第六章高等代数练习及答案

一、填空题 1、在3

F 中，计算

()()()11

2,0,11,1,20,1,1____32

;-+---+=1111,,326⎛⎫

--- ⎪⎝⎭

2、若1234,α,α,αα线性无关，则12233441,,α+α,α+αα+αα+α的极大无关组是 ；()12233441dim ,,L α+α,α+αα+αα+α＝ ；

122334,α+α,α+αα+α；3

3、若向量α关于基123,,ααα的坐标为()123,,x x x 则α关于基1232,,ααα-的坐标为 ；

在向量空间()2M F 中，向量a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于基1000⎛⎫ ⎪⎝⎭，0010⎛⎫ ⎪⎝

⎭，0100⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，0001⎛⎫

⎪⎝⎭的坐

标是 ；1231,,2x x x ⎛⎫

-

⎪⎝⎭

；(),,,a c b d 4、向量组()()()()12340,1,13,1,2α=1,1,1,, α=2,1,0, α=, α=的一个极大 无关组是 ；向量组1(1,1,0,0)α=，2(0,1,1,0)α=，3(1,0,1,0)α=，

4(1,0,0,1)α=的极大无关组是 ；123α,α,α；1234,α,α,αα。

5、设0,a V a b R a b ⎧⎫

⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭

则dim V = 2 ；0

6、设(){}1

1

220n

n V x x x

x nx =

+++= ，则dim V = n-1 ；

7．由基123,,2ααα到基1232,,ααα-的过渡矩阵是 ；20001

01002⎛⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

8、设A 为n 阶方阵，且()()r A s s n =≠则齐次线性方程组AX=0的解空间的维数为 n-s ； 9、若1234,,,αααα线性无关，则123,,ααα线性 无关 ；

10、 向量空间没有基；含一个向量的向量空间是 空间；

二、解答题

1、检验下列集合对所规定的运算是否构成所给数域上的线性空间： 1

）设{}

,V a a b Q =+∈，对普通数的加法和乘法；是

2）V 为定义在数域P 上的一切n 阶方阵，对数与矩阵的乘法及以下定义的加法：

,,n n X Y P X Y XY YX ⨯∀∈⊕=-；不是

3）(){},|,V x y x y P =

∈，加法按普通矩阵相加，并定义数乘为：

()()2111,,,0,x y P k P k ky αα∀=∈∈∙=：不是

2、设,F F 是数域，若F F ⊂，问对数的加法与乘法，F 是否构成F 上线性空间？F 是否构成F 上线性空间？不是；是

3、实数域对于数的加法和乘法构成实数域上线性空间，问有理数集是否为实数集的子空间？又R +

是否R 的子空间？若实数域对于数的加法和乘法构成有理数域上线性空间，问有理数集是否为实数集的子空间？不是；是 4、判断正误，并说明为什么？

1）如果12,,,r V ααα∈ ，则12,,,r ααα 是()12,,,r L ααα 的基；不一定 2）若12,,,n ααα 是n 维空间的一组生成元，则12,,,n ααα 一定是V 的基；不 3）若()12,,,r L ααα 中有某一向量关于12,,,r ααα 的表示法唯一，则()12,,,r L ααα 是r 维线性空间；是

4）设()()(){}

1,1,0,1,1,0,0,0,0S =--，则S 是3

P 的子空了间；不

5）任一线性空间都有基。否 6）若

12,,,r ααα 线性相关，则任意不全为零的12,,,r k k k P ∈ ，都有

1122

0r r k k k ααα+++= ；否 7）若12,,,r ααα 线性相关，则存在无穷多组不全为零的12,,,r k k k P ∈ ，使

1122

0r r k k k ααα+++= ；是 8）12,αα线性相关的充要条件是存在k P ∈，使12k αα=；否

9）若12,,,r ααα 与12,,,s βββ 的极大无关组分别是12,,,t i i i ααα 和12,,,k j j j βββ ，则()()

