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(完整版)不等式常见题型分析

不等式的基本知识

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：

(1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0,

bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘)

(5)

倒

数

法

则

：

a a

b b a 110,

>> (6)乘方法则：

)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且

(7)开方法则：)1*(0>∈>?

>>n N n b a b a n n

且

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式()0002

≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：

设相应的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42

-=?，则

不等式的解的各种情况如下表： 0>?

0=?

二次函数

c bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

c bx ax y ++=2

一元二次方程

()的根

>=++a c bx ax

有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根

b x x 221-

无实根

的解集

)0(02>>++a c bx ax

{}2

x x x x x ><或

?????-≠a b x x 2

的解集

)0(02><++a c bx ax

{}21

x x x

x <<

? ?

分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()

()

0()()0;0()0()

()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??

≠?

3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解

（四）基本不等式2

a b

ab +≤

1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么

).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

变形：有:a+b ≥ab 2；ab ≤2

2??

??+b a ,当且仅当a=b 时取等号.

3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;

如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值4

S .

注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求

它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

4.常用不等式有：（1）22

22211

a b a b ab a b

++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构

选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m

a a m

+（糖水的浓度问题）。

不等式主要题型讲解

（一）不等式与不等关系题型一：不等式的性质

1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①2

,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,2

； ③2

,0b ab a b a >><<则若； ④b

a b a 11,0<<<则若； ⑤b

a b b a ><<则

若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b

c b a c a b a c ->

->>>则若,0； ⑧11

,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______

题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）

2. 设2a >，1

p a a =+

-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小

3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小

4. 若)2

lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b

a R

b a Q b a P b a +=+=?=>>，则R Q P ,,的大小关系

是 .

（二）解不等式题型三：解不等式

5. 解不等式

6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

7. 解不等式25123

x x -<---

8. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______

9. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02

>-+x b

ax 的解集为

10. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<

题型四：恒成立问题

11. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________

12. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.

13. 已知0,0x y >>且

1x y

+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

（三）基本不等式2

a b

ab +≤

题型五：求最值

14. （直接用）求下列函数的值域

（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1

15. （配凑项与系数）

（1）已知5

4x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。

（2）当时，求(82)y x x =-的最大值。

16. （耐克函数型）求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a

f x x x

=+的单调性。

17. （用耐克函数单调性）求函数22

y x =+的值域。

18. （条件不等式）

（1）若实数满足2=+b a ，则b

a 33+的最小值是 .

（2）已知0,0x y >>，且

1x y

+=，求x y +的最小值。

（3）已知x ，y 为正实数，且x 2

＋y 2

＝1，求x 1＋y 2 的最大值.

（4）已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1

ab 的最小值.

题型六：利用基本不等式证明不等式

19. 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a

++>++222

20. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc

21. 已知a 、b 、c R +

∈，且1a b c ++=。求证：1111118a b c ??????---≥

???????????

题型七：均值定理实际应用问题：

22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如

图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

（四）线性规划

题型八：目标函数求最值

23. 满足不等式组??

??>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，求目标函数y x k +=3的最大值

24.

已知实系数一元二次方程2

(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且

102x <<,22x >．则

a -的取值范围是

25. 已知,x y 满足约束条件：03440x x y y ≥??

+≥??≥? ,则

2x y x ++的最小值是

26. 已知变量230,330.10x y x y x y y +-≤??

+-≥??-≤?

满足约束条件若目标函数z ax y =+（其中a>0）仅在点

（3，0）处取得最大值，则a 的取值范围为。

27. 已知实数x y ，满足121y y x x y m ≥??

≤-??+≤?

，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于

（）

题型九：实际问题

28. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。

现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？

一元一次不等式组的解法常考题型讲解

一元一次不等式组的解法一、知识点复习 1.一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表：二、经典题型分类讲解题型1：考察一元一次不等式组的概念 1. （2017春雁塔区校级月考）下列不等式组：①???<->32x x ，②???>+>420 x x ，③???>+<+4 2122x x x ， ④???-<>+703x x ，⑤? ??<->+010 1y x 。其中一元一次不等式组的个数是（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个

题型2：考察一元一次不等式组的解法 2.（2018春天心区校级期末）不等式组?? ???>+≤-6 1213312 x x 的解集在数轴上表示正确的是（） 3.解下列不等式组，并在数轴上表示解集： ! （1）?? ? ??<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x （2）?????≥-+->-154245 3312x x x x （3）?????≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x （4）?? ? ??< -+≤+321)2(352x x x x —

（5）?????-<+-<-2322125.05.7x x x x （6）?????->≥----62410 2.05.05.04 .073x x x x x ！ 4. 解下列不等式21 153 x --< ≤ \

基本不等式常见题型训练

必修5 基本不等式基本题型训练一、选择题 1. [2013·常州质检]已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( ) A. 最大值为0 B. 最小值为0 C. 最大值为－4 D. 最小值为－4 答案：C 解析：∵x <0，∴－x >0， ∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2(－x )·1 －x －2＝－4，当且仅当－x ＝1 －x ，即x ＝－1时，等号成立． 2. [2013·长沙质检]若0－1)的图象最低点的坐标为( ) A. (1,2) B. (1，－2) C. (1,1) D. (0,2) 答案：D 解析：y ＝(x ＋1)2 ＋1x ＋1＝x ＋1＋1 x ＋1≥2，当x ＋1＝1 x ＋1，即x ＝0时，y 最小值为2，故选D 项．

