第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律要点
第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
3-1 设有一群粒子按速率分布如下：
试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率2
V （3）最可几速率Vp
解：（1）平均速率：
18.32
864200
.5200.4800.3600.2400.12?++++?+?+?+?+?=
V (m/s)
(2) 方均根速率
37.32
2
?∑∑=
i
i i N V N V
(m/s)
3-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解：s m RT
V P /3951032300
31.8223
=???=
=
-μ
s m RT
V /446103214.3300
31.8883
=????=
=
-πμ
s m RT
V
/4831032300
31.8333
2
=???=
=
-μ
3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K 和10000K 。
解：μ
RT
V P 2=
代入数据则分别为：
T=100K 时 s m V P /1028.22?= T=1000K 时 s m V P /1021.72?= T=10000K 时 s m V P /1028.23?=
3-4 某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度T 2时的平均速率，求T 2/T 1。
解：因μ
RT
V
32
=
πμ
2
8RT V =
由题意得：
μRT
3πμ
2
8RT =
∴T 2/T 1=8
3π
3-5 求0℃时1.0cm 3氮气中速率在500m/s 到501m/s 之间的分子数（在计算中可
将dv 近似地取为△v=1m/s ）
解：设1.0cm 3氮气中分子数为N ，速率在500~501m/s 之间内的分子数为△N ，
由麦氏速率分布律：
△ N=V V e KT
m N V KT
m
????-2223
2)2(4ππ
∵ V p2= 2KT
m ，代入上式
△N=
V
V V p
p
e V V V
N
?-
-??22
221
4ρπ
因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s ， 又s m V P /40210
28273
31.823
????=
- △V=1m/s （v
v p =1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N 个
3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数△N 1
与速率在1500m/s 到1510m/s 之间的分子数△N 2之比。 解： 取分子速率为V 1=3000m/s V 2=1500m/s, △V 1=△V 2=10m/s
由5题计算过程可得： △V 1=
1
2
12214V V V p p
p
e V V V
N
?-
-??π
△N 2=
2
22
222
14V V V p
p
p
e V V V
N
?-
-??π
∴ △N/△N 2=
2
12
1
)(2
1)(21)()(p
p
p V V V V p e V V e V V --?
其中V P =
33
1018.210
2573
31.82?=???-m/s v 1v p =1.375，v 2
v p
=0.687
∴ 969.0687.0375.12
2
687.02375
.1221???=??--e
e N N 解法2：若考虑△V 1=△V 2=10m/s 比较大，可不用近似法，用积分法求△N 1，
△N 2
dN=
dV
V V V p P
e
V N
22
34--?π
△N 1=???-=1
2
21
V V V V dN dN dN
△N 2=???-=3
443
V V V V dN dN dN
令X i =v i
v p
i=1、2、3、4利用16题结果:
2
2
)([0
i i
x i i V e x x erf N dN --
=?
π
∴ △N 1=]2
)([]2
)([2
12
2112x x i e x x erf N e x x erf N ---
--
π
π
（1）
△N 2=]2
)([]2
)([2
32
43344x x e x x erf N e x x erf N ---
--
π
π
（２）
其中V P =
s m RT
/10182.223?=μ
375.111==
P V V x 379.122==P V V
x 687.033==
P V V x 6722.044==P
V V
x 查误差函数表得：
erf(x 1)=0.9482 erf(x 2)=0.9489 erf(x 3)=0.6687 erf(x 4)=0.6722
将数字代入（１）、（２）计算，再求得：
703.021
=??N N
3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率： （1） 速率在区间v p ～1.0v p 1内 （2） 速度分量v x 在区间v p ～1.0v p 1内
（3） 速度分量v p 、v p 、v p 同时在区间v p ～1.0v p 1内
解：设气体分子总数为N ，在三种情况下的分子数分别为△N 1、△N 2、△N 3 （1） 由麦氏速率分布律： △ N=???-=1
2
2
1
V V V V dN dN dN
令v 2=1.01v p ，v i =v p ，p i i v v x =，则111==p
v v
x ，01.122==p v v x ，利用16题结果可得；
2122112212
)(2)(x x e x x erf e x x erf N N --+--=?π
π 查误差函数表：erf （x 1）=0.8427 erf （x 2）=0.8468 ∴
008.01
=?N
N （2） 由麦氏速率分布律：
x v v p
x dv e
v N
dN p
x
221-
-=
π
∴x v v v p x v v v p dv e
v N
dv e
v N
N p
x p
x 2
1
2
2
)(
1)(0
12----??-
=
?π
π
)(])(
exp[1
)(])(exp[1
20
20
21
2p
x p x v v p x p x v v v v d v v v v d v v N N p p ?
?
--
-=?π
π
令p x v v x =
， 111==p
v v
x ，01.122==p v v x ∴dx e
dx e
N N x x x x ?-
=
?--?
?
2
1
2
2
21
1π
π
利用误差函数：
dx x xp e x erf x
)(2
)(20
-=
?
π
%21.0]8427.08468.0[2
1
)()([21
122=-=-=?x erf x erf N N （3）令p
x
v v x =
，由麦氏速度分布律得： z y x v v v v p dv dv dv e v N dN p
z
y x ?=++-
-22223
31π
π
8
33230033108.0)002.0()(]
[)1(2
112
2
2---?==?=-=???N
N dx e dx e N N x x x x π
3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv 为纵坐标，v 为横坐标，作1摩尔氧气在100K 和400K 时的分子速率分布曲线。 解：由麦氏速率分布律得：
2223
2)2(4v e KT
m
N dv dN v KT m
-=ππ
将π=3.14，N=N A =6.02×1023T=100K m=32×10-3代入上式得到常数：
A=e KT
m
N A 23
)2(4ππ KT m B 2=
∴
22V Ae dv
dN
BV ?=- （1） 为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：
由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为： 令22V Ae dv
dN
y BV ?==
-则 0)]2(2[222=-?+?=--BV e V V e A dv
dy
BV BV 得B
V V P 1=
= 又在V=0时，y=0，V →∞时，y →0 又m
KT B V P 1
1
121==
m
KT B V P 2
2
221
== ∵T 1=100K ＜T 2=400K ∴1P V ＜2P V 由此作出草图
3-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值v
1
。
解：V
KT m e m
KT
KT m V KT
m
d V
e m KT KT m VdV
e
KT
m
dv V f V
v KT
mV KT m
KT
mv ππππππππ4
2)()2(4)2()()2(4)2(
4)(110
22
3
220223
22
3022==
?-?=-??-===∞-
∞-∞
-
∞??
?
3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm 的小圆孔，容器贮有100℃的水银，
容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg 。 （1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。 （2） 每小时有多少克水银从小孔逸出？
解：（1）
)
/(1098.11020114.3373
31.88823s m RT
V ?=????=
=
-πμ
（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸
出的分子数为：t s V n N ??=4
1
其中
KT
V
P V n ?
