20150318数值分析学生版作业

2014-2015(2)计算机与信息工程学院数值分析作业

计科专业_______级_____班 姓名:___________学号:____________

第一章 绪论 一、单项选择题

1.用3.1415作为π 的近似值时具有（ ）位有效数字。 （A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6

2.已知数x 1=721 x 2=0.721 x 3=0.700 x 4=7*10-2是由四舍五入得到的，则它们的有效数字的位数应分别为( )。

(A) 3，3，3，1 ( B) 3，3，3，3 (C) 3，3，1，1 ( D) 3，3，3，2 二、填空题

1.在一些数值计算中,对数据只能取有限位表示, 1.414≈ ,这时所产生的误差称为_______误差.（填误差的类型）

2. 为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为_________以保证计算结果比较精确.

3.在数值计算中，通常取e 2.71= ，此时产生的误差为_________误差（填误差的类型）.

4.设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有_________位有效数字。 三、计算题

1、（本题5分）试确定

7

22

作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。

第二章 插值法 一、单项选择题

1. 通过点0011(x ,y ),(x ,y ) 的拉格朗日插值基函数01l (x),l (x)满足 ( ). (A ) 0011l (x )0,l (x )0== ( B) 0011l (x )1,l (x )1== (C )0011l (x )1,l (x )0== (D) 0011l (x )0,l (x )1==

2.

是给定的互异节点，

是以它们为插值节点的插值多项式，则

是一个( ).

(A) n +1次多项式 (B) n 次多项式

(C) 次数小于n 的多项式 (D) 次数不超过n 的多项式 二、填空题

1. 设有节点012x ,x ,x ，其对应的函数=y f (x) 的值分别为012y ,y ,y ， 则二次拉格朗日插值基函数0l (x)___________= .

2.已知2()1,=+f x x 则[1,2,3]____=f .

2. 已知f (1)1,f (2)3,== 那么y f (x)=以1，2为节点的拉格朗日线性插值多项式为_________.

3. 当x =1，-1，2时，对应的函数值分别为f (-1)=0，f (0)=2，f (4)=10，则f (x )的拉格朗日插值多项式是 .

4. 设2

f (x)x = ，则f (

x )关于节点012x 0,x 1,x 3=== 的二阶向前差分为

___________.

5. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 _____，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 ___；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 ___.

6. 设20)2(,10)1(,0)0(===f f f ,则[]___,,=10f []___,2,1,0=f )(x f 的二次牛顿插值多项式为___________________________.

7. 设)(x L n 为)(x f 的n 次拉格朗日插值多项式，则其插值余项为_________________.

8. 已知

53

()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---=_____. 9. 设),,2,1,0(,,53)(2 ==+=k kh x x x f k 则差商123[,,,]___n n n n f x x x x +++=. 10. 设()(0,1,2

)j l x j n =是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则

()j i l x =____________(,0,1,2

)i j n =；0()n

j j l x ==∑ 。

三、计算题

1

（1）写出f (x) 的3次Lagrange 插值多项式3L (x) ； （2）写出f (x) 的3次Newton 插值多项式3N (x) .

2. 已知

(1) 用拉格朗日插值法求的三次插值多项式

；

(2) 求x ， 使

=0。

3. 给定数据,)(,)(,)(,)(143521100====y y y y 求三次拉格朗日插值多项式)(x L 3.

4.已知函数()y f x =在如下节点处的函数值

（1） （2） 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式

2()P x ，并计算(1.1)y 的近似值；

5.已知y=x ，0x =4，1x =9，用线性插值求7的近似值。

6.已知

计算三阶差商f ［1,3,4,7］。

7.已知

求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。

8.设)(x f 为k 次多项式，n x x x x ,,,210为1+n 个互异点，)(x L n 为)(x f 的n 次插值多项式。若n k <，试证)()(x f x L n ≡。

第三章 函数逼近于计算 一、填空题

1.用二次多项式2012(x)a a x a x ,?=++ 其中012a ,a ,a 是待定参数，拟合点

1122n n (x ,y ),(x ,y ),,(x ,y ) ，那么参数012a ,a ,a 是使误差平方和

____________________取最小值的解。 2.已知数据对=k k (x ,y )(k 1,2,

,n) ,用直线y a bx =+拟合这n 个点,则

参数a,b 满足的法方程组是__________________. 二、计算题

1.已知一组实验数据如下

求它的拟合曲线（直线）。

3．求32

f (x)x =在[0,1]上求关于{}span 1,x φ=的一次最佳平方逼近多项式.

4.

()[]

{}245.,111,f x x span x x ?=-=在，上求关于的最佳平方逼近。 6. 求x x f =

)(在区间[1/4,1]上的关于权函数1=)(x ρ的一次最佳平方逼近多项式.

7. 求

35332

3-++=x x x x f )(在区间],[11-上的最佳二次逼近多项式. 8. 已知

求的形如的二次拟合曲线，并求的近似值。

9.已知n+1个数据点

(,)(0,1,2,

,)i i x y i n =，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关

系，并说明各种函数的适用条件。

10.用最小二乘法解下列超定线性方程组：

???

??=-=+=+27242

12121x x x x x x 11.求3x f(x)=在[0，1]上的一次平方逼近多项式。

第四章 数值积分与数值微分 一、单项选择题

1.已知求积公式21121

f (x)dx f (1)Af ()f (2)636

≈++? ，则A =（ ）.

