§12.7 条件概率与相互独立事件的概率

§12.7 条件概率与相互独立事件的概率(教案)

知识点：

1．掌握条件概率的定义和公式，会运用条件概率解决问题；

2．了解事件的独立性的意义，会求相互独立事件同时发生的概率。

（一）课标解读及教学要求：

了解互斥事件、对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；了解两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单的概率计算。

考点：

1．互斥事件

不能同时发生的两个事件称为互斥事件．

一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥

2．互斥事件的概率求法

如果事件A ，B 互斥，那么事件B A +发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+．

一般地，如果事件n A A A ,,,21 两两互斥，则

)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ ．

3．对立事件

对立事件的概念说明： 从盒中任意摸出一个球，若摸出的球不是红的，即事件Ａ没发生，记作A ． 由于事件Ａ和事件A 不可能同时发生，它们是互斥事件．又由于摸出的一个球要么是红球，要么不是红球，即事件Ａ和事件A 必有一个发生象这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件．

两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A ． 对立事件A 和A 必有一个发生，故A A +是必然事件，从而1)()()(=+=+A P A P A A P ． 因此，我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=．

思考：对立事件和互斥事件有何异同？

对立事件必然是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件。

4.条件概率

在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件A 发生的条件下,求事件B 发生的条件概率,记作)|(A B P .

定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称

)

()()|(A P AB P A B P = (1) 为在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.相应地，把)(B P 称为无条件概率。一般地，)|(A B P )(B P ≠.

注:

1. 用维恩图表达(1)式.若事件A 已发生,则为使B 也发生,试验结果必须是既在A 中又在B 中的样本点,即此点必属于AB .因已知A 已发生,故A 成为计算条件概率)|(A B P 新的样本空间.也即：在)|(A B P 中，事件B 发生，事件A 一定发生，且)

()()|(A P AB P A B P = 2. 计算条件概率有两种方法:

a) 在缩减的样本空间A 中求事件B 的概率，就得到)|(A B P ；

b) 在样本空间S 中，先求事件)(AB P 和)(A P ，再按定义计算)|(A B P 。

3. 条件概率是概率的特殊情况，具有概率的性质：

①非负性：1)|(0≤≤A B P ；

②可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则)|()|()|)((A C P A B P A C B P +=+ ★乘法公式

由条件概率的定义立即得到:

)0)(()|()()(>=A P A B P A P AB P (2)

注意到BA AB =, 及B A ,的对称性可得到:

)0)(()|()()(>=B P B A P B P AB P (3)

(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.

5.事件的相互独立性

（1）事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，把这两个事件叫相互独立事件。

（2）两个相互独立事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即)()()(B P A P AB P =

(3)如果事件n A A A ,,21相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =

注：1如果事件A 与B 相互独立，那么下列各事件B A 与,B A 与,B A 与都相互独立。 2互斥事件与相互独立事件是有区别的：

两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生

一、基础训练：

1．已知P（AB）=3/10，P（A）=3/5，则P（B|A）= 。

2．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是。

3．甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，则其中恰有一人击中目标的概率是。

4．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则恰有一人击中目标的概率为___________。

5．把一枚硬币任意掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件，B=“第二次出现正面”，则P（B|A）= 。

6．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为。

7．乙知A，B，C是三个相互独立事件，若事件A发生的概率为1/2，事件B发生的概率是2/3事件，事件C发生的概率是3/4，则A，B，C均未发生的概率为。

8．A，B两地位于西部地区，据多年资料记录，A，B两地一年中下雨天仅占6%和8%，而同时为下雨天的比例为2%，求：

（1）A地为雨天且B地为雨天的概率；

（2）在A地为雨天的条件下B地为雨天的概率。

例1．盒子中有10张奖券，其中3张有奖，甲、乙先后从中各抽取1张（不放回），记“甲中奖”为A，“乙中奖为B。

（1）求P（A），P（B），P（AB），P（A|B）；

（2）A与B是否相互独立，说明理由。

例2．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，两人相互间没有影响，计算：

（1）两人都击中目标的概率；

（2）其中伺有一人击中目标的概率；

（3）至少有一人击中目标的概率。

例3．甲、乙、丙三位毕业生，分别应聘一个用人单位的不同岗位，他们被选中的概率分别为：甲P（A）=2/5，乙P（B）=3/4，丙P（C）=1/5，且各自能否被选中没有影响。（1）求三人都能被选中的概率；

（2）求只有两人被选中的概率；

（3）三人中几人被选中的事件最易发生？

例4．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试每人分别都从这10道备选题中随机抽出3题进行测试，于少答对2题才算合格。

