。 1.l探索勾股定理 随堂练习 1.A所代表的正方形的面积是625;B所代表的正方形的面积是144。 2.我们通常所说的29英寸或74cm的电视机,是指其荧屏对角线的长度,而不 是其长或宽,同时,因为荧屏被边框遮盖了一部分,所以实际测量存在误差. 1.1 知识技能 1.x=l0;x=12. 2.面积为60cm:,. 问题解决 12cm。 1.2 知识技能 1.8m. 数学理解 2.提示:三个三角形的面积和等于一个梯形的面积:联系拓广 3.可以将四个全等的直角三角形拼成一个正方形.随堂练习 12cm、16cm. 习题1.3 问题解决 1.能通过。. 2.要能理解多边形ABCDEF’与多边形A’B’C’D’E’F’的面积是相等的.然后 剪下△OBC和△OFE,并将它们分别放在图③中的△A’B’ F’和△D’F’C’的位 置上.学生通过量或其他方法说明B’ E’F’C’是正方形,且它的面积等于图①中 正方形ABOF和正方形CDEO的面积和。即=AB+CD:也就是BC=a+b。, 22222 这样就验证了勾股定理 l.能得到直角三角形吗 随堂练习 l.可以作为直角三角形的三边长. 2.有4个直角三角影. 数学理解 2.仍然是直角三角形;略;略 问题解决 4.能. 1.蚂蚁怎样走最近 13km 提示:结合勾股定理,用代数办法设未知数列方程是解本题的技巧所在 习题 1.5 知识技能 1.5lcm. 问题解决 2.能. 3.最短行程是20cm。 4.如图1~1,设水深为x尺,则芦苇长为尺,由勾股定理解得x=12, 则水池的深度为12尺,芦苇长为13尺。 复习题 知识技能 1.蚂蚁爬行路程为28cm. 2.能;不能;不能;能. 人教版八年级上册数学习题13.3答案 1.(1) 35度,35°; (2) 解:当80°的角是等腰三角形的一个底角时,那么等腰三角形的另一个底角为80°,根据三角形的内角和定理可以求出顶角为180°-80°-80°=20°;当80°的角是等腰三角形的顶角时,那么它的两个底角相等,均为1/2(180°-80°)=50°. 综上,等腰三角形的另外两个角是20°,80°或50°,50°. 2. 3.解:∵五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形, ∴每个底角的度数是1/2×(180° - 36°)=72°.∴∠AMB=180°-72°108°. 4. 5.证明:CE//DA,∴∠A=∠CEB. 6. 7. 8.已知:如图13 -3-29所示,点P是直线AB上一点,求作直线CD,使CD ⊥AB于点P. 作法:(1)以点P为圆心作弧交AB于点E,F, (2)分别以点E,F为圆心,大于1/2EF的长为半径作弧,两弧相交于点C,过C,P作直线CD,则直线CD为所求直线. 9.解:他们的判断是对的.理由:因为等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合. 10. 11. 12. 13.解:等腰三角形两底角的平分线相等,两腰上的中线相等,两腰上的高相等.以等腰三角形两腰上的高相等为例进行证明. 已知:在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E求证:BD=CE. 14. 15.解:如图13-3-31所示,作∠BAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DE ⊥AB于点E,则△ADC≌△ADE≌△BDE. 人教版八年级上册数学第91页复习题答案1.解:除了第三个图形,其余的都是轴对称图形.找对称轴略. 2.解:如图13-5-22所示. 八年级数学分式专题练习 【例1】(1) 在中分式x 1、3b a +-、πx 23、11-x 、x x 、b a b a +-22、m +51、x +x - 1的个数是( ) A .4个 B .3个 C .2个 D .1个 1.下列各式x 取何值时为零? (1) 1 1||--x x (2) 2 62--+x x x (3) 16 84||2++-x x x (4) x 取何值时,分式2 2 ||+-x x ,① 有意义;② 值为零 【例2】计算: (1) m m m 714912 2 -÷ - (2) 2 332)2(2)(a c d a cd b a ?÷- (3) 2 2232)()(ac b a c ab a --÷-+ 【例3】计算:(1) 2 22 22 23223y x y x y x y x y x y x --+ -+- -+ (2) 1 4 31122-+-- --x x x x x (3) x x x x x x x x 26 2)2122(112 -+--+-+?- (4) x x x x x x x x x 24 )44122(2122-÷ +----+-- 【练】化简:]8)(3[)4)(4(22y x xy y x y x x y x y x y y x --+÷+-+-- - 【例4】先化简,再求值:3 2 9632-÷ --+m m m m ,其中m =-2 【练】已知 2 1)2)(1(73-+-=--+y B y A y y y ,求A 、B 【例5】若4x -3y -6z =0,x +2y -7z =0,求2 2 2 222103225z y x z y x ---+的值 【例6】(1) 已知211=-b a ,求 b ab a b ab a ----322的值 (2) 已知abc =1,求1 11+++ +++++c ac c b b c b a ab a 的值 7.