高等数学三元函数求极值

高等数学三元函数求极值

高等数学中，对于三元函数的求极值问题是一个重要的研究方向，它可以应用于物理、化学、经济等领域的实际问题中。

求解三元函数的极值问题，通常需要使用偏导数的概念和相关的求导法则。具体地，对于三元函数 $f(x,y,z)$，我们需要求出其在

给定条件下的极值点，即满足 $frac{partial f}{partial x}=0$，$frac{partial f}{partial y}=0$，$frac{partial f}{partial

z}=0$ 的点。

在求解三元函数的极值问题时，需要注意以下几点：

1. 确定函数的定义域。对于三元函数，其定义域通常是一个三

维空间中的区域，我们需要确定这个区域的边界条件和约束条件。

2. 求解偏导数。根据求导法则，我们可以得到三元函数的偏导

数公式，通过求解偏导数，可以得到函数在极值点处的导数为零的条件方程组。

3. 求解方程组。求解偏导数为零的条件方程组，可以得到极值

点的坐标。

4. 判断极值类型。通过二阶偏导数的符号来判断函数在极值点

处的极值类型，即是极大值还是极小值。

以上是求解三元函数在给定条件下的极值问题的基本思路和流程，需要注意的是，在具体应用中，可能会遇到一些特殊情况，需要根据具体问题进行分析和求解。

- 1 -

高等数学(3) 8.6节课后辅助材料

8.6辅助材料 一、多元函数的极值 例1 求函数y x y xy x Z 6922-++-=的极值． 解 92+-='y x f x ，62-+-='y x f y ， 令 0='='y x f f ,解得 4-=x ，1=y ，所以)1,4(-是驻点． 又求得 2=''xx f ，1-=''xy f ，2=''yy f ， 可知 032<-=-AC B ． 于是)1,4(-是极小点，且极小值为 21)1,4(-=-f ． 例2 求周长为l 的所有三角形的最大面积． 解 由秦九韶──Helen 公式，三角形面积与三边之间的关系式为 ))()((c p b p a p p s ---= （其中a ,b ,c 是三边长,p 为周长的一半） ． 由于面积的表达式带根号，因此，先求面积的平方A 的极值． 设三角形有两条边长是x 与y ，则第三边长是y x l --，因此，面积的平方A 可 表示为 )2 )(2 )( 2 (2l y x y l x l l A - +--?= ]8 )(2 2 )(2 [2 3 2 2 2 2 l y x l xy l y x l xy y x l - ++ - +- += 求得 ?? ????-++-+=??y l l y x l y xy l x A 22)(222 2 ， （1） ?? ????-++-+=??x l l y x l xy x l y A 22)(222 2 ， （2） 令 0=??=??y A x A ， 得 ??? ????=-++-+=-++-+0 x 22)(2 0y 22)(22 22 2l l y x l xy x l l y x l y xy ， 两式相减，得 0)2 )((=-+-l y x y x ，由三边不等式关系，只有y x =， 代入原方程，求得3 l y x = =．由于此实际问题的最大值一定存在, 因此当三角形是等边三角形时，面积最大，最大面积是2 36 3l ．

多元函数的极值及其求法

第十一讲 二元函数的极值 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题． 一．二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有 ),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有 极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点 )0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 例2．函数2 2 43y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2 2 43y x z +=的顶点，曲面在点 )0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ． 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为 ))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=- 是平行于xoy 坐标面的平面0z z =． 类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z

求函数极值的几种方法

求解函数极值的几种方法 1.1函数极值的定义法 说明：函数极值的定义，适用于任何函数极值的求解，但是在用起来时却比较的烦琐. 1.2导数方法 定理（充分条件）设函数()f x 在0x 处可导且0()0f x '=，如果x 取0x 的左侧的值时，()0f x '>，x 取0x 的右侧的值时，()0f x '<，那么()f x 在0x 处取得极大值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件. 例1 求函数23()(1)f x x x =-的单调区间和极值 解 23()(1)f x x x =- ()x -∞<<+∞， 3222()2(1)3(1)(1)(52)f x x x x x x x x '=-+-=--. 令 ()0f x '=，得到驻点为10x =，22 5 x = ，31x =.列表讨论如下： 表一：23()(1)f x x x =-单调性列表 说明：导数方法适用于函数()f x 在某处是可导的，但是如果函数()f x 在某处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了.用导数方法求极值的条件是：函数()f x 在某点0x 可导. 1.3 Lagrange 乘法数方法 对于问题： Min (,)z f x y = s.t (,)0x y =

如果**(,)x y 是该问题的极小值点，则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 利用这一性质求极值的方法称为Lagrange 乘法数 例2 在曲线3 1(0)y x x = >上求与原点距离最近的点. 解 我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函 数2231 ()w x y y x λ=++- 然后，令此函数对x 的导数和对y 的导数分别为零，再与原等式约束合并得 43 320201x x y y x λλ⎧+=⎪⎪ +=⎨⎪⎪=⎩ 解得 x y ⎧=⎪ ⎨= ⎪⎩ 这是唯一可能取得最值的点 因此 x y == . 说明：Lagrange 乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较简单的 :如果**(,)x y 是该问题的极小值点则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容. 1.4多元函数的极值问题 由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求n 元函数()f p 的极值可按下述步骤进行：①求出驻点，即满足grad 0()0f p =的点0p ；②在0 p

