解析几何圆锥曲线结论

六.圆锥曲线 1. 椭圆

(!)椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是.cos sin x a y b θθ

=??=? (2)椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>焦半径公式

10PF a ex =+，

20PF a ex =-.()12,F F 分别为左右焦点

(3)椭圆22

2

2

1(0)x

y a b a

b +

=>>的准线方程为2

a x c =±,椭圆22

2

2

1(0)x

y a b b

a +

=>>的准

线方程为2

a y c

=±

(4)椭圆

22

221(0)x y a b a b

+=>>的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为

22b a

(5)P 是椭圆2

2

1(0)x

y a b a b +=>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ ,则

△P F 1 F 2的面积=2

tan

2

b θ , 当点P 与椭圆短轴顶点重合时21PF F ∠最大；P 是

椭圆22

2

2

1(0)x

y a b a

b +

=>>上一点,A,B 是长轴的两端点,当点P 在短轴端点时,APB

∠最大.

(6)若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,P 表示焦准距,则112m

n

ep

+=

2. 双曲线 (1)双曲线

22

22

1(0,0)x y a b a b -=>>的准线方程为

2a x c

=±

双曲线

22221(0,0)x y a b b a -=>>的准线方程为2

a y c

=±

(2) 双曲线2

2

2

2

1(0,0)x

y a b a b -

=>>的渐近线方程为0x y a

b

±=,双曲线2

2

2

2

1(0,0)x

y a b b a -

=>>的的渐近线方程为0x y b

a

±=

(3) P 是双曲线22

1(0,0)x

y a b a

b -

=>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P F 2

=θ则△P F 1 F 2的面积=2

cot

2

b

θ

(4)若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,P 表示焦准距,AB 交在同支时,

112m n ep

+=,AB 交在两支时,112m

n

ep

-= (设m n <)

（5）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长。准线过

垂足。

※ 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项

（2）共轭双曲线：

122

2

2=-

b y a x 与22

221x y a b -=-其离心率分别为1,2,e e 2212

111e e +

=12e e +≥其性质：①渐近线相同；②焦距相同（焦点不同） （3）渐近线相同的双曲线系方程为：2

2

2

2x

y a b

λ-

= ()

0λ≠渐近线方程都是0x y a

b

±=

（7）有心型二次曲线（圆、椭圆、双曲线）上任一弦中点与中心连

线的斜率与弦所在直线的斜率之积为1

1

x ?-?

???-2

2焦点在轴上，e

1

焦点在y 轴上,e （对圆则是－１，

为什么？） 3.抛物线

(1)px y 22=上的动点可设为P )

,2(2

y p

y

或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中

22y px = .

(2)P(0x ,0y )是抛物线px y 22=上的一点,F 是它的焦点,则|PF|=0x +2

p

(3)抛物线

y 2=2px(p>0)的焦点弦

AB 性质：<1>． x 1x 2=

4

2

p ；y 1y 2=

－p 2； <2>．p

BF AF 2

||1||1=

+；

<3>．以AB 为直径的圆与准线相切； <4>．以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切；<5>．α

sin 22

p S AOB

=

?。

6

焦点弦长22sin p l θ

=

,其中θ是焦

点弦与x 轴的夹角; 7

点P 是抛物线px y 22=上的一点,F 是它的焦点,,OF FP

θ=

则1cos P PF

θ

=

-

⑥AB 的中垂线与X 轴交于点R ，则2AB FR =

（6）抛物线y 2=2px(p>0)，对称轴上一定点)0,(a A ，则 ①若a p ≤，顶点到点A 距离最小，最小值为a ； ②若p a >，抛物线上有关于x 轴对称的两点到A 的距离最小，

（7）直线与圆锥曲线相交：弦长公式

AB =4、A ，B 是抛物线y 2=2px(p>0)上两点，则直线AB 过定点

()12,02M a y y ap ?=-（或2

12x x a

=）

（1）先证“?”

