微积分初步教案
《微积分初步》教案重庆广播电视大学九龙坡分校杨洪容
教学过程：
一．复习求积分方法，引入新课（涉及的公式及性质均用课件展示）
用定义，基本积分公式及直接积分法求积分，回忆复合函数求导法，以求
?xdx 2sin 引出换元积分法。（93
92-p
，47p ）
（提问）求函数f(x)的不定积分的方法:
1、定义法：利用定义: F '(x)=f(x)(x ∈I)??f(x)dx=F(x)+C,求函数f(x)的不定积分.
2、基本积分表法：利用基本积分表中的9个基本积分公式（课件展示）和不定积分的两个性质:①?[f(x)+g(x)]dx=?f(x)dx+?g(x)dx ② ?kf(x)dx=k ?f(x)dx 利用基本积分表与积分的性质,所能计算的不定积分是非常有限的.因此,有必要进一步来研究不定积分的求法.
求函数f(x)不定积分的实际过程中，我们不难发现，如果被积函数f(x)结构比较复杂时，我们很难用定义求出函数f(x)的不定积分。例如，对函数
x x x x f 3sin ln 1
)(+=
x >1, (临时板书)不能直接用公式求。
概括：由于基本积分表法求函数f(x)的不定积分，需要利用基本积分表中的
公式，而基本积分表中的公式只有9个，这样能求不定积分的被积函数的种类和数量都太少，大量存在不定积分的被积函数。
（提问）复合函数的求导法是怎样的？换元积分法是把复合函数求导法则逆过来进行，通过适当的变量替换（换元，提示这是数学的基本思想方法），把某些不定积分化成基本积分表中所列函数的形式再计算出最终结果。
例如，对于不定积分?
xdx
2sin 不可以直接用基本公式?
+-=c
x xdx cos sin 来计
算，其原因是被积函数x 2sin 是复合函数，x u u y 2sin ==，，假如我们以u 为积分变量，则dx du 2=，解出
du dx 21=
，于是???=?=udu du u xdx sin 21
21sin 2sin 而在上一
节中的基本积分公式表中的每一个公式，当以其他变量替代x 时仍然是成立的，即有
c u du u +-=?cos sin 因此有
注意到在求解中我们是将积分?xdx 2sin 转化为积分()
?
x xd 22sin 来进行的，而后一个积分是以x 2为积分变量的，故可视x u 2=，
利用积分公式求出结果。那么如何将后一个积分与前一个积分相联系呢？这正是解题的关键。实际上，我们是采取了改变积分变量的方法求积分，即
()x d dx dx 221
221=?=
，而在dx 前面乘一个2是为了将dx 变为()x d 2“凑”上去的，
式子中的添加的因子21
是完全是为了前后两个积分的相等。这种积分方法称为第
一换元积分法，也称凑微分法。（求?
xdx
2sin 用临时板书，与学生一起分析过程）
二、进行新课 交代本节任务是完成不定积分的求法，而要运用换元法作为手段，作示范．
定理4.1 （第一换元法）（此定理及证明用课件展示，略说明证明过程，重点在于渗透换元思想）
?+-=+-=c x c u xdx 2cos 2
1
cos 212sin
设()()c
u F du u f +=?
则有
()()()()()c
x F dx x x +='???? （4-1） 其中()x ?是可微函数。
证 只需证明式（4-1）右端函数的导数等于左端的被积函数。
记()x u ?=，且有
()()[]()()()[]()x x f x u F c x F ????'=''='+ 因此有式（4-1）成立。
第一换元积分的思想是：在不定积分()?
dx
x f 中，若()x F 可以变形为()()()x x f ??'1，
而函数()u f 1的原函数()u F 又比较容易得出，那可以用()x u ?=对原式作换元，这时相应地有()dx x du ?'=，于是有
()()()()()()()()????='=du
u f x d x f dx x x f dx x f 1
1
1
换元???? （过程很重要）
()()c
x F c u F ++?还原求积分)(
注意：将()x f 可以变形为()()()x x f ??'1是学习中的一个难点，其困难之处是经常要“凑”上()x ?'，实际上，对于换元积分法的掌握基于我们对积分公式的熟悉，以及对复合函数分解的熟练，同时要会将微分公式反过来用。积分基本公式是积分计算的最终依据, 在积分计算时, 必须将积分号中的被积表达式与某个基本公式中被积表达式的形式完全相一致, 方可利用公式求出积分。
掌握积分的换元法就是在解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 利用换元法时，要把被积表达式分解出 ，并凑成微分 ,因此这种
方法也称为凑微分法． 例题讲解
（1）“与公式相比较换元”
dx x ?
