线性代数习题和答案
第一部分选择题(共28分)
一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有
一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1.设行列式a a
a a
1112
2122
=m,
a a
a a
1311
2321
=n,则行列式
a a a
a a a
111213
212223
+
+
等于( D )
A. m+n
B. -(m+n)
C. n-m
D. m-n
2.设矩阵A=
100
020
003
?
?
?
?
?
?
?
,则A-1等于( B )
A.
1
3
00
1
2
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B
100
1
2
00
1
3
?
?
?
?
?
?
?
?
??
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
1
3
1
D
1
2
00
1
3
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3.设矩阵A=
312
101
214
-
-
-
?
?
?
?
?
?
?
,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是( B )
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有( D )
A. A =0
B. B≠C时A=0
C. A≠0时B=C
D. |A|≠0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于( C )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则( D )
A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0
C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0
D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+
λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7.设矩阵A的秩为r,则A中( C )
A.所有r-1阶子式都不为0
B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0
D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是( A )
A.η1+η2是Ax=0的一个解
B.1
2
η1+
1
2
η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解
D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆,则必有( A )
A.秩(A) B.秩(A)=n-1 C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是( B ) A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2, λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根,A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ,则必有( A ) A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A 是正交矩阵,则下列结论错误的是( B ) A.|A|2必为1 B.|A |必为1 C.A -1=A T D.A 的行(列)向量组是正交单位向量组 13.设A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,B =C T AC .则( D ) A.A 与B 相似 B. A 与B 不等价 C. A 与B 有相同的特征值 D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为( C ) A.2334?? ??? B.3426?? ?? ? C.100023035--?? ? ???? D.111120102?? ?? ??? 第二部分 非选择题(共72分) 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每 小题的空格内。错填或不填均无分。 15.111 35692536= 6 . 16.设A =111111--?? ???,B =112234--?? ???.则A +2B = 337137--?? ? ? ? . 17.设A =(a ij )3×3,|A |=2,A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式(i,j=1,2,3),则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= 4 . 18.设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a )线性相关,则a= -10 . 19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为 η1+c(η2-η1)(或η2+c(η2-η1)),c 为任意常数 20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r( 23.设矩阵A =010********---?? ?????,已知α=212-?? ?? ? ??是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 1 . 24.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 z z z z 12223242 ++- . 三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分) 25.设A =120340121-?? ? ? ??? ,B =223410--?? ???.求(1)AB T ; (2)|4A |. 26.试计算行列式 3112513420111 5 3 3 ------. 27.设矩阵A =423110123-?? ?? ? ??,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B . 28.给定向量组α1=-?? ?? ???? 2103,α2=1324-?? ??????,α3=3021-?? ??????,α4=01 49-?? ????? ?. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合;若是,则求出组合系数。 29.设矩阵A =12102242662102333334-----?? ?? ????. 求:(1)秩(A );(2)A 的列向量组的一个最大线性无关组。 30.设矩阵A=0222342 43----?? ? ?? ?? 的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D . 31.试用配方法化下列二次型为标准形f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 122232 12132323444+-+--, 并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分) 32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且(E -A )-1=E +A +A 2. 33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 (1)η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解; (2)η0,η1,η2线性无关。 答案: 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分) 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C 二、填空题(本大题共10空,每空2分,共20分) 15. 616. 337137--?? ? ? ? 17. 4 18. –10 19. η1+c(η2-η1)(或η2+c(η2-η1)) ,c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 1 24. z z z z 12223242 ++- 三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分) 25.