点对称(中心对称)

点对称（中心对称）

教学目的:

1、理解并掌握运用正方形的定义；及它与矩形、菱形的关系判定正方形；并会用这些性质进行有关的论证和计算；

2、2、培养学生的观察能力、动手能力、自学能力、计算能力、逻辑思维能力；

3、3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。

教学重点：定理1、定理2及逆定理。

教学难点：证明方法及运用

教学程序

一、复习创情导入

什么叫做轴对称？

关于某直线对称的两个图形有什么性质？

两个图形关于某直线对称的判定？

二、授新

1、提出问题

（1）什么叫做点对称（中心对称）？对称中心？对称点？点对称与轴对称有什么区别和联系？

（2）定理1的内容？

（3）定理2的内容？

（4）逆定理的内容？

（5）怎样判定两个图形关于某点对称？

2、自学质疑：自学课本P102--105页，完成预习题，并提出疑难问题

3、分组讨论；讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。

4、反馈归纳

（1）中心对称（关于点对称）：把一个图形绕着某一个点旋转1800，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这点对称。

（2）对称中心：这个点叫做对称中心。对称点、对应点。

（3）中心对称与轴对称有何联系和区别？《预习思考题（2）1---4栏》

（4）定理1：关于中心对称的两个图形是全等形。（为什么是真命题）。（如图）三角形ABC绕O旋转1800后，它就和三角形A，B，C，重合，因此两个三角形大小相等，形状相同，所以全等。

（5）定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（为什么是真命题？），（如上图）在中心对称的两个图形中，（6）完成《预习思考题（2）5--6栏》

5、尝试练习

（1）跟踪练习1----6题；

（2）达标练习（1）----（2）；

（3）例2，已知四边形ABCD和点O，（如图），画四边形A，B，C，D，，使它与已知四边形关于点O 对称。学生叙述，教师画图；学生叙述根据；总结画法；（1）确定对称中心；（2）确定对称点；（3）顺次连结各点。

（4）跟踪练习（3）题；

（5）综合练习；

（6）创新练习。

6、深化创新

（1）什么是中心对称？（两个图形）

（2）中心对称的性质定理1：关于中心对称的两个图形是全等的中心对称的性质定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并被对称中心平分。

