石家庄市精英中学数学 二次函数易错题(Word版 含答案)
石家庄市精英中学数学
二次函数易错题（Word版含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．已知，抛物线y＝-
1
2
x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A．
（1）直接填写抛物线的解析式________；
（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.
求证：MN∥y轴；
（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG ?CH 为定值.
【答案】（1）2
1
2
2
y x x
=-++；（2）见详解；（3）见详解．
【解析】
【分析】
（1）把点C、D代入y＝-
1
2
x2 +bx+c求解即可；
（2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解；
（3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】
详解：（1）∵y＝-
1
2
x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2），
∴
2
1
222
2
2
b c
c
?
-?++
?
?
?=
?
＝
,
解得：1
2b c =??=?
. ∴y=-
12
x 2
+x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2
由2
2122y kx y x x =+??
?=-++??
得
12
x 2
+（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-， x p =22p x k =-
由2
1=22y mx y x x =???-++??
得
12
x 2
+(m-1)x-2=0， ∴124b
x x a
?=-
=- 即x p?x m =-4，
∴x m =4p x -=21
k -.
由24y kx y x =+??=+?
得x N =
2
1
k -=x M , ∴MN ∥y 轴.
（3）设G （0，m ）,H （0，n ）. 设直线QG 的解析式为y kx m =+， 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+
22
m
k -∴=
∴直线QG 的解析式为22
m
y x m -=
+ 同理可求直线QH 的解析式为22
n
y x n -=
+； 由222122m y x m y x x -?=+????=-++??
得
221
=222
m x m x x -+-++ 解得：122,2x x m ==-
2D x m ∴=-
同理，2E x n =-
设直线AE 的解析式为：y=kx+4，
由2
4122y kx y x x =+???=-++??
， 得
12
x 2
-(k-1)x+2=0 124b
x x a
∴?=-
= 即x D x E =4，
即（m-2）?（n-2）=4 ∴CG?CH=（2-m ）?（2-n ）=4.
2．图①，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过点A （﹣1，0），并且与直线y ＝12
x ﹣2相交于坐标轴上的B 、C 两点，动点P 在直线BC 下方的二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝1
2
x2﹣
3
2
x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值
为4；（3）Q的坐标为（5
3
，﹣
28
9
）或（﹣
11
3
，
92
9
）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；
（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1
2
x2﹣
3
2
x﹣2），进而根据S
＝S△PHB+S△PHC＝1
2
PH?（x B﹣x C），进行计算即可求解；
（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．
【详解】
解：（1）对于直线y＝1
2
x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，即1
2
x﹣2＝0，解得：x＝4，
故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），
将点C的坐标代入上式并解得：a＝1
2
，
故抛物线的表达式为y＝1
2
x2﹣
3
2
x﹣2①；
（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，
设点P （x
，
12x 2﹣32
x ﹣2），则点H （x ，1
2x ﹣2）， S ＝S △PHB +S △PHC ＝
12PH?（x B ﹣x C ）＝12×4×（12x ﹣2﹣1
2x 2+32
x+2）＝﹣x 2+4x ， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x ＝2时，S 的最大值为4； （3）①当点Q 在BC 下方时，如图2，
延长BQ 交y 轴于点H ，过点Q 作QC ⊥BC 交x 轴于点R ，过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ， ∵∠ABQ ＝2∠ABC ，则BC 是∠ABH 的角平分线，则△RQB 为等腰三角形， 则点C 是RQ 的中点， 在△BOC 中，tan ∠OBC ＝
OC OB ＝1
2＝tan ∠ROC ＝RC BC
， 则设RC ＝x ＝QB ，则BC ＝2x ，则RB 22(2)x x 5＝BQ ， 在△QRB 中，S △RQB ＝12×QR?BC ＝12BR?QK ，即122x?2x ＝1
2
5， 解得：KQ 5
∴sin ∠RBQ ＝KQ
BQ
55x
＝45，则tanRBH ＝43，
在Rt △OBH 中，OH ＝OB?tan ∠RBH ＝4×
43＝163，则点H （0，﹣16
3
）， 由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝
4
3
（x ﹣4）②，
联立①②并解得：x＝4（舍去）或5
3
，
当x＝
5
3
时，y＝﹣
28
9
，故点Q（
5
3
，﹣
28
9
）；
②当点Q在BC上方时，
同理可得：点Q的坐标为（﹣
11
3
，
92
9
）；
综上，点Q的坐标为（
5
3
，﹣
28
9
）或（﹣
11
3
，
92
9
）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．
3．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当1
2
36
25
S
S
时，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+
2
3
E'B的最小值．
【答案】（1）抛物线y＝﹣
3
4
x2+
9
4
x+3，直线AB解析式为y＝﹣
3
4
x+3；（2）P（2，
3
2
）；（3
410
【解析】
【分析】
（1）由题意令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；
（2）根据题意由△PNM ∽△ANE ，推出
6
5
PN AN =，以此列出方程求解即可解决问题； （3）根据题意在y 轴上 取一点M 使得OM′＝
4
3
，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+
2
3E′B 的最小值． 【详解】
解：（1）∵抛物线y ＝mx 2﹣3mx+n （m≠0）与x 轴交于点C （﹣1，0）与y 轴交于点B （0，3），
则有330n m m n ???++＝＝，解得43
3m n ?