=4141是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，2)2(d s π=是小孔面积，t=3600s ，故t s V KT
P
N ???=41，代入数据得： N=4.05×1019（个） ∴
)
(1035.110
05.41002.610201219
23
3
g N N m N M A
--?=????==
=μ
3-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p 1、n 1、p 2、n 2。两部分气体的温度相同，都等于T 。摩尔质量也相同，均为μ。试证明：如隔板上有一面积为A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：
)(221P P A RT
M -=
πμ
证明：设p 1＞p 2，通过小孔的分子数相当于和面积为A 的器壁碰撞的分子数。
从1跑到2的分子数：t A V n N ??=11141
从2跑到1的分子数：t A V n N ??=2224
1
实际通过小孔的分子数：（从1转移到2）
)221121(41
V n V n At N N N -=-=?
因t=1秒，KT
P
n =，πμ
RT
V 8=
T 1=T 2=T
∴)
(2)(841)(841212121P P A RT
P P RT
RT
A KT P KT P
RT Am n m M -=
-=
-==
?=πμ
πμ
μπμ
若P 2＞P 1，则M ＜0，表示分子实际是从2向1转移。
3-12 有N 个粒子，其速率分布函数为
)0()(0??==v v C Ndv
dN
v f
)(0)(0v v v f ?=
(1)作速率分布曲线。 (2)由N 和v 0求常数C 。 (3)求粒子的平均速率。
解：（1） )0()(0??=v v C v f )(0)(0v v v f ?= 得速率分布曲线如图示
（2）∵1)(0=?∞
dv v f
∴10)(0
==??∞
v cdv dv v f
即10=cv 0
1v c =
（3）0200
2
121)(v cv dv v vf v ==
=
?
∞
3-13 N 个假想的气体分子，其速率分布如图3-13所示（当v ＞v 0时，粒子数为零）。（1）由N 和V 0求a 。
（2）求速率在1.5V 0到2.0V 0之间的分子数。 （3） 求分子的平均速率。
解：由图得分子的速率分布函数： N
V Va
0 (00V V ??)
N
a
(002V V V ??) f(v)= 0 (02V V ?) (1) ∵dv V Nf dN )(=
∴
a
V aV V V a adv
dV V Va
dV V f N N V
V V 0020020
23
21)(0
=+=
+=
=
?
?
?
∞
32V N
a =
(2) 速率在1.5V 0到2.0V 0之间的分子数
3
3221)5.12()(000025.125.10
N V V N V V a adV
dV V Nf N V V
V V =?=-===
??
?
3-14 证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作： )(2x F dx dN =
其中p
v v
x =
m
KT
v p 2= 2
224)(x e x N
x F -?=
π
证明：
dx
x e N
v v d v e
N
dv v e v N dv
v e
KT
m
N dv v Nf dN x p
v p
v v v v p KT mv p
p
2223
23222
3
2
2
22224)(
44)2(4)(--
-
---?=?=??===π
π
ππππ
∴
)(4222x F x e N
dx dN x =??=-π
3-15设气体分子的总数为N ，试证明速度的x 分量大于某一给定值v x 的分子数
为：)](1[2
x erf N
N x v -=?∞∝ （提示：速度的x 分量在0到∞之间的分子数为2
N
）
证明：由于速度的x 分量在区间v x ～v x +dv x 内的分子数为：
x v v p
x dv e
v N
dNv p
x
?=
-
-221π
故在v x ～∞范围内的分子数为：
??
?
-=
=?∞
∞
∞→x x
x
x
x v v x v v V dN dN dN N 0
由题意：
2
N dN x v =
?
∞
x v v v p
v v dv e
v N
dN p
x
x
x
x ?=
-
-?
?
220
10
π
令p
x
v v x =
利用误差函数得：
)(2220
2
x erf N
dx
e N dN x
x v v x
x =
?=
?
?
-π
∴
)](1[2
)
(22x erf N
x erf N N N x V -=
-=∞→
3-16 设气体分子的总数为N ，试证明速率在0到任一给定值v 之间的分子数为：
]2
)([2
0x v e x erf N N -→-
=?π
其中p
v v
x =
，v p 为最可几速率。 [提示：dx e
x dx e
xe d x x x 2
2
2
2
2)(----=]
证明：
dv v v v
e
N
dv v e v N
dv
v e KT
m
N dv
v f N N p
p
v v v
v v v
p v KT m
v
v
v p
p
?=
===?--
-
--→?
???22
10
20322230
0222244)2(4)(π
π
ππ
令p
v v
X =
，则dx v dv p = ∴dx x e N
N x
x v 20
02
4?
-→=
?π
由提示得：])([2
122
2
x xe d dx e dx xe x x x ----=
∴]
2)([)]
([2142
2
20
0x x x x x v e x erf N xe d dx e N
N ---→-=-?=???π
π
3-17 求速度分量v x 大于2 v p 的分子数占总分子数的比率。
解：设总分子数N ，速度分量v x 大于2 v p 的分子数由15题结果得：
)](1[2
2x erf N
N x v -=?∞∝
其中22===
p
p p v v v v x 可直接查误差函数表得：erf （2）=0.9952
也可由误差函数： erf （z ）=
]11!59!47!33!1[2
963??+?''-?-?+?-z z z z z π
将z=2代入计算得：
erf （2）=0.9752 ∴
%24.02
9952
.012=-=
?∞
→N
N p v
3-18 设气体分子的总数为N ，求速率大于某一给定值的分子数，设（1）v=v p
（2）v=2v p ，具体算出结果来。 解：（1）v=v p 时，速率大于v p 的分子数：
???∞
∞
-==?0
1])()([)(v
v
dv v f dv v f N dv v f N N
利用16题结果：
]2
)(1[2
x xe x erf N N -+
-=?π
这里1==
p
v v
x
∴N N N 57.0]41.08427.01[1=+-=? （2）v=2v p 时，2==
p
v v
x ，则速率大于2v p 的分子数为： N e erf N N 046.0]2
2)2(1[42=?+
-=?-π
3-19 求速率大于任一给定值v 的气体分子每秒与单位面积器壁的碰撞次数。
解：由18题结果可得单位体积中速率大于v 的分子数为：
)(],2
)(1[2
V
N n xe
x erf n n x v =
+
-=-∞→π
在垂直x 轴向取器壁面积dA ，则速率大于v 能与dA 相碰的分子，其v x 仍在0～∞间，由《热学》P30例题，每秒与单位面积器壁碰撞的速率大于v 的分子数为：
]2
)(1[414
1
)(20
x v x x x v xe x erf v n n v dv v v f n N -∞→∞
∞→+-==
==
??
π
p
v v
x =
3-20 在图3-20所示的实验装置中，设铋蒸汽的温度为T=827K ，转筒的直径为
D=10cm ，转速为ω=200πl/s ，试求铋原子Bi 和Bi 2分子的沉积点P ′到P 点（正对着狭缝s 3）的距离s ，设铋原子Bi 和Bi 2分子都以平均速率运动。
解：铋蒸汽通过s 3到达P ′处的时间为：
v
D
t =
在此时间里R 转过的弧长为： v
D t D S 2212
ωω=
=
∵209=Bi μ 4182=Bi μ ∴RT
D v
D S Bi
Bi 82
22
2
πμωω=
=
代入数据得：
)(53.182
2
cm RT
D S Bi
Bi ==
πμω
3-21 收音机的起飞前机舱中的压力计批示为1.0atm ，温度为270C ；起飞后压力计指示为0.80atm ，温度仍为27 0C ，试计算飞机距地面的高度。
解：根据等温气压公式： P=P0e - 有In = - ∴ H = - In ?