（3）（判定）逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

7、推荐作业

（1）什么叫做点对称（中心对称）图形？对称中心？中心对称图形与中心对称有何联系和区别？

（2）点对称与轴对称有什么区别和联系？

（3）用硬纸做一个中心对称图形。

（4）平行四边形、矩形、菱形、正方形是否都是中心对称图形？是否都是轴对称图形？

（5）举例说明中心对称图形的应用。

预习思考题

（1）什么叫做点对称（中心对称）？对称中心？对称点？

（2）点对称与轴对称有什么区别和联系？

（3）定理2的内容？为什么这个命题是真命题？

（4）逆定理的内容？如何解释这个命题是真命题？

（5）怎样判定两个图形关于某点对称？

跟踪练习题

（1）如果一个图形绕着一个顶点旋转能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这一点对称。（）

（2）关于中心对称的两个图形对应点连线都，并且被。

（3）平行四边形和特殊平行四边形的对称中心是。

（4）平行四边形的对角顶点关于对角线交点对称。（）

（5）平行四边形的对边关于对角线交点对称。（）

（6）如图（1），线段AB、CD相交于点O，如果OA=OB，OC=OD，则AC与BD 关于O点对称。（）

达标练习题

（1）画已知点A关于点O的对称点；

（2）画已知线段AB关于点O的对称线段；

（3）画已知三角形ABC关于O的对称三角形；画已知三角形ABC关于点A的对称三角形；

综合应用练习题

（1）画已知四边形ABCD 关于点A的对称图形；

（2）画已知四边形ABCD关于直线MN的对称图形。

创新练习题

如图：点O为正方形ABCD的AB的延长线上一点，画一个正方形A，B，C，D，，使它与已知正方形ABCD关于点O对称。（不写画法）

推荐作业

（1）什么叫做点对称（中心对称）图形？对称中心？中心对称图形与中心对称有何联系和区别？

（2）点对称与轴对称有什么区别和联系？

（3）用硬纸做一个中心对称图形。

（4）平行四边形、矩形、菱形、正方形是否都是中心对称图形？是否都是轴对称图形？

（5）举例说明中心对称图形的应用。

正余弦函数图像的对称轴和对称中心

正余弦函数图像的对称轴和对称中心 【基本结论】: 正弦曲线x y sin =，R x ∈的对称轴方程是2ππ+=k x ，Z k ∈;对称中心坐标为 （πk ，0），Z k ∈。 余弦曲线x y cos =，R x ∈的对称轴方程是πk x =，Z k ∈;对称中心坐标为 （2 π π+k ，0），Z k ∈。 【典例分析】： 例1 求函数)3 2cos(3π--=x y 的对称中心和对称轴方程。 解: 由于函数 x y cos =的对称中心为（2ππ+k ，0），（Z k ∈）对称轴方程是πk x = 又由232πππ+=- k x ，得1252ππ+=k x （Z k ∈） 由ππ k x =-32，得62π π +=k x （Z k ∈） 故函数)32cos(3π--=x y 的对称中心为（1252 ππ +k ，3）（Z k ∈） 对称轴方程为62ππ+= k x （Z k ∈） 例2 已知函数)2sin()(?+=x x f 的图像关于直线8π =x 对称，求?的值。 解: 由于函数x x f sin )(=的图像的对称轴方程为ππ k x +=2（Z k ∈） 所以，函数)2sin()(?+=x x f 的图像的对称轴方程为 ππ ?k x += +22（Z k ∈） 即?ππ -+=k x 22（Z k ∈） 2 24?ππ -+=k x （Z k ∈） 又因为已知函数)2sin()(?+=x x f 的图像的对称轴方程为8π=x 则有2 248?ππ π-+=k （Z k ∈）

解之得：4ππ?+=k （Z k ∈）； 当0=k 时，4π ?=

轴对称与中心对称

轴对称与中心对称 一、知识回顾 (一)、轴对称与轴对称图形： 1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。 2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 注意：对称轴是直线而不是线段 3.轴对称的性质： （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形； （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线； （3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上； （4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 (二)、中心对称与中心对称图形： 1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 2.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 3.中心对称的性质： （1）关于中心对称的两个图形是全等形； （2）在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分；（3）成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 （四）、几种常见的轴对称图形和中心对称图形： 轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆对称轴的条数：角有一条对称轴，即该角的角平分线；等腰三角形有一条对称轴，是底边的垂直平分线；等边三角形有三条对称轴，分别是三边上的垂直平分线；菱形有两条对称轴，

旋转对称和中心对称

乐学教育学员个性化教学辅导教案学科:数学任课教师：韩老师授课时间：年月日(星期 )

本次课授课内容 旋转对称 一．课前准备 1、如果一个图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身，那么这个图形就叫做。 2、请说出数学中你熟悉的三个旋转对称图形（1）、（2）、 （3），并回答分别至少旋转多少度后能与自身重合。 3、旋转任意角度都能与自身重合的图形是。 例1、观察下列图形，其中不是旋转对称图形的有（） (1) (2) (3) C (4) X 例2、如下图，它们绕哪一个点至少旋转多少度能与自身重合？（右图考虑颜色） 例3、如下图（1）、（2），请问： （l ）它们是不是旋转对称图形？ （2）若是，旋转中心在何处，需要旋转多少度后，能与自身重合？ （3）它们是轴对称图形吗？ （1）（2） 例4、如右图，画△ABC 和过点P 的两条直线PQ 、PR 。画出△ABC 关于PQ 对称的三角形△A ′B ′C ， 再画出△A ′B ′C 关于PR 对称的三角形△A ′′B ′′C ′′。观察△ABC 和△A ′′B ′′C ′′，你能发现这两个 三角形有什么关系吗？

