高中数学基本不等式几大题型
题型1 基本不等式反用ab ≤
a ＋b
2
例1：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0 (2)函数f (x )＝x (1－2x )? ? ???0 解析：(1)∵0 ? ????x ＋ 1－x 22＝1 4 ， ∴f (x ) 值域为? ? ???0，14. (2)∵0 2 ，∴1－2x >0. x (1－2x )＝12×2x (1－2x )≤12·?? ????2x ＋ 1－2x 22＝1 8 ， ∴f (x ) 值域为? ? ???0，18. 答案：(1)? ????0，14 (2)? ? ???0，18 例2：(教材习题改编)已知0 解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝3 4， 当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝1 2时等号成立． 答案：1 2 例3：函数y ＝x 1－x 2的最大值为________． 解析：x 1－x 2 ＝x 2 1－x 2 ≤ x 2＋1－x 2 2＝12 . 例4：已知0 ( ) A.13 B.12 C.34 D.23 答案 B 解析 ∵0 ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3? ????x ＋1－x 22＝3 4 . 当x ＝1－x ，即x ＝1 2 时取等号． 例5：已知x ＞0，a 为大于2x 的常数， 求函数y ＝x (a －2x )的最大值； 解：∵x ＞0，a ＞2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝1 2×2x (a －2x ) ≤12×??????2x ＋a －2x 2 2＝a 28 ，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 2 8. 题型2 基本不等式正用a ＋b ≥2ab 例6：（1）函数f (x )＝x ＋1 x (x >0)值域为________； 函数f (x )＝x ＋1 x (x ∈R )值域为________； （2）函数f (x )＝x 2＋ 1 x 2 ＋1 的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2， ∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2 ＋ 1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1 ≥2x 2＋1· 1 x 2 ＋1 －1＝1， 当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞) 例7：(2013·镇江期中)若x >1，则x ＋ 4 x －1 的最小值为________． 解析：x ＋ 4x －1＝x －1＋4x －1 ＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4 x －1 ，即x ＝3时等号成立． 答案：5 例8：(1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4 x ＋x 的最大值为________． (1)∵x ＜0，∴－x ＞0， ∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－?? ?? ?? 4 －x ＋－x . ∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立． ∴f (x )＝2－? ??? ?? 4 －x ＋－x ≤2－4＝－2， ∴f (x )的最大值为－2. 例9：当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋ 1x ≤2 2 ＝1， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时取等号． 例10：函数y ＝x 2＋2 x －1 (x >1)的最小值是________． 解析：∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1 ＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1 ＝ x －1 2 ＋2x －1＋3 x －1 ＝x －1＋3 x －1 ＋2 ≥2 x －1 3 x －1 ＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝3 x －1，即x ＝1＋3时，取等号． 答案：23＋2 例11：已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝ 1 a －2x －x 的最小值． 解：y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a 2≥2 12－a 2＝2－a 2 . 当且仅当x ＝a －22 时取等号． 故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a 2 . 题型3：利用基本不等式求最值 例12：已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 答案 －2 解析：∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1 t －4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号． 例13：当x>0时，则f(x)＝ 2x x2＋1 的最大值为________． 解析：∵x >0，∴f(x )＝ 2x x2＋1 ＝ 2 x＋ 1 x ≤ 2 2 ＝1， 当且仅当x＝1 x ，即x＝1时取等号． 例14：(1)求函数f(x)＝ 1 x－3 ＋x(x＞3)的最小值； (2)求函数f(x)＝x2－3x＋1 x－3 (x＞3)的最小值； 思维突破：(1)“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值． (2)“拆项”，把函数式变为y＝M＋a M 的形式． 解析：(1)∵x＞3，∴x－3＞0. ∴f(x)＝ 1 x－3 ＋(x－3)＋3≥2 1 x－3 ·x－3＋3＝5. 当且仅当 1 x－3 ＝x－3，即x＝4时取等号， ∴f(x)的最小值是5. (2)令x－3＝t，则x＝t＋3，且t＞0. ∴f(x)＝t＋32－3t＋3＋1 t ＝t＋ 1 t ＋3≥2t· 1 t ＋3＝5. 当且仅当t＝1 t ，即t＝1时取等号，此时x＝4， ∴当x＝4时，f(x)有最小值为5. 技巧总结：当式子不具备“定值”条件时，常通过“添项”达到目的； 形如y＝cx2＋dx＋f ax＋b (a≠0，c≠0)的函数，一般可通过配凑或变量替换等价变形 化为y＝t＋p t (p为常数)型函数，要注意t的取值范围； 例15：设x>－1，求函数y＝x＋4 x＋1 ＋6的最小值； 解：∵x >－1，∴x ＋1>0. ∴y ＝x ＋ 4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1 ＋5≥2x ＋1· 4 x ＋1 ＋5＝9， 当且仅当x ＋1＝4 x ＋1，即x ＝1时，取等号． ∴当x ＝1时，函数y 的最小值是9. 