其中In =In = -0.223，空气的平均分子量u=29. ∴H= 0.223× =2.0×103(m)
3-22 上升到什么高度处大气压强减为地面的75%？设空气的温度为0 0C.
解：由题意知： =0.75 故H = -In ? 代入数据得：H =2.3×103(m)
3-23 设地球大气是等温的，温度为t=5.0 0C,海平面上的气压为P0=750mmHg,令测得某山顶的气压P=590mmHg,求山高。已知空气的平均分子量为28.97.
解：H = - In ? 代入数据得：H=2.0×103(m)
3-24 根据麦克斯韦速度分布律，求气体分子速度分量vx 的平均值，并由此推出气体分子每一个平动自由度所具有的平动能。
解：（1） x=∫∞ -∞vx2f(vx)dv x =2 ∫∞ 0vx2( ) e - vx2dv x
= v -1p ∫∞ 0vx2 e - vx2dv x
查《热学》附录3-1表得：
x= Vp-1( )3/2=
同理可得：
y= x=
(2)分子总的平动能：2= 2=
= m x=
同理得：= =
可见，气体分子的平均动能按自由度均分，都等于KT.
3-25 令ε= mv2表示气体分子的平动能，试根据麦克斯韦速率分布律证明，平动能在区间ε～ε+dε内的分子数占总分子数的比率为：
f(ε)dε= (KT) -3/2ε ?e-ε/KT?dε
根据上式求分子平动能ε的最可几值。
证明：（1）∵f(v)dv =4∏( )3/2?e v2v2dv
= (KT)
-3/2?( v2)1/2?e-mv2/2KT?d( )
∵ε= mv2
故上式可写作：
F(ε)dε= (KT) -3/2?ε ?e -ε/KT?dε
(2) 求ε最可几值即f(ε)为极大值时对应的ε值。
= (KT) -3/2 [ε ?e -ε/KT(- )+e- ? ε- ]
= (KT) -3/2e - ( ε- -ε /KT)=0
∴ε- -ε=0
得: εp = ε=
3-26 温度为27 0C时，一摩尔氧气具有多少平动动能？多少转动动能？
解：氧气为双原子气体，在T=300K下有三个平动自由度，两个转动自由度。
由能均分定理得：
ε= RT = ×8.31×300 = 3.74×103 (J)
= RT = 8.31×300 = 2.49×103(J)
3-27 在室温300K下，一摩托车尔氢和一摩尔氮的内能各是多少？一克氢和一克氮的内能各是多少？
解：U氢= RT =6.23×103(J)
U氮= RT =6.23×103(J)
可见，一摩气体内能只与其自由度（这里t=3,r=2,s=0）和温度有关。
一克氧和一克氮的内能：
U=
∴U氢= = = 3.12×103(J)
U氮= = = 2.23×103(J)
3-28 求常温下质量为M=3.00g 的水蒸气与
M=3.00g的氢气的混合气体的定容比热
解：设Cv1 ‘、Cv2 ‘分别为水蒸气和氢气的定容比热，Cv1 、Cv2分别为水蒸气和氢气的定容摩尔热容量。在常温下可忽略振动自由度，则有：
Cv1= R =3R ∴Cv1’= =
Cv2= R =2.5R Cv2’= =
Cv = =
= ( + )
= 5.9 (J/gK)
3-29 气体分子的质量可以由定容比热算出来，试推导由定容比热计算分子质量的公式。设氩的定容比热Cv = 75Cal?Kg-1?K-1,求氩原子的质量和氩的原子量.
解：（1）一摩尔物质定容热容量为：Cv =ucv,对理想气体来说：
Cv = (t+r+2s)R
分子质量m = = ?
= (t+r+2s)R?
= (t+r+2s) ? (Cv=75cal/kg?k)
(2) 氩是单原子分子，故Cv = R
=3(Cal/mol?K)
故氩的原子量u= = 4.0×
10-2(Kg/mol)
分子质量m= = 6.6×10-26(Kg)
3-30 某种气体的分子由四个原子组成，它们分别处在正四面体的四个顶点：
（1）求这种分子的平动、转动和振动自由度数。
（2）根据能均分定理求这种气体的定容摩尔热容量。
解：（1）因n个原子组成的分子最多有3n 个自由度。其中3个平动自由度，3个转动自由度，3n-1个是振动自由度。这里n=4，故有12个自由度。其中3个平动、个转动自由度，6个振动自由度。
(2) 定容摩尔热容量：
Cv= (t+r+2s)R = ×18×2= 18
（Cal/mol?K）
第八章常用计分布
第八章 常用统计分布 第一节 超几何分布 超几何分布的数学形式·超几何分布的数学期望和方差·超几何分布的近似 第二节 泊松分布 泊松分布的数学形式·泊松分布的性质、数学期望和方差·泊松分布的近似 第三节 卡方分布(2 χ分布) 2χ分布的数学形式·2χ分布的性质、数学期望和方差· 样本方差的抽样分布 第四节 F 分布 F 分布的数学形式·F 分布的性质、数学期望和方差·F 分布的近似 一、填空 1．对于超几何分布，随着群体的规模逐渐增大，一般当N n ≤（ ）时，可采用二项分布来近似。 2．泊松分布只有一个参数（ ），只要知道了这个参数的值，泊松分布就确定了。 3．卡方分布是一种（ ）型随机变量的概率分布，它是由（ ）分布派生出来的。 4．如果第一自由度1k 或第二自由度2k 的F 分布没有列在表中，但邻近的第一自由度或第二自由度的F 分布已列在表中，对于F α(1k ，2k )的值可以用（ ）插值法得到。 5．（ ）分布具有一定程度的反对称性。 6．（ ）分布主要用于列联表的检验。 7．（ ）分布用于解决连续体中的孤立事件。 8．2 χ分布的图形随着自由度的增加而渐趋（ ）。 9．当群体规模逐渐增大，以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理，这时（ ）可采用二项分布来近似。 10．（ ）事件是满足泊松分布的。 二、单项选择 1．已知离散性随机变量x 服从参数为λ=2的泊松分布，则概率P （3；λ）＝（ ）。
A 4/3e 2 B 3/3e 2 C 4/3e 3 D 3/3e 3 2．当群体的规模逐渐增大，以至于不回置抽样可以作为回置抽样来处理时，（ ）分布可以用二项分布来近似。 A t 分布 B F 分布 C 2 χ分布 D 超几何分布 3．研究连续体中的孤立事件发生次数的分布，如某时间段内电话机被呼叫的次数的概率分布，应选择（ ）。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 4．对于一个样本容量n 较大及成功事件概率p 较小的二项分布，都可以用（ ）来近似。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布。 5．与F α（1k ，2k ）的值等价的是（ ）。 A F 1-α（1k ，2k ） B F 1-α（2k ，1k ） C 1/F α（1k ，2k ） D 1/F 1-α（2k ，1k ） 6、只与一个自由度有关的是（ ） A 2χ分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 三、多项选择 1．属于离散性变量概率分布的是（ ）。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 2．属于连续性变量的概率分布的是（ ）。 A 2 χ分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 3．下列近似计算概率的正确方法是（ ）。 A 用二项分布的概率近似计算超几何分布的概率 B 用二项分布的概率近似计算泊松分布的概率 C 用泊松分布的概率近似计算超二项分布的概率 D 用正态分布的概率近似计算超二项分布的概率 E 用正态分布的概率近似计算 F 分布的概率 4．2χ分布具有的性质是（ ）。 A 恒为正值 B 非对称性 C 反对称性 D 随机变量非负性 E 可加性 5．F 分布具有的性质是（ ）。 A 恒为正值 B 非对称性 C 反对称性 D 随机变量非负性 E 可加性 6．一般地，用泊松分布近似二项式分布有较好的效果是（ ）。
统计学答案第八章