中心对称 1、中心对称的定义： 一个图形绕着某一点旋转后能与另一图形重合，那么，我们就说这两图形成中心对称图形。这个点就是它们的对称中心。 定义中的三个要点:(l)有一个对称中心——点;(2)图形绕中心旋转180度;(3)旋转后与另一图形重合。 2.中心对称的性质：中心对称的两个图形具有如下性质: (1)关于中心对称的两个图形; (2)关于中心对称的两个图形,对称点的连线都过,并且被平分. 3.中心对称图形 把一个图形绕某一点旋转后 ,如果旋转后的图形能够和原来的图形,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的. 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 4.中心对称与中心对称图形之间的关系： 区别： （1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。 （2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。 联系： 若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形。 当堂训练 知识点1：中心对称 1.如右所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 知识点2：中心对称图形 2.下列图形中，不是中心对称图形的是（）

三角函数图像的对称轴与对称中心

函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ， 且平行于y 轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。 三角函数图像的对称轴与对称中心 特级教师 王新敞 对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和 tan()y A x ωφ=+的简图容易画错， 一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心． 1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心： 对称轴为2x k π π=+、对称中心为(,0) k k Z π∈． 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k π ωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1 ()2x k π πφω=+- ()k Z ∈，这就是函数 sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程． 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1 ()x k πφω=- ()k Z ∈， 这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1 ((),0) k k Z πφω-∈． 2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心： 对称轴为x k π=、对称中心为(,0)2k π π+ k Z ∈． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω= - ()k Z ∈，这就是函数cos() y A x ωφ=+的图象的对称轴方程． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1 ()2x k π πφω=+- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z π πφω+-∈．

中心对称知识点

中心对称图形（一）知识点 一．图形旋转 1．图形旋转的有关概念：图形的旋转、旋转中心、旋转角； 在平面内,将一个图形一个定点转动一定的角度,这样的图形运动称为图形的旋转。这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。 注意点：旋转角通常与旋转方向有关，因此在写旋转角时通常要说明旋转方向。 2．旋转图形的性质： （1）旋转前、后的图形全等。 （2）对应点到旋转中心的距离相等。 （3）每一对对应点与旋转中心的边线所成的角彼此相等。 二．中心对称 1．中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。 2．中心对称的基本性质： （1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。 （2）成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 三．中心对称图形 1．中心对称图形的有关概念：中心对称图形、对称中心 把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。 2．中心对称与中心对称图形的区别与联系 如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。 3．图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比 1．定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2．性质：（边、角、对角线） （1）平行四边形的对边相等。 （2）平行四边形的对角相等。 （3）平行四边形的对角线互相平分。 3．判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。 （3）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （4）两组对边分别相等珠四边形是平行四边形。 五．矩形 1．定义：

正弦函数图象的对称轴与对称中心

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 函数)sin(?ω+=x A y 图象的对称轴与对称中心 新疆民丰县一中 亚库普江·奥斯曼 摘要： 新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以我的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是轴象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数)sin(?ω+=x A y 的对称性知识提出自己的观点。 关键词：对称轴，对称中心，正弦型函数

函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点折旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 正弦函数x y sin =的图像既是轴对称又是中心对称，它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； x y sin =的图象的对称轴是经过其图象的“峰顶点”或“谷底点”，且平行于y 轴的无数条直线；它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。 ∴正弦函数x y sin =的对称轴方程为 2 π π+ =k y ，对称中心点为（0,πk ）,其中 Z k ∈。 正弦型函数)sin(?ω+=x A y 是由正弦函数 x y sin =演变而成。 一般只要知道正弦函数x y sin =图象的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出正弦型函数

三角函数对称轴与对称中心

三角函数对称轴与对称中心 y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z) y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z) y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z) 两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 积化和差公式 sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 倍角公式 sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α tan(2α)=2tanα/(1-tan²α) cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα) sec(2α)=sec²α/(1-tan²α) csc(2α)=1/2*secα·cscα 三倍角公式 sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α) tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1) n倍角公式

