数学公理化方法的意义和作用

数学公理化方法的意义和作用

2008-9-27 16:06:49

——摘自《徐利治谈数学哲学》

公理化方法在近代数学的发展中起过巨大的作用，可以说，它对各门现代数学都有极其深刻的影响．即使在数学教学中，公理化方法也是一个十分重要的方法．

所谓公理化方法(或公理方法)，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一门数学理论构造成为演绎系统的一种方法．所谓基本概念和公理，当然必须反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关系而并非人们自由意志的随意创造．

众所周知，Hilbert l899年出版的《几何学基础》一书是近代数学公理化的典范著作．该书在问世后的二三十年间曾引起西方数学界的一阵公理热，足见其影响之大．Hilbert的几何公理系统实际上是在前人的一一系列工作成果基础上总结出来的，书中的公理条目也曾屡经修改．直到1930年出第七版时，还作了最后修改．这说明一门学科的公理化未必是一次完成的，公理化过程是可以包含着一些发展阶段的．

谈到数学公理化的作用，至少可以举出如下四点：

(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用．凡取得了公理化结构形式的数学，由于定理与命题均已按逻辑演绎关系串联起来，故使用起来也较方便．

(2)公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创

(3)数学公理化方法在科学方法论上有示范作用．这种方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用．例如，20世纪40年代波兰的Banach曾完成了理论力学的公理化，而物理学家亦把相对论表述为公理化形式……

(4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和结构的和谐性确实符合美学上的要求，因而为数学活动中贯彻审美原则提供了范例

数学公理化方法

2007-09-19 23:30

§2 数学公理化方法

公理化方法在近代数学的发展中起过巨大的作用，它对于各门现代数学都有极其深刻的影响．公理化方法是数学研究的一种基本方法，即使在数学教学中，也是一个十分重要的方法．

一、公理化方法的意义和作用

所谓公理化方法，就是由尽可能少的不加定义的原始概念(基本概念)和一组不加证明的原始命题(公理或公设)出发，运用逻辑规则推导出其余命题或定理，把一门数学建立成为演绎系统的一种方法．

公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会科学部门，并在其中起着重要作用．

1．数学公理化方法具有分析、总结数学知识的作用．当一门科学积累了相当丰富的经验知识，需要按照逻辑顺序加以综合整理，使之条理化、系统化，上升到理性认识的时候，公理化方法便是一种有效的手段．如近代数学中的群论，便经历了一个公理化的过程．当人们分别研究了许多具体的群结构以后，发现了它们具有基本的共同属性，就用一个满足一定条件的公理集合来定义群，形成一个群的公理系统，并在这个系统上展开群的理论，推导出一系列定理．

2．公理化方法作为数学研究的一个基本方法，不但对建立科学理论体系，训练人的逻辑推理能力，系统地传授科学知识，以及推广科学理论的应用等方面起到有益的作用，而且对于进一步发展科学理论也有独特的作用．例如在代数方面，由于公理化方法的应用，在群论、域论、理想论等理论部门形成了一系列新的概念，建立了一系列新的联系并导致了一系列深远的结果；在几何方面，由于对平行公设的研究导致了非欧几何的创立．因此，公理化方法也是在理论上探索事物发展规律，作出新的发现和预见的一种重要方法．

3．公理化方法本身又成为科学研究的对象．介乎于逻辑学和数学之间的边缘学科——数理逻辑，用数学方法研究思维过程中的逻辑规律，也系统地研究数学中的逻辑方法．因此，数学中的公理方法是数理逻辑所研究的一个重要内容．由于数理逻辑是用数学方法研究推理过程的，它对公理化方法进行研究，一方面使公理化方法向着更加形式化和精确化的方向发展，一方面把人的某些思维形式，特别是逻辑推理形式加以公理化，符号化．这种研究使数学工作者增进了使用逻辑方法的自觉性．

4．数学公理化方法在科学方法论上具有示范作用．任何一门科学都不仅仅是搜集资料，也决不是一大堆事实及材料的简单积累，而都是有其自身的出发点和符合一定规则的逻辑体系．公理化方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用．例如牛顿在他的《自然哲学的数学原理》巨著中，系统地运用公理化方法表述了经典力学理论体系；本世纪40年代波兰的巴拿赫完成了理论力学的公理化；爱因斯坦运用公理化方法创立了相对论理论体系．狭义相对论的出发点是两个基本假设：相对性原理和光速不变原理．爱因斯坦以此为前提，逻辑地演绎出四个推论：“尺缩效应”、“钟慢效应”、“质量增大效应”和“关系式”．这些就是爱因斯坦运用公理化方法，创立的狭义相对论完整理论体系的精髓．

二、公理化方法的产生和发展

公理化方法主要是从数学(主要是几何学)和逻辑学的发展中产生的．一般认为公理化方法的历史发展大致可划分为产生、完善和形式化三个阶段．

1．公理化方法的产生．

公理化方法发展的第一阶段是由亚里斯多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统．

亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出14个基本命题，其中有5个公设和9条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑．

公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性质和关系，由初始概念表示．例如欧氏《几何原本》中只需取“点”、“直线”、“平面”；“在……之上”、“在……之间”、“叠合”作为初始概念．前三个概念所表示的三类对象和后三个概念所表示的三种关系就是这种几何的论域．按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，称为实质公理学．这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性．因此，欧氏《几何原本》就是实质公理学的典范．

2．公理化方法的发展．

《几何原本》虽然开创了数学公理化方法的先河，然而它的公理系统还有许多不够完善的地方，其主要表现在以下几个方面：(1)有些定义使用了一些还未确定涵义的概念；(2)有些定义是多余的；(3)有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理来证明或代替．这些问题成为后来许多数学家研究的课题，并通过这些问题的研究，使公理化方法不断完善，并促进了数学科学的发展．

第五公设(即平行公设)内容复杂，陈述累赘，缺乏象其它公设和公理那样的说服力，并不自明．因此，它能否正确地反映空间形式的性质，引起了古代学者们的怀疑．从古希腊时代到公元18世纪，人们通过不同的途径和方法对这一问题进行了大量的研究工作，其中萨克里( Saccheri，1667—1733)和兰勃特

( Lambert，1728-1777)等人考虑了两个可能的与平行公设相反的假设，试图证明出平行公设，但是他们的努力均归于失败．然而，在这些失败中却引出了一串与第五公设相等价的新命题和定理，即非欧几何的公理和定理，它预示了一种新的几何体系可能产生．

19世纪年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基

(Лобачевский1792-1856)产生了与前人完全不同的信念：首先，他认为第五公设不能以其余的公理作为定理来证明；其次，除掉第五公设成立的欧

氏几何之外，还可能有第五公设不成立的新几何系统存在．于是，他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理的前提下，引进与第五公设相反的公理，从而构造了一个全新的几何系统，它与欧氏几何系统相并列．后来人们又证明了这两个部分地相矛盾的几何系统竟是相对相容的，即假定其中之一无矛盾，则另一个必定无矛盾，这样以来，只要这两个系统是无矛盾的，第五公设与欧氏系统的其余公理就必定独立无关．现在人们就用罗巴切夫斯基的名字命名了这一新的几何学，并把一切不同于欧氏几何公理系统的几何系统统称为非欧几何．

非欧几何的建立在数学史上具有划时代的意义，标志着人们对空间形式的认识发生了飞跃，从直观空间上升到抽象空间．在建立非欧几何的过程中，公理化方法得到了进一步的发展和完善．

3．公理化方法的形式化．

德国数学家帕斯(Moritz Pasch，1843-1930)通过对射影几何公理化基础的纯逻辑的探讨，第一次从理论上提出了形式公理学的思想．他认为，几何学如果要成为一门真正的演绎科学，最根本的是推导的进行必须完全独立于几何概念的涵义，同样地也必须不以图形为依据，而所考虑的只能是被命题或定义所确定的几何概念之间的关系．就是说，一个公理系统必然要有本系统里不定义的概念，通过这些概念就可以给其它概念下定义，而不定义概念的全部特征必须由公理表达出来．公理可以说是不定义概念的隐定义．有些公理虽然是由经验提出来的，但当选出一组公理之后，必须不再涉及经验及物理意义．公理决不是自明的真理，而是用以产生任一特殊几何的假定．帕斯的这些思想已经表达了形式公理系统的特征．

随着数学的深入研究和射影几何公理系统的建立，形式公理学的概念已经成熟．1899年希尔伯特《几何学基础》一书的发表，不仅给出了欧氏几何的一个形式公理系统，而且解决了公理化方法的一系列逻辑理论问题．这本著作成为形式公理学的奠基著作．