16(A) 13(B) 12(C) 23

(D)

2.已知n 4= 时牛顿-科特斯求积公式，科特斯系数(4)(4)0

1716C ,C ,9045

== (4)2

2C 15= ，那么(4)

3C =（ ）. (A) 790 (B) 1645 (C) 215 (D) (4)

3716239C 190451590=---=

3. 已知节点k k (x ,y ),(k 0,1,2,

,n),= 插值型两点求导公式是（ ）.

1

011y (x x )h '≈--(A) 1101

y (x x )h '≈--(B) 1

011y (y y )h '≈--(C) 1011y (y y )h

'≈-(D) 4.求积分公式1

1

f (x)dx f (1)f (1)-≈-+? 是( )次代数精度.

( A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

二、填空题

1.求积分公式10211123

f (x)dx f ()f ()f ()343234≈-+? 具有_____次代数精度.

2.设求积公式n

b

k k a

k 0

f (x)dx A f (x )=≈∑? ，若对_______________的多项式积分公式

精确成立，而至少有一个m 1+ 次多项式不成立，则称该求积公式具有m 次代

数精度.

3.已知n 3= 时，科特斯系数(3)(3)(3)01213C ,C C 88

=== ，那么(3)3C _____= . 4. 求初值问题00y f (x,y)

y(x )y '=??=?

近似解的梯形公式是k 1y +≈___________.

5. n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为______次，n 个求积节点

的高斯求积公式的代数精度为 .

6. 5个节点的牛顿-柯特斯公式代数精度是 .

7.1+n 个节点的Gauss 型求积公式具有______次的代数精度.

8.为使求积公式

1

1231

()((0)f x dx A f A f A f -≈++?

的代数精度尽量高，应

使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。

9.数值微分公式)(a f '≈h

h a f h a f 2)

()(--+的代数精度为_______.

三、计算题

1. 试用n 1,2,4=的牛顿-科特斯求积公式计算定积分

1

01

I dx 1x

=+? . 2.已知012113

,,,424

===x x x

(1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式

1

0120

113

()()()()

424f x dx A f A f A f ≈++?

；

(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算120

?x dx .

3. 试求使求积公式的代数精度尽量高，

并求其代数精度。

4.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.

5.已知)(x f 的函数值如下：

用复合梯形公式和复合辛普森公式求dx x f ?

6

.28

.1)(的近似值.

6.已知)(x f 的函数值如下表

2

5.15.001)(1

5.005.01---x f x

用复合梯形公式和复合Simpson 公式求

dx x f ?

-1

1

)(的近似值.

第五章 常微分方程数值解法

一、单项选择题

1.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是k 1p c 1

y (y y )2

+=+,那么p c y ,y 分别为( ).

p k k k c

k k 1p y y hf (x ,y )y y hf (x ,y )+=+??=+?(A) p k k k c k k 1k y y hf (x ,y )y y hf (x ,y )+=+??=+?(B)

p k k 1k c k k p y y hf (x ,y )y y hf (x ,y )+=+??=+?(C) p k k k c k k p y y f (x ,y )y y f (x ,y )=+??=+?(D)

2. 求解常微分方程的二阶R-K 方法的局部截断误差为( ). 1O(h )(A) 2O(h )(B) 3O(h )(C) 4O(h )(D).

3.解微分方程初值问题的方法，（ ）的局部截断误差为

)(3

h O . (A) 欧拉法 (B) 改进欧拉法

(C) 三阶龙格—库塔法 (D) 四阶龙格—库塔法 二、计算题

1. 写出四阶经典龙格-库塔法求解初值问题y 83y

y(0)2'=-??=?

的计算公式,并取步长

h 0.2= ,计算y(0.4) 的近似值,小数点后至少保留4位.

2.用Euler 方法求解初值问题'(0)0?=-?=?

y x y

y ，取0.1=h 在区间[0,0.3]计算,结果保留

到小数点后4位.

3.初值问题 ???=>+='0

)0(0,y x b ax y 有精确bx ax x y +=2

21)(，试证明： 用Euler

法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 2

1

)(=

-=ε 4.写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式：（无需计算）

???=+=1)0(')1y y x y ,10<

1

)0(13')2y x y y ,10<

5.用改进欧拉法求解???=+=1

)0('y y

x y )10(≤≤x ，2.0=h ，取两位小数。

6. 取步长，用梯形法解常微分方程初值问题

7.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列常微分方程的数值解。

22(01,0.2)

(0)0

y x y x h y '?=+≤≤=?

=?

第六章 方程求根 一、单项选择题

1. 求解方程f (x)0=,若f (x)0=可以表示成x (x)?=,则用简单迭代法求根,那么(x)?满足( ),近似根序列12n

x ,x ,

,x ,一定收敛.

(x)r 1?'≥≥(A) (x)r 1?'>>(B) (x)r 1?'≤≤(C) (x)r 1?'≤<(D) 2.下列说法不正确的是( ).

(A) 二分法不能用于求函数f (x)0=的复根.

(B) 方程求根的迭代解法的迭代函数为(x)?,则迭代收敛的充分条件是

(x)1?< .

(C) 用高斯消元法求解线性方程组Ax b = 时,在没有舍入误差的情况下得到的都是精确解.

(D) 如果插值节点相同,在满足插值条件下用不同方法建立的插值公式是等价的.

3.为求方程x 3―x 2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )。 A. 11

1-=

+n n x x B.