三角函数图像的对称轴对称中心

1 三角函数图像的对称轴对称中心 1、将函数)32sin()(π +=x x f 图象上各点向右平移)0(>??个单位，得到函数)(x g 的图象。 （1）若)(x g 的图象与原图象重合，求?的最小值； （2）若)(x g 的图象关于y 轴对称，求?的最小值； （3）若)(x g 的图象关于直线6π =x 对称，求?的最小值； （4）若)(x g 的图象一个对称中心为)0,12 (π- ，求?的最小值； （5）若)(x g 的图象关于原点对称，求?的最小值； （6）若)(x g 的图象经过点)2 1,4(π-M ，求?的最小值 2、函数??? ??+=324sin 2πx y 图像与x 轴交点中，离原点最近的点是 ； 3、函数y = sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－ 8π 对称,则a 的值为 （ ） A ．1 B ．－2 C ．－1 D ．2 4、函数)62sin(3π +=x y 图象的一条对称轴方程是（ ） （A ）0=x （B ）32π= x （C ）6π-=x （D ）3π=x 5、函数)3 3cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 。 6、函数)62sin(4π- =x y 的图象的一个对称中心是（ ） （A ）)0,12(π （B ）)0,3(π （C ）)0,6(π- （D ）)0,6(π 7、设函数)(x f = )2sin(?+x （0<<-?π），)(x f 图像的一条对称轴是直线8π=x ，求?的值。 8、若函数)sin(3)(?ω+=x x f 对任意的x 都有)3()3(x f x f -=+ππ，则=)3(π f （ ） A 3或0 B －3或0 C 0 D －3或3

正弦函数图象的对称轴与对称中心

正弦函数图象的对称轴 与对称中心 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

函数 )sin(?ω+=x A y 图象的对称轴与对称中心 新疆民丰县一中 亚库普江·奥斯曼 摘要： 新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以我的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是轴象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数)sin(?ω+=x A y 的对称性知识提出自己的观点。 关键词：对称轴，对称中心，正弦型函数 函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点折旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 正弦函数x y sin =的图像既是轴对称又是中心对称，它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； x y sin =的图象的对称轴是经过其 图象的“峰顶点”或“谷底点”，且平行于y 轴的无数条直线；它的图象关于x 轴 的交点分别成中心对称图形。 ∴正弦函数x y sin =的对称轴方程为2 π π+ =k y ，对称中心点为 （0,πk ）,其中 Z k ∈。 正弦型函数 )sin(?ω+=x A y 是由正弦函数x y sin =演变而成。

图形对称轴对称面对称中心对称

图形对称轴对称面对称中心对称

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图形轴对称与轴对称图形、中心对称，镜面对称 【知识要点】 一、轴对称图形与图形轴对称 1.轴对称图形定义：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 注意：有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 2.图形轴对称：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 3. 轴对称图形的性质：如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 4.轴对称与轴对称图形的区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 二、轴对称变换 1.定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到 2.轴对称变换的性质：（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 （2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形：（1）作出一些关键点或特殊点的对称点． （2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形． 三、坐标系相关 1.点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y） 2.点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y） 3.点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y） 4.点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）； 5.点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）； 四、镜面对称 1.镜面对称是关于关于面的对称 2..镜面对称的两个图形全等，并且两个图形到镜面的距离相等 五、中心对称 1.中心对称图形定义：一个图形绕着某点旋转180°后能与自身重合，这种图形叫做中心对称图形，该点叫做对称中心 2.中心对称：一个图形绕着某点旋转180°后能与另一个图形重合，这那么这两个图形成中心对称 3.性质：①成中心对称的两个图形全等 ②对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分