三、选择题 1 某厂生产的化纤纤度服从正态分布，纤维的纤度的标准均值为1.40。某天测得25根纤维的纤度的均值x=1.39，检验与原来设计的标准均值相比是否有所变化，要求的显著性水平为α=0.05，则下列正确的假设形式是（）。 A.H0：μ=1.40，H1：μ≠1.40 B. H0：μ≤1.40，H1：μ>1.40 C. H0：μ<1.40，H1：μ≥1.40 D. H0：μ≥1.40，H1：μ<1.40 2 某一贫困地区估计营养不良人数高达20％，然而有人认为这个比例实际上还要高，要检验该说法是否正确，则假设形式为（）。 A. H0：π≤0.2，H1：π>0.2 B. H0：π=0.2，H1：π≠0.2 C. H0：π≥0.3，H1：π<0.3 D. H0：π≥0.3，H1：π<0.3 3 一项新的减肥计划声称：在计划实施的第一周内，参加者的体重平均至少可以减轻8磅。随机抽取40位参加该项计划的样本，结果显示：样本的体重平均减少7磅，标准差为3 2磅，则其原假设和备择假设是（）。 A. H0：μ≤8，H1：μ>8 B. H0：μ≥8，H1：μ<8 C. H0：μ≤7，H1：μ>7 D. H0：μ≥7，H1：μ<7 4 在假设检验中，不拒绝原假设意味着（）。 A.原假设肯定是正确的 B.原假设肯定是错误的 C.没有证据证明原假设是正确的 D.没有证据证明原假设是错误的 5 在假设检验中，原假设和备择假设（）。 A.都有可能成立 B.都有可能不成立 C.只有一个成立而且必有一个成立 D.原假设一定成立，备择假设不一定成立 6 在假设检验中，第一类错误是指（）。 A.当原假设正确时拒绝原假设 B.当原假设错误时拒绝原假设 C.当备择假设正确时拒绝备择假设 D.当备择假设不正确时未拒绝备择假设 7 在假设检验中，第二类错误是指（）。 A.当原假设正确时拒绝原假设 B.当原假设错误时未拒绝原假设 C.当备择假设正确时未拒绝备择假设 D.当备择假设不正确时拒绝备择假设 8 指出下列假设检验哪一个属于右侧检验（）。 A. H0：μ=μ0, H1：μ≠μ0 B. H0：μ≥μ0, H1：μ<μ0 C. H0：μ≤μ0, H1：μ>μ0 D. H0 ：μ>μ0, H1：μ≤μ0 9 指出下列假设检验哪一个属于左侧检验（）。 A. H0：μ=μ0, H1：μ≠μ0 B. H0：μ≥μ0 , H1：μ<μ0 C. H0：μ≤μ0, H1：μ>μ0 D. H0：μ>μ0, H1：μ≤μ0 10 指出下列假设检验哪一个属于双侧检验（）。 A. H0：μ=μ0, H1：μ≠μ0 B. H0：μ≥μ0, H1：μ<μ0
统计规律
统计规律 1问题的提出 在统计学中有大数定律如下： 定义11 若L L ,,,,21n ξξξ是随机变量序列，如果存在常数列，使对任意的L L ,,,,21n a a a 0>ε，有 1P lim 1=??? ???????????ε，有 1lim =? ?????
统计学第八章练习题
第八章 相关与回归分析 一、填空题 8.1.1 客观现象之间的数量联系可以归纳为两种不同的类型，一种是 ，另一种是 。 8.1.2 回归分析中对相互联系的两个或多个变量区分为 和 。 8.1.3 是指变量之间存在的严格确定的依存关系。 8.1.4 变量之间客观存在的非严格确定的依存关系，称为 。 8.1.5 按 的多少不同，相关关系可分为单相关、复相关和偏相关。 8.1.6 两个现象的相关，即一个变量对另一个变量的相关关系，称为 。 8.1.7 在某一现象与多个现象相关的场合，当假定其他变量不变时，其中两个变量的相关关系称为 。 8.1.8 按变量之间相关关系的 不同，可分为完全相关、不完全相关和不相关。 8.1.9 按相关关系的 不同可分为线性相关和非线性相关。 8.1.10 线性相关中按 可分为正相关和负相关。 8.1.11 研究一个变量与另一个变量或另一组变量之间相关方向和相关密切程度的统计分析方法，称为 。 8.1.12 当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量也相应由小变大，这种相关称为 。 8.1.13 当一个现象的数量由小变大，而另一个现象的数量相反地由大变小，这种相关称为 。 8.1.14 当两种现象之间的相关只是表面存在，实质上并没有内在的联系时，称之为 。 8.1.15根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型来近似地表达变量间平均变化关系的统计分析方法，称为 。 8.1.16 反映变量之间相关关系及关系密切程度的统计分析指标是 。 8.1.17 就是寻找参数01ββ和的估计值 01 ββ和，使因变量实际值与估计值的残差平方和达到最小。 8.1.18 正如标准差可以说明平均数代表性大小一样， 则可以说明回归线代表性的大小。 8.1.19 回归分析中的显著性检验包括两方面的内容，一是对 的显著性检验；二是对 的显著性检验。 8.1.20 对各回归系数的显著性检验，通常采用 ；对整个回归方程的显著性检验，通常采用 。 8.1.21 当相关系数0≈r 时，只能认为变量之间不存在 关系。 8.1.22 的显著性检验就是要检验自变量x 对因变量y 的影响程度是否显著。
麦克斯韦速率分布律的推导和验证
完美WORD 格式 编辑 麦克斯韦速度分布律的推导与实验验证 摘要：本文对麦克斯韦速度分布律的内容及其历史来历做了简略概述，重点是用初等方法 推导了麦克斯韦速度分布律，同时简单地描述了一下它的实验验证。 关键词：速度分布函数，实验验证。 一． 内容 1、麦克斯韦速度分布律的内容 当气体处于平衡态时，气体分子的速度在v ~v dv +间隔内，及分子速度分量在 x x x v ~v dv +，y y y v ~v dv +，z z z v ~v dv +间隔内的分子数dN(v)占总分子数N 的比率为： 2223 ()/22x y z d v m ()v v v N 2kT x y z m v v v kT N e d d d π-++=（）， 其中m 为分子的质量，T 为气体温度，k 为波尔兹曼常数，22 22 11()v 22 x y z m v v v m ++=为气体分子平动能。d v N N （） 表示速度矢量的端点在速度体元d τ内的分子数占总 分子数的比率，换言之，一个分子取得v ~v dv +间隔内速度的几率。 2、分子速度分布函数 2223()/22m f ()2kT x y z m v v v kT e π-++=x y z dN(v)（v ）=Ndv dv dv f （v ）的物理意义是：分子速度在v 附近，单位时间间隔内的分子数占总分子数的比率。 3、速度分量分布函数 2221 /221/221 /22m f ()2kT m f ()2kT m f ()2kT x y z mv kT mv kT mv kT e e e πππ---===x x x y y y z z z dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv 3、麦克斯韦速率分布律
第三章气体分子热运动速率
第三章气体分子热运动速率 和能量的统计分布 ?3.1气体分子的速率分布律 ?3.2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律?3.3玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 ?3.4能量按自由度均分定理
3.1气体分子的速率分布律 统计规律性： 分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律性。（例：理想气体压强）人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规律性称为统计规律性。 气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全 是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。为研究气 体分子速度分布的定量规律，有必要介绍分布函数的概 念。
