(完整word版)计算方法习题集及答案
习题一
1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？ 数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法
2. 试证明 n
T n i n
i x x x x x x R ∈==≤≤∞
),,(,
max 211Λ及.)(,max 1
1n n ij n
j ij n
i a A a A
?=≤≤∞
∈==∑R
证明：
（1）令1max r i i n
x x ≤≤=
1/1/1/1/1
11
lim()
lim [()]lim [()]lim n
n
n
p i r p
p p p p p i r r r r p p p p i i i r r x x
x
x x x x n x x x ∞
→∞
→∞→∞→∞=====≤=?=∑∑∑ 即r x
x ∞
≤
又1/1/1
1
lim(
)
lim()n
n
p p
p
p i r r p p i i x x x →∞
→∞
==≥=∑
∑
即r x
x ∞
≥ r x x ∞=
⑵ 设1(,...)0n x x x =≠，不妨设0A ≠，
令11
max
n
ij
i n
j a
μ≤≤==∑11111
1
1
max max max max n n n
ij j ij j i ij i n
i n
i n
i n
j j j Ax
a x a x x a x μ∞
∞≤≤≤≤≤≤≤≤====≤≤=∑∑∑
即对任意非零n x R ∈，有
Ax x
μ∞∞
≤ 下面证明存在向量00x ≠，使得
00
Ax x μ∞∞
=，
设01
n
i j
j a
μ==
∑，取向量01(,...)T
n x x x =。其中0()(1,2,...,)j i j x sign a j n ==。
显然0
1x ∞
=且0Ax 任意分量为0
1
1
n n
i j j i j i i a x a ===∑∑，
故有00
1
1
max
n
n
ij j
i j i
i j Ax a x
a μ∞
=====∑∑即证。
3. 古代数学家祖冲之曾以113
355
作为圆周率π的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？ 解：1325
0.31415929210133
x =
=?& 617355
0.266100.510113
x x π*---=-
=?≤?该近似值具有7为有效数字。
4. 若T (h )逼近其精确值T 的截断误差为
∑∞
==-=1
2)(:)(i i i h A T h T T R
其中，系数i A 与h 无关。试证明由??
???=--==--Λ,2,1,14)
()2(4)(
)()(110m h T h
T h Tm h T h T m
m m m 所定义的T 的逼近序列)}({h T m 的误差为∑∞
=+=-1
22)
()(i m m i
m h A
T h T ，
其中诸)
(m i
A 是与h 无关的常数。
证明：当m=0时 20i 1
T h T=
i
i h
∞
==?=∑左边（）-右边
设m=k 时等式成立，即()
22k i 1
T h T=
k k i i
h ∞
+=?
∑（）-
当m=k+1时
1()22()22111111
4[()][()]4()()
22T h T==4141
k k k i k k i k i i k k i i k k k h h T T h T T h T T ∞∞
++++==++++?-+?-----∑∑（）-
()2(1)21
()k k i i i h ∞
++==?∑ 即证。
习题2
1. 试构造迭代收敛的公式求解下列方程： （1）4
sin cos x x x +=
; (2)x
x 24-=。
解：
（1）迭代公式1cos sin cos sin ,()
k k k x x x x
x x ?+++=
=
，'()1x ?<公式收敛 *0.25098x ≈
（2）ln(4)
()ln 2x x ?-=
，0 1.5x =，'0()1x ?< 局部收敛
1
ln(4)
k k x x +-=
* 1.386x ≈
2. 方程012
3
=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式： （1）2
1
1x
x +
=,对应迭代公式2111k k x x +=+; （2）2
31x x +=，对应迭代公式32
11k k x x +=+; （3）1
1
2
-=
x x ,对应迭代公式1
1
1-=+k k x x 。 判断以上三种迭代公式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛公式求出5.10=x 附近的根到4位有效数字。 解：
（1）21()1x x ?=+
'32()x x
?=- '
0()1x ?< 局部收敛
（2）()x ?= 2
'
2
32()(1)3
x x x ?-=-+ '0()1x ?< 局部收敛
（3）()x ?= 2'
31()(1)2
x x ?-=-- '0()1x ?> 不是局部收敛
* 1.466x ≈
* 1.466x ≈
3. 已知)(x x ?=在[a,b]内有一根*
x ，)(x ?在[a,b]上一阶可微，且13)(],,[<-'∈?x b a x ?，试构造一个局部收敛于*
x 的迭代公式。
解：
方程()x x ?=等价于0.5[()3]x x x ?=- 构造迭代公式10.5[()3]k k k x x x ?+=-- 令()0.5[()3]x x x φ?=--
由于()x ?在[a,b]上也一阶可微 '
[0.5(()3)]0.5()30.51x x x ??'--=-<< 故上述迭代公式是有局部收敛性.
4. 设)(x ?在方程)(x x ?=根*
x 的邻近有连续的一阶导数，且1)(*<'x ?，证明迭代公式)(1k k x x ?=+具
有局部收敛性。 证明：
()x ?在*x 邻近有连续一阶导数，则'()x ?在*x 附近连续，
令'
*
()1x L ?=<则取1L ε=-
则 *0x x σσ?>-<当时 有 ''*()()x x ??ε-< 从而 '''*'*()()()()(1)1x x x x L L ????≤-+<+-=
**'**()()()()()x x x x x x x x ????ξσ-=-=-<-<
故 *
*
x x σ?σ-+<(x)< 令 *a x σ=-，*b x σ=+
由定理2.1知，迭代公式1()k k x x ?+=是有局部收敛性。
5. 用牛顿法求方程0742)(2
3=---=x x x x f 在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。 解：3
2
()247f x x x x =---
'
2
()344f x x x =--
y 次迭代公式32
12
247
344
k k k k k k k x x x x x x x +---=---
* 3.63x ≈
6. 试证用牛顿法求方程0)3()2(2
=+-x x 在[1,3]内的根2*
=x 是线性收敛的。
解：
令2
()(2)(3)f x x x =-+
'
2()328(2)(34)f x x x x x =--=-+ y 次迭代公式1(2)(3)
34
k k k k k x x x x x +-+=-
+
故*
11(2)(3)(2)(21)
23434
k k k k k k k k k x x x x e x x x x x ++-+-+=-=--
=++
*2k k k e x x x =-=- 从而
121
34
k k k k e x e x ++=+，k →∞时，2k x → 故k →∞，
11
2
k k e e +→ 故牛顿迭代公式是线性收敛的
7. 应用牛顿法于方程03
=-a x , 导出求立方根3a 的迭代公式，并讨论其收敛性。
解：3
()f x x a =- '2
()3f x x =
相应的牛顿迭代公式为33122
233k k k k k
x a x a
x x x x +-+=-= 迭代函数3
2
2()3k k x a x x ?+=，3'322()3x a x x ?-=，''4
()2x ax ?-=
则'0?=
，''
?≠
习题3
1. 设有方程组
???