三角函数对称轴与对称中心

三角函数对称轴与对称中心 y＝sｉnx 对称轴:x=kπ+π/2(k∈z)对称中心:（kπ,0）(k∈z） ｙ＝cosｘ对称轴:x=ｋπ(k∈z) 对称中心：(kπ+π/2，０）(ｋ∈z) y=tanx 对称轴:无对称中心:(ｋπ,0）（k∈z） 两角与与差得三角函数 cos（α＋β)=ｃosα·cosβ－sinα·ｓinβ cｏｓ(α-β)＝ｃoｓα·cosβ＋sinα·sinβ sｉn（α±β）＝sinα·ｃosβ±cｏｓα·sinβ tan(α+β)=（ｔanα+tanβ)/(1－tanα·ｔａｎβ) ｔan(α－β)=(taｎα-tanβ)／(１+tanα·tanβ) 与差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β）/2]ｃos［(α-β)/２] ｓinα-sinβ=2cｏｓ［（α＋β)/2]sin[(α－β)/2] cosα＋cosβ=2ｃoｓ[(α+β)/2]cos［(α－β)／２] cosα-cosβ=-２ｓin[(α+β)／2］ｓin[(α-β)/２] 积化与差公式 sinα·ｃosβ=(1／2）[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1／2)[ｓiｎ(α＋β）-sin(α－β）] cosα·cｏｓβ=(１/2)[cos(α+β)＋cos(α-β)］ siｎα·sinβ=-(１／2)［coｓ(α+β)－cｏs(α-β）] 倍角公式 sin(２α)=2ｓiｎα·cosα=2/（tａｎα＋ｃoｔα） cos（2α)=cos²α-ｓin&sup２;α=2cos＆ｓup2;α-1=1-２ｓｉｎ&ｓｕp２;α tａｎ(２α)=2tａnα/(1-taｎ&ｓup2;α） cｏt(2α）=（ｃｏt＆suｐ2;α-1)/(2ｃoｔα) ｓeｃ（2α）=seｃ&ｓup2；α／(１-tan&sｕp2;α） cｓc(2α)=１/2＊ｓｅcα·csｃα 三倍角公式 sin(３α) = 3sinα－4sin&sｕp3;α = 4sinα·sin(60°＋α)sin(60°－α） cos(３α) =４cos&ｓｕp3；α-3cｏｓα= 4cosα·coｓ（６０°+α)ｃos(6０°-α）tａn(3α) ＝(３ｔaｎα-taｎ＆ｓup3;α）/(1-3tａn²α）＝ｔanαtan(π/３ +α)tan(π/3-α) cｏｔ(3α)=(cot＆sup３;α-3cｏtα)/（３cotα-1)

中心对称教学设计

《中心对称》教学设计 人教版教科书数学九年级上册 哈尔滨市道里区第一五九中学校张琪 【摘要】 本节课主要研究了中心对称的有关概念及中心对称的基本性质 【关键词】中心对称，对称中心，对称点 【教材分析】 1.考试说明 ①了解中心对称的有关概念 ②掌握中心对称的基本性质 2. 教学目标 ⑴. 知识技能 ①了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题 ②通过具体实例认识两个图形关于某一点中心对称的本质：就是一个图形绕一点旋转 180°而成。 ③理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心 所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用 ⑵．过程与方法 在发现、探究的过程中完成对中心对称变换从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变，发展学生直观想象能力，分析、归纳、抽象概括的思维能力 ⑶. 情感态度与价值观 利用图形探索中心对称的性质，让学生体验数学与生活是紧密联系的，体会到生活中的对称美，发展学生的审美能力，增强对图形的欣赏意识。 3.教学重点 ①利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题 ②中心对称的两条基本性质及其运用 4.教学难点：中心对称的性质及利用以上性质进行作图 【学情分析】 学生在学习了旋转的基础上学习中心对称，在作图方面已经有了一定的基础，中心对称是一种特殊的旋转，对于性质的得出难度不大。 【教学策略】 利用多媒体的形式展示，通过学生自主动脑思考得出结论。 【教学过程】 一、创设情境，引入新课 观察： ①如图1把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？