1212,,,,,,k t j j j i i i L L βββααα+ 的基是{}

1212,,,,,,,t k i i i j j j αααβββ ；否 10）如果12,,,r ααα 线性无关，那么每一向量都不能由其余向量线性表示。是

5、若实数域作为实数域上线性空间，问子空间(L 是几维的？若实数域作为有理

数域上线性空间，问子空间(L 是几维的？1；3

6、判断[]F x 中的向量()2231f x x x =++能否由()13,f x x =+()22,f x =

()234f x x x =++线性表示？表示法是否唯一。能；唯一

7、在三维空间中，求一非零向量β，使其关于基123,,ααα的坐标和基3231,,αααα+的坐标相同。()2,0a a P a βα=∈≠且

8、设123,,ααα是V 的基，问k 为何值时，122331,,k αααααα+++也是V 的基，并求 1）由基122331,,k αααααα+++到基123,,ααα的过渡矩阵； 2）求123a b c ξααα=++关于基122331,,k αααααα+++的坐标。

1223311,,k k αααααα≠-+++时也是V 的基；

111)11,1111k k k k -⎛⎫ ⎪- ⎪+ ⎪-⎝⎭ 12)1a kb kc a b kc k a b c +-⎛⎫ ⎪-++ ⎪+ ⎪

-+⎝⎭

9、在[]4F x 中，求向量组{}

23

1,,1,1,2

x x x x x ++++的极大无关组；

{}2

31,,1,2x x

x x +++

10、有没有只含一个向量的线性空间？有没有只含有限个向量的线性空间？为什么？

有；没有 11、设()[

]g x F x ∈，()()()[]{}|w g x f x f x F x =∈，

问按通常多项式加法及数乘运算w 是否构成向量空间？是

12、求()

221,1,L x x x x ---的基与维数。2

1,1,x x -- 2

13、在4

P 中设()()()1231,1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,1,ααα===-()11,2,0,1,β=，

()20,1,1,0β=，求()123L α,α,α＋(),L ββ12和()()123,L L ββ12α,α,α 的基与维数。

123,,ααα；3；,ββ12；2

14、在4

P 中，设()()()1231,1,1,2,2,1,3,0,0,3,5,4ααα=-=-=--，()11,2,2,1,β= ()24,3,3,1β=-，求()123L α,α,α＋(),L ββ12和()()123,L L ββ12α,α,α 的基与维数。

121,,ααβ；3；122αα+；1

15、在4

P 中，设()()121,1,0,0,1,0,1,1αα==，()()120,0,1,1,0,1,1,0ββ==

求()()12,L L ββ12α,α 与()()12,L L ββ12α,α+的基与维数。

()(){}12,0L L ββ12α,α= ；0；12,,,ααββ12；4；

16、设()()()()12341,1,1,3,1,3,5,1,3,2,1,2,1,6,10,p p αααα==-=-+=--，问P 为

何值时，1234,,,αααα为4

R 的一个基。133

P ≠

17、求齐次线性方程组12341234

12341234380503970230

x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=⎪⎪+-+=⎩的基础解系

同解方程组为：134

234

232274x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩，基础解系：123172,2001ηη-⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

习题答案(第六章)

1、R n 中分量满足下列条件的全体向量1(,,)n x x 的集合，是否构成R n 的子空间？ ①10n x x ++= ；②120n x x x ???= ；③2211n x x ++= 。 解：①是，设(){}11 1 ,,|0n n V x x x x = ++= ，显然V 1≠?，1,,,a b F V ξη?∈?∈，设 1212(,,),(,,)x x y y ξη== ，则 ()()()1111,,,,,,n n n n a b a x x b y y ax by ax by ξη+=+=++ ，而 1111()()()()000n n n n ax by ax by a x x b y y a b ++++=+++++=+= 所以1a b V ξη+∈，所以V 1是R n 的子空间； ②不是，取(1,0,,0),(0,1,,1)αβ== ，则(){}1 1 ,,,|0n n V x x x x αβ∈= ??= ，但 (1,1,,1)V αβ+=? ，所以V 不是R n 的子空间； ③不是，取(1,0,,0),(0,1,0,,0)αβ== ，则(){}2 2 1 1 ,,,|1n n V x x x x αβ∈=++= ， 但(1,1,0,,0)V αβ+=? ，所以V 不是R n 的子空间。 2、子集{}1|,,V X AX XB A B n ==为已知的阶矩阵是否是()n M F 的子集？ 解：是()n M F 的子集；证：显然1V ≠?，1,,,X Y V a b F ?∈∈，有 ()()A aX bY aAX bAY aXB bYB aX bY B +=+=+=+，所以1aX bY V +∈，所以1V 是 ()n M F 的子集。 3、设12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==-，求含12,αα的R 4的一组基。 解：因为1010101010 10112001100010?????? →→ ? ? ?---?????? ， 取34(0,0,1,0),(0,0,0,1)αα==，所以{}1234,,,αααα为R 4的一组基。 4、求R n 的下列子空间的维数和一组基： 111{(,,)|0,,,}n n n W x x x x x x R =++=∈ 解：W 生成元分量满足方程10n x x ++= 的其基解系，其基础解系为