希尔伯特几何公理系统，除了有几何模型外，还可以有其它模型(如算术模型)，所以它是一个形式公理系统，可以把其初始概念和公理看成是没有数学内容的，数学内容是通过解释赋予它们的，初始概念和公理完全可以用形式语言来陈述．因此，自从《几何学基础》问世以后，不仅公理化方法进入了数学的其它各个分支，而且也把公理化方法本身推向了形式化的阶段．

三、公理化方法的内容和公理系统的构造

公理是对诸基本概念相互关系的规定，这些规定必须是必要的而且是合理的．因此，一个严格完善的公理系统，对于公理的选取和设置，必须具备如下三个基本要求：

1．相容性(或称无矛盾性、协调性)．这一要求是指在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否定理．反之，如果能从该公理系统中导出命题A 和否命题非A(记作-A)，从A与-A并存就说明出现了矛盾，而矛盾的出现归根到

底是由于公理系统本身存在着矛盾的认识，这是思维规律所不容许的．因此，公理系统的无矛盾性要求是一个基本要求，任何学科，理论体系都必须满足这个要求．

2．独立性．这一要求是指在一个公理系统中的每一条公理都独立存在，不允许有一条公理能用其它公理把它推导出来，同时使公理的数目减少到最低限度．

3．完备性．这就是要求确保从公理系统中能推出所研究的数学分支的全部命题，也就是说，必要的公理不能减少，否则这个数学分支的许多真实命题将得不到理论的证明或者造成一些命题的证明没有充足的理由．

从理论上讲，一个公理系统的上述三条要求是必要的，同时也是合理的．至于某个所讨论的公理系统是否满足或能否满足上述要求，甚至能否在理论上证明满足上述要求的公理系统确实存在等，则是另外一回事了．应该指出的是，对于一个较复杂的公理体系来说，要逐一验证这三条要求相当困难，甚至至今不能彻底实现．

根据上述三条要求，如何来构造公理系统呢？也就是说，如何运用公理化方法将一门数学整理组织成一个演绎系统呢？一般来说，有三个步骤：

1．要积累大量的经验、数据和资料，对这些经验资料进行分析归纳，使之系统化，最后上升为理论．因为公理系统的建立是以大量的事实为基础，以丰富的经验和已有的科学知识为前提的，设此无彼．

2．数学公理化的目的是要把一门数学整理成为一个演绎系统，而这一系统的出发点就是一组基本概念和公理．因此，要建立一门数学的演绎系统，就要在第一步的基础上，从原有的资料、数据和经验中选择一些基本概念和确定一组公理，然后由此来定义其它有关概念并证明有关命题．选取的基本概念是不定义概念，必须是无法用更原始、更简单的概念去确定其涵义的，也就是说，它是高度纯化的抽象，是最原始最简单的思想规定．

3．在确定了基本概念和公理之后，就要由此出发，经过演绎推理，将一门数学展开成一个严格的理论系统．也就是说，对系统中的每一概念予以定义，而每一个定义中引用的概念必须是基本概念或已定义过的概念；对其它每一命题都给予证明，而在证明中作为论据的命题必须是公理或者已经证明为真实的定理．因此，一门数学的演绎系统就是这门数学的基本概念、公理和定理所构成的逻辑的链条．

在上述过程中，从认识论的角度来看，任何公理系统的原始概念和公理的选取必须反映现实对象的本质和关系．就是说，应该有它真实的直观背景而不是凭空臆造．其次，从逻辑的角度看，则不能认为一些概念和公理的任意罗列就能构成一个合理的公理系统，而一个有意义的公理系统必须是一个逻辑相容的体系．

四、公理系统的相容性证明

一个公理系统的相容性是至关重要的，因为一个理论体系不能矛盾百出．而独立性和完备性的要求则是次要的．因为在一个理论体系中，如果有多余的公理，对于理论的展开没什么妨碍；如果独立的公理不够用，数学史上常常补充一些公理，逐步使之完备．下面仅就公理系统的相容性证明作一介绍．

1．问题的产生及历史发展背景．

关于相容性征明这一概念的产生和历史发展的背景是这样的：自从罗巴切夫斯基几何诞生后，由于罗氏平行公理(过平面上一已知直线外的一点至少可以引两条直线与该已知直线平行)如此地为常识所不容，这才真正激起了人们对于数学系统的无矛盾性证明的兴趣和重视．后来，庞卡莱(Poincare｀，1854-1912)在欧氏半平面上构造了罗氏几何的模型，把罗氏系统的相容性证明通过一个模型化归为欧氏系统的相容性证明，但却由此导致了人们对欧氏系统相容性的重重疑虑．幸亏那时已经有了解析几何，这就等于在实数系统中构造了一个欧氏几何的模型．这就把欧氏几何的无矛盾性归结到了实数论的相容性．那么实数论的相容性如何？戴德金(Dedekind，1831-1916)把实数定义为有理数的分划，也即有理数的无穷集合，因而把这个无矛盾性归结到了自然数系统的无矛盾性．又由于弗雷格( Frege，1848-1925)的自然数的概念是借助集合的概念加以定义的，因此，归来归去还是把矛盾集中到集合论那里去了．那么集合论的相容性如何？事实上，集合论的相容性正处于严重的“危机”之中，以致这种相容性的证明至今还未解决．

2．庞卡莱模型和相对相容性证明．

庞卡莱为证明罗氏几何的相容性，在欧氏系统中构造了一个罗氏几何的模型．即在欧氏平面上划一条直线a将其分成上、下两个半平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任一长为半径的半圆周作为罗氏几何的直线，然后对如此规定的罗氏几何元素一一验证罗氏平行公理是成立的．

如图4—3所示，过罗氏平面上任一罗氏直线l外的一点P，确实可以作出两条罗氏直线与l平行．因为欧氏直线a上的点不是罗氏几何系统的元素，所以两个半圆相交于直线a上某一点则应看作相交于无穷远点，从而在有穷范围内永不相交．

这样以来，如果罗氏系统在今后的展开中出现了正、反两个互相矛盾的命题的话，则只要按上述规定之几何元素间的对应关系进行翻译，立即成为互相矛盾的两个欧氏几何定理．从而欧氏系统就矛盾了．因此，只要承认欧氏系统是无矛盾的，那么罗氏系统一定也是相容的．这就把罗氏系统的相容性证明通过上述庞卡莱模型化归为欧氏系统的相容性证明．这种把一个公理系统的相容性证明化归为另一个看上去比较可靠的公理系统的相容性证明，或者说依靠一个数学系统的

无矛盾性来保证另一个数学系统的协调性叫做数学系统的相对相容性证明．3．相容性证明对数学发展的影响．

由于相对相容性的出现，使人们对欧氏系统的相容性也忧心重重．而更糟的是，在罗氏系统的展开中人们又发现，罗氏几何空间的极限球面上也可构造欧氏模型，即欧氏几何的全部公理能在罗氏的极限球上实现，于是欧氏几何的相容性又可由罗氏几何的相容性来保证！这说明欧氏与罗氏的公理系统虽然不同，但却是互为相容的．人们当然不满足于两者互相之间的相对相容性证明，因为看上去较为合理的欧氏系统的无矛盾性竟要由看上去很不合理的罗氏系统来保证，这是难以令人满意的．于是人们开始寻求直接的相容性证明，本世纪初数学基础论就诞生了．由于在这一工作中所持的基本观点不同，在数学基础论的研究中形成了诸如逻辑主义派、直觉主义派和形式公理学派三大流派．这些流派虽然并未最后解决相容性证明问题，但在方法论上却各有贡献，他们的方法论、思想方法对于数学的研究与发展都具有重要的意义，有些还值得进一步分析、探讨、继承和发

数学公理的前提适用范围

采用公理化建立数学，为什么不采用自然化而更加符合真实事实？换而言之，没有公理化就没有数学体系，公理化是数学理论基础的来源。数学里的公理是人为任意性的，公理只不过是导出结论的逻辑演绎基础而已，是存在有适用范围与前提条件的。所谓的公理化只不过是属于一种前置预设的约定规定的定义，然后再因此而进行演绎推导等后续性活动。

数学公理化并不等于普遍化，公理化只是属于个别案例情况，受到前提条件的制约。我们所有的知识几乎都是相对某一范围，不具有完全普遍的意义，所以公设公理也只能在一定条件下才具有真实可靠的意义。我们暂时先不讨论数学，先讨论数学的前提即存在着的事实，因为误解就发生在前提的事实上。

原理是从公理推导出来的，数学是在前提公理化规定后演绎的。可以在没有理中进行人为性制造理，通过假设假定来进行制造公理，然后通过公理来推导出来原理，然后再由原理而推导出来定理。所有的理都是通过人为性规定各种而推导出来的，而不是真实自然之理。

