三角函数的定义域与值域题库
专题三:三角函数的定义域与值域(习题库) 一、选择题 1、函数f(x)的定义域为[﹣,],则f(sinx)的定义域为() A、[﹣,] B、[,] C、[2kπ+,2kπ+](k∈Z) D、[2kπ﹣,2kπ+]∪[2kπ+,2kπ+](k∈Z) 分析:由题意知,求出x的范围并用区间表示,是所求函数的定义域;解答:∵函数f(x)的定义域为为[﹣,],∴, 解答(k∈Z) ∴所求函数的定义域是[2kπ﹣,2kπ+]∪[2kπ+,2kπ+](k∈Z)故选D. 2、函数的定义域是() A、. B、. C、 D、. 解答:由题意可得sinx﹣≥0?sinx≥又x∈(0,2π)∴函数的定义域是.故选B. 3、函数的定义域为() A、B、 C、 D、 解答:由题意得tanx≥0,又tanx 的定义域为(kπ﹣,kπ+), ∴,故选D. 4、函数f(x)=cosx(cosx+sinx),x∈[0,]的值域是() A、[1,] B、 C、 D、
解答:∵f(x)=cosx(cosx+sinx)=cos2x+sinxcosx= ==又∵∴ ∴则1≤f(x)≤故选A. 5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为() A、[﹣1,1] B、[﹣,1] C、[﹣,﹣1] D、[﹣1,] 解答:函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣(1﹣2sin2x)+sinx﹣ =sin2x+sinx﹣1=﹣ ∵﹣1≤sinx≤1,∴当sinx=﹣时,函数y有最小值为﹣. sinx=1时,函数y 有最大值为1,故函数y 的值域为[﹣,1],故选B. 6、函数值域是() A、B、 C、D、[﹣1,3] 解答:因为,所以sinx∈[],2sinx+1∈故选B 7、函数的最大值是() A、5 B、6 C、7 D、8 解答:∵= =∈[﹣7,7] ∴函数的最大值是7 8、若≤x≤,则的取值范围是() A、[﹣2,2] B、 C、 D、 解答:=2(sinx+cosx)=2sin(), ∵≤x≤,∴﹣≤≤,∴≤﹣sin()≤1, 则函数f(x)的取值范围是:.故选C.
三角函数的图像与性质 教案
三角函数的图象与性质 教学目标 1.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质. .熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习,能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点,特别是三角函数的周期性,是需要重点明确的问题. 难点是,在研究复合函数性质时,有些需要先进行三角变换,把问题转化到四种三角函数上,才能进行研究,这就增加了问题的综合性和难度. 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题,要熟练、准确地掌握.特别是三角函数的周期性,反映了三角函数的特点,在复习“三角函数的性质与图象”时,要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容,认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用.这样才能把性质理解透彻. 一、三角函数性质的分析 .三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ,kπ+π)(k∈Z),这两种表示法都需要掌握.即角x不能取终边在x轴上的角. (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同. 求下列函数的定义域: 例1
π](k∈Z) . 形使函数定义域扩大. 到.注意不要遗漏.
. (3)满足下列条件的x的结果,要熟记(用图形更便于记住它的结果)
是 [ ] 所以选C. 2.三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1. (2)复合三角函数的值域问题较复杂,除了代数求值域的方法都可以适用外,还要注意三角函数本身的特点,特别是经常需要先进行三角变换再求值域.
三角函数最值与值域专题
三角函数最值与值域专题 三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。 类型一:利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。 例1:求函数x x y sin 21sin --= 的值域。 解:由x x y sin 21sin --=变形为(1)sin 21y x y +=+,知1y ≠-,则有21sin 1y x y +=+,21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +?≤?+≤++203 y ?-≤≤,则此函数的值域是2[,0]3 y ∈- 例2,若函数cos y a x b =+的最大值是1,最小值是7-,求a,b 练习:1,求函数1cos 3cos x y x -=+的值域 3][1-∞-∞(,,+) 2,函数x y sin =的定义域为[a ,b],值域为]2 1,1[-,则b-a 的最大值和最小值之和为b A .34π B .π2 C .38π D .π4 类型二:x b x a y cos sin += 型。此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ?=+=+求其最值(或值域)。 例1:求函数3sin 4cos ,(0,)2y x x x π =+∈的最值。 解:343sin 4cos 5sin(),cos ,sin 55 (,),(3,5] 2y x x x x y ???π ???=+=+==+∈+∈ 2,求函数)3sin()6sin(ππ++- =x x y (R x ∈)的最值。 解法:)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(π ππππ+=+-=-+-=x x x x y ,∴函数的最大值为2,最小值为2-。 