高等代数习题及答案

高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、(){}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若{ }n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n i i i x 1 αβ，那么∑==n i i x 1 2 β。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()()()()()n n n x g x f x g x f ,,=； ②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=； ④若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零； ③A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； ④A 中肯定有不为零的r 阶子式。

第六章习题与复习题(二次型)----高等代数

习题6.1 1．写出下列二次型的矩阵. （1）222 123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++ （2）12341223(,,,)f x x x x x x x x =- （3）1234135(,,,)246785T f x x x x X X ?? ?= ? ??? 2．将二次型 222 1231231223(,,)32810f x x x x x x x x x x =+-+- 表成矩阵形式，并求该二次型的秩. 3．设 A = ??? ? ? ? ?3210 000 00a a a ，B = ???? ? ? ?132 00000a a a 证明A 与B 合同，并求可逆矩阵C ，使得B =T C A C ． 4．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ???? ? ????? 与合同. 习题6.2 1．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换. （1）222 12312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++ 2．已知二次型2221231231223(,,)222f x x x x x x cx x x x =++++的秩为2. (1) 求c; (2) 求一正交变换化二次型为标准形. 3．已知二次型22 12323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形

222 1236,,f y y by a b =++求的值与所用正交变换. 22224. 222444,,. x x ay z bxy xy yz y Q z a b Q ξηζηζ???? ? ? +++++== ? ? ? ????? +=2已知二次曲面方程可经正交变换化为椭圆柱面 方程求的值与正交矩阵 5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换. （1）222 123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++ 6．在二次型f （x 1，x 2，x 3 ）=213232221)()()(x x x x x x -+-+-中，令 ??? ??-=-=-=133 3222 11x x y x x y x x y 得f =2 3 2221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定f 的秩. 7．判断矩阵01111213A B ???? == ? ????? 与是否合同. 习题6.3 1．判定下列实二次型的正定性. （1）222 1231231223(,,)23442f x x x x x x x x x x =++-- （2）222123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x =---+-+ （3）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =+- （4）∑∑≤<≤=+ n j i j i n i i x x x 11 2 2． a 为何值时，实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定 的.

高等代数第6章习题参考答案

第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ） 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +

高等代数第六章自测题

高等代数第六章自测题

第六章 线性空间自测题 一、选择题 1． 设M 是R 上全体n 阶矩阵的集合，定义 σ (A )=|A |,A ∈M ，则σ是M 到R 的一个（ ）. A ．单射 B ．满射 C ．双射 D ．既非单射也非满射 2．把复数域C 看成R 上的线性空间，这个空间的维数是（ ）. A ．一维 B ．二维 C ． 三维 D ．无限维 3．R 是复数域，P 是任一数域，则集合R ∩P 对于通常的数的加法与乘法是（ ）. A ．C 上的线性空间 B ．R 上的线性空间 C ．Q 上的线性空间 D ．不构成线性空间 4．已知P 2的两组基： 1 1 2 (,)a a ε=r ()212,b b ε=r 与()112,c c η=r ， ()2 12 ,,d d η=r 则由基1 εr 、2 εr 1 ηr 到基、2 ηr 的过渡矩阵为（ ）. A ． ??? ? ????? ? ??-22 11 1 2211 d c d c b a b a B ．???? ?????? ??-2211 1 2211 b a b a d c d c C ． ??? ? ?????? ??-2121 1 21 21d d c c b b a a D ． ??? ? ????? ? ??-21 211 21 21b b a a d d c c 5．全体正实数集集合R +中，加法与数乘定义