- )25sin(
例1 求
?
-dx
x 1
21（板书）（详）
问题：请同学们观察不定积分
?
-dx
x 1
21的结构形式，它与基本积分公式表中的
哪个公式类似? 观察被积函数是一个复合函数，最外面一层是幂函数，可想到基本公式表中
c u du u ++=
+?1
11αα
α这个公式。
解 被积函数可以写成()2
1
12--x ，若令12-=x u ，可以利用积分公式
?++=
+c u du u 1
11ααα对变量u 求解。
于是令12-=x u ，则dx du 2=，即
du dx 21
=
c x c u du u
dx x +-=+?==-??
-
12221
211
2121
2
1
注意：在微分中我们已经习惯了dx y dy '=，而在积分计算中常常是要反过来使用，
即dy dx y ='。例如将）（12)2(2-==x d x d dx
例 2 求?xdx 2cos 2.（板书）（主要是学生求解，略）
问题：请同学们首先分析该例中的被积表达式2cos2xdx 与基本公式表中的哪个公式的被积表达式类似,然后请同学们利用该基本积分公式和例1中换元的方法对例2求解.
总结: 好,请同学们看黑板,将自己的解法与黑板上的解法进行对比,看看自己的解法中是否有不当之处，表达是否准确无误. 解:
C
x C
u udu x xd xdx +=+===???2sin sin cos )
2(2cos 2cos 2
其中u=2x,C 为常数.
或
其中C 为常数.（板书）
问题：在上面的两个例子的求解中,我们首先在基本积分表中寻找与所求不定积分类似的基本积分公式,然后利用换元的方法对问题求解. 现在有一个这样一个问题:如果在基本积分表中找不到与所求不定积分类似的基本积分公式, 那么,如何去求不定积分呢? 下面的例3就给出了该问题的解决办法. （2）“利用导数关系换元”
例3 求dx
e e x x
5)1(+?
（板书）（与学生一起分析，详）
与学生一起分析：观察被积函数()x x e e ='
+1，可将()()??'
++=+dx e e dx e e x x x x 11)1(5
5，
而()()'
++x x e e 115
也是积分定理中需要形式。
解 被积函数看成复合函数5
u ，x e u +=1，利用积分公式
c u dx u ++=
+?1
11αα
α对变
量u 求解。
令x e u +=1，而
()du e d de dx e x x x =+==1，于是 ??++=+==+c e c u du u dx e e x x x 6
655)1(6161)1(
例4 求?dx
x x sin （板书）（与学生一起分析，详）
与学生一起分析：观察被积函数可知：()x
x 21=
'
()'
=x x
x
x sin 2sin
∴
()()?
??+-==?
=c
x x d
x dx x x dx x
x cos
sin
2sin 2sin 1
解 被积函数看成复合函数u sin ，x u =，利用积分公式?+-=c udu cos sin 对变量u
求解。
令x u =，而du
x d dx x
221
==，于是
C
x x xd xdx +==??2sin )
2(2cos 2cos 2
??
+-=+-=?=c
x c u du u dx x
x cos 2cos 22sin sin
例5
dx x ?tan （板书）（与书上书写不同 ，请同学们注意看书，详）
问题：请同学们观察不定积分dx
x ?tan 的结构形式与基本积分公式表中的哪个
公式类似? 解:
C x C u du u x d x dx x
x
xdx +-=+-=-=-==??
??
cos ln ln 1)(cos cos 1cos sin tan
其中u=cos x,C 为常数. 或
C
x x d x dx
x x
xdx +-=-==???cos ln )(cos cos 1cos sin tan
其中C 为常数.（板书）
总结：如果在基本积分表中我们找不到与所求不定积分类似结构形式的基本积分公式的话, 我们可对被积函数进行恒等变形后(
x x
x cos sin tan =
),再利用基本微分公
式()(cos sin x d xdx -=),对积分变量(x)进行换元(u=cosx),最后再利用基本公式表
中的基本公式(C
x dx x +=?ln 1
)对其求解.所以希望同学们对基本微分公式要熟
记,还要学会基本微分公式从右到左地运用,例如,对公式d(cosx)=-sinxdx, 从右到左运用为公式 sinxdx=-d(cosx).只有这样,我们才能较快地找到解题的思路与方法. 例6 求
dx
xe x
?-2
2（板书）（略）
解 被积函数看成复合函数u
e ，2
x u -=，利用积分公式
?