设直线AB ：x my a =+，与抛物线方程联立得2122202y mpy ap y y ap --=?=-

从而可得212x x a = （2）再证 “?” 设直线

AB ：x my r =+，与抛物线方程联立得

21222022y mpy rp y y rp ap r a --=?=-=-?=

从而可证得直线AB 过定点(),0M a

5、抛物线y 2=2px(p>0)与直线y kx b =+相交于()()1122,,,A x y B x y 且该直线与

y 轴交于点()30,C y ，

则有1

2

3

11

1y y y +=

6、过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，自A 、B 两点向准线作垂线，垂足分别为11,A B ，则01

1

90A FB

∠=；其逆命

题：若01

1

90A FB

∠=，则A 、F 、B 三点共线。

※若点M 是准线上任一点，则0

90AMB ∠≤

7、过抛物线y 2=2px(p>0)的顶点O 作两条互相垂直的动弦OA ，OB ，则①2212

124,4x x

p y y p ==-

②直线AB 过定点()2,0M p ③OAB S 的最小值为2

4p

4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB

或12

|

AB x x

=-=

（弦端点A),(),

,(

2

2

1

1

y

x

B

y

x，由方程

?

?

?

=

+

=

)y

,x(F

b

kx

y消去y得到0

2=

+

+c

bx

ax，0

?>,k为直线的斜率）.

若（弦端点A),(),

,(

2

2

1

1

y

x

B

y

x由方程

?

?

?

=

+

=

)

y

,

x

(

F

b

kx

y消去x得到20

ay by c

++=

，0

?>, k为直线的斜率）.

则

12

|

AB y y

=-

5.圆锥曲线(,)0

F x y=关于点00

(,)

P x y成中心对称的曲线是00

(2-,2)0

F x x y y

-=.

求圆锥曲线的切线与切线有关的过定点问题

1、已知点()

00

,

P x y是椭圆()

22

10

x y

a b

a b

+=>>

上任意一点，求以点P为切点的切线方程。

解：①若

(

)

0,

y f x

>设(

)2

00

02

200

bx b x

k f x

y a y

a

b

--

'

==

∴切线为;

()

2

22222222

000000

2

b x

y y x x b x x a y y b x a y a b

a y

-

-=-?+=+=

00

22

1

x x y y

a b

?+=

②若(

)

0,

y f x

<=-

设()20

02

b x

k f x

a y

'

==

与①同理得00

22

1

x x y y

a b

+=

③若()

0,,0

y P a

=±

则

，则切线x a

=±亦满足。

故所求的切线方程为00

22

1

x x y y

a b

+=。

2、已知点()

00

,

P x y是双曲线()

22

22

10,0

x y

a b

a b

-=>>

上任意一点，求以点P为切点的切线方程。

解：①若(

)0

0,y

f x >设(

)20020

b x k f x a y '=∴切线为;

()2222222220

00000020

b x y y x x b x x a y y b x a y a b a y -=-?-=-= 00221x x y y

a b

?

-= ②若0

0,y <，

与①同理得00221x x y y a

b

-=

③若()0

0,,0y

P a =±则，则切线x

a =±亦满足。

故所求的切线方程为00221x x y y a

b

-=。

3、已知点()00,P x y 是抛物线()220x py p =>上任意一点，求以点P 为切点的切线方程。 解：()()20011

2f x x f x x p p '=

?= ()0000022

x y y y y x x x x p p +∴-=

-?=?切线：

4、已知椭圆()22

2

2

10x

y a b a

b +

=>>，点(),P mt 是定直线:l x m =上一动点，过点

P 作椭圆的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，求证：直线AB 过定点，并求出定点的坐标。

证明：设()()1

1

2

2

,,,A x y B x y ，由第1题的结论，则

11221x x y y

a b +=，2

22

2

1x x y y a

b

+=，则有1

12

2

1x m y t a

b

+=

22221x m y t

a b

+=，,A B ∴两点的坐标满足2

21m t

x y a b

+

= 故直线AB ：2

2

1m t

x y a b +=，由于m t 定变，()2

0a y x m

∴=?=令定值，即直线AB 过定

点2

,0a

m ?? ???

点评：若点(),P m t 定直线:l y t =上的动点呢？则直线AB 过定点2

0,b t ?

? ?

?

?

5、已知双曲线()22

2

2

10,0x

y a b a

b -

=>>，点(),P m t 是定直线:l x m =上一动点，

过点P 可作双曲线的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，求证：直线AB 过定点，并求出定点的坐标。

证明：设()()1

1

2

2

,,,A x y B x y ，由第2题的结论，则

11221x x y y a b -=，2

22

2

1x x y y a

b

-=，则有1

12

2

1x m y t a

b

-=

221x m y t

a b

-=，,A B ∴两点的坐标满足2

2

1m t

x y a b -

= 故直线AB ：2

2

1

m t x y a b -=，由于m t 定变，()2

0a y x m

∴=?=令定值，即直线AB 过定点2

,0a

m ?? ???

