指数函数
(一)指数与指数幕的运算
1根式的概念:一般地,如果 x n a ,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n > 1,且n € N 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是 0,记作n .O 0。 当n 是奇数时,器a n a ,当n 是偶数时,Va n
| a | 2 ?分数指数幕
正数的分数指数幕的意义,规定:
m
a n : a m (a 0, m, n N ,n 1)
m
n m
a n a
0的正分数指数幕等于
3 ?实数指数幕的运算性质
0,m, n N , n 1)
r r r s
(1) a ? a a
(a 0, r,s R);
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1 )在[a , b ]上,f (x) a x (a 0且a 1)值域是[f (a),f(b)]或
[f(b),f(a)]
(2) 若x 0,则f(x) 1 ; f(x)取遍所
有正数当且仅当 x R ;
(3) 对于指数函数f(x) a x (a 0且a 1),总有f (1) a ;
指数函数?例题解析
a (a 0) a (a
0)
0, 0的负分数指数幕没有意义
r s
rs
(2) (a ) a (a 0,r,s
R);
(3) (ab )r 『/(a 0, r,s R) ?
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,
函数 y a x (a 0,且 a
1)叫做指数函
1 ?
数,其中x 是自变量,函数的定义域为
R
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和
【例1】求下列函数的定义域与值域:
1
(1)y = 3厂(2)y = ..2x 2 1 (3)y = 3 3x 1
解(1)定义域为x € R且x丰2 .值域y > 0且y丰1.
⑵由2x+2- 1> 0,得定义域{x|x >- 2},值域为y >0.
⑶由3-3x-1> 0,得定义域是{x|x < 2},T 0< 3- 3x —1< 3, ???值域是0w y< .3.
练习:(1} y⑵y(3)凶;x x 1
(3) y 4 2 1;
【例2]指数函数y= a x, y= b x, y= c x,
则a、b、c、d、1之间的大小关系是[
A. a < b< 1< c < d
B. a < b< 1< d < c
C. b < a< 1 < d< c
D. c< d< 1< a< b
解选(c),在x轴上任取一点(x , 则得
b< a< 1 < d < c.
练习:指数函数①■' '②
y= d x的图像如图2. 6-2所示,
().
【例3】比较大小:
(1) .2、3 2 > 5 4、88、9 16 的大小关系是: 3 2
(2)
4
3 1
?-0.6 5 >(2)2.
解⑶ 借助数4.5 3.6打桥,利用指数函数的单调性,4.5 4.1 >4.5 3.6 ,作函数= 4.5 x , y 2= 3.7 x 的图像如图 2. 6 — 3,取 x = 3.6,得 4.5 3.6 > 3.7 3.6 ???4.5 4.1 > 3.7 3?6 .
说明如何比较两个幕的大小:若不同底先化为同底的幕,再利用指数函数的 单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幕比较大小时, 有两个技巧,其一借助 1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幕作桥梁, 这个新的幕具有与 4.5 4.1同底与3.7 3.6同指数的特点,即为4.5 3.6 (或3.7 4.1 ), 4
(2)0.6 5 (3)4.5 4.1
3.7 3?6
1
解⑴ T 2 22 , 3 2
函数y = 2x , 2 > 1,该函数在 ^13 2 4 又一<—<—<—< 3 8 5 9
1 2
23 , 5 4 25,
(—x,+* )上是增函数,
3
4
8
8 28 , 9 16 29 ,
1
2」32 V 88< 54< 916< 2 .
4
解(2) : 0.6 5 > 1,
3 1 1> (|) 2,
如例2中的(3). 练习: (1) 1. 7
2.5
与 1 .73
(2 ) 0.8
0.1
与0.8
0.2
解(2)y = 2x - 2的图像(如图2. 6 — 5)是把函数y = 2x 的图像向下平移 2个单位得到的.
解(3)利用翻折变换,先作 y = 2|x|的图像,再把y = 2|x|的图像向右平移1 个单位,就得y = 2|x-11的图像(如图2. 6 — 6).
解⑷ 作函数y = 3x 的图像关于x 轴的对称图像得
y =-3x 的图像,再把y =
—3x 的图像向上平移1个单位,保留其在 x 轴及x 轴上方部分不变,把 x 轴下方
(3 ) 1 . 70'3
与 0.93'1
2.1 2.0
(4) 3.5 和 2.7
【例4】比较大小n1a n 与n a n1(a > 0且a ^ 1, n > 1).
n 1 n
解V a
1
n(n 1)
a
当 0V a v 1,
1 T n >1,
> 0,
n(n 1)
V 1,
n1a n
V n a n1
当a > 1 时,T n > 1,
> 0,
n(n 1)
1 n(n 1)
n 1 n n n 1
…a > 1, . a > . a
【例5】作出下列函数的图像:
1
(1)y =(2)x 1
(2)y = 2x - 2,
(3)y = 2|x-11
(4)y = |1 - 3x |
1 1
解(1)y = (,)x1 的图像(如图 2 . 6-4),过点(0 ,-)及(一
1, 1).
是把函数 (2) 的图像向左平移1个单位得到的.