（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；

（2）求甲、乙两人于少有一人考试合格的概率。

例5：某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别是10分、100分、200分，答错得零分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8, 0.7, 0.6，且各题答对与否相互之间没有影响。

（1）求这名同不得300分的概率；

（2）求这名同学至少得300分的概率。

例6．如图，用A，B，C三类不同的元件连接成两个系统N l，N2，当元件A，B，C 都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B，C中至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A，B，C正常工作的概率依次是0.80，0.90，0.90．试，N2正常工作的概率

分别求出系统N

P1，P1．

作业：班级姓名学号1．若P（A）=0.5, P(B)=0.3, P(AB)=0.2，则P（A|B）= ，P（B|A）= 。

2．已知A与B是相互独立事件，且P（A）=0.3，P（B）=0.6，则P(A B)= 。

3．在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作，若在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则在这段时间内线路能够正常工作的概率是。

4．某射手在一次射击中命中9环的概率为0.28，使中8环的概率为0.19，命中达不到8环的概率为0.29，这个射手在一次射中命中9环或10环的概率为，两次射击共命中19环以上的概率为。

5．从装有4个白球和3个红球的口袋中任意摸3个球，在至少摸到一个白球的条件下摸到3个白球的概率是。

6．一次电视抽奖游戏准备了三只抽奖盒，从A，B，C盒中抽得中奖奖券的概率分别是3/4，2/3，1/3。抽奖观众有两次机会，第一次从A盒中抽一次，若中奖，则第二次从B盒中抽一次，若第一次不中奖，则从C盒中再抽一次，则该观众至少中一次奖的机会是。

7．在一段时间内，甲去某地的概率为1/4，乙去某地的概率为1/5，分别求在下列情况下甲、乙于少有1人去此地的概率：

（1）假定两人中有一人去了另一人就不去；

（2）假定两人的行动之间没有影响。

8．设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7, 0.6和0.5。若三人各向目标射击一次，求：

（1）恰有两人命中目标的概率；（2）至少有一人命中目标的概率。

9．某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响。

（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；

（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）

10．设袋中有4只白球，2只红球，若无放回地抽取3次，每次抽取一只，求：

（1）第一次是白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率；

（2）第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。

11．有三种产品，合格率分别是0.90, 0.95和0.95，各抽出一件进行检验。

（1）求恰有一件不合格的概率；

（2）求至少有两件不合格的概率。（精确到0.001）

b6相互独立事件概率求解

本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 相互独立事件概率问题求解辨析 焦景会 055350 河北隆尧一中 事件A 、B 是相互独立事件，当且仅当事件A 和B 是否发生，相互之间没有影响。如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的。尤其在涉及“至多”或“至少”问题时，常先求此事件的对立事件的概率，再利用公式()1()P A P A =-求出所求事件的概率。这种解法，称为逆向思考方法。下面就相互独立事件概率问题举例分析如下。 一、 反面求解相互独立事件同时发生的概率 例1、加工某零件需3道工序，设第1、2、3道工序出现次品的概率分别为0.02，0.03，0.05，假设三道工序互不影响，求加工出来的零件是次品的概率。 解：由题中“三道工序互不影响”，可判定1、2、3道工序出现次品的事件是相互独立事件，可用相互独立事件的乘法公式。 设A=“加工出来的零件是次品”，i A =“第i 道工序出现次品”，则123A A A A =??， 由于三道工序互不影响，123()()()()P A p A P A P A ∴=??=（1-0.12）（1-0.03）（1-0.05）=0.90307。所以 ()1()10.903070.09693P A P A =-=-=。 点评：两个或多个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率积，结合“对立事件的概率和为1”，先求其对立事件的概率，然后再求原事件概率，采用这种解法可使问题变得简易。 二、用排列组合思想理解相互独立事件的概率 例2、甲乙两人各投篮3次，每次投中得分概率为0.6，0.7，求甲乙两人得分相同的概率。 解： 甲乙两人得分相同可以有；甲乙都中0、1、2、3次共四种情况。设甲投中0、1、2、3次概率分别为0123A A A A 、、、，乙投中0、1、2、3次概率分别为 0123B 、B 、B 、B ， 则 0012233()()()()P P A B P A B P A B P A B =+++ 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 3 33 30.40.30.60.40.70.30.60.40.70.3C C C C =?+ ???+???3 30.60.70.321+?=。 点评：全面考虑各种可能性，然后利用公式()(1)k k n k n n P k p p C -=-。 三、通过分类或分步将复杂事件分解为简单事件