论证来源于直观事实，将未经证明证实或解释的事实作为假设假定来进行推理论证。在技术上只要是有效都是可行的，可是在认识上却无法行得通。公理也是通过人为性规定的，它并不能够成为检验数学正确与否的标准。于是不得不重新规定制造一个选择性公理来限制原来的公理。

公理化是表达我们意思的一种方法，可以起到没有矛盾的作用，但是本质上的和谐来自我们的直觉想象。形式上的推理在某些方面可以表达很多内容，如希尔伯特所说，点线面的概念可以代表许多事物，同样的表达同一个事物我们可以采用不同的形式。而公理化所表达的只不过是其中一种意思。将逻辑法则认定为真理体系，是对真理的阉割歪曲。数学是人为性规定的一个体系，并不是一个真理体系，所谓的真理只是表现了数学家们的良好愿望而已。数学的生命力的实质并不在于公理化，而在于实际应用上的需要，这才

是数学生命力和价值的真正所在。正是数学具有这样的实用功效，并以此为动力推动了数学的发展，并且超越了实际直接应用上的界限。

用数学方法可以推得其它定理，却无法得到公理，这公理不是数学自身的产物，而是数学存在着必不可少的前提，没有公理数学体系就建立不起来。有些情况是这样有些情况又是那样的，我们现在常取舍符合我们人为性要求的，而不顾其它事实，但是对于另些则是无效，这是存在一定的有效性。超越了前提范围，问题就自然会暴露出来，这时我们还得再重新考虑范围以外的问题，当另些问题已解决时这时又出现了悖论问题，于是人们陷入了认识的怪圈之中无法自拔。

我们不应该害怕和反对消除悖论，悖论是一件好事，对我们有所启迪帮助，很容易发现问题的。数学悖论并不是一种危机，而带给人们的却是一种更加完整全面的清醒认识。应该准确地说逻辑只是某种局限的在适用范围内有效，否则产生悖论是很正常必然的。

理发师的故事，前后的前提是不一样的，如果混在一起则为悖论。不只是具有双值逻辑而是具有多值逻辑。它适用的前提基础，适用范围即前提限制，即优先确定在某一区域范围，这是由数学本身的特点所决定的，因为它本身就不是包罗万象全面适用的。即前提是存在即有效只在一定的前提条件下才是有效的。

数学只是在有限的条件范围内有效，这才是数学适用的前提条件。集合悖论产生于前提条件的公理系统，独立性与兼容性和一致性与完全性的同时采用，公理系统与形式系统的逻辑演绎方法无法解决这个问题。众所周知，目前数学存在的逻辑主义、直觉主义、形式主义、集合论公理化主义、约定主义、实在主义、构造主义等派别。从不同的角度解释了对数学的看法或认识，仍然没有离开数学公理化的前提基础，还是没有人认真从自然真实去解释数学。应该是内容决定了形式，而不是形式决定了内容，这个关系应该澄清的，完全走公理化道路给人以许多误会，即以形式取代内容只是无奈的选择。

应该选择真实主义，因为真实是一切存在的基础，这样就不会偏离数学发展的正确方向。将自然界数学化是一个迷失方向的一种倾向。数学只是对事物现象进行定量描述，并没有对于实质原因进行描述，更不能因为数学存在有效性而取代认识上的先导地位。公理化体系的作用是在对某些原因并不清楚的前提下，以某些众所周知而又无法解释的事实作为公设公理，然后再进行一系列的演绎推理过程，使人们相信由此而推导出来的定理定律或结论是真实可靠的。

中国古人具有很强的数学计算能力，这是众所周知的事实，但是中国人的数学发现与逻辑演绎思想是没有太大关系。《周髀算经》《九章算术》等虽然具有极强的实际应用计算能力，却没有逻辑演绎证明。中国几何是以“非规矩不能定方圆，非准绳不能定曲直”的实用性来定义的，所以中国不会出现悖论的。中国数

学是在实际应用中产生的，故以实际应用为衡量正确与错误等的标准，所以并不重视数学逻辑演绎或证明的作用。

数学公理的前提适用范围

采用公理化建立数学，为什么不采用自然化而更加符合真实事实？换而言之，没有公理化就没有数学体系，公理化是数学理论基础的来源。数学里的公理是人为任意性的，公理只不过是导出结论的逻辑演绎基础而已，是存在有适用范围与前提条件的。所谓的公理化只不过是属于一种前置预设的约定规定的定义，然后再因此而进行演绎推导等后续性活动。

数学公理化并不等于普遍化，公理化只是属于个别案例情况，受到前提条件的制约。我们所有的知识几乎都是相对某一范围，不具有完全普遍的意义，所以公设公理也只能在一定条件下才具有真实可靠的意义。我们暂时先不讨论数学，先讨论数学的前提即存在着的事实，因为误解就发生在前提的事实上。

原理是从公理推导出来的，数学是在前提公理化规定后演绎的。可以在没有理中进行人为性制造理，通过假设假定来进行制造公理，然后通过公理来推导出来原理，然后再由原理而推导出来定理。所有的理都是通过人为性规定各种而推导出来的，而不是真实自然之理。

论证来源于直观事实，将未经证明证实或解释的事实作为假设假定来进行推理论证。在技术上只要是有效都是可行的，可是在认识上却无法行得通。公理也是通过人为性规定的，它并不能够成为检验数学正确与否的标准。于是不得不重新规定制造一个选择性公理来限制原来的公理。

公理化是表达我们意思的一种方法，可以起到没有矛盾的作用，但是本质上的和谐来自我们的直觉想象。形式上的推理在某些方面可以表达很多内容，如希尔伯特所说，点线面的概念可以代表许多事物，同样的表达同一个事物我们可以采用不同的形式。而公理化所表达的只不过是其中一种意思。将逻辑法则认定为真理体系，是对真理的阉割歪曲。数学是人为性规定的一个体系，并不是一个真理体系，所谓的真理只是表现了数学家们的良好愿望而已。数学的生命力的实质并不在于公理化，而在于实际应用上的需要，这才是数学生命力和价值的真正所在。正是数学具有这样的实用功效，并以此为动力推动了数学的发展，并且超越了实际直接应用上的界限。

用数学方法可以推得其它定理，却无法得到公理，这公理不是数学自身的产物，而是数学存在着必不可少的前提，没有公理数学体系就建立不起来。有些情况是这样有些情况又是那样的，我们现在常取舍符合我们人为性要求的，而不顾其它事实，但是对于另些则是无效，这是存在一定的有效性。超越了前提范围，问题就自然会暴露出来，这时我们还得再重新考虑范围以外的问题，当另些问题已解决时这时又出现了悖论问题，于是人们陷入了认识的怪圈之中无法自拔。

我们不应该害怕和反对消除悖论，悖论是一件好事，对我们有所启迪帮助，很容易发现问题的。数学悖论并不是一种危机，而带给人们的却是一种更加完整全面的清醒认识。应该准确地说逻辑只是某种局限的在适用范围内有效，否则产生悖论是很正常必然的。

理发师的故事，前后的前提是不一样的，如果混在一起则为悖论。不只是具有双值逻辑而是具有多值逻辑。它适用的前提基础，适用范围即前提限制，即优先确定在某一区域范围，这是由数学本身的特点所决定的，因为它本身就不是包罗万象全面适用的。即前提是存在即有效只在一定的前提条件下才是有效的。

数学只是在有限的条件范围内有效，这才是数学适用的前提条件。集合悖论产生于前提条件的公理系统，独立性与兼容性和一致性与完全性的同时采用，公理系统与形式系统的逻辑演绎方法无法解决这个问题。众所周知，目前数学存在的逻辑主义、直觉主义、形式主义、集合论公理化主义、约定主义、实在主义、构造主义等派别。从不同的角度解释了对数学的看法或认识，仍然没有离开数学公理化的前提基础，还是没有人认真从自然真实去解释数学。应该是内容决定了形式，而不是形式决定了内容，这个关系应该澄清的，完全走公理化道路给人以许多误会，即以形式取代内容只是无奈的选择。

应该选择真实主义，因为真实是一切存在的基础，这样就不会偏离数学发展的正确方向。将自然界数学化是一个迷失方向的一种倾向。数学只是对事物现象进行定量描述，并没有对于实质原因进行描述，更不能因为数学存在有效性而取代认识上的先导地位。公理化体系的作用是在对某些原因并不清楚的前提下，以某些众所周知而又无法解释的事实作为公设公理，然后再进行一系列的演绎推理过程，使人们相信由此而推导出来的定理定律或结论是真实可靠的。