图1 ②如图2，线段AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，把△OCD绕点O旋转180o，你有什么发现？ 图2 老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△OCD重合． 归纳：把一个图形绕某一个点旋转180o，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；点O叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 【设计意图】 从旋转变换的角度引入中心对称的概念，让学生体会知识间的内在联系，中心对称实际上是旋转变换的一种特殊形式（中心对称要求旋转角必须为180 o，）渗透了从一般到特殊的数学思想方法． 二、师生合作，探求新知 [探究]如图，旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形； 第一步，画出△ABC； 第二步，以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋转180°，画出△A'B'C'； 第三步，移开三角板。 这样画出的△ABC与△A'B'C'，关于点O对称．分别连接对应点AA'、BB'、CC'．点O在线段AA'上吗?如果在，在什么位置?△ABC与△A'B'C'有什么关系? [发现]我们可以发现：(1)点O是线段AA'的中点；(2)△AB C≌△A'B'C'。 上述发现可以证明如下．

轴对称图形中心对称图形的定义及性质

轴对称图形、中心对称图形的基本概念 轴对称图形的定义 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。 轴对称图形的性质 1）如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。（对于一个图形来说） （2）把一格图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称。这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点。（对于两个图形来说） （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。 中心对称的定义： 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称的性质： ①于中心对称的两个图形是全等形。 ②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 ③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心.二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。 既是轴对称图形又是中心对称图形的有：直线，线段，两条相交直线，矩形，菱形，正方形，圆等． 只是中心对称图形的有：平行四边形等． 既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等．

三次函数的对称中心问题

三次函数的对称中心问题 广州市第四中学高二3班 梁隽铭 指导教师 刘运科 对于三次函数()320y ax bx cx d a =+++≠，作出图象，经观察，发现其图象有四种形状： 可以发现，其图象具有中心对称性.如何考虑求出()320y ax bx cx d a =+++≠的图象 的对称中心坐标呢？下面是我的探究过程. 先考虑较简单的两个特殊情况： 一、求()30y ax cx a =+≠的图象对称中心坐标. 此特殊情况较简单.因()30y ax cx a =+≠是奇函数，故其对称中心坐标为()00O ，. 二、求()30y ax cx d ad =++≠的图象对称中心坐标. 此特殊情况也较简单.将3y ax cx =+的图象通过适当平移就可得到 ()30y ax cx d ad =++≠的图象.当0d >时，将3y ax cx =+的图象向上平移d 个单位长 度，就可得到()30y ax cx d ad =++≠的图象；当0d <时，将3y ax cx =+的图象向下平移d 个单位长度，就可得到()30y ax cx d ad =++≠的图象.因3y ax cx =+是奇函数，对称中心坐标为()00O ，，故()30y ax cx d ad =++≠的图象对称中心为()0P d ，. 上面两个特殊情况，主要是利用了奇函数的性质、平移的性质.有了上面两种情况 的铺垫，似乎求()320y ax bx cx d ab =+++≠的图象的对称中心坐标较容易了，其实不然.因()320y ax bx cx d ab =+++≠是非奇非偶函数，无法从奇偶性方面找到突破口.下面先来

正弦函数图象的对称轴与对称中心

函数)sin(?ω+=x A y 图象的对称轴与对称中心 新疆民丰县一中 亚库普江·奥斯曼 摘要： 新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以我的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是轴象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数)sin(?ω+=x A y 的对称性知识提出自己的观点。 关键词：对称轴，对称中心，正弦型函数 函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点折旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的

对称中心。

正弦函数x y sin =的图像既是轴对称又是中心对称，它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； x y sin =的图象的对称轴是经过其图象的“峰顶点”或“谷底点”，且平行于y 轴的无数条直线；它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。 ∴正弦函数x y sin =的对称轴方程为2π π+=k y ， 对称中心点为（0,πk ）,其中 Z k ∈。 正弦型函数)sin(?ω+=x A y 是由正弦函数x y sin =演变而成。 一般只要知道正弦函数x y sin =图象的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出正弦型函数)sin(?ω+=x A y 的对称轴与对称中心。 若a x =是)sin()(?ω+==x A x f y 的对称轴，则A a f ±=)(；若)0,(a 是它的对称中心，则0)(=a f 。 函数)sin(?ω+=x A y 对称轴方程的求法：令 1)sin(±=+?ωx ，得）（Z k 2 k ∈+=+ππ?ωx ，则ω?ππ222-+=k x （Z k ∈），所以函数)sin(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω? ππ222-+= k x ，其中 Z k ∈。 例1：函数)2 52sin(π+=x y 图象的一条对称轴方程是