1 n(n 1)
S2 . &-4
3、 若 a 1,b 0 ,且 a b a b 2 2,则 a b a b 的值等于( )
的图像以x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到.(如图2. 6-7)
证明f(x)在区间(—8,+^ )上是增函数.
解(1)定义域是R.
x
x
a
1 a 1 f( —
X )= x
- -x - =—
f(x),
a
1 a
1
???函数f(x)为奇函数.
a x 1
1 y y 1 ⑵函数丫= — ,T y M 1,.?.有 a x =
> 0 -1V y V 1,
a 1
y 1
1 y
即f(x)的值域为(一1 , 1).
⑶ 设任意取两个值 X[、(-rn,+m )且 X[V X? . f(X 1) — f(x 2)
a X2 1 _ 2(a Xl a X2) a x 2 1 _ (a Xl 1)(a x 2 1)'
(a X2 + 1)>0, ? f(xj V fg),故f(x)在R 上为增函数.
8小 4 2
【例8】
已知f(x)= A
二一(a > 1) (1)判断f(x)的奇偶性; a 1
⑵求f(x)的值域;⑶
x l 1 a 1
—- a 1
T a > 1, X 1V X 2, a X1 V a x 2, (a X1
+1) 、选择题: (本题共 12小题,每小题 单元测试题
5 分 ,共 60分)
1、 化简
1
32 1 2
16
,结果是
丄
32
B 、
丄
32
1
2 32
丄
32
6
3 a 9 4等于(
2、
C、a D a
3、若a 1,b 0 ,且a b a b 2 2,则a b a b的值等于( )
13、若 10x 3,10y 4,则 10xy 。
x
10、已知0 a 1,b 1,则函数y a b 的图像必定不经过(
)
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 的价值为( )
二、填空题:(本题共4小题,每小题4分,共16分,请把答案填写在答题纸上
)
4、函数f(x)
2 X
a 1在R 上是减函数,则a 的取值范围是(
5
、 下列函数式中,满足 f(x 1)
1
2
f (x)的是( )
A
1
-(X 1) B 1 、x —
C
、2X D 2 %
2
4
6
、
下列 f(x) (1 a
X\ 2
x F
)|a 是(
)
A 奇函数 B
、
偶函数
C
、非奇非偶函数
7、已知a b,ab 0,下列不等式
2
2
a b
11
33
1)
a b
;⑵ 2 2;⑶;U ; w a b ;
a
1 b
1 中恒成立的有(
)
3
3
A
1个
B
、2个
C
、3个
8、函数y 2X 2X
A 、奇函数 9、函数y A ,1
B
1
2X 、偶函数 -的值域是(
1
,0 0,
、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数
C 、 1,
D 、(,1灯 0,
11、F(X) 2X
f (x)(x 0)是偶函数,且f(x)不恒等于零,则f(x)()
A 、是奇函数 、可能是奇函数,也可能是偶函数 C 是偶函数
D
、不是奇函数,也不是偶函数
12、一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b%,则n 年后这批设备
A na(1 b%) B
a(1 n b%) 、a[1 (b%)n ] D 、a(1 b%)
)
B
D 、既奇且偶函数
指数函数 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???=)(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)() (),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根,()* ∈>N n n ,1 例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-, 32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-. 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0
一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)()(),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-, 32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-. 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0
⑤式子n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 ∴ n a =. . 4.a 的n 次方根的性质 一般地,若n 是奇数,则a a n n =; 若n 是偶数,则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n . 5.例题分析: 例1.求下列各式的值: (1)() 338- (2) ()210- (3)()44 3π- (4) ()()b a b a >-2解:略。 例2.已知,0<N n n ,1, 化简:()()n n n n b a b a ++-. 解:当n 是奇数时,原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时,原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以,()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 . 例3.计算:407407-++ 解:407407-++52)25()25(22=-++= 例4.求值: 54 925-+. 解:549 25-+4 25254 5 49252 )(-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=)( (二)分数指数幂 1.分数指数幂: ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式; 如果幂的运算性质(2)() n k kn a a =对分数指数幂也适用, 例如:若0a >,则3 223233a a a ???== ??? ,4 554544a a a ???== ???, 23a = 4 5 a =. 即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>; (2)正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>. 2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次 方根,其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时, a a n n =,当n 是偶数时, ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数, 记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ; 0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数
指数函数及对数函数相关知识点 一.图像的画法。(三点:单调性;定点;图像的渐近线) 1. 画出函数2x y =的图像; 2.画出函数12 x y =()的图像; 3.画出函数2log y x =的图像; 4.画出函数12 log y x =的图像。 二.指数和对数的计算。 5.计算下面各式的值或者化简。 (1 (2 (3)11 23 3312(2)2 x x x - -- (4)2log 16 (5)lg2+lg5 (6)83log 27log 2? (7)2lg5+lg4 (8)lg0.1 (1011 2 03 81()()274e π- ??+-+ ???