点评：若点(),P m t 定直线:l y t =上的动点呢？只要能过其上的点作两

条切线，则直线AB 过定点2

0,b t ?

? ?

?

?

6、已知抛物线()220x py p =>，点(),P m t 是定直线:l y t =上一动点，过点P 可作抛物线的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，求证：直线AB 过定点，并求出定点的坐标。

证明: 设()()1

1

2

2

,,,A x y B x y ，由第3题的结论，则

()()1122,x m p y t x m p y t =+=+,A B ∴两点的坐标满足()mx p y t =+故直线AB ：()mx p y t =+，

由于m t 变定，()0y t ∴=?=-令x 定值，即直线AB 过定点()0,t -

7、已知椭圆C ：()2

222

10x

y a b a b +=>>的左、右顶点分别是A 、B ，设()

,Q m t 是直线:l x m =上的动点，若直线,QA QB 与椭圆C 分别交于M 、N ，求

证：直线MN 过定点2

,0a m ??

???

证明：()222222t

y x a m a

b x a y a b

?=

+??+?

?+=?

()()22222232422220m a b a t x a t x a t a b m a ??++++-+=??

()()()()22322222222222,ab m a a t ab t m a M m a b a t m a b a t ??+-+ ?

?++++??

同理()

()()()2

32

22222222222,a t ab m a ab t m a N m a b a t m a b a t ?

?----

?

?-+-+??

()222

222

2MN

b mt k b m a a t ∴=--∴直线MN:

()

()()()()2

2232222

2222222222222ab t m a ab m a a t b mt

x b m a a t m a b a t m a b a t ??++-=- ? ?--++++??

y-

令2

0a y x m

=?=，故直线MN 过定点2

,0a m ??

?

??

注意:理解思路，试题一般会告知具体数字。 变式：已知椭圆C ：()2

2

22

10x

y a b a b +=>>的上、下顶点分别是A 、B ，设()

,Q mt 是直线:l y t =上的动点，若直线,QA QB 与椭圆C 分别交于M 、N ，求

证：直线MN 过定点2

0,b t ?

? ?

?

?

8、已知双曲线C ：()2

2

22

10,0x

y a b a b -=>>的左、右顶点分别是A 、B ，设()

,Qmt 是直线:l x m =上的点，直线,QA QB 与双曲线C 分别交于M 、N ，求证：

直线MN 过定点2

,0a m ?

?

???

9、已知抛物线()220y px p =>的顶点为O ，P 为直线()0x a a =-≠上一

动点，过点P 作x 轴的平行线与抛物线交于点M ，直线OP 与抛物线交于点N ，则直线MN 过定点(),0A a

证明：设()2

,,,2m P a m M m p ?

?-

???

则，直线OP ：m y x a

=-代入22y px =得2

2

22,

pa pa N m

m ??-

???

，

∴直线MN:

22

2

2222pa m m m y m x m pa p p m +

??

-=- ??

?-

0y x a =?=

点评：①过定点(),0A a 的直线MN 与抛物线交于点,M N ，经过点M 和抛物线顶点O 的直线交定直线l x a =-：于P ，则PN x 轴；

②过定点(),0A a 的直线MN 与抛物线交于点,M N ，作PN x 轴交定直线

l x a =-：于P

，则,,M O P 三点共线。

10、已知点P 是椭圆C ：()2

2

2210x

y a b a b

+=>>上 不同于左、右顶点A 、B 的任意一点，直线,PA PB 分别交直线:l x m =于点,M N ，则以 MN 为直径的圆经过定点 证明：()()2221212,,1PA PB y y

k k y y m a e m a m a

=

=∴=--+- 以 MN 为直径的圆：()()()()120x m x m y y y y --+--=

令0y x m =?=

m ??

??

?

11、过抛物线()220y px p =>的焦点F 任意作直线l 与抛物线交于点,A B

两点，则在x 轴上存在定点,02

p M ?

?- ?

??