例16：若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 答案：81 解析：由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤? ?? ??x ＋y 22 ＝81， 当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81. 例17：已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4 ＝1，则xy 的最大值为_______________． 答案：3 解析：∵x >0，y >0且1＝x 3＋y 4 ≥2 xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4 时取等号． 例18：(2013·大连期中)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12， 则xy 的最大值为________． 解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当?? ? 4x ＝3y ， 4x ＋3y ＝12， 即??? x ＝32， y ＝2 时xy 取得最大值3. 答案：3 例19：已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为________． 解析：∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立． 答案：18 例20：已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5 y 的最小值为________． 解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2 x ＋5 y ≥2 10 xy ＝2，故? ???? 2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝ 10，即x ＝2，y ＝5时等号成立． 答案：2 例21：(2012·天津高考)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________． 解析：由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1， 即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3 a ＋2 b 2 (当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时取等号)． 又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)， ∴3a ＋9b ≥2×32＝18. 即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18. 例22：设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1 y 的最大值为 ( ) A ．2 B.3 2 C ．1 D.12 答案：C 解析：由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1 y ＝ log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3? ?? ??a ＋b 22 ＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立， 则1x ＋1 y 的最大值为1. 例23：(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则? ????x 2＋1y 2·? ?? ?? 1x 2＋4y 2的最小值为 ________． 答案：9 解析：? ????x 2＋1y 2? ?? ?? 1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2 ≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2 ＝9， 当且仅当x 2y 2 ＝1 2 时“＝”成立． 例24：若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求xy 的最小值． 解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y ≥2x ·3y ， ∴xy ≥ 12 25 ，当且仅当x ＝3y 时取等号． ∴xy 的最小值为12 25 . 例25：若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________． 答案：18 解析：由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得 xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)， 即(xy )2－22xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18. 例26：已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C.92 D.11 2 解析：依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6， 即x ＋2y ≥4. 当且仅当?? ? x ＋1＝2y ＋1， x ＋2y ＋2xy ＝8， 即??? x ＝2，y ＝1 时等号成立． ∴x ＋2y 的最小值是4. 例27：若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的取值范围； (2)求x ＋y 的取值范围． 解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x )y ＝30－x ， 则2＋x ≠0，y ＝ 30－x 2＋x ＞0,0＜x ＜30. (1)xy ＝－x 2＋30x x ＋2 ＝－x 2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2 ＝－x －64 x ＋2 ＋32 ＝－? ? ?? ?? x ＋2＋ 64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时取等号， 因此xy 的取值范围是(0,18]． (2)x ＋y ＝x ＋ 30－x 2＋x ＝x ＋32 x ＋2 －1 ＝x ＋2＋32 x ＋2－3≥82－3，当且仅当? ?? ?? x ＝42－2，y ＝42－1时，等号成立，又 x ＋y ＝x ＋2＋ 32 x ＋2 －3＜30，因此x ＋y 的取值范围是[82－3,30)． 例28：已知a >b >0，则a 2＋ 16 b a －b 的最小值是________． 解析：∵a >b >0，∴b (a －b )≤? ????b ＋a －b 22＝a 2 4， 当且仅当a ＝2b 时等号成立． ∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋16a 24＝a 2 ＋64a 2 ≥2 a 2·64 a 2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立． ∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋ 16b a －b 取得最小值16. 