建立数学模型的方法、步骤

§16.3 建立数学模型的方法、步骤、特点及分类

[学习目标]

1.能表述建立数学模型的方法、步骤；

2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理

性、技艺性和局限性等特点；；

3.能表述数学建模的分类；

4.会采用灵活的表述方法建立数学模型；

5.培养建模的想象力和洞察力。

一、建立数学模型的方法和步骤

—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．

可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。

建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示．

图16-5 建模步骤示意图

模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料.

模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥

想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．

模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏.

模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术．

模型分析对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制，不论哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等．模型检验把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性．这一步对于建模的成败是非常重要的，要以严肃认真的态度来对待．当然，有些模型如核战争模型就不可能要求接受实际的检验了．模型检验的结果如果不符合或者部分不符合实际，问题通常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模．有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意．

模型应用应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的，这方面的内容不是本书讨论的范围。

应当指出，并不是所有建模过程都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明．建模时不应拘泥于形式上的按部就班，本书的建模实例就采取了灵活的表述方式．

二、数学模型的特点

我们已经看到建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段。数学模型有许多优点，也有弱点。建模需要相当丰富的知识、经验和各方面的能力，同时应注意掌握分寸．下面归纳出数学模型的若干特点，以期在学习过程中逐步领会．

模型的逼真性和可行性一般说来总是希望模型尽可能逼近研究对象，但是一个非常逼真的模型在数学上常常是难于处理的，因而不容易达到通过建模对现实对象进行分析、预报、决策或者控制的目的，即实用上不可行．另一方面，越逼真的模型常常越复杂，即使数学上能处理，这样的模型应用时所需要的“费用”也相当高，而高“费用”不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配．所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性，“费用”与“效益”之间做出折衷和抉择．

模型的渐进性稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过上一节描述的建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的模型．在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高，各门学科中的数学模型也存在着一个不断完善或者推陈出新的过程．从19世纪力学、热学、电学等许多学科由牛顿力学的模型主宰，到20世纪爱因斯坦相对论模型的建立，是模型渐进性的明显例证．

模型的强健性模型的结构和参数常常是由对象的信息如观测数据确定的，而观测数据是允许有误差的．一个好的模型应该具有下述意义的强健性：当观测数据(或其他信息)有微小改变时，模型结构和参数只有微小变化，并且一般也应导致模型求解的结果有微小变化．模型的可转移性模型是现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域．在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型．模型的这种性质显示了它的应用的极端广泛性．

模型的非预制性虽然已经发展了许多应用广泛的模型，但是实际问题是各种各样、变化万千的，不可能要求把各种模型做成预制品供你在建模时使用。模型的这种非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题(Open—end problem)．在建立新的模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生．

模型的条理性从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、更深入、更具条理性，这样即使建立的模型由于种种原因尚未达到实用的程度，对问题的研究也是有利的。

模型的技艺性建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划解法等是根本不同的，无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧．有入说。建模目前与其是一门技术、不如说是一种艺术．是技艺性很强的技巧．经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知识更大．

模型的局限性这里有几方面的含义．第一，由数学模型得到的结论虽然具有通用性和精确性，但是因为模型是现实对象简化、理想化的产物，所以一旦将模型的结论应用于实际问题，就回到了现实世界，那些被忽视、简化的因素必须考虑，于是结论的通用性和精确性只是相对的和近似的．第二，由于人们认识能力和科学技术包括数学本身发展水平的限制，还有不少实际问题很难得到有着实用价值的数学模型．如一些内部机理复杂、影响因素众多、测量手段不够完善、技艺性较强的生产过程，像生铁冶炼过程，需要开发专家系统，与建立数学模型相结合才能获得较满意的应用效果．专家系统是一种计算机软件系统，它总结专家的知识和经验，模拟人类的逻辑思维过程，建立若干规则和推理途径，主要是定性地分析各种实际现象并做出判断．专家系统可以看成计算机模拟的新发展．第三，还有些领域中的问题今天尚未发展到用建模方法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程，目前所谓计算机辅助诊断也是属于总结著名中医的丰富临床经验的专家系统．

建模过程是一种创造性思维过程，除了想象、洞察、判断这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力之外，直觉和灵感往往也起着不可忽视的作用。当由于各种限制利用已有知识难以对研究对象做出有效的推理和判断时，凭借相似、类比、猜测、外推等思维方式及不完整、不连续、不严密的，带启发性的直觉和灵感，去“战略性”地认识对象，是人类创造性思维的特点之一，也是人脑比按程序逻辑工作的计算机、机器人的高明之处．历史上不乏在科学家的直觉和灵感的火花中诞生的假说、论证和定律．当然，直觉和灵感不是凭空产生的，它要求人们具有丰富的背景知识，对问题进行反复思考和艰苦探索，对各种思维方法运用娴熟．相互讨论和思想交锋，特别是不同专业的成员之间的探讨，是激发直觉和灵感的重要因素．所以由各种专门人才组成的所谓团队工作方式(Team work)越来越受到重视．