解(1)AB T =120340*********-?? ?????--?? ?????=861810310?? ? ? ???. (2)|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1 20 3 40121 2-=-.所以|4A |=64· (-2)=-128 26.解 3 112513420111 5 3 3 5111111310010 5 5 3 ------= -----=5 1 1 1111550----=511 62055062 55301040---= ---=+=. 27.解 AB =A +2B 即(A -2E )B =A ,而 (A -2E )-1=2231101211431531641 --?? ? ? ?? ?=-----?? ?? ???-. 所以 B =(A -2E )-1A =143153164423110123-----?? ?????-?? ?????=3862962129-----?? ?? ? ??. 28.解一 ----?? ???????→?-----?? ??????2130130102243419053213010112013112?→?--?? ????? ??→??? ? ? ? ? ? ? 10 3 5011200880 014141 0350 11200110 000 ,00 00110010102001???? ?? ? ? ??→?所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为(2,1,1). 解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3,即 -++=-=-+=+-=???????230 3122434912312 23123x x x x x x x x x x . 方程组有唯一解(2,1,1)T ,组合系数为(2,1,1). 29.解 对矩阵A 施行初等行变换 A ?→?-----?? ??????12102000620328209632?→?-----?? ???????→?----?? ? ? ????12102032830006200021712102032830003100000=B . (1)秩(B )=3,所以秩(A )=秩(B )=3. (2)由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系,而B 是阶梯形,B 的第1、2、4列是 B 的列向量组的一个最大线性无关组,故A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一个最大线性无关组。 (A 的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是) 30.解 A 的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为 ξ1=(2,-1,0)T , ξ2=(2,0,1)T . 经正交标准化,得η1=255550//-?? ?????,η2=2515451553///?? ?????.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-?? ??? ??, 经单位化得η3=132323///.-?? ? ?? ??所求正交矩阵为 T =25521515135545152305323////////--?? ?? ???. 对角矩阵 D =100010008-?? ? ?? ??.(也可取T =25521515130532355451523////////---?? ?? ???.) 31.解f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-2x3)2-2x22+4x2x3-7x32 =(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-5x32. 设 y x x x y x x y x 1123 223 33 22 =+- =- = ? ? ? ? ? ? ? ,即 x y y x y y x y 112 223 33 2 =- =+ = ? ? ? ? ? ,因其系数矩阵C= 120 011 001 - ? ? ? ? ? ? ? 可逆, 故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1,x2,x3)的标准形y12-2y22-5y32 . 四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分) 32.证由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E, 所以E-A可逆,且 (E-A)-1= E+A+A2 . 33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0. (1)Aη1=A(η0+ξ1)=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b, 所以η1,η2是Ax=b的2个解。 (2)考虑l0η0+l1η1+l2η2=0, 即(l0+l1+l2)η0+l1ξ1+l2ξ2=0. 则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 . 所以η0,η1,η2线性无关。 工程学院2011年度(线性代数)期末考试试卷样卷 一、填空题(每小题2分,共20分) 1.如果行列式233 32 31 232221 131211 =a a a a a a a a a ,则=---------33 32 31 232221 13 1211222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ,则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组??? ?? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量,则 =a 。 、B 均为5阶矩阵,2,2 1 == B A ,则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=,则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,若λ是矩阵A 的一个特征值,则*A 的一个特征值可表示为 。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型,则t 的范围是 。 9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α,则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1,2,3,则=+E A 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ( ) A .1或2 B . -1或-2 C .1或-2 D .-1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-,它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-,则=A ( ) A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵,满足O AB =,则必有( ) A .0=+ B A B .))B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量,则下列向量中仍为该方程组解的是 ( ) A .21+ββ B . ()21235 1 ββ+ C .()21221ββ+ D .21ββ- 5. 若二次型3231212 3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2,则=k ( ) A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分,共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ= 《线性代数》重点题 一. 单项选择题 1.设A 为3阶方阵,数 = 3,|A | =2,则 | A | =( ). A .54; B .-54; C .6; D .-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵,λ为实数,则|λA |=( ) A 、λ|A |; B 、|λ||A |; C 、λn |A |; D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =( ). 