点对称(中心对称)

点对称（中心对称） 教学目的: 1、理解并掌握运用正方形的定义；及它与矩形、菱形的关系判定正方形；并会用这些性质进行有关的论证和计算； 2、2、培养学生的观察能力、动手能力、自学能力、计算能力、逻辑思维能力； 3、3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。 教学重点：定理1、定理2及逆定理。 教学难点：证明方法及运用 教学程序 一、复习创情导入 什么叫做轴对称？ 关于某直线对称的两个图形有什么性质？ 两个图形关于某直线对称的判定？ 二、授新 1、提出问题 （1）什么叫做点对称（中心对称）？对称中心？对称点？点对称与轴对称有什么区别和联系？ （2）定理1的内容？ （3）定理2的内容？ （4）逆定理的内容？ （5）怎样判定两个图形关于某点对称？ 2、自学质疑：自学课本P102--105页，完成预习题，并提出疑难问题 3、分组讨论；讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。 4、反馈归纳 （1）中心对称（关于点对称）：把一个图形绕着某一个点旋转1800，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这点对称。 （2）对称中心：这个点叫做对称中心。对称点、对应点。 （3）中心对称与轴对称有何联系和区别？《预习思考题（2）1---4栏》 （4）定理1：关于中心对称的两个图形是全等形。（为什么是真命题）。（如图）三角形ABC绕O旋转1800后，它就和三角形A，B，C，重合，因此两个三角形大小相等，形状相同，所以全等。 （5）定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（为什么是真命题？），（如上图）在中心对称的两个图形中，（6）完成《预习思考题（2）5--6栏》

中心对称的定义

?中心对称的定义： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心。 中心对称图形的定义： 在平面内，一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 ?中心对称的性质： ①关于中心对称的两个图形是全等形。 ②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 ③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 中心对称的判定： 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 ?中心对称与中心对称图形的联系: 中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念。 区别是： 中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称。成中心对称的两个图形中，其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上； 而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称。中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。 也就是说： ①中心对称图形：如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。 ②中心对称：如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合，这两个图形成中心对称。

高考函数对称轴对称中心压轴题专题

对称性与周期性 （1）周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． （2）关于函数周期性常用的结论 ①若满足，则，所以是函数的一个周期()； ②若满足，则 ＝，所以是函数的一个周期()； ③若函数满足，同理可得是函数的一个周期(). ④如果是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么． ⑤函数图像关于轴对称． ⑥函数图像关于中心对称． ⑦函数图像关于轴对称，关于中心对称． （3）函数()y f x =的图象的对称性结论 ①若函数)(x f y =关于x a =对称?对定义域内任意x 都有()f a x +=()f a x -?对定义域内任意x 都有()f x =(2)f a x -?()y f x a =+是偶函数； ②函数)(x f y =关于点（a ，0）?对定义域内任意x 都有()f a x -=－()f a x +?(2)f a x -=－()f x ?()y f x a =+是奇函数； ③若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f a x f -=+,则函数)(x f 的对称轴是2 b a x +=； ④若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有()()f x a f b x +=--,则函数)(x f 的对称

轴中心为(,0)2 a b +； 改编：若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有f(a+x)+f(b-x)=c 则函数)(x f 的对称轴中心为________ ⑤函数(||)y f x a =-关于x a =对称. 例1 2016 (12) 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则 (A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 例2 （2016年全国II 高考）已知函数满足，若函数与图像的交点为 则（ ） （A ）0 （B ） （C ） （D ） 例3（2017新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12 D ．1 例4【2017课标1，文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减 C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称 D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称 【命题意图探究】本题主要考查函数的单调性、对称性，是中档题. 【答案】C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，C 正确，D 错误；又112(1)'()2(2) x f x x x x x -=-=--（02x <<），在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A ，B 错误，故选C ．