随机变量条件概率与事件相互独立

2． 2．1条件概率 一、复习引入： 探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“ Y ” ，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y ，Y Y Y 和 Y Y Y ．用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券” , 则 B 仅包含一个基本事件Y Y Y ．由古典概型计算公式可 知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1()3 P B = . 思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？ 因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y 和Y Y Y ．而“最后一名同学抽到中奖 奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y .由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 2 ，不妨记为P （B|A ) ， 其中A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”. 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？ 在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件 A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中，从而影响事件 B 发生的概率，使得 P ( B|A ）≠P ( B ) . 思考:对于上面的事件A 和事件B ，P ( B|A ）与它们的概率有什么关系呢？ 用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y , Y Y Y ,Y Y Y ｝ ．既然已知事件A 必然发生，那么只需在A={Y Y Y , Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y 和Y Y Y ．在事件 A 发 生的情况下事件B 发生，等价于事件 A 和事件 B 同时发生，即 AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件Y Y Y ，因 此 (|)P B A = 12=() () n AB n A . 其中n ( A ）和 n ( AB ）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式， ()() (),()()() n AB n A P AB P A n n = =ΩΩ 其中 n （Ω）表示Ω中包含的基本事件个数．所以， (|)P B A =()()()() ()()()() n AB n AB P AB n n A n P n Ω==ΩΩΩ. 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P （B| A ) . 条件概率 1.定义 设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ). (|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．

北师大数学选修课时分层作业2 条件概率与独立事件 含解析

课时分层作业(二) (建议用时：60分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是() A．0.56B．0.48 C．0.75 D．0.6 A[设甲击中为事件A，乙击中为事件B. 因为A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.] 2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是() A.1 10 B. 2 10 C.8 10 D. 9 10 A[某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝9×1 10×9 ＝ 1 10，所以选A.] 3．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与A2是() A．相互独立事件B．不相互独立事件 C．互斥事件D．对立事件 A[由题意可得A2表示“第二次摸到的不是白球”，即A2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与A2是相互独立事件．] 4．如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是()

A ．0.504 B ．0.994 C ．0.496 D ．0.06 B [系统可靠即A ，B ， C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.] 5．2018年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1 3，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，1 5.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个去北京旅游的概率为( ) A.5960 B.35 C.12 D.160 B [用A ，B ， C 分别表示甲，乙，丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝23×34×45＝2 5，故至少有一人去北京旅游的概率为1－25＝35.] 二、填空题 6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________． 1 3 [设掷两枚骰子点数不同记为事件A ，有一个是6点记为事件B .则P (B |A )＝2×530＝13.] 7．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________． 0．98 [设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”，

1.2.1条件概率与独立事件

条件概率 【问题导思】 一个家庭有两个孩子，假设男女出生率一样． (1)这个家庭一男一女的概率是多少？ (2)预先知道这个家庭中至少有一个女孩，这个家庭一男一女的概率是多少？【提示】 (1)12，(2)2 3 . (1)概念：已知事件B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )． (2)公式：当P (B )＞0时，P (A |B )＝ P AB P B .

独立事件 【问题导思】 在一次数学测试中，甲考满分，对乙考满分有影响吗？ 【提示】 没有影响． (1)定义：对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立． (2)性质：如果A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． (3)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ). 应用 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地 取两次，每次任取一件，试求： (1)第一次取到不合格品的概率； (2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率． 【思路探究】 求解的关键是判断概率的类型．第一问是古典概型问题；第二问是条件概率问题． 【自主解答】 设“第一次取到不合格品”为事件A ，“第二次取到不合格品”为事件B . (1)P (A )＝5 100 ＝0.05. (2)法一 第一次取走1件不合格品后，还剩下99件产品，其中有4件不合格品．于是第二次再次取到不合格品的概率为 4 99 ，这是一个条件概率，表示为P (B |A )＝499 . 法二 根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB 的概率． P (AB )＝5100×499，∴有P (B |A )＝P AB P A ＝5100× 4995100 ＝499 . 1．注意抽取方式是“不放回”地抽取． 2．解答此类问题的关键是搞清在什么条件下，求什么事件发生的概率． 3．第二问的解法一是利用缩小样本空间的观点计算的，其公式为P (B |A )＝ n AB n A ，此法常应用于古典概型中的条件概率求法．