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0; B. ()2,2-; C. 22?? ?-??; D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量,矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4,则|-2A |=( ). A 、-32; B 、-4; C 、4; D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是( ). A .一个零向量一定线性无关; B .一个非零向量一定线性相关; C .含有零向量的向量组一定线性相关; D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关;不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关;不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关;对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα 线性代数考试题库及答案 一、单项选择题(共5小题,每题2分,共计10分) 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中,2x 的系数为 ( ) (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵,(),r A r B =是m 阶可逆矩阵,C 是m 阶不可逆矩阵,且 ()r C r <,则 ( ) (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值,且各自有n 个线性无关的特征向量,则( ) (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似,但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵,且AB BC CA E ===,其中E 为n 阶单位阵,则 222A B C ++= ( ) (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5.设1010,0203A B ???? == ? ????? ,则A B 与 ( ) (A)合同,且相似 (B)不合同,但相似 (C)合同,但不相似 (D )既不合同,又不相似 二、填空题(共 二、填空题(共10小题,每题 2分,共计 20 分) 1.已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠,则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2.设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ,若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3.已知β为n 维单位列向量, T β为β的转置,若T C ββ= ,则 2C = 。 4.设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量,则 12T αα= 。 5.设A 是四阶矩阵,A * 为其伴随矩阵,12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解,则()r A *= 。 6.向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7.已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解,则 λ= 。 8.已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===,则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9.设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10.二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。 习题3 1.11101134032αβγαβαβγ ===-+-设(,,),(,,),(,,),求和 1110111003231112011340015αβαβγ-=-=+-=+-=解:(,,)(,,)(,,) (,,)(,,)(,,)(,,) 1231232.32525131015104111αααααααααα -++=+===-设()()(),其中(,,,) (,,,),(,,,),求1231233251 32561 [32513210151054111] 6 1234ααααααααααα-++=+=+-=+--=解:因为()()(),所以(), 所以(,,,)(,,,)(,,,)(,,,) 123412343.12111111111111111111,,,βααααβαααα===--=--=--设有(,,,),(,,,),(,,,), (,,,),(,,,)试将表示成的线性组合。 123412341234123412341234 1211 5111 ,,,; 4444 5111 4444 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x βαααα+++=??+--=? ?-+-=??--+=?===-=-=+--解:因为线性方程组的解为 所以得: 1234.111112313) t ααα===设讨论下面向量组的线性的相关性 ()(,,),(,,),(,, 111 1235, 1355t t t t =-=≠解:因为所以,当时,向量组线性相关,当时线性无关。 . 323232.5213132321321的线性相关性, ,线性无关,讨论,,设αααααααααααα++++++ . 0)23()32()23(.0)32()32()32(332123211321213313223211=++++++++=++++++++ααααααααααααx x x x x x x x x x x x 整理得:解:设 线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分,共 25 分) 1 3 1 1.若0 5 x 0 ,则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2.若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解,则应满足。 x1x2x30 3.已知矩阵 A,B,C (c ij )s n,满足 AC CB ,则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4.已知矩阵A 为 3 3的矩阵,且| A| 3,则| 2A|。 5.n阶方阵A满足A23A E 0 ,则A1。 二、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 6.已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时,该二次型为正定?() A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7.已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ,求x的值() 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 .设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是() A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 .过点( 0, 2, 4)且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为() 1 x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 .已知矩阵 A , 其特征值为( ) 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 (每小题 10 分,共 50 分) 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ,求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关? 