二、三元函数条件极值方法再议

二、三元函数条件极值方法再议作者：张东仓 来源：《现代职业教育》2020年第19期

[摘要] 主要针对目前高等数学教材中普遍存在的多元函数（二元、三元）条件极值问题处理的不够完整进行再次探讨，并结合举例给出佐证。从而解决了二、三元函数带有约束条件时的极值求解问题。 [关键词] 二元函数;三元函数;条件极值 [中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2020）19-0228-02 多元函数条件极值的求解，在多数高等数学教材中均有提及，而且多以二元函数为例来进行阐述，当约束条件比较简单，即容易由隐函数φ（x，y）显化为y=φ（x）时，可将其代入目标函数z=f（x，y）中（代入法），将其转化为一元函数进行极值求解;或者借助构造辅助函数，利用拉格朗日乘数法来进行求解。但是多数教材均未涉及拉格朗日乘数法得到的可能的极值点，到底是否为极值点或者到底为极大值点还是极小值点？文[1]中作者提到一个不错的方法，但是对其中提到的拉格朗日乘数法中的参数的看法，笔者认为不妥。本文主要对此提出自己的看法，另一方面，对文[1]中的方法进行拓展，得到三元函数条件极值的判别方法。 首先，文[1]中提到在求解目标函数为z=xy，约束条件为x+y=1时的极值问题时，解法一（代入法）采用了将约束条件x+y=1变形为y=l-x，即显化，再代入目标函数z=xy中，从而将目标函数转化为z=x（1-x），即一元函数求解极值，此法没有问题。但是，他在利用拉格朗日乘数法得到可能的驻点后，利用二元函数极值存在的充分条件，对函数F（x，y）=xy+λ （x+y-1）进行验证时出错，从而认为解法二错误，理由是该法中的参数λ应该为变量，而不是常数.笔者认为，在得到可能的驻点x=时F（x，y）y-1），它的图象如图1所示。 而该题目是求解图2中目标函数z=xy（曲面）与x+y=1（平面）的交线上的极值，由图1可以看出，函数F（x，x+y-1）在驻点x处确实不取得极值，由此得出目标函数z=xy在约束条件x+y=1下无极值肯定是错误的，因为它们是两个不同的极值求解问题。 其次，文[1]解法二验证中提到参数λ应该为变量，笔者认为不妥。理由一是：文[2]第69页中提到λ为某一常数、文[3]第115页中-λ，可以看出λ为某一常数且与文[4]第117页一致;二是：文[5]中第198页函數L（x，y，u，v）=f（x，y，u，v）+αg（x，y，u，v）+βh（x，y，u，v），而不是L（x，y，u，v，α，β）=f（x，y，u，v）+αg（x，y，u，）+βh（x，y，u，v），可以看出，文[1]中的拉格朗日乘数λ应该为常数;三是：有的资料显示将拉格朗日乘数均视为变量，其目的还是得到方程组中的约束条件而已，而约束条件一般都是题目中直接给出的，对辅助函数关于拉格朗日乘数求偏导意义不大。 文[1]第58页在推导zxx"的公式时，认为fxy"（x，y）=fyx"（x，y），应注意强调，一般情况下，只有它们在区域D内连续时才认为是相等的。具体见文[6]第231页定理。

拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数极值常用的方法，该方法针对某些高考中二元及三元变量最值问题，不失为一种既实用又简便的方法。 拉格朗日乘数法：求在约束条件 ,下f(x,y,z)的极值时，拉格朗日函数 L(x,y,z)= f(x,y,z)-λ μ ,可由L x =0, L y =0, L z =0, , ,解出函数可能的极值点，求出目标函数f(x,y,z)的极值。这里L x =0, L y =0, L z =0可以理解为关于x,y,z 求偏导数，λ，μ称为拉格朗日乘数。 例．已知22 3x y xy ++=，求22x y xy +-的最大值和最小值。 1.已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则1x y ++的最小值为__________． 2.若正实数 的最大值是 ． 3.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值_________. 4.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) 5.设a,b,c 为实数，且满足a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为__________ 6．已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, a 2+b 2+c 2=1,则a 的最大值为___________. 7．对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时， 345a b c -+的最小值为 .8.已知a,b [0,1],a+b=1,求 + +(1-a)(1-b)的取值范围。（若去掉条件a+b=1呢） y x ，x y +