中国古人具有很强的数学计算能力，这是众所周知的事实，但是中国人的数学发现与逻辑演绎思想是没有太大关系。《周髀算经》《九章算术》等虽然具有极强的实际应用计算能力，却没有逻辑演绎证明。中国几何是以“非规矩不能定方圆，非准绳不能定曲直”的实用性来定义的，所以中国不会出现悖论的。中国数学是在实际应用中产生的，故以实际应用为衡量正确与错误等的标准，所以并不重视数学逻辑演绎或证明的作用。

、數學公理化方法的作用及

其局限性

數學公理化方法是研究數學的重要思維

方法, 它對於近代數學和其他自然科學的發

展, 起過重要作用和深遠影嚮。關於數學公理

化方法的主要作用, 可概括為如下四點:

1. 從歐幾里得到“布爾巴基”, 經歷過

二十多個世紀, 數學的主要支柱和分支, 大多

數都進行了公理化, 使得整個數學構成一個

龐大、嚴謹、優美的理論體系。

6 數學傳播十七卷二期民82年6月

2. 根據一定水平的公理化要求而編寫

的具有邏輯演繹體系的數學教材, 既符合於

教學和認識過程的規律, 又有利於培養學生

的邏輯思維能力, 乃是一種行之有效的措施。

3. 數學公理化方法不僅可以整理和提

煉已經積累的數學知識, 使之構成嚴謹優美

和諧的理論體系, 而且可以擴大數學理論和

方法的應用範圍。這是因為, 如若一個公理系統能夠適用於某種對象的集合, 則它的一切

推論也應該適用於該對象的集合。再者, 數學家們如欲檢驗一個數學理論體系是否適用於某種對象的集合, 只需驗證該理論的公理系

統能否適用, 這樣可以減少大量的思維勞動。

4. 數學公理化方法對於現代物理學、

理論力學以及其他各門自然科學的表述方法都有重要借鑒作用。大衛·希爾伯特在第二

次國際數學家大會上講演時曾經指出: “波

爾茲曼關於力學原理的著作(Vorlesungen

¨uber die Prinzipe der Mechanik, Leipzig, 1897), 提出了數學研究由原子論觀點導出連續介質運動規律的極限過程問題· · ·我們還必須試圖通過一種極限過程, 從一組公理出

發來推出剛體運動的規律· · ·如果用幾何學作為處理物理公理的模型, 那麼, 我們首先要試圖借助於少量的公理, 來概括盡可能廣泛

的一類物理現象, 然後再加進新的公理, 逐步地過渡到更特殊的理論”。近年來, 莫爾卡諾夫曾指出: “在狹義相對論的範圍內, 關於超

光速可能性的最終解決, 沒有嚴格的公理化

是不可能的”。

從本世紀四十年代開始, 由於電子計算

機的飛速發展和廣泛應用, 引起了在數學發

展史上由來已久的算法傳統的興起, 致使在

純粹數學中得到廣泛應用的公理化方法表現出明顯的局限性。

在數學方法中有宏觀與微觀之別, 公理

化方法是一種宏觀數學方法, 它的主要功能

在於對已經積累的大量數學知識進行加工、整理、改造和重建工作。而微觀數學方法則包含有命題形式推理、數學計算等, 其中既有以一定的邏輯推理法則為依據的方法, 也有以

某種數學分支所特有的算法技巧為依據的方

法。在通常情況下, 數學工作者在解決一個具

體問題時, 往往是先從現存的數學寶庫中去

搜尋適宜的微觀數學方法, 而並非首先去求

助於某個公理化系統。

公理化和形式化

公理化和形式化axiomatization and formalization 研究演绎科学理论和构造演绎系统的两种方法。它们被广泛应用于现代逻辑和数学研究中。 公理化 把一个科学理论公理化，就是用公理方法研究它，建立一个公理系统。每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系，公理化的实现就是：①从它的诸多概念中挑选出一组初始概念，即不加定义的概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，即都用初始概念定义，称为导出概念；②从它的一系列命题中挑选出一组公理，即不加证明的命题，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的。由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统。其中，初始概念和公理是公理系统的出发点。 公理方法经历了从古代的实质公理学到现代的形式公理学的发展过程。 公理系统相应地区分为古典公理系统、现代公理系统或称形式公理系统。最有代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中建立的。第一个现代公理系统是D.希尔伯特于1899年提出的。他在《几何基础》一书中，不仅建立了欧几里得几何的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题。 古典公理系统的对象域即公理系统所研究的对象，是先于公理而给定的，概念是对象的反映，公理则反映对这些对象的认识，表达这类对象的重要性质和关系。古典公理系统的初始概念和公理都有直观的具体内容，而系统的公理和定理是关于这对象域的真命题。从认识的发展来看，现代形式公理系统虽然一般也是从某种直观理论得到的，并且通常有预先想到的解释。但是，系统自身并不给初始概念予直观的具体内容，它们的意义完全由公理规定，对初始概念和公理可以给予不同的解释，可以刻划多个不同的对象域，即有多个不同的对象域都可以使得一个公理系统的公理和定理为真，它们在不同的解释下成为不同对象域的真命题。 公理系统要满足某些一般要求，包括系统的一致性、完全性和范畴性，以及公理的独立性。其中一致性是最重要的，其他几个性质则不是每个公理系统都能满足的，或可以不必一定要求的。 形式化 公理系统的进一步形式化不仅可以有不同的解释，而且需要应用专门设计的人工符号语言，使一个理论更为精确化和严格化，也就是运用人工的表意符号语言陈述所要形式化的理论。这种人工语言称为形式语言。把一个理论形式化就是把理论中的概念转换为形式语言中的符号，命题转换为符号公式，定理的推演转换成符号公式的变形，并把一个证明转换成符号公式的有穷序列。形式语言的符号和它们所表示的概念之间的对应是确定的，符号公式的结构反映它们的意见。把一个理论形式化后，就可以暂时完全撇开原来理论中的概念、命题的意义，而只从语言符号、公式结构（符号组合的形状）方面研究。意义是抽象的，往往不容易精确理解和掌握。而符号和公式是有穷的具体的对象，能够对其作更精确、更严格的研究，从而通过对具体对象的研究把握抽象的东西。 形式系统 把一个理论形式化的结果是建立形式系统。形式系统是形式化了的公理系统，它包括以下3个部分：①形式语言。规定一个形式语言，首先要列出各种初始符号，它们是形式语言的字母，其中一部分是初始概念，包括逻辑概念；然后再列出一组形成规则，形成规则规定怎样由初始符号组合起来的符号序列是系统中的合式公式，只有合式公式才是有意义的命题，而不合式的符号序列则是无意义的。②形式系统的公理。公理是挑选出来作为出发点的一组合式公式，它们经解释后可以是真的命题。③一组变形规则，也称为推导规则。变形规则规

数学的公理化

数学的公理化 十九世纪末到二十世纪初，数学已发展成为一门庞大的学科，经典的数学部门已经建立起完整的体系：数论、代数学、几何学、数学分析。数学家开始探访一些基础的问题，例如什么是数？什么是曲线？什么是积分？什么是函数？……另外，怎样处理这些概念和体系也是问题。 经典的方法一共有两类。一类是老的公理化的方法，不过非欧几何学的发展，各种几何学的发展暴露出它的许多毛病；另一类是构造方法或生成方法，这个办法往往有局限性，许多问题的解决不能靠构造。尤其是涉及无穷的许多问题往往靠逻辑、靠反证法、甚至靠直观。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是无法断定的。 对于基础概念的分析研究产生了一系列新领域—抽象代数学、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论。而在方法上的完善，则是新公理化方法的建立，这是希尔伯特在1899年首先在《几何学基础》中做出的。 十九世纪八十年代，非欧几何学得到了普遍承认之后，开始了对于几何学基础的探讨。当时已经非常清楚，欧几里得体系的毛病很多：首先，欧几里得几何学原始定义中的点、线、面等不是定义；其次，欧几里得几何学运用许多直观的概念，如“介于……之间”等没有严格的定义；另外，对于公

理系统的独立性、无矛盾性、完备性没有证明。 在十九世纪八十年代，德国数学家巴士提出一套公理系统，提出次序公理等重要概念，不过他的体系中有的公理不必要，有些必要的公理又没有，因此他公理系统不够完美。而且他也没有系统的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通过理想元素的引进，把度量几何包括在射影几何之中。 十九世纪八十年代末期起，皮亚诺和他的学生们也进行了一系列的研究。皮亚诺的公理系统有局限性；他的学生皮埃利的“作为演绎系统的几何学”，由于基本概念太少而把必要的定义和公理弄得极为复杂，以致整个系统的逻辑关系极为混乱。 希尔伯特的《几何学基础》的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特的公理系统是其后一切公理化的楷模。希尔伯特的公理化思想极深刻地影响其后数学基础的发展，他这部著作重版多次，已经成为一本广为流传的经典文献了。 希尔伯特的公理系统与欧几里得及其后任何公理系统的不同之处，在于他没有原始的定义，定义通过公理反映出来。这种思想他在1891年就有所透露。他说：“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”。当然，他的意思不是说几何学研究桌、椅、啤酒怀，而是在几何学中，点、线、