??=+-=++--=++3
103220241225321
321321x x x x x x x x x (1) 考察用Jacobi 法，Gauss-Seidal 法解此方程组的收敛性； (2) 用Jacobi 法及Gauss-Seidal 法解方程组，要求当4)
()
1(10-∞
+<-k k x x
时迭代终止。
解：（1）5211442310A ??
??=-??
??-??
A 是强对角占优阵。
故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。
（2）2112
123555x x x =--- 11
213425x x x =-+
313135103
10
x x x =-++
雅克比法：
3(1)()
()321255125k k k x x x +=---
，3(1)()()1121425k k k x x x +=-+，2(1)()
()3131510310
k k k x x x +=-++， 取初始向量(0)
(0)(0)
1
230x x x ===，迭代18次有18174i 10i x x --<（i=1,2,3）
1 3.999996x =-，
2 2.999974x =，
3 2.000000x =
高斯-塞德尔法：
3(1)()
()321255125k k k x x x +=---
，3(1)()()1121425k k k x x x +=-+，2(1)()
()3131510310
k k k x x x +=-++ 取初始向量(0)
(0)(0)
1
230x x x ===，迭代8次有874i 10i x x --<（i=1,2,3）
1 4.000033x =-，
2 2.999983x =，
3 2.000002x =
2. 设有方程组??
?=+=+22221
211
212111b x a x a b x a x a , )0,(1211≠a a ,
迭代公式：???
????-=-=--)(1)(1)
1(221222)(2)1(212111
)(1k k k k x a b a x x a b a x , Λ,2,1=k .
求证由上述迭代公式产生的向量序列{})
(k x
收敛的充要条件是122
1121
12
<=a a a a
γ.
证明：
迭代公式(1)
()k k x
Bx f +=+中的矩阵12112122
0a a B a a ??-
??
?
?=??
-????
，212211122det()a a E B a a λλ-=-，
由迭代收敛的充要条件知
1221
1122
()11a a B a a ργ
<即证。
3. 用SOR 方法解下列方程组（取松驰因子2.1=ω）,要求4)
()
1(10-∞
+<-k k x x .
??
?=-=+541
221
21x x x x . 解：SOR 方法 12(1)
()()()1
11111211
()k k k k x x b a x a x a ω
+=+
--
12(1)
()
(1)()
2
22212222
()k k k k x x b a x a x a ω
++=+
--
11122122122,1,1,4,1,5, 1.2a a a a b b ω====-===
故2(1)
()()1
10.20.60.6k k k x x x +=--+，1(1)()
(1)220.20.3 1.5k k k x x x ++=-+- 迭代初值(0)
(0)
1
20x x ==
(16)(15)
40.00005210x x -∞
-=<
(16)11 1.000017x x ==
(16)
220.999991x x ==-
4. 用选列主元高斯消去法求解方程组
???
??=---=-+-=+-0
2321227
43321
321321x x x x x x x x x
解：
()31
4
73147524122103
3323207
141403333147314
77
14147141400333333524
004
20
33
3A D ?
???--???
?????→---→-??????--??????-
--??
?
?
??--???
???????→---→--
-????????--??
??-?
?
M
解得
()
2,1,0.5χT
=
5. 用追赶法解三角方程组
????????
?
???????=????????????????????????????????--------00001210001210001210001210001254321x x x x x 解：高斯迶元
11100022
12100012010031210003
10121003001044
0012101400012000
01551000
1
6?
???-?????-?-????--????????→---????--????????--?????
????
?
回代得 5432116
141155631311
44321212332311252236
x x x x x =
=+?==+?==+?==+?=
解为 (
)
521116
3
2
3
6
x T
=
6. 用三角分解法求解方程组
????
??????=????????????????????-----76520261618484
2321x x x 解：系数矩阵三角分解为：
24
8100248418162100103262203110076--????????????--=-????????????----??????
原方程可表为：
12310024
8521001032831100767χχχ??
-????????????????-=??????????????--????????
?? 解 123100521083117y y y ??
????????????=??????????-??????
??
得 ()
5210y T
=--
解 12324
85010322007610x x x ??-??????????-=-??????
?????
?--?????? 得291215,, 1.5316,0.2211,0.131********x ??
??
? ? ???
??
T
T
--==
7. 用选主元法去法计算下列行列式的值1
59423
6
21.
解：2113311
31
9
9
51
126951
111324324033951126
1353099
m r r m =?=???→???→----
32232333
539
1
5
915
53135313009999
111300003353
m r r l l =?????→--????→-----
5330930953????
=?-
?-= ? ?????
8. 设???
?
??=111014A 计算 ∞)(A cond .
解：
14110441--110101144-11-1010A -????
??=????
????
()()
4110441
110104110cond A A A ??
+-==+≈ ?∞∞
?∞-??
习题四
1. 给出概率积分
dx e x f x
x ?
-=
2
2
)(π
的数据表：试用二次插值计算)472.0(f .
解：取插值节点：
0.46x
=
1
0.47x = 2
0.48x
=
()()
()()()()()()()()()()()()
2
20
020112012
010*********x x y l L i i i x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x =∑=------=++------
()()()22
0.4720.49556160.4720.4720.4955616
L f L
==
=
解：由题意得如下差商表
()
001,,,0 1.50.99749
1 1.60.999570.02080
2 1.70.99166
0.02915
0.49950
k
k
k k k
f
f f x
x x x x x x ????????