三.指对数比较大小。 6.比较下面各数的大小 (1)2-41.7 1.7-和 (2) 1.1 1.20.90.9和 (3)-2-30.9 1.1和 (4)22log 3log 5和 (5)0.90.9log 0.6log 0.7和 (6)123 log 2log 3和 四.过定点问题。(要点:0,0log 10,x a a ==让指数为;让真数为1) 7.函数1y=3x a ++2必定过点________________________________________; 8.函数3log (2)4a y x =-+必定过点___________________________________________。 五.指数型和对数型不等式。 9.求下面不等式中x 的范围, (1)3 22x > (2) x 182 >() (3)1x e < (2)22log log 8x ≥ (3)3log 0x ≥ (4)3log 20x -≥ 10.求下列函数的定义域。 (1)21 2x y += (2 )y = (3)10.7x y = (4)2log (1)y x =- (5)21 log y x = (6 )y =
指数函数知识总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念: 一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N * . ①负数没有偶次方根;②0的任何次方根都是0,记作00=n 。 ③当n 是奇数时,a a n n =, 当n 是偶数时,???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0()1(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1)2(*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. 题型一、计算 1.44 等于( ) A 、16a B 、8a C 、4a D 、2 a 2.⑴ 33 )2(-= ⑵ 44 )2(-= ⑶ 66)3(π-= ⑷ 2 22y xy x ++= 3.① 625625++- ② 335252-++ 4.计算(1 + 2048 21)(1 + 1024 21)…(1 + 421)(1 + 2 21)(1 + 21 ). 5. 计算(0.0081)4 1-- [3×(87)0]1-·[8125 .0-+(38 3)31-]21 -.
题型二、化简 1. 3 2 13 2b a b a ?- ÷3 2 11- --??? ? ? ?a b b a 2. 322a a a ?(a >0). 3.化简: 3 32 b a a b b a (a >0,b >0). 题型三、带附加条件的求值问题 1. 已知a 2 1+ a 2 1-= 3,求下列各式的值: ⑴ a + a 1 - ⑵ a 2+ a 2 - ⑶ 2 12 1232 3- - --a a a a 2. 已知2a x x =+-2(常数),求8x x -+8的值。 3. 已知x + y = 12, xy = 9,且x <y ,求 2 12 1 212 1y x y x +-的值。 4.已知a 、b 是方程x 2 - 6x + 4 = 0的两根,且a >b >0,求b a b a +-的值。
指数函数 【知识点梳理】 要点一、指数函数的概念: 函数y=ax(a>0且a ≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,a 为常数,函数定义域为R. 要点诠释: (1)形式上的严格性:只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数.像23x y =?, 1 2x y =,31x y =+等函数都不是指数函数. (2)为什么规定底数a 大于零且不等于1: ①如果0a =,则000x x ?>??≤??x x 时,a 恒等于, 时,a 无意义. ②如果0a <,则对于一些函数,比如(4)x y =-,当11 ,,24 x x ==???时,在实数范围 内函数值不存在. ③如果1a =,则11x y ==是个常量,就没研究的必要了. 要点二、指数函数的图象及性质:
要点诠释: (1)当底数大小不定时,必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 (2)当01a <<时,,0x y →+∞→;当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时,a 的值越大,图象越靠近y 轴,递增速度越快。 当01a <<时,a 的值越小,图象越靠近y 轴,递减的速度越快。 (3)指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 (1)①x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则:0<b <a <1<d <c 又即:x ∈(0,+∞)时,x x x x b a d c <<< (底大幂大) x ∈(-∞,0)时,x x x x b a d c >>> (2)特殊函数 11 2, 3, (), ()2 3 x x x x y y y y ====的图像: 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为: ①若0A B A B ->?>;0A B A B -<;0A B A B -=?=; ②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断 1A B >,或1A B <即可
(一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: 43 421Λa n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()0 10a a =≠ ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)() (),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-, 32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-. 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0
指数函数与对数函数总结与练习 一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)() (),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0
指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N * . 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函 数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 指数函数·例题解析
指 数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次 当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数 时,0a ≥. n a =;当n a =;当n (0) || (0) a a a a a ≥?==? - . (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: 0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.② 正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的负分数指 数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质
2.1指数函数练习 1.下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .31243)3(-=- C .4 3433)(y x y x +=+ D . 33 39= 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{><
一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂: ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂: 01(0) a a =≠ 负整数指数幂: 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂:正分数指数幂的意义是: (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是: 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数(我们只讨论a是有理数的情况). 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图;当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图: 由图象可知,对于幂函数而言,它们都具有下列性质:
a y x =有下列性质: (1)0a >时: ①图象都通过点(0,0),(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而增大,即在(0,)+∞上是增函数. (2)0a <时: ①图象都通过点(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而减小,即在(0,)+∞上是减函数; ③在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近,向右与x 轴无限地接近. (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点; (4)任何幂函数图象都不经过第四象限; (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点. 二、指数函数 ①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1)函数的定义域为R ; 2)函数的值域为),0(+∞; 3)当10<a 时函数为增函数. 4)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,)a . 5)抽象性质: ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =(0a >,1a ≠),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >,1a ≠,0N >). 1.对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+. log log log a a a M M N N =-.
指数函数知识点汇总
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