2.2函数的定义域与值域

第二节 函数的定义域和值域

[备考方向要明了]

考什么

怎 么 考

会求简单函数的定义域和值域. 1.函数的定义域经常作为基本条件或工具出现在高考试题的客观题中，且多与集合问题相交汇，考查与对数函数、分式函数、根式函数有关的定义域问题．

2.函数的值域或最值问题很少单独考查，通常与不等式恒成立等问题相结合作为函数综合问题中的某一问出现在试卷中.

[归纳·知识整合]

1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R .

(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)． (6)y ＝tan x 的定义域为?

???

??

x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .

(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．

2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：

当a >0时，值域为?

?????y |y ≥

4ac －b

2

4a ； 当a <0时，值域为?

???

??

y |y ≤

4ac －b

2

4a . (3)y ＝k

x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．

(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． (7)y ＝tan x 的值域是R .

[探究] 1.若函数y ＝f (x )的定义域和值域相同，则称函数y ＝f (x )是圆满函数，则函数①y ＝1

x

；②y ＝2x ；③y ＝ x ；④y ＝x 2中是圆满函数的有哪几个？

提示：①y ＝1x 的定义域和值域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y ＝1

x 是圆满函数；②y

＝2x 的定义域和值域都是R ，故函数y ＝2x 是圆满函数；③y ＝ x 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故y ＝ x 是圆满函数；④y ＝x 2的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故函数y ＝x 2不是圆满函数．

2．分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？ 提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．

[自测·牛刀小试]

1．函数f (x )＝

4－x

x －1

的定义域为( ) A ．[－∞，4] B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4)

D ．(－∞，1)∪(1,4]

解析：选D 要使函数f (x )＝4－x

x －1有意义，只需????? 4－x ≥0，x －1≠0，即?

????

x ≤4，x ≠1.所以函数的

定义域为(－∞，1)∪(1,4]．

2．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )

x

0

10≤x <15

15≤x ≤20

y

2

3

4

5

A ．[2,5]

B ．N

C ．(0,20]

D ．{2,3,4,5}

解析：选D 函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为{2,3,4,5}． 3．若f (x )＝

1

log 12

(2x ＋1)

，则f (x )的定义域为( )

A.????－1

2，0 B.????－1

2，0 C.???

?－1

2，＋∞ D ．(0，＋∞)

解析：选A 根据题意得log 12

(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1，解得x ∈???

?－1

2，0. 4．(教材改编题)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的定义域为________，值域为________．

解析：由图象可知，函数y ＝f (x )的定义域为[－6,0]∪[3,7)， 值域为[0，＋∞)．

答案：[－6,0]∪[3,7) [0，＋∞)

5．(教材改编题)若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________． 解析：∵x －4有意义，∴x －4≥0，即x ≥4.

又∵y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2， ∴y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. ∴其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)

考点一

求函数的定义域

[例1] (1)函数f (x )＝

1

ln (x ＋1)

＋

4－x 2的定义域为( )

A ．[－2,0)∪(0,2]

B ．(－1,0)∪(0,2]

C ．[－2,2]

D ．(－1,2] (2)已知函数f (x 2－1)的定义域为[0,3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． [自主解答] (1)x 满足????

?

x ＋1>0，x ＋1≠1，

4－x 2≥0，即????

?

x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.

解得－1

∴0≤x 2≤9，－1≤x 2－1≤8. ∴函数y ＝f (x )的定义域为[－1,8]． [答案] (1)B (2)[－1,8]

本例(2)改为f (x )的定义域为[0,3]，求y ＝f (x 2－1)的定义域． 解：∵y ＝f (x )的定义域为[0,3]， ∴0≤x 2－1≤3，

解得－2≤x ≤－1或1≤x ≤2，

所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]．

—————

—————————————— 简单函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：

①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．

②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．

1．(1)函数f (x )＝

1－2log 6x 的定义域为________．

(2)已知f (x )的定义域是[－2,4]，求f (x 2－3x )的定义域．

解析：(1)由1－2log 6x ≥0解得log 6x ≤1

2?0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．

答案：(0， 6 ]

(2)∵f (x )的定义域是[－2,4]，

∴－2≤x 2－3x ≤4，由二次函数的图象可得，－1≤x ≤1或2≤x ≤4. ∴定义域为[－1,1]∪[2,4].