???-?＝＝，
∴抛物线239
344
y x x =-
++， 令y ＝0，得到239
344
x x -
++＝0， 解得：x ＝4或﹣1，
∴A （4，0），B （0，3），
设直线AB 解析式为y ＝kx+b ，则3
40b k b +???
＝＝，
解得33
4k b ?
-
????＝＝， ∴直线AB 解析式为y ＝3
4
-
x+3． （2）如图1中，设P （m ，239
344
m m -
++），则E （m ，0），
∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ， ∴∠PMN ＝∠AEN ， ∵∠PNM ＝∠ANE ， ∴△PNM ∽△ANE ，
∵△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，1
236 25
S
S
＝，
∴6
5
PN
AN
=，
∵NE∥OB，
∴AN AE
AB OA
=，
∴AN＝5
4
5
4
5
4
5
4
（4﹣m），
∵抛物线解析式为y＝2
39
3
44
x x
-++，
∴PN＝2
39
3
44
m m
-++﹣（
3
4
-m+3）＝
3
4
-m2+3m，
∴
2
3
36
4
55
(4)
4
m m
m
-+
=
-
，
解得m＝2或4（舍弃），
∴m＝2，
∴P（2，3
2
）．
（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝
4
3
，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．
∵OE′＝2，OM′?OB＝4
3
×3＝4，
∴OE′2＝OM′?OB，
∴OE OB
OM OE
'
=
''
，
∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴
M E OE BE OB '''='＝2
3
， ∴M′E′＝2
3BE′，
∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+2
3BE′最小（两点间线段最短，A 、M′、E′共线
时），
最小值＝AM′＝2244()3
+＝410
3
． 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM ′就是AE′+2
3
BE′的最小值，属于中考压轴题．
4．如图，抛物线()2
50y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点
C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值． （3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线
AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求
点N 的横坐标．
【答案】（1）2
65y x x =-+- （2）2t =；2（3）
5412或4或541
2
【解析】 【分析】
（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；
（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d
为
()4542
d BP sin t =??=
-，则12PBE
S
BE d =?
?
)()12442t t t =?-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值；
（3
）先求出4542
AM AB sin =??=?
=N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ
是平行四边形，得到NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角
形，求得4NH =
==；设()
2
,65N m m m -+-，则(),0G m ，
(),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况
解答即可． 【详解】
解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -
∴抛物线2
5y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，
∴250505a b an bn n +-=??--=??-=?，解得51,6n a b =-??
=-??=?
所以抛物线的解析式为2
65y x x =-+-．
()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -
∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形， ∴45,ABC ∠=
由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE
的距离()4542
d BP sin t =??=- 所以1
2
PBE
S
BE d =??
)()1244222
t t t t =??-=-；
∵二次函数()()4f t t =-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴04
22
t +=
=时，
∴()()()2242max f t f ==?-=即2t =时，PBE △的面积最大，且最大值
为
()3
由题意得4542
AM AB sin =??=?
= 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥ ∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴NQ AM ==
过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H ∵:5BC l y x =-，
∴NQH 为等腰直角三角形，
∴4,NH =
==
设()
2
,65N m m m -+-， 则(),0G m ，(),5H m m -，
①点N 在x 轴上方时，此时()()2
655,NH m m m =-+---
∴()
()2
6554m m m -+---=，即()()140,m m --=
解得1m =（舍，因为此时点N 与点A 重合）或4m =；
②点N 在x 轴下方且5m >时，此时()()2
565,NH m m m =---+- ∴()(
)
2
5654m m m ---+-=，即2
540,m m --=
解得552m -=
<（舍）或52
m =
③点N 在x 轴下方且1m <时，此时()()2
565,NH m m m =---+-
∴()(
)
2
5654m m m ---+-=，即2
540,m m --=解得m =
或m =（舍）
综上所述，54,2m m +==
，52
m =符合题意，
即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形， 点N 的横坐标为
541-或4或541
+．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键
5．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为
()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ?的面积的最大值;
(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明
理由．
【答案】（1）21233y x x =-
++；（2）当9
2n =时，PBA S ?最大值为818
；（3）存在，
Q 点坐标为((0,-或，理由见解析
【解析】 【分析】
(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；
(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 2
1,233
n n n ?
?-++ ??
?
求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值.
(3) 求点D 的坐标，设D 21,233t t t ??-++
???
,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使
60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对
的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点. 【详解】
解：()1抛物线顶点为()3,6
∴可设抛物线解析式为()2
36y a x =-+
将()0,3B 代入()2
36y a x =-+得
396a =+ 1
3
a ∴=-
∴抛物线()2
1363y x =-
-+，即21233
y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，
PBA BPO PAO ABO S S S S ????=+-
设P 点坐标为2
1,233
n n n ??-++ ??
