专题概率统计1

专题限时集训(十九)

[第19讲概率统计]

(时间：10分钟＋35分钟)

1．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图19－1)，以下结论中正确的是( )

图19－1

A．x和y的相关系数为直线l的斜率

B．x和y的相关系数在0到1之间

C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

D．直线l过点(x，y)

2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

由K2＝

n ad－bc

a＋b c＋d a＋c b＋d

算得，

K 2

＝

110×40×30－20×202

60×50×60×50

≈7.8.

附表：

A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 3．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )

A.13

B.12

C.23

D.34

4．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地

往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于1

2

，则周末

去看电影；若此点到圆心的距离小于1

4

，则去打篮球；否则，

在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．

1．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型

预报广告费用为6万元时销售额为( )

A ．63.6万元

B ．65.5万元

C ．67.7万元

D ．72.0万元

2．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，cos πx

2

的值介于

0到1

2之间的概率为( )

A.13

B.2π

C.12

D.23

3．某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x 分钟，有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图(图19－2)处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是( )

图19－2

A ．680

B ．320

C ．0.68

D ．0.32

4．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a ，b 的取值分别是( )

A ．10,11

B ．10.5,10.5

C．10,10 D．10,12

5．图19－3是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数是________．

6．甲、乙两位工人参加技能竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：

角度考虑，你认为派哪位工人参加合适，并简述理由____________________．

7．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

(1)

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x

的线性回归方程y^＝b^x＋a^；

(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．

? ??

?

?

???相关公式：b ^

＝∑i ＝1

n

x i y i －n x ·y －∑i ＝1

n

x 2

i

－n x 2

a ^＝y －－

b ^x .

8．数学课程改革试验中，某数学教师分别用A 、B 两种不同的教学方式实验甲、乙两个高一新班(均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样．)现随机抽取甲、乙两班各20名学生的数学期末市统考成绩，

(1)依茎叶图判断哪个班级的平均分高？

(2)学校规定：成绩不低于85分为优秀，请填写下面2×2列联表，并判断能否以97.5%的把握认为“成绩优秀与

教学方式有关”？

(3)2人，成绩不低于90分的同学奖100元，否则奖50元，记X 为这2人所得的奖金和，求X 的分布列和数学期望．

参考公式：K 2

＝n ad －bc 2

a ＋

b

c ＋

d a ＋c b ＋d

其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .

参考数据：

专题限时集训(十九)

【基础演练】

1．D 【解析】 A 选项说法错误，相关系数不是直线l 的斜率；B 选项说法错误，x 和y 的相关系数在－1和1之间，当相关系数大于0时，叫正相关，当相关系数小于0时，叫负相关；当相关系数等于0时，叫不相关．C 选项说法错误，不管n 是偶数还是奇数，分布在直线两侧的点是根据最小二

乘法得出的；D 选项说法正确．

2．C 【解析】 由附表可得知当K 2

≥6.635时，有P ＝1－P ＝0.99，当K 2

≥10.828时，有P ＝1－P ＝0.999，而此时的K 2

≈7.8显然有0.99

3．A 【解析】 甲、乙两名同学参加小组的情况共有9种，参加同一小组的情况有3种，所以参加同一小组的概率为39＝13

.

4.13

16 【解析】 设A ＝{小波周末去看电影}，B ＝{小波周末去打篮球}，C ＝{小波周末在家看书}，D ＝{小波周末不

在家看书}，如图所示，则P (D )＝1－P (C )＝1－? ?????122π－? ??

???142

ππ

＝13

16

. 【提升训练】

1．B 【解析】 x ＝4＋2＋3＋5

4＝3.5，y ＝

49＋26＋39＋54

4

＝42，由于回归方程过点(x ，y )，所以42

＝9.4×3.5＋a ^，解得a ^＝9.1，故回归方程为y ^

＝9.4x ＋9.1，所以当x ＝6时，y ＝6×9.4＋9.1＝65.5.

2．A 【解析】 在区间[－1,1]求出使0

2的x

的区间长度，按照直线类几何概型的计算公式解答.0

3

或

π3<πx 2<π2，即x ∈? ?????－1，－23∪? ??

???23，1，根据几何概型的计算方法，这个概率值是1

3

.

3．D 【解析】 算法框图中的变量S 统计的是超过60分钟的情况．在0～60的人数为320，故其频率是0.32.

4．B 【解析】 根据中位数的概念知a ＋b ＝21，故总体的平均数为2＋3＋3＋7＋21＋12＋13.7＋18.3＋20

10＝10，

方差最小即(a －10)2

＋(b －10)2

最小，即(a －10)2

＋(11－a )

2

最小，即2a 2

－42a ＋221最小，当a ＝－－422×2＝10.5时，2a

2

－42a ＋221最小，此时b ＝21－10.5＝10.5.

5．40 【解析】 前三组的频率之和等于1－(0.0125＋0.0375)×5＝0.75，第2小组的频率是0.75的2

1＋2＋313，故第二小组的频率是0.25，设样本容量为n ，则10n ＝0.25，即n ＝40.

6．派甲参加比较合适，因为x 甲＝x 乙，s 2甲

乙，甲的成绩比较稳定

【解析】 计算知x －甲＝x －乙，s 2甲

乙，

甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．

7．【解答】 (1)如图：

(2) i ＝1

n

x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，

x ＝6＋8＋10＋124＝9，y －＝2＋3＋5＋64＝4，

b ^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a ^＝y －－b ^x ＝4－0.7×9＝－2.3，

故线性回归方程为y ＝0.7x －2.3.

(3)由线性回归方程预测，记忆力为9的同学的判断力约为4.

8．【解答】 (1)甲班数学成绩集中于60～90分之间，而乙班数学成绩集中于80～100分之间，所以乙班的平均分高．

(2)

K 2

＝

40×3×10－10×172

13×27×20×20

≈5.584>5.024，

因此有97.5%的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”． (3)依题意知X ＝100,150,200.

P (X ＝100)＝C 2

5C 210＝29，P (X ＝150)＝C

15C 1

5C 210＝59，

P (X ＝200)＝C 25C 210＝2

9，

∴X 的分布列为

E (X )＝100×29＋150×59＋200×2

9

150.