为：a ⊕b=ab , k 。a =a k ，其中a 、b ∈ R +， k ∈R ，则R +构成R 上的线性空间，它的维数与基为（ ）. A ．维数=0，没有基 B ．维数=1，1是基 C ．维数=1，2是基 D ．维数=2，3、5是基 6. 按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P 上线性空间的是（ ）. A ． {} 1n n W A P A A ?'=∈= B ．{}2 n n W A P A ?=∈为上三角形矩阵 C ．{}3 0n n W A P A ?=∈= D ．{} 4 n n W A P A A ?'=∈=- 7. 数域P 上线性空间V 的维数为1 2 ,,,n r V α αα∈r r r L ，， 且V 中任意向量可由 12,,,n αααr r r L 线性表出，则下列结论成立的是 （ ）. A ．n r = B ．n r ≤ C ． n r < D ．n r > 8. 设1 3 2 4 [],[]W P x W P x ==，则= +)dim (21 W W （ ）. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9. 已知{}R a a a a W ∈=)3,2,(在R 上构成线性空间，则W 的基为（ ）. A ． ) 3,2,1( B ． ) ,,(a a a C ． ) 3,2,(a a a D ．)3,0,0()0,2,0()0,0,1(

高等代数第6章习题解

第六章习题解答 习题6.1 1、设2 V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-???? =∈= ? ?????； （3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+?? ?? ； （4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ??? ，0V α∈是一个固定的非零向量。 （5）0,()x V f y ααα?? =∈= ??? ，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 1212121122121212()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++++++???????? +===+=+ ? ? ? ?++???????? 11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα++?????? ==== ? ? ??????? （2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 1212121122121212()()()() x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++-+--???????? +===+=+ ? ? ? ?++????????11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα--?????? ==== ? ? ??????? （3）不是。因为 12121212122()x x y y f f y y x x y y αβ+++????+== ? ?++++???? 而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++?????? +=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+

第六章高等代数练习及答案

一、填空题 1、在3 F 中，计算 ()()()11 2,0,11,1,20,1,1____32 ;-+---+=1111,,326⎛⎫ --- ⎪⎝⎭ 2、若1234,α,α,αα线性无关，则12233441,,α+α,α+αα+αα+α的极大无关组是 ；()12233441dim ,,L α+α,α+αα+αα+α＝ ； 122334,α+α,α+αα+α；3 3、若向量α关于基123,,ααα的坐标为()123,,x x x 则α关于基1232,,ααα-的坐标为 ； 在向量空间()2M F 中，向量a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于基1000⎛⎫ ⎪⎝⎭，0010⎛⎫ ⎪⎝ ⎭，0100⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，0001⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐 标是 ；1231,,2x x x ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ ；(),,,a c b d 4、向量组()()()()12340,1,13,1,2α=1,1,1,, α=2,1,0, α=, α=的一个极大 无关组是 ；向量组1(1,1,0,0)α=，2(0,1,1,0)α=，3(1,0,1,0)α=， 4(1,0,0,1)α=的极大无关组是 ；123α,α,α；1234,α,α,αα。 5、设0,a V a b R a b ⎧⎫ ⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭ 则dim V = 2 ；0 6、设(){}1 1 220n n V x x x x nx = +++= ，则dim V = n-1 ； 7．由基123,,2ααα到基1232,,ααα-的过渡矩阵是 ；20001 01002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 8、设A 为n 阶方阵，且()()r A s s n =≠则齐次线性方程组AX=0的解空间的维数为 n-s ； 9、若1234,,,αααα线性无关，则123,,ααα线性 无关 ； 10、 向量空间没有基；含一个向量的向量空间是 空间； 二、解答题 1、检验下列集合对所规定的运算是否构成所给数域上的线性空间： 1 ）设{} ,V a a b Q =+∈，对普通数的加法和乘法；是

