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对数的换底公式、对数函数

对数的换底公式

复习

如果 a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0 有：

log ()log log log log log log log ()a a a a

a a n a a MN M N M

M N N

M n M n R =+=-=∈

log log ()m n a a n

M M n R m

∈ 新课

试证明与理解： 1.对数换底公式：

N m m a log log log =

( a ＞0,a ≠1，m ＞0,m ≠ 1,N ＞0)

2．两个常用的推论:

①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② b m

b a n

a m log log =

（ a , b ＞0且均不为1）例1、（1）27log 9，（2）81log 43，（3）625log 34

5，

例2、已知2log 3 =a ， 3log 7 =b,用a ,b 表示42log 56 例3、计算：①0.21log 3

5- ② 4

9432log 2log 3log -?

例4、设),0(,,+∞∈z y x 且z

643==，求证 z

y x 1211=+

练习

①已知18log 9=a ,b

18=5,用a ,b 表示36log 45

②若8log 3=p,3log 5 =q, 求lg5

作业

1. 计算：4

938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++

2．若 2log log 8log 4log 4843=??m ，求m

3．求值：12log 2210

33)2(lg 20log 5lg -++?

4．求值：2

lg 2)

32(3

log

10)347(log 22

-++

对数函数的图像与性质(第一课时)

[互动过程1]

复习：1．对数函数2y log x =的图像与性质,以及与指数函数x

y 2=的图像与性质之间的关系

2．练习:画出下列函数的图像

x x 12

(1)y 2;(2)y log x;

(3)y ();

(4)y lg x 3

====

填表:对数函数a y log x(a 0,a 1)=>≠分别就其底数a 1>和0a 1<<这两种情况的图像和性质: 函数 a y log x = （a>1）

a y log x = （0

图像

定义域值域单调性过定点取值范围

例1．求下列函数的定义域:

2a a (1)y log x ;

(2)y log (4x)==-

练习1:求下列函数的定义域

1(1)y lg(x 5);

(2)y ln

=-=-

例2．比较下列各题中两个数的大小:

22(1)log 5.3,log 4.7; 0.20.2(2)log 7,log 9

3(3)log ,log 3;ππ a a (4)log 3.1,log 5.2(a 0,a 1)>≠

练习2：比较下列各组数中两个值的大小：

（1）4

.32log _____5.82log （2）8.13.0log _____7

.23.0log

（3）1

.5log a

_____9

.5log a （a ＞0，且a ≠1）

课堂补充练习:

1．求下列函数的定义域：（1）)1(log 3x y -= （2）x y 3log = （3）x

y 311

log 7

-= （4）x y 2log 1=

2．比较大小．

log 5log )3(01

.0log 3

log )2(log 3log )1(5321.05.05.0和和和π

灵活使用对数换底公式

灵活使用对数换底公式对数公式（一）证明：换底公式 a b b c c a log log log = （由脱对数→取对数引导学生证明）证明：设x b a =log ，则b a x = 两边取c 为底的对数，得：b a x b a c c c x c log log log log =?= a b x c c log log =∴，即a b b c c a log log log = 注：公式成立的条件：1,0,0,1,0≠>>≠>c c b a a ； 1. 公式的运用：利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法；例题1：求32log 9log 278?的值；分析：利用换底公式统一底数；解法（1）：原式=9 103lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg =?=? 解法（2）：原式= 9103log 3533log 227log 32log 8log 9log 222222=?=? 例题2：计算37254954log 3 1log 81log 2log ??的值分析：先利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再求值；解：原式=37 lg 32lg 25lg 23lg 7lg 23lg 45lg 2lg 21-=?-?? 2. 由换底公式可推出下面两个常用公式：（1）a b b a log 1log = （2）b n m b a m a n log log =

并应注意其在求值或化简中的应用： 3. 求证：z z y x y x log log log =? 分析（1）：注意到等式右边是以x 为底数的对数，故将z y log 化成以x 为底的对数；证明：z y z y z y x x x x y x log log log log log log =?=? 分析（2）：换成常用对数证明：（略）注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还要能逆用换底公式，如： z x z x log lg lg =就是换底公式的逆用； 4. 已知518,9log 18==b a ，求45log 36的值（用a ，b 表示）分析：已知对数和幂的底数都是18，所以先将需求值的对数化为与已知对数同底后再求解；解：b a ==5log ,9log 1818 ，一定要求a -=12log 18 a b a -+=++== 22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 5. 强化练习（1）50lg 2lg 5lg 2?+ （2）9 1log 81log 251log 532?? （3）)8log 4log 2)(log 5log 25log 125(log 125255842++++ （4）已知a =27log 12，试用a 表示16log 6； 6. 归纳小结，强化思想 1．对数运算性质（1）N M MN a a a log log )(log += （2）N M N M a a a log log log -= （3）N n N a n a log )(log ?= 2．换底公式：a b b c c a log log log =

指数函数和对数函数·换底公式·例题

例1-6-38 log34·log48·log m=log416，则m为 [ ] 8 解 B 由已知有 [ ] A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0 C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0 解 A 由已知不等式得故选A． [ ]

故选A． [ ] A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2) 2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数， [ ] A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞q C．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞n 例1-6-43 (1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____； (2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．

例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．例1-6-45已知log1227=a，求log616的值．例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小：

例1-6-47已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足 3log x a+log a x-log x y=3 (1)若x=a t(t≠0)，试以a，t表示y； (2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．解 (1)由换底公式，得即 log a y=(log a x)2-3log a x+3 当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以 y=a r2-3t+3 (2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．值，所以当t=3时，u max=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a值不存在．

对数的换底公式

课题：2.1 对数的换底公式及其推论教学目的： 1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题 2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力；教学重点：换底公式及推论教学难点：换底公式的证明和灵活应用. 授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x a = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1）证：①lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a ②m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例：例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56

对数函数·换底公式·例题

指数函数和对数函数·换底公式·例题例1-6-38log34·log48·log8m=log416，则m 为 [ ] 解 B 由已知有 A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0 C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0 解 A 由已知不等式得故选A． [ ]

故选A． [ ] A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2) 2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，

[ ] A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞q C．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞n 例1-6-43 (1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____； (2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．

由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．例1-6-45已知log1227=a，求log616的值．例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小：

(完整版)换底公式的说课稿

3.4.2 “换底公式”说课稿瀛湖中学李善斌教材分析本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式.另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产中的重要作用. 教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力. 学情分析：对数是一个全新的概念，对数运算是一种类似于但又不同于实数的加减乘除运算及指数运算的全新运算.要探究并证明对数换底公式，学生是有相当难度的，但是通过前两节的学习，学生能够利用对数定义及对数的运算性质进行对数式与指数式的相互转化、对数计算，之前学生还熟知指数的运算性质.有这些已有知识作为基础，教师再设计合理的导学案，是能让学生主动参与课堂的，并能自主完成对数换底公式其性质的探究、发现、证明、应用的全过程的. 教学目标一、知识与技能 1.掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明. 2.能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答. 二、过程与方法 1.结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想. 2.通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力. 3.通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用. 三、情感态度与价值观 1.通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神. 2.在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.

对数的换底公式及其推论(含答案)

对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x a = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N m m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log = （ a, b > 0且均不为1）证：①lg lg lg lg log log =?= ?b a a b a b b a ②b m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例：例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 解：因为2log 3 = a ，则2log 1 3=a , 又∵3log 7 = b, ∴1 3 12log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++?+== b ab ab