常见数学符号的电脑输入

常用数学符号的输入（解决你输入数学符号的难题） 1、几何符号 ⊥ ∥ ∠ ⌒ ⊙ ≡ ≌ △ ° |a| ⊥ ∽ ∠ ∟ ‖ | 2、代数符号 ? ∝ ∧ ∨ ～∫ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶〔〕〈〉《》「」『』】 【〖 3、运算符号 × ÷ √ ± ≠ ≡ ≮ ≯ 4、集合符号 ∪ ∩ ∈ Φ ? ￠ 5、特殊符号 ∑ π（圆周率）＠＃☆★○●◎◇◆□■▓⊿※ ￥ΓΔΘΛΞΟΠΣΦΧΨΩ ∏ 6、推理符号 ← ↑ → ↓ ↖ ↗ ↘ ↙ ∴ ∵ ∶ ∷ T ? ü 7、标点符号` ˉ ˇ ¨ 、· ｀＇ 8、其他 & ; § ℃ № ＄￡￥‰ ℉ ♂ ♀ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ΓΔΘΛΞΟΠΣΦΧΨΩ αβγδεζηθικλμνξοπρ στυφχψω

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ ⅵ ⅶ ⅷ ⅸ ⅹ ∈ ∏ ∑ ∕ √ ∝ ∞ ∟ ∠ ∣ ∥ ∧ ∨ ∩ ∪ ∫ ∮∴ ∵ ∶ ∷ ∽ ≈ ≌ ≒ ≠ ≡ ≤ ≥ ≦ ≧ ≮ ≯ ⊕ ⊙ ⊥ ⊿ ⌒ 指数0123：o123 〃? ? ? 符号意义∞无穷大 PI 圆周率 |x| 函数的绝对值∪集合并∩集合交≥大于等于≤小于等于≡恒等于或同余 ln(x) 以e为底的对数 lg(x) 以10为底的对数 floor(x) 上取整函数 ceil(x) 下取整函数 x mod y 求余数 {x} 小数部分 x - floor(x) ∫f(x)δx 不定积分∫[a:b]f(x)δx a到b的定积分 ∑[1≤k≤n]f(k)对n进行求和,可以拓广至很多情况，如：∑[n is prime][n < 10]f(n) ∑∑[1≤i≤j≤n]n^2 lim f(x) (x->?) 求极限 C(n:m) 组合数,n中取m P(n:m) 排列数 m|n m整除n (m,n)=1 m 与n互质 a ∈ A a属于集合A Card(A) 集合A中的元素 个数 |a| ⊥ ∽ △ ∠ ∩ ∪ ≠ ∵ ∴ ≡ ± ≥ ≤ ∈ ← ↑ → ↓ ↖ ↗ ↘ ↙ ∥ ∧ ∨? ? ?§ ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩

几种重要的数学思想方法

几种重要的数学思想方法 韩晓荣 数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。 《数学课程标准》在对初中阶段的教学建议中要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程，不宜集中体现”。这就要求我们教师能在实际的教学过程中不断地发现、总结、渗透数学思想方法。 一、化归思想， 所谓“化归”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。我们也常把它称之为“转化思想”。例如：解分式方程转化为解整式方程，解“二元”方程转化为解“一元”方程，解多边形问题转化为解三角形问题等等。 二、数形结合的思想方法 数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这就是在强调把数和形结合起来考虑的重要性。在教材《有理数》里面用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现。 三、分类讨论的思想方法 在渗透分类讨论思想的过程中，我认为首要的是分类。比如在《有理数》研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的：在《平面图形的认识》一章中，用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类。这种思想方法主要可以避免漏解、错解。 四、方程思想 方程思想指借助解方程来求出未知量的一种解题策略。我们知道方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。所以方程思想实际上就是由实际问题抽象为方程过程的数学建模思想。例如利用一元一次方程,一元二次方程能解决好多实际问题。 五、从特殊到一般的思想方法

数学公理化方法

数学公理化方法 在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一组不加证明的公理出发，用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法。它是随着数学和逻辑学的发展而产生的。 公元前6世纪前后，希腊数学家泰勒斯（Thales)开始了几何命题的证明，开辟了几何学作为证明的演绎科学的方向。毕达哥拉斯学派的欧多克斯于公元前4世纪在处理不可通约量时，建立了一公理为依据的演绎方法。爱奥尼亚学派的芝诺（Zeno）在论辩术中运用了归谬法。伯拉图阐明了许多逻辑原则。亚里士多德在其著作《分析篇》中，对公理方法作了系统总结，指出了演绎证明的逻辑结构和要求，从而奠定了公理化方法的基础。 公元前3、4世纪之交，希腊数学家欧几里德在总结前人积累的几何知识基础上，把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，运用他所抽象出的一系列基本概念和公理，完成了传世之作《几何原本》，标志着数学领域中公理化方法的诞生。由于《几何原本》在第五公设的陈述和内容上复杂而累赘，引起人们对这一公设本身必要性的怀疑。在此后的2000多年间，人们试图给出一个第五公设的证明，但所有的尝试都失败了。19世纪，俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基吸取前人失败的教训，从反面提出问题，给出了一个新的公理体系，创立了非欧几何学。这是公理化方法的进一步发展。 1899年，德国数学家希尔伯特在前人工作的基础上，著《几何基础》一书，解决了欧氏几何的欠缺，完善了几何公理化方法，创造了全新的形式公理化方法。为了避免在数学中出现悖论，希尔伯特认为要设法绝对的证明数学的无矛盾性，致使他从事“证明论的研究”，于是希尔伯特又把公理化方法推向一个新阶段，即纯形式化发展阶段，这就产生了纯形式公理化方法。 几何学的公理化，成为其它学科及分支的楷模。相继出现了各种理论的公理化系统，如理论力学公理化，相对论公理化，数理逻辑公理化，概率论公理化等。同时，纯形式公理化方法推动了数学基础的研究，并为机算机的广泛应用开阔了前景。

常用数学符号读法大全以及主要数学符号含义

常用数学符号读法大全以及主要数学符号含义大写小写英文注音国际音标注音中文注音 Ααalpha alfa 阿耳法 Ββbeta beta 贝塔 Γγgamma gamma 伽马 Δδdeta delta 德耳塔 Εεepsilon epsilon 艾普西隆 Ζζzeta zeta 截塔 Ηηeta eta 艾塔 Θθtheta θita 西塔 Ιιiota iota 约塔 Κκkappa kappa 卡帕 ∧λlambda lambda 兰姆达 Μμmu miu 缪 Ννnu niu 纽 Ξξxi ksi 可塞 Οοomicron omi kron 奥密可戎 ∏πpi pai 派 Ρρrho rou 柔 ∑σsigma sigma 西格马 Ττtau tau 套 Υυupsilon jupsilon 衣普西隆

Φφphi fai 斐 Χχchi khai 喜 Ψψpsi psai 普西 Ωωomega omiga 欧米伽 数学符号： （1）数量符号：如：i,2+i,a,x,自然对数底e,圆周率π. （2）运算符号：如加号（＋）,减号（－）,乘号（×或·）,除号（÷或／）,两个集合的并集（∪）,交集（∩）,根号（√）,对数（log,lg,ln）,比（：）,微分（dx）,积分（∫）等. （3）关系符号：如“＝”是等号,“≈”是近似符号,“≠”是不等号,“＞”是大于符号,“＜”是小于符号,“→”表示变量变化的趋势,“∽”是相似符号,“≌”是全等号,“∥”是平行符号,“⊥”是垂直符号,“∝”是反比例符号,“∈”是属于符号,“C”或“C下面加一横”是“包含”符号等. （4）结合符号：如圆括号“（）”方括号“［］”,花括号“｛｝”括线“—”（5）性质符号：如正号“＋”,负号“－”,绝对值符号“‖”（6）省略符号：如三角形（△）,正弦（sin）,余弦（cos）,x的函数（f(x)）,极限（lim）,因为（∵）,所以（∴）,总和（∑）,连乘（∏）,从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ）,幂（A,Ac,Aq,x^n）,阶乘（!）等. 数学符号的意义 符号意义

数学思想方法及意义

数学思想方法及意义 美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理．”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的．”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分．下面从布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义． １．数学思想方法教学的心理学意义 第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解”．心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习．”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了．下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去．学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容． 第二，有利于记忆．布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记．”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来．高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具．”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的．无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生．” 第三，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”．布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识．”曹才翰教授也认为，“如果学生