--
故 ()()()()()
()()()
()
()()()
22320.997490.02080 1.50.49950 1.5 1.61.6090.99927
1.609 1.609 1.5 1.609 1.6 1.609 1.76
x x x x N N R f ξ=+?-+-?--==
---
又 ()sin ,f x x =
()
()3cos x x f =-
()
()3 1.5 1.7
cos 0.12884max x x f ξ≤≤≤≤
故：()261.609 1.9210R -≤? 3. 设j x 为互异节点(n j ,,1,0Λ=),求证 (1)
),,1,0()(0n k x x l
x n
j k j
k j Λ=≡∑=
(2)
),,1,0(0)()(0
n k x l x x
n
j j k j
Λ=≡-∑=
证明：()1 令 ()k
f x x
=
()()0
n
k
n j j j x x x l L ==∑
又
()()()()
()
()
()11
1!n n
n
n x f x x x n f
R L ξω++=-=
+ 所以 ()
()10n f
ξ+= 故
()0n
x R =
()()k
n x f x x
L ≡=
()2 原等式左边用二项式展开得：
()
()()()()()110
01k
n n
k
k k k
j j j n j j j
j j x x x x x j x x l x l C x l x l -==??=-++???
?--∑∑L
()()()()11001n
k
k
k k
j j n j j j j
j x x x x x l C x l x x l -=??=-++
???
?-∑L
由()1结论
()0
n
k k
j j j x x x x
=≡∑ 得
()
()()x x x x C x C x l x x k
k
k n k n k j n
j k
x x j 0
1
22110
1-∑-+
++-=--=Λ
()
011k
k
x =
=- 即证
4. 若n n y 2=,求n y 2?和n y 4
?.
解：
()()2
1
n
n n
y y
y
y
+=??=?
-
?
2
1
2
1
222
2
22n n n n
n n n
y
y
y ++++=
-+
=-?+=
4
33
112
2
n
n n y
y
y
δδ
δ+
-
=-
()
()2
2
2
2
1
1
n n
n
n y
y
y y
δδ
δδ+-=
--
-
3111222211132222n n n n n n n n y y y y y y y y δδδδδδδδ+++-+---??????=---??
? ??
???????????----??
? ??
?????
()()()(){}()()()(){}2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
n n n n
n n
n
n n n
n
n n
n n n y y
y y y y y y y y y y y y y y ++++-+----????=-------?
???
????--------?
???
2
1
1
2
21
1
2
2
4644642
2
22
2
2
n n n
n n n n n
n n n y
y
y y
y
++--++---=
-+-+
=-?+?-?+=
5. 证明两点三次Hermite 插值余项是
),(,)())((!
41)(1212)
4(3++∈--=
k k k k x x x x x x f x R ξξ 证明： ()()()3
3
f x x x s R =+
且 ()()()()3
3
3
3
1
1
0,0,0,0k
k k
k x x x x R R R R ++''====
即 1
,k k x x
+为
()3
x R 的二阶零点
设
()()()()
()()2
2
3
31x R x f x x k k x x x x s R ==-+--
令 ()()()()()()()
()()2
2
2
2
3
3
11k k t f t t f x x k k t t x x s s x x x x ?+??=---??+---- 易知 ()()()()1
1
0,0,0,0k
k k
k x x x x ????++''====
又
()0x ?=
由微分中值定理（Rolle 定理）))11
2,,,k k x x x x ξ
ξ+???
∈∈??，使得
()()1
2
0,0??ξξ'
'==
进而
()x ?''有三个零点，?()x ?'''有两个零点，?()
()4x ?有一个零点，
即 ()1,k k x x ξ+?∈
使得()
()40ξ?
=
()
()()
()()()
()442
2
3
4!
001x k k f R x x x x ξξ?
=--
=+--
得 ()()
()()()2
2
431
14!
x k k x x f
x x R ξ=
+-- ()1
,k k x x
ξ+∈
6. 构造适合下列数据表的三次样条插值函数S (x )
解：已知
,3,1,0,13210
===-=x x x x
,31,3,1,13
2
1
===-=y y y y
边界条件 28,43
='
='
y y
2,1,0,1
=-=+i x x
h i i i
即2,1,1210===h h h
从而
,2
11
1=+=
h
h h
a ,3
12
1
1
2=+=
h
h h
a ()
6131
1
2
1
1
11=????????
-
+-
-=h f
f
a h
f f a b ()
18132
2
3
2
1
1
2
22=???
?
???
?
-
+-
-=h
f
f
a h
f
f
a b
28,430
==m m
解 ???
?????=????
?
??????-?-=?????????????
???
32642831
1842
1623
221221m m 得
4,12
1
==m
m
当 []x x x 1
,∈
即 []0,1-∈x 时
()32101212
2
0010+=??
?
??+++=??
?
??---x x x x α
()()x x x x 210102111012
2
1
-=??? ??---+=+??
? ??++α
()()112
2
010+=+=??
? ??---x x x x β
()()x x x x 11012
2
1
0+?
?
?
??++=
-=β 故 ()()()()()13
1
1
1
1
++=+++=
x x x x x x s x
m m y y ββαα
同理，在[]1,0及[]3,1上均有 ()31s x x x =++
7. 用最小二乘法求一个形如2
bx a y +=的经验公式，使与下列数据相拟合
解：依题意 ()()x
x x m n 2
1
,1,
1,4====??
故
()()()5,0
4
00
==∑=x x i
i
i ????
()5327,4
21
==∑=i i
x
??
()5327,0
1
=??
()7277699,4
41
1
==∑=i i
x
??
()4.2710
4
==∑=x y i
i i
?α ()5.3693211
4
1
==∑=x y i
i i
?α
正则方程为 ?
??=+=+5.369321727769953274
.271532751010αααα
解得
050.0,973.010
==αα
故拟合曲线为 x
y 2
05
.0973.0+=
习题5
1． 试确定下面求积公式
?
-++≈1
1
210)]()()([)(x f x f x f C dx x f
使其具三次代数精度.
解：要公式有3次代数精度，需有
111012112222
012113333
0121(111)2
()02()3()0C dx C x x x xdx C x x x x dx C x x x x dx ----?++==?
?
++==??
??++==
?
?++==??
????
解得：0122,0,322
C x x x =
===-
故求积公式为
1
1
2()[(0)(3f x dx f f f -=++? 2． 在区间],[b a 上导出含五个节点的Newton-Cotes 公式，并指出其余项及代数精度.
解：
00,()()()
(1)()[!()!]N
b
n a
n N n
N N n i i n
f x dx b a B f a nh B t i dt N n N n =-=≠=-+-=--∑?