例1：统计某城市中每个商店里职工的分布情况，可用下列方法。 分布函数和平均值 偶然事件：大量出现不可预测的事件。多次重复观察同样的事件，可获得该偶然事件的分布，从而得到其统计规律。 表示该城市中的商店总数 表示该城市中有个职工的商店数，称分布数。 i N i ∑=i N N 名职工的商店的百分数表示有i N N f i i 归一化的分布数,,=条件 归一化,1)(==∑∑N N f i i
例:我们以人的身高为例，来引入分布函数的概念。 设N 为总人数，d N （h ）为身高在h--h+d h 间的人数。显然 ?=N h N )(d 令f （h ）=d N （h ）/N d h ，则 ?=1 d )(h h f 我们把f （h ）称为归一化分布函数。 f （h ）表征在单位高度内，身高为h 的人数占总人数的比率。 f(h)dh ：高度在h 与h+dh 之间的概率
统计学常用分布及其分位数
§1.4 常用的分布及其分位数 1. 卡平方分布 卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。 当X 1、X 2、… 、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑i i X 2 的分布称为自由度等于n 的2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它的分 布密度 p(z )=??? ????>??? ??Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中的??? ??Γ2n =u d e u u n ?∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1， ?? ? ??Γ21=π。分布是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。 证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、 X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令 Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +， Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +， 即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。 2. t 分布 若X 与Y 相互独立，且 X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X 的分布称为自由度等于n 的t 分布，记作Z ～ t (n )，它的分布密度 P(z)=)()(221n n n ΓΓ+2121+-???? ??+n n z 。 请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t
气体分子热运动速率和能量的统计分布律
第 二 章 分子动理学理论的平衡态理论 2-1 设有一群粒子按速率分布如下： 试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率2 V （3）最可几速率Vp 解：（1）平均速率： 18 .32 864200 .5200.4800.3600.2400.12?++++?+?+?+?+?= V (m/s) (2) 方均根速率 37 .32 2 ?∑∑= i i i N V N V (m/s) 2-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。 解：s m RT V P /39510 3230031.8223 =???= = -μ s m RT V /44610 3214.330031.8883 =????= = -πμ s m RT V /48310 3230031.8333 2 =???= = -μ 2-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K 和10000K 。 解：μ RT V P 2= 代入数据则分别为： T=100K 时 s m V P /1028.22 ?= T=1000K 时 s m V P /10 21.72 ?= T=10000K 时 s m V P /1028.23 ?=
2-4 某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度T 2时的平均速率，求T 2/T 1。 解：因 μ RT V 32 = πμ 2 8RT V = 由题意得： μRT 3πμ 2 8RT = ∴T 2/T 1=8 3π 2-5 求0℃时1.0cm 3氮气中速率在500m/s 到501m/s 之间的分子数（在计算中可 将dv 近似地取为△v=1m/s ） 解：设1.0cm 3氮气中分子数为N ，速率在500~501m/s 之间内的分子数为△N ， 由麦氏速率分布律： △ N=V V e KT m N V KT m ????- 2 22 3 2 ) 2( 4ππ ∵ V p2= 2KT m ，代入上式 △N= V V V p p e V V V N ?- -? ?22221 4ρπ 因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s ， 又s m V P /40210 2827331.823 ????= - △V=1m/s （v v p =1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N 个 2-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数△N 1 与速率在1500m/s 到1510m/s 之间的分子数△N 2之比。 解： 取分子速率为V 1=3000m/s V 2=1500m/s, △V 1=△V 2=10m/s
第八章 记数数据统计法
第八章记数数据统计法—卡方检验法 知识引入 在各个研究领域中，有些研究问题只能划分为不同性质的类别，各类别没有量的联系。例如，性别分男女，职业分为公务员、教师、工人、……，教师职称又分为教授、副教授、……。有时虽有量的关系，因研究需要将其按一定的标准分为不同的类别，例如，学习成绩、能力水平、态度等都是连续数据，只是研究者依一定标准将其划分为优良中差，喜欢与不喜欢等少数几个等级。对这些非连续等距性数据，要判别这些分类间的差异或者多个变量间的相关性方法称为计数数据统计方法。 卡方检验是专用于解决计数数据统计分析的假设检验法。本章主要介绍卡方检验的两个应用：拟合性检验和独立性检验。拟合性检验是用于分析实际次数与理论次数是否相同，适用于单个因素分类的计数数据。独立性检验用于分析各有多项分类的两个或两个以上的因素之间是否有关联或是否独立的问题。 在计数数据进行统计分析时要特别注意取样的代表性。我们知道，统计分析就是依据样本所提供的信息，正确推论总体的情况。在这一过程中，最根本的一环是确保样本的代表性及对实验的良好控制。在心理与教育研究中，所搜集到的有些数据属于定性资料，它们常常是通过调查、访问或问卷获得，除了少数实验可以事先计划外，大部分收集数据的过程是难于控制的。例如，某研究者关于某项教育措施的问卷调查，由于有一部分教师和学生对该项措施存有意见，或对问卷本身有偏见，根本就不填写问卷。这样该研究所能收回的问卷只能代表一部分观点，所以它是一个有偏样本，若据此对总体进行推论，就会产生一定的偏差，势必不能真实地反映出教师与学生对这项教育措施的意见。因此应用计数资料进行统计推断时，要特别小心谨慎，防止样本的偏倚性，只有具有代表性的样本才能作出正确的推论。 卡方拟合性检验 一、卡方检验的一般问题 卡方检验应用于计数数据的分析，对于总体的分布不作任何假设，因此它又是非参数检验法中的一种。它由统计学家皮尔逊推导。理论证明，实际观察次数（fo）与理论次数（fe），又称期望次数）之差的平方再除以理论次数所得的统计量，近似服从卡方分布，可表示为： INCLUDEPICTURE "http://222.178.184.133:8080/courseware/0062/content/pic/0008/010001_clip_image0 01.gif" \* MERGEFORMATINET 这是卡方检验的原始公式，其中当fe越大（fe≥5）,近似得越好。