论文：数学思想方法

数学思想方法 河南省虞城县李老家乡第二初级中学；高华增数学思想方法一般是指人们在数学的发生、形成、发展过程中总结概括出来的数学规律的本质认识，是利用数学知识去解决问题的思维策略和指导思想，它为数学知识的学习和运用提供了方向，是解决数学问题的“向导”，数学思想的产生并作用于数学学习的整个过程中，尤其是在解决复杂的综合题时，数学思想的合理运用起着关键性的决定作用，数学思想方法是数学思想的具体体现，不仅是学习和运用数学知识的解决数学问题应具备的、最基本的思想方法．而且是新课标改革的方向和中考试题解题特征 常见的数学思想方法有：化归思想方法、数形结合思想方法、分类讨论思想方法、数学建模思想方法、方程思想方法、函数思想方法、整体思想方法，对此类问题的突破，方法具体如下： 类型一：化归思想方法:重难点突破：解决问题的基本思想就是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把实际问题数学化，不同的数学问题相互转化，也体现了把不易解决的问题转化为有章可循，容易解决的问题的思想

【例1】 如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径 的扇形，并且所有多边形的每条边都大于2，则第n 个多边形中，所有扇形面积之和是______．(结果保留π) 分析：本题考察了扇形面积和n 边形内角和公式，解题关键是：是求第n 个图形中(n ＋2)个半径为1的扇形的面积之和 解析：[]ππ2n 1802-2)(n 3601S 2 =?+?=，答案；π2 n

类型二：数形结合: 重难点突破： 根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙结合，充分利用这种结合探究解题思路，使问题得以解决； 【例2】(09重庆)如图，在矩形ABCD 中，A B ＝2，BC ＝1,动点P 从点B 出发，沿路线B →C →D 作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是 ( ) 分析：本题考查点是运动变化为前提，根据几何图形的面积变化特征，通过分段讨论，确立相应函数关系，进而确定函数图象，这是一道典型的数形结合与分类讨论的综合题，是这几年中招试题常见题型，解题关键是能否充分利用分类的讨论思想，难点是能否把所有情况分别讨论，很多同学因考虑不全而丢分． 解析：当点P 在BC 上时，即0＜x ≤1时 x x 2PB AB S 2121PAB =??=?=? 当点P 在CD 上时，即1＜x ≤3时

几何学公理化

几何学公理化 除了极少数的著作之外，没有人知道那些伟大的古希腊先哲们究竟在思考什么。关于这些先驱的生平，人们只能从《欧德斯摩摘要》一书中了解极为粗略的情况。然而正是在这些吉光片羽的文字中，保留了古希腊关于数学的最光辉的思想。 从泰勒斯（Thales）到欧几里得的三百多年历史中，数学稳步而又迅速地发展着。泰勒斯开始了命题的证明，毕达哥拉斯学派进一步将数学从具体中抽象出来，并把算术和几何紧密地联系在一起。公元前387年左右，柏拉图（Plato，公元前426－347）在雅典创建了哲学学园，主张通过几何学习培养逻辑思维能力。他的学生亚里士多德（Aristotel，公元前384－322）则是形式逻辑的奠基者。这个学派的另一个重要人物欧多克索斯（Eudoxus，公元前460－357）创立了比例论。他用公理化的方法建立理论，使得比例的适用范围从毕达哥拉斯学派的可通约量扩大至不可通约量。 到了公元前4世纪时，古希腊无论是在几何学还是逻辑学上都日臻成熟，公理化思想也是由来已久，一个严密而又完整的几何体系已是呼之欲出。这个重任就落在了欧几里得的肩上。 1.欧几里得的贡献 欧几里得（Euclid，约公元前300年左右），古希腊著名的数学家。他的《几何原本》直到现在，依然是几何学入门的最佳读本。两千年来，这部巨著令许多数学家的努力与文字黯然失色。《原本》一书中的数学思想与方法，深刻地影响了整整两千多年的数学与自然科学的发展历程。 欧几里得的最大贡献并不是发现了多少深奥的定理，而是对过去所有数学知识的总结。他的《几何原本》不仅奠定了西方几何学的基础，并且提供了一整套的公理化方法的范例。在他之前，也曾有人设想过如此计划。但正如《欧德斯摩摘要》一书中所说的，“把几何学原理联系到一起，把欧多克索斯的许多定理有次序地安排起来，把铁塔斯的许多定理加以完善化，并对前任未经严谨证明的许多东西给以无可争辩地阐明”的，乃是欧几里得。 《几何原本》共有十三卷（也有十五卷的版本，最后二卷为后人增补）。在第一卷中，欧氏列出了23个“定义”，接着是5条“公设”和5条“公理”（现代数学并不区分公设和公理，都以公理称之），然后循序渐进地用推理、证明、演绎的方法推导出了全书所有的命题。这就是《原本》一书为何直到现代依然被认为是研究几何学的入门书的最主要的原因：得益于其严密的逻辑与演绎。 然而，正是在看似严密的逻辑推理之下的欧氏几何公理体系中，却存在着非常严重的漏洞。虽然在漫长的历史长河中，不断地有人诟病于它，但它的影响却是一直到两千年之后才反映出来，也由此铸成了一场几何学的革命。 2.第五公设的尴尬

《数学思想方法》课程教学大纲

数学思想方法》课程教学大纲 第一部分大纲说明 一、课程的地位、性质与任务 《数学思想方法》是研究数学思想方法及其教学的一门课程。随着现代科学技术的迅速发展和素质教育的全面实施，对科学思想、科学方法有着全局影响的数学思想方法其重要性日益凸现。鉴于数学思想方法在素质教育中的重要作用，《数学思想方法》被列为中央广播电视大学小学教育专业的一门重要的必修课。 通过本课程的学习，使学员比较系统地获得对数学思想方法的认识，掌握实施数学思想方法教学的特点，并能运用这些理论指导小学数学教学实践。通过各个教学环节，逐步培养学员实施数学思想方法教学的能力和综合运用所学知识分析问题、解决有关实际问题的能力，为成为适应新世纪需要的高素质的小学教师打下坚实基础。 二、课程主要内容及要求 本课程的主要内容包括：数学思想与方法的两个源头、数学思想与方法的几次重要突破、数学的真理性、现代数学的发展趋势、演绎与化归、抽象与概括、猜想与反驳、计算与算法、应用与建模、数学思想与方法与素质教育、数学思想与方法教学、数学思想与方法教学案例。通过本课程的学习，关键在于使学员建构起关于数学思想方法的认知结构，认识数学思想方法的重要性，增强数学思想方法教学的自觉性，提高实施数学思想方法教学的水平和能力。通过“数学思想方法的发展”部分学习，帮助学员了解数学思想方法的源头、几次重要突破和现代数学的发展趋势，并能正确理解数学的真理性，确立动态的、拟经验主义的数学观。通过“数学思想方法例解 " 部分学习，使学员掌握数学教学中常用的数学思想方法及其应用。通过“数学思想方法教学" 部分学习，使学员掌握数学思想方法教学的特点，并能将所学数学思想方法初步应用于小学数学教学。 三、教学媒体 1．文字教材： 文字教材是学生学习课程的主要用书，是学生获得知识和能力的重要媒体，是教和学的根本依据。文字教材名称：《数学思想与方法》（顾泠沅主编，中央电大出版社出版）。 2．音像教材：《数学思想与方法》录像教材共18 讲，由首都师范大学副教授姚芳主讲。 3. 网上学习资源 江苏电大在线中（https://www.docsj.com/doc/b77648490.html, ）教学辅导、实施方案、学习自测等；栏目以及中央电大在线（ https://www.docsj.com/doc/b77648490.html, ）中与本课程有关的学习资源。 四、教学环节 1. 理论教学环节（课程的基本知识、理论和方法） （1）自学 自学是电大学生获得知识的重要方式 , 自学能力的培养也是远程开放高等教育的目的之一 ,本课程的教学要注意对学生自学能力的培养 . 学生可以通过自学、收

常用数学符号大全

常用数学符号大全 1 几何符号 ?ⅷⅶ????△ 2 代数符号 ⅴⅸⅹ～∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ? 3运算符号 ×÷√ ± 4集合符号 ??ⅰ 5特殊符号 ∑ π（圆周率） 6推理符号 |a| ??△ⅶ??≠ ? ±≥ ≤ ⅰ????↖↗↘↙ⅷⅸⅹ &; § ??←↑→↓??↖↗ Γ Δ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ Ω α β γ δε δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν π ξ ζ η υ θ χ ψ ω 1 几何符号 ?ⅷⅶ????△ 2 代数符号 ⅴⅸⅹ～?????ⅵ? 3运算符号 ×÷ⅳa 4集合符号 ??ⅰ 5特殊符号 ⅲπ（圆周率） 6推理符号

|a| ??△ⅶ????a??ⅰ ? ???↖↗↘↙ⅷⅸⅹ &; § ??←↑→↓??↖↗ ΓΓΘΛΞΟΠ?ΦΥΦΧ αβγδεδεζηθικλ μνπξζηυθχψω Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ ﹪ ﹫ ? ? ? ? ? ? ? ? ⅰⅱⅲ?ⅳⅴⅵ? ⅶ?ⅷⅸⅹ???? ??????????????????? ??? 指数0123：o123 上述符号所表示的意义和读法（中英文参照） ＋ plus 加号；正号 － minus 减号；负号 a plus or minus 正负号 × is multiplied by 乘号 ÷ is divided by 除号 ＝ is equal to 等于号