+=c e du e u
u 对变量u 求解。
令2x u -=，而
du x d dx xdx -=--==)(222，于是 ()?
?+-=+-=-=--c e c e du e dx xe x
u u x 2
2
2
运算熟练之后，可以省去以上“视u x u =)(”和“还原()x u u =”的过程，而直接凑微分。
注 当熟练地掌握了这种换元法后，可以不写出中间变量记号（即不引入新的变量记号）。这样可以省去还原这一步。 例1
()??
+-=+-?=--=
-c x c x x d x dx x 1212221
121
21211
21 例6 c e x d e dx x e dx xe x x x x +=--=--=----???2
2
2
2
)()2(22
小结：分析上面六个例子的具体解法,我们发现它们有以下共同点:（引导学生分组讨论，抽学生回答）
①被积表达式中的被积函数都含有基本初等函数f(u)和初等函数u=?(x)的复合函数f[?(x)].
②所求的不定积分变形后被积表达式中都含有?'(x)dx=d(?(x)).例1中的?'(x)dx =(2x-1)'dx=2dx=d(2x-1)= d(?(x)). （临时板书）
例2中的?'(x)dx =(2x)'dx=2dx=d(2x)= d(?(x)). （临时板书） 例3中的?'(x)dx =()x x e e ='
+1dx=d(x e +1)= d(?(x)). （临时板书）
例4中的?'(x)dx=()dx x
dx x 21=
'
=d(x )= d(?(x)). （临时板书）
例5中的?'(x)dx = (sinx)'dx=cosxdx=d(sinx)= d(?(x)). （临时板书） 例6中的?'(x)dx = ()x dx x 22-='
-dx=()2x d -= d(?(x)). （临时板书）
③所求的不定积分变形后都含有? f[?(x)] ?'(x)dx. （临时板书） 例1中的
21
?f[?(x)]?'(x)dx= =-?
dx x 212121()dx x x '--?1212121= ()=
--?1212121x d x 2
1
)
()(x u u
d u f φ=?（临时板书）
例2中的
?????=====)
()()2(2cos )'2(2cos 22cos )(')]([x u du
u f x xd dx
x x dx x dx x x f ???. （临时板书）
例3中的 ?f[?(x)]?'(x)dx=(
)()??'++=+dx
e e
dx e e x
x
x x 11)1(5
5=
()()?++x
x e d e 115
=
)
()(x u u
d u f φ=?（临时板书）
例4中的 2?f[?(x)]?'(x)dx= ()'?
x x
sin 2dx=()x d x sin 2?
=2
)()(x u u d u f φ=?（临时板书）
例5中的
??
???====--=-)()()(cos cos 1
)'(cos cos 1
cos sin )(')]([x u du
u f x d x
dx x x
dx x x dx x x f ??? . （临时板书）
例6中的
-f[?(x)]?'(x)dx =()()???--='
--=----222
2
2
2x d e dx x e dx xe x x x =)()(x u u
d u f φ=?-
（临时
板书）
说明：第一换元积分法（凑微分法）是积分运算的重点, 也是难点。主要是处理复合函数求积分的方法，此法的实质是复合函数求导数的逆运算。在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分()[]()()du
u f dx x x f ??='??1必须容易求出
原函数。
它的基本思想是“变换积分变量，使新的积分对于新的积分变量容易求原函
数”，采用的手段是“凑微分”，将()?
dx
x f 凑成()[]()?