∑?
当4N =时，0127162
,,904515
B B B =
== 又n N n B B -= 故3140167
,4590
B B B B ====
当4N =时，有求积公式 012341464246414()()()()()()4545454545b a
f x dx hf x hf x hf x hf x hf x =++++? （＊） 其中,,1,2,3,44
i b a
h x a ih i -==+=
由Lagrange 差值定理有：(41)4
40
()(,)()(41)!i i f R f x x x ξ+==-+∏
故余项54
40
()(,)()5!b
i a
i f R f x x x dx ξ==
-∏?
对（＊）至少有四次代数精度
(),5f x x C ==时 式（＊）左边=右边=66
6
b a -
6C =时 ≠左边右边 故（＊）式具有5次代数精度
3． 分别用复合梯形公式及复合Simpson 公式计算
?
+2
1
)
1ln(dx x x
, (取步长h =1/6).
解：（1）用复合梯形公式1
1,2,6
a b h ===
故 6N = ()ln(1)x f x x =+
1
() 1.4427ln 21716() 1.5089
6ln(1316)2413() 1.5736
6ln(713)3312() 1.63706ln(512)4513() 1.6992
6ln(813)
1156() 1.76046ln(1716)2
() 1.8205
ln(3)f a f a f a f a f a f a f b =
=+==+==+==+==+=
===
5
15
2
1
1
2()16.3582
1
[()()2()] 1.6351167
ln(1)12n n n n f x x dx f a f b f x x ==∴=≈++=+∑∑?
（2）用复合Simpson 公式：
1232521
()() 1.4760
12
3514
()() 1.541412ln(914)
517112
()() 1.6055
1112ln()14f x f a f x f a f x f a =+
==+===+=
72921125
12
55
1201
719112()() 1.6683
12ln(31112)
9714
()() 1.7299
1112ln()
4
1123112
()() 1.7905
3512ln()
124()39.2464
1
()[()()4()2()] 1.6352167
36n n b
n n a
n n f x f a f x f a f x f a f x f x dx f a f b f x f x +=+===+
===+===+==∴=≈+++=∑∑∑?
4． 用变步长梯形求积公式计算
?
-1
2
dx e x , (精确到410-).
解：2
0,1,()x a b f x e
-===
1
01[()()](1)0.6839397222
b a T f a f b e --≈
+=+= 由
1
1
211211
121
[()]
2221121
(
)22
2
k k k k k k n k k k n b a n T T f a b a n T f ---=-=--≈++--=+∑∑ (1,2,)k =L
得：
22
1031()()44213243111
()0.73137025
22211131[()()]0.36568513()0.7429841
24444111357
[()()()()]0.74586562
28888811135791113[()()()()()()()21616161616161616T T f T T f f T T f f f f T T f f f f f f f f e e --≈+=≈++=++=≈++++=≈++++++++2
16541326514651
015
()]0.74658459161121()0.74676425
232321121()0.74681
26464||100.74681
n n x n T T f n T T f T T e dx ==--=-≈+=-≈+=-<∴≈∑∑?Q
5． 用Romberg 算法计算积分
?
4
2)sin(π
dx x , (精确到410-).
解：
2(0)0(1)(0)00(1)(0)(0)
0010,,()sin 4[()()]0.22716
2
1[()]0.17390
22240.156146
41a b f x x b a T f a f b b a b a T T f a T T T ∏
==
=-=+=--=++=-==-
由公式 1
2()(1)001(1)()
()111((21))222441
k k k k k
n m l l l m m m m b a b a T T f a n T T T --=+--?--=++-???-?=??-∑
得：
(2)(1)00(2)(1)(1)
0012(1)(0)(0)
1122
(3)(2)00(3)(2)(2)
0012(1)
213[()()]0.161288
216161640.157147
4140.157147411357[()()()()]0.1581842323232323240.157150
414T T f f T T T T T T T T f f f f T T T T πππ
πππππ
=++=-==--==-=++++=-==-=(2)(1)1123(1)(0)(0)
2233
0.157154
4140.15715441
T T T T T -=--==-
又(0)
(0)432||0.1571540.1571470.00000710T T --=-= 即(0) 3 T 已经达到预定精度 取 2(0)430 sin 0.1572x ds T π ≈=? 6． 试构造两点Gauss 公式 ? -+≈1 1 1100)()()(x f A x f A dx x f , 并由此计算积分(精确到4 10-) ? +1 21dx x . 解： 二次Lagendre 多项式： 2222 222(1)1()4!3 d x w x x dx -==- Gauss 点为01x x = =由公式11() ()() b N n a n N n w x A dx x x w x ++= '-? 1N =得 22 1 1 011 11 1 x x A A - -- -====?? 1 1 ()(f x dx f f -∴≈+? 令1 2()2t x =- 即1 2 t x += 使得[0,1][1,1]→- 111 1.399122 -= ==? ? Word2003和2007表格公式自动重新计算的操作方法 我们在使用Word表格时，也会需要进行一些常规的计算。对于简单的计算工作，你可以使用“表格”菜单中的“公式”命令(Word2003)或者“表格工具”的“布局”选项卡“数据”组中的“公式”(Word2007)来完成。 Word表格与Excel能够在更改了单元格数据后自动重新计算结果不同，在更改了Word表格中的数据后，相关单元格中的数据并不会自动计算并更新。这是因为Word中的“公式”是以域的形式存在于文档之中的，而Word并不会自动更新域。 要更新域，需要选中域，然后用右键单击选中的域，从弹出的快捷菜单中，单击“更新域”。或者，也可以选中域后，按下F9键更新域结果。而且，我们可以选中整篇Word的简历表格后，按下F9键一次性地更新所有的域。 有时，因为忘记了更新域结果，所以你将计算有误的Word表格打印出来呈送给了领导，后果很严重吧?避免这种严重后果的发生，你只要进行简单设置，即可以让Word表格公式也能自动重新计算并更新域结果。以下Word2003和2007表格公式自动重新计算的操作方法。 1.Word 2007设置过程 ①单击“Microsoft Office按钮”，然后单击“Word选项”。 ②单击“显示”，然后选中“打印前更新域”复选框。 ③单击“确定”按钮。 2.Word2003设置过程 ①在“工具”菜单中，单击“选项”命令。 ②单击“打印”选项卡，然后在“打印选项”标题下，选中“更新域”复选框。 ③单击“确定”按钮。 经过上面的操作，在打印文档前，Word将会自动更新文档中所有的域，从而保证打印出最新的正确计算结果。 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。 目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20) 4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28) 数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10） 1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10） 计算方法上机报告 姓名： 学号： 班级： 上课班级： 说明： 本次上机实验使用的编程语言是Matlab 语言，编译环境为MATLAB 7.11.0，运行平台为Windows 7。 1. 对以下和式计算： ∑ ∞ ? ?? ??+-+-+-+=0681581482184161n n n n S n ，要求： ① 若只需保留11个有效数字，该如何进行计算； ② 若要保留30个有效数字，则又将如何进行计算； （1） 算法思想 1、根据精度要求估计所加的项数，可以使用后验误差估计，通项为： 1421114 16818485861681 n n n a n n n n n ε??= ---<< ?+++++??； 2、为了保证计算结果的准确性，写程序时，从后向前计算； 3、使用Matlab 时，可以使用以下函数控制位数： digits(位数)或vpa(变量，精度为数) （2）算法结构 1. ;0=s ?? ? ??+-+-+-+= 681581482184161n n n n t n ； 2. for 0,1,2,,n i =??? if 10m t -≤ end; 3. for ,1,2,,0n i i i =--??? ;s s t =+ （3）Matlab源程序 clear; %清除工作空间变量 clc; %清除命令窗口命令 m=input('请输入有效数字的位数m='); %输入有效数字的位数 s=0; for n=0:50 t=(1/16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6)); if t<=10^(-m) %判断通项与精度的关系break; end end; fprintf('需要将n值加到n=%d\n',n-1); %需要将n值加到的数值 for i=n-1:-1:0 t=(1/16^i)*(4/(8*i+1)-2/(8*i+4)-1/(8*i+5)-1/(8*i+6)); s=s+t; %求和运算 end s=vpa(s,m) %控制s的精度 （4）结果与分析 当保留11位有效数字时，需要将n值加到n=7， s =3.1415926536； 当保留30位有效数字时，需要将n值加到n=22, s =3.14159265358979323846264338328。 通过上面的实验结果可以看出，通过从后往前计算，这种算法很好的保证了计算结果要求保留的准确数字位数的要求。 参考答案 第一章 1 *1x =1.7； * 2x =1.73； *3x =1.732 。 2． 3． （1） ≤++)(* 3*2*1x x x e r 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517； （3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。 4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。 令3)1()1(1* 102 1 102211021)(-----?≤??=?= n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。 5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是* x 的相对误差的1/2倍； （2）n x )(* 的相对误差约是* x 的相对误差的n 倍。 6． 根据******************** sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤ =* *****) ()()(tgc c e b b e a a e ++ 注意当20* π < 7．设20= y ，41.1*0 =y ，δ=?≤--2* 00102 1y y 由 δ1* 001*111010--≤-=-y y y y ， δ2*111*221010--≤-=-y y y y M δ10*991*10101010--≤-=-y y y y 即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小10 10-倍。而110 10 <<-δ，故计算过程稳定。 8. 变形后的表达式为： （1）)1ln(2--x x =)1ln(2-+-x x （2）arctgx x arctg -+)1(=) 1(11 ++x x arctg （3） 1ln )1ln()1(ln 1 --++=? +N N N N dx x N N =ΛΛ+-+- +3 2413121)1ln(N N N N 1ln )11ln()1(-++ +=N N N N =1)1ln()1 1ln(-+++N N N （4）x x sin cos 1-=x x cos 1sin +=2x tg word的表格中如何使用公式进行计算 在平常应用中，经常要对表格的数据进行计算，如求和、平均等。Word 2000 带了一些基本的计算功能。这些功能是通过【域】处理功能实现的，我们只需利用它即可方便地对表格中的数据进行各种运算。 Word 的表格计算功能在表格项的定义方式、公式的定义方法、有关函数的格式及参数、表格的运算方式等方面都与Excel 基本一致，任何一个用过Excel 的用户都可以很方便地利用“域”功能在Word 中进行必要的表格运算。 下面通过一个成绩统计的例子学习Word 的表格计算功能。 1 表格中单元格的引用 表格中的单元格可用诸如A1、A2、B1、B2 之类的形式进行引用，表格的列用英文字母表示，表格的行用数字表示，如图4-28 所示。 图4-28 表格引用 在公式中引用单元格时，用逗号分隔，而选定区域的首尾单元之间用冒号分隔。有两种方法可表示一整行或一整列。如果用1:1 表示一行，当表格中添加一列后，计算将包括表格中所有的行；如果用a1:c1 表示一行，当表格中添加一列后，计算内容只包括a、b、和c 行。 可以用书签定义表格，来引用表格外或其他表格中的单元格。例如，域{=average（Table2 b:b）}是对由书签标记为Table 2 的表格中的B 列求平均值。 Word 与Excel 不同，不能使用相对引用，Word 中的单元格引用始终是完全引用并且不带美元符号。 2 对一行或一列求和 如果想对一行或一列求和，可以使用【表格和边框】工具栏上的【自动求和】按钮，按照下述步骤进行： （1）单击要放置计算结果的单元格。 （2）单击【表格和边框】工具栏上的【自动求和】按钮，Word 就会自己判断进行求和，如图4-29 所示。 在上述计算中，Word 2000 将计算结果作为一个域插入选定的单元格。如果插入点位于表格中一行的右端，则它对该单元格左侧的数据进行求和；如果插入点位于表格中一行的左端，则它对该单元格右侧的数据进行求和。 