考点二

求函数的值域

[例2] 求下列函数的值域：

(1)y ＝x －3x ＋1

；(2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝x ＋4x .

[自主解答] (1)法一：(分离常数法)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1.因为4

x ＋1≠0，所以1

－

4

x ＋1

≠1， 即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． 法二：由y ＝x －3

x ＋1得yx ＋y ＝x －3.

解得x ＝y ＋3

1－y ，所以y ≠1，

即函数值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．

(2)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－1

2(t ＋1)2＋1，

由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是???

?

??y |y ≤12.

法二：(单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤1

2.

所以y ≤f ????12＝12，即函数的值域是???

???y |y ≤12. (3)法一：(基本不等式法)当x >0时， x ＋4

x

≥2 x ×4

x

＝4，

当且仅当x ＝2时“＝”成立； 当x <0时，x ＋4x ＝－(－x －4

x )≤－4，

当且仅当x ＝－2时“＝”成立． 即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．

法二：(导数法)f ′(x )＝1－4x 2＝x 2

－4

x

2.

x ∈(－∞，－2)或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(－2,0)或x ∈(0,2)时，f (x )单调递减． 故x ＝－2时，f (x )极大值＝f (－2)＝－4； x ＝2时，f (x )极小值＝f (2)＝4.

即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．

若将本例(3)改为“y ＝x －4

x

”，如何求解？

解：易知函数y ＝x －4x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，故函数y ＝x －4

x 的值域为

R .

—————

——————————————

求函数值域的基本方法

(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．

(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．

(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋d

ax ＋b

(a ≠0)的函数可用此法求值域.

(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.

(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围.

2．求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[0,3]； (2)y ＝x 2－x

x 2－x ＋1

；

(3)y ＝log 3x ＋log x 3－1.

解：(1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵0≤x ≤3，

∴1≤x ＋1≤4.∴1≤(x ＋1)2≤16. ∴0≤y ≤15，

即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)y ＝x 2－x ＋1－1x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1，

∵x 2－x ＋1＝????x －122＋34≥3

4， ∴0<

1x 2

－x ＋1≤43

，

∴－1

3≤y <1，即值域为????－13，1. (3)y ＝log 3x ＋

1

log 3x

－1， 令log 3x ＝t ， 则y ＝t ＋1

t －1(t ≠0)，

当x >1时，t >0，y ≥2

t ·1

t

－1＝1， 当且仅当t ＝1

t 即log 3x ＝1，x ＝3时，等号成立；

当0

y ＝－???

?(－t )＋????－1t －1≤－2－1＝－3. 当且仅当－t ＝－1t 即log 3x ＝－1，x ＝1

3时，等号成立．

综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞).

考点三

与定义域、值域有关的参数问题

[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx .若至少存在一个正实数b ，使得函数f (x )的定义域与值域相同，求实数a 的值．

[自主解答] ①若a ＝0，则对于每个正数b ，f (x )＝bx 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a ＝0满足条件；

②若a >0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域为D ＝{x |ax 2＋bx ≥0}＝?

???－∞，－b

a

∪[0，＋∞)，但f (x )的值域A ?[0，＋∞)，故D ≠A ，即a >0不符合条件；

③若a <0，则对于正数b ，

f (x )＝ax 2＋bx 的定义域D ＝????0，－b a ， 由于此时f (x )max ＝f ????－b 2a ＝b

2－a ， 故f (x )的值域为???

?

??0，b 2－a ，

则－b a ＝b

2－a ????

a <0，2－a ＝－a

?a ＝－4.