例29：设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2 xz 的最小值是________． 解析：由已知条件可得y ＝ x ＋3z 2 ， 所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ＝14? ????x z ＋9z x ＋6 ≥14? ?? ?? 2 x z ×9z x ＋6＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y 2 xz 取得最小值3. 答案：3 例30：已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 解析：由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10. 例31：已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即 x ＋22xy x ＋y ≤2 (当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值是2；又λ≥x ＋22xy x ＋y ，因 此有λ≥2，即λ的最小值是2. 答案：2 例32：已知关于x 的不等式2x ＋2 x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 解析：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2 x －a ＋2a ≥2 2 x －a ·2x －a ＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为3 2. 答案：3 2 例33：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是 ( ) A.? ????－∞，14 B.? ????0，14 C.? ???? －14，0 D.? ? ???－∞，14 答案：A 解析：由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1， 又因ab ≤? ????a ＋b 22＝1 4 (a ＝b 时取等号)． 故ab 的取值范围是? ? ???－∞，14. 典例：(12分)已知a 、b 均为正实数，且a ＋b ＝1，求y ＝? ? ???a ＋1a ? ????b ＋1b 的最小值． 易错分析：在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到． 审题视角：(1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件． (2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围． 规范解答： 解：方法一 y ＝? ? ???a ＋1a ? ????b ＋1b ＝? ? ???ab ＋1ab ＋? ????b a ＋a b ≥? ????ab ＋1ab ＋2 ＝? ????ab ＋1ab 2＝? ?? ??4ab ＋1ab －3ab 2 ≥? ????24ab ·1ab －3×a ＋b 22＝? ????4－322＝25 4.[10分] 当且仅当a ＝b ＝12时，y ＝? ? ???a ＋1a ? ????b ＋1b 取最小值，最小值为254.[12分] 方法二 y ＝? ? ???a ＋1a ? ????b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋a b ＋b a ＝ab ＋1ab ＋a 2＋b 2ab ＝ab ＋1ab ＋a ＋b 2－2ab ab ＝ 2 ab ＋ab －2.[8分] 令t ＝ab ≤? ????a ＋b 22＝14，即t ∈? ? ???0，14. 又f (t )＝2t ＋t 在? ????0，14上是单调递减的，[10分] ∴当t ＝14时，f (t )min ＝334，此时，a ＝b ＝1 2. ∴当a ＝b ＝12时，y 有最小值25 4 .[12分] 温馨提醒 (1)这类题目考生总感到比较容易下手．但是解这类题目却又常常出 错． (2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错． (3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件. 方法与技巧 1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点． 2．恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．比如： (1)当x >2时，x ＋1x －2＝(x －2)＋1 x －2 ＋2≥2＋2＝4. (2)0 3(3x )(8－3x ) ≤13? ?? ??3x ＋8－3x 22＝16 3. 失误与防范 1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． 2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件． 3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 题型4：利用基本不等式整体换元 例34：若正数 a ，b 满足 ab ＝a ＋b ＋3，求 ab 及 a ＋b 的取值范围． 思维突破：本题主要考查均值不等式在求最值时的运用，并体现了换元法、构造法等重要思想． 自主解答：方法一：由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 即ab －2ab －3≥0. 即(ab －3)(ab ＋1)≥0. ∵ab ≥0，∴ab ＋1≥1. 故ab －3≥0，∴ab ≥9. 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 又∵ab ≤a ＋b 2，∴ab ＝a ＋b ＋3≤? ?? ??a ＋b 22 . 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 即(a ＋b )2－4()a ＋b －12≥0， (a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0. ∵a ＋b ＋2＞0，有a ＋b －6≥0，即a ＋b ≥6. ∴a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)． 方法二：由ab ＝a ＋b ＋3，则b ＝ a ＋3 a －1 . ab ＝a ＋4a a －1＝a ＋4＋4a －1＝a －1＋4a －1 ＋5 ≥2 a －1· 4 a －1 ＋5＝9， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 由ab ＝a ＋b ＋3，得b ＝ a ＋3 a －1 ， a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4 a －1 ＋2 ≥2 ()a －1· 4 a －1 ＋2＝6， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)． 技巧总结：整体思想是分析这类题目的突破口，即a ＋b 与ab 分别是统一的整体，把a ＋b 转换成ab 或把ab 转换成a ＋b . 