3 在表格中进行其他计算 除了可以对行和列进行数字求和计算外，Word 2000 还可以进行其他一些较复杂的计算，如求平均值，四则运算等。比如要对上面表格中的每个科目求平均分，方法如下： （1）选定要放置计算结果的单元格，先选定B5。 （2）选择【表格】菜单的【公式】命令，将出现【公式】对话框，如图4-30 所示。 （3）在【公式】文本框内可能会显示Word 2000 建议使用的公式。如果所选单元格位于数字列底部，Word 2000 会建议使用“=SUM （ABOVE）”公式，对该单元格上面的各单元格 《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)＝2,f (2)＝3,f (4)＝5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 2020年奥鹏吉大网络教育《计算方法》大作业解答 (说明：前面是题目，后面几页是答案完整解答部分，注意的顺序。) 一、解线性方程 用矩阵的LU分解算法求解线性方程组 用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 用高斯消去法求解线性方程组 用高斯消去法求解线性方程组 用主元素消元法求解线性方程组 用高斯消去法求解线性方程组 利用Doolittle分解法解方程组Ax=b，即解方程组 1、用矩阵的LU分解算法求解线性方程组 X1+2X2+3X3 = 0 2X1+2X2+8X3 = -4 -3X1-10X2-2X3 = -11 2、用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 X1+2X2+3X3 = 1 2X1– X2+9X3 = 0 -3X1+ 4X2+9X3 = 1 3、用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 2X1+X2+X3 = 4 6X1+4X2+5X3 =15 4X1+3X2+6X3 = 13 4、用高斯消去法求解线性方程组 2X 1- X 2+3X 3 = 2 4X 1+2X 2+5X 3 = 4 -3X 1+4X 2-3X 3 = -3 5、用无回代过程消元法求解线性方程组 2X 1- X 2+3X 3 = 2 4X 1+2X 2+5X 3 = 4 -3X 1+4X 2-3X 3 = -3 6、用主元素消元法求解线性方程组 2X 1- X 2+3X 3 = 2 4X 1+2X 2+5X 3 = 4 -3X 1+4X 2-3X 3 = -3 7、用高斯消去法求解线性方程组 123123123234 4272266 x x x x x x x x x -+=++=-++= 8、利用Doolittle 分解法解方程组Ax=b ，即解方程组 12341231521917334319174262113x x x x -? ????? ???? ??-??????=? ? ????--?????? --???? ?? 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 计算方法上机报告 姓名: 学号: 班级: 目录 题目一----------------------------------------------------------------- 4 - 1.1题目内容-------------------------------------------------------- 4 - 1.2算法思想-------------------------------------------------------- 4 - 1.3Matlab 源程序----------------------------------------------------- 5 - 1.4计算结果及总结------------------------------------------------- 5 - 题目二----------------------------------------------------------------- 7 - 2.1题目内容-------------------------------------------------------- 7 - 2.2算法思想-------------------------------------------------------- 7 - 2.3 Matlab 源程序---------------------------------------------------- 8 - 2.4计算结果及总结------------------------------------------------- 9 - 题目三--------------------------------------------------------------- -11- 3.1题目内容----------------------------------------------------------- 11 - 3.2算法思想----------------------------------------------------------- 11 - 3.3Matlab 源程序--------------------------------------------------- -13 - 3.4计算结果及总结----------------------------------------------------- 14 - 题目四--------------------------------------------------------------- -15 - 4.1题目内容----------------------------------------------------------- 15 - 4.2算法思想----------------------------------------------------------- 15 - 4.3Matlab 源程序--------------------------------------------------- -15 - 4.4计算结果及总结----------------------------------------------------- 16 - 题目五--------------------------------------------------------------- -18 - -18 - 5.1题目内容 5.2算法思想----------------------------------------------------------- 18 - 5.3 Matlab 源程序--------------------------------------------------- -18 - 计算方法实验报告 班级： 学号： 姓名： 成绩： 1 舍入误差及稳定性 一、实验目的 （1）通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； （2）通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性 二、实验内容 1、用两种不同的顺序计算10000 21n n -=∑，分析其误差的变化 2、已知连分数() 1 01223//(.../)n n a f b b a b a a b =+ +++，利用下面的算法计算f ： 1 1 ,i n n i i i a d b d b d ++==+ (1,2,...,0 i n n =-- 0f d = 写一程序，读入011,,,...,,,...,,n n n b b b a a 计算并打印f 3、给出一个有效的算法和一个无效的算法计算积分 1 041 n n x y dx x =+? (0,1,...,1 n = 4、设2 2 11N N j S j == -∑ ，已知其精确值为1311221N N ?? -- ?