综上所述，a 的值为0或－4. —————

—————————————— 由函数的定义域或值域求参数的方法

已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．

3．(2013·温州模拟)若函数f (x )＝

1

x －1

在区间[a ，b ]上的值域为????13，1，则a ＋b ＝________. 解析：∵由题意知x －1>0，又x ∈[a ，b ]， ∴a >1.则f (x )＝1

x －1在[a ，b ]上为减函数，

则f (a )＝1a －1＝1且f (b )＝1b －1＝1

3，

∴a ＝2，b ＝4，a ＋b ＝6. 答案：6

1种意识——定义域优先意识

函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．

4个注意——求函数定义域应注意的问题

(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x 的集合． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．

(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，

而应该用并集符号“∪”连接．

4个准则——函数表达式有意义的准则

函数表达式有意义的准则一般有：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.

6种技巧——妙求函数的值域

(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法； (2)若与二次函数有关，可用配方法；

(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法； (4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解； (5)分段函数宜分段求解；

(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.

易误警示——与定义域有关的易错问题

[典例] 函数f (x )＝(x ＋1)2x ＋1

－1－x 的定义域为________________．

[解析] ∵要使函数f (x )＝(x ＋1)2

x ＋1－1－x 有意义，则????? 1－x ≥0，x ＋1≠0，∴?????

x ≤1，x ≠－1，

∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}． [答案] (－∞，－1)∪(－1,1] [易误辨析]

1．本题若将函数f (x )的解析式化简为f (x )＝(x ＋1)－1－x 后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x 的取值范围．

2．在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域．求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．

[变式训练]

1．若函数f (x )的值域是????12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1

f (x )的值域是( ) A.????

12，5 B.????

56，5 C.?

???2，103 D.?

???3，103 解析：选C 令t ＝f (x )，则1

2

≤t ≤3.

易知函数g (t )＝t ＋1

t

在区间????12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数．

又因为g ????12＝52，g (1)＝2，g (3)＝10

3. 可知函数F (x )＝f (x )＋1

f (x )

的值域为????2，103. 2．已知函数f (x ＋2)＝x ＋2x ，则函数f (x )的值域为________． 解析：令2＋x ＝t ，则x ＝(t －2)2(t ≥2)． ∴f (t )＝(t －2)2＋2(t －2)＝t 2－2t (t ≥2)． ∴f (x )＝x 2－2x (x ≥2)．

∴f (x )＝(x －1)2－1≥(2－1)2－1＝0， 即f (x )的值域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( ) A ．f (x )＝x 2＋a B ．f (x )＝ax 2＋1 C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1

D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1

解析：选C 当a ＝0时，f (x )＝ax 2＋x ＋1＝x ＋1为一次函数，其定义域和值域都是R . 2．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )

A ．R

B ．{x |x >0}

C ．{x |0

D.?

???

??

x |52

?

x >0，10－2x >0，

2x >10－2x ，

即5

2

解析：选A A 中定义域是[－2,2]，值域为[0,2]；B 中定义域为[－2,0]，值域为[0,2]；C 不表示函数；D 中的值域不是[0,2]．

4．函数y ＝ x (x －1)－lg 1

x

的定义域为( )

A ．{x |x >0}

B ．{x |x ≥1}

C ．{x |x ≥1，或x <0}

D ．{x |0

解析：选B 由????

?

x (x －1)≥0，1x >0，得x ≥1.

5．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[1,2] C ．[0,2]

D ．[－2， 2 ]

解析：选C ∵－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0， 0≤2－－x 2＋4x ≤2，∴0≤y ≤2.

6．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝?

???

?

g (x )＋x ＋4，x

A.????－9

4，0∪(1，＋∞) B. )[0，＋∞

C.???

?－9

4，＋∞ D.???

?－9

4，0∪(2，＋∞) 解析：选D 令x 0，解得x <－1或x >2；令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，

解得－1≤x ≤2，故函数f (x )＝?

???