例35：已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则1a ＋1 b 的最小值是____． 试解：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝3＋ 2b a ＋a b ≥3＋2 2b a ·a b ＝3＋2 2. 易错点评：多次利用基本不等式解题，没有考虑等号能否同时成立。 在解题过程中先后两次用到了重要不等式，第一次等号成立的条件是“当且仅当 a ＝2 b 时”；而第二次等号成立的条件是“当且仅当1a ＝1 b 时”；这显然不可能同 时成立，因此等号取不到． 例36：已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2 y 的最小值是_________． 答案 8 解析 因为1x ＋2y ＝(2x ＋y )? ???? 1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2y x ·4x y ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝14时成立． 例37：已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； 解析 ∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2. 当且仅当y x ＝ 2x y 时，取等号． 例38：已知x ＞0，y ＞0，且9x ＋1 y ＝1，求x ＋y 的最小值． 思维突破：“整体代换”，将1用9x ＋1y 代替，则x ＋y ＝(x ＋y )? ???? 9x ＋1y ，再化 简，用基本不等式求解． 解析：∵9x ＋1 y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )? ???? 9x ＋1y ＝10＋9y x ＋x y ≥10＋2 9y x ·x y ＝16. 当且仅当 9y x ＝x y 且9x ＋1 y ＝1，即x ＝12，y ＝4时取等号． ∴当x ＝12，y ＝4时，x ＋y 有最小值为16. 总结：已知条件与“1”有关，常利用“1”进行整体代换，转化为能使积为定值的形式． 例39：已知x ，y 为正实数，且1x ＋16 y ＝1，求x ＋y 的最小值． 解析：∵1x ＋16 y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·? ???? 1x ＋16y ＝17＋16x y ＋y x ≥17＋216x y ·y x ＝25. 当且仅当 16x y ＝y x 且1x ＋16 y ＝1时，等号成立． ∴x ＝5，y ＝20时，x ＋y 有最小值25. 例40：(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.28 5 C ．5 D ． 6 答案 C 解析 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15? ?? ?? 1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )? ?? ?? 1y ＋3x ＝15? ????3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15? ????3x y ＋12y x ≥135＋15×2 3x y · 12y x ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5. 例41：(2013·泉州模拟)正数x ，y 满足1x ＋9 y ＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值． 解：(1)由1＝1x ＋9 y ≥2 1 x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9 y ，即y ＝9x ＝18 时取等号，故xy 的最小值为36. (2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )? ???? 1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋2 2y x · 9x y ＝ 19＋62，当且仅当 2y x ＝ 9x y ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2. 例42：函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2 n 的最小值为 ( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 C 解析 点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1. 所以1m ＋2n ＝(2m ＋n )? ?? ?? 1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝12时 等号 成立． [典例] (2011·重庆高考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4 b 的最小值是 ________． [尝试解题] ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2 ＝1. ∴1a ＋4b ＝? ????1a ＋4b ? ???? a ＋ b 2 ＝52＋? ?? ??2a b ＋b 2a ≥5 2 ＋2 2a b · b 2a ＝9 2? ? ? ? ?当且仅当 2a b ＝ b 2a ，即b＝2a时，等号成立. 故y＝1 a ＋ 4 b 的最小值为 9 2 . [答案]9 2 [易错提醒] 解答本题易两次利用基本不等式，如： ∵a>0，b>0，a＋b＝2，∴ab≤ 2 () 4 a b ＋ ＝1. 又y＝\f(1,a)＋\f(4,b)≥24 ab ＝4 1 ab ， 又ab≤1，∴y≥41 1 ＝4. 但它们成立的条件不同，一个是a＝b，另一个是b＝4a.这显然是不能同时成立的，故不正确. 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可. 在运用基本不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. 题型5：利用基本不等式证明简单不等式例43：已知正数a，b满足a＋b＝1，求证： (1)ab≤1 4 ； (2)a2＋b2≥ 1 2 ； (3)1 a ＋ 1 b ≥4；(4) ? ? ? ? ? 1＋ 1 a? ? ? ? ? 1＋ 1 b≥9. (5)1 a ＋ 1 b ＋ 1 ab ≥8； 思维突破：本题在考查均值定理等号何时成立的同时，也考查到形如“f (x )＝x ＋1 x ”函数的单调性． 自主解答：(1)∵ab ≤a ＋b 2＝1 2，∴ab ≤1 4 . (2)∵ a 2＋ b 22 ≥ a ＋ b 2＝1 2，∴a 2＋b 2≥12 . (3)方法一：1a ＋1b ＝(a ＋b )? ???? 1a ＋1b ≥2ab ·21ab ＝4. 方法二：1a ＋1b ＝(a ＋b )? ?? ?? 1a ＋1b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2b a ·a b ＝4. 方法三：1a ＋1b ≥21a ·1b ≥24＝4? ? ???∵ab ≤14. （4）? ? ???1＋1a ? ????1＋1b ＝1ab ＋1a ＋1b ＋1≥9. 