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时,线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解,无解和有无穷多解?当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明:若 A 是 n 阶方阵,且 AA A1, 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I , 2 线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2 分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,, , 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。 ① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆, 则 A ,B 均可逆 5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( ) ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分,共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。 WORD 格式整理 2009-2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明:1、本试卷共6页,五个大题,满分100分,120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人:______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵,数2-=λ,3=A ,则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵,则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ,则=*A (A) a (B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … ( 密) … … … … … … … … … … … … ( 封 ) … … … …… … … … … … … … ( 线 ) … … … … … … … … … … … … (A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ,则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-,它们的余子式分别为2,1,1-,则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ,则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解,21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系, 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(,则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。 《线性代数》习题集(含答案) 第一章 【1】填空题 (1) 二阶行列式 2a ab b b =___________。 (2) 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 (3) 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 (4) 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 (5) 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案:1.ab(a-b);2.1;3.()2 a b -;4.3 3 3 3x y z xyz ++-;5.4abc 。 【2】选择题 (1)若行列式12 5 1 3225x -=0,则x=()。 A -3; B -2; C 2; D 3。 (2)若行列式11 1 1011x x x =,则x=()。 A -1 , B 0 , C 1 , D 2 , (3)三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=()。 A -70; B -63; C 70; D 82。 (4)行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -;B () 2 2 2a b -;C 4 4 b a -;D 44 a b 。 (5)n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =()。 A 0; B n !; C (-1)·n !; D () 1 1!n n +-?。 答案:1.D ;2.C ;3.A ;4.B ;5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案:提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和,即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数,从而确定他们的奇偶性: (1)134782695;(2)217986354;(3)987654321。 答案:(1)τ(134782695)=10,此排列为偶排列。 (2)τ(217986354)=18,此排列为偶排列。 (3)τ(987654321)=36,此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数: (1)135 (2n-1)246 (2n );(2)246 (2n )135 (2n-1)。 答案:(1) 12n (n-1);(2)1 2 n (n+1) 【6】确定六阶行列式中,下列各项的符号: ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号填“√”,错误的在括号填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 £ s £ n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 线性代数(A 卷) 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =,则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ; 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ,*A 是A 的伴随矩阵,则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ; 5. 设A 为正交矩阵,则A = ; 线性代数 一. 单项选择题 1。设A 、B 均为n 阶方阵,则下列结论正确的是 . (a)若A 和B 都是对称矩阵,则AB 也是对称矩阵 (b )若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵,则A 和B 都是奇异矩阵 (d )若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵,则()1-?? ????'AB 等于( ) (a )()1-'A ()1-'B (b ) ()1-'B ()1-'A (c )() '-1B )(1'-A (d )() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A )=m 时,则方程组 。 (a ) 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 (d )有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 (a )A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根 (d) A 有n 个线性无关特征向量 5。A 为n 阶方阵,若02 =A ,则以下说法正确的是 。 (a ) A 可逆 (b ) A 合同于单位矩阵 (c ) A =0 (d ) 0=AX 有无穷多解 6.设A ,B ,C 都是n 阶矩阵,且满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位矩阵, 则必有( ) (A )ACB E = (B)CBA E = (C )BAC E = (D ) BCA E = 7.