，使MF 始终平分AMB ∠。 证明：设:2p l y k x ?

?=- ??

?

(

)k 不存在时显然成立

设()()1

1

2

2

,,,A x y B x y 则由22

2p

y k x y px ???

=-? ?????

?=?

()22

2

2

2

204

p k k x p k x -++=，则2

4A B p x x =

，

1212121222 0

2222

MA MB

p p k x k x y y k k p p p p x x x x ???

?-- ? ?

????+=+=+==++++

∴MF 始终平分AMB ∠。

点评：过定点,02

p M ??-

???

作直线l 与抛物线()2

20y

px p =>交于点,A B 两点，

点B 与点B '关于x 轴对称，则直线AB '过定点,02

p F ?

? ?

??

12、过椭圆()22

2

2

10x

y a b a

b +

=>>的左焦点F 任意作直线l 与椭圆交于点,A B 两

点，则在x 轴上存在定点2

,0a M c ??-

??

?

，使MF 始终平分AMB ∠。

点评：过定点2

,0a M c ??-

???

作直线l 与椭圆()2

222

10x

y a b a b +=>>交于点,A B 两点，

点B 与点B '关于x 轴对称，则直线AB '过定点（即焦点）(),0F c - 13、过双曲线()2

2

22

10,0x

y a b a b -=>>的右焦点F 任意作直线l 与双曲线交于点

,A B 两点，则在x 轴上存在定点2,0a M c

?? ???

，使MF 始终平分AMB ∠。

点评：过定点

2,0a M c ?? ???

作直线l 与双曲线()22

2

2

10,0x

y a b a

b -

=>>交于点,A B 两点，点

B 与点B '关于x 轴对称，则直线AB '过定点（即焦点）(),0F c

14、已知椭圆22221x y a b

+=上有一点()00,P x y ，过P 作倾斜角互补的两条直

线PM ，PN 分别与椭圆交于异于点P 的两点M ，N ，则直线MN 的

斜率为定值2

20

b x a y ，类似地，已知双曲线22221x y a b

-=上有一点()00,P x y ，过P

作倾斜角互补的两条直线PM ，PN 分别与双曲线交于异于点P 的两点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值20

2

b x a y - 。

七.立体几何 (一)向量法公式 1.直线AB 与平面所成角sin ||||

AB m arc AB m β?=

(m

为平面α的法向量).

2．二面角l αβ

--的平面角cos ||||m n arc m n θ?= 或cos ||||

m n arc m n π?-

（m ，n 为平面α，β的法向量）.

3.异面直线间的距离

||

||

CD n d n ?=

(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n

，

C D 、分别是12,l l 上任一点，d

为12,l l 间的距离).

4.点B 到平面α的距离

||||

AB n d n ?=

（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α

的一条斜线，A α∈）.

圆锥曲线知识点整理

高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当01时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。 （2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。 （3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。 定性：焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。 （4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变） 举焦点在x 轴上的方程如下： 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 1b y a x 2 22 2=+ （a>b>0） 1b y a x 2 22 2=- （a>0，b>0） y 2=2px （p>0） 顶 点 （±a ，0） （0，±b ） （±a ，0） （0，0） 焦 点 （±c ，0） （ 2 p ，0） 准 线 X=±c a 2 x=2 p - 中 心 （0，0） 焦半径 P(x 0，y 0)为圆锥曲线上一点，F 1、F 2分别为左、右焦点 |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=a-ex 0 P 在右支时： |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=-a+ex 0 P 在左支时： |PF 1|=-a-ex 0 |PF 2|=a-ex 0 |PF|=x 0+ 2 p

解析几何与平面几何选讲

1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆x2/4＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( ) A．2B．6 C．8D．12 2．抛物线上的点到直线距离的最小值是（） A．B．C．D． 3．已知以椭圆的右焦点F为圆心，a为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两 点，则该椭圆的离心率的取值范围是（） A．B．C．D． 4．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，过点F2向∠F1PF2的外角平分线作垂线，垂足为 M，则点M的轨迹是（） A．圆B．椭圆C．直线D．双曲线的一支 5．如图，已知点B是椭圆的短轴位于x轴下方的端点，过B 作斜率为1的直线交 椭圆于点M，点P在y轴上，且PM//x轴，，若点P的坐标为（0，t），则t的取值范围 是（） A．0