相互独立事件的概率

第79课 相互独立事件的概率 ●考试目标 主词填空 1.如果事件A (或B )是否发生的对事件B (或A )发生的概率没有影响，那么这样的事件叫做相互独 立事件.相互独立事件A 和B 同时发生，记作A ·B,其概率由相互独立事件概率的乘法公式： P (A ·Ｂ)＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）． 2.“互斥”事件A 与B ，要记住其判别的依据是A ∩Ｂ=；而“相互独立”事件A 与B ，是指它们中的任何一个发生与否对另一个事件发生的概率没有“影响”. 3.如果在1次试验中，某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次 的概率. P n (k )=k n k k n P P C --)1(． ● 题型示例 点津归纳 【例1】 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率是0.8.计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率. 【解前点津】 “两人都击中目标”是事件A ·B ；“恰有1人击中目标”是A ·A B 或·B ；“至少有1人击中目标”是A ·B 或A ·A B 或·B . 【规范解答】 我们来记“甲射击一次击中目标”为事件A ，“乙射击一次击中目标”为事件B . (1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件A ·B ，又由于事件A 与B 相互独立. ∴ P (A ·B )=P (A )·P (B )=0.8×0.8=0.64. (2)“两个各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A ·B )，另一种是甲未击中乙击中(即A ·B )，根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A ·A B 与·B 是互斥的，所以所求概率为： P =)()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P ?+?=?+? =0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32. (3) “两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为： P =P (A ·Ｂ)+［P (A ·A P B ()+·Ｂ)］=0.64+0.32=0.96. 【解后归纳】 本题考查应用相互独立事件同时发生的概率的有关知识的正确应用. 【例2】如图，电路由电池A 、B 、C 并联组成.电池A 、B 、C 损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路断电的概率. 【解前点津】 可规定A =“电池A 损坏”，B =“电池B 损坏”，C =“电池C 损坏”.这样，就有事

相互独立事件同时发生的概率典型例题

典型例题 例1 掷三颗骰子，试求： （1）没有一颗骰子出现1点或6点的概率； （2）恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率． 分析：我们把三颗骰子出现1点或6点分别记为事件，由已知，是相互独立事件．问题（1）没有1颗骰子出现1点或6点相当于，问题（2）恰有一颗骰子出现1点或6点可分为三类：，三个事件为互斥事件．问题（1）可以用相互独立事件的概率公式求解，问题（2）可以用互斥事件的概率公式求解． 解：记“第1颗骰子出现1点或6点”为事件，由已知是相互独立事件，且． （1）没有1颗骰子出现1点或6点，也就是事件全不发生，即事件，所以所求概率为： ． （2）恰好有1颗骰子出现1点或6点，即发生不发生不发生或 不发生发生不发生或不发生不发生发生，用符号表示为事件 ，所求概率为：

说明：再加上问题：至少有1颗骰子出现1点或6点的概率是多少我们逆向思考，其对立事件为“没有一颗骰子出现1点或6点，即问题（1）中的事件， 所求概率为，在日常生活中，经常遇到几个独立事件，要求出至少有一个发生的概率，比如例1中的至少有1个人译出密码的概率，再比如：有两门高射炮，每一门炮击中飞机的概率都是，求同时发射一发炮弹，击中飞机的概率是多少把两门炮弹击中飞机分别记为事件A与B，击中飞机即 A与B至少有1个发生，所求概率为 ． 例2 某工厂的产品要同时经过两名检验员检验合格方能出厂，但在检验时也可能出现差错，将合格产品不能通过检验或将不合格产品通过检验，对于两名检验员，合格品不能通过检验的概率分别为，不合格产品通过检验的概率分别为，两名检验员的工作独立．求：（1）一件合格品不能出厂的概率，（2）一件不合格产品能出厂的概率． 分析：记“一件合格品通过两名检验员检验”分别记为事件和事件，问题（1）一件合格品不能出厂相当于一件合格品至少不能通过一个检验员检验，逆向考虑，其对立事件为合格品通过两名检验，即发生，而的概率可以用相互独立事件的概率公式求解．我们把“一件不合格品通过两名检验员检验”分别记为事件和事件，则问题（2）一件不合格品能出厂相当于一件不合格品同时通过两名检验员检验，即事件发生，其概率可用相互独立事件概率公式求解． 解：（1）记“一件合格品通过第i名检验员检验”为事件，“一件合格品不能通过检验出厂”的对立事件为“一件合格品同时通过两名检验员检验”，即事件发生．

概率 2 条件概率与相互独立事件

概率 2 条件概率与相互独立事件 基础梳理 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝ P (AB ) P (A ) . 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB ) n (A ) . (2)条件概率具有的性质： ①0≤P (B |A )≤1； ② 如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝P (A )·P (B )． (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 基础训练 1.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )． A.34 B.23 C.35 D.12 2.如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )． A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576