211

1n n x x +=+

C. 32

11n

n x x +=+ D. 112

21

+++=+n n n

n x x x x

4. 求解方程在(1, 2)内根的下列迭代法

(1) (2)

(3) (4)

中，收敛的迭代法是（ ）.

A ．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1) 二、填空题

1.牛顿下山法的下山条件为_______________________.

2.因为方程x f (x)x 420=-+=在区间[]1,2上满足__________, 所以f (x)0=在区间内有根。

3．求方程2x x 1.250--= 的近似根，用迭代公式x =取初始值0x 1= ，那么1x _____= .

4.已知方程3x x 10--= 在区间()1,2 内有根,构造方程的一种迭代格式为

3k 1k x x 1+=-,则该迭代法_____收敛的(填是或不) .

5.设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是____________.

6.用牛顿下山法求解方程03

3

=-x x 根的迭代公式是_____________，下山条件是 。

7.在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )的二阶导数不变号，则初始点x 0的选取依据为 。 8.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 迭代计算。

9. 求方程2

cos x x =根的Newton 迭代格式为 。

10.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ?收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ?满足__________。

11. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_____________。

12. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为___________.

13. 用二分法求?(x)=0(x ∈[a,b] )根的条件是___________.

三、计算题

1.用Newton 迭代法求方程3f (x)x 2x 50=+-=的实根，0 1.5=x ，要求

4

1||10

-+-

f (x )

x 3x 1

0=-

-=在0x 2=附近的根，根的准确值*x 1.87938524=…，要求计算结果准确到四位有效数字

3.设a 为常数，建立计算a 的牛顿迭代公式，并求115的近似值，要求计算结果保留小数点后5位。（6分）

第七章 解线性方程组的直接方法 一、单项选择题

1.线性方程组Ax b = 能用高斯消去法求解的充分必要条件是( ). (A) A 为对称矩阵 (B) A 为实矩阵

(C) A 0≠ (D) A 的各阶顺序主子式不为零

2.当线性方程组AX b =的系数矩阵A 是( )时,用列主元消去法解

AX b =,A 的主对角线上的元素一定是主元.

（A ）上三角形矩阵 （B ）主对角线元素不为0的矩阵 （C ）对称且严格对角占优矩阵 （D ） 正定对称矩阵 3.用选主元的方法解线性方程组Ax b =,是为了( ).

(A) 提高计算速度 (B) 减少舍入误差 (C) 减少相对误 (D ) 方便计算 4.在近似计算中，要注意以下原则：

（1）计算速度快 （2）避免大数“吃掉”小数， （3）防止溢出 （4）减少计算次数 列主元消元法解方程组

是（ ）.

A ．(1)和(2) B.(2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)

5. 线性方程组 AX=B 能用高斯消元法求解的充分必要条件是（ ）。 A. A 为对称矩阵 B. A 为实矩阵

C. ∣A ∣≠0

D. A 的各阶顺序主子式不为零 二、填空题

1.设向量[]T

x 123=-,则1x ___= , 2x ____=, x

_____.∞

=

2.已知1125A ??

=????

，则1A 6= (1分)，∞A 7= .

3.设向量1x 24????=????-??

,则12x ______,x ______,x _________.∞

=

4.使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中

4221A -??

=??

??，则L =_______________，U =______________；

5.将2111A ??

= ???

作Doolittle 分解(即LU 分解),

则L=___________,U=___________.

三、计算题

1.用高斯消去法解线性方程组?????????=++=++=++.

8221,851413

1

,9615141

3

21321321x x x x x x x x x

2.用高斯消去法求解方程组???

??=+-=-+=++5

2213614282321

321321x x x x x x x x x

3.用列主元消去法解线性方程组. 123123233x x x 1312x 3x x 454x 3x 3

+-=??

-+=??+=-?

4．用列主元消去法解线性方程组1231231

232346,

3525,433032.

x x x x x x x x x ++=??

++=??++=?

5. （本题10分）用LU 分解法解线性方程组.123123142521831520?????? ??? ?

= ??? ? ??? ???????

x x x .

6. 求矩阵

??????????-=143246016238A 的LU 分解，并求方程组b Ax =的解，其中??

???

?????=16100b . 第八章 解线性方程组的迭代法 一、填空题

1.设矩阵A 是对称正定矩阵，利用________________迭代法解线性方程组Ax b =，其迭代解数列一定收敛。

2.用20.对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 。

3.用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式

(1)()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产生的向量序列{}()

k X 收敛的充分必要条件

是 .

4.松弛法 (9.0=ω)解方程组???

??=+-=++--=++3

103220241225322

321321x x x x x x x x x 的迭代公式是__________.

三、计算题

1． 给定线性方程组13412312341234

10x x 5x 7

x 8x 3x 11

3x 2x 8x x 23x 2x 2x 7x 17?+-=-?

+-=??+-+=??-++=?

（1）写出Jacobi 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式；

（2）考查Jacobi 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性。 2.下列方程组Ax=b ，

考查用Jacobi 法和GS 法解此方程组的收敛性.（8分） 3.给定线性方程组

1231231230.40.410.40.820.40.83

x x x x x x x x x ++=??

++=??++=?

(1)分别写出用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式； (2)试分析以上两种迭代方法的敛散性。

4.试构造方程组

??

?=+=+4

233

22121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由.

5.用高斯消去法求解方程组

???