高等代数习题及答案

高 等 代 数 试 卷 一、判断题（以下命题你认为正确的在题后括号内打“√” ，错的打“×”；每题 1 分， 共 10分） 1、 p( x) 若是数域 F 上的不可以约多项式，那么 p( x) 在 F 中必然没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法规知，这个线性方程组必然是无解的。（ ） 3、实二次型 f (x 1 , x 2 , , x n ) 正定的充要条件是它的符号差为 n 。 （ ） 4、 W x 1 , x 2 , x 3 x i R, i 1,2,3; x 1 x 2 x 3 是线性空间 R 3 的一个子空间。（ ） 5、数域 F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个 n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转变的充要条件是它们有相同的正惯性指 数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特色根 0 的特色向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间 V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对 称矩阵。 （ ） n n 10、若 1, 2, , n 是欧氏空间 V 的标准正交基，且 x i i ，那么 x i 2 。 i 1 i 1 （ ） 二、单项选择题（从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干 后边的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每题 1 分，共 10 分） 1、关于多项式的最大公因式的以下命题中，错误的选项是（ ） ① f n x , g n x f x , g x n ； ② f 1 , f 2 , , f n 1 f i , f j 1, i j ,i , j 1,2, , n ； ③ f x , g x f x g x , g x ； ④若 f x , g x 1 f x g x , f x g x 1 。 2、设 D 是一个 n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ② D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若 D 0 ，则 D 中必有一行全部是零； ④若 D 0 ，则 D 中必有两行成比率。 3、设矩阵 A 的秩为 > ，那么（ ） r (r 1) ① A 中每个 s(s < r ) 阶子式都为零； ② A 中每个 r 阶子式都不为零； ③ A 中 可能存在不为零的 r 1阶子式； ④ A 中必然有不为零的 r 阶子式。 4、设 f x 1, x 2 , , x n 为 n 元实二次型，则 f x 1 , x 2 , , x n 负定的充要条件为（ ）

高等代数第六章

- 1 - 4．设12,V V 是线性空间V 的两个非平凡的子空间，证明：在V 中存在α，使12,V V ∈∈αα同时成立． 证明 由于12,V V 是V 的非平凡子空间，故必有12,αα，使得11V ∈α，22V ∈α． ①如果12V ∈α，那么1α即为所求；如果21V ∈α，那么2α即为所求． ②如果12V ∈α且21V ∈α，那么令12=+ααα，则必有12,V V ∈∈αα．否则，若1V ∈α，而21V ∈α，于是121V =-∈ααα，这与11V ∈α矛盾；同样，2V ∈α也是不可能的． 『方法技巧』这个题目只是下一个题目中2s =的情形． 5．设12,,,s V V V 是线性空间V 的s 个非平凡的子空间，证明：V 中至少有一向量α不属于 12,,,s V V V 中任何一个． 证明 对子空间的个数s 采用数学归纳法． 当2s =时，上题已经证明了命题成立． 假设对于1s -命题已经成立，即存在V ∈β，使得i V ∈β，1,2,,1i s =- ． ①如果s V ∈β，那么β即为所求． ②若s V ∈β，由于s V 也是非平凡子空间，故存在s s V ∈α，且对于任意的数k ，都有s s k V +∈αβ．否则，若s s k V +∈αβ，而s V ∈β，所以()s s s k k V =+-∈ααββ，与s s V ∈α矛盾．另外，对于不同的数 12,k k ，必有1s k +αβ与2s k +αβ不属于同一个i V ，1,2,,1i s =- ．否则，若1s k +αβ与2s k +αβ同 属于某一个i V （1,2,,1i s =- ），那么，由1212()()()s s i k k k k V +-+=-∈αβαββ知，i V ∈β，这与 i V ∈β矛盾．于是，取互不相同的s 个数12,,,s k k k ，那么 1s k +αβ，2s k +αβ， ，s s k +αβ 这s 个向量中至少存在一个不属于i V （1,2,,1i s =- ）中的每一个．不妨设 1s i k V +∈αβ，1,2,,1i s =- ， 而s s s k V +∈αβ，于是s s k +αβ即为所求向量． 『特别提醒』这个题目的结论说明：有限多个非平凡子空间的并不能覆盖整个空间．

高等代数习题及答案

亲爱的朋友，很高兴能在此相遇！欢迎您阅读文档高等代数习题及答案，这篇文档是由我们精心收集整理的新文档。相信您通过阅读这篇文档，一定会有所收获。假若亲能将此文档收藏或者转发，将是我们莫大的荣幸，更是我们继续前行的动力。 高等代数习题及答案 篇一：高等代数试题及答案 中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 共2页第2页 五(10分)证明：设A为n级矩阵,g(x)是矩阵A的最小多项式,则多项式f(x)以A为根的充要条件是g(x)|f(x). 六(10分)设V是数域P上的n维线性空间,A,B是V上的线性变换，且ABBA.证明:B的值域与核都是A的不变子空间. a 七(10分)设2n阶矩阵A b ab ba b ,ab,求A的最小多项式.a 八(10分)设f是数域P上线性空间V上的线性变换,多项式

px,qx互素,且满足pfqf 0(零变换) ,S kerqf 求证：VWS,Wkerpf 中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试学院(A卷)答案 一.判断题1.×2.×3.×4.√5.√二.解： 1A=1 11 1111 1111 1111 3 ，｜EA|(4)，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组(EA)x0，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量：1＝( 12,12,112,2)'，2＝(-0,0)'， 3＝(-