显然fo与fe相差越大，卡方值就越大；fo与fe相差越小，卡方值就越小；因此它能够用来表示fo与fe相差的程度。根据这个公式，可认为卡方检验的一般问题是要检验名义型变量的实际观测次数和理论次数分布之间是否存在显著差异。它主要应用于两种情况： 卡方检验能检验单个多项分类名义型变量各分类间的实际观测次数与理论次数之间是否一致的问题，这里的观测次数是根据样本数据得多的实计数，理论次数则是根据理论或经验得到的期望次数。这一类检验称为拟合性检验。 拟合性检验的零假设是观测次数与理论次数之间无差异。其中理论次数的计算一般是根据某种理论，按一定的概率通过样本即实际观测次数来计算。这里所说的某种理论，可能是经验规律，也可能是理论分布。确定理论次数是卡方检验的关键。 拟合性检验自由度的确定与两个因素有关：一是分类的项数，二是在计算理论次数时，所用统计量或约束条件的个数，这两者之差即为自由度。由于一般情况下，计算理论次数时只用到“总数”这一统计量，所以自由度一般是分类的项数减1。但在对连续数据分布的配合度检验中，常常会用数据个数、平均数、标准差等统计量来计算理论次数，所以此时的自由度应从总分类项中减去更多的个数。按照检验中理论次数的定义不同，拟合性检验有以下
统计学第五版(贾俊平)第八章课后习题答案
《统计学》第八章课后练习题 8.4 解：由题意知，μ=100，α=0.05，n=9＜30，故选用t统计量。经计算得：x =99.9778，s=1.2122， 进行检验的过程为： H0:μ=100 H1:μ≠100 t= s n = 1.21229 =?0.0549 当α= 0.05，自由度n-1= 8，查表得tα2（8）=2.3060，因为t< tα2，样本统计量落在接收域，所以接受原假设H0，即打包机正常工作。 用P值检测，这是双侧检验，故： P=2×1?0.5215=0.957，P值远远大于α，所以不能原假设H0。 8.7 解：由题意知，μ=225，α=0.05，n=16＜30，故选用t统计量。 经计算得：x =241.5，s=98.7259， 进行检验的过程为： H0:μ≤225 H1:μ>225 t= s n = 98.725916 =0.6685 当α= 0.05，自由度n-1= 15，查表得tα（15）=2.1314，这是一个右单侧检验，因为t 即元件平均寿命没有显著大于225小时。 用P值检测，这是右单侧检验，故： P=1?0.743=0.257，P值远远大于α，所以不能拒绝原假设H0。 8.9, 解：由题意得 σA2=632，σB2=572，x A=1070，x B=1020，n A=81，n B=64，故选用z统计量。 进行检验的过程为： H0:μA?μB=0 H1: μA?μB≠0 Z=A B A B σA A +σB B = 632+572 =5 当α=0.05时，zα2=1.96，因为Z＞zα2，所以拒绝原假设H0,，即A、B两厂生产的材料平均抗压强度不相同。 用P值检测，这是双侧检验，故： P=2×1?0.9999997=0.0000006，P值远远小于α，所以拒绝原假设H0， 8.13 解：建立假设为： H0: π1=π2 H1: π1≠π2 由题意得： 麦克斯韦气体速率分布律 Maxwell Velocity Distribution 大家知道，由气体的温度公式 T N R kT v m A 2323212== 可以得出气体分子的方均根速率 M RT m kT v 332== 。 例如在C ?0时，氦气s m v 13052=。氧气s m v 4612=。 但我们要注意的是，方均根速率仅是运动速率的一种统计平均值，并非气体分子都以方均根速率运动。事实上，处于平衡状态下的任何一种气体，各个分子均以不同的速率、沿各个方向运动着。有的速率大于方均根速率，有的速率小于方均根速率，它们的速率可以取零到无穷大之间的任意值。而且由于气体分子间的相互碰撞，每个分子的速度也在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整体而言，在平衡状态下，分子的速率分布遵守一个完全确定的统计性分布规律又是必然的。下面我们介绍麦克斯韦应用统计理论和方法导出的分子速率分布规律。 气体分子按速率分布的统计规律，最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中也导出该规律。由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布的实验，直到本世纪二十年代才实现。1920年斯特恩（O.Stern)首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年密勒（Mlier)和库士（Kusch)测出钍蒸汽分子的速率分布。斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验。限于数学上的原因和本课程的要求，我们不推导这个定律，只介绍它的一些基本内容。 *麦克斯韦（J. C. Maxwell ，1831—1879） 英国物理学家，经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。 他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，这个理论 包括电磁现象的所有基本定律，并预言了以光速传播的电磁波的存在。 1873年，他的《电磁学通论》问世，这本书凝聚着杜费、富烂克林、 库仑、奥斯特、安培、法拉第……的心血，这是一本划时代巨著，它 与牛顿时代的《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索电磁 规律的一个里程碑。在气体动理论方面，他还提出气体分子按速率分 布的统计规律。 一、测定气体分子速率的实验 1．实验装置 统计学复习笔记 第七章参数估计 一、思考题 1．解释估计量和估计值 在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2．简述评价估计量好坏的标准 （1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 （2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。 （3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3．怎样理解置信区间 在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。 4．解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量（是随机的）覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以的概率覆盖总体参数。 5．简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 （z 2 ）2 2其中： E z n n E22 其中： E z 2 n 2. 样本量n 与置信水平1- α、总体方差、估计误差E之间的关系为与置信水平 成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所 麦克斯韦速率分布律与平动动能分布律关系 卜子明（1号） 摘要：麦克斯韦首先把统计学的方法引入分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速率分布率，现根据麦克斯韦速率分布函数，求出相应的气体分子平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质，求出平动动能的最概然值及平均值。并比较相似点和不同点。 引言：麦克斯韦把统计方法引入了分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速分分布律。