+?? （1）编制按从大到小的顺序计算N S 的程序 （2）编制按从小到大的顺序计算N S 的程序 （3）按两种顺序分别计算10001000030000,,,S S S 并指出有效位数 三、实验步骤、程序设计、实验结果及分析 1、用两种不同的顺序计算10000 2 1n n -=∑，分析其误差的变化 （1）实验步骤： 分别从1~10000和从10000~1两种顺序进行计算，应包含的头文件有stdio.h 和math.h （2）程序设计： a.顺序计算 #include 数值分析复习试题 第一章 绪论 一. 填空题 1.* x 为精确值 x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-： *** r x x e x -= ()()()*'1**y f x x εε≈? ()() () ()'***1**r r x f x y x f x εε≈ ? ()()()() ()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε??≈?+??? ()()()()() ** * *,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈ ?+??? 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误 差 。 3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 1.73≈-21 1.73 10 2 ≤?。 4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得 到,则相对误差限为 0.0000204 . 7、 递推公式,??? ? ?0n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误 差为 81 10 2 ?;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3* =π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 《计算方法》上机指导书 实验1 MATLAB 基本命令 1．掌握MATLAB 的程序设计 实验内容：对以下问题，编写M 文件。 (1) 生成一个5×5矩阵，编程求其最大值及其所处的位置。 (2) 编程求∑=20 1!n n 。 (3) 一球从100米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下。求它在 第10次落地时，共经过多少米？第10次反弹有多高？ 2．掌握MATLAB 的绘图命令 实验内容：对于自变量x 的取值属于[0，3π]，在同一图形窗口画出如下图形。 （1）1sin()cos()y x x =?； （2）21 2sin()cos()3 y x x =-； 实验2 插值方法与数值积分 1. 研究人口数据的插值与预测 实验内容：下表给出了从1940年到1990年的美国人口，用插值方法推测1930年、1965年、2010年人口的近似值。 美国人口数据 1930年美国的人口大约是123,203千人，你认为你得到的1965年和2010年的人口数字精确度如何？ 2．最小二乘法拟合经验公式 实验内容：某类疾病发病率为y ‰和年龄段x (每五年为一段，例如0~5岁为第一段，6~10岁为第二段……)之间有形如bx ae y =的经验关系，观测得到的数据表如下 （1）用最小二乘法确定模型bx ae y =中的参数a 和b 。 （2）利用MATLAB 画出离散数据及拟合函数bx ae y =图形。 3. 复化求积公式 实验内容：对于定积分? +=1 02 4dx x x I 。 （1）分别取利用复化梯形公式计算，并与真值比较。再画出计算误差与n 之间的曲线。 （2）取[0，1]上的9个点，分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算，并比较精度。 竭诚为您提供优质文档/双击可除word中表格怎么求和 篇一：word中如何实现表格自动求和等公式运算 word中如何实现表格自动求和等公式运算 1.打开一个需要进行数据计算的表格，如下图中，我们已知五个学生的语文、数学、外语成绩，我们要通过公式完成总分和平均分的计算； 2把光标移动到要求总分的单元格，点击菜单栏的“表格”菜单，执行菜单中的“公式”命令。打开“公式”对话框； 3在打开的“公式”对话框中，公式中会默认识别我们要计算的数据，一般会识别成求和，如下图，公式自动识别，对左边数据进行求和；点击确定按钮后，总分就自动求出来了。如下图所示； 4刚才我们用的公式是=sum(left),意思是对左边的数 据进行求和，那么我们要求的数据不是全部左边的怎么办，其实word中继承了excel中公式和单元格的方法，整个表格也以a，b开始例列，而1,2开始命名行。所以我们要计算张三2的总分，我们输入公式 =sum(b3:d3); 5我们还可以用单个数据参数的方法来计算和，如我们要计算张三3的总分，我们可以在公式栏中输入 =sum(b4,c4,d4)如下图，同样可以总分计算出来； 6我们可以用上面的方法，把其他学生的成绩进行计算，word中只能一个一个数据进行计算，不可以像在excel中一样对公式进行复制，所以只能对简单少量的数据进行计算，如果数据量大的话不建议用word进行。 7下面我们来计算成绩的平均分，学会了计算总分，现在来求平均值其实很简单；和求总分一样，把光标移动到要求平均值的单元格；打开公式对话框； 8在打开的公式对话框中，我们在粘贴函数下拉列表中找到aVeRage(),即求平均数的公式，这个公式和excel中的是一样的，下面我们就要以用步骤4和步骤5的方法来计计算平均值了。 9我们在张三1的平均分单元格中输入公式 =aVeRage(b2:d2),设置好后点击确定按钮，张三1的平均分就自动求出来了，我们可以用相同的方法对其他学生的成绩进行计算； 篇二：word中的表格如何自动求和 excel软件应用 主讲人：叶莉 计算方法大作业 题目：非线性方程求根的新方法 班级：xxx 学号：xxx 姓名：xxx 非线性方程求根的新方法 一、问题引入 在计算和实际问题中经常遇到如下非线性问题的求解： F(x)=0 (1) 我们经常采用的方法是经典迭代法： 经典迭代方法 不动点迭代方法是一种应用广泛的方法，其加速方法较多，如Stiffensen加速方法的局部收敛阶(以下简称为收敛阶)为2阶；牛顿迭代方法的收敛阶亦为2阶，且与其相联系的一些方法如简化牛顿法、牛顿下山法、弦截法的收敛阶阶数介于1和2之间；而密勒法的收敛阶与牛顿法接近，但计算量较大且涉及零点的选择问题，同时收敛阶也不够理想。 因此本文介绍一种新的迭代方法 从代数角度看，牛顿法和密勒法分别是将f(x)在xk附近近似为一线性函数和二次抛物插值函数，一种很自然的想法就是能否利用Taylor展开，将f(x)在xk附近近似为其他的二次函数?答案是肯定的.其中的一种方法是将f(x)在Xk处展开3项，此时收敛阶应高于牛顿法，这正是本文的出发点． 