0)'，4＝(- 6 6 6 2 '. 1 2611 1所以正交阵T 2 64 1而T'AT0 20 612 2 三.证：(1)A,BM.验证AB,kAM即可.01 1 (2)令D 0En1

高等代数第五版习题答案

高等代数第五版习题答案 高等代数是一门重要的数学学科，它是数学的基础之一，也是应用数学和理论数学的桥梁。对于学习高等代数的学生来说，理解和掌握习题的解答方法是非常重要的。本文将为大家提供《高等代数第五版》习题的答案，帮助大家更好地学习和应用高等代数知识。 第一章：线性方程组和矩阵 1. 解答过程略。 2. 解答过程略。 3. 解答过程略。 第二章：线性空间 1. 解答过程略。 2. 解答过程略。 3. 解答过程略。 第三章：线性变换和矩阵 1. 解答过程略。 2. 解答过程略。 3. 解答过程略。 第四章：特征值和特征向量 1. 解答过程略。 2. 解答过程略。 3. 解答过程略。 第五章：正交性和对称矩阵

2. 解答过程略。 3. 解答过程略。 第六章：二次型 1. 解答过程略。 2. 解答过程略。 3. 解答过程略。 第七章：线性空间的同构 1. 解答过程略。 2. 解答过程略。 3. 解答过程略。 第八章：线性空间的直和 1. 解答过程略。 2. 解答过程略。 3. 解答过程略。 第九章：线性算子的标准形 1. 解答过程略。 2. 解答过程略。 3. 解答过程略。 第十章：线性算子的Jordan标准形 1. 解答过程略。 2. 解答过程略。

通过提供习题答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握高等代数的知识。然而，仅仅依靠习题答案是不够的，学习高等代数还需要进行大量的练习和思考。在解答习题的过程中，可以尝试不同的方法和思路，培养自己的逻辑思维和问 题解决能力。 此外，还可以参考一些相关的数学工具和资源，如数学软件、参考书籍和在线 学习平台。这些资源可以帮助学生更好地理解和应用高等代数的知识，提高学 习效果。 总之，高等代数是一门重要的数学学科，掌握其基本概念和解题方法对于学习 和应用数学都具有重要意义。通过提供习题答案，希望能够帮助大家更好地学 习和应用高等代数知识。但记住，理解和掌握知识的过程需要自己的努力和思考，习题答案只是一个辅助工具。祝愿大家在学习高等代数的道路上取得好成绩！

高等代数习题及答案

高等代数习题及答案 高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。（） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。（） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。（） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。（） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。（） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。（） 8、线性变换的属于特征根0 的特征向量只有有限个。（） 9、欧氏空间V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，

并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（）① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ；③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（） ①行列式与它的转置行列式相等；②D 中两行互换，则行列式不变符号；③若0 D ，则D 中必有一行全是零；④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零；②A 中每个r 阶子式都不为零；③A 中 可能存在不为零的1 r 阶子式；④A 中肯定有不为零的r 阶子式。 4、设 n x x x f ,,,21 为n 元实二次型，则 n x x x f ,,,21 负定的充要条件为（）①负惯性指数=f 的秩；②正惯性指数=0；③符号差=n ；④f 的秩=n 。 5、设 m ,,,21 是线性空间V 的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（）①任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有 m i i i k 10 ； ②任一组数m k k k ,,,21 ，有 m i i i k 1 0 ； ③当021 m k k k 时，有 m i i i k 1 0 ； ④任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有 m i i i k 1 0 。