前面说过，建模可以看成一门艺术．艺术在某种意义下是无法归纳出几条准则或方法的．一名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指教，更需要亲身的实践．类似地，掌握建模这门艺术培养想象力和洞察力，一要大量阅读、思考别人做过的模型，二要亲自动手，认真做几个实际题目．

三、数学模型的分类

数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种．

1.按照模型的应用领域(或所属学科)分．如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等．范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等．

2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分．如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等．

按第一种方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用．在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模．

3.按照模型的表现特性又有几种分法：

确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响．近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型．

静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化．

线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的．

离散模型和连续模型指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的．

虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、

静态、线性模型．连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定．在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续，也是常采用的方法．

4.按照建模目的分．有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等．

5.按照对模型结构的了解程度分．有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型．这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙．白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了．灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做．至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象．有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理．当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的．

习题16.3

为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外还常常需要从侧面或反面思考．试尽可能迅速地回答下面的问题：

1、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿．次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店．某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点．为什么?

2、37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛?

3、甲乙两站之间有电车相通,每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车,但发车时刻不—定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站、并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站,仅约10天到达乙站．问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的?

4、某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家．一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵T市车站,随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟．问他步行了多长时间?

5、一男孩和一女孩分别在离家2千米和1千米且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4千米／小时和2千米／小时的速度步行回家.—小狗以6千米／小时的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多少路程?

如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间。问当他们到达学校时小狗在何处?

数学建模的基本步骤及方法

数学建模的基本步骤及方法 数学建模是一种应用数学的方法，通过对实际问题进行抽象和建立 数学模型，以求解问题或进行预测和模拟。它在各个领域都有广泛的 应用，如物理学、工程学、经济学等。本文将介绍数学建模的基本步 骤及方法。 一、问题理解与建模目标确定 在进行数学建模之前，首先需要对问题进行全面的理解，并明确建 模的目标。了解问题的背景、限制条件和需求，明确要解决的主要问题。确定建模目标是指明建模的最终目的，如是否需要进行预测，求 解最优解或模拟系统行为等。 二、问题假设与参数设定 在建立数学模型时，为了简化问题和计算，我们常常需要进行一些 假设。假设可以是对某些变量的约束条件，或对系统行为的特定假设。另外，还需要确定模型中的参数，即直接影响模型行为和计算结果的 变量值。 三、模型构建与分析 模型构建是指根据问题的特性和建模目标，选择适当的数学方法和 公式，将问题转化为数学表达式。常用的数学方法包括微积分、线性 代数、随机过程等。模型构建后，需要对模型进行分析，检验模型的 可行性和有效性，评估模型与实际问题的拟合程度。

四、模型求解与结果验证 模型的求解是指通过计算或优化方法，求得模型的解析解或数值解。求解的方法多种多样，如数值计算、优化算法、模拟仿真等。求解后，需要对结果进行验证，比较模型求解的结果与实际情况的差异，并分 析产生差异的原因。 五、结果分析与报告撰写 对模型的结果进行分析是数学建模的重要环节。通过对结果的解释 和分析，了解模型对问题的预测、优化或模拟效果。在分析过程中， 需要注意结果的合理性和稳定性，以及对结果的可靠性和可解释性进 行评估。最后，撰写模型报告，将整个建模过程和结果进行系统化的 呈现和总结，并提出进一步改进的建议。 六、模型验证与应用 模型验证是指将建立好的数学模型应用于实际问题，并进行实验验 证和应用效果评估。通过与实际数据和实验结果进行比较，验证模型 的有效性和适用性。若模型符合实际要求，则可以将其应用于类似问 题的求解和预测。 总结： 数学建模的基本步骤包括问题理解与建模目标确定、问题假设与参 数设定、模型构建与分析、模型求解与结果验证、结果分析与报告撰写，以及模型验证与应用。在建模过程中，需要灵活运用数学工具和

数学建模的五个步骤

数学建模的五个步骤 数学建模是指利用数学方法来解决实际问题的过程。它在现代科学研究、工程技术等领域都有广泛的应用。数学建模的过程可以分为五个步骤，包括问题理解、建立模型、模型求解、模型评价和结果解释。下面将详细 介绍这五个步骤。 第一步：问题理解 问题理解是数学建模的第一步，也是至关重要的一步。正确的问题理 解能够确保后续建模过程的准确性和有效性。在问题理解阶段，研究者需 要明确问题的背景和要求，确定问题的范围和目标，以及搜集相关的实验 数据和文献资料。这些信息将有助于研究者在后续的建模过程中更好地进 行模型的构建和求解。 第二步：建立模型 建立模型是数学建模的核心步骤，它是将实际问题转化为数学问题的 过程。在建立模型时，研究者需要根据问题的特点和要求，选取合适的数 学方法和工具，构建数学模型。数学模型可以是代数方程、差分方程、微 分方程、最优化问题等等。模型的构建需要充分考虑实际问题中的各种因 素和假设条件，并进行适当的抽象和简化。此外，研究者还需要对所选用 的数学模型进行合理的验证和修正。 第三步：模型求解 模型求解是数学建模中的关键步骤之一、在模型求解过程中，研究者 需要选择合适的求解方法和算法，使用计算机软件或手工计算来解决所建 立的数学模型。求解的过程中，研究者需要考虑求解的效率和精度，以及 结果的可靠性和实用性。