①AD+AE=AB+BC+CA； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A．①②B．②③C．①③D．①②③ 7. 如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC,垂足为D,BE与AD 相交与点F，则AF的长 为____________。 8．如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且 若与圆相切，则线段的长为__________. 9．已知点，动点满足条件.记动点的轨迹 为.则的方 程是____________. 10. 矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为

，点在边所在直线上． （I）求边所在直线的方程； （II）求矩形外接圆的方程； （III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程． 11. 已知平面上两定点M（0，－2）、N（0，2），P为一动点，满足. （I）求动点P的轨迹C的方程； （II）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且. 分别以A、B为切点作轨迹C 的切线，设其交点 Q，证明为定值. 【参考答案】 1．C 解析：由椭圆定义知，△ABC的周长=4a。 2．A 解析：由几何知识知道，平移直线与抛物线相切， 切点到直线的距离最小。 3．C 解析：

【高考精品复习】第九篇 解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系

第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系 【高考会这样考】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 基础梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程． 即??? Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0， 消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0?直线与圆锥曲线C 无公共点． (2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．

圆锥曲线常用结论

圆锥曲线常用结论 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

圆锥曲线常用结论（自己选择） 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是 以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、 P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一 点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。

立体与平面解析解析几何(研究生整理)

立体与平面解析解析几何 1. 常见多面体：棱柱，棱锥，棱台 常见的旋转体：圆柱，圆锥，圆台，球 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α 直线一般用小写英语字母a, b, l或者大写字母直线上的两个点AB表示。 点与平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内， 记作 点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A l； 直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。 4. 四个公理 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 符号语言 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 5. 直线和平面之间的位置关系 ★线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此 平面平行 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平

面的交线与该直线平行 ★面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ★线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 ★面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直 ⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 6. 思考途径 证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为二直线同与第三条直线平行； （2）转化为线面平行； 证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为线线平行； （2）转化为面面平行. 证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为线面平行； （2）转化为线面垂直. 证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为线面垂直； （2）转化为线与另一线的射影垂直； 证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （2）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （3）转化为该直线垂直于另一个平行平面； 证明平面与平面的垂直的思考途径

2017高考试题分类汇编之解析几何和圆锥曲线文科(word解析版)

2017年高考试题分类汇编之解析几何（文） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（2017课表I 文）已知F 是双曲线:C 13 2 2 =-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点 A 的坐标是)3,1(，则APF ?的面积为（ ） .A 13 .B 1 2 .C 2 3 .D 3 2 【解答】解：由双曲线C ：x 2﹣=1的右焦点F （2，0）， PF 与x 轴垂直，设（2，y ），y ＞0，则y=3， 则P （2，3）， ∴AP ⊥PF ，则丨AP 丨=1，丨PF 丨=3， ∴△APF 的面积S=×丨AP 丨×丨PF 丨=， 同理当y ＜0时，则△APF 的面积S=， 故选D ． 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题． 2.（2017课标II 文）若1a >，则双曲线2 221x y a -=的离心率的取值范围是（ ） .A 2,)+∞ .B 2,2) .C 2) .D (1,2) 【分析】利用双曲线方程，求出a ，c 然后求解双曲线的离心率的范围即可．

【解答】解：a ＞1，则双曲线﹣y 2=1的离心率为：==∈（1，）． 故选：C ． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 3.（2017浙江）椭圆22 194 x y +=的离心率是（ ） . A 13 3 . B 53 . C 23 . D 59 【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可． 【解答】解：椭圆 + =1，可得a=3，b=2，则c= = ， 所以椭圆的离心率为：=． 故选：B ． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 4.（2017课标II 文）过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为（ ） .A 5 .B 22 .C 23 .D 33 【分析】利用已知条件求出M 的坐标，求出N 的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），且斜率为的直线：y= （x ﹣1）， 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且斜率为的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 可知：，解得M （3，2 ）． 可得N （﹣1，2 ），NF 的方程为：y=﹣ （x ﹣1），即， 则M 到直线NF 的距离为：=2 ． 故选：C ．

怎样学好圆锥曲线

怎样学好圆锥曲线（解析几何的高考热点与例题解析）圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到： 1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容. 2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查. 4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量. (2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练. 考点一求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题。 解决这类问题常用定义法和待定系数法。 ●思路方法：一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，

