如何利用高中数学的草稿本和错题本

如何利用高中数学的草稿本和错题本？

草稿本和错题本是高中数学的两大学习工具，是容易被同学们忽视的重要元素，草稿本能够让我们清晰的知道运算过程、错题本能够让我们知道错误原因，那么，如何利用好高中数学的草稿本和错题本呢？下面就来一起学习。

如何利用高中数学的草稿本？

一、打草稿的重要性

打草稿，它能尽可能地保证计算过程和结果的正确性。尤其是涉及大量计算的题型，打草稿就显得特别重要了，比如小学五年级后，做数学题如果仅仅依赖于口算就很容易算错。

很多同学不喜欢打草稿的原因主要有两个：其一是没有意识到打草稿的重要性，从而没有养成习惯；其二是觉得打草稿浪费时间，想把打草稿的时间留出来去做更多的题。这样的结果就是，每次都会犯错，而且很多做错了的题并不难，不是不会，而是算错了。

所以，打草稿很重要，当然，如果考试时间确实来不及了，打不打草稿也可以灵活处理。

二、打草稿出现的毛病

虽然绝大多数同学都会打草稿，但却不会正确地打草稿。打草稿这件事，对与很多同学而言，无非就是推导、演算、出结果，并抄到试卷上就OK了，但是很少有孩子会规范使用草稿本。草稿本乱七八糟不说，还经常因为一些书写不规范，抄答案都抄错了！

三、典型的两种草稿

第一种草稿无论切换到哪个角度都能找到草稿的痕迹，说不好听点，就是乱七八糟，回看的时候找不到方向、看不出重点，等到誊抄答案、检查结果时很容易出错，重新算一遍又浪费了时间。

也正是因为如此，有非常多的学生在数理化科目考试的时候，本来在草稿上演算时是有些思路的，但东一个步骤，西一个结果，回过头在试卷上做题的时候却反而混乱了，原因就是草稿太乱，没有形成很清晰的逻辑和思路。

另一种草稿，既书写规范，又步骤清晰，还有题号，这种做法在誊抄解题过程和最后检验的时候一般不会出错，一旦计算有纰漏也很容易发现问题出在哪里，并及时补救。

那些成绩优秀的同学，平时就很注重规范草稿演算，这有助于他们理顺自己的思路，减少不必要的失误。相应的，他们在学习的其他方面也比其他同学要更有条理一些，这就是学习成绩好的细节所在！

四、好的草稿应该是什么样的

1、书写要规范有顺序。要和作业一样认真书写，而不能书写马虎，否则会带来很多不必要的错误。

2、一行写一排数字，而不要两行数字挤在一起写。不要写得太满，要让草稿纸版面清晰，因为有的学生在打草稿时“过于节省”，见缝插针地用草稿本，导致整个草稿纸满满的，看起来很让人头大。

3、画图仍然要用作图工具画。但速度要快一点，不求精益求精，但不能影响做题，毕竟考试时间是宝贵的。

4、考试时，如果遇到不敢确定的题，要注明检查环节，便于最后查漏补缺。

5、草稿纸上要有分区或有分割线隔断。有的时候两道题的草稿内容挨得太近，就一定要用分割线把题与题之间的草稿内容隔开，以免在试卷上作答时把A题的过程誊抄到B题的答题区域内。

6、标记题号。无论是平时做数学作业，还是正式考试，在草稿上标记好题号，通过题号来定位在草稿纸上的位置，一目了然，方便快速查找。

7、按顺序打草稿。有的学生在打草稿时，喜欢挑空白的地方，以至于各个方向都有草稿，那样就只要“草”没有“稿”了，过一会儿自己都找不到，考试中这样的草稿是绝对不行的。

8、计算步骤、大纲、思路基本完整，过程大致规范。为什么说“基本”、“大致”呢，因为草稿的功能就是如此。计算跳步，一会儿错了还是找不到问题，检查不出来。不完整的草稿，和没有差不多；过于细致那倒也用不着。