4. 已知m ＝a ＋1a －2 (a >2)，n ＝(12)x 2－2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A. m >n B. m 2，x <0， ∴m ＝(a －2)＋1a －2 ＋2 ≥2(a －2)·1a －2＋2＝4， n ＝22－x 2<22＝4，∴m >n ，故选A. 5. [2013·商丘模拟]若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A. 12 B. 2 3 C. 32 D. 6 答案：D 解析：依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y ＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y 的最小值是6，选D. 6. 已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式(x ＋y )(a x ＋b y )>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A. [4，＋∞) B. (－∞，1] C. (－∞，4] D. (－∞，4) 答案：D 解析：因为(x ＋y )(a x ＋b y )＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bx y 时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可，正确选项为D. 二、填空题 7. [2013·金版原创]规定记号“?”表示一种运算，即a ?b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若 1?k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ?x x 的最小值为________．答案：1 3 解析：1?k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，

均值不等式习题大全

均值不等式题型汇总杨社锋均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。类型一：证明题 1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证：1 125()()4 a b a b ++≥ 2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ≥++ 3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 b c a a b c a b c ++≥++ 4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 a b c ab bc ac ++≥++ 5. 已知实数,,x y z 满足：222 1x y z ++=，求xy yz +得最大值。 6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =9≥ 7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：22221 11()a b c a b c +++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。类型二：求最值：利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。 1. 设11,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求x y +的最小值。 2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求 112x y +的最小值。 3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1ab ab +的最小值。 4. 求函数11(01)1y x x x =+<<-的最小值。

变式：求函数291(0)122 y x x x =+<<-的最小值。 5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。 6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。 7. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。 8. （2010浙江高考）设,x y 为实数，若22 41x y xy ++=，求2x y +的最大值。 9. 求函数y = 的最大值。变式：y = 10. 设0x >求函数21x x y x ++=的最小值。 11. 设设1x >-求函数211 x x y x ++=+的最小值。 12. （2010山东高考）若任意0x >，231 x a x x ≤++恒成立，求a 的取值范围. 13. 求函数22233(1)22 x x y x x x -+=>-+的最大值。类型三、应用题 1.（2009湖北）围建一个面积为2 360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为180/m 元，设利用旧墙的长度为x （单位：m ）。（1）将y 表示为x 的函数（y 表示总费用）。（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。并求出最小总费用。 2.（2008广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x 层（10x ≥），则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，

一元一次不等式及其解法常考题型讲解

一元一次不等式及其解法一、知识点复习 1.一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数是1且系数不为0的不等式，称为一元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3. 注意事项： ①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数，去分母后分子是多项式时，分子要加括号。 ②系数化为1时，注意系数的正负情况。二、经典题型分类讲解题型1：考察一元一次不等式的概念 1. （2017春昭通期末）下列各式：①5≥-x ；②03<-x y ；③05<+πx ；④ 32≠+x x ； ⑤x x 333≤+；⑥02<+x 是一元一次不等式的有（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.（2017春启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（） A 、 67922-+≥-x x x x B 、01=+x C 、0>+y x D 、092≥++x x 3.（2017春寿光市期中）若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（） A 、1± B 、1 C 、1- D 、0 题型2：考察一元一次不等式的解法 4. （2016秋太仓市校级期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来: （1）)21(3)35(2x x x --≤+ （2）2 2531-->+ x x

5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.（2016秋相城区期末）若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时，求x 的取值范围。 7. （2017春开江县期末）请阅读求绝对值不等式3x 的解集的过程：因为3x ，从如图2所示的数轴上看：小于3-的数和大于3的数的绝对值是大于3，所以3>x 的解集是3-x 。解答下列问题：（1）不等式a x <（0>a ）的解集为，不等式a x >（0>a ）的解集为；（2）解不等式42<-x ；（3）解不等式75>-x 。

专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)

专题：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2 ，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习：1．若实数满足，且，则的最小值为． 2.若实数,x y 满足1 33(0)2xy x x +=<< ，则313 x y +-的最小值为． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b += ，则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为．【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式：1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,，142 2 =++xy y x ，则y x +2的最大值为_________ 4.已知正数a ，b 满足 19 5a b +=，则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22 x y x y +-

高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)及常见题型

均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当 b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则1 11 22-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2 (22 2b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋1 2x 2（2）y＝x＋ 1 x 解：(1)y＝3x 2＋1 2x 2≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）

《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解

? x + 1 ?? 2 3 《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 定义类 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（） A. 1 x +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D. 1 2 (x －3)<0 2.若 (m - 2) x 2m +1 - 1 > 5 是关于 x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为 . 用不等式表示 a 与 6 的和小于 5； x 与 2 的差小于－1；数轴题 1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空： a __________ b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a －b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a . 2.已知实数 a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（） A 、ab ＞0 B 、 a > b C 、a －b ＞0 D 、a ＋b ＞0 同等变换 1.与 2x <6 不同解的不等式是（） A.2x +1<7 B.4x <12 C.－4x >－12 借助数轴解不等式(组): (这类试题在中考中很多见) ?1 - ≥ 0 1.（2010 湖北随州）解不等式组 ? 3 ??3 - 4( x - 1) < 1 D.－2x <－6 2.（2010 福建宁德）解不等式 2 x - 1 - 5x + 1 3 2 ?1 - 2( x -1) > 1, ? 3.（2006 年绵阳市） ? x 1 - ≥ x. 含参不等式: 此类试题易错知识辨析 ≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．

常见不等式通用解法

常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞?+∞ 当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围又如243 2 x ax >+ ，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式解法步骤总结：如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ?=-的正负性即可。此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ??-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所以只需要判定2a 和a 的大小即可。此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞?

高中不等式所有知识及典型例题(超全)

一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三．重要不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 (2 22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取等号）； 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x