条件概率与独立事件、二项分布练习题及答案

条件概率与独立事件、二项分布 1．(2012·广东汕头模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.85 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.75 2．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.34 B.23 C.35 D.12 3．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( ) A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576 4．(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25 D.1 2 5．(2012·山西模拟)抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是1 2 ，构造数列{a n }，使得a n ＝ ????? 1 (第n 次抛掷时出现正面)，－1 (第n 次抛掷时出现反面)， 记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为( ) A.116 B.18 C.1 4 D.1 2 6．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.25 7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16 25 ，则该队员每次罚球的命中率为________． 8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于

相互独立事件与概率的乘法公式

相互独立事件与概率的乘法公式 说课人：董新森 工作单位：东平县职业中专 时间：2007年5月22日

“相互独立事件与概率的乘法公式”说课稿 一、教材分析 1、教材所处的地位和作用 本节课是概率的第三个计算公式，是在学习了互斥事件和概率的加法公式后而引入的，是对概率计算公式的进一步研究，同时又为下一步学习独立重复试验概率的计算奠定了知识和方法基础。 2、教学目标 （1）能正确区分互斥事件和相互独立事件，会用乘法公式解决简单问题。 （2）在归纳总结乘法公式过程中，进一步提高由特殊推测一般的合情推理能力。 （3）通过教师指导下的学生探索归纳活动，激发学生学习的兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验。 3、教学重点与难点 教学重点：概率的乘法公式的应用 教学难点：区分互斥事件和相互独立事件 二、教学和学法 本节课采用启发探究式教学，由浅入深,由特殊到一般地提出问题,鼓励学生采用观察分析、归纳、总结的学习方法，让学生经历数学知识的应用过程。

三、教学过程设计 1、从数学问题引入探究主题 若事件A=｛甲同学的生日是5月份｝，B=｛乙同学的生日是5月份｝，则A∩B=｛甲和乙的生日都是5月份｝ 问题：（1）说出事件A和事件B是否为互斥事件，为什么？ （引出相互独立事件的概念） （2）试计算P（A）、P（B）、P（A∩B）。 （3）试分析P（A）、P（B）、P（A∩B）三者之间关系。 （4）试举出几个相互独立事件的例子。 2、发现规律 从以上事例中引导学生观察、分析、归纳 P（A∩B）=P（A）×P（B） 一般地说，如果事件A1，A2，…A n相互独立，那么这几个事件

2.2.1条件概率与事件的相互独立性(学、教案)

2． 2．1条件概率与事件的相互独立性 教学目标：1、通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。理解两个事件相互独立的概念。 2，掌握一些简单的条件概率的计算。能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 3，通过对实例的分析，会进行简单的应用 教学重点：条件概率定义的理解 教学难点：概率计算公式的应用 教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学过程：概念：1，对于两个事件A 与B ，如果P(A)>0,称P(B ︱A)=P(AB)/P(A),为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 2，如果两个事件A 与B 满足等式 P(AB)=P(A)P(B),称事件A 与B 是相互独立的，简称A 与B 独立。 例1．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从9~0中任选一个，某人在银行自 动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求 （1） 任意按最后一位数字，不超过2次就对的概率； （2） 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率. 解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则1 12()A A A A =表示不超过2次就按对 密码． (1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得 1121911()()()101095 P A P A P A A ?=+=+=?. (2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则 112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+ 14125545 ?=+=?. 例2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩， 问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？ 解：一个家庭的两个孩子有四种可能：{（男，男）}，{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。 这个家庭中有一个女孩的情况有三种：{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。在这种情况下“其中一个小孩是男孩”占两种情况，因此所求概率为2／3. 例3．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是6.0，计算： (1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率. 解：（1）“两人各投一次，都投中”就是事件AB 发生，因此所求概率为 P （ AB ）=P （A ）P （B ）=0.6×0.6=0.36 （2）分析：“两人各投一次，恰有一人投中”包括两种情况：甲投中，乙未投中；甲未击中，乙击中。 因此所求概率为 48.06.0)6.01()6.01(6.0)()()()()()(=?-+-?=+=+B P A P B P A P B A P B A P 。