让草稿本不“草”，变“草”为宝，这是每一个学生的优异成长基石。优秀的草稿是一笔宝贵的学习财富，满载着同学们分析问题、解决问题的思维痕迹，不仅使学习效率得到较大的提升，还能有效地提高学习成绩。

如何利用高中数学的草稿本？

一、怎样建立数学错题集？

1、哪些错题需要整理

错题经常有，形式也五花八门，那么怎样的错题是需要整理的呢?通常而言，需要孩子自己去整理的内容有三类：

一是平时作业和考试中因为确实不会做而出错的题目。这可能是由于对于某些知识点没有学懂，或者概念模糊半懂不懂，还包括难度较高的，要求学生思维水平较高的题。这是整理的重点，也是复习时要用的难点；

二是在练习中由于粗心、审题不清造成的错误。如抄错题、计算错误、遗漏错误，这类题看似容易，但恰恰是学生反复出错的来源，因而也不能忽视；

三是在整理了前两点，学生养成记录错题的习惯后，可以补充的内容。即自己平时补充练习中发现的有挑战性的难题、典型题、易错题。对于一些基础较好的学生，还可以针对这类题变换条件、自己编题。

2、怎样记录错题

准备一个专门的记录本。每天拿到老师批改好的作业本后，翻阅当天的错误，将其登录在摘抄本上。单元测试和其他检测后也及时抄录。回家后，如果自己有补充其它练习，再补录剩下的错题。为了节省时间，也可以把题目直接裁剪或者是复印后粘到错题本上。摘抄后，再反思错误原因，记录下完整的解题思路及答案。

3、怎样分析错题

具体过程有三：

（1）标注存在的错。在做错的地方用彩色笔标出来。可以用三角形、五角星等不同图形把由于粗心、知识点不懂、容易混淆等不同原因出错的题区分标注。

（2）掌握正确的方法。分析错因后，把正确的解题方法，写上在错题旁边。不仅是答案，还应包括解题思路。即关键点、用哪些公式公律、具体步骤。

（3）反思提高。要通过对这一错题的订正，掌握解决这类错题的方法。甚至还可以将错题改编，在同类型的练习中巩固解题方法。

二、怎样运用错题集？

1、定期翻阅，自查纠错

错题记在本上不看，那只是废纸一张，经常浏览，才能变“废”为“宝”。翻阅“错题集”就是孩子们每周末必做的功课。翻阅的过程，就是让曾经犯过的错误在大脑中再一次“否定”，从而避免再犯。考试前再次翻阅，就又一次加深印象。

2、同学互阅，借鉴防错

错题集就是以本写满经验教训的指导书，我们获得教训的方式，可以是直接经验，也可以是间接经验。学生分组互相交换阅读错题集、从别人的错误中吸取教训得到启发，孩子们在互相的学习和点评提高了自己的能力。

高中数学经典例题错题详解

高中数学经典例题、错 题详解

【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应） 映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射方向性 上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。 【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B 中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个，所以答案为23=9；32=8 【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（） A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质： 1、图象关于原点对称；? 2、满足f(-x) = - f(x)?； 3、关于原点对称的区间上单调性一致；? 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；? 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）