(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：

注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：

（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。

4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；

二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。

平面解析几何知识点总结.doc

基本要求① .掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系; ②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。 ③ . 掌握圆的标准方程和一般方程 . ④ . 掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用; ⑤. 灵活运用圆的几何性质解决问题 . 1 直线方程的五种形式 点斜式：y y0k ( x x0 ) ，(斜率存在 ) 斜截式：y kx b (斜率存在 ) 两点式： y y1 x x 1， (不垂直坐标轴 ) y2 y1 x2 x1 截距式：x y 1 (不垂直坐标轴 ,不过原点 ) a b 一般式： Ax By C 0 2.直线与直线的位置关系： （ 1）有斜率的两直线 l1：y=k 1x+b1； l2：y=k 2x+b2；有：① l1∥ l2 k1=k2且 b1≠ b2；② l 1⊥ l2 k1·k2 =-1 ； ③ l 1与 l 2相交k 1≠ k2 ④l 1与 l 2重合k1=k2 且 b1=b2。（ 2）一般式的直线l ： A x+B y+C =0， l ： A x+B y+C =0 有：① l ∥ l 2 AB-A B=0；且 BC-B 2 C ≠ 0 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 ② l1⊥ l2A1A2+B1B2=0 ③ l1与 l2相交 A 1B2-A 2B1≠ 0 ④ l1与 l2重合 A 1B2-A 2B1=0 且 B1C2-B 2C1=0。 3.点与直线的位置关系： 点 P（ x ， y ）到直线 Ax+By+C=0的距离： d Ax0 By0 C 。 00 A2 B 2 平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 之间的距离为 d C1 C2 A2 B 2 两点间距离公式：| PP | (x x )2 ( y y )2 1 2 1 2 1 2 .4 直线系方程 ①过直线 l 1：A1x+B1y+C1=0， l 2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0（λ∈R）( 除l2外 ) 。 ②过定点 M ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y y0 k( x x0 ) （其中不包括直线x x0） ③和直线 Ax By C 0 平行的直线方程为Ax By C ' 0 (C C ') ④和直线 Ax By C 0 垂直的直线方程为Bx Ay C ' 0 5.圆的定义 : 平面内与定点距离等于定长的点的集合( 轨迹 ) 叫圆 . 在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件: 如三个点 , 半径和圆心 ( 两个坐标 ) 等 . 2 2 2 6. 圆的方程 (1)标准式： (x-a) +(y-b) =r (r>0)，其中 r 为圆的半径， (a， b)为圆心。 2 2 2 2 D E 1 D 2 E 2 4F (2)一般式： x +y +Dx+Ey+F=0(D+E -4F>0)，其中圆心为( , ) ，半径为 2 2 2 (3) 参数方程 : x r cos ， x a r cos (是参数) . 消去θ可得普通方程y r sin y b r sin （ 4） A(x 1， y1)B(x 2，y2)为直径的圆: (x-x1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0; （5） .过圆与直线（或圆）交点的圆系方程： i)x2+y2+Dx+Ey+F+λ (Ax+By+C)=0，表示过圆与直线交点圆的方程

解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质

4.2 解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2 －2y 2 ＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A. ????22，0 B.????52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 解析：∵原方程可化为x 21－y 2 1 2＝1，a 2＝1， b 2＝12， c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴右焦点为????6 2 ，0. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个 焦点在抛物线y 2 ＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2 108－y 2 36＝1 D.x 2 27－y 2 9 ＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴b a ＝ 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③ 由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2 27＝1. 答案：B

4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－3(x－2)， 当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)． 当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6， ∴P(6,43)， ∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：∵P A⊥l，∴PA∥x轴． 又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°， 又由抛物线定义知P A＝PF， ∴△P AF为等边三角形． 又在Rt△AFF′中，FF′＝4， ∴F A＝8，∴P A＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为() A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，BA P A DC PC ，从而 PC＝2P A.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得(x－5)2＋y2＝2(x＋5)2＋y2 化简得x2＋y2＋50 3 x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．

圆锥曲线经典结论总结(教师版)

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+.