第八节 多元函数的极值及其求法

第八节 多元函数的极值及其求法 ㈠ 本课的基本要求 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值的必要条件，了解二元函数极值的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值、最小值并会解决一些简单的应用问题 ㈡ 本课的重点、难点 二元函数的极值及条件极值为本课的重点、其应用为难点 ㈢ 教学内容 在管理科学、经济学和许多工程、科技问题中，常常需要求一个多元函数的最大值或最小值，它们统称为最值。通常我们称实际问题中出现的需要求其最值的函数为目标函数，该函数的自变量被称为决策变量。相应的问题在数学上可称为优化问题。在经济管理科学中非常重要的运筹学，主是就是讨论一些不同的数学优化问题的。数学应用于科学技术与工程等领域中，也常常体现为优化问题。本节我们只讨论与多元函数的最值 有关的最简单的优化问题。 一．多元函数的极值及最大值、最小值 1．多元函数的极值 引入 定义：设z=f(x,y)在点),(000y x p 的某个邻域内有定义，如果对于此邻域内任何异于),(000y x p 的点p(x,y)， 都有f(x,y)< ),(00y x f (或f(x,y)> ),(00y x f )成立，则称函数z=f(x,y)在点),(000y x p 取得极大值（或极小值）),(00y x f ，极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点),(00y x 称为极值点。 书上P.52.给出了三个例子，请同学们自己看。 可据点函数将该定义推广到n 元函数中去。 定理1（极值存在的必要条件） 设函数z=f(x,y)在点),(00y x 的二个偏导数存在，若),(00y x 是f(x,y)的极值点，则 0),(,0),(0000==y x f y x f y x 证：∵点),(00y x 是f(x,y)的极值点，若固定f(x,y)中的变量y 令0y y =，则z=),(00y x f 是一个一元函数，它在点0x 处有极值，由一元函数极值的必要条件知0),(00=y x f x 同理可证 0),(00=y x f y 使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点(x,y)称为函数的驻点。 同理，也可将该定理推广到多元函数的情况。 定理 2 （极值的充分条件） 设z=f(x,y)在点),(000y x p 的某个邻域内具有二阶，且点 ),(000y x p 是驻点，若记

(完整)第八节 多元函数的极值及其求法

第八节 多元函数的极值及其求法 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值. 重点：二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法，拉格朗日乘数法求最值实际问题。 难点：求最值实际问题建立模型，充分性判别法的证明。 作业：习题8－8（71P ）3,5,8,9,10 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值,最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例,先来讨论多元函数的极值问题． 一．多元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值,极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值,因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点． 例2．函数2243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点,曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ,从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零,即 0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y ． 证明 不妨设函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值，依定义,在该点的邻域上均有 ),(),(00y x f y x f <，),(),(00y x y x ≠ 成立． 特别地，取0y y =而0x x ≠的点，有000(,)(,)f x y f x y <也有成立． 这表明一元函数),(0y x f 在0x x =处取得极大值，因而必有 0),(00=y x f x ．

求极值的方法与技巧

求极值的方法与技巧 极值一般分为无条件极值和条件极值两类。 无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题； 条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。 一、求解无条件极值的常用方法 1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型 定理1(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令 f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C , 则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下： (1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值； (2) AC -B 2<0时没有极值； (3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值。 极值的求法： 第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点。 第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C 。 第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理1的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值。 应注意的几个问题： ⑴对于二元函数z =f (x , y ),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用； ⑵AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论； ⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。 例1求函数2 222() ()x y z x y e -+=+的极值。

三元函数的极值

本科生毕业论文题目：三元函数的极值及实例应用 *名：*** 学号： ************ 专业：应用数学 年级： 2010级 学院：数学与统计学院 完成日期：14年5月25日 指导教师：彭德军老师

本科生毕业论文独创性声明 本人声明所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文中没有抄袭他人研究成果和伪造数据等行为。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 论文作者签名：日期： 本科生毕业论文使用授权声明 海南师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交毕业论文的复印件和磁盘，允许毕业论文被查阅和借阅。本人授权海南师范大学可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复印手段保存、汇编毕业论文。 论文作者签名：日期： 指导教师签名：日期：

目录 引言 (1) 1 一、二元函数的极值及最值问题 (1) 1．1一元函数的极值及最值 (1) 1．2二元函数的极值及最值 (2) 1．2．1 二元函数极值的定义 (2) 1．2．2 二元函数取得极值的条件 (3) 1．2．3 求二元函数极值的一般步骤 (3) 2三元元函数的极值及应用 (4) 2．2．1 三元函数极值的定义 (2) 2．1．2 三元函数取得极值的条件 (5) 3 三元函数求解极值的步骤 ............. 错误!未定义书签。 4 求三元函数极值的例子............... 错误!未定义书签。

5 结束语 (9) 参考文献 (10) 谢辞................................. 错误!未定义书签。

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法 LT

第十一讲 二元函数的极值 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题． 一．二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(0 0y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(0 0y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(0 0y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．

例2．函数2243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(0 0y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零， 即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ． 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0 z ，那么函数所表示的曲面在点),,(0 00z y x 处的切平面方程为 ))(,())(,(0 000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=- 是平行于xoy 坐标面的平面0 z z =． 类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z 说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组⎩⎨⎧==0),(0),(0000y x f y x f y x ，求得解),(),(),,(2211n n y x y x y x ⋯⋯，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数

多元函数条件极值的几种求解方法

多元函数条件极值的几种求解方法 摘要 本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。 关键词 极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式

1前言 函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。 函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。 微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。 同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是