高中数学错题集建立方法

高中数学错题集建立方法 每一次练习也好，考试也罢，老师评讲过后，绝大多数同学都会觉得自己不应该出现 错误。可是，下一次考试仍然会重复昨天的故事。究其原由，考试中丢分主要是学生对要 考试的知识点掌握不够，累计的漏洞超多的反映。所以，要想尽可能减少失误，必须找到 补漏的灵丹妙药，而错题集正是我们事半功倍的绝佳助手。 如你想通过错题集来提醒自己注意一些小毛病，你就可以把原来的错误过程抄下来， 再在错的地方加上简单的小注释，这样就可以清晰地反映出为什么出错;再如你想用错题 集来积累一些解题方法，你就可以用简单的语言描述清楚题意和解题方向，不用写太多细节……总之你所做的是为你自己的目的服务的。这样大家的错题集也会各有千秋! 1、准备好一个专门的记录错题的笔记本，简陋或精致都无所谓，但一定能足够满足 你整理错题所用。 2、选题。 作为数学教师，为使学生能乐于做错题集。首先应紧扣学生都想学习能好一点的心理。做好舆论宣传，阐明其重要意义。 其次，教师在课堂教学中应不断暗示，什么样的一些习题可以收录在错题集中，现在 应作好标记，以备选用。 然后阐明选题的原则：要据本人具体学习情况而定，不同的学生，选题有所不同，甚 至差别很大;一般是从自己做错的习题中选择，但也有一些不一定是自己做错的习题。 具体选题范围如下： <1>尚未理解、掌握的习题; <2>特别易错的习题，把做错的原题在错题集上原原本本地抄一遍或剪贴在错题集上，把原来错误的解法清晰地摘要在错题集上，然后在题前加了特别符号以显示有些习题只要 自己细心一点可以避免错误的，这些习题则不要收录; <3>难记题; <4>教师指定题即典型例题。由于学生认知水平有限，应在其过程中予以适当的补充 对于培养学生分析、归纳、解决问题能力以及培养思维能力、创新意识、正确的心理素质 很有作用的习题。总之，选题量不一定要多，选题要尽量具有代表性，类型尽量不要重复。选好题抄在本子上后要在后面留下一定的空白，方便解题跟注释。 3、解题、注释 据不同的错题特点，应采用不同的方法。

高考考前复习资料—高中数学立体几何部分错题精选

高考考前复习资料—高中数学立体几何部分错题精选 一、选择题： 1．（石庄中学）设ABCD 是空间四边形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则BC AD EF ,,满足（ ） A 共线 B 共面 C 不共面 D 可作为空间基向量 正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。 2．（石庄中学）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、 D 1C 1的中点，则直线OM( ) A 是AC 和MN 的公垂线 B 垂直于A C 但不垂直于MN C 垂直于MN ，但不垂直于AC D 与AC 、MN 都不垂直 正确答案：A 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影。 3．（石庄中学）已知平面α∥平面β，直线L ?平面α,点P ∈直线L,平面α、β间的距离为8，则在β内到点P 的距离为10，且到L 的距离为9的点的轨迹是（ ） A 一个圆 B 四个点 C 两条直线 D 两个点 正确答案：B 错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。 4．（石庄中学）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保 持A P ⊥BD 1,则动点P 的轨迹（ ） A 线段 B 1 C B BB 1的中点与CC 1中点连成的线段 C 线段BC 1 D CB 中点与B 1C 1中点连成的线段 正确答案：A 错因：学生观察能力较差，对三垂线定理逆定理不能灵活应用。 5． （石庄中学）下列命题中： ① 若向量、与空间任意向量不能构成基底，则∥ 。 ② 若a ∥b ， b ∥c ，则c ∥a . ③ 若 、 、是空间一个基底，且 = 31＋31 ＋3 1 ,则A 、B 、C 、D 四点共面。 ④ 若向量 a + b ， b + c ， c + a 是空间一个基底，则 a 、 b 、 c 也是空间的一个基 底。其中正确的命题有（ ）个。 A 1 B 2 C 3 D 4 正确答案：C 错因：学生对空间向量的基本概念理解不够深刻。

关于数学错题本的使用说明

关于数学错题本的使用说明 本学期我指导学生使用错题本来搜集典型错题，通过错题本进行数学反思；通过错题本培养学生良好学习态度和习惯，指导学生学会归纳分析、梳理，抓住问题的关键，条理化、系统化地解决问题；通过错题本解决零散、疏漏等问题。具体做法如下： (1)经常阅读 错题本不是把做错的习题记下来就完了。学生要经常在空闲时间或准备下一次考试时，拿出错题本，浏览一下，对错题不妨再做一遍，这样就使每一道题都发挥出最大效果，在今后遇到同类习题时，会立刻回想起曾经犯过的错误，从而避免再犯。做到同一道题不能错两次，同一类题目不能错两次，从而减少习题量。这样经常温故知错、持之以恒，学生的成绩就会得到提高。 (2)相互交流 由于基础不同，各位同学所建立的错题本也不同。通过交流，同学们可以从别人的错误中吸取教训，得到启发，以此警示自己不犯同样的错误，提高练习的准确性。 俗话说，吃一堑，长一智。如果同学们能从做的错题中得到启发，从而不再犯类似的错误，成绩就能有较大的提高。考试并不需要灯光下的熬夜苦战，也不需要题海中的无边漫游，有一套适合自己的学习方法，才是最为重要的。 (3) 格式完整 每天做当日作业前，把昨天的错题解决后再开始新的作业。对每道错题都要重新摘录，然后做错误过程陈述、错误原因分析、将正确解题过程写、最后出错误类型总结。如果有多种方法也应该做出。例：（这几张都是12班同学最近错