?
1133222
BPO x S BO P n n ?=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ???
=
=-++=-++ ???
11933222
ABO S OA BO ?=
=??=
2
2231
99191981322
2222228PBA
S n n n n n n ?????=+-++-=-+=--+ ? ????? ∴当9
2n =
时，PBA S ?最大值为818
()3存在，设点D 的坐标为2
1
,233
t t t ??-++ ??
?
过D 作对称轴的垂线，垂足为G , 则2
13,6233
DG t CG t t ??=-=--++ ???
30ACD ∠=
2DG DC ∴=
在Rt CGD ?中有
222243CG CD DG DG DG DG =+=-=
)21336233t t t ??
-=--++ ???
化简得(1
133303t t ??---= ???
13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+
3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ?中
229276AD AG GD ++=
6,120AD AC CAD ∴==∠=
Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上
此时1
602
CQD CAD ∠=
∠=
设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径
则AQ 2=OQ 2+OA 2, 62=m 2+32
即2936m +=
∴1233,33m m ==-
综上所述，Q 点坐标为()()
0,330,33-或 故存在点Q ，且这样的点有两个点.
【点睛】
(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便； (2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.
(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.
6．如图，顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ⊥y 轴交抛物线于另一点D ，作DE ⊥x 轴，垂足为点E ，双曲线y =6
x
(x ＞0)经过点D ，连接MD ，BD ． （1）求抛物线的表达式；
（2）点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标；
（3）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，∠BPD 的度数最大？
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(5
7
，0)，F(0，
5
3
)；（3）t=9﹣15
【解析】
【分析】
（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；
（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；
（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】
解；（1）C(0，3)
∵CD⊥y，
∴D点纵坐标是3．
∵D在y=6
x
上，
∴D(2，3)，
将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，
∴a=﹣1，b=2，
∴y=﹣x2+2x+3；
（2）M(1，4)，B(3，0)，
作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，
则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，
∴M'D'直线的解析式为y=﹣
7
3
x+
5
3
，
∴N(
5
7
，0)，F(0，
5
3
)；
（3）设P(0，t)．
∵△PBO和△CDP都是直角三角形，
tan∠CDP=
3
2
t-
，tan∠PBO=
3
t
，
令y=tan∠BPD=
3
23
3
1
23
t t
t t
-
+
-
-
，
∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，
△=﹣15y2+30y+1=0时，
y=
1515
15
-+
-
舍)或y=
1515
15
+
，
∴t=
3
2
﹣
1
2
×
1
y
，
∴t=9﹣215，
∴P(0，9﹣215)．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
7．如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．
①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；
②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，9
4
；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2)
【解析】
【分析】
（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）①根据PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣3
2
）2+
9
4
即可求解；
②分PM＝PC、PM＝MC两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：
930
3
b c
c
++=
?
?
=-
?
，
解得：
3
2 c
b
=-
?
?
=-
?
，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设：点M （x ，x ﹣3），则点P （x ，x 2﹣2x ﹣3）， ①有，理由：PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+94
， ∵﹣1＜0，故PM 有最大值，当x ＝32时，PM 最大值为：9
4
； ②存在，理由：
PM 2＝（x ﹣3﹣x 2+2x+3）2＝（﹣x 2+3x ）2； PC 2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2； MC 2＝（x ﹣3+3）2+x 2；
（Ⅰ）当PM ＝PC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2， 解得：x ＝0或2（舍去0）， 故x ＝2，故点P （2，﹣3）；
（Ⅱ）当PM ＝MC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝（x ﹣3+3）2+x 2， 解得：x ＝0或3±2（舍去0和3+2）， 故x ＝3﹣2，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣42， 故点P （3﹣2，2﹣42）．
综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3﹣2，2﹣42)． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．
8．如图，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠与坐标轴的交点为()30A -,
，()10B ,，()0,3C -，抛物线的顶点为D ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若E 为第二象限内一点，且四边形ACBE 为平行四边形，求直线CE 的解析式． （3）P 为抛物线上一动点，当PAB ?的面积是ABD ?的面积的3倍时，求点P 的坐标．
【答案】（1）2
23y x x =+-；（2）33y x =--；（3）点P 的坐标为()5,12-或
()3,12．
【解析】 【分析】
（1）本题考查二次函数解析式的求法，可利用待定系数法，将点带入求解；
（2）本题考查二次函数平行四边形存在性问题，可根据题干信息结合平行四边形性质确定动点位置，进一步利用待定系数法求解一次函数解析式；
（3）本题考查二次函数与三角形面积问题，可先根据题干面积关系假设动点坐标，继而带入二次函数，列方程求解．
【详解】
（1）∵抛物线2
y ax bx c
=++与坐标轴的交点为()
30
A-,，()
10
B,，()
0,3
C-，
∴
930
3
a b c
a b c
c
-+=
?