??=+-=-+=++5

2213614282321

321321x x x x x x x x x

6.用高斯消去法解线性方程组?????????=++=++=++.

822

1,851413

1

,9615141

3

21321321x x x x x x x x x 解: 本题是高斯消去法解具体方

程组,只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可.

北师大网络教育 数值分析 期末试卷含答案

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）

北航数值分析大作业一

《数值分析B》大作业一 SY1103120 朱舜杰 一．算法设计方案： 1.矩阵A的存储与检索 将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] . 由于C语言中数组角标都是从0开始的，所以在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素a ij的方法是： A的带内元素a ij=C中的元素c i-j+2,j 2.求解λ1，λ501，λs ①首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。λmin即为λs； 如果λmax>0,则λ501=λmax；如果λmax<0,则λ1=λmax。 ②使用带原点平移的幂法（mifa（）函数），令平移量p=λmax，求 出对应的按摸最大的特征值λ，max， 如果λmax>0,则λ1=λ，max+p；如果λmax<0,则λ501=λ，max+p。 3.求解A的与数μk=λ1+k（λ501-λ1）/40的最接近的特征值λik （k=1,2，…，39）。 使用带原点平移的反幂法，令平移量p=μk，即可求出与μk最接近的特征值λik。 4.求解A的（谱范数）条件数cond（A）2和行列式d etA。 ①cond（A）2=|λ1/λn|，其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和 最小特征值。

②矩阵A的行列式可先对矩阵A进行LU分解后，detA等于U所有对角线上元素的乘积。 二．源程序 #include #include #include #include #include #include #include #define E 1.0e-12 /*定义全局变量相对误差限*/ int max2(int a,int b) /*求两个整型数最大值的子程序*/ { if(a>b) return a; else return b; } int min2(int a,int b) /*求两个整型数最小值的子程序*/ { if(a>b) return b; else return a; } int max3(int a,int b,int c) /*求三整型数最大值的子程序*/ { int t; if(a>b) t=a; else t=b; if(t

清华大学数值分析A第一次作业

7、设y0=28，按递推公式 y n=y n?1? 1 100 783，n=1,2,… 计算y100，若取≈27.982，试问计算y100将有多大误差？ 答：y100=y99?1 100783=y98?2 100 783=?=y0?100 100 783=28?783 若取783≈27.982，则y100≈28?27.982=0.018，只有2位有效数字，y100的最大误差位0.001 10、设f x=ln?(x? x2?1)，它等价于f x=?ln?(x+ x2?1)。分别计算f30，开方和对数取6位有效数字。试问哪一个公式计算结果可靠？为什么？ 答： x2?1≈29.9833 则对于f x=ln x?2?1，f30≈?4.09235 对于f x=?ln x+2?1，f30≈?4.09407 而f30= ln?(30?2?1) ，约为?4.09407，则f x=?ln?(x+ x2?1)计算结果更可靠。这是因为在公式f x=ln?(x? x2?1)中，存在两相近数相减（x? x2?1）的情况，导致算法数值不稳定。 11、求方程x2+62x+1=0的两个根，使它们具有四位有效数字。 答：x12=?62±622?4 2 =?31±312?1 则 x1=?31?312?1≈?31?30.98=?61.98 x2=?31+312?1= 1 31+312?1 ≈? 1 ≈?0.01613

12.（1）、计算101.1?101，要求具有4位有效数字 答：101.1?101= 101.1+101≈0.1 10.05+10.05 ≈0.004975 14、试导出计算积分I n=x n 4x+1dx 1 的一个递推公式，并讨论所得公式是否计算稳定。 答：I n=x n 4x+1dx 1 0= 1 4 4x+1x n?1?1 4 x n?1 4x+1 dx= 1 1 4 x n?1 1 dx?1 4 x n?1 4x+1 dx 1 = 1 4n ? 1 4 I n?1，n=1，2… I0= 1 dx= ln5 1 记εn为I n的误差，则由递推公式可得 εn=?1 εn?1=?=(? 1 )nε0 当n增大时，εn是减小的，故递推公式是计算稳定的。

数值分析作业答案

数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数

是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。

数值分析第一次作业

数值分析第一次作业 班级 学号 姓名 习题2 4、用Newton法求方程f(x)=x^3-2*x^2-4*x-7=0在[3，4]中的根。 代码： function[x_star,k]=Newton1[fname,dfname,x0,ep,Nmax] if nargin<5 Nmax=500; end if nargin<4 ep=1e-5;end x=x0;x0=x+2*ep;k=0; while abs(x0-x)>ep&kep&k

x0=x1; x1=x2; end x_star=x1; if k==Nmax warning('已迭代上限次数');end fun=inline('x^3-2*x^2-4*x-7'); [x_star,k]=Gline(fun,3,4) x2 = 3.5263 x2 = 3.6168 x2 = 3.6327 x2 = 3.6320 x2 = 3.6320 x_star = 3.6320 k = 5 习题3