方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ， 同理，1＋1 b ＝2＋a b ， ∴? ? ???1＋1a ? ????1＋1b ＝? ????2＋b a ? ????2＋a b ＝5＋2? ?? ?? b a ＋a b ≥5＋4＝9. ∴? ? ???1＋1a ? ????1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 ? ? ???1＋1a ? ????1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(5)知，1a ＋1b ＋1 ab ≥8， 故? ? ???1＋1a ? ????1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9. (5)1a ＋1 b ＋1 ab ＝1a ＋1 b ＋a ＋b ab ＝2? ?? ??1a ＋1b ， ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝1 2 时等号成立)． 例44：已知x >0，y >0，z >0. 求证：? ????y x ＋z x ? ????x y ＋z y ? ?? ?? x z ＋y z ≥8. 思维启迪：由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证． 证明 ∵x >0，y >0，z >0， ∴y x ＋z x ≥2yz x >0，x y ＋z y ≥2xz y >0， x z ＋y z ≥2xy z >0， ∴? ????y x ＋z x ? ????x y ＋z y ? ????x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8. 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立． 探究提高 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题． 变式训练 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 证明 ∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋? ????b a ＋a b ＋? ????c a ＋a c ＋? ????c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1 3 时，取等号． 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式 （二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______． 1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为. 13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ） a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 不等式训练1 A 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522 >-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋11+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 43≤x ≤2} B ．{x|4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值 21和最大值1 B ．最大值1和最小值4 3 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组? ??->-≥32x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。 3．不等式0212<-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈= --=-+?,用不等号 连结起来为____________. 高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例：求函数224y x =+的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x = -.；3．203 x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为 高中数学不等式练习题 一．选择题（共16小题） 1．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（） A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+ C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜ 2．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 3．若x，y满足，则x+2y的最大值为（） A．1 B．3 C．5 D．9 4．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 5．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6 6．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（） A．0 B．1 C．2 D．3 7．设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3] 8．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．0 C．D．3 9．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3 10．若a，b∈R，且ab＞0，则+的最小值是（） A．1 B．C．2 D．2 11．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（） A．c a＞c b B．a c＜b c C．D．log a c＞log b c 12．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（） A．2 B．2 C．4 D．2 13．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（） A．6 B．C．D． 14．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（） A．35 B．105 C．140 D．210 15．设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（） A．2 B．4 C．8 D．16 16．已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=的最小值为（）A．B．C．D． 二．解答题（共10小题） 17．