第四步：模型评价 模型评价是对所建立的数学模型进行有效性和可行性的评估。在模型 评价过程中，研究者需要利用实验数据和实际情况进行模型的验证和检验。评价的指标可以是模型的拟合度、预测精度、稳定性等等。通过模型评价 的结果，可以对模型进行合理的调整和改进，以便更好地解决实际问题。 第五步：结果解释 结果解释是数学建模的最后一步，也是将数学模型的结果转化为实际 应用的关键一步。在结果解释过程中，研究者需要将模型的结果与实际问 题进行对比和分析，解释模型的意义和结论，提出相应的建议和策略。结 果解释的目的是使模型的结果能够被决策者、管理者和其他利益相关方所 理解和接受，并能够指导实际问题的解决和处理。 总结起来，数学建模的五个步骤为问题理解、建立模型、模型求解、 模型评价和结果解释。这些步骤需要研究者综合运用数学理论和实践经验，灵活应用数学方法和工具，建立合理的数学模型，并通过有效的求解和评 价方法来解决实际问题。数学建模的过程是一个既有挑战性又具有创造性 的过程，它能够促进科学研究和技术发展的进步，为社会经济的可持续发 展做出重要贡献。

数学建模的几个过程

数学建模的几个过程 数学建模是一种将实际问题转化为数学问题并求解的方法，通常包括四个基本过程：问题建模、模型建立、模型求解和模型验证。下面将详细介绍这四个过程。 一、问题建模： 问题建模是数学建模的第一步，其目的是明确问题的具体解决要求和限制条件。具体步骤如下： 1.问题描述：对问题进行全面准确的描述，了解问题的背景、目标和约束条件。 2.数据收集与处理：收集和整理与问题相关的数据，并进行必要的处理和分析，以便后续建模和求解。 3.确定目标函数与约束条件：明确问题的目标和约束条件，将其转化为数学表达式。 二、模型建立： 模型建立是数学建模的核心过程，其目的是将问题转化为数学形式。具体步骤如下： 1.建立模型的数学描述：根据问题的特点和要求，选取适当的数学方法，将问题进行数学化描述。 2.假设与简化：对问题进行适度的简化和假设，以降低问题的复杂性和求解难度。

3.变量定义和量纲分析：明确定义模型中的各个变量和参数，并进行量纲分析和归一化处理，以确保模型的合理性和可靠性。 三、模型求解： 模型求解是对建立的数学模型进行求解，以得到问题的解答。具体步骤如下： 1.求解方法选择：根据模型的特点和求解要求，选择适当的数学方法进行求解，如解析解法、数值解法、近似解法等。 2.模型编程与计算：对所选的求解方法进行程序设计和算法实现，利用计算机进行模型求解，得到问题的数值解。 3.求解结果分析与解释：对求解结果进行分析和解释，解释结果的含义和对问题的解答进行验证。 四、模型验证： 模型验证是对建立的数学模型进行验证和评估，以确定模型的合理性和可靠性。 1.合理性检验：对模型的假设和简化进行合理性的检验，检查是否存在明显的偏差和不合理的结果。 2.稳定性与敏感性分析：对模型的稳定性和敏感性进行分析，研究模型对参数变化和扰动的响应情况。 3.模型与数据的拟合度：比较模型的预测结果与实际观测数据之间的拟合度，评估模型对实际问题的适用性。

数学模型的建立方法

数学模型的建立方法 数学模型是将现实问题抽象化、定量化和数学化的过程，它可以帮助我们理解问题的本质、预测未知情况、优化决策等。下面是一个数学模型的建立方法的详细介绍： 1.明确问题：首先需要明确问题的背景、目标和约束条件。例如，我们可能需要建立一个模型来优化供应链管理问题，那么我们需要明确我们的目标是什么，有哪些约束条件。 2.收集数据：为了建立数学模型，我们需要收集相关的数据。这包括实地调研、文献研究、统计数据等。数据的质量和数量对模型的建立和准确性非常重要。 3.建立假设：建立数学模型需要做出适当的假设，以简化问题的复杂性。假设应该基于对问题的理解和实际情况。例如，在优化调度模型中，常见的假设包括可行解、稳定环境、线性关系等。 4.确定变量和关系：接下来，我们需要确定模型中的变量和它们之间的关系。变量是描述问题状态和属性的因素。关系是变量之间的数学表达式或约束条件。我们可以使用数学公式、方程、不等式等来描述变量和关系。 5.建立数学模型：根据前面的步骤，我们可以构建数学模型。数学模型可以分为多种类型，包括代数模型、几何模型、概率模型等。根据问题的性质和需求选择合适的数学模型。 6.求解和优化：建立数学模型后，我们需要求解模型以获得有关问题的信息。这可以通过数学分析、符号计算和算法求解等方法来实现。通过求解模型，我们可以获得问题的最优解、稳定解、灵敏度分析等。