解析几何与平面几何选讲

解析几何与平面几何选讲

1 ?已知△ ABQ的顶点B、C在椭圆x/4+ y = 1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ ABC的周长是（） A. 2 B. 6 C. 8 D. 12 2.抛物线' -：；±的点到直线-- 11距离的最小值是（） A. 3?已知以椭圆的右焦点F为圆心，a为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（） 4.已知椭圆的焦点是F1、F2, P是椭圆上的一个动点，过点F2向/ F1PF2的外角平分线作垂线，垂足为 M，则点M的轨迹是（） D ?双曲线的一支 B.

H 2 5.如图，已知点B是椭圆；；厂…”的短轴位于x 轴下方的端点，过B作斜率为1的直线交 椭圆于点M，点P在y轴上，且PM// x 轴，丽.踰=9，若点P的坐标为（0，t），则t的取值范围是（） 0

① AD+AE=AB+BC+CA ; ② AF ?AG=A D AE ③ 厶AFB ?△ ADG 其中正确结论的序号是 A ?①② B ?②③ D ?①②③ 7.如图2,A,E 是半圆周上的两个三等分点， 直径 BC=4，AD 丄BC,垂足为D,BE 与AD 相交 与点F ，则AF 的长 为 ______________ 。 8如图，已知圆中两条弦丄与上相交于点」， ，是 丄延长线上一点，且 C .①③ n D

m 71 -「若二与圆相切，则 线段翅的长为_____________ . 9 .已知点门，动点/满足条件宀‘记动点」的轨迹为丁.则丁的方 程是_______________ . 10.矩形一匸?的两条对角线相交于点』-1， 旳边所在直线的方程为点丁(-1,1)在曲边 所在直线上. (I)求丄:边所在直线的方程； (II )求矩形」二外接圆的方程； (III )若动圆」过点--■■,且与矩形—二的外 接圆外切，求动圆「的圆心的轨迹方程. 11.已知平面上两定点M(0,—2)、N(0,

高中高考数学所有二级结论

高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2 倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x

高考圆锥曲线解题技巧总结

第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。

圆锥曲线二级结论(1)

一、焦点三角形周长 【知识讲解】 1、椭圆焦点三角形 直线l 过左焦点1F 与椭圆交于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为a 4。 2、双曲线焦点三角形 直线l 过左焦点1F 与双曲线左支交于A 、B 两点，则a AB B F A F 422=-+。 【典型例题】 1.设椭圆19 252 2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上任意一点，则21F PF ?的周长为（）。 2.过双曲线19 162 2=-y x 的左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF ?的周长是（）。【变式训练】 1.已知1F 、2F 是椭圆112 162 2=+y x 的左右焦点，直线l 过点2F 与椭圆交于A 、B 两点，且7||=AB ，则1ABF ?的周长是（ ）。2.若1F 、2F 是双曲线18 2 2=-y x 的两个焦点，点P 在该双曲线上，且21F PF ?是等腰三角形，则21F PF ?的周长为（ ）。 二、通径公式 【知识讲解】

1、椭圆通径：过焦点且与长轴垂直的弦，通径长为a b 2 2。2、双曲线通径：过焦点且与实轴垂直的弦，通径长为a b 22。【典型例题】 1.设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别是21,F F ，P 是椭圆上的点，且满足212F F PF ⊥，?=∠3021F PF ，则椭圆的离心率为（ ）。2.过双曲线18 2 2=-y x 的右焦点作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，则|AB|=（）。【变式训练】 1.已知21,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若2ABF ?为等边三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）。2.过双曲线18 2 2=-y x 的右焦点作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，若|AB|=16，则这样的直线有（）条。 三、焦半径公式 1、椭圆焦半径公式（1） 0201,ex a PF ex a PF -=+=，其中e 为离心率，0x 为P 点横坐标。 2、双曲线焦半径公式（1） |||,|0201ex a PF ex a PF -=+=，其中e 为离心率，0x 为P 点横坐标。 【典型例题】 1.已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别是21,F F ，若椭圆上存在一点P 使得||23||21PF e PF =，则该椭圆离心率的取值范围是（）。 2.已知双曲线112 42 2=-y x 上一点M ，其横坐标为3，则M 到右焦点的距离是（）。 【变式训练】

解析几何与平面几何选讲(精.选)