化简:(1) 4 6 34222--+? ++x x x x x (2) 2 14 22-- -x x x (3) x x x 1 )111(-? -- (4) x x x x x x 4 )223(2-? +-- (5) )2 4132(23----÷--x x x x x (6) y x y y xy x y x y x y x +-++-÷+-29632222 8.先化简,再求值:)1 2 (122+-÷++x x x x x ,其中x =2 9.已知4x -3y -6z =0,x +2y -7z =0(xyz ≠0),求2 2222275632z y x z y x ++++的值 10.已知b a b a += +511,求b a a b +的值11.已知511=-y x ,求y xy x y xy x ---+2252的值 授课内容: 分式的加减法 教学目标: 1、掌握同分母分式的加减运算法则,会进行同分母分式的加减运算. 2、理解通分的概念,能对异分母的分式进行通分. 3、掌握异分母分式的加减运算法则,会进行异分母分式的加减运算. 4、会进行分式的混合运算. 教学重难点:通分 授课内容: 1、同分母分式的加减(这是重点) 法则: 同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减. 用式子可以表示为: c b a c b c a ±=± 注意:同分母分式的加减运算法则和分数的加减运算法则在实质上是相同的,但分式的分子常常是一个多项式,“把分子相加减”就是把各个分式的“分子整体”相加减,各分子都应加括号,尤其是相减时,要注意避免符号错误,分子相加减的实质就是整式的加减.最后结果要求是最简分式. 2、通分(这是重点、难点) 根据分式的基本性质,异分母的分式可化为同分母的分式,这一过程称为分式的通分.为了计算方便,异分母分式通分时,通常取最简单的公分母(简称最简公分母)作为它们的共同分母. 确定最简公分母的方法: 先对分式的分母进行分解因式,如果分母中含有相同字母,则取相同字母的最高次幂作为最简公分母的一个因式,如果只在一个分母中出现的字母,则连同它的指数作为最简公分母的一个因式. 举例说明: ab a 3,22 最简公分母:b a 2. 16 24,432--x x 最简公分母: (x+4)(x -4) 3、异分母分式的加减(这是重点、难点) 法则: 异分母分式相加减,先通分化为同分母的分式,然后再加减. 注意:异分母分式的加减必须转化为同分母分式的加减,然后按照同分母分式加减法的法则进行计算,转化的关键是通分.异分母分式的加减运算综合性较强,运算时要用到前面的一系列知识,如整式的四则运算、因式分解、约分、通分等. 其一般步骤为: ①通分:将异分母的分式化成同分母的分式; ②写成“分母不变,分子相加减”的形式; ③分子去括号,合并同类项; ④分子、分母约分,将结果化成最简分式的形式. 人教版八年级数学第一学期期末考试试卷 一、精心选一选(请将下列各题唯一正确的选项代号填在题后的括号内.本大题共10小题,每小题3分,共30分.) 1、下列运算中,计算结果正确的是 ( ) A. 236a a a ?= B. 235()a a = C. 2222()a b a b = D. 3332a a a += 2、在平面直角坐标系中。点P (-2,3)关于x 轴的对称点在( ). A. 第四象限 B. 第三象限 C.第二象限 D. 第一象限 3、化简:a+b-2(a-b)的结果是 ( ) +3b +b 4、如图,△ABC 中边AB 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点D 、 E ,AE=3cm ,△ADC?的周长为9cm ,则△ABC 的周长是( ) A .10cm B .12cm C .15cm D .17cm 5、下列多项式中,不能进行因式分解的是 ( ) A. –a 2+b 2 B. –a 2-b 2 C. a 3-3a 2+2a D. a 2-2ab+b 2-1 6、小明家下个月的开支预算如图所示,如果用于衣服上的支 是200元,则估计用于食物上的支出是 ( ) A. 200元 B. 250元 C. 300元 D. 350 7、下列函数中,自变量的取值范围选取错误..的是 ( ) A .y=2x 2中,x 取全体实数 B .y=1 1 x +中,x 取x ≠-1的实数 C .x 取x ≥2的实数 D .中,x 取x ≥-3的实数 8、下面有4个汽车标致图案,其中是轴对称图形的是 ( ) ① ② ③ ④ A 、②③④ B 、①②③ C 、①②④ D 、①②④ 9、等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角形的底角的大小是 ( ) A .65°或50° B .80°或40° C .65°或80° D .50°或80° 10、如图(1)是饮水机的图片,饮水桶中的水由图(2)的位置下降到图(3)的位置 的过程中,如果水减少的体积是y ,水位下降的高度是x ,那么能够表示y 与x 之八年级数学下册分式测试题
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