北航数值分析大作业第一题幂法与反幂法

《数值分析》计算实习题目 第一题： 1. 算法设计方案 （1）1λ，501λ和s λ的值。 1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1，然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2，比较两值大小，数值小的为所求最小特征值λ1，数值大的为是所求最大特征值λ501。 2)使用反幂法求λs ，其中需要解线性方程组。因为A 为带状线性方程组，此处采用LU 分解法解带状方程组。 （2）与140k λλμλ-5011=+k 最接近的特征值λik 。 通过带有原点平移的反幂法求出与数k μ最接近的特征值 λik 。 （3）2cond(A)和det A 。 1）1=n λλ2cond(A)，其中1λ和n λ分别是按模最大和最小特征值。 2）利用步骤（1）中分解矩阵A 得出的LU 矩阵，L 为单位下三角阵,U 为上三角阵，其中U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。 由于A 的元素零元素较多，为节省储存量，将A 的元素存为6×501的数组中，程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A 中的元素。 2.全部源程序 #include #include void init_a();//初始化A double get_an_element(int,int);//取A 中的元素函数 double powermethod(double);//原点平移的幂法 double inversepowermethod(double);//原点平移的反幂法 int presolve(double);//三角LU 分解 int solve(double [],double []);//解方程组 int max(int,int); int min(int,int); double (*u)[502]=new double[502][502];//上三角U 数组 double (*l)[502]=new double[502][502];//单位下三角L 数组 double a[6][502];//矩阵A int main() { int i,k; double lambdat1,lambdat2,lambda1,lambda501,lambdas,mu[40],det;

数值分析第一次作业及参考答案

数值计算方法第一次作业及参考答案 1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1）， （1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton 插值求二次插值多项式。 解：(1)Lagrange 插值基函数为 0(1)(2)1 ()(1)(2)(01)(02)2 x x l x x x +-= =-+-+- 同理 1211 ()(2),()(1)36 l x x x l x x x = -=+ 故 2 20 2151 ()()(1)(2)(2)(1) 23631 i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑ （2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为 011215 5(1) [,]4, [,]20(1) 12 f x x f x x ---= =-= =----- 0124(2) [,,]102 f x x x ---= =- 实际演算中可列一张差商表： （3）用对角线上的数据写出插值多项式 2 2()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+ 2. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使 截断误差不超过6 10-，问使用函数表的步长h 应取多少 解： ()40000(), (),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及

(3) 2000 4 43 4 3 () ()[(()]()[()] 3! (1)(1) (1)(1) 3!3! .(4,4). 6 f R x x x h x x x x h t t t e t h th t h e h e ξ ξ =----+ -+ ≤+??-= ≤∈- 则 4 36 ((1)(1) 100.006. t t t h - -+± << Q在点 得 3.求2 () f x x =在［a,b］上的分段线性插值函数() h I x，并估计误差。 解： 22 22 11 1 111 22 11 11 1 () () k k k k h k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++ + +++ ++ ++ + --- =+= --- ?-? -=+- - [] 2 11 22 11 ()()()[()] 11 ()() 44 h h k k k k k k k k R x f x I x x x x x x x x x x x x x h ++ ++ =-=-+- =--≤-= 4.已知单调连续函数() y f x =的如下数据 用插值法计算x约为多少时() 1. f x=（小数点后至少保留4位） 解：作辅助函数()()1, g x f x =-则问题转化为x为多少时，()0. g x=此时可作新 的关于() i g x的函数表。由() f x单调连续知() g x也单调连续，因此可对() g x的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为 1()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10) 0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17) x g y y y y y y y - ==-+++++ -++-

(完整版)数值分析第一次作业

问题1：20.给定数据如下表： 试求三次样条插值S(x)，并满足条件 (1)S`(0.25)=1.0000，S`(0.53)=0.6868； （2）S ’’(0.25)=S ’’(0.53)=0。 分析：本问题是已知五个点，由这五个点求一三次样条插值函数。边界条件有两种，（1）是 已知一阶倒数，（2）是已知自然边界条件。 对于第一种边界(已知边界的一阶倒数值)，可写出下面的矩阵方程。 ????????????????=???????? ?? ??? ???????????????????4321043210343 22 110d M M M M M 2000200 00 02 002 2d d d d λμμλμλμλ 其中μj = j 1-j 1-j h h h +，λi= j 1-j j h h h +，dj=6f[x j-1,x j ,x j+1]， μn =1，λ0=1 对于第一种边界条件d 0= 0h 6（f[x 0,x 1]-f 0`），d n =1 -n h 6 （f`n-f `[x n-1,x n ]） 解：由matlab 计算得： 由此得矩阵形式的线性方程组为： ? ? ????????????=???????????????????????? ?????? 2.1150-2.4286-3.2667-4.3143-5.5200-M M M M M 25714.0000 120 4286.0000 04000.02 6000.0006429.023571.00 012 43210 解得 M 0=-2.0286;M 1=-1.4627;M 2= -1.0333; M 3= -0.8058; M 4=-0.6546 S(x)= ??? ????∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-]53.0,45.0[x 5.40x 9.1087x 35.03956.8.450-x 1.3637-x .5301.67881- ]45.0,39.0[x 9.30x 11.188x 54.010.418793.0-x 2.2384 -x .450(2.87040-]39.0,30.0[x 03.0x 6.9544x 9.30 6.107503.0-x 1.9136-x .3902.708779 -]30.0,25.0[x 5.20x 10.9662x 0.3010.01695.20-x 4.8758-x .3006.76209-333 33 33 3），（）（）（）（），（）（）（）），（）（）（）（），（）（）（）（ Matlab 程序代码如下：