练习:1,函数y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是: ( c ) A 、215B 、216C 、7 D 、8 2,已知函数x x f 2sin )(=,)62cos()(π+=x x g ,直线x =t (t ∈?? ????2,0π)与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点,则|MN |的最 类型三:)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。此类型可化为)0(2≠++=a c bt at y 在区间]1,1[-上的最值问题。 例1:求函数1sin 3cos 2++=x x y (R x ∈)的最值 解:49)23(sin 1sin 3sin 122+- -=++-=x x x y ∴函数的最大值为4 9,最小值为4325- 例2:求函数1sin 3cos 2++=x a x y (R a ∈,R x ∈)的最大值。 解:1sin 3cos 2 ++=x a x y 转化为2sin sin 2y x x =-+配方得: ①当123>a ,即332>a 时,在sinx=1,13max +=a y
三角函数的值域与最值
4.10三角函数的值域与最值 ● 知识点整理 1 根据正、余弦函数的有界性求简单三角函数的最值和值域; 2 运用转化思想,通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。 ● 双基练习 1.函数y =32sin x cos x 的最大值是_____,最小值是_____;函数y = 2 4(cos )5x -+1615的最大值是_____,最小值是_____; 函数y = 的最大值是 ,最小值是 。 2.若||4x π≤ ,2()cos sin f x x x =+的最小值是 ( ) A B . C .-1 D 3.函数y =x sin —2sin x 值域是 ( ) A .[—3 ,—1] B .[—1,3] C .[0 ,3] D .[—3 ,0] 4.函数y =log 2 (1+sin x ) +log 2 (1—sin x ),当x ∈[—6π,4π ] 时的值域为 ( ) A .[—1 ,0] B . (]1,0- C .[)0,1 D .[0 ,1] 5.求下列函数的值域 (1)3sin 4cos y x x =- (2 ) sin () 22y x x x ππ=+-≤≤ ● 典型例题 例1 求下列函数的最值
(1)y =21cos 2x +23sin x cos x +1 (x ∈R );(2)y =2sin 1 sin 3+-x x 例2 求 y = 1+sin x +cos x +sin x cos x 的最值 例3 扇形AOB 的半径为1,圆心角为3π ,求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积。 课后作业 1.已知方程sin 2x +cos x +a = 0有实数解,则a 的取值范围是______________。 2.y =3sin (x +200 )+5 sin (x +800 )的最大值是 ( )
三角函数的图象与性质知识点汇总
三角函数的图象与性质 、知识网络 基弃变换 三、知识要点 (一)三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性奇函数:y = sinx , y = tanx ; 偶函数:y= cosx. (2) -'’ 一 -‘:型三角函数的奇偶性 (i)g (x)=* (x€ R) g (x )为偶函数 ' 二二—「二: O卫址1(徴 + ? =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应) cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7) 由此得 同理,旨(对二話乞山(伽+洌0€丘)为奇函数O 寻炉=七兀3€2). (ii)u'■■ ' '''「:;::「' ■?■. 八为偶函数' ..为奇函数
O
S (<3X + 炉)+丘 的周期为 竺 kl 7T y = / tan (阪 + + 上丿=/cot (血+饲 + 上 的周期为 (2)认知 -I ' ' : " '型函数的周期 7T -;1 1 - - ■ : - 1 的周期为 门; 71 均同它们不加绝对值时的周期相同,即对 J 的解析式施加绝对值后, y = sin z|+|co3J : 的最小正周期为
5--三角函数的值域与最值
三角函数的值域或最值 一.求三角函数最值或值域的常用方法 (1)直接法:直接利用x sin 和x cos 的值域求解。 (2)化一法:把所给三角函数化为k x A y ++=)sin(φω的形式,由正弦函数单调性写出函数的值域。 (3)换元法:把x sin x cos ,x x cos sin 或x x cos sin ±换成t ,转化为二次函数求解。 二.常见题型 1.已知函数?? ? ? ?- =6sin 3)(πωx x f )0(>ω和1)2cos(2)(++=φx x g 的图象的对称轴完全相同,若?? ? ???∈2,0πx ,则)(x f 的取值范围是________. 解析:易知ω=2.∵??????∈2,0πx ,∴2x -π6∈??????-π6,5π6,由三角函数图象知:)(x f 的最小值为3sin ? ?? ??-π6=-32,最大值为3sin π2=3,∴)(x f 的取值范围是?????? -32,3. 2.已知函数?? ? ? ? - =6sin 3)(πωx x f )0(>ω和1)2cos(2)(++=φx x g 的图象的对称轴完全相同,若?? ? ???∈2,0πx ,则)(x f 的取值范围是______ 解析:易知ω=2.∵x ∈??????0,π2,∴2x -π6∈??????-π6,5π6,由三角函数图象知:)(x f 的最小值为3sin ? ???? -π6=-32,最大值为3sin π2=3,∴)(x f 的取值范围是?????? -32,3. 3.(换元法)若方程0sin cos 2=+-a x x 在?? ? ??20π,上有解,则a 的取值范围是________. [解析] 法一:把方程变形为a =-cos 2 x +sin x ,设f (x )=-cos 2 x +sin x ,x ∈? ???? 0,π2, 当且仅当a 属于)(x f 的值域时有解.因为f (x )=-(1-sin 2 x )+sin x =? ????sin x +122-54,且由x ∈? ?? ??0,π2知sin x ∈(0,1],易求得)(x f 的值域为(-1,1],故a 的取值范围是(-1,1].