?
++=
?
?=-
?
，解得
1
2
3
a
b
c
=
?
?
=
?
?=-
?
∴抛物线的解析式为223
y x x
=+-．
（2）如图，过点E作EH x
⊥轴于点H，
则由平行四边形的对称性可知1
AH OB
==，3
EH OC
==．
∵3
OA=，∴2
OH=，∴点E的坐标为()
2,3
-．
∵点C的坐标为()
0,3
-，
∴设直线CE的解析式为()
30
y kx k
=-<
将点()
2,3
E-代入，得233
k
--=，解得3
k=-，
∴直线CE的解析式为33
y x
=--．
（3）∵22
23(1)4
y x x x
=+-=+-，
∴抛物线的顶点为()
1,4
D--．
∵PAB
?的面积是ABD
?的面积的3倍，
∴设点P为()
,12
t．
将点()
,12
P t代入抛物线的解析式223
y x x
=+-中，
得22312
t t
+-=，解得3
t=或5
t=-，
故点P的坐标为()
5,12
-或()
3,12．
【点睛】
本题考查二次函数与几何的综合，利用待定系数法求解解析式时还可以假设交点式，几何图形存在性问题求解往往需要利用其性质，假设动点坐标，列方程求解．
9．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两
二次函数易错题、重点题型汇总
二次函数易错题、重点题型汇总 一、选择题 1、若二次函数52 ++=bx x y 配方后为k x y +-=2 )2(则b 、k 的值分别为（ ） A 0．5 B 0．1 C —4．5 D —4．1 2、在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋2x 与坐标轴的交点的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 3、根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax 2+bx+c -0.6 -0. 2 0. 3 0.9 判断方程ax 2+bx+c-0.4=0（a ≠0,a 、b 、c 为常数）一个解的范围是（ ） Ａ．3＜x ＜3.23 Ｂ．3.23＜x ＜3.24 Ｃ．3.24＜x ＜3.25 Ｄ．3.25＜x ＜3.26 4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 2 5、把抛物线y=2x 2 －4x －5绕顶点旋转180o，得到的新抛物线的解析式是（ ） A ．y= －2x 2 －4x －5 B ．y=－2x 2+4x+5 C ．y=－2x 2+4x －9 D ．以上都不对 6、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a －b+c>0；③abc<0； ④2a+b=0．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、函数y=x 2 -2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ） A ．31≤≤-x B ．31<<-x C ．31>-
中考数学二次函数-经典压轴题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113 +113 + 3）点Q的坐 标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式； （2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1 2 CD＝CE．利 用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标； （3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛 物线的解析式联立，得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ，求解即可得出点Q的坐标． 【详解】 （1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），
中考数学二次函数经典易错题解析
中考数学二次函数经典易错题解析 篇一：2019年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析 2019年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析 1． 如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按 1 照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y??x2?bx?c表示，且抛物线上的 617 点c到oB的水平距离为3m，到地面oA的距离为m。 2 （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面oA的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双 向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果 灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？2．
已知如图1，在以o为原点的平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与 14 x轴交于A,B两点，与y轴交于点c，连接Ac，Ao＝2co，直线l 过点G（0，t）且平行于x轴，t＜1．（1）求抛物线对应的二次函数的解析式； （2）①若D（4，m）为抛物线y＝x2＋bx＋c上一定点，点D到直线l的 距离记为d，当d＝Do时，求t的值； ②若为抛物线y＝x2＋bx＋c上一动点，点D到①中的直线l的距离与 14 14 oD的长是否恒相等，说明理由； （3）如图2，若E,F为上述抛物线上的两个动点，且EF＝8，线段EF的中点 为m，求点m纵坐标的最小值． 图1图2 3.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作Pc⊥x 轴于点D，交抛物线于点c．（1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段Pc的长
初三《二次函数》经典习题 汇编(易错题、难题)