'dx
x x f ??1。如上所知，如果说
被积函数可以凑成()[]()x x f ??'1这样两个因子的乘积（其中一个是()x ?的函数，另一个是()x ?的导数），方可使用第一换元积分法。注意这里的()x ?一定要含在原被积函数中。一般地，换元后的函数()u f 是积分基本公式中函数的形式或积分基本公式中函数的线性组合形式。 三．课堂练习
（1）()dx x ?-10
12 （详讲 ） （2）
?dx x
x 2
1
cos
（分析后略讲）
（3）?dx x x ln 1
（分析后略讲） （4）
教师可以抽三个学生上黑板练习，教师巡视指导。学生练习15分钟后,教师要求学生将上述3个练习题与教材中的例1-6中的解法进行对照,找出解题过程中存在的问题.教师针对这些问题进行必要的讲解. 课堂练习详解（1）：积分对于
, 原被积函数为, 令
, 将
, 其中的因子2是
的导数, 是为了换元而凑出来的, 而因子是为了与原积分的保持相等而乘上去
的
,
于是
有
()()()()c x u
x c u du u x u x d x dx x x +-=-+?-=--=-=-????11111010
10101222
1
1211
1212
112)12(122
12122
112利用公式求出积分
（2）?
??+-=??? ??-='??? ??-=c x x d x dx x x dx x x 1sin 11cos 11cos 1
cos
2
（3）()()c x x d x
dx x +==?
?ln ln ln ln 1
ln 1
（下面部分有时间就归纳如下，无时间则作为思考题，在下次讲解作业时讲。以课件形式展示）
在积分计算中，不但要熟悉基本积分公式，还要熟悉基本微分公式，熟悉常见的凑微分形式：（参考书113p 疑难指导）
(
)()()()
()()
()()()x d x f x
x f e d e f dx e e f x d x f dx x
x f
x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f a b ax d b ax f a
dx b ax xf a b ax d b ax f a dx b ax f x
x x x tan tan cos tan 2)
1()1()
1()(ln )(ln )
(ln )(sin )(cos sin )(cos )
0)(()(21
)()0)(()(1
)(22222===-==-=≠++=+≠++=+
四．课堂小结：
本堂课主要学习了第一换元法求不定积分，第一换元积分法（凑微分法）是积分运算的重点,主要是处理复合函数求积分的方法，此法的实质是复合函数求导数的逆运算。在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分
()[]()()du u f dx x x f ??='??1
必须容易求出原函数。
掌握好换元积分法的要点: （板书）
1.熟记基本积分公式（板书），明了基本公式中的变量换成u 的函数时,公式仍然成立。
2．熟记基本微分公式（板书）,特别要注意基本微分公式的逆向使用. “凑微分”要朝着
容易求积分的方向进行（讲解）
()()()x d x f dx x
x f cot cot sin cot 2-=
3．熟记复合函数微分法则和常见的“凑微分”形式。（参考书113p 疑难指导）（板书）
4．多练习 常总结（板书）
求函数的不定积分,由于积分方法是灵活多样的, 规律性不强，技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的，因此, 这就要求同学多练习，并及时对解题方法进行总结，摸索规律, 提高解题能力。（讲解）
课下将本课已有课件、教学重难点、例题、小结等制作成课件、还有习题参考答案上传九龙坡学习平台。请同学们参考。另外，请参考中央电大、重庆电大相关教学资源。
五．课后作业（课件展示） 1．100p 练习4.2
2．思考常见的凑微分形式有哪些？（参考书113p 疑难指导）
3．思考问题：求不定积分：?dx xe x
； ?xdx ln
被积函数是两个函数乘积，但又不存在，可以写成()()()x x f ??'形式又该如何呢？为下一部分学习分部积分做准备。 六．教学后记
附板书及课件展示设计图
说明：其它需要临时板书的内容，应在相邻板书位置上板书。
集合教案第1课
课题：1.1集合－集合的概念（1） 教学目的： （1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法 （2）使学生初步了解“属于”关系的意义 （3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示 一些简单的集合 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 1．集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题 在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑 本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子 这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念 集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明 教学过程： 一、复习引入： 1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数； 2．教材中的章头引言； 3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）； 4．“物以类聚”，“人以群分”； 5．教材中例子（P4） 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： （1）有那些概念？是如何定义的？ （2）有那些符号？是如何表示的？ （3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有关概念： 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，
大学高等数学微积分教案
第一章：函数与极限 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 函数（m 是常数）叫做幂函数。幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。例如，当m = 3时，y=x3 的定义域是(-∞ ,+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0,+∞ )；当m = -1/2时，y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。但不论m 取什么值，幂函数在(0,+∞)内总有定义。 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 函数y=a x（a是常数且a>0,a≠1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。 因为对于任何实数值x，总有a x >0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数a x是单调增加的。若0