7.模型验证和修正：验证模型的准确性和适用性非常重要。我们可以使用现有的数据进行模拟和实验，将模型的结果与实际情况进行对比和验证。如果模型结果不符合预期，我们需要对模型进行修正和改进。 8.模型应用：最后，根据模型的结果，我们可以进行相应的决策和行动。数学模型提供了对问题的深入理解和预测能力，可以指导实际环境中的决策和行动，从而达到优化和改善问题的目的。 总结起来，数学模型的建立需要明确问题、收集数据、做出假设、确定变量和关系、建立模型、求解和优化、模型验证和修正以及模型应用。这些步骤相互依赖和互为补充，需要综合运用数学、统计、优化等方法和工具来完成。

建立数学模型的方法步骤特点及分类

建立数学模型的方法步骤特点及分类 方法： 1.归纳法：通过观察和分析问题的特点，总结规律，建立数学模型。 这种方法适用于一些具有规律性的问题。 2.拟合法：通过收集和分析实际数据，找到数据之间的关系，并用数 学函数来拟合数据，建立数学模型。这种方法常用于实际问题中的数据分 析和预测。 3.分析法：通过对问题进行分析，找出问题的关键因素和数学关系， 建立数学模型。这种方法适用于复杂和抽象的问题。 步骤： 1.确定问题：明确问题的背景、条件和目标。 2.收集数据：收集相关的实际数据，了解问题的现状。 3.建立假设：对问题进行分析，提出一些可能的假设。 4.建立模型：根据问题的性质和假设，选择合适的数学方法和函数， 建立数学模型，将实际问题转化为数学问题。 5.求解模型：通过数学计算和推理，解决建立的数学模型，得出结论。 6.模型验证：将模型的结果与实际情况进行比较和分析，检验模型的 准确性和可靠性。 7.结果解释：将模型的结果解释给决策者或用户，提供对问题的认识 和决策依据。

特点： 1.抽象性：数学模型对实际问题进行了抽象和简化，从而能够更好地 描述和解决问题。 2.精确性：数学模型具有精确的语言和推理，能够给出准确的数值结果。 3.可行性：数学模型能够通过计算和推理得出结果，帮助解决实际问题。 4.替代性：数学模型可以替代实验或观测，节省时间和成本。 分类： 1.数量模型：用数学表达式和符号来描述问题的数量关系，包括线性 模型、非线性模型、离散模型、连续模型等。 2.质量模型：用数学方法描述问题的质量关系，包括概率模型、统计 模型、优化模型等。 3.动态模型：描述问题随时间变化的规律和趋势，包括微分方程模型、差分方程模型、随机过程模型等。 4.静态模型：描述问题的状态和平衡点，包括线性规划模型、非线性 规划模型、输入输出模型等。 总之，建立数学模型是解决实际问题的重要方法之一、根据问题的性 质和要求，选择合适的建模方法和模型类型，通过建立、求解和验证数学 模型，可以得出有关问题的结论和解决方案。

数学建模步骤

数学建模步骤 数学建模是一种通过数学方法解决实际问题的方法。下面将介绍数学建模的步骤。 一、问题的提出 数学建模的第一步是确定问题的范围和目标。问题的提出需要从实际问题出发，明确解决的问题是什么。例如，设计一个航空航天器、预测未来气候变化等。要求问题清晰明确、具有可行性和实用性。 二、建立模型 建立模型是数学建模的核心。模型是指将实际问题抽象成为数学模型，通过数学语言和符号表达出来。建立模型需要根据问题的特征和要求，选择合适的数学方法和理论，构建出合理的数学模型。常用的数学方法包括微积分、概率论、统计学、最优化、动力系统等。 三、求解模型 求解模型是指通过数学方法对建立的数学模型进行求解，得到问题的解答。在求解模型时，需要根据实际情况选择适当的数值计算方法、数值计算软件等。常用的数值计算方法包括迭代法、差分法、有限元法等。求解的结果需要进行验证和

分析，以确保解的正确性和合理性。 四、模型的评价 模型的评价是对建立的数学模型进行评估，判断模型的适用性和可靠性。评价模型需要考虑模型的合理性、可行性、稳定性、准确性等方面。评价的结果用于改进和优化模型，或者选择更合适的数学方法和理论。 五、应用模型 应用模型是指将建立好的数学模型应用到实际问题中，得到解决方案。应用模型需要将建立好的数学模型与实际场景结合起来，进行具体的应用。在应用模型时，需要考虑模型的实用性、可行性、成本效益等方面。 六、模型的优化 模型的优化是指对已经建立好的数学模型进行优化和改进，以提高模型的精度和效率。模型的优化需要根据实际问题的特点和要求，选择合适的优化方法和技术。常用的优化方法包括遗传算法、模拟退火算法、神经网络等。 总之，数学建模是一种复杂的过程，需要全面考虑问题的各个方面，运用多种数学方法和技术，以达到解决实际问题的目的。