二次函数习题讲解 一、二次函数的相关概念 1．若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为（ ） A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0，2或－2 2．当或（）时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 。3．已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于 ________。 二、二次函数的顶点问题 1．若抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围为________。 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为，则下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 三、二次函数的对称轴问题 1．已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是 ________。 3．已知二次函数，当时，随的增大而增大，而的取值范围是（ ）A． B． C． D． 四、二次函数的图象共存问题 1．在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是 （ ）
A B C D 2．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系 内的图象大致为（ ）
A B C D 五、二次函数的图象综合问题 1．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为。下列结论中，正确的是 （ ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
①；②；③；④。其中，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知二次函数的图象如图所示，下列4个结论： ①；②；③；④；⑤（为不等于1的任意实数）。 其中正确的结论有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④。 其中正确的有________。 5．二次函数（是常数，且）图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示。对于下列说法：
初三《二次函数》经典习题汇编(易错题、难题)
《 二次函数 》经典习题汇编 模块一：二次函数的相关概念 1．（2014山东东营，9）若函数21(2)12 y mx m x m =++++的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为（ ） A ．0 B ．0或2 C ．2或－2 D ．0，2或－2 2．（2015江苏宿迁，16）当x m =或x n =（m n ≠）时，代数式223x x -+的值相等，则x m n =+时，代数 式223x x -+的值为 。 3．（2013江苏南通，18）已知22x m n =++和2x m n =+时，多项式2 46x x ++的值相等，且20m n -+≠，则当3(1)x m n =++时，多项式246x x ++的值等于________。 模块二：二次函数的顶点问题 1．（2015湖南益阳，8改编）若抛物线2()(1)y x m m =+++的顶点在第一象限，则m 的取值范围为________。 2．(2013吉林，6)如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为22()y x h k =--+，则下列结论正确的是（ ） A ．0h >，0k > B ．0h <，0k > C ．0h <，0k < D ．0h >，0k < 模块三：二次函数的对称轴问题 1．（2014福建三明，10）已知二次函数2 2y x bx c =-++，当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是（ ） A ．1b ≥- B ．1b ≤- C ．1b ≥ D ．1b ≤ 2．（2013贵州贵阳，15）已知二次函数222y x mx =++，当2x >时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________。 3．（2015江苏常州，7）已知二次函数2(1)1y x m x =+-+，当1x >时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是（ ） A ．1m =- B ．3m = C ．1m ≤- D ．1m ≥- 模块四：二次函数的图象共存问题 1．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（ ）
九年级数学 二次函数易错题(Word版 含答案)
九年级数学 二次函数易错题（Word 版 含答案） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线()2 1y x a x a =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴的负半轴交于点C ． ()1求点B 的坐标． ()2若ABC 的面积为6． ①求这条抛物线相应的函数解析式． ②在拋物线上是否存在一点,P 使得POB CBO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（1，0）；（2）①2 23y x x =+-；②存在，点P 的坐标为 1133313++??或53715337-+-?? ． 【解析】 【分析】 （1）直接令0y =，即可求出点B 的坐标； （2）①令x=0，求出点C 坐标为（0，a ），再由△ABC 的面积得到1 2 (1?a)?(?a)＝6即可求a 的值，即可得到解析式； ②当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y=3x ，则直线与抛物线的交点为P ；当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y=-3x ，则直线与抛物线的交点为P ；分别求出点P 的坐标即可． 【详解】 解：()1当0y =时，()2 10,x a x a -++= 解得121,.x x a == 点A 位于点B 的左侧，与y 轴的负半轴交于点,C
0,a ∴< ∴点B 坐标为()1,0． ()2①由()1可得，点A 的坐标为(),0a ，点C 的坐标为()0,,0,a a < 1,AB a OC a ∴=-=- ABC 的面积为6, ()()1 16,2a a ∴ --?= 123,4a a ∴=-=． 0,a < 3a ∴=- 22 3.y x x =+- ②点B 的坐标为()1,0,点C 的坐标为()0,3-， ∴设直线BC 的解析式为3,y kx =- 则03,k =- 3k ∴=． ,POB CBO ∠=∠ ∴当点P 在x 轴上方时，直线//OP 直线,BC ∴直线OP 的函数解析式3,y x =为 则2 3, 23,y x y x x =?? =+-? 1112x y ?=??∴??=??(舍去) ，2212x y ?+=????=??∴点的P 坐标为1322??+ ? ??? ； 当点P 在x 轴下方时，直线'OP 与直线OP 关于x 轴对称， 则直线'OP 的函数解析式为3,y x =- 则2 3,23,y x y x x =-??=+-? 1152x y ?-=??∴??=??舍去) ，2252x y ?-=????=??