?

x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－

1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ????12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0，故函数f (x )的值域是????－94，0∪(2，＋∞)．

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．函数y ＝

1

6－x －x 2

的定义域是________．

解析：由函数解析式可知6－x －x 2>0，即x 2＋x －6<0，故－3

8．设x ≥2，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)

x ＋1

的最小值是______．

解析：y ＝[(x ＋1)＋4][(x ＋1)＋1]x ＋1，设x ＋1＝t ，则t ≥3，那么y ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4

t ＋5，

在区间[2，＋∞)上此函数为增函数，所以t ＝3时，函数取得最小值即y min ＝

28

3

. 答案：28

3

9．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a

解析：由题意知，f (x )＝?????

x －2，x ∈[－2，1]，

x 3－2，x ∈(1，2].

当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]．

答案：[－4,6]

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)

10．若函数f (x )＝1

2x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值．

解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －1

2，∴其对称轴为x ＝1，即[1，b ]为f (x )的单调递增区间．

∴f (x )min ＝f (1)＝a －1

2＝1，①

f (x )max ＝f (b )＝1

2b 2－b ＋a ＝b .②

由①②解得?????

a ＝32，

b ＝3.

11．设O 为坐标原点，给定一个定点A (4,3)，而点B (x,0)在x 轴的正半轴上移动，l (x )

表示AB 的长，求函数y ＝x

l (x )

的值域．

解：依题意有x ＞0，l (x )＝(x －4)2＋32＝x 2－8x ＋25， 所以y ＝x l (x )＝x

x 2－8x ＋25

＝

1

1－8x ＋25x

2

. 由于1－8x ＋25

x

2＝25????1x －4252＋925，所以 1－8x ＋25x 2≥35，故0＜y ≤53

.

即函数y ＝x

l (x )的值域是????0，53. 12．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.

(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；

(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，

∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0?2a 2－a －3＝0?a ＝－1或a ＝3

2.

(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0?－1≤a ≤3

2.

∴a ＋3>0.

∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－????a ＋322＋17

4????a ∈????－1，32. ∵二次函数g (a )在????－1，3

2上单调递减， ∴g ????32≤g (a )≤g (－1)，即－19

4≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为???

?－19

4，4.

1．下列函数中，与函数y ＝1

x

有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝ln x B ．f (x )＝1

x

C ．f (x )＝|x |

D ．f (x )＝e x

解析：选A 当x >0时，

1x 有意义，因此函数y ＝1

x

的定义域为{x |x >0}． 对于A ，函数f (x )＝ln x 的定义域为{x |x >0}； 对于B ，函数f (x )＝1

x 的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }；

对于C ，函数f (x )＝|x |的定义域为R ； 对于D ，函数f (x )＝e x 的定义域为R . 所以与函数y ＝1

x

有相同定义域的是f (x )＝ln x . 2．函数y ＝

ln (x ＋1)

－x 2－3x ＋4

的定义域为( )

A ．[－4，－1)

B ．(－4,1)

C ．(－1,1)

D ．(－1,1]

解析：选C 由?

????

－x 2－3x ＋4>0

x ＋1>0得－1

3．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )

x －1的定义域是( )

A ．[0,1]

B ．[0,1)

C ．[0,1)∪(1,4]

D ．(0,1)

解析：选B 要使g (x )有意义，则?

????

0≤2x ≤2，

x －1≠0，

解得0≤x <1.故定义域为[0,1)．

4．已知函数f (x )＝????13x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2

(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )． (1)求h (a )的解析式；

(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列两个条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)由f (x )＝????13x

，x ∈[－1,1]，知f (x )∈????13，3，令t ＝f (x )∈????13，3 记g (x )＝y ＝t 2－2at ＋3，则g (x )的对称轴为t ＝a ，故有： ①当a ≤13时，g (x )的最小值h (a )＝289－2a

3，

②当a ≥3时，g (x )的最小值h (a )＝12－6a ， ③当1

3

综上所述，h (a )＝????

?