高中数学第一册(上)相互独立事件的概率

高三数学第一轮复习讲义（74） 2005.1.8 相互独立事件的概率 一．复习目标： 1．了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率； 2．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 二．知识要点： 1．相互独立事件的概念： ． 2．,A B 是相互独立事件，则()P A B ?= ． 3．1次试验中某事件发生的概率是P ，则n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是 ． 三．课前预习： 1．下列各对事件 （1）运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”， （2）甲、乙二运动员各射击一次， “甲射中10环”与“乙射中9环”， （3）甲、乙二运动员各射击一次， “甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”， （4）甲、乙二运动员各射击一次， “至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有 （1），（3） ．相互独立事件的有 （2） ． 2．某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1?； ③他至少击中目标1次的概率是410.1-，其中正确结论的序号 ①③ ． 3．100件产品中有5件次品，从中连续取两次，（1）取后不放回，（2）取后放回，则两次都取合格品的概率分别是 893990 、 361400 ． 4．三个互相认识的人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是 （ ） ()A 29200 ()B 725 ()C 7125 ()D 718 5．口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只，现从中随机地取出两只手 套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是 （ ） ()A 甲多 ()B 乙多 ()C 一样多 ()D 不确定 四．例题分析： 例1．某地区有5个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的），假定工厂之间的选择互不影响． （1）求5个工厂均选择星期日停电的概率；（2）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率． 解：设5个工厂均选择星期日停电的事件为A ． 则511()716807 P A ==． （2）设5个工厂选择停电的时间各不相同的事件为B ． 则575360()72401 A P B ==， 至少有两个工厂选择同一天停电的事件为B ，3602041()1()124012401 P B P B =-=-=． 小结：5个工厂均选择星期日停电可看作5个相互独立事件． 例2．某厂生产的A 产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每

独立事件的概率(一)

相互独立事件同时发生的概率 【教学目的】 1．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率； 2.掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式； 3．通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想； 【教学重点】 用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率； 【教学难点】 互斥事件与相互独立事件的区别；相互独立事件的判断； 【教学用具】 投影仪、多媒体电脑等。 【教学方法】 引导法——引导学生逐步认识相互独立事件及其同时发生的概率。 【教学过程】 [设置情境] （1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l 个红球，设摸到一个球是白球的事件为A ，摸到一个球是黑球的事件为B ，问A 与B 是互斥事件呢，还是对立事件？ （2）甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个白球，2个黑球．设从甲坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件A ，从乙坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件B ．问A 与B 是互斥事件呢？还是对立事件？还是其他什么关系？ （3）在问题（2）中，若记事件A 与事件B 同时发生为B A ?，那么()B A P ?与()A P 及()B P 有什么关系呢？它们之间有着某种必然的规律吗？ [探索研究] 1．独立事件的定义 我们把“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件A ，把“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件B ．很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没有影响．这就是说，事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两个事件互斥是指这两个

相互独立事件概率求解

相互独立事件概率问题求解辨析 事件A 、B 是相互独立事件，当且仅当事件A 和B 是否发生，相互之间没有影响。如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的。尤其在涉及“至多”或“至少”问题时，常先求此事件的对立事件的概率，再利用公式()1()P A P A =-求出所求事件的概率。这种解法，称为逆向思考方法。下面就相互独立事件概率问题举例分析如下。 一、 反面求解相互独立事件同时发生的概率 例1、加工某零件需3道工序，设第1、2、3道工序出现次品的概率分别为0.02，0.03，0.05，假设三道工序互不影响，求加工出来的零件是次品的概率。 解：由题中“三道工序互不影响”，可判定1、2、3道工序出现次品的事件是相互独立事件，可用相互独立事件的乘法公式。 设A=“加工出来的零件是次品”，i A =“第i 道工序出现次品”，则123A A A A =??， 由于三道工序互不影响，123()()()()P A p A P A P A ∴=??=（1-0.12）（1-0.03）（1-0.05）=0.90307。所以 ()1()10.903070.09693P A P A =-=-=。 点评：两个或多个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率积，结合“对立事件的概率和为1”，先求其对立事件的概率，然后再求原事件概率，采用这种解法可使问题变得简易。 二、用排列组合思想理解相互独立事件的概率 例2、甲乙两人各投篮3次，每次投中得分概率为0.6，0.7，求甲乙两人得分相同的概率。 解： 甲乙两人得分相同可以有；甲乙都中0、1、2、3次共四种情况。设甲投中0、1、2、3次概率分别为0123A A A A 、、、，乙投中0、1、2、3次概率分别为 0123B 、B 、B 、B ， 则 0012233()()()()P P A B P AB P A B P A B =+++ 1122 33222233330.40.30.60.40.70.30.60.40.70.3 C C C C =?+???+???330.60.70.321+?=。 点评：全面考虑各种可能性，然后利用公式()(1)k k n k n n P k p p C -= -。 三、通过分类或分步将复杂事件分解为简单事件 例3、某辆汽车载有8名学生从学校回家，途中共有甲、乙、丙三个停车点。如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车，假设每个学生在每个停车点下车的可能性都相等。求 （1）停车次数不少于2的概率；（2）恰好停2次的概率。