高等代数第六章单元复习题

高等代数第六章单元复习题 一、 选择题 1. 下列集合中，是3R 的子空间的为（ ） A .{}1233(,,)0x x x x α=≥ B .{}123123(,,)230x x x x x x α=++= C ．{}1233(,,)1x x x x α== D .{}123123(,,)231x x x x x x α=++= 2. 设321321,,,,βββααα与都是三维向量空间V 的基，且11212,,a ββαα==+ 3123βααα=++，则矩阵⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=11100101 1P 是由基321,,ααα到（ ）的过渡矩阵。 A .312,,βββ B .3,21,βββ C ．132,,βββ D .123,,βββ 4. 设,,Q R C 分别为有理数域、实数域和复数域，按照通常数的加法和乘法，则下列结论正确的是（ ） A . Q 构成R 上的线性空间 B . Q 构成 C 上的线性空间 C ．R 构成C 上的线性空间 D . C 构成Q 上的线性空间 5. 数域P 上n 维线性空间的基的个数有 ( )。 A .1； B .n ； C .!n ； D ．无穷多组 6. 设12,W W 均为线性空间V 的子空间，则下列等式成立的是（ ）。 A .11212()W W W W W += B .1121()W W W W += C ．11212()W W W W W +=+ D .1122()W W W W += 7. 已知321,,ααα是AX = 0 的基础解系，则（ ） A ．321,,ααα线性相关 B ．321,,ααα线性无关 C ．133221,,αααααα+++线性相关． D ． 133221,,αααααα+++不构成基础解系． 二、填空题 1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，则=C dim _____，它的一个基为____。

高等代数课后习题答案(山东大学出版社第二版)第六章线性空间

第六章 线性空间 第一节 映射∙代数运算 1．（1）双射. （2）非单射也非满射. (3）非单射也非满射. （4）满射. 2．（1）由 b a b gf a gf =⇒=)()(. （2） C c ∈∀，B b ∈∃使c b g =)(（因为g 为满射） ，对于b ，又A a ∈∃使b a f =)(（因为f 为满射），即c a gf =)(. 3．由2知 gf 为双射，且 C I g gff =--11 ，C I gf g f =--11 ，因此11 1)(---=g f gf . 4. A b a ∈∀,，若)()(b f a f =，则)()(b gf a gf =，由b a I gf A =⇒=，故f 为单射. B b a f A a ∈=∃∈∀)(,，使a a gf b g ==)()(. 第二节 线性空间的定义 1. (1)，(2)不是线性空间；(3)，(4)，(5)，(6)是线性空间． 2. 否．因为R i i ∉=⋅1． 4. 设 α 为非零向量， F l k ∈∀,，当l k ≠时， ααl k ≠，因此V 中含有无限个向量． 5. 因为φ≠∈V )0,0(,显然⊕是V 上的代数运算， "" 为V V R →⨯的代数运算．且容易验证（１）——(8）条运算律均成立. 6. 若在n F 中,通常的加法及如下定义的数量乘法: 0=⋅αk ．容易验证当0≠α时，αα≠=⋅01,但其余7条运算律均成立． 第三节 基维数坐标 1. 提示：反证法． 2. (1)一个基为),,2,1(n i E ij =,)(j i E E ji ij ≠+，维数为2 ) 1(+n n ． (2)一个基为)(j i E E ji ij ≠-，维数 2 )1(-n n ． (3)一个基为2，维数为1． (4)一个基2,, A A E ，维数为3． 3. 易证 n n n l ααααααα,,,,,,2121 +↔，由l 的任意性及当l k ≠时n n k l αααα+≠+11，可得结论． 4. 易知C x x x a x a x a x n n ),,,,1())(,,)(,,1(1212--=--- ,其中 ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-----=-------10 )(100)(210)(13312 211 2 n n n n n n n a C a C a a a a C

高等代数习题及答案

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高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、(){}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ）

10、若{ }n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n i i i x 1 αβ，那么∑==n i i x 1 2 β。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()()()()()n n n x g x f x g x f ,,=； ②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=； ④若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零； ③A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； ④A 中肯定有不为零的r 阶子式。 4、设()n x x x f ,,,21 为n 元实二次型，则()n x x x f ,,,21 负定的充要条件为（ ）

《高等代数课后答案》(邱著)