? is not equal to 不等于号 ? is equivalent to 全等于号 ? is approximately equal to 约等于 ? is approximately equal to 约等于号＜ is less than 小于号 ＞ is more than 大于号 ? is less than or equal to 小于或等于? is more than or equal to 大于或等于％ per cent 百分之… ⅵ infinity 无限大号 ⅳ (square) root 平方根 X squared X的平方 X cubed X的立方 ? since; because 因为 ? hence 所以 ⅶ angle 角 ? semicircle 半圆 ? circle 圆 ? circumference 圆周 △ triangle 三角形 ? perpendicular to 垂直于 ? intersection of 并，合集 ? union of 交，通集

高一数学常用数学符号

高一数学常用数学符号 1、几何符号 ⊥∥∠⌒⊙≡≌△ 2、代数符号 ∝∧∨～∫≠≤≥≈∞∶ 3、运算符号 ×÷√± 4、集合符号 ∪∩∈ 5、特殊符号 ∑π（圆周率） 6、推理符号 |a| ⊥∽△∠∩∪≠≡±≥≤∈ ← ↑→↓↖↗↘↙∥∧∨ & § ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ ΓΔ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ Ω αβ γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ ∈∏∑∕√∝∞∟∠∣∥∧∨∩∪∫ ∮ ∴∵∶∷∽≈≌≒≠≡≤≥≦≧≮ ≯⊕⊙⊥ ⊿⌒℃ 指数0123：o123

符号意义 ∞无穷大 PI 圆周率 |x| 函数的绝对值 ∪集合并 ∩集合交 ≥大于等于 ≤小于等于 ≡恒等于或同余 ln（x）以e为底的对数 lg（x）以10为底的对数 floor（x）上取整函数 ceil（x）下取整函数 x mod y 求余数 {x} 小数部分 x - floor（x） ∫f（x）δx 不定积分 ∫[a:b]f（x）δx a到b的定积分 P为真等于1否则等于0 ∑[1≤k≤n]f（k）对n进行求和,可以拓广至很多情况 如：∑[n is prime][n < 10]f（n） ∑∑[1≤i≤j≤n]n^2 lim f（x）（x->?）求极限 f（z） f关于z的m阶导函数 C（n:m）组合数,n中取m P（n:m）排列数 m|n m整除n m⊥n m与n互质 a ∈ A a属于集合A #A 集合A中的元素个数

∈∏∑√∞∠∣∥∧∨∩∪∫∮∴∵ ∽ ≈≌≠≡≤≥≦≧⊕⊙⊥? x^n 表示 x 的 n 次方， 如果 n 是有结构式，n 应外引括号； （有结构式是指多项式、多因式等表达式） x^（n/m）表示 x 的 n/m 次方； SQR（x）表示 x 的开方； sqrt（x）表示 x 的开方； √（x）表示 x 的开方, 如果 x 为单个字母表达式， x 的开方可简表为√x ； x^（-n）表示 x 的 n 次方的倒数； x^（1/n）表示 x 开 n 次方； log_a,b 表示以 a 为底 b 的对数； x_n 表示 x 带足标 n ； ∑（n=p,q）f（n）表示f（n）的n从p到q逐步变化对f（n）的连加和， 如果f（n）是有结构式，f（n）应外引括号； ∑（n=p,q ； r=s,t）f（n,r）表示∑（r=s,t）[∑（n=p,q）f（n,r）], 如果f（n，r）是有结构式，f（n，r）应外引括号； ∏（n=p,q）f（n）表示f（n）的n从p到q逐步变化对f（n）的连乘积, 如果f（n）是有结构式，f（n）应外引括号； ∏（n=p,q ； r=s,t）f（n,r）表示∏（r=s,t）[∏（n=p,q）f（n,r）], 如果f（n，r）是有结构式，f（n，r）应外引括号； lim（x→u）f（x）表示 f（x）的 x 趋向 u 时的极限, 如果f（x）是有结构式，f（x）应外引括号； lim（y→v ； x→u）f（x,y）表示 lim（y→v）[lim（x→u）f（x,y）], 如果f（x，y）是有结构式，f（x，y）应外引括号； ∫（a,b）f（x）dx 表示对 f（x）从 x=a 至 x=b 的积分, 如果f（x）是有结构式，f（x）应外引括号； ∫（c,d ； a,b）f（x,y）dxdy 表示∫（c,d）[∫（a,b）f（x,y）dx]dy,

数学思想方法对数学教学的作用(张运良)

数学思想方法对数学教学的作用 摘要：数学思想方法对数学教学有着重要的促进和指导作用，它不仅是学生形成良好认知结构的纽带，还是由知识转化为能力的桥梁，是培养学生数学意识，形成优良思维素质的关键，因此我们要有加强数学思想方法教学的意识并要在数学教学过程中不断地挖掘和 渗透。 关键词：数学思想方法数学教学作用 随着各门科学抽象化、数学化水平的日益提高，随着数学本身由于集合论与结构思想的发展而日益走向整体化，对统一性、普遍性的数学思想方法教学，已成为历史的必然和时代的要求，成为数学教育现代化进程中一个重要课题。许多知名学者也提出了如下观点：数学教育的现代化，并不只是要进行“现代数学的教学”而是要进行“数学的现代教学”，要把基础数学教育“建立在现代数学的思想基础上，并使用现代数学的方法和语言。”我们的教学实践也表明：中小学数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想、方法及教学手段的现代化，加强数学思想方法的教学是基础数学教育现代化的关键，特别是对能力培养这一问题的探讨与摸索，以及社会对数学价值的要求。使我们更进一步地认识到数学思想方法对数学教学的重要性。下面我就数学思想方法对数学教学的作用谈几点认识一、现实的需要决定数学思想方法对数学教学有着重要的作用（1）形势发展的需要决定数学思想方法的作用时代的前进依赖于科技的发展，现代科技日新月异，改革开放的大潮促进着社会主义市场经济的迅猛发展，现代科技及经济发展成熟的标志是数学化，例如市场经济中经济统计学、金融学等领域就极需要数学的支撑，在探索科技与经济发展的过程中，当然需要某些具体的数学知识，但更多的是依靠数学的思

想与方法的运用，以便从数学的角度去思考周围的实际问题，建立数学模型，从而来预测发展的前景，决策下一步的行动……可以说，时代的发展越来越依赖于数学思想和方法的作用。（2）教育目的的需要决定数学思想方法的作用目前，我国正处在实施素质教育，深化教育改革阶段，由于数学思想与方法的重要作用，使得数学教育在素质教育中具有特殊的地位，数学是思维的体操这是众所周知的，数学思想方法哺育着人养成诚实、正直、严肃认真、踏实细微、机智、顽强等当今时代迎接挑战不可缺的精神，这也是我们普遍感觉到了的。当前国际教育界提出的“大众数学”的口号，其目的是根据社会对数学的不同的要求，为全体学生规划、提供水平适应的数学教育，为社会提供各层次、各类型的工作者，著名数学家波利亚曾统计，中学生毕业后，研究数学和从事数学教育的人占1%，使用数学的占27%，基本不用或很少用数学的占70%，当然，现在的情形有所改变，总之对大多数学生来说，数学思想方法比形式化的数学知识更重要，因为前者更具有普遍性，社会各部门、各行业对数学知识的要求的深度与广度的差异是很大的，但对人的素质的要求是共性的，如要求走向社会的人，具备严谨的工作态度，具有善于分析情况，归纳总结，综合比较，分类评析，概括判断的工作方法，实际工作者，科研工作者，特别是决策部门工作人员更需要逻辑论证，严密推测的科学方法与工作作风，这一切都是在数学思想方法的渗透，训练中得以培养的。例如，在联合国教科文组织撰编的数学教育论文专辑中曾叙述过这样一个典型的例子：我们能够确信三角形面积公式一定是重要的吗？但很多人在校外生活中使用这个公式至多不超过一次，可是在学习并推导这个公式中所蕴含的数学思想方法：“通过分割一个表面成一些简单的小块，并且用一种不同的方式重新组成这个图形来求出它的面积