题本上总结归纳较好的）

(4)经常翻阅 每周或两周一次重做一下错题本，考试前更应重做“错题本”。开始“错题本”里由于粗心的类型会占大多数，但随着该项工作的深入，“错题本”中的错误质量会越来越高，数量会越来越少，更多是由于概念点和思路而引发的错误，这些题就是属于平常没有作对，考试又犯错的典型类型，如果平时就能够解决好，到最后

高中数学经典例题、错题详解

【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M 到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合 A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A 到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射 方向性 上题答案应选C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 高中数学经典例题、错题详解

高中数学经典例题 错题详解

高中数学经典例题、错题 详解

【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应） 映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射 方向性 上题答案应选C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。 【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个，所以答案为23=9；32=8 【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（） A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质： 1、图象关于原点对称； 2、满足f(-x) = - f(x) ； 3、关于原点对称的区间上单调性一致； 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0； 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的） 偶函数性质： 1、图象关于y轴对称； 2、满足f(-x) = f(x) ； 3、关于原点对称的区间上单调性相反； 4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0； 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的） 基本性质： 唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有x，f(x)=0)。

高中数学错题总结

高中数学错题总结、归纳 一、错题归类 第一类问题是会的却做错了的题。就是分明会做，反而做错了的题；心知肚明是很有把握的题，却没做对；还有明明会又非常简单的题，却是落笔就错；确实会，答案就在嘴边盘旋，却在考场上怎么也回忆不起来了。有时一走出考场立即就想起来了；有时试卷发下来一看，都不太相信是自己答的，当时在考场上怎么会做成这个样子等等。这类问题是低级错误。出现这类问题是考试后最后悔的事情。 第二类问题是模棱两可似是而非的问题。就是第一遍做对了，一改反而改错了，或第一遍做错了，后来又改对了，或回答不严密、不完整的等等。这类问题是记忆的不准确，理解的不够透彻，应用的不够自如的问题。 第三类问题是不会的题。由于不会，因而答错了或蒙的，或者根本没有答。这是没记住、不理解，更谈不上应用的问题。 二、解决策略 我的策略安排是:消灭第一类问题；攻克第二类问题；暂放第三类问题。 有些同学虽然也知道将问题分成三类，但他们对待三类问题的策略不同，方法有别。有人重点攻第三类问题；轻视第二类问题；忽略第一类问题。自以为将难点攻下来了，一切问题就可以迎刃而解了。第二类问题不是难点，好解决。第一类问题就是“马虎”了，下次注意就是了。这套方案对于个别同学可能有效果，但对于绝大多数同学收效甚微，经常是事倍功半，不可取。还有一些同学是按科目找问题来解决问题。按科目找问题没错，重要的是将各科的问题集中到一起分类。就差这一步，效果就相去甚远。将问题分好类后，首先要消灭第一类问题。 1.消灭第一类问题 许多同学和家长将第一类问题归结为“马虎”，正是由于有了这样一种认定，所以是屡错屡犯总也根除不掉。因为“马虎”人人都曾有过。任何人在学生时代都曾出现过“马虎”现象。既然人人都有，就不必大惊小怪了。还有的同学认为“马虎”不是什么大问题，只是没注意、不小心，稍一留意即可铲除。这次我“马虎”了，下次我就能改过来，但事实上这类问题的反复发生率很高。其根源在“马虎”的说法是一种定性的认定，没有定量。既是定性，则范围不清，形状不