北航数值分析报告第三次大作业

数值分析第三次大作业 一、算法的设计方案： （一）、总体方案设计： x y当作已知量代入题目给定的非线性方程组，求（1）解非线性方程组。将给定的(,) i i

得与(,)i i x y 相对应的数组t[i][j],u[i][j]。 （2）分片二次代数插值。通过分片二次代数插值运算，得到与数组t[11][21],u[11][21]]对应的数组z[11][21]，得到二元函数z=(,)i i f x y 。 （3）曲面拟合。利用x[i],y[j],z[11][21]建立二维函数表，再根据精度的要求选择适当k 值，并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s]。 （4）观察和(,)i i p x y 的逼近效果。观察逼近效果只需要重复上面（1）和（2）的过程，得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,)i i f x y ，再与对应的(,)i i p x y 比较即可，这里求解 (,)i i p x y 可以直接使用（3）中的C[r][s]和k 。 （二）具体算法设计： （1）解非线性方程组 牛顿法解方程组()0F x =的解* x ，可采用如下算法： 1）在* x 附近选取(0) x D ∈，给定精度水平0ε>和最大迭代次数M 。 2）对于0,1, k M =执行 ① 计算() ()k F x 和()()k F x '。 ② 求解关于() k x ?的线性方程组 () ()()()()k k k F x x F x '?=- ③ 若() () k k x x ε∞∞ ?≤，则取*()k x x ≈，并停止计算；否则转④。 ④ 计算(1) ()()k k k x x x +=+?。 ⑤ 若k M <，则继续，否则，输出M 次迭代不成功的信息，并停止计算。 （2）分片双二次插值 给定已知数表以及需要插值的节点，进行分片二次插值的算法： 设已知数表中的点为： 00(0,1,,) (0,1,,)i j x x ih i n y y j j m τ=+=???=+=?? ，需要插值的节点为(,)x y 。 1) 根据(,)x y 选择插值节点(,)i j x y ： 若12h x x ≤+ 或12 n h x x ->-，插值节点对应取1i =或1i n =-，

数值分析作业答案part

6.4.设??? ? ? ??=5010010a b b a A ，0det ≠A ，用a ，b 表示解线性方程组f Ax =的雅可比迭代与 高斯—塞德尔迭代收敛的充分必要条件。 解 雅可比迭代法的迭代矩阵 ? ??? ??? ? ??----=???? ? ??----????? ??=-050100100100000001010101 a b b a a b b a B J ， ?? ? ?? -=-1003||2ab B I J λλλ，10||3)(ab B J = ρ。 雅可比迭代法收敛的充分必要条件是3 100 ||

数值分析作业一

数值分析作业一 习题 9： 解：求1 0(arccos )n I x dx =?的稳定递推公式 21/20/2/2 100n 1n 2~00001()/221101221y=x=cosy dx=-sinydy x [0,/2] I siny.cos .n.cosy..(/2)-n(n-1)I =(1)!E (n )(1)(n 1)!E (n n n n n n n n n y dy y y y dy n I E I I E n E πππππ---+∈==-+=-=-=--??令arccosx ，则有，其中则的误差可以设为，根据误差的传递可得： 其中为偶数；同理，其中22n 2n )n 11I =I +(/2)(n 1)1 n n n π-----为奇数。所以误差随着的变大而逐渐累加，顾不是稳定递推公式。 可求得稳定递推公式为： 习题10： 求 的稳定递推公式： 解： 1n 1011......(1)44c =-(-)44 1)c>4n 41c c 2c<4n c=n n n n n n n c I n c E E I n ---+==+=求的递推公式为I 则有E ，根据误差的传递可得E 讨论：当时，递推公式(1)属于病态问题，即误差随增加而增加，所以递推公式要变为I ）当时，误差随增加而变小，所以递推公式（1）是稳定的 3）当4时，误差不变，递推公式（1）是稳定的。 n n x I dx x c 1 04=+?

实验题 程序： ess=input('Enter the number of ess:'); ve=zeros(1,21); ve(2)=ess; y=roots(poly(1:20)+ve) plot(y) 1.当ess取值大于0.00000000001时会出现“复数”根。表明有些解对如此扰动敏感性较大。 2.当将方程（1.2）中的扰动项改成18x 或其它形式，实验中不会出现“复数”根，各跟的抗干扰性变强。 思考题一程序如下 ess=input('Enter the number of ess:'); ve=zeros(1,21); ve(3)=ess; y=solve(poly2sym(poly(1:20)+ve),'x') plot(y) 输入不同的ess值发现各根的精确度变高，干扰也变大。 思考题二程序如下： Y=0.1;i=1; n=input('Enter the limit value:'); while i

北航数值分析大作业第二题精解

目标：使用带双步位移的QR 分解法求矩阵10*10[]ij A a =的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知：sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+== (i,j=1,2, (10) 算法： 以上是程序运作的逻辑，其中具体的函数的算法，大部分都是数值分析课本上的逻辑，在这里特别写出矩阵A 的实特征值对应的一个特征向量的求法： ()[]()() []()[]()111111I 00000 i n n n B A I gause i n Q A I u Bu u λλ-?-?-=-?-?? ?-=????→=??????→= ?? ? 选主元的消元 检查知无重特征值 由于=0i A I λ- ，因此在经过选主元的高斯消元以后，i A I λ- 即B 的最后一行必然为零，左上方变 为n-1阶单位矩阵[]()()11I n n -?-，右上方变为n-1阶向量[]()11n Q ?-，然后令n u 1=-，则 ()1,2,,1j j u Q j n ==???-。