1．已知△的顶点B、C在椭圆x2/4＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长是 ( ) A．2 B．6 C．8 D．12 2．抛物线上的点到直线距离的最小值是（） A．B． C．D． 3．已知以椭圆的右焦点F为圆心，a为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两 点，则该椭圆的离心率的取值范围是（） A．B．C． D． 4．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，过点F2向∠F12的外角平分线作垂线，垂足为 M，则点M的轨迹是（） A．圆B．椭圆C．直线D．双曲线的一支

5．如图，已知点B是椭圆的短轴位于x轴下方的端点，过B作斜率为1的直线交 椭圆于点M，点P在y轴上，且轴，，若点P 的坐标为（0，t），则t的取值范围 是（） A．0

7. 如图2，是半圆周上的两个三等分点，直径4，⊥,垂足为与相交与点F，则的长 为。 8．如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且 若与圆相切，则线段 的长为. 9．已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.则的方 程是. 10. 矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．

（I）求边所在直线的方程； （）求矩形外接圆的方程； （）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程． 11. 已知平面上两定点M（0，－2）、N（0，2），P为一动点，满足. （I）求动点P的轨迹C的方程； （）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且. 分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点 Q，证明为定值. 【参考答案】 1．C 解析：由椭圆定义知，△的周长=4a。 2．A 解析：由几何知识知道，平移直线与抛物线 相切， 切点到直线的距离最小。

解析几何专题03圆锥曲线的定义方程及几何性质

解析几何专题03圆锥曲线的定义、方程及几何性质 学习目标 （1）理解圆锥曲线的定义，并能正确运用圆锥曲线的定义解决一些简单的问题； （2）掌握圆锥曲线的标准方程，并能熟练运用“待定系数法”求圆锥曲线的方程； （3）能根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的一些几何性质（尤其是焦点、离心率以及双曲线的渐近线等）。 知识回顾及应用 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆 (2)双曲线 (3)抛物线 2．圆锥曲线的方程 (1)椭圆的标准方程 (2)双曲线的标准方程 (3)抛物线的标准方程 3．圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆的几何性质 (2)双曲线的几何性质 (3)抛物线的几何性质 4．应用所学知识解决问题： 【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点53 (,)22 -， 求椭圆的方程。 答案：22 1106 x y + = 【变式1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）离心率14 e b = =,焦点在x 轴上； （2）4,a c ==焦点在y 轴上； （3）10,a b c +== 答案：（1）22116x y +=；（2）22 116y x +=；（3）2213616x y + =或2213616 y x +=。 【变式2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）3a b =,且经过点(3,0)P ； （2）经过两点3(2-。 答案：（1）22 19x y +=或221819y x +=；（2）2214 x y +=。

问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题） 【类型一】圆锥曲线的方程 例1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆 和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．求这三条曲线的方程。 解：设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p = 24y x ∴= 抛物线方程为: 由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1 对于椭圆，1222a MF MF =++(2 2 2222211321 a a b a c ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为： 对于双曲线，1222a MF MF '=-= 2222221321 a a b c a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为： 练习：1.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为 2 。过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。 答案：22 1168 x y + =求圆锥曲线的方程主要采用“待定系数法” 。需要注意的是在求解此类问题时应遵循“先定位，再定量”的原则。注意：当“焦点所在轴不定”时，要有“分类讨论”意识，

圆锥曲线常用结论整理

圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理 椭圆问题小结论： 1.与椭圆22 221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++ 2.与椭圆22 221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=> 或()22 22,0x y b a λλ+=> 3.（中点弦结论）直线l 与椭圆22 221x y a b +=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点 (),P x y 为线段ＡＢ的中点，则有：2 2AB OP b K K a ?=-；若000(,)P x y 在椭圆 22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时，2 2AB OP a K K b ?=-； 4.（切线结论）若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为20 20 b x k a y =-； 5.（切点弦结论）若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 6. 椭圆的方程为22 221x y a b +=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆 上异于,A B 两点的任一点，则有2 2PA PB b K K a =-

高考数学平面向量与解析几何

第１８讲 平面向量与解析几何 在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。 一、知识整合 平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。 二、例题解析 例1、（2000年全国高考题）椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。 解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ） 21PF F ∠ 为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?= -?- （ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5 53,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。 例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22 PA PB +的最大值和最小值。 分析：因为O 为AB 的中点，所以2,PA PB PO += 故可利用向量把问题转化为求向量OP 的最值。 解：设已知圆的圆心为C ，由已知可得：{1,0},{1,0}OA OB =-=