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初中二次函数知识点详解及典型例题

知识点一、二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果特)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意

a 不为零

那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于a

x 2-

=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2

与坐标轴的交点：

当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

知识点二、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般两根三顶点（1）一般一般式：)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数，

（2）两根当抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴有交点时，即对应二次好方程02

=++c bx ax 有

实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212

x x x x a c bx ax --=++，二次函数

c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

（3）三顶点顶点式：)0,,()(2

≠+-=a k h a k h x a y 是常数，

知识点三、二次函数的最值

如果自变量的取值围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a

x 2-

=时，a

b a

c y 442-=最值

。

如果自变量的取值围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a

是否在自变量取值围21x x x ≤≤，若在此围，则当x=a

2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此围，则需要考虑函数在21x x x ≤≤围的增减性，如

果在此围，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=22

2最大，当1x x =时，

c bx ax y ++=121最小；如果在此围，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2

x x =时，c bx ax y ++=22

2最小。

知识点四、二次函数的性质

2、二次函数)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：

a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上 a <0时，抛物线开口向下

b 与对称轴有关：对称轴为x=a

b 2-

c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：

（0

，c ）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2

-=?，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。当?>0时，图像与x 轴有两个交点；当?=0时，图像与x 轴有一个交点；当?<0时，图像与x 轴没有交点。

知识点五中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2）则AB 间的距离，即线段AB 的长度为

()()221221y y x x -+-

2，二次函数图象的平移

① 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，

； ② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

③平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有

很大帮助，可以大大节省做题的时间）

特别记忆--同左上加异右下减 (必须理解记忆)

说明① 函数中ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在Y 轴右侧异右 ②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减

3、直线斜率：

212tan x x y y k --=

=α b 为直线在y 轴上的截距4、直线方程：

4、①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:

)()(tan 11

21x x x x x y y b x b kx y y ---=

+=+=-α 此公式有多种变形牢记 ②点斜 )(11x x kx y y -=-

③斜截直线的斜截式方程，简称斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0)

④截距由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：

1=+b

a x

牢记口诀 ---两点斜截距--两点点斜斜截截距

5、设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+ 2l ：22y k x b =+ 若12//l l ，则有1212

//l l k k ?=且12b b ≠。若

12121l l k k ⊥??=-

6、点P （x 0，y 0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: 1

)

1(2

002

00++-=

-++-=

k b

y kx k b y kx d

7、抛物线c bx ax y ++=2中， a b c,的作用

（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2

ax y =中的a 完全一样.

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2

的对称轴是直线

a b x 2-

=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a

（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③

（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. 口诀 --- 同左异右（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴交点的位置.

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则

二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小y 轴看，△的符号最简便，x 轴上数交点，a 、b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。

关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2

y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-

关于顶点对称

y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2b y ax bx c a

=--+-；

()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+．

关于点()m n ，对称

()2

y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+-

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

二次函数图像与性质口诀:

二次函数抛物线，图象对称是关键；

开口、顶点和交点,它们确定图象限；

开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

解一元二次不等式：

首先化成一般式，构造函数第二站。

判别式值若非负，曲线横轴有交点。

a正开口它向上，大于零则取两边。

代数式若小于零，解集交点数之间。

方程若无实数根，口上大零解为全。

小于零将没有解，开口向下正相反。

13.1 用公式法解一元二次方程

要用公式解方程，首先化成一般式。

调整系数随其后，使其成为最简比。

确定参数abc，计算方程判别式。

判别式值与零比，有无实根便得知。

有实根可套公式，没有实根要告之。

用常规配方法解一元二次方程：

左未右已先分离，二系化“1”是其次。

一系折半再平方，两边同加没问题。

左边分解右合并，直接开方去解题。

该种解法叫配方，解方程时多练习。

用间接配方法解一元二次方程：

已知未知先分离，因式分解是其次。

调整系数等互反，和差积套恒等式。

完全平方等常数，间接配方显优势

【注】恒等式

解一元二次方程：

方程没有一次项，直接开方最理想。

如果缺少常数项，因式分解没商量。

b、c相等都为零，等根是零不要忘。

b、c同时不为零，因式分解或配方，

也可直接套公式，因题而异择良方。

二次函数：

二次方程零换y，二次函数便出现。

全体实数定义域，图像叫做抛物线。

抛物线有对称轴，两边单调正相反。

A定开口及大小，线轴交点叫顶点。

顶点非高即最低。上低下高很显眼。

如果要画抛物线，平移也可去描点，

提取配方定顶点，两条途径再挑选。

列表描点后连线，平移规律记心间。

左加右减括号，号外上加下要减。

二次方程零换y，就得到二次函数。

图像叫做抛物线，定义域全体实数。

A定开口及大小，开口向上是正数。

绝对值大开口小，开口向下A负数。

抛物线有对称轴，增减特性可看图。

线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。

如果要画抛物线，描点平移两条路。

提取配方定顶点，平移描点皆成图。

列表描点后连线，三点大致定全图。若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。【注】基础抛物线

二次函数知识点总结及典型题目

二次函数知识点总结及典型题目一.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0