289－2a 3，a ≤1

3

，3－a 2

，13

(2)当a ≥3时，h (a )＝－6a ＋12，故m >n >3时，h (a )在[n ，m ]上为减函数， 所以h (a )在[n ，m ]上的值域为[h (m )，h (n )]．

由题意，则有????? h (m )＝n 2，h (n )＝m 2，??????

－6m ＋12＝n 2

，

－6n ＋12＝m 2

，

，两式相减得6n －6m ＝n 2－m 2，又m ≠n ，所以m ＋n ＝6，这与

m >n >3矛盾，故不存在满足题中条件的m ，n 的值.

函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc

函数的概念及定义域.值域基本知识点总结 函数概念 1.映射的概念 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A^ B , f 表示对应法则 注意：（1）A中元素必须都有彖J1唯一；（2）B中元素不一定都有原彖，但原彖不一定唯一。 2.函数的概念 （1）函数的定义： 设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都

冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常

⑵函数的定义域、值域 在函数y = f(x\xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做两数值，函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。 (3)函数的三要素：定义域、值域和对丿应法则 3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 (1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； (2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式來表示。 4.分段函数 在H变量的不同变化范围屮，对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。 (-)考点分析 考点1：映射的概念 例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ； (2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ； (3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x . 上述三个对应是A到B的映射. 例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM，a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个，A到B 的函数有个 例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对 (4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个 M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是() 考点2：判断两函数是否为同一个函数

求函数的定义域和值域的方法

解：求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一，已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ ， k ∈z ｝和余切函数y=cotx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠k π，k ∈z ｝等。 例题一 求下列函数的定义域： （1） y=2）0+㏒（x —2）x 2 （2） 解：（1）欲使函数有意义，须满足 2≠0 x —1≥0 x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞） x ≠0 （2） 由已知须满足 tanx ﹥0 解得： k π ﹤x ﹤2 k π π+ （k ∈z ） x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为（-π，2 π - ）∪（0， 2 π ）∪（π，4） 二，复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。 （2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。 （3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。 （4）已知函数y=f （tan2x ）的定义域为〔0， 8 π 〕，求函数f （x ）的定义域。 分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。其解法是：已知f

二次函数定义域与值域习题(强烈推荐)

高中数学专题训练二次函数与幂函数 一、选择题 1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( ) 3．函数y＝xα(x≥1)的图象如图所示，α满足条件( ) A．α<－1 B．－1<α<0 C．0<α<1 D．α>1 4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么( ) A．f(2)>f(3) B．f(3)>f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．[0,2] C．[1,2] D．(－∞，2] 6．(2010·安徽卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( ) 7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0f(x2) B．f(x1)

D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定 二、填空题 8．已知y＝(cos x－a)2－1，当cos x＝－1时y取最大值，当cos x＝a时，y取最小值，则a的范围是________． 9．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________. 10．设函数f1(x)＝x 1 2 ，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2010)))＝ ________. 11．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________． 12．已知幂函数f(x)＝x 1－α 3 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是 减函数，那么最小的正整数a＝________. 13．方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m的取值范围是________． 三、解答题 14．已知函数f(x)＝2 x －x m，且f(4)＝－ 7 2 . (1)求m的值； (2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 15．已知对于任意实数x，二次函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋12(a∈R)的值都是非负的，求函数g(a)＝(a＋1)(|a－1|＋2)的值域．

函数的定义域、值域及解析式

函数的定义域、值域及解析式 【教学目标】 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．如：f(x)=x2 f(x)=2x+2等 （1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； （2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 常见函数的定义域与值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数， k≠0） 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x-1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) = （√x）2 （3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2 3．区间的概念

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

函数定义域和值域

1．函数的定义、定义域、值域 2．两个函数相等的条件 (1)定义域相同． (2)对应关系完全一致． 知识点二函数的表示及分段函数 1．函数的表示方法 函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法． 2．分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 知识梳理 1.函数与映射的概念 函数映射 两个集合A，B 设A，B是两个 非空数集 设A，B是两个 非空集合 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意 一个数x，在集合B中都有唯 如果按某一个确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意 一个元素x，在集合B中都有