常用数学符号及其意义

常用数学符号及其意义 1 几何符号 ?∥∠??≡ ≌△ 2 代数符号 ∝∧∨～∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶ 3运算符号 × ÷ √ ± 4集合符号 ∪∩ ∈ 5特殊符号 ∑ π（圆周率） 6推理符号 |a| ??△∠∩ ∪≠ ≡ ± ≥ ≤ ∈← ↑ → ↓ ↖↗↘↙∥∧∨ &; § ?????????? Γ Δ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε δ ε ζ η θ ι κ λ

μ ν π ξ ζ ηυ θ χ ψ ω ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ ∈∏ ∑ ∕ √ ∝∞ ∟ ∠∣∥∧∨∩ ∪∫ ∮ ∴∵∶∷?≈ ≌≒≠ ≡ ≤ ≥ ≦≧≮≯⊕?? ??℃ 指数0123：o123 上述符号所表示的意义和读法（中英文参照） ＋plus 加号；正号 －minus 减号；负号 ±plus or minus 正负号 ×is multiplied by 乘号 ÷is divided by 除号 ＝is equal to 等于号 ≠ is not equal to 不等于号 ≡ is equivalent to 全等于号 ≌ is approximately equal to 约等于 ≈ is approximately equal to 约等于号 ＜is less than 小于号 ＞is more than 大于号

≤ is less than or equal to 小于或等于≥ is more than or equal to 大于或等于％per cent 百分之… ∞ infinity 无限大号 √ (square) root 平方根 X squared X的平方 X cubed X的立方 ∵ since; because 因为 ∴ hence 所以 ∠ angle 角 ? semicircle 半圆 ? circle 圆 ○ circumference 圆周 △ triangle 三角形 ? perpendicular to 垂直于 ∪ intersection of 并，合集 ∩ union of 交，通集 ∫ the integral of …的积分 ∑ (sigma) summation of 总和 °degree 度 ′ minute 分 〃second 秒

数学思想方法简介

数学思想方法简介 简介 数学思想是数学的灵魂，是数学方法与技能实质的体现，对解题思路的产生具有指导意义。因此，深刻理解数学思想、学会运用数学思想来分析、解决问题对提高解题能力将有很大帮助。高考题型中考查的有数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、转化和化归的思想。 数形结合思想 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且节法简捷。数形结合的重点是研究“以形助数”。运用数形结合思想，不仅直观，易发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大简化解题过程，这在解选择题、填空题中更显其优越性。 函数思想 函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图像、性质等对问题加以研究，使问题获得解决。方程思想 方程的思想是指将问题转化为对方程（组）的认识，通过解方程（组）或对方程的讨论使问题得以解决。 函数与方程二者密不可分，如函数y=f（x)也可看作方程，函数有意义则方程有解，方程有解，则函数有意义等。函数与方程思想体现了动与静、变量与常量的辩证统一，是重要的数学思想方法之一。 分类讨论思想 解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分为几个能用不同形式去解决的问题将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论思想。分类的标准是根据题目中的条件而定，没有确定的分类标准。 转化思想 把复杂问题转化为较简单问题，把未知问题转化为已知问题，把生疏的问题转化

九年级数学公理与定理

2.3公理和定理 一、教学目标： 1、了解公理、定理的含义，初步体会公理化思想，并了解本教科书所使用的定理。 2、通过介绍欧几里得的原本，使学生感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。 二、教学重点、难点： 公理和定理的区别和联系 三、教法：引导发现法 四、教具准备：投影仪 五、教学过程： 一．创设情景 想一想 如何通过推理的方法证实一个命题是真命题呢？ 在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。 公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得将前人积累下来的几何学成果整理在系统的逻辑体系之中。他挑选了一部分不定义的数学名词(称为原名)和一部分公认的真命题(称为公理)作为证实其他命题的起始依据，定义出其他有关的概念，并运用推理的方法，证实了数百个有关的命题，使几何学成为一门具有公理化体系的科学。 二．回顾总结 通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。例如，欧几里得将“两点确定一条直线”，“直角都相等”等五条基本几何事实作为公理。通过推理得到证实的真命题叫做定理。 本教科书选用如下命题作为公理：

此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。例如“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替”，简称为“等量代换”。 三．应用举例 由上面给出的公理，可以证明如下命题的正确性：等角的补角相等。 已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180，∠2+∠4=180。 求证：∠3=∠4 证明：∵∠1+∠3=180，∠2+∠4=180(已知)， ∴∠3=180-∠1，∠4=180-∠2 (等式的性质) ∵∠1=∠2 (已知)， ∴∠3=∠4 (等式的性质)。 这样，我们便可以把上面这个经过证实的命题称作定理了。已经证明的定理可以作为以后推理的依据。 证明一个命题的正确性，要按照“已知”、“求证”、“证明”的顺序和格式写出。其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件(已知)出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论(求证)的过程。四、巩固练习： 课本随堂练习2、习题1、2

常用数学符号

常用数学符号 1、几何符号 ?ⅷⅶ????△ 2、代数符号 ⅴⅸⅹ～?????ⅵ? 3、运算符号 ×÷ⅳ± 4、集合符号 ??ⅰ 5、特殊符号 ⅲπ（圆周率） 6、推理符号 |a| ??△ⅶ????±??ⅰ? ???↖↗↘↙ⅷⅸⅹ & § ??←↑→↓??↖↗ ΓΔ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ Ω αβ γ δ ε δ ε ζ η θ ι κ λ ξο π ρ ζ η υ θ χ ψ ω ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ﹫????????? ⅰⅱⅲ?ⅳⅴⅵ?ⅶ?ⅷⅸⅹ???? ????????????????⊕?? ??℃ 指数0123：o123

符号意义 ⅵ无穷大 PI 圆周率 |x| 函数的绝对值 ?集合并 ?集合交 ?大于等于 ?小于等于 ?恒等于或同余 ln（x）以e为底的对数 lg（x）以10为底的对数 floor（x）上取整函数 ceil（x）下取整函数 x mod y 求余数 {x} 小数部分x - floor（x） ?f（x）δx 不定积分 ?[a:b]f（x）δx a到b的定积分 P为真等于1否则等于0 ⅲ[1?k?n]f（k）对n进行求和,可以拓广至很多情况 如：ⅲ[n is prime][n < 10]f（n） ⅲⅲ[1?i?j?n]n^2 lim f（x）（x->?）求极限 f（z）f关于z的m阶导函数 C（n:m）组合数,n中取m P（n:m）排列数 m|n m整除n m?n m与n互质 a ⅰA a属于集合A #A 集合A中的元素个数

ⅰⅱⅲⅳⅵⅶ?ⅷⅸⅹ???????????????⊕??? x^n 表示x 的n 次方， 如果n 是有结构式，n 应外引括号； （有结构式是指多项式、多因式等表达式） x^（n/m）表示x 的n/m 次方； SQR（x）表示x 的开方； sqrt（x）表示x 的开方； ⅳ（x）表示x 的开方, 如果x 为单个字母表达式，x 的开方可简表为ⅳx ； x^（-n）表示x 的n 次方的倒数； x^（1/n）表示x 开n 次方； log_a,b 表示以a 为底b 的对数； x_n 表示x 带足标n ； ⅲ（n=p,q）f（n）表示f（n）的n从p到q逐步变化对f（n）的连加和， 如果f（n）是有结构式，f（n）应外引括号； ⅲ（n=p,q ；r=s,t）f（n,r）表示ⅲ（r=s,t）[ⅲ（n=p,q）f（n,r）], 如果f（n，r）是有结构式，f（n，r）应外引括号； ⅱ（n=p,q）f（n）表示f（n）的n从p到q逐步变化对f（n）的连乘积, 如果f（n）是有结构式，f（n）应外引括号； ⅱ（n=p,q ；r=s,t）f（n,r）表示ⅱ（r=s,t）[ⅱ（n=p,q）f（n,r）], 如果f（n，r）是有结构式，f（n，r）应外引括号； lim（x?u）f（x）表示f（x）的x 趋向u 时的极限, 如果f（x）是有结构式，f（x）应外引括号； lim（y?v ；x?u）f（x,y）表示lim（y?v）[lim（x?u）f（x,y）], 如果f（x，y）是有结构式，f（x，y）应外引括号； ?（a,b）f（x）dx 表示对f（x）从x=a 至x=b 的积分, 如果f（x）是有结构式，f（x）应外引括号； ?（c,d ；a,b）f（x,y）dxdy 表示?（c,d）[?（a,b）f（x,y）dx]dy, 如果f（x，y）是有结构式，f（x，y）应外引括号；

(完整版)高中数学四大思想方法

高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记 《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范