这是对于大量气体分子才有的统计规律。现做进一步研究，根据其成果麦克斯韦速率分布函数，导出相应的平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质并求出平动动能的最概然值及平均值，并且由此验证其正确性。 方法：采用类比的方法，用同样的思维，在麦克斯韦速率分布函数的基础上，作进一步研究，导出能反映平均动能在ε附近的单位动能区间内的分子数与总分子数的比的函数 )(εf 的表达式。并由此进一步推出与麦克斯韦分布函 数相对应的一些性质，并比较分析一些不同点。 麦克斯韦速率分布律Ndv dN v f = )(这个函数称为气体分子的速率分布函 数麦克斯韦进一步指出，在平衡态下，分子速率分布函数可以具体地写为 2 223 2 24)(v e kT m Ndv dN v f kT mv πππ-?? ? ??==式中T 是气体系统的热力学温度， k 是玻耳兹曼常量，m 是单个分子的质量。式(8-30)称为麦克斯韦速率分布律。式子 dv v f v v ?=?2 1 )(N N 表示在平衡态下，理想气体分子速率在v 1到v 2 区间的分子数 占总分子数的比率。 而应用麦克斯韦速率分布函数可以求出气体分子三个重要的速率： （1）最概然速率p v ，f(v)的极大值所对应的速率 M RT M RT m kT v p 41 .1220 ≈= = 其物理意义为：在平衡态的条件下，理 第8章 时间序列分析和预测 从时间序列图可以看出，国家财政用于国防的支出额大体上呈指数上升趋势。 （2）年平均增长率为： %1.161%1.116131 .2901.49511190=-=-=-=n n Y Y G 。 （3）2271.5748%)1.161(1.4951?2010 =+?=Y 。 （2）2010年的预测值为： 8.6945 3474 57.6372.7494.7623.7534.5712010==++++= F （3）由Excel 输出的指数平滑预测值如下表： 2010年3.0=α时的预测值为： 24.6679.679)3.01(7.6373.0)1(2010=?-+?=-+=t t F Y F αα 5.0=α时的预测值为： 85.683730)5.01(7.6375.0)1(2010=?-+?=-+=t t F Y F αα 比较误差平方可知，5.0=α更合适。 8.3（1）第19个月的3期移动平均预测值为： 33.6303 1891 366064458719==++= F 3.0=时的预测值： 5.5959.567)3.01(6603.019=?-+?=F ，误差均方＝87514.7 4.0=α时的预测值： 7.6181.591)4.01(6604.019=?-+?=F ，误差均方＝62992.5 5.0=α时的预测值： 3.6335.606)5.01(6605.019=?-+?=F ，误差均方＝50236。 比较各误差平方可知，5.0=α更合适。 输出的回归结果如下： 回归统计 Multiple R 0.9673 R Square 0.9356 Adjusted R Square 0.9316 标准误差 31.6628 观测值 18 方差分析 df SS MS F Significance F 回归分析 1 232982.5 232982.5 232.3944 5.99E-11 残差 16 16040.49 1002.53 总计 17 249022.9 Coefficients 标准误差 t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 239.73203 15.57055 15.3965 5.16E-11 206.7239 272.7401 X Variable 1 21.928793 1.438474 15.24449 5.99E-11 18.87936 24.97822 t Y t 9288.2173.239?+=。 第十四章 气体分子热运动的统计规律 （statistical law of thermal motion of gas molecular ） §14-1 平衡态 概率 统计平均值 （equilibrium state ，probability ，statistical mean quantity ） 一、平衡态（equilibrium state ） 1、概念（concept ） 宏观性质长时间不改变的状态 2、描述（describe ） （1）状态参量 ① 体积Ｖ：气体分子所能到达的空间（3 m ） ② 压强Ｐ：单位面积上受到的压力 （ ） 单位面积的动量变化率 （ ） ③ 温度Ｔ：气体的冷热程度 （Ｋ） ＶＰＴ间关系——物态方程 RT M pV μ = （但只有两个是独立变量） （２）几何图形（Ｐ－Ｖ图） ① 平衡态：点ａ（ｐ、v ） ② 准静态过程 过程：物态随时间的变化, 多点集合——曲线 准静态过程：过程变化缓慢，每一步均可视为平衡态。 它在Ｐ－Ｖ图上为一曲线，如ａb 。 二、概率（probability ） 1、 概念（concept ） 事件出现的相对机会，即可能性 2、 表示（expression ） N （N 很大）次试验中，x 事件出现了i N 次则X 事件出现的概率 P （X ）= N N i （离散事件） 如果事件连续分布，且f （x ）表示单位间隔中出现的概率， （亦称概率密度或分布函数）则出现在d x 间隔中的概率 p （x ）= f （x ）d x 3、 特性（specific property ） （1） 小于1 ， p （x ）≤1 （2） 归1 ， ∑p （x ）=1 , 1)(0 =? ∞ dx x f 4、 等概率假设（postulate of equal probability ）处于平衡态时，分子向各个方向运动概 率相等 三、平均值（mean quantity ） 1、 概念（concept ） 物理量的平均大小，表示量上加“一”，如x 2、 计算（computer ） （１） 离散情况 n n i i p x p x p x N N x x +++=∑= (2211) （２） 连续情况 ? =dx x xf x )( 某变量的平均值＝该量与分布函数的乘积对变量积分 §14—2 气体压强与温度的统计意义 （statistical meaning of gas pressure and temperature ） 一、气体的微观模型（microscopic model of gas ） 1、 微观模型 （microscopic model ） （１） 分子可视为质点，同类分子的质量相同 （２） 分子除碰撞外无其它相作用，而分子的碰撞为弹性碰撞 2、 验证（verification ） 不能直接用实验 而是根据其推论与宏观实际（气体宏观实验）一致性来检验 二、压强（pressure ） 1、 实质（substance ） 大量分子对器壁的碰撞， 单位面积的动量变化率 s t p s F p ???=?= 八章 常用统计分布 第一节 超几何分布 超几何分布的数学形式·超几何分布的数学期望和方差·超几何分布的近似 第二节 泊松分布 泊松分布的数学形式·泊松分布的性质、数学期望和方差·泊松分布的近似 第三节 卡方分布(2 χ分布) 2χ分布的数学形式·2 χ分布的性质、数学期望和方差· 样本方差的抽样分 布 第四节 F 分布 F 分布的数学形式·F 分布的性质、数学期望和方差·F 分布的近似 一、填空 1．对于超几何分布，随着群体的规模逐渐增大，一般当 N n ≤（ ）时，可采用二 项分布来近似。 2．泊松分布只有一个参数（ ），只要知道了这个参数的值，泊松分布就确定了。 3．卡方分布是一种（ ）型随机变量的概率分布，它是由（ ）分布派生出来的。 4．如果第一自由度1k 或第二自由度2k 的F 分布没有列在表中，但邻近的第一自由度或第二自由度的F 分布已列在表中，对于F α(1k ，2k )的值可以用（ ）插值法得到。 5．（ ）分布具有一定程度的反对称性。 6．（ ）分布主要用于列联表的检验。 7．（ ）分布用于解决连续体中的孤立事件。 8．2 χ分布的图形随着自由度的增加而渐趋（ ）。 9．