三角函数的值域与最值
三角函数的值域与最值 〖考纲要求〗掌握三角函数值域及最值的求法. 〖复习建议〗对基本三角函数的性质有透切的理解,掌握基本三角函数的值域,能灵活选取不同的 方法来求三角函数的最值 〖双基回顾〗1、正、余弦函数的值域为 . 2、函数)sin(?+ω=x A y +B 的最大值为 ;最小值为 . 3、函数x b x a y cos sin +=的最大值为 ;最小值为 . 一、知识点训练: 1、函数]3 2, 6[,sin π π∈=x x y 的值域为………………………………………………………… ( ) (A )[-1,1] (B )]1,2 1[ (C )]23, 21[ (D )]1,2 3 [ 2、函数x x y 2 sin 2cos 87--=的最大值为…………………………………………………( ) (A )5 (B )15 (C )19 (D )20 3、函数y=)2 ,2( cos 2cos π π-∈+ x x x 的最小值为……………………………………………( ) (A )22 (B ) 2 (C )- 3 (D )3 4、y =(si nx -a )2在si nx =a 时有最小值,在si nx =1有最大值,那么a 的取值范围是…………( ) (A )[-1,1] (B )[-1,0] (C )[0,1] (D )),1[+∞- 二、典型例题分析: 1、 ⑴求函数)60sin(5sin 3)(ο ++=x x x f 的最大值. ⑵求函数)80sin(5)120sin(3)(ο ο +++=x x x f 的最小值.
2、求函数)sin 2)(cos 2()(x x x f --=的最值. 3、如果函数t x t x x f 2sin 2sin )(2 +-=的最小值为)(t g ,求)(t g 的表达式及)(t g 的最小值. 4、如图,半径为1的扇形中心角为3 π ,一个矩形的一边在扇形的半径上,求此矩形的最大面积. 三、课堂练习: 如果α=β+αsin 2sin 2sin 32 2 ,求β+α2 2 sin sin 的值域. 四、课堂小结: 三角函数的最值问题是建立在求函数值域基础上的一类问题,所以首先要掌握求函数值域的基本方法:换元法、配方法、数形结合法、判别式法、单调性法、部分分式法……,掌握三角函数值域的特殊方法:有界性法、辅助角法.注意题目的隐含条件的挖掘与使用. B C D O
(完整版)三角函数的图像和性质(复习课教案,含解答)
三角函数的图像与性质 知识梳理: 题组1:基础再现 1.函数sin 2 x y =的最小正周期为 . 2.函数sin()4 y x π =+ 的单调增区间为 . 3.函数tan(2)3 y x π =- 的定义域为 . 4.不求值,判断下列各式的符号: (1)tan138tan143-o o (2)1317tan()tan()45 ππ--- 题组2:三角函数的定义域与值域问题 例1求函数y =lgsin x + cos x -1 2 的定义域. 解:要使函数有意义,只需 sin 0, 1 cos .2x x >???≥??,∴22,22.33k x k k x k πππππππ<<+?? ?-≤≤+?? ∴定义域为(2,2]3 k k π ππ+ (k ∈Z ) . 例2(1)求函数y =cos 2x +sin x ,x ∈[-4π,4 π ]的值域; (2)求函数cos 3 cos 3 x y x -= +的值域; (3)若函数f (x )=a -b cos x 的最大值为52 ,最小值为-1 2 ,求a , b 的值. 解:(1)令sin x =t ,∵x ∈[-4π,4 π ],∴t ∈[-2,2]. ∴y =-t 2+t +1=-(t -12)2+5 4 . ∴当t =12时,y max =5 ;当t =-2时,y min =12. ∴所求值域为,5 4 ]. (2)∵cos 3 cos 3 x y x -=+,∴33cos 1y x y +=-. ∵|cos x |≤1,∴33||1y y +-≤1,∴-2≤y ≤-1 2 . ∴所求值域为[-2,-1 2 ]. 题组3:三角函数的单调性与对称性问题 一般地,函数y =A sin(ωx +?)的对称中心横坐标可由ωx +?=k π解得,对称轴可由ωx +?=k π+π 2 解得; 函数y =A cos(ωx +?)的对称中心、对称轴同理可得. 例3求函数y =sin( 4 π -2x )的单调减区间. 解:∵定义域为R ,又sin(2)4 y x π =--, ∴要求sin(2)4y x π=-的减区间即求sin(2)4y x π =-的增区间. ∴222242k x k πππππ-≤-≤+ ∴388 k x k ππ ππ-≤≤+(k ∈Z ).