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同． （Ⅰ）求m﹣n； （Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值． 18．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．（1）求A∩B； 一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 精品文档 高中数学不等式练习题 一．选择题（共16小题） 1．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（） +ab）＜log（a+a+b））B＜A．a+．＜＜log（22＜+b））＜a（）＜D．loga+C．a+＜log（a+b22xyz，则（=3=5x、y、z为正数，且2）2．设 A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 满足，则x+2y的最大值为（x，y）3．若 D．9A．1 B．3 C．5 满足约束条件yx，4的最小值是（）．设，则z=2x+y A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 满足约束条件，yx）5．已知，则z=x+2y的最大值是（ A．0 B．2 C．5 D．6 满足约束条件，则z=x+y的最大值为（．设x，y）6 A．0 B．1 C．2 D．3 满足约束条件y．设x），7z=x则﹣y的取值范围是（ A．[﹣3，0]，D ．[03] B．[﹣3，2]]，[C．02 满足约束条件﹣，则z=xyy．已知变量x，的最小值为（）8 ．D．0 B．﹣A3 ．C3 精品文档． 精品文档 满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（9．若变量x，y） ．﹣DC．﹣3A．1 B．﹣1 +的最小值是（，且ab＞0），则10．若a，b∈R 2．．2 BD．CA．1 11．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（） ccab．D．logc＞B．alog＜bcA．c ＞cC ba yx，则lg8，lg2=lg2+12．已知x ＞0，y＞0的最小值是（） 2D．2 C．BA．2 ．4 ，则的最小值是（ +b=3）＞0，b＞2，且a13．设a ．．．CDA．6 B 2222﹣xy的最小值是（xy=315，则x+．已知14x，y∈R，xy+y）+ A．35 B．105 C．140 D．210 +≥m1恒成立，则，不等式m的最．设正实数x，y满足x＞，y＞15）大值为（ 16D．2 B．．4 C．8 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分) 1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1> B ．2ab ab a >> C ．2ab ab a >> D ．2 ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A ．R B ．φ C ．),(+∞a b D ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．{|03}x x ≤< B ．{|22}x x -<< C ．{|13}x x -<< D ．{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．． 的是( ) A ． 11a b < B ．2b ab < C ．2>+b a a b D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( ) A ．y x ＋x y B ．4 5 22++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>x B ．01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( ) A ．}8|{a a C ．}8|{≥a a D ．}8|{≤a a 高中数学必修（5）不等式专题检测 说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷50分，第二卷100分，共150分；答题时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是 （ ） A ．c b c a -≥+ B ．bc ac > C ． 02 >-b a c D ．0)(2 ≥-c b a 2．若0< B ．a b a 1 1>- C ．3 131b a < D ．3 2 3 2b a > 3．若关于x 的不等式m x x ≥-42 对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3-≤m B ．3-≥m C ．03≤≤-m D ．03≥-≤m m 或 4．已知实数x ,y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有 （ ） A ．最小值 21 和最大值1 B ．最小值 4 3 和最大值1 C ．最小值21和最大值4 3 D ．最小值1 5．设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11， a 与b 的大小关系 （ ） A ．a >b B ．a ---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4-a C ．12->a D ．12---x a 则实数a 的取值范围是 （ ） A ．1||a D ．2||1< 高一数学不等式练习题 1、不等式1 1 2x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()0,∞-?(2,)+∞ 2、不等式2 01x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-， 3、已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（ ） （A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3} 4 ) A. D. 5、不等式203x x ->+的解集是（ ） (A)(-3,2) (B)(2,+∞) (C) (-∞,-3)∪(2,+∞) (D) (-∞,-2)∪(3,+∞) 6、若不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ???，成立，则a 的最小值为（ ） Ａ．0 Ｂ．2- Ｃ．5 2- Ｄ．3- 7、设x 、y 为正数，则有(x+y)(1 x ＋4 y )的最小值为（ ） A ．15 B ．12 C ．9 D ．6 8、.若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 9、下面给出的四个点中，位于???>+-<-+01, 01y x y x 表示的平面区域内的点是（ ） （A ）(0,2) (B)(-2,0) (C)(0,-2) (D)(2,0) 10、已知函数()???