条件概率与事件的独立性练习题

条件概率与事件的独立性练习题 1．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12 ，且 是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( ) A.18 B.14 C.12 D.116 2、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率 为( ) A.81125 B.54125 C.36125 D.27125 3、一学生通过英语听力测试的概率是21，他连续测试两次，那么其中恰好一次通过的概率 是（） A. 41 B. 31 C.21 D.4 3 4．某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（） A ．12581 B ．1255 4 C ．12536 D ．125 27 5、甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 ( ) (A) 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648 6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

7．2009年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是34 . (1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率； (2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．

条件概率与独立事件

条件概率与独立事件 【要点梳理】 要点一：条件概率 1.概念 设A 、B 为两个事件，求已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为()|P A B ，读作：事件B 发生的条件下A 发生的概率。 要点诠释： 我们用韦恩图能更好的理解条件概率，如图，我们将封闭图形的面积理解为相应事件的概率，那么由条件概率的概率，我们仅局限于B 事件这个范围来考察A 事件发生的概率，几何直观上，()|P A B 相当于B 在A 内的那部分（即事件AB ）在A 中所占的比例。 2.公式 . 要点诠释： （1）对于古典（几何）概型的题目，可采用缩减样本空间的办法计算条件概率： 古典概型：(|)AB P A B B = 包含的基本事件数 包含的基本事件数，即()() card (|)card AB P AB B =； 几何概型：(|)AB P A B B = 的测度 的测度 . （2）公式() (|)() P AB P A B P B = 揭示了()P B 、()|P AB 、()P AB 的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若()P B ＞0，则()()()=|P AB P A P B A ，该式称为概率的乘法公式． （3）类似地，当()0P A >时，A 发生时B 发生的条件概率为：()()() |=P AB P B A P A . 3. 性质 （1）非负性：()|0P A B ≥； （2）规范性：()|=1P B Ω（其中Ω为样本空间）； （3）可列可加性：若两个事件A 、B 互斥，则()()()+||+|P A B C P A C P B C =. 4.概率()P A |B 与()P AB 的联系与区别： 当()0P B >时，()()() |= P A B P A B P B I .

高中数学第一册(上)互斥事件,相互独立事件的概率 复习资料

互斥事件，相互独立事件的概率 复习资料 一．复习目标：理解互斥事件，相互独立事件的概念，能求互斥事件有一个发生的概率、 相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验的概率． 二．知识结构： 1．事件的和： 设,A B 是两个事件，那么A B +表示这样一个事件：在同一试验下，A 或B 中至少有一个 发生就表示它发生.它可以进一步推广，12n A A A +++表示这样一个事件，在同一试验中， 12,,,n A A A 中至少有一个发生就表示它发生. 2．互斥事件与彼此互斥： 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件. 一般地，如果事件12,,,n A A A 中任何两个都是互斥事件，那么说事件12,,,n A A A 彼此互斥. 3．互斥事件有一个发生的概率： 如果事件,A B 互斥，那么事件A B +发生的概率，等于事件,A B 分别发生的概率的和 即 ()()()P A B P A P B +=+ . 如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么事件12n A A A +++发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和.即 122()()()()n n P A A A P A P A P A ++ +=+++. 对立事件,A A 的和事件A A +是必然事件.即 ()()()1P A P A P A A +=+=. 4．相互独立事件 事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立 事件. 设,A B 是两个事件，那么A B ?表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生. 5．相互独立事件发生的概率 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. ()()()P A B P A P B ?=?. 公式进一步推广：即122()()()()n n P A A A P A P A P A ?? ?=. 即：如果事件12,,,n A A A 相互独立， 那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. 说明：①事件A 与B (不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算： ()()()()P A B P A P B P A B +=+-?. ②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时 发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率 没有影响. 6．独立重复试验. 独立重复试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某种事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的. 一般地，如果在一次试验中某件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概 率为()(1)k k n k n n P k C P P -=-，()(1) k k n k n n P k C P P -=-可以看成二项式 [(1)]n P P -+的展开式中的第1k +项. 三．基础训练： 1．下列正确的说法是 （ ） ()A 互斥事件是独立事件； ()B 独立事件是互斥事件； ()C 两个非不可能事件不能同时互斥与独立； ()D 若事件A 与B 互斥，则A 与B 独立. 2．10张奖券中含有3张中奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率是（ ）