建立数学模型的方法步骤

建立数学模型的方法步骤 1.确定问题：明确问题的目标和约束条件。了解问题的背景、需求， 明确所要解决的问题是什么，以及有哪些限制条件。 2.收集数据：收集与问题相关的数据，可能包括实测数据、统计数据、文献资料等。对数据进行整理和清洗，确保数据的准确性和完整性。 3.建立假设：在数学建模中，常常需要对问题进行简化和假设。根据 实际情况，设定适当的假设，并明确假设的范围和限制。 4.选择模型类型：根据问题的性质和特点，选择适合的数学模型类型。常用的模型类型有优化模型、统计模型、微分方程模型、随机模型等。不 同的模型类型适用于不同的问题。 5.建立数学关系：确定问题中的关键变量和参数，并建立它们之间的 数学关系。这通常通过利用已知的理论知识和数学工具，如方程、不等式、差分方程、微分方程、概率分布等来表达。 6.模型求解：对建立的数学模型进行求解，即找到使得模型满足约束 条件并达到最优目标的解。常用的求解方法包括数值计算、优化算法、统 计推断等。选择合适的求解方法，进行计算和分析。 7.模型验证：对建立的数学模型进行验证，检验模型在实际情况下的 适用性和准确性。可以利用实验数据和实际观测来验证模型的预测结果和 假设的有效性。 8.模型应用：根据模型的求解结果和验证结果，进行模型的应用和分析。可以对问题进行预测、优化、决策等，为实际问题的解决提供有效的 参考和指导。

需要注意的是，建立数学模型是一个循环迭代的过程。在实际建模中，可能需要多次进行步骤的调整和重复，以不断优化模型的表达和求解效果。 在建立数学模型的过程中，还需要具备一定的数学知识和问题分析能力。掌握数学方法和工具，了解问题背后的本质和规律，以及具备逻辑分 析和抽象思维能力，能够将实际问题转化为数学形式并进行求解分析。此外，还需要广泛阅读和学习数学建模的相关经验和方法，以丰富自己的建 模思路和工具箱，提高建立数学模型的能力。

数学建模的方法和步骤

数学建模的方法和步骤 数学建模是将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法进行分析和求解的过程。数学建模方法和步骤如下： 一、问题理解与分析： 1.了解问题的背景和目标，明确问题的具体需求； 2.收集相关的数据和信息，理解问题的约束条件； 3.划定问题的范围和假设，确定问题的数学建模方向。 二、问题描述与假设： 1.定义问题的数学符号和变量，描述问题的数学模型； 2.提出问题的假设，假定问题中的未知参数或条件。 三、建立数学模型： 1.根据问题的特点选择合适的数学方法，包括代数、几何、概率统计等； 2.基于问题的约束条件和假设，通过推理和分析建立数学方程组或函数模型； 3.利用数学工具求解数学模型。 四、模型验证与分析： 1.对建立的数学模型进行验证，检验解的合理性和有效性； 2.分析模型的稳定性、灵敏度和可行性。

五、模型求解与结果解读： 1.利用数学软件、计算机程序或手工计算的方法求解数学模型； 2.对模型的解进行解释、分析和解读，给出问题的答案和解决方案。 六、模型评价与优化： 1.对建立的数学模型和求解结果进行评价，判断模型的优劣； 2.如果模型存在不足，可以进行优化和改进，重新调整模型的参数和假设。 七、实施方案和应用： 1.根据模型的求解结果，制定实施方案和行动计划； 2.将模型的解决方案应用到实际问题中，监测实施效果并进行调整。 八、报告撰写与展示： 1.将建立的数学模型、求解方法和结果进行报告撰写； 2.使用图表、表格等方式进行结果展示，并进行清晰的解释和讲解。 九、模型迭代和改进： 1.随着问题的发展和实际情况的变化，及时调整和改进建立的数学模型； 2.针对模型的不足，进行迭代和改进，提高模型的准确性和实用性。总结： 数学建模方法和步骤的关键是理解问题、建立数学模型、求解和分析结果。在建模的过程中，需要根据实际问题进行合理的假设，并灵活运用