高等数学第四章 不定积分教案
第四章 不定积分 知识结构图： ???????? ???????????????????????分部积分法第二换元积分法 第一换元积分法直接积分法求不定积分基本公式性质 几何意义定义不定积分原函数 教学目的要求： 1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不 定积分的几何意义与基本性质。 2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一 类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。 3．了解不定积分在经济问题中的应用。 教学重点： 1．原函数与不定积分的概念 2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法 教学难点： 1．不定积分的几何意义 2．凑微分法、分部积分法求不定积分 第一节 不定积分的概念与基本公式 【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。 【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。 【教学重点】1．原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。 【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。 【教学时数】2学时 【教学进程】
一、原函数与不定积分的概念 (一)原函数的概念 前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题， 如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为x k 2=,求此曲线的方程。 ②已知某产品的边际成本MC ，要求该产品总成本的变化规律()C C q =． １．原函数定义 定义4．1 设)(x f 是定义在区间I 内的已知函数．如果存在可导函数)(x F ，使对于任意的I x ∈，都有 )()(x f x F ='或dx x f x dF )()(= 则称函数)(x F 是函数)(x f 的一个原函数。 例1 指出下列函数的原函数: ①x x f cos )(= ②23)(x x f = ③x a x f =)( ④x x f 1)(= 教师将举例分析：如(cos )sin x x '-=，则cos x -是sin x 在R 上的一个原函数。 2()2x x '=，则 2x 是2x 的一个原函数。 教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此， 我们不作讨论．我们只给出一个重要的结论． 结论：如果函数()f x 在某区间上连续，则其原函数一定存在 （2）25x +是不是2 x 在R 上的一个原函数呢？学生回答：是 （3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入 2.原函数个数 定理4．1 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数，且()f x 的所有原函数都具有()F x C +的形式（C 为任意常数）． (二)不定积分的概念 教师指出：在以上的分析中我们看到一个函数()f x 有原函数存在，则有无数多个，它们都可以表示为()F x C +的形式，我们把它叫做()f x 的不定积分。 １．不定积分定义 定义4．2 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则称()f x 的全体原函数()F x C +（C 为任意常数）为()f x 的不定积分，记作 C x F dx x f +=?)()(
高等数学上册教案
高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章：函数与极限 教学目的与要求18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 . -可修编
. -可修编 1、 集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ?A a ∈ 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。 如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 空集φ： A ?φ 2、 集合的运算 并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集 B A \：}|{\B x A x x B A ?∈=且 全集I 、E 补集C A ：
定积分在几何学上的应用(比赛课教案)
教学题目： 选修2-2 1.7.1定积分在几何中的应用 教学目标： 一、知识与技能： 1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法 3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法 二、过程与方法： 1. 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。 三、情感态度与价值观： 探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神； 教学重点： 应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。 教学难点： 如何恰当选择积分变量和确定被积函数。 课型、课时： 新课，一课时 教学工具： 常用教具，多媒体，PPT课件 教学方法： 引导法，探究法，启示法 教学过程