求()x f 与()x g 的解析式。 1.(绍兴质检)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A.[－3，1] B.(－3，1) C.(－∞，－3]∪[1，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞) 2.已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A.x ＋1 B.2x －1 C.－x ＋1 D.x ＋1或－x －1 3.(湖州一模)f (x )＝???? ????13x （x ≤0），log 3x （x >0），则f ???? ?? f ? ????19＝( ) A.－2 B.－3 C.9 D.－9 4.(全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y ＝x B.y ＝lg x C.y ＝2x D.y ＝ 1x 5.(铜陵一模)设P (x 0，y 0)是函数f (x )图象上任意一点，且y 20≥x 2 0，则f (x )的解析式可以是( ) A.f (x )＝x －1x B.f (x )＝e x －1 C.f (x )＝x ＋4 x D.f (x )＝tan x 6.下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )的图象的是( )

高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项

函数定义域值域求法(全十一种)

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ???>-≥②①0 x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤ ≤-。

求函数的定义域与值域的常用方法完整版

求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。

复合函数定义域与值域经典习题及答案

复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义 域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1 (2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋

⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y = ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时 ()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为

高一数学《函数的定义域值域》练习题

函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法： 例1：求函数y = 例2：求函数1y 的值域。 2、配方法： 例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3：求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125 x y x -=+的值域。 例2：求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法： 例1：求函数2y x = 例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y x = 例2：求函数()x x x f -++=11的值域。

例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-= x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4：求下列函数的定义域： ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)；

5、函数的定义域和值域答案

函数定义 映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →” 函数的概念 1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y =，A x ∈。 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性； 区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它． 例 函数y ＝x x 2 3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？ 练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 重点一：函数的定义域各种类型例题分析

函数的定义域和值域课件

函数的定义域和值域 学习目标： 1．了解构成函数的要素有定义域、对应法则和值域，会求一些简单函数的值域； 2．通过本节的学习，使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯； 活动方案 活动一（目标：理解函数定义域的概念，复习巩固上一节课的定义域的相关内容，并能 熟练求出一个给定的函数的定义域。） 题型一：简单函数的定义域 巩固检测1．求下列函数定义域： （1）()f x =； （2）21()1f x x = -； 小结：求简单函数的定义域时常考虑哪些因素？ 题型二：函数由两个及以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时的定义域 求下列函数的定义域： 巩固检测2．（1）y = （2）1()f x x = 小结：此种情况如何求定义域？ 题型三：复合函数的定义域 例1．（P24.5）若2 ()f x x x =- （1）此函数的输入值是谁？ （2）求(0),(1),(1)f f f x +； （3）函数(1)y f x =+的输入值又是谁？(2)y f x =呢？ 例2．求下列函数的定义域： （1）若()y f x =的定义域为]1,4?-?，则2()y f x =的定义域是 。 （2）若函数(1)y f x =+的定义域是]2,3?-?，则(21)y f x =-的定义域 是 。 活动二（目标：理解函数值域的概念，并能熟练准确地求出一个给定的函数的值域。） 阅读课本P23中间关于值域的内容，思考以下问题： （1）函数的值域是怎样定义的？ （2）函数的值域与定义中集B 有怎样的包含关系？ （3）函数的定义域、值域、对应法则称为函数的三要素，这三者之间的关系怎 样？

求函数定义域和值域方法和典型题归纳

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见要是满足有意义的情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形

函数的定义域及值域

函数的定义域及值域 题型一 求函数的定义域 1. 已函数f(x)＝x x x -+0 )1(的定义域 2.函数 )3(log 1 3x y -= 的定义域为 3.函数x x y cos lg 252+-=的定义域为 __ 2.抽象函数定义域 1. 函数f(x 2)的定义域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域 2.设函数 的定义域是[0,1],求的定义域. 3.已知f(x 2)的定义域为[1,2]，则y=f()(log 2 1x 的定义域为_______. 3.定义域逆用 1. 已知函数y = 的定义域为R.求实数m 的取值范围； 2. 设f (x )=lg(x 2 －2x +a )的定义域为R ，求a 的取值范围； 3.设函数y = 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.