当群体规模逐渐增大，以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理，这时（ ）可采用二项分布来近似。 10．（ ）事件是满足泊松分布的。 二、单项选择 1．已知离散性随机变量x 服从参数为λ=2的泊松分布，则概率P （3；λ）＝（ ）。 A 4/3e 2 B 3/3e 2 C 4/3e 3 D 3/3e 3 2．当群体的规模逐渐增大，以至于不回置抽样可以作为回置抽样来处理时，（ ）分布可以用二项分布来近似。 A t 分布 B F 分布 C 2χ分布 D 超几何分布 3．研究连续体中的孤立事件发生次数的分布，如某时间段内电话机被呼叫的次数的概率分布，应选择（ ）。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 4．对于一个样本容量n 较大及成功事件概率p 较小的二项分布，都可以用（ ）来近似。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布。 5．与F α（1k ，2k ）的值等价的是（ ）。 A F 1-α（1k ，2k ） B F 1-α（2k ，1k ） C 1/F α（1k ，2k ） D 1/F 1-α（2k ，1k ） 6、只与一个自由度有关的是（ ） A 2χ分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 三、多项选择 1．属于离散性变量概率分布的是（ ）。 A 二项分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 2．属于连续性变量的概率分布的是（ ）。 A 2χ分布 B 超几何分布 C 泊松分布 D F 分布 3．下列近似计算概率的正确方法是（ ）。 A 用二项分布的概率近似计算超几何分布的概率 B 用二项分布的概率近似计算泊松分布的概率 C 用泊松分布的概率近似计算超二项分布的概率 D 用正态分布的概率近似计算超二项分布的概率 E 用正态分布的概率近似计算 F 分布的概率 4．2 χ分布具有的性质是（ ）。 A 恒为正值 B 非对称性 C 反对称性 D 随机变量非负性 E 可加性 5．F 分布具有的性质是（ ）。 A 恒为正值 B 非对称性 C 反对称性 D 随机变量非负性 E 可加性 6．一般地，用泊松分布近似二项式分布有较好的效果是（ ）。 三、选择题 １某厂生产的化纤纤度服从正态分布,纤维的纤度的标准均值为１.４0.某天测得２5根纤维的纤度的均值x=１．３9,检验与原来设计的标准均值相比是否有所变化,要求的显著性水平为α=0。05，则下列正确的假设形式是（）。 A。H０：μ=1．4０，H１:μ≠1。40 Ｂ. H0:μ≤1．40，H1：μ〉1.40 C。 H0：μ＜１.４０,H1:μ≥1.４０ D. Ｈ０：μ≥1．4０，H1:μ〈1。4０ ２某一贫困地区估计营养不良人数高达２０％，然而有人认为这个比例实际上还要高，要检验该说法是否正确,则假设形式为(）。 A。 H0：π≤０．2,H1：π>0.２ B. H０：π=０.２，Ｈ1：π≠０．2 C. H０:π≥0.3，H1:π<0。3 D。 H0:π≥0.３,H1:π＜0.3 3 一项新的减肥计划声称:在计划实施的第一周内,参加者的体重平均至少可以减轻8磅。随机抽取４0位参加该项计划的样本，结果显示：样本的体重平均减少7磅,标准差为３2磅,则其原假设和备择假设是（）。 A。H0：μ≤8,Ｈ1：μ〉8 Ｂ。H0：μ≥８,Ｈ1:μ〈8 C．Ｈ0：μ≤7,Ｈ1：μ>7 D． H0：μ≥7,H1:μ〈7 4 在假设检验中，不拒绝原假设意味着（)。 A。原假设肯定是正确的B。原假设肯定是错误的 C。没有证据证明原假设是正确的 D.没有证据证明原假设是错误的 5 在假设检验中，原假设和备择假设（)。 A。都有可能成立Ｂ。都有可能不成立 Ｃ。只有一个成立而且必有一个成立D．原假设一定成立，备择假设不一定成立 ６在假设检验中，第一类错误是指()。 A。当原假设正确时拒绝原假设 B。当原假设错误时拒绝原假设 C.当备择假设正确时拒绝备择假设 D。当备择假设不正确时未拒绝备择假设 ７在假设检验中，第二类错误是指（）。 A。当原假设正确时拒绝原假设 B．当原假设错误时未拒绝原假设 C.当备择假设正确时未拒绝备择假设 D．当备择假设不正确时拒绝备择假设 8 指出下列假设检验哪一个属于右侧检验（）。 A。H0:μ=μ0, H1:μ≠μ0 B。 H０:μ≥μ0, H1:μ＜μ０ C．Ｈ０:μ≤μ0, Ｈ1：μ〉μ0 D．H0 :μ＞μ0, Ｈ1：μ≤μ０ 9 指出下列假设检验哪一个属于左侧检验()。 A. H0:μ=μ0， H1：μ≠μ０Ｂ. H0：μ≥μ0 ，Ｈ１：μ<μ0 C． H0：μ≤μ0， H1:μ＞μ0 D. H0：μ〉μ0，Ｈ１：μ≤μ0 1０指出下列假设检验哪一个属于双侧检验（）. A。 H0：μ=μ0， H１：μ≠μ0 B．H0:μ≥μ0， H１:μ〈μ0 麦克斯韦速率分布律、三种统计速率 1、选择题 题号：21111001 分值：3分 难度系数等级：1 麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A ，B 两部分面积相等，则该图表示 （A ）0v 为最概然速率 （B ）0v 为平均速率 （C ）0v 为方均根速率 （D ）速率大于和小于0v 的分子数各占一半 [ ] 答案：（ D ） 题号：21111002 分值：3分 难度系数等级：1 麦克斯韦速率分布函数)(v f 的物理意义是，它是气体分子 （A ） 处于v 附近单位速率区间的概率 （B ） 处于v 附近的频率 （C ） 处于dv v v +~速率区间内的概率 （D ） 处于dv v v +~速率区间内的相对 分子数 [ ] 答案：（ A ） 题号：21111003 分值：3分 难度系数等级：1 气体的三种统计速率：最概然速率p v 、平均速率v 、方均根速率2 v ，它们之间的大小关系为 （A ）2..v v v p > > （B ）2v v v p == （C ）2v v v p < < （D ）无法确定 [ ] 答案：（ C ） 题号：21111004 分值：3分 难度系数等级：1 设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为N ，其中速率在dv v v +~区间内的分子数为dN ，则该气体分子的速率分布函数的定义式可表示为 （A ）N dN v f = )( （B ）dv dN N v f 1)(= （C ）vdv dN N v f 1)(= （D ）dv v dN N v f 21)(= [ ] 答案：（ B ） 题号：21112005 分值：3分 难度系数等级：2 空气中含有氮分子和氧分子，它们两者的平均速率关系为 （A ）22O N v v > （B ）22O N v v = （C ）22O N v v < （D ）无法确定 [ ] 答案：（ A ） 题号：21112006 分值：3分 难度系数等级：2 已知n 为单位体积分子数，)(x v f 为麦克斯韦速度分量的分布函数，则x x dv v nf )(表 示为 （A ）单位时间内碰到单位面积器壁上的速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数 （B ）单位体积内速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数 （C ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数占总分子数的比率 （D ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数 [ ] 答案：（ B ）麦克斯韦气体速率分布律
统计学第七章、第八章课后题答案
麦克斯韦速率分布律与平动动能分布律关系
统计学第八章习题答案
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常用统计分布
统计学答案第八章
麦克斯韦速率分布律、三种统计速率习题11
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