若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ,则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ( ) (A )6- (B )6 (C )24 (D )24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵,|A |=3,则|AA '|= ,| 1 2A A -* -|= . 2.设???? ??????=300120211A ,则A 的伴随矩阵=*A ; 3.设A =? ? ?? ??--1112,则1 -A = 。 线性代数练习题答案三 一、温习巩固 ?x1?2x2?x3?x4?0? 1. 求解齐次线性方程组?3x1?6x2?x3?3x4?0 ?5x?10x?x?5x?0 234?1 解:化系数矩阵为行最简式 ?121?1??120-1? ??行变换??A??36?1?3??????0010? ?5101?5??0000????? 因此原方程同解于? ?x1??2x2?x4 令x2?k1,x4?k2,可求得原方程的解为 x3?0? ??2??1?????1???0? x?k1???k2??,其中k1,k2为任意常数。 00?????0??1????? ?4x1?2x2?x3?2 ? 2. 求解非齐次线性方程组?3x1?x2?2x3?10 ?11x?3x?8 12? 解:把增广矩阵化为阶梯形 ?42?12??13?3?8??13-3-8? ??r1?r2??行变换?? ??3?1210??????3?1210??????0-101134? ?113?113?0008?08?0-6??????? 因此R?2?R?3,所以原方程组无解。 3. 设??,??。求向量?,使2??3???。 解:?? 151?? ???3,,0,??33?? 4. 求向量组 ?1?T,?2?T,?3?T,?4?T,?5?T的 秩和一个极大线性无关组。 解:将?1,??5作为列向量构成矩阵,做初等行变换 ?1???1A?? 2??4? 二、练习提高⒈ 判断题 03130?11722140 2??1??1??0???50?? ?6???0 312 312??1 303??0 ???1010?? ?2?4?2???0 100 312? ? 101? ?000? 0?4?4?? 所以向量组的秩为3,?1,?2,?4是一个极大线性无关组。 ⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组,这也是消元法的理论基础。⑵ 设A为m?n矩阵,Ax?0是非齐次线性方程组Ax?b的导出组,则 若Ax?0仅有零解,则Ax?b有唯一解。若Ax?0有非零解,则Ax?b有无穷多解。若Ax?b有无穷多解,则Ax?0有非零解。 ?A ⑶ 设A为n阶矩阵,?是n维列向量,若R???T ? ?A???T? 线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020. 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( ) 线性代数期末考试题样卷 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, ,Λ21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,,Λ21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,,Λ21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, ,Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, ,Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, ,Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6.在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( ) (A )任意r 个列向量线性无关 诚实考试吾心不虚 ,公平竞争方显实力, 考试失败尚有机会 ,考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷(B )闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分,共计20分) 1. 当=t 3 时,311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵,3A = ,则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ,4k ≥,k 是正整数,则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵,I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=,则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1,则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??,500050004A ?? ? = ? ?-?? ,且A 与B 相似,则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线………………………………………………… 8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二.选择题(每题3分,共15分) 1. 设A 为n 阶正交方阵,则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; (B )????? ??--321;(C )???? ? ??112;(D )121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的( C )。 (A )充分必要条件; (B )充分条件; (C )必要条件; (D )无关条件。 4.设,A B 都是n 阶非零矩阵,且AB O =,则A 和B 的秩( B )。 (A )必有一个等于零;(B )都小于n ;(C )必有一个等于n ;(D )有一个小于n 。 5.123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系,则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ (B )1231212322,2,263αααααααα-+-+-+ ·107· 第六章 二次型 1.设方阵1A 与1B 合同,2A 与2B 合同,证明1 2A ?? ?? ?A 与12?? ???B B 合同. 证:因为1A 与1B 合同,所以存在可逆矩1C ,使T 1111=B C A C , 因为2A 与2B 合同,所以存在可逆矩2C ,使T 2222=B C A C . 令 12?? = ??? C C C ,则C 可逆,于是有 T T 1111111 T 2222222??????????== ? ? ? ?????????????B C A C C AC B C A C C A C 1T 2?? = ??? A C C A 即 12A ?? ???A 与12?? ??? B B 合同. 2.设A 对称,B 与A 合同,则B 对称 证:由A 对称,故T =A A . 因B 与A 合同,所以存在可逆矩阵C ,使T =B C AC ,于是 T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B 即B 为对称矩阵. 3.设A 是n 阶正定矩阵,B 为n 阶实对称矩阵,证明:存在n 阶可逆矩阵P ,使 BP P AP P T T 与均为对角阵. 证:因为A 是正定矩阵,所以存在可逆矩阵M ,使 E AM M =T 记T 1=B M BM ,则显然1B 是实对称矩阵,于是存在正交矩阵Q ,使 T 11diag(,,)n D μμ==Q B Q L T 11,,. n μμ=B M BM L 其中为的特征值 令P=MQ ,则有 D BP P E AP P ==T T , ,A B 同时合同对角阵. 4.设二次型211 1 ()m i in n i f a x a x == ++∑L ,令()ij m n a ?=A ,则二次型f 的秩等于()r A . 证:方法一 将二次型f 写成如下形式: 2111 ()m i ij j in n i f a x a x a x ==++++∑L L 设A i = 1(,,,,)i ij in a a a L L ),,1(m i Λ=线性代数期末试题及答案
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