如何整理与使用数学错题集的收集

小课题阶段性小结------- 数学利用错题集，提高学生学习能力 李平 什么是错题集？错题集就是我们把做错的“好”题目按一定的顺序和层次整理到自己准备好的笔记本中，这些题目都是来自我们平时的家庭作业、课堂作业或阶段检测。把错误的习题从讲义或试卷上“剪切”下来，“粘贴”并整理编辑在笔记本上。也许大家都有这样的体会：每次考试后，教师与学生都有一些缺憾，许多题目讲过了、做过了、甚至考过了，有的还不只考过一次，最终还是错了，拿不到分。为什么会这样呢？这主要是因为我们知识结构的残缺和认识上的盲点造成的。要克服这一弊病，最佳的方法就是建立一本错题集。 某大学附中的文科状元谢尼说：“除了典型例题，还需要重视自己出错的题目。错题集是许多成绩好的学生必备的，我也不例外，而在这里我强调的是如何充分利用自己的错题集。” 可见错题集在我们的学习中有许多好处，它既是学生积累学习经验和学习资料的宝库，又是教师改进教法、研究学情的重要依据，真正实现以学定教，教学相长的有效途径。建立一本错题集已经被许多同仁证明：是学生提高学习成绩，老师提升业务能力，践行高效课堂行之有效的方法。 那在平时的学习中我们应该如何整理、使用错题集呢？笔者通过多年的数学教学认为可以这样操作：

一、制作错题集 对于制作错题集，我们应该从内容的收集与整理与制作装订等多方面去考虑，不仅注意其内容，更要注意编排等多个问题，只有有计划的开展并实施，才能起到事半功倍的效果。具体可以从三个方面去完成。 1.首先要区分错题的性质。①为什么错了？分析原因；②应该怎样做？标明解题的正确方法及依据原理；③有无其它方法？哪种方法更好？对比归纳，思维求异；④能否变通一下？一题多变，思维发散。 2.将错题分类。将我们平时做错的题目进行分类整理：概念模糊不清、粗心大意、方法不当、新定义、数学思想等等。例如：有这样一道判断题“直径平分弦就垂直于弦”很多学生在理解这个题目时，总是概念不清，认为是正确的，事实上是错了，错的原因是弦可以是直径，而两条直径总是平分的但不一定垂直。那么此题我们就可以归为概念模糊不清一类。 3.装订。我们把错题集按自己所须编号，进行装订。我们最好使用铁夹来装订成活页，这样每一页并不是固定的，方便我们以后查找的时候，遇见不合理的地方可以及时的进行修订。 二、怎么使用错题集 一本好的“错题集”就是自己知识漏洞的题典，他胜过题海，平时我们不但要注意整理和总结而且更重要的是要做到以下三点：1.经常阅读。学生错题出现了，过去只在作业上订正了事，时间

高中数学平面向量部分错题精选1

高考数学复习易做易错题选 平面向量 一、选择题： 1．（如中）在ABC ?中,?===60,8,5C b a ,则CA BC ?的值为 ( ) A 20 B 20- C 320 D 320- 错误分析:错误认为? ==60,C CA BC ,从而出错. 答案: B 略解: 由题意可知 ?=120,CA BC , 故CA BC ?=20 2185,cos -=??? ??-??=??CA BC CA BC . 2．（如中）关于非零向量a 和b ，有下列四个命题： （1）“b a b a +=+”的充要条件是“a 和b 的方向相同”； （2）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 的方向相反”； （3）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 有相等的模”； （4）“b a b a -=-” 的充要条件是“a 和b 的方向相同”； 其中真命题的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 错误分析:对不等式b a b a b a +≤±≤-的认识不清. 答案: B. 3．(石庄中学)已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，

B(0，3)，是P 线段AB 上且 AP =t AB (0≤t ≤1)则OA ·OP 的最大值为 （ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当OP cos 最大时，OA ·OP 即为最大。 4．(石庄中学)若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足（ ） A ． a 与b 的夹角等于- B ．a ∥ b C ．(a +b )(a -b ) D ． a ⊥b 正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