《二次函数》易错题试卷及标准标准答案
浙教版数学九年级上《二次函数》单元测试卷 （时间：60分钟 分值：100分 出卷人：历山中学 景祝君 班级：_________ 姓名：_________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）2 2x y -=；（2）2 x x y -=；（3）3)1(22 +-=x y ； （4）332 --=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】二次函数的一般式为c bx ax y ++=2 （0≠a ），4个均为二次函数，故选D. 【易错点】本题考查二次函数的定义和一般式，属容易题，但学生对二次函数解析式的常见形式把握不够，还是出现把（3）不当二次函数来处理.. 2、若3 2 )2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B. 5 C. — 5 D.0 【答案】C 【解析】二次函数的“二次”体现为自变量的最高次数为2次，因此32 -m =2，且2-m 0≠， 故选C. 【易错点】考查二次函数的定义，属容易题，学生容易得出32 -m =2，但会忽略2-m 0≠， 说明对二次函数的“二次”定义理解不透彻. 3、把抛物线2 3x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32 -+=x y B. 2)3(32 ++=x y C. 2)3(32 --=x y D. 2)3(32 +-=x y 【答案】D 【解析】由二次函数的平移规律即可得出答案，故选D. 【易错点】考查二次函数的平移规律，属容易题，但学生过分强调死记硬背，不数形结合，
二次函数易错题汇编附答案
二次函数易错题汇编附答案 一、选择题 1．若二次函数y ＝x 2﹣2x+2在自变量x 满足m≤x≤m+1时的最小值为6，则m 的值为（ ） A ．5,5,15,12-+- B ．5,51-+ C ．1 D ．5,15-- 【答案】B 【解析】 【分析】 由抛物线解析式确定出其对称轴为x=1，分m ＞1或m+1＜1两种情况，分别确定出其最小值，由最小值为6，则可得到关于m 的方程，可求得m 的值． 【详解】 ∵y ＝x 2﹣2x+2＝（x ﹣1）2+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝1， 当m ＞1时，可知当自变量x 满足m≤x≤m+1时，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝m 时，y 有最小值， ∴m 2﹣2m+2＝6，解得m ＝1+5或m ＝1﹣5（舍去）， 当m+1＜1时，可知当自变量x 满足m≤x≤m+1时，y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝m+1时，y 有最小值， ∴（m+1）2﹣2（m+1）+2＝6，解得m ＝5（舍去）或m ＝﹣5， 综上可知m 的值为1+5或﹣5． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，用m 表示出其最小值是解题的关键． 2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc ＜0；②2a +b ＝0；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定解答．
初中数学二次函数易错题汇编及答案
初中数学二次函数易错题汇编及答案 一、选择题 1．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确； 根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：-2b a =3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确； 根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确. 点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论. 2．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】
人教备战中考数学易错题专题复习-二次函数练习题及答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． 设每个房间每天的定价增加x 元．求： （1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式； （3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）y=60-10 x ；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房 间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元． 【解析】 试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10； （2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量； （3）支出费用为20×（60﹣10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10 x ），利用配方法化简可求最大值． 试题解析：解：（1）由题意得： y =60﹣ 10 x （2）p =（200+x ）（60﹣ 10x ）=﹣ 2 110x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10 x ） =﹣2 110 x +42x +10800 =﹣ 1 10 （x ﹣210）2+15210 当x =210时，w 有最大值． 此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元． 点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．
二次函数易错题汇编含答案
二次函数易错题汇编含答案 一、选择题 1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①； 0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①②③ C ． ①③④ D ． ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以 0a b c -+>；由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为 23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
(易错题精选)初中数学二次函数知识点总复习
（易错题精选）初中数学二次函数知识点总复习 一、选择题 1．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点为(﹣1，3)，与x 轴的交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( ) ①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m ＜n ； ②c ＝a+3； ③a+b+c ＜0； ④方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【解析】 试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误； 由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确； 由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a =-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确； 由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确． 故选C ． 考点：二次函数的图像与性质 2．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）
二次函数中考真题汇编[解析版]
二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式： （2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 y x2x3 =-++；3 y x =-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3） 【解析】 【分析】 （1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论； （2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论； （3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】 解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得 930 10 b c b c -++= ? ? --+= ? ， ∴ 2 3 b c = ? ? = ? ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴点C的坐标是（0，3）， 把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得1 1 30 3 k b b += ? ? = ? ， ∴ 1 1 3 k b =- ? ? = ? ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；