这样即求出所有A所有实特征值对应的一个特征向量。 #include #include #include #define N 10 #define E 1.0e-12 #define MAX 10000 //以下是符号函数 double sgn(double a) { double z; if(a>E) z=1; else z=-1; return z; } //以下是矩阵的拟三角分解 void nishangsanjiaodiv(double A[N][N]) { int i,j,k; int m=0; double d,c,h,t; double u[N],p[N],q[N],w[N]; for(i=0;i

数值分析作业

数 值 分 析 作 业 ——非线性方程的求解方法与分析 学院： 学号： 姓名：

本文主要阐述了五种非线性方程的求解方法，分别为二分法、简易牛顿法、牛顿迭代法、牛顿下山法与弦截法。并分别对五种求解方法的计算结果进行了相应地分析。二分法运用函数有根区间中点与端点的函数值，缩小根区间，从而得到较快的收敛速度。牛顿迭代法，是一种常见的求解具有单重零点的非线性方程的数值方法，具有局部二阶收敛性。简易牛顿法便是简化的牛顿迭代法，将迭代点的导数值固定为初始值点的导数值，从而简化计算次数。牛顿下山法，为避免初值选取不当而使得迭代不收敛而在牛顿迭代法改进的方法。弦截法，克服了牛顿迭代法需求零点处函数导数的缺点，使用两次迭代点的差商替代了函数的导数值。本文非线性方程的求解方法均运用MATLAB编程及实现。 关键词：非线性方程；二分法；牛顿迭代法；牛顿下山法；弦截法

第一章非线性方程 (1) 非线性方程简介 (1) 非线性方程求解方法简介 (1) 二分法 (1) 牛顿迭代法 (2) 牛顿下山法 (4) 简易牛顿法 (4) 弦截法 (5) 第二章计算机配置 (7) 处理器 (7) 存储设备 (7) 显卡 (8) 显示屏 (8) 操作系统 (8) 第三章算法的MATLAB实现及结果分析 (9) 二分法 (9) 牛顿迭代法 (12) 简易牛顿法 (15) 牛顿下山法 (18) 弦截法 (21) 结论 (25)

第一章 非线性方程 非线性方程简介 非线性方程，就是因变量与自变量之间的关系不是线性关系。 在永恒变化发展的自然界与人类社会中，在研究其内部规律的各个科学领域中，更深刻、更精确地描述其内部规律的数学工具之一，就是非线性方程。非线性代数是研究大规模离散数据的运算处理与内在性状的数学科学。科学技术离不开数据处理与数据分析，因此非线性代数具有非常广泛的应用，在力学、化学、生命科学、控制理论等众多科学领域中，非线性方程早已屡见不鲜。因此，非线性方程的求解就显得愈加重要。然而求解非线性方程有很多种方法，每种方法都有自己的优缺点。 非线性方程求解方法简介 求函数零解作为数学研究领域的一个热点已经延续了几百余年，所以已经建立了许多种方法，拥有比较完备的求解体系。本文中，主要介绍非线性方程求解方法中最常用也是比较简单的几种方法。 在解决实际问题的中，大都会遇到非线性方程或非线性方程组的数学模型，这类方程的求解用一般的代数方法求解是不可能实现的。所以，在解决这类问题的时候，多是将求零解转化为求近似解。 二分法 若)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，且0)()(

北航数值分析大作业第二题

数值分析第二次大作业 史立峰 SY1505327

一、 方案 （1）利用循环结构将sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)() {i j i j ij i j i j a +≠+==(i,j=1,2,……,10)进行赋值，得到需要变换的 矩阵A ； （2）然后，对矩阵A 利用Householder 矩阵进行相似变换，把A 化为上三角矩阵A (n-1)。 对A 拟上三角化，得到拟上三角矩阵A (n-1)，具体算法如下： 记A(1)=A ，并记A(r)的第r 列至第n 列的元素为()n r r j n i a r ij ,,1,;,,2,1) ( +==。 对于2,,2,1-=n r 执行 1. 若 ()n r r i a r ir ,,3,2) ( ++=全为零，则令A(r+1) =A(r),转5；否则转2。 2. 计算 () ∑+== n r i r ir r a d 1 2 )( ()( )r r r r r r r r r r d c a d a c ==-=++则取,0sgn ) (,1)(,1若 )(,12r r r r r r a c c h +-= 3. 令 () n T r nr r r r r r r r r R a a c a u ∈-=++) ()(,2)(,1,,,,0,,0 。 4. 计算 r r T r r h u A p /)(= r r r r h u A q /)(= r r T r r h u p t /= r r r r u t q -=ω T r r T r r r r p u u A A --=+ω)()1( 5. 继续。 （3）使用带双步位移的QR 方法计算矩阵A (n-1)的全部特征值，也是A 的全部特征值，具体算法如下： 1. 给定精度水平0>ε和迭代最大次数L 。 2. 记n n ij n a A A ?-==][) 1()1()1(，令n m k ==,1。

数值分析作业

第二章 1. 题目：运用MATLAB编程实现牛顿迭代 2. 实验操作 1、打开MATLAB程序软件。 2、在MATLAB中编辑如下的M程序。 function [p1,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,max) %f 是要求根的方程(f(x)=0); %df 是f(x)的导数； %p0是所给初值,位于x*附近； %delta是给定允许误差； %max是迭代的最大次数； %p1是newton法求得的方程的近似解； %err是p0的误差估计； %k是迭代次数； p0 for k=1:max p1=p0-feval('f',p0)/feval('df',p0); err=abs(p1-p0); p0=p1; k p1 err y=feval('f',p1) if (err> newton('f','df',1.2,10^(-6),20) 3.实验结果

p0 = 1.2000 k =1 p1=1.1030 err=0.0970 y=0.0329 k= 2 p1=1.0524 err=0.0507 y=0.0084 k =3 p1=1.0264 err=0.0260 y=0.0021 k =4 p1=1.0133 err=0.0131 y=5.2963e-004 k =5 p1=1.0066 err=0.0066 y=1.3270e-004 k =6 p1=1.0033 err=0.0033 y=3.3211e-005 k =7 p1=1.0017 err=0.0017 y=8.3074e-006 k =8 p1=1.0008 err=8.3157e-004 y = 2.0774e-006 k =9 p1=1.0004 err=4.1596e-004 y =5.1943e-007 k=10 p1=1.0002 err=2.0802e-004 y= 1.2987e-007 k=11 p1=1.0001 err=1.0402e-004 y =3.2468e-008 k=12 p1=1.0001 err=5.2014e-005 y=8.1170e-009 k=13 p1=1.0000 err=2.6008e-005 y= 2.0293e-009 k=14 p1=1.0000 err=1.3004e-005 y=5.0732e-010 k=15 p1 =1.0000 err=6.5020e-006 y=1.2683e-010 k=16 p1 =1.0000 err=3.2510e-006 y=3.1708e-011 k=17 p1 =1.0000 err=1.6255e-006 y =7.9272e-012 k=18 p1 =1.0000 err =8.1279e-007 y= 1.9820e-012 ans = 1.0000 结果说明：经过18次迭代得到精确解为1，误差为8.1279e-007。

北航数值分析报告大作业第八题

北京航空航天大学 数值分析大作业八 学院名称自动化 专业方向控制工程 学号 学生姓名许阳 教师孙玉泉 日期2014 年11月26 日

一．题目 关于x , y , t , u , v , w 的方程组(A.3) ???? ?? ?=-+++=-+++=-+++=-+++79 .0sin 5.074.3cos 5.007.1cos sin 5.067.2cos 5.0y w v u t x w v u t y w v u t x w v u t (A.3) 以及关于z , t , u 的二维数表（见表A-1）确定了一个二元函数z =f (x , y )。 表A-1 二维数表 t z u 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 0 -0.5 -0.34 0.14 0.94 2.06 3.5 0.2 -0.42 -0.5 -0.26 0.3 1.18 2.38 0.4 -0.18 -0.5 -0.5 -0.18 0.46 1.42 0.6 0.22 -0.34 -0.58 -0.5 -0.1 0.62 0.8 0.78 -0.02 -0.5 -0.66 -0.5 -0.02 1.0 1.5 0.46 -0.26 -0.66 -0.74 -0.5 1. 试用数值方法求出f (x , y ) 在区域}5.15.0,8.00|), {≤≤≤≤=y x y x D （上的近似表达式 ∑∑===k i k j s r rs y x c y x p 00 ),( 要求p (x , y )以最小的k 值达到以下的精度 ∑∑==-≤-=10020 7210)],(),([i j i i i i y x p y x f σ 其中j y i x i i 05.05.0,08.0+==。 2. 计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,8 ; j =1,2,…,5) 的值，以观察p (x , y ) 逼 近f (x , y )的效果，其中j y i x j i 2.05.0,1.0**+==。

数值分析作业答案(第5章)

5.1.设A 是对称矩阵且011≠a ，经过一步高斯消去法后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 证明2A 是对称矩阵。 证明 由消元公式及A 的对称性，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 对称。 5.2.设n ij a A )(=是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 其中1)2(2)(-=n ij a A 。证明： (1).A 的对角元素;,,2,1,0n i a ii => (2).2A 是对称正定矩阵。 证明 (1).因为A 对称正定，所以 n i e Ae a i i ii ,,2,1,0),( =>=， 其中T i e )0,,0,1,0,,0( =为第i 个单位向量。 (2).由A 的对称性及消元公式，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 也对称。 又由A L A a a T 121110=????? ?，其中

??? ?????- =? ????? ? ?????????--=-111 1 11111 21101 1011n n I a a a a a a L ， 可见1L 非奇异，因而对任意0≠x ，由A 的正定性，有 ,0),(),(,011111>=≠x AL x L x AL L x x L T T T T 故T AL L 11正定。 由,000110211 111121111 1?? ? ?? ?=????????-??????=-A a I a a A a a AL L n T T T 而011>a ，故知2A 正定

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第2章 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange 插值基底。 （3）用Newton 基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为:2 210)(x a x a a x P ++=， 所以：64 211111 1111122 2 211 200 -=-==x x x x x x A 3 76144 211111114241 13110111)() ()(22 221120 022 2 22 11 120 00-=-= ---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2 3694211111114411 31101111)(1)(1 )(122 221120 02 2 22112 001=--= --==x x x x x x x x f x x f x x f a 6 5654 2 1 1111114 2 1 3 11011111) (1)(1)(122 2 21120 022 11 00 2=--= ---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：26 52337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底 )21)(11() 2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l )21)(11() 2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l ) 12)(12() 1)(1())(())(()(1202102+-+-=----= x x x x x x x x x x x l