积分?b a f (x )dx 在几何上表示 x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形 的面积。 当f (x )≤0时由y =f (x )、x =a 、x =b 与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值 类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a 非常好的定积分与微积分基本定理复习讲 义 定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． [归纳·知识整合] 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下 方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质： ①∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x . ②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x . ③∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x . [探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫b a f (t )d t 是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？ 提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并 且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基 本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把F (b )－F (a ) 记成F (x )|b a ，即 ∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )． 课前预测： 1.∫421x d x 等于( ) A ．2ln 2 B ．－2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( ) 定积分的概念教案 人教A版必修一教材 教材内容分析微积分的出现和发展，极大的推动了数学的发展，同时也推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。本节课是定积分概念的第一节课，教材借助求曲边梯形的面积和物理中变速直线运动的路程，通过直观具体的实例引入到定积分的学习中，为定积分概念构建认知基础，为理解定积分概念及几何意义起到了铺垫作用，同时也为今后进一步学习微积分打下基础。 学生情况分析 本节课的教学对象是本校实验班学生，学生思维比较活跃，理解能力、运算能力和学习交流能力较强。学生前面已经学习了导数，并利用导数研究函数的单调性、极值及生活中的优化问题等，渗透了微分思想。从学生的思维特点看，比较容易把刘徽的“割圆术”与本节课知识联系到一起，能够初步了解到“以直代曲”和“无限逼近”的重要数学思想，但是在具体的“以直代曲”过程中，如何选择适当的直边图形来代替曲边梯形会有一些困难。在对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值及在对定积分定义的归纳中符号的理解上也会有一些困难。 教学目标 1．从物理问题情境中了解定积分概念的实际背景，初步掌握求曲边梯形的面积的方法和步骤：分割、近似代替、求和、取极限； 2．经历求曲变梯形面积的过程，借助几何直观体会“以直代曲”和“逼近”的思想，学习归纳、类比的推理方式，体验从特殊到一般、从具体到抽象、化归与转化的数学思想； 3．认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点,感受数学的简单、简洁之美． 教学重点直观体会定积分的基本思想方法：“以直代曲”、“无限逼近”的思想； 初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”（即：分割、近似代替、求和、取 极限） 教学难点对“以直代曲”、“逼近” 思想的形成过程的理解． 教学方式教师适时引导和学生自主探究发现相结合． 辅助工具投影展台，几何画板． 教学过程 引入新课问题：汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为 S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为()2 v t t=（单 位：km/h），那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km）是多少？ 创设情境，引入 这节课所要研究的 问题. 类比探究，形成方法如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线() y f x =的一 段，我们把由直线,(),0 x a x b a b y ==≠=和曲线() y f x =所围 成的图形称为曲边梯形． 如何计算这个曲边梯形的面积？ （1）温故知新，铺垫思想 问题1：我们在以前的学习经历中有没有用直边 图形的面积计算曲边图形面积这样的例子？ 问题2：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？为什么 要逐次加倍正多边形的边数？ （2）类比迁移，分组探究 问题3：能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题 转化为直边图形的面积问题？ 学生活动：学生进行分组讨论、探究。 （3）汇报比较，形成方法 学生需要用原有的 知识与经验去同化 或顺应当前要学习 的新知识，所以问 题1引导学生回忆 割圆术的作法，通 过问题2引导学生 思考割圆术中的思 想方法----“以直代 曲”，和“无限逼 近”。 通过问题3激 发学生探索的愿 望，明确解决问题 的方向。 微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基 本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差 常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分. 《微积分》教学大纲 课程代码： 名称：微积分学 授课专业：工业设计专业 学时数：100 一、课程的目的和要求 学生能够通过本课程的学习，获得一元函数微积分学、多元函数微分学方面比较系统的知识。同时，这些知识的掌握也会给后续课程的学习打下基础。 更重要的是，在教学过程中使学生加深高等数学的辩证统一思想的理解，并利用这一思想解决一些实际问题。通过这门课程的学习，提高学生的空间想象能力、逻辑思维和创造性思维能力，全面提高学生的数学素质。 二、课程教学内容 第一部分函数 主要内容：函数的概念与性质，复合函数、初等函数的概念。 要求： 1、理解函数的概念，能列出简单实际问题中的函数关系。 2、理解函数的单调性、周期性、有界性和奇偶性； 3、理解反函数和复合函数的概念； 4、理解初等函数的概念和性质。 重点：函数的的概念与性质。 难点：列出问题中的函数关系，反函数和复合函数的概念。 