徐州数学 二次函数专题练习(解析版)
徐州数学 二次函数专题练习（解析版） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ． （1）求抛物线L 的对称轴． （2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式． （3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2x =；（2）2 122 y x x =- + ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2? ?- ?? ? 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线的对称轴公式计算即可． （2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题． （3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可． 【详解】 解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣42a a -＝2． （2）如图1中，
对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4， ∴A(4，0)， ∵四边形OMAM′是正方形， ∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2， ∴M((2，﹣2)，M′(2，2) 把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax， 可得﹣2＝4a﹣8a， ∴a＝1 2 ， ∴抛物线L′的解析式为y＝﹣1 2(x﹣2)2+2＝﹣ 1 2 x2+2x． （3）如图3中，由题意OD＝2． 当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，1 2 m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣ 1 2 (m﹣ 2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣1 2 (m+2)2+2(m+2)]， ∵PQ∥OD， ∴1 2m2﹣2m＝﹣ 1 2 (m﹣2)2+2(m﹣2)或 1 2 m2﹣2m＝﹣ 1 2 (m+2)2+2(m+2)，
二次函数重点知识易错题精选
二次函数重点知识易错题精选 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、 若一 元 二次方程02 =++c bx ax 有两个实数根，则抛物线c bx ax y ++=2 与 x 轴（ ） A. 有两个交点 B.只有一个交点 C. 至少有一个交点 D.至多有一个交点 2、下列表格给出的是二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的几组对应值，那么方程 02=++c bx ax 的一个近似解可以是（ ） A ．3.25 B ．3.35 C ．3.45 D ．3.55 3、如图所示，在Rt △ABO 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，设直线x=t 截此三角形所得的阴影部分面积为S ，则S 与t 的函数关系图象为下列选项中的（ ） A. B. C. D. 4、关于x 的一元二次方程02 =++q px x 的两根互为倒数，则p ，q 应满足的条件为（ ） 1.=q A 1.=p B 041.2 >-=p q C 且 041.2 ≥-=p q D 且 5、已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ） 0.>abc A 0.=+b a B 02.<+c a C b c a D 24.>+ 6、若二次函数1)(2--=m x y ，当1≤x ，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） 1.=m A 1.>m B 1.≥m C D.1≤m 一、填空题（每小题6分，共24分） 7、二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的部分图像如图所示，由图像 可知不等式02 >++c bx ax 的解是 . x 3.3 3.4 3.5 3.6 y -0.06 -0.02 0.03 0.09
九年级 二次函数综合测试卷(word含答案)
九年级二次函数综合测试卷（word含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x ﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值； （3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值 为4；（3）Q的坐标为（5 3 ，﹣ 28 9 ）或（﹣ 11 3 ， 92 9 ）． 【解析】 【分析】 （1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解； （2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2），进而根据S ＝S△PHB+S△PHC＝1 2 PH?（x B﹣x C），进行计算即可求解； （3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解． 【详解】 解：（1）对于直线y＝1 2 x﹣2， 令x＝0，则y＝﹣2， 令y＝0，即1 2 x﹣2＝0，解得：x＝4， 故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4）， 将点C的坐标代入上式并解得：a＝1 2 ，
故抛物线的表达式为y＝ 1 2 x2 ﹣ 3 2 x﹣2①； （2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H， 设点P（x， 1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2），则点H（x， 1 2 x﹣2）， S＝S△PHB+S△PHC＝ 1 2 PH?（x B﹣x C）＝ 1 2 ×4×（ 1 2 x﹣2﹣ 1 2 x2+ 3 2 x+2）＝﹣x2+4x， ∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4； （3）①当点Q在BC下方时，如图2， 延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形， 则点C是RQ的中点， 在△BOC中，tan∠OBC＝ OC OB ＝ 1 2 ＝tan∠ROC＝ RC BC ， 则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22 (2) x x 5＝BQ， 在△QRB中，S△RQB＝ 1 2 ×QR?BC＝ 1 2 BR?QK，即 1 2 2x?2x＝ 1 2 5， 解得：KQ 5 ∴sin∠RBQ＝ KQ BQ 5 5x ＝ 4 5 ，则tanRBH＝ 4 3 ，
二次函数易错题以及分析
一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）22x y -=；（2）2x x y -=；（3）3)1(22+-=x y ； （4）332--=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、若32)2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B.5 C. —5 D.0 3、把抛物线23x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32-+=x y B. 2)3(32++=x y C. 2)3(32--=x y D. 2)3(32+-=x y 4、下列二次函数的图象与x 轴没有交点的是（ ） A. x x y 932+= B. 322--=x x y C. 442-+-=x x y D. 5422++=x x y 5、已知点（-1，1y ），（2,21 3y -），（2 1，3y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ） A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 132y y y >> D. 213y y y >> 6、已知抛物线c bx ax y ++=2 经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000><