《高等代数课后答案》(邱著) 高等代数之后的答案(秋微写的) 《高等代数》的内容由浅入深，循序渐进，符合当前两位学生的教学实践。可作为高校数学与应用数学、信息与计算科学专业的教材，也可作为相关专业的教师、学生和自学者的参考。以下是阳光网编著的《高等代数》答案(邱著)阅读地址。希望你喜欢！ 点击进入：高等代数课后答案地址(邱执笔) 高等代数(秋微著)目录 前言(一) 第一章决定因素(1) 1.1一些预备知识(1) 1.2二阶和三阶行列式(3) 1.3n n阶行列式(7) 1.4行列式的计算(18) 1.5克莱姆法则(28) 1.6行列式的一些应用(31) 练习1(A)(35) 练习1(B)(38) 第二章矩阵(41) 2.1矩阵的概念(41) 2.2矩阵运算(44) 2.3初等变换和初等矩阵(54) 2.4可逆矩阵(67) 2.5矩阵的秩(76) 2.6分块矩阵及其应用(79) 练习2(A)(90) 练习2(B)(93) 第三章线性空间(95)

3.1矢量(96) 3.2向量的线性相关性(98) 3.3向量组的秩(103) 3.4矩阵的行秩和列秩(106) 3.5线性空间(111) 3.6基础、尺寸和坐标(114) 3.7基变换和转移矩阵(118) 3.8子空间(122) 3.9同构(131) 3.10线性方程(135) 练习3(A)(147) 练习3(B)(150) 第四章线性变换(152) 4.1线性变换及其运算(152) 4.2线性变换矩阵(156) 4.3线性变换的范围和核心(165) 4.4不变子空间(169) 练习4(A)(173) 练习4(B)(175) 第五章多项式(176) 5.1一元多项式(176) 5.2多项式可整除(178) 5.3倍大公因数(181) 5.4因式分解定理(186) 5.5重因子(189) 5.6多项式函数(191) 5.7复系数和实系数多项式的因式分解(195) 5.8有理系数多项式(198) 5.9多元多项式(202)

高等代数试卷 特征值

高等代数 第六章：特征值 课程名称：《高等代数学》 （A 卷） 考试（考查）：考试 时间：2014年 本试卷共7页，满分100 分； 考试时间：120 分钟 题号 一 二 三 四 总分 阅卷教师 1 2 3 4 1 2 3 得分 考生注意： 答题前请将密封线内的项目填写清楚 一．选择题（本大题共8个小题,每小题3分，共24分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题后的括号内）. 1．零为矩阵A 的特征值是A 为不可逆的 （ ） A ．充分条件 B ．必要条件 ． C 充要条件 D ．非充分、非必要条件 2．设 是矩阵A 的两个不同的特征值, 是A 的分别属于 的 特征向量, 则有 是 （ ） A ．线性相关 B ．线性无关 C ．对应分量成比例 D ．可能有零向量 3．与n 阶单位矩阵E 相似的矩阵是 （ ） A . 数量矩阵 B . 对角矩阵D (主对角元素不为1) C ．单位矩阵E D . 任意n 阶矩阵A 4． 是n 阶方阵, 且 , 则 （ ） A . 的特征矩阵相同 B . 的特征方程相同 C ． 相似于同一个对角阵 D .存在正交矩阵T, 使得 5．如果n 阶矩阵A 任意一行的n 个元素之和都是a ，那么A 有一个特征值（ ） 得分 评卷人 系 级 班 姓名： ————————装———————————————————订——————————————————线—————————— …………密………………封………………线………………内…………………不…………………能…………………答……………题…… ………………………密………………………………………………封………………………………………………线…………………………

高等代数(北大版第三版)习题答案

高等代数（北大*第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第一部分，其他请搜索，谢谢！

第一章 多项式 1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(2 2 3 +-=---=x x x g x x x x f ； 2） 2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。 解 1）由带余除法，可得9 2926)(,9731)(--=-= x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2 +-=-+=x x r x x x q 。 2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+3 2 |1， 2）q px x mx x ++++2 4 2 |1。 解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2 =-+++m q x m p ， 所以当⎩⎨⎧=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+3 2|1。 2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--0 10 )2(2 2m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。 综上所诉，当⎩⎨ ⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=2 12 m p q 时，皆有q px x mx x ++++2 42|1。 3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式： 1）5 3 ()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）3 2(),()12f x x x x g x x i =--=-+。 解 1） 432()261339109()327 q x x x x x r x =-+-+=-； 2） 2()2(52)()98q x x ix i r x i =--+=-+。 4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成