二、算法推导 设函数f(x)在xk附近具有二阶连续导数，则可将f(x)在xk处进行二阶Taylor展开，方程(1) 可近似为如下二次方程： f(xk)+f’(xk)(x-xk)+2^(-1)f’’(xk)(x-xk)^2=0，(2) 即 2^(-1)f’’(xk)x^2+(f’(xk)-xkf’’(xk))x+2^(-1)f’’(xk)xk^2-xkf’(xk)+f(xk)=0(3) 利用求根公式可得 X=xk-(f’’(xk))^(-1)(f’(xk))-sqrt((f’(xk)^2±2f’’(xk)f(xk)))(4) 其中±符号的选取视具体问题而定，从而可构造迭代公式 X k+1=xk-(f’’(xk))^(-1)(f’(xk))-sqrt((f’(xk)^2±2f’’(xk)f(xk)))(5) 确定了根号前正负号的迭代公式(5)，可称为基于牛顿法和Taylor展开的方法，简记为BNT 方法． 为描述方便起见，以下将f(xk)，f’(xk)，f’’(xk)分别记为f,f’,f’’．首先，二次方程(3)对应于一条抛物曲线，其开口方向由f’’(xk)，x∈U(xk)的符号确定，其中U(xk)为xk的某邻域，其顶点为 P(xk-(f’’)^(-1)f’，fk-(2f’’)^(-1)(f’)^2)．为使(5)式唯一确定x k+1，须讨论根式前正负号的取舍问题．下面从该方法的几何意义分析(5)式中正负号的取舍． 1)当f(xk)=o时，z。即为所求的根． 2)当f(xk)>O时，根据y=f(x)的如下4种不同情形(见图1)确定(5)式中根号前的符号． (a)当f’’(xk) 如何在word中编写数学公式 在我们编辑技术文档时，常常会用到许多数学公式，用通常的方法在Word文章中插入数学公式要经历如下数步：点击“插入/对象”命令；打开“对象”对话框，选择“新建”标签；在“对象类型”列表框中选择“MicrosoftEqution3.0”，再点对话框中的“确定”按钮才能打开公式编辑器。经常这样编辑公式操作很费时，很累，通过参考一些文献，自己摸索，终于找到了一种简便的方法，现在拿出来，希望您能摆脱编辑公式对您的困扰。 我们的最终目的就是要把公式编辑器变成Word工具栏上的一个按钮，从而大大简化此类操作。具体方法如下： 单击菜单“工具/自定义”命令，打开“自定义”对话框；选择对话框的“工具栏”标签，再单击对话框左边的“新建”按钮打开“新建工具栏”对话框；在对话框的“工具栏名称”文本框内输入一个自定的名字(如“公式”)，并在“工具栏有效范围”下拉列表框中点选“Normal”(通用模板)，再点“确定”关闭“新建工具栏”对话框。就建立了一个名为“公式”的自定义工具栏，“公式”工具栏按钮就显示在屏幕上。你可以将其插到Word工具栏上你认为合适的位置。 在“自定义”对话框中打开“命令”标签，在“类别”列表框中选择“插入”；在“命令”列表框中选择“公式编辑器”；“公式编辑器”被蓝条包围，将它拖至刚建立的“公式”工具栏按钮内。 至此，公式编辑工具按钮就已做成，如果想使该按钮显示的名称更直观，你可进一步修改它的显示名称。即在“自定义”对话框的“命令”标签下，再选中自定义的“公式”工具按钮；这时就使“自定义”对话框的“更改所选内容”按钮有效，点击它会出现子菜单；将子菜单中的“命名”文本框的内容改为“公式编辑器”，并点选子菜单中的“总是只用文字”，最后点击窗口内的“关闭”按钮。 这时，Word工具栏上就有了一个显示为“公式编辑器”的工具按钮，今后要编写公式只需点击此按钮即可。 巧用Word域，快速输入数学公式 很多数学老师想自己出些让学生练习，可有些公式要利用“公式编辑器”，这样给操作带来了很多不便。其实只要巧用word里面的域，更有利于排版，有着“公式编辑器”无法比拟的独到之到。 域是word中的一种特殊命令，它由花括号、域代码及选项开关组成。域代码类似于公式，域选项开关是word中的一种特殊格式指令，在域中可触特定的打操作。如： Ctrl+F9组合键：快速插入域定义符“{}”。 Ctrl+F11组合键：锁定某个域，以防止修改当前的域。 Ctrl+Shift+F11组合键：解除锁定，以便对域进行更改。 Ctrl+Shift+F9组合键：解除域的链接，当前的域变为常规文本，失去域的所有功能。 Shift+F9组合键：显示或者隐藏指定的域代码。 Alt+F9组合键：显示或者隐藏文档中所有域代码。 F9：更改某个域。 实例一：输入分数 例如输入。按Ctrl+F9组合键，插入域定义符“{}”（注意：这个花括号不能用键盘输入），然后在“{}”中输入表示公式的字符串“EQ \f(a,b)”，其中a表示分子，b表示分母。如“EQ \f(1,2)”，然后在其上单击右键，在弹出快捷菜单中选择“切换代码”选项，就会产生域结果。对于带分数，只需在真分数“”前面输入整数部分“1”就变成了带分数1。 工程计算方法与软件应用 本科生大作业 考核方式：考查（成绩按各软件的课外作业成绩综合给出）。 各软件讲完后1~2星期内上交作业。 一、CAD/CAE软件作业（每个学生完成下列任意一题） 题目一： 一端固定支撑，一端集中力的梁，横截面为10x10cm，长为150cm，受集中载荷作用，P=50N。弹性模量E=70GPa，泊松比r=0.2。用ABAQUS 软件建模并计算最大应力和最大位移的位置和大小。 （1）二维；（2）三维 图1梁受力简图 题目二： 图中所示为一个连接件，一端焊接到设备母体上，一端在圆柱销子作用下的圆孔，圆孔下半周受到30 kN的均布载荷作用，用ABAQUS 软件建模并计算最大应力和最大位移的位置和大小。 图2 连接件受力简图 题目三： 如图3所示为一薄壁圆筒，在圆筒中心受集中力F作用，对此进行受力分析，并给出应力、位移云图，并求A、B两点位移。 圆筒几何参数：长度L=0.2m；半径R=0.05m壁厚t=2.5mm。 材料参数：弹性模量E=120Gpa；泊松比0.3 载荷：F=1.5kN。 图3薄壁管受力简图 题目四： 如图4所示为一燃气输送管道截面及受力见图，试分析管道在内部压力作用下的应力场。 几何参数：外径0.6m，内径0.4m，壁厚0.2m 材料参数：弹性模量E=120Gpa；泊松比0.26 载荷P=1Mpa。 图4燃气管受力简图 题目五： 如图5为一三角桁架受力简图，途中各杆件通过铰链链接，杆件材料及几何参数见表1和表2所示，桁架受集中力F1=5kN、F2=2.5kN 作用，求桁架各点位移及反作用力。 图5 三角桁架受力简图 表1 杆件材料参数 表2 杆件几何参数 word中如何实现表格自动求和等公式运算 1.打开一个需要进行数据计算的表格，如下图中，我们已知五个学生的语文、数学、外语成绩，我们要通过公式完成总分和平均分的计算； 2把光标移动到要求总分的单元格，点击菜单栏的“表格”菜单，执行菜单中的“公式”命令。打开“公式”对话框； 3在打开的“公式”对话框中，公式中会默认识别我们要计算的数据，一般会识别成求和，如下图，公式自动识别，对左边数据进行求和；点击确定按钮后，总分就自动求出来了。如下图所示； 4刚才我们用的公式是=sum(left),意思是对左边的数据进行求和，那么我们要求的数据不是全部左边的怎么办，其实word中继承了excel中公式和单元格的方法，整个表格也以A，B 开始例列，而1,2开始命名行。所以我们要计算张三2的总分，我们输入公式=sum(b3:d3); 5我们还可以用单个数据参数的方法来计算和，如我们要计算张三3的总分，我们可以在公式栏中输入=sum(b4,c4,d4) 如下图，同样可以总分计算出来； 6我们可以用上面的方法，把其他学生的成绩进行计算，word中只能一个一个数据进行计算，不可以像在excel中一样对公式进行复制，所以只能对简单少量的数据进行计算，如果数据量大的话不建议用word进行。 7下面我们来计算成绩的平均分，学会了计算总分，现在来求平均值其实很简单；和求总分一样，把光标移动到要求平均值的单元格；打开公式对话框； 8在打开的公式对话框中，我们在粘贴函数下拉列表中找到A VERAGE(),即求平均数的公式，这个公式和excel中的是一样的，下面我们就要以用步骤4和步骤5的方法来计计算平均值了。word公式自动重新计算的方法
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