二次函数易错题(精华)
(时间: 、选择题(每小题4分，共40分) 1 .下列各式中，y 是x 的二次函数的是 2 A . y = ax + bx + c B . 2?下列关于二次函数 其中正确的有( ) A . 1个 2 抛物线y = (x + 2) A .先向左平移 B .先向左平移 C .先向右平移 D .先向右平移 3 . 4. 周测二次函数 45分钟满分：120分)姓名: ( ) 2 2 2 x — y + 2= 0 C . y = x -(x-1) 班级: y 2— 4x = 3 二、填空题(每小题4分，共24分) 11. 若抛物线y = a(x — 1)2+ k 上(3,5),则点A 关于对称轴对称的点 B 的坐标 ___________ . 12. ___________________________________________________________________________ 关于x 的二次函数2x-1与x 轴有公共点，则实数k 的取值范围： _____________________________________________ . 14. _____________ 当m = 时，二次函数y = mx 2+ 6x+5m 有最小值为4. 1 1 15. 如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y= ?x 2经过平移得到抛物线 y= 2 x 2-2x 与两段抛物线所围成的阴影 y =— 2y 2图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是 y 轴；④顶点(0, 0). 在平面直角坐标系中，抛物线 A . B . 2个 C . 3个 D . 4个 —3可以由抛物线y = x 2平移得到，则下列平移过程正确的是 ( ) 2个单位，再向上平移 2个单位，再向下平移 2个单位，再向下平移 2个单位，再向上平移 y = x — 1 3个单位 3个单位 3个单位 3个单位 与坐标轴的交点的个数是 C . 1 3 B . 2 y = ~x 2 + 1与y = |x 2 + 2的图象的不同之处是( ) 次函数y = (x 其图象构成一 0, a = 1, a = 2 上，这条直线 (共56分) —2a)2 + (a — 1)(a 为常 个“抛物线系”.如图分时二次函数的图象.它们 析 式 是 函数 5. ) 7. 8. 则下列判断中正确的是( A .抛物线开口向上 C .当 x = 4 时，y >0 已知二次函数 y = -3(x+1)2+ k 的图象上有 A(0 , y 1), B(1 ,汕,C(2, y 3)三个点，则y 1, y 2, y 3的大小关系是( A . y 1>y 2>y 3 B . y 2>y 1>y 3 C . y 3>y 1>y 2 D . y 3>y 2>y 1 同一坐标系中， B .抛物线与y 轴交于负半轴 D .方程ax 2 + bx + c = 0的正根在3与4之间 17. (12分)二次函数y = ax 2 + bx + c(a ^ 0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1) 方程ax 2 + bx + c = 0的两个根为 _____________ ； (2) __________________________________ 不等式ax 2 + bx + c>0的解集为 ； (3) y 随x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为 ； ⑷若方程ax 2 + bx + c = k 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 _________ 18. (10分)如图，一次函数 y 1= kx + b 与二次函数y ?= ax 2的图象交于 A 、B 两点. (1)利用图中条件，求两个函数的解析式； ⑵根据图象写出使y 1>y 2的x 的取值范围. 9. y i . 佃.(10分)已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2 , 0)、( X 1 , 0), X 1 V 2，与y 轴的正半轴的交点在(0, 2)的下方.试判断：①4a-2b+c :②a-b ； 2a+c ;④2a-b+1的符号. 20. (12 分)如图，L:y=- 1 2 (x-t)(x-t+4)(常数t>0)与x 轴从左到右的交点为 B , 线段OA 的中点M 作 MP 丄x 轴，交双曲线 y=k/x(k>0 , x>0)于点 P ，且 OA- MP=12。 (2, 4),且过另一点(0, — 4),则这个二次函数的解析式为 ( ) B . y =— 2(x — 2)2+ 4 D . y = 2(x — 2)2 — 4 一个二次函数的图象的顶点坐标是 2 A . y =— 2(x + 2) + 4 2 C . y = 2(x + 2) — 4 10 .如图是抛物线 y i = ax 2 + bx + c(a ^ 0)图象的一部分.抛物线的顶点坐标是 A(1 , 3)，与x 轴的一个交点是 B(4 , 0).直线y 2= mx + n(m 丰0)与抛物线交于 A 、B 两点.下列结论：① 2a + b ③方程ax 2 + bx + c = 3有两个相等的实数根； ④抛物线与x 轴的另一个交点是(— 1 最新人教版中考数学易错题汇总 1．如图，能判定 AB ∥CD 的条件是（ ） A ．∠1=∠2 B ．∠1+∠2= 180° C ．∠3=∠4 D ．∠3+∠1=180° 2．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．（a+3）（a-3）=a 2-9； B ．x 2+x-5=（x-2）（x+3）+1； C ．a 2b+ab 2=ab （a+b ） D ．x 2+1=x （x+x 1 ） 3．用科学记数方法表示0000907.0，得（ ） A ．41007.9-? B ．51007.9-? C ．6107.90-? D ．7107.90-? 4．小马虎在下面的计算中只做对了一道题，则他做对的题目是 （ ） A ．222)(b a b a -=- B ．6234)2(a a =- C ．5232a a a =+ D ．1)1(--=--a a 5．方程x 3＝22 -x 的解的情况是（ ） A ．2=x B ．6=x C ．6-=x D ．无解 6．已知235x x ++的值为 3，则代数式2391x x +-的值为（ ） A ．-9 B ．-7 C ．0 D ．3 7．下列事件中，届于不确定事件的是（ ） A ．2008年奥运会在北京举行 B ．太阳从西边升起 C ．在1，2，3，4中任取一个教比 5大 D ．打开数学书就翻到第10页 8．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．5cm,3cm,1cm B ．6cm,4cm,2cm C ． 8cm, 5cm, 3cm D ． 9cm,6cm,4cm 9．在下面四个图形中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（ ） 初中数学二次函数易错题汇编及解析 一、选择题 1．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表： 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线92 t ；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：由题意，抛物线的解析式为y =ax （x ﹣9），把（1，8）代入可得a =﹣1， ∴y =﹣t 2+9t =﹣（t ﹣4.5）2+20.25， ∴足球距离地面的最大高度为20.25m ，故①错误， ∴抛物线的对称轴t =4.5，故②正确， ∵t =9时，y =0，∴足球被踢出9s 时落地，故③正确， ∵t =1.5时，y =11.25，故④错误，∴正确的有②③， 故选B ． 2．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为 2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 故答案选：D ． 【点睛】 本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号． 3．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≥ B ．0m ≤ C ．01m ≤≤ D ．m 1≥或0m ≤ 【答案】C 【解析】 【分析】 找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知. 【详解】 解：如图1所示，当t 等于0时， ∵2 (1)4y x =--， ∴顶点坐标为(1,4)-， 当0x =时，3y =-， ∴(0,3)A -， 当4x =时，5y =， ∴(4,5)C ，最新人教版中考数学易错题汇总
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