3建立数学模型方法和步骤

3建立数学模型方法和步骤 建立数学模型是将实际问题转化为数学问题，以便进行定量分析和求解的过程。建立数学模型能够帮助我们更好地理解问题背后的本质，为决策和预测提供依据。下面将介绍建立数学模型的方法和步骤。 方法一：方程法 方程法是一种常用的建立数学模型的方法，其基本步骤包括以下四个方面： 1.确定问题的基本要素，包括变量、参数和指标。变量是问题中可变的量，可以进行测量和观察，而参数是固定的量，通常是由以前的实验或者经验确定的。指标是评价问题结果的标准。 2.建立数学方程或者不等式，用变量、参数和指标之间的关系来描述问题。这些方程或者不等式可以是线性的，也可以是非线性的。可以根据问题背景和要求，选择适当的数学模型，常见的数学模型包括数学规划模型、统计模型、差分方程模型等。 3.对建立的数学方程或者不等式进行求解，得到问题的解。求解方法可以是数值求解，也可以是符号求解，具体方法取决于问题的特点和求解的难度。 4.对问题的解进行分析和解释，对模型的有效性进行验证。通过对问题解的分析和解释，可以得出有关问题的结论，并对建立的模型的准确性和可靠性进行评估。 方法二：概率论和统计学方法 概率论和统计学是建立数学模型的重要工具，其基本步骤如下：

1.通过对问题的分析和理解，确定问题的基本要素，包括变量、参数 和指标。与方程法相似，变量是问题中可变的量，参数是固定的量，指标 是评价问题结果的标准。 2.基于问题的特点和要求，选择适当的概率分布，建立数学模型。常 见的概率分布包括正态分布、泊松分布、指数分布等。 3.通过对问题相关数据的收集和分析，估计模型中的参数。可以使用 最大似然估计、矩估计等方法。 4.利用统计推断的方法对问题进行分析和预测。可以通过置信区间、 假设检验等方法对问题进行定量分析。 5.对模型的有效性和可靠性进行评估。通过对实际数据和推断结果的 比较，可以评估模型的准确性和可信度。 方法三：系统动力学模型 系统动力学模型是一种常用的建立动态系统模型的方法，其基本步骤 如下： 1.确定问题的系统边界。动态系统的行为是受到内部和外部因素的影响，确定系统边界有助于理解系统的结构和行为。 2.确定系统的变量、参数和指标。变量是系统中描述状态和行为的量，参数是控制系统行为的量，指标是评价系统绩效的标准。 3.建立系统动力学模型，包括建立变量之间的关系和参数取值的关系。可以使用不同的图形表示法，如流程图、动力学图等。 4.进行模拟和分析，观察系统的行为和演化。可以通过对模型进行仿 真和实验，观察系统的动态特性和行为规律。

数学模型的建立

数学模型的建立 数学模型的建立是通过数学方法对具体问题进行描述和分析的过程。在现实世界中，许多问题都可以通过数学模型来描述和解决，例如经济、生物、物理等领域的问题。通过建立数学模型，我们可以更加深入地理解问题的本质和特点，预测未来的发展趋势，制定更加科学的决策，从而实现问题的有效解决。 数学模型的建立可以分为以下几个步骤： 1.明确问题的研究目的和目标。在建立数学模型之前，我们必须了解问题的研究目的和目标，明确需要解决的问题是什么，以及需要达到的效果是什么。只有明确了研究目的和目标，才能够顺利地建立数学模型。 2.收集问题相关的数据和信息。在建立数学模型之前，我们需要收集问题相关的数据和信息。这些数据和信息包括问题的背景、现状，相关的统计数据等。通过对数据和信息的收集，我们可以更加全面地了解问题的本质和特点，为建立数学模型提供依据。 3.选择数学方法和建立数学模型。在收集完问题相关的数据和信息后，我们需要选择适当的数学方法，建立数学模型。数学方法包括微积分、线性代数、概率统计等方法。建立数学模型的方法包括方程模型、图形模型、网络模型、优化模型等。 4.验证和精炼模型。在建立数学模型之后，我们需要对模型进行验证和精炼。验证模型的可靠性和有效性，对模型进行改进和精炼，以提高模型的准确性和实用性。这一步骤需要对模型进行多次实验和检验，不断进行调整和完善。 5.应用和推广数学模型。在验证和精炼数学模型之后，我们可以将其应用到具体问题中，解决实际的问题。同时，我们需要继续推广数学模型，应用到更多的领域和问题中，为人类社会的发展做出更大的贡献。 总之，数学模型的建立是科学研究的重要组成部分。通过建立数学模型，我们可以深入理解问题的本质和特点，解决实际的问题，为人类社会的发展做出更大的贡献。