题型二 求函数的值域 1.求下列函数的值域: (1)y ＝ 2x －1 x ∈[1，3] (2) y ＝ －3x +1 x ∈[－1，2] (3)函数f(x)= ax + b x ∈[－1，1] 最大值为2,最小值为－4,求a,b 的值 2. 求下列函数的值域: ⑴y ＝x 2－5x ＋6 x ∈[－2，1] ⑵y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[1，3] ⑶y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[2，4] (4)y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[3，5] (5) f(x)= x 2－2ax －2 x ∈[－2，4] 3. x>0 4.函数y =x +x 21-的值域 5.若 求函数的取值范围. 6. 对于任意实数,设函数 是与中较小者,求的最大值 7.已知函数 的值域是,求的值.

高中数学函数定义域值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一。求函数得定义域需要从这几个方面入手: (１)分母不为零 (2)偶次根式得被开方数非负。 (３)对数中得真数部分大于0。 (４)指数、对数得底数大于0,且不等于1 (5)y=tanｘ中x≠ｋπ＋π／2;ｙ=cotｘ中x≠kπ等等。 ( 6 )中ｘ 二、值域就是函数y=ｆ(x)中y得取值范围。 常用得求值域得方法: (1)直接法(２)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (５)换元法 (包括三角换元)(６)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (1０)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学得始终。 定义域得求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数得定义域: ①;②;③ 解:①∵x—2=0,即x=2时,分式无意义, 而时,分式有意义,∴这个函数得定义域就是、 ②∵3ｘ+2〈0,即x<－时,根式无意义, 而,即时,根式才有意义, ∴这个函数得定义域就是｛｜｝. ③∵当,即且时,根式与分式同时有意义, ∴这个函数得定义域就是｛|且｝ 另解:要使函数有意义,必须: 例2 求下列函数得定义域: ①② ③④ ⑤ 解:①要使函数有意义,必须: 即: ∴函数得定义域为: [］

②要使函数有意义,必须: ∴定义域为:{ x｜｝ ③要使函数有意义,必须: ? ∴函数得定义域为: ④要使函数有意义,必须: ∴定义域为: ⑤要使函数有意义,必须: 即 x< 或 x〉∴定义域为: ２定义域得逆向问题 例３若函数得定义域就是Ｒ,求实数a得取值范围(定义域得逆向问题) 解:∵定义域就是R,∴ ∴ 练习: 定义域就是一切实数,则m得取值范围; 3复合函数定义域得求法 例4 若函数得定义域为［-１,1],求函数得定义域 解:要使函数有意义,必须: ∴函数得定义域为: 例5 已知f(x)得定义域为［—1,1],求f(2x—１)得定义域。 分析:法则f要求自变量在［-１,1]内取值,则法则作用在2x－1上必也要求2x-1在［－1,1］内取值,即－１≤2x-1≤１,解出ｘ得取值范围就就是复合函数得定义域;或者从位置上思考f(2ｘ－1)中2x－１与f(ｘ)中得x位置相同,范围也应一样,∴—1≤２x-1≤1,解出x得取值范围就就是复合函数得定义域。 (注意:f(x)中得x与f(2x-1)中得x不就是同一个x,即它们意义不同。) 解:∵ｆ(ｘ)得定义域为［—1,1］, ∴—1≤２x－1≤1,解之0≤x≤1, ∴f(2x－1)得定义域为[0,１］。 例6已知已知ｆ(x)得定义域为[－1,1],求f(ｘ２)得定义域。 答案:—１≤x2≤1 x２≤1－１≤ｘ≤1 练习:设得定义域就是[-3,］,求函数得定义域 解:要使函数有意义,必须: 得: ∵≥0 ∴ ∴函数得定域义为: 例7 已知f(2x－1)得定义域为［0,１］,求f(x)得定义域 因为2x-1就是R上得单调递增函数,因此由2x-１, x∈［0,1］求得得值域［-1,1］就是f(ｘ)得定义域、 练习: 1已知f(3ｘ－１)得定义域为[—1,２),求f(2ｘ+１)得定义域。) (提示:定义域就是自变量ｘ得取值范围) 2已知ｆ(ｘ2)得定义域为［－１,１］,求f(x)得定义域