第二部分极限与连续 主要内容：极限的概念，极限四则运算，无穷小、无穷大的概念，函数连续的概念。 要求： 1、了解数列极限、函数极限的概念(对极限的精确定义、证明不作要求)； 2、掌握极限四则运算法则，会用两个重要极限求极限； 3、理解解无穷小与无穷大、高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小的概念； 4、理解函数在一点连续和在一区间连续概念，了解函数间断的概念； 5、了解初等函数的连续性，了解在闭区间上连续函数的性质. 重点：极限的四则运算法则。 难点：极限的概念，连续的概念。 第三部分导数与微分 主要内容：导数和微分的概念，导数和微分的运算。 要求： 1、理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，了解函数的可导与连续之间的关系； 2、熟练掌握导数和微分的运算法则、导数的基本公式，了解高阶导数概念，能熟练求初等函数的一阶、二阶导数（n>2阶导数不作要求）； 3、掌握复合函数和隐函数的求导法； 4、会求曲线的切线与法线方程，了解微分在近似计算中的应用。 第一讲毕达哥拉斯（2课时） 一、课程目标： 1、知识与技能 a.知道毕达哥拉斯的故事，感悟数学家的人格魅力 b.了解数学家对世界数学界作出的杰出贡献 2、过程与方法 a.主要以教师讲授为主，注意引导学生积极参与 b. 初步学会运用多种手段查找资料，调查研究，运用比较、分类、归纳、概括等方法主动获取有用信息 3、情感态度与价值观 a. 培养学生对数学的兴趣，激发学生对数学的热爱 b.培养学生吃苦耐劳精神 c、培养学生的合作精神 二．重点难点 重点：毕达哥拉斯的主要数学成就 难点：毕达哥拉斯数学成就的理解 三．教学过程 1.课前准备：分小组利用书籍、报刊、网络收集毕达哥拉斯的生平以及他在数学领域的主要贡献 2. 毕达哥拉斯的生平简介 毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC—497 BC)古希腊数学家。无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。 毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养，大约在 公元前530年又返回萨摩斯岛。后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。 泰勒斯(Thales)在哲学上有个对立面，这个人就是首先提出物质运动应该符合数学规律的古希腊哲学家、数学家、天文学家——毕达哥拉斯(公元前560年～公元前480年)。3. 毕达哥拉斯的主要数学成就（详见讲义） （1）毕达哥拉斯定理——勾股定理 （2）数论 （3）整数的变化 （4）几何的其他贡献 4. 毕达哥拉斯的生平小传 四．课后作业 毕达哥拉斯的主要成就有哪些你从他身上学到了什么 第二讲欧几里德（2课时） 一、课程目标： 1、知识与技能 a.知道欧几里德的故事，感悟数学家的人格魅力 1.6微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理 的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 设()()F x f x '=则在[,]a b 上，⊿y=()()F b F a - 将[,]a b 分成n 等份，在第i 个区间[x i-1,x i ]上，记⊿yi=F(x i )-F(x i-1),则 ⊿y=∑⊿y i 如下图，因为⊿h i =f(x i-1) ⊿x 而⊿y i ≈⊿h i 所以 ⊿y ≈∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x 故 三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 1．设函数0 cos x y tdt = ?，求'(0)y ，'()4 y π。 【解】由题设得'()cos y x x =， 于是得 '(0)cos01y ==，'()cos 4 4 2 y ππ == 。 2．计算下列各导数： ⑴20x d dx ?； 【解】20x d dx ?2)x =2= ⑵ 1t d dt dx ； 【解】1t d dt dx 1 ()t d dt dx =-=-=。 ⑶ cos 2 sin cos()x x d t dt dx π?； 【解】cos 2sin cos()x x d t dt dx π?0cos 2 2sin 0[cos()cos()]x x d t dt t dt dx ππ=+?? 》 0cos 22 sin 0cos()cos()x x d d t dt t dt dx dx ππ= +?? sin cos 2200 [cos()]cos()x x d d t dt t dt dx dx ππ=-+?? 22cos(sin )(sin )cos(cos )(cos )d d x x x x dx dx ππ=-+ 22cos(sin )cos cos[(1sin )](sin )x x x x ππ=-+-- 22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x πππ=--- 22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x ππ=-+ 2cos(sin )(sin cos )x x x π=-。 ⑷2ln 1 x x d dt dx t ?。 【解】 2ln 1x x d dt dx t ?21ln 11 1[]x x d dt dt dx t t =+?? 21ln 111x x d d dt dt dx t dx t =+?? … 第4章 不定积分 分部积分法 【教学目的】： 1. 理解分部积分法； 2. 能熟练地运用分部积分法求解不定积分。 【教学重点】： 1. 分部积分法。 【教学难点】： 1. 分部积分法应用中u 和v 的选择。 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 我们在求积分时，经常会遇到被积函数是两类不同函数乘积的不定积分，这类积分用我们上一节学习的换元积分法很难求出来，这一节我们就学习解决这类积分的积分方法：分部积分法． 设)(),(x v v x u u ==有连续的导数，由'')'(uv v u uv +=，得v u uv uv ')'('-=两边积分，有???-=vdx u dx uv dx uv ')'(' 即 ??-=vdu uv udv ① 式①称为分部积分公式，使用分部积分公式求不定积分的方法称为分部积分法． 利用分部积分公式解题的关键是如何恰当的选取dv u 和，选取原则是： （1）v 要容易求出． （2）?vdu 要比原积分?udv 易求得． 下面通过例子说明分部积分公式适用的题型及如何选择dv u 和： 例1 求?xdx x cos ． 解 令 ,cos ,xdx dv x u ==则x v sin =，于是 ???