数学模型的建立过程

数学模型的建立过程 数学模型是指通过数学语言和方法，对实际问题进行抽象和描述，以 求解和分析问题的工具。数学模型的建立过程可以分为以下几个步骤： 1.问题的确定：首先，需要明确待解决的问题。这些问题可能来自于 不同的领域，比如物理、经济、生物等。确定问题有助于确定建立数学模 型的目标和范围。 2.假设的建立：根据问题的特点和问题解决的目标，需要建立一些假设。这些假设可以简化问题的复杂性，但同时也要合理和可行。 3.变量的选择：确定影响问题解决的因素，并选择适当的变量进行描述。变量可以是时间、距离、质量、速度等等，并把它们用符号表示出来。 4.假设的运用：利用已经建立的假设和变量，通过数学语言和方法来 描述问题。这包括建立方程、不等式、函数等等。 5.模型的验证：建立好的数学模型需要进行验证，以确定其是否与实 际情况相符。这可以通过对比模型的结果和实际观测或实验数据的对比来 完成。如果模型的结果与实际情况相符，那么模型就是可接受的；如果不 一致，则需要对模型进行修正。 6.模型的求解和分析：通过运用数学工具和方法，对建立的模型进行 求解和分析，以获得问题的解答。这可能包括求解方程、优化函数、绘制 图表等等，取决于具体的问题和模型。 7.模型的应用：最后，通过对模型的求解和分析结果进行解释和解读，将问题的解答和结论应用到实际问题中。这可能需要将数学结果转化为相 应的实际量，并根据具体的问题来进行讨论和决策。

需要注意的是，数学模型的建立过程是一个逐步迭代的过程。在实际 应用中，因为问题的复杂性和不确定性，可能需要多次修改和修正模型。 此外，在建立数学模型的过程中，还需要注意选择适当的数学工具和方法，并进行合理的假设和简化。只有在符合实际情况、可靠性较高的前提下， 建立的数学模型才能真正有效地应用到实际问题中。

建立数学模型的基本步骤与技巧

建立数学模型的基本步骤与技巧 数学模型是现代科学研究中不可或缺的工具，它可以用来描述和解释各种实际 问题，并为问题的分析和解决提供指导。建立一个有效的数学模型需要经过一系列的步骤和技巧。本文将介绍建立数学模型的基本步骤与技巧，并通过实例来说明。 第一步是问题的抽象。在建立数学模型之前，首先需要对实际问题进行抽象和 概括。这包括确定问题的关键要素、变量和参数，并理清它们之间的关系。例如，假设我们要研究一个城市的交通拥堵问题，那么我们需要确定影响交通拥堵的因素，如道路的容量、车辆的数量和速度等。 第二步是建立数学表达式。在抽象问题的基础上，需要建立数学表达式来描述 问题的关系。这可以通过数学公式、方程和不等式等来实现。例如，对于交通拥堵问题，我们可以建立一个简单的数学模型：拥堵指数 = 车辆数量 / 道路容量。这个 数学表达式可以帮助我们量化交通拥堵的程度。 第三步是确定模型的参数和变量。在建立数学模型时，需要确定模型中的参数 和变量。参数是模型中的常数，而变量是随着问题的变化而变化的量。在确定参数和变量时，需要考虑其物理意义和范围。例如，在交通拥堵模型中，车辆数量和道路容量是变量，而拥堵指数是参数。 第四步是模型的验证和调整。建立数学模型后，需要对模型进行验证和调整， 以确保其准确性和可靠性。这可以通过与实际数据进行比较和分析来实现。如果模型的预测结果与实际情况相符，则可以认为模型是有效的；如果不符，则需要对模型进行调整和改进。 第五步是模型的解析和求解。建立数学模型后，需要对模型进行解析和求解， 以获得问题的解。这可以通过数学方法和技巧来实现，如微积分、线性代数和优化理论等。例如，在交通拥堵模型中，可以使用微积分方法来计算拥堵指数的最大值和最小值。

数学模型建立步骤

数学模型建立步骤 数学模型是用数学语言描述现实问题的工具，建立数学模型的过程通常包括以下步骤： 1. 问题定义：清晰地定义问题，明确需要解决的具体问题是什么。将实际问题转化为数学问题的第一步是准确地理解和描述问题。 2. 建立变量：确定与问题相关的各种变量，并对它们进行定义。这些变量可以是时间、空间、数量等与问题相关的量。 3. 制定假设：为了简化问题或使问题更容易处理，可能需要引入一些假设。这些假设可能涉及到变量之间的关系、影响因素等。 4. 建立数学关系：将问题中的变量之间的关系用数学公式或方程表示。这可能包括线性关系、非线性关系、微分方程、差分方程等，取决于问题的性质。 5. 解析求解或数值求解：对于一些简单的模型，可以尝试找到解析解，即用代数方法求解方程。对于较为复杂的模型，可能需要使用数值方法，如数值模拟、计算机模拟等。 6. 模型验证：验证模型的准确性和可靠性。通过实验数据或实际观测数据来检验模型的有效性，对模型的输出结果进行比较和分析。 7. 模型分析：分析模型的性质，如稳定性、收敛性、敏感性等。理解模型的特点有助于更好地解释模型的行为和结果。 8. 模型优化：在验证和分析的基础上，对模型进行优化。优化可能涉及调整参数、修正假设、改进数学形式等。 9. 模型应用：使用建立好的模型解决实际问题。模型应用可能包括对未来情景的预测、对政策决策的支持、对系统行为的理解等。 10. 结果解释：将模型的输出结果转化为对实际问题的解释和建议。这需要将数学语言翻译为实际问题的语言，并确保结果对决策者或问题的相关方具有实际意义。 建立数学模型是一个迭代的过程，可能需要多次调整和修改，以适应实际问题的复杂性和变化。这一过程需要数学建模者有深厚的领域知识、数学技能以及对实际问题的深刻理解。