中心对称

五、中心对称与平行四边形 中心对称 练习要求 理解中心对称图形和对称中心；理解中心对称的两个图形具 有的性质；掌握已知图形关于一点的对称图形的画法；会写图形 关于原点对称的端点、顶点的坐标。 A卷 一、填空题 1.在直角坐标系中，点F(-5，7)关于原点O对称点是。 2.如图，线段AB的端点是A(-1，2)，B(3，5)，画出它关于原点O对称的线段A B， 则A的坐标，B的坐标。 3.在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A(-3，6)，B(-4，0)，C(7，-9)，则 △ABC关于原点O的中心对称的△A B C的各个顶点的坐标分 别是A，B，C。 4.如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是。 5.写出三个中心对称图形是。 二、选择题 6.下列图形中不是中心对称图形的是( ) (A)矩形；(B)圆；(C)线段；(D)等腰梯形。 7.下列表述中，正确的是( ) (A)把一个图形绕着某一点旋转1800，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个 图形叫做中心对称图形； (B)把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形 叫做中心对称图形； (C)有公共顶点的两个三角形是关于这个顶点对称的两个图形； (D)两条有公共端点的射线是关于这个端点对称的图形。 8.在直角坐标系中，点A的坐标为(0，-4)，则点A关于原点O对称的点A的坐标是( ) (A)(4，0)；(B)(0，4)；(C)(-4，0)；(D)(0，-8)。 9.在直角坐标系中，两点的坐标A(-3，2)、B(4，7)，则点A、B关于原点O对称的点 A、B的坐标是( ) (A)(3，-2)，(4，7)；(B)(-3，2)，(-4，-7)； (C)(3，-2)，(-4，-7)；(D)(-3，2)，(4，7)。 10.(1)线段的对称中心是线段的中点； (2)圆的对称中心是圆心； (3)等边三角形的对称中心是某一个顶点； (4)平行四边形的对称中心是对角线的交点。 其中错误有( ) (A)0个；(B)1个；(C)2个；(D)3个。

点对称图形(中心对称图形)-1

https://www.docsj.com/doc/a81354788.html, ------------------华夏教育资源库 点对称图形（中心对称图形） 教学目的: 1、了解中心对称图形的概念、知道与轴对称图形之间的区别与联系；能找出线段、平行四边形的对称中心；会画矩形、菱形、正方形的对称轴。 2、培养学生的观察能力、动手能力、自学能力、计算能力、逻辑思维能力； 3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。 教学重点：定理1、定理2及逆定理。 教学难点：理解中心对称的概念。 教学程序 一、复习创情导入 什么叫做轴对称图形？ 轴对称图形有什么性质？ 如何判定两个图形关于对称中心对称？ 二、授新 1、提出问题 （1）什么叫做点对称（中心对称）图形？对称中心？中心对称图形与中心对称有何联系和区别？ （2）点对称与轴对称有什么区别和联系？ （3）用硬纸做一个中心对称图形。 （4）线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形是否都是中心对称图形？是否都是轴对称图形？ （5）举例说明中心对称图形的应用。 2、自学质疑：自学课本P106--108页，完成预习题，并提出疑难问题。 3、分组讨论；讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。 4、反馈归纳 （1）什么叫做点对称（中心对称）图形？对称中心？中心对称图形与中心对称有何联系和区别？ 把一个图形绕它的某一点旋转1800，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。完成预习思考题（1）； （2）用硬纸做一个中心对称图形。观察说明自制中心对称图形，说明它是中心对称图形； （3）线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形是否都是中心对称图形？是否都是轴对称图形？ （4）举例说明中心对称图形的应用。中心对称图形形状匀称美观：建筑、工艺做装饰图案；能够在所在平面内绕对称中心平稳旋转：旋转的零部件，如叶轮等。 5、尝试练习 （1）完成跟踪练习（1）---（3）题，并总结，为什么三叶轮、五角星不是中心对称图形，有什么规律？ 中心对称图形中的对比数为偶数，才有对应点。 https://www.docsj.com/doc/a81354788.html, ------------------华夏教育资源库