+--=-==C x x x xdx x x x xd xdx x )cos (sin sin sin )(sin cos sin cos x x x C =++． 此题若令,,cos xdx dv x u ==则22 1x v =，于是 ???-?=?? ? ??=)(cos 2121cos 21cos cos 222x d x x x x xd xdx x xdx x x x sin 2 1cos 2122?+= ． 这样新得到的积分?xdx x sin 212反而比原积分?xdx x cos 更难求了．所以在分部积分法中，)()(x dv dv x u u ==和的选择不是任意的，如果选取不当，就得不出结果． 例2 求?dx xe x ． 解 设dx e dv x u x ==,，则x e v =，于是 C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==? ??． 注：在分部积分法中，dv u 及的选择有一定规律的．当被积函数为幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，往往选取幂函数为u ． 例3 求?xdx x ln 2． 解 为使v 容易求得，选取?? ? ??===3221,ln x d dx x dv x u ，则331x v =，于是 ? ??-==)(ln 31ln 31ln 31ln 3332x d x x x xdx xdx x C x x x dx x x x +-=-=?332391ln 3131ln 31． 例4 求?xdx arctan ． 解 设dx dv x u ==,arctan ，则x v =，于是 21arctan arctan (arctan )arctan 1xdx x x xd x x x x dx x =-=-? +??? 222111arctan (1)arctan ln(1)212 x x d x x x x C x =-+=-+++?． 注 1如果被积函数含有对数函数或反三角函数，可以用考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u ． 注2 在分部积分法应用熟练后，可把认定的u ，dv 记在心里在而不写出来，直接在分部积分公式中应用． 定义（定积分） 设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。 上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定： （1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ； （2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。 可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。 定理1（可积的必要条件） 如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。 定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。 引理（微分中值定理） 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。 证明： 1.7.1定积分在几何中的应用 学习目标： 1．体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形面积的思想方法； 2．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 3．理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理。 学习方法： 情境一：展示精美的赵州桥图片，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积 问题1：桥拱与水面之间的切面的面积如何求解呢？ 问题2：需要用到哪些知识？（定积分） 问题3：求曲边梯形的思想方法是什么？ 问题4：定积分的几何意义是什么？ 问题5：微积分基本定理是什么？ 情境二：利用定积分求平面图形的面积 例1． 计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 问题1：你能在平面直角坐标系内画出两条抛物线吗？ 问题2：能在图中找出所要求的图形吗？（用阴影部分表示出来） （如右图） 问题3：这个图形以前见过吗？有没有直接的公式求它的面积吗？ 问题4：既然没有直接的公式求其面积，那能不能转化成我们学过的曲边梯形的面积来间接求解呢？（可看做两个曲边梯形的面积之差，进而可以用定积分来解决） 解：解方程组?????==2 2x y x y 得到交点横坐标为0=x 或1=x x y O A B C D 2 x y =x y =2 1 1 -1 -1 4 x y O 8 4 2 2 ∴ OABD OABC S S S 曲边梯形曲边梯形-=dx x ? = 1 dx x ?-1 2 1031 0233132x x -=313132=-= 情境三 学生探究： 例2．计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S. 分析：模仿例1，先画出草图（左图），并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题． 问题1：阴影部分图形是曲边梯形吗？ 问题2：不是曲边梯形怎么办？能否构造出曲边梯形来呢？ 问题3：如果转化成两部分的面积和，应该怎样作辅助线？（过点（4,0）作x 轴的垂线将阴影部分分为两部分） 问题4：两部分面积用定积分分别应该怎样表示？（注意积分上下限的确定） 问题5：做辅助线时应该注意什么？（尽量将曲边图形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合成的图形.） 规范的解题过程此处略去 思考：1.本题还有没有其它的解决方案？（可以将此阴影部分看做一个曲边梯形和一个三角形的面积之差） 2.上面的解法是将x 看作积分变量，能不能将y 看作积分变量？尝试解决之。 情境四：结合以上两个例题，总结利用定积分求平面图形面积的基本步骤。 解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤： 1．画草图，求出曲线的交点坐标 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积 3．根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间 5．计算定积分，求出面积.非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义教案资料
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