≥ -<+-=01 1x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（ ） (A) {}121|-≤≤-x x (B) { }1|≤x x (C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x 不等式综合练习题 常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥≥+ ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时取=；) （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 常用的放缩技巧有：(1)21111111 1(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++-- <<= 1、对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ 2、已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 3、设0,10>≠>t a a 且，比较2 1log log 21+t t a a 和的大小 4、设2a >，1 2 p a a =+ -，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 5、比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 6、下列命题中正确的是 A 、1y x x =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2 C 、4 23(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =-->的最小值是2- 7、若21x y +=，则24x y +的最小值是______ 8、正数,x y 满足21x y +=，则 y x 1 1+的最小值为______ 9、如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________ 10、（1）已知c b a >>，求证：2 22222ca bc ab a c c b b a ++>++ ； (2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++； （3）已知,,,a b x y R +∈，且 11,x y a b >>，求证：x y x a y b >++； (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证： lg lg lg lg lg lg 222 a b b c c a a b c +++++>++； （5）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22 ()c a abc a b c +≥++； (6)若* n N ∈(1)n +< n ； (7)已知||||a b ≠，求证：|||||||| |||| a b a b a b a b -+≤-+； （8）求证：222111 1223n ++++<。 11、解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。 12、不等式(0x -的解集是____ 一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为． 4 高中数学必修五不等式测试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。） 1.设a 高中数学-基本不等式测试题 自我小测 1．若a ＞b ＞1，P Q ＝ 12(lg a ＋lg b )，lg 2a b R ?? ???＋＝，则( )． A ．R ＜P ＜Q B ．P ＜Q ＜R C ．Q ＜P ＜R D ．P ＜R ＜Q 2．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是( )． A ．10 B ．． D ．3．已知不等式(x ＋y )(1a x y ＋)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ( )． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．下列命题：①1x x ＋的最小值是22＋的最小值是22的最小值是2；④423x x ＋－的最小值是2，其中正确的命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是__________． 6．(1)若x ＞0，求12()3f x x x ＝ ＋的最小值； (2)若x ＜0，求12()3f x x x ＝＋的最大值． 7．求函数25152 x x y x ＋＋＝＋(x ≥0)的最小值． 8．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，求这个水池的最低造价． 9.求函数2212sin cos y αα＝＋，π02α??∈???? ，时的最小值． 参考答案 1. 答案：B 解析：∵a ＞b ＞1?lg a ＞0，lg b ＞0， ∴Q ＝12 (lg a ＋lg b )P ，12R ＝(lg a ＋lg b )＝Q ，∴R ＞Q ＞P . 2. 答案：D 解析：33x y ≥＋. 3. 答案：B 解析：1()1a ax y x y a x y y x ?? ???＋＋＝＋＋＋211)a ≥＋＋，当且仅当y x 取等号， ∵1 ()9a x y x y ??≥ ??? ＋＋对任意正实数x ，y 恒成立， ∴需21)9≥.∴a ≥4. 4. 答案：A 解析：当x ＜0时，1x x ＋无最小值，∴①错误；当x ＝02＋的最小值是2， 2＋取得最小值2，但此时x 2 ＝－3不成立， 2 ＋取不到最小值2，∴③错误；当x ＞0时，4 23<0x x －－，∴④错误． 5. 答案：[9，＋∞) 解析：t (t ＞0)， 由ab ＝a ＋b ＋3≥3，则有t 2≥2t ＋3， ∴t ≥3或t ≤－1(舍去)3≥. ∴ab ≥9，当a ＝b ＝3时取等号． 6. 解：(1)x ＞0，由基本不等式，得12()312f x x x ≥＝ ＋.高中数学解不等式方法+练习题
高中数学不等式练习题
(完整版)高二数学不等式练习题及答案(经典)
(新)高一数学不等式测试题
高中数学不等式训练习题
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题00294
(完整)高中数学不等式习题及详细答案
(完整)高中数学不等式练习题
(完整)高中数学一元二次不等式练习题
最新高中数学不等式练习题
高中数学不等式单元测试题(含有详细答案--
高中数学必修(5)不等式专题检测
最新高一数学不等式练习题
高中数学不等式综合练习题
高中数学基本不等式练习题
高中数学必修五不等式测试题(含答案)
高中数学-基本不等式测试题
- 高中数学必修.基本不等式
- 高中数学基本不等式专题复习
- 高中数学基本不等式课件
- 高中数学《基本不等式》公开课优秀教学设计
- 高中数学基本不等式知识点归纳及练习题
- 高中数学基本不等式练习题
- 高中数学基本不等式知识点归纳与练习题
- 高中数学基本不等式的解法十例
- 高中数学基本不等式精选讲解及归纳
- 高中数学基本不等式
- 高中数学基本不等式题型总结
- 高中数学基本不等式教案
- 高考数学-基本不等式(知识点归纳)
- 高中数学基本不等式知识点及练习题
- 人教版高中数学,基本不等式(一)
- 高中数学基本不等式练习题
- 高中数学基本不等式几大题型
- 高中数学优质课评比：基本不等式说课课件
- 高中数学基本不等式教案
- 高中数学基本不等式知识点归纳及练习题00294