2018届高三理科数学一轮复习试题选编2：函数的定义域与值域、解析式及图像(学生版)

2014届高三理科数学一轮复习试题选编2：函数的定义域与值域、解析式及图像 一、选择题 1 ．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题）函数的定义域为 （ ） A ． B ． C ． D ． 2 ．（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）已知函数 1,0, ()1,0, x f x x ->且 0a b c ++=,则它的图象可能是 7 ．已知???>-≤-=0 ,230,2)(2x x x x x f ,若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立,则实数a 的取值范围是 （ ） A ．),0[]1,(+∞--∞Y B ．]0,1[- C ．]1,0[ D ．)0,1[-

函数定义域值域及表示

函数定义域值域及表示 (1)函数的概念 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有 意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意： 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无 关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) （2）区间的概念及表示法 设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足 a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的 集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．

函数定义域、值域、解析式习题及答案

一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+- （4） f(x)= 2 32--x x ； （5） ； （6）f(x)=1+x －x x -2； （7 ）0y = （8 ）223 y x x =+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、f(x)的定义域为[0,1]，求f(x ＋1)的定义域。 5、已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶31 1x y x -= + ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ （5 ）y x =（6）求函数y ＝－x 2 ＋4x －1 ，x ∈[-1,3) 的值域

三、求函数的解析式 1、已知函数 2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且 2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法） 5、已知函数f(x)满足1 ()2()f x f x x -=，求函数f(x)的解析式。（消去法） 6、已知()1f x x =+，求函数f(x)的解析式。 7、已知 2 2 11()11x x f x x --=++，求函数f(x)的解析式。 8、已知2 211()f x x x x +=+，求函数f(x)的解析式。 9、已知()2()1f x f x x +-=-，求函数f(x)的解析式。 10、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ 11、函数236x y x -= +的递减区间是

1.2.1(2)函数的定义域与值域

1.2.1《函数的概念》（二）导学案 【使用说明】 1、认真阅读课本，提前预习，明确基本概念，完成课前导学与自测部分， 要求：人人参与并独立完成； 2、课堂积极讨论，大胆展示，发挥高效学习小组作用，完成合作探究部分； 3、针对学生在预习环节可能解决不了的问题，课堂上教师进行点拨指导。 【学习目标】 1、了解构成函数的三要素，会求简单函数的定义域与值域； 2、进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 【课前导学与自测】 阅读课本，理解函数、定义域与值域的概念。 1、函数定义域与值域的概念 函数的定义域是函数 的集合，给定了函数解析式，函数的定义域是 ； 函数的值域是 的集合，函数值域是函数定义中集合B 的 . 2.求函数的定义域： （1）()3+= x x f ； （2）()2 1+=x x f ； （3）()131f x x x =-++-。 （4）矩形周长为10，一边长为x ，则面积S=__________.,其定义域为__________. 归纳如下： （1）如果f （x ）是整式，那么函数的定义域是 ； （2）如果f （x ）是分式，那么函数的定义域是使 ； （3）00 ； （4）如果f （x ）为偶次根式，那么函数的定义域是使 的实数的集合； （5）如果f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使 的实数的集合； （6）如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况。

3.求函数的值域： ①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合; ②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定; ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定. eg ：求二次函数y=x 2 -5x+6(-3≤x ≤2)的值域. 注意：函数的定义域和值域要用 或 形式表示，这一点应注意。 我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决 。 【精讲点拨】 例1、已知函数()2 13+++=x x x f ; （1） 求函数的定义域；（2）求()?? ? ??-32,3f f 的值；（3）当0>a 时，求()()1,-a f a f 的值。