建立数学模型的一般方法

建立数学模型的一般方法 第一步：明确问题 首先，我们需要明确所要解决的问题。这可能是一个实际生活中的问题，如交通拥堵、物流配送问题等，也可能是一个科学研究中的问题，如气候变化、生态系统稳定性等。明确问题的目的是为了更好地把握问题本质，为后续建立数学模型奠定基础。 第二步：收集数据和信息 在建立数学模型之前，我们需要收集相关的数据和信息。这些数据可以是实际观测得到的，也可以是已经存在的统计数据，甚至是专家的意见和经验。通过收集数据和信息，我们可以更好地了解问题的背景和特征。 第三步：建立数学模型 常用的数学工具和方法包括： 1.数理统计：用于分析数据的分布特征、相关性等； 2.概率论：用于描述随机事件的发生概率； 3.微积分：用于描述变化率和极值问题； 4.线性代数：用于描述线性关系和矩阵运算； 5.运筹学和优化方法：用于求解最优方案。 在建立数学模型时，我们需要提出合理的假设，并根据问题的实际情况进行适当的简化。这样可以使得模型更易于计算和求解。 第四步：求解数学模型

解析解是指通过代数运算、函数分析等手段得到问题的精确解。求解 过程相对来说比较简单，但只适用于简单的模型和特殊的问题。 数值解是指通过计算机等工具进行数值计算和近似求解。这需要根据 模型的特点选择合适的求解方法和算法。常见的数值求解方法包括迭代法、差分法、最小二乘法等。 虽然数值解的精度相对较低，但它能够处理更复杂的数学模型和大规 模的问题，因此在实际问题中得到了广泛应用。 第五步：模型评价和验证 在求解数学模型之后，我们需要对模型进行评价和验证。评价指标可 以包括模型的精度、可靠性、稳定性等。对于回归模型和预测模型，可以 使用误差分析等方法进行评估。 模型验证是指将模型的结果与实际观测数据进行对比和验证。如果模 型的结果能够与实际数据相符合，那么就表明模型是有效的。如果模型的 结果与实际数据存在较大差异，那么则需要重新检查和修改模型。 第六步：模型应用和改进 最后，根据模型的结果和评价，我们可以对实际问题进行分析和应用。如果模型能够解决问题并得到实际应用，那么就可以进行进一步的改进和 优化。如果模型存在不足或局限性，那么就需要进行改进和修正。 总结起来，建立数学模型的一般方法包括明确问题、收集数据和信息、建立数学模型、求解数学模型、模型评价和验证以及模型应用和改进。这 是一个循序渐进和循环迭代的过程，在实践中需要灵活运用。

建立数学模型的方法步骤

建立数学模型的方法步骤 第一步：明确问题和目标 在建立数学模型之前，我们首先要明确问题的本质和我们的目标。问 题可以是实际生活中的各种各样的情况，例如商业决策、物理过程、社会 现象等。目标可以是预测结果、优化决策、揭示规律等。 第二步：收集数据 第三步：确定变量和参数 变量是数学模型中的未知数，它们的取值会随着问题的不同而变化。 参数是数学模型中的已知量，它们的取值是固定的。在建立数学模型之前，我们需要明确问题中的变量和参数，并给予它们合适的符号表示。 第四步：建立数学关系 第五步：选择合适的数学方法 根据问题的特点和数学关系的形式，选择合适的数学方法来求解模型。常用的数学方法包括线性代数、微积分、最优化方法、概率统计等。需要 根据具体情况灵活运用。 第六步：验证和调整模型 在建立数学模型之后，我们需要对模型进行验证和调整，以确保它的 合理性和准确性。这可以通过与实验数据对比、观察模型的行为等方法来 实现。如果模型与实际情况不符，我们需要对模型进行修正。 第七步：模型应用和分析

当模型验证通过后，我们可以应用模型来解决实际问题。通过计算和 分析模型的输出结果，我们可以得出结论、为决策提供支持、揭示问题的 本质等。 第八步：模型解释和沟通 最后，我们需要对模型的结果进行解释和沟通。这意味着我们需要用 通俗易懂的语言和方法向非专业人士解释模型的意义和结果。这有助于模 型的应用和建议能够得到各方的认可和接受。 建立数学模型是一个复杂而有挑战性的过程，需要综合运用数学知识、问题分析能力、数据分析技巧等。此外，每个具体问题都有其特殊性，需 要根据具体情况进行调整和改进。因此，在建立数学模型的过程中，灵活 性和创造性也是非常重要的。