条件概率与独立事件教案

2.1条件概率与独立事件（一） 丹凤县竹林关中学兰栋霞 ●学情分析 高二学生在高一阶段已经学习了古典概型、几何概型，对于概率知识有了一定的认识，为条件概率与独立事件的学习，奠定了一定的理论基础。 ●三维目标 1．知识与技能 （1）通过具体情境了解条件概率的概念，能利用条件概率分析和解决简单的实际问题． （2）掌握求条件概率的两种方法. 2．过程与方法 在对条件概率的学习过程中，进一步培养学生准确把握随机事件，掌握利用概率的知识，分析解决实际问题的方法．3．情感、态度与价值观 通过利用概率知识解决简单的实际问题，进一步体会和感受数学知识在生活中的应用，培养随机意识． ●重点难点 重点：求条件概率的方法，利用条件概率分析和解决简单的实际问题． 难点：对条件概率的概念的理解． ●教学方法 主要采取教师启发、讲授和学生探究、练习相结合的方法

●教学过程： 一、知识回顾 1.古典概型的概念： 1)试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;2)每一个结果出现的可能性相同。 2.古典概型的概率计算公式： 二、实例探究 100个产品中有93个产品的长度合格，90个产品的质量合格，85个产品的长度、质量都合格。现在任取一个产品，若已知它的质量合格，那么它的长度合格的概率是多少？ 分析：令A={产品的长度合格} ，B={产品的质量合格}，那么A ∩B={产品的长度、质量都合格} 现任取一个产品，已知它的质量合格（即B 发生），则它的 长度合格（即A 发生）的概率是9085 思考：这个概率与事件A 、B 发生的概率有什么关系么? 三、精讲点拨 求B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为 。 n m A A P ==试验的所有可能结果数包含的可能结果数事件)(当 时 ，其中 可记为 0 )(>B P )()()(B P B A P B A P ?=B A I AB )(B A P 类似地，当 时， ，此即为A 发生时B 发生的条件概率。 0)(>A P )()()(A B P AB P A P =

互斥事件,相互独立事件的概率复习讲义

互斥事件，相互独立事件的概率复习讲义 一．复习目标：理解互斥事件，相互独立事件的概念，能求互斥事件有一个发生的概率、 相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验的概率． 二．知识结构： 1．事件的和： 设,A B 是两个事件，那么A B +表示这样一个事件：在同一试验下，A 或B 中至少有一个发生就表示它发生.它可以进一步推广，12n A A A +++表示这样一个事件，在同一试验中，12,,,n A A A 中至少有一个发生就表示它发生. 2．互斥事件与彼此互斥： 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件. 一般地，如果事件12,,,n A A A 中任何两个都是互斥事件，那么说事件12,,,n A A A 彼此互斥. 3．互斥事件有一个发生的概率： 如果事件,A B 互斥，那么事件A B +发生的概率，等于事件,A B 分别发生的概率的和 即 ()()()P A B P A P B +=+ . 如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么事件12n A A A +++发生的概率，等于这n 个事 件分别发生的概率的和.即 122()()()()n n P A A A P A P A P A +++=+++. 对立事件,A A 的和事件A A +是必然事件.即 ()()()1P A P A P A A +=+=. 4．相互独立事件 事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件. 设,A B 是两个事件，那么A B ?表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生. 5．相互独立事件发生的概率 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. ()()()P A B P A P B ?=?. 公式进一步推广：即122()()()()n n P A A A P A P A P A ?? ?=. 即：如果事件12,, ,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件 发生的概率的积.

§12.7 条件概率与相互独立事件的概率

§12.7 条件概率与相互独立事件的概率(教案) 知识点： 1．掌握条件概率的定义和公式，会运用条件概率解决问题； 2．了解事件的独立性的意义，会求相互独立事件同时发生的概率。 （一）课标解读及教学要求： 了解互斥事件、对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；了解两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单的概率计算。 考点： 1．互斥事件 不能同时发生的两个事件称为互斥事件． 一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 2．互斥事件的概率求法 如果事件A ，B 互斥，那么事件B A +发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+． 一般地，如果事件n A A A ,,,21 两两互斥，则 )()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ ． 3．对立事件 对立事件的概念说明： 从盒中任意摸出一个球，若摸出的球不是红的，即事件Ａ没发生，记作A ． 由于事件Ａ和事件A 不可能同时发生，它们是互斥事件．又由于摸出的一个球要么是红球，要么不是红球，即事件Ａ和事件A 必有一个发生象这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件． 两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A ． 对立事件A 和A 必有一个发生，故A A +是必然事件，从而1)()()(=+=+A P A P A A P ． 因此，我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=． 思考：对立事件和互斥事件有何异同？ 对立事件必然是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件。 4.条件概率 在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件A 发生的条件下,求事件B 发生的条件概率,记作)|(A B P . 定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称 ) ()()|(A P AB P A B P = (1) 为在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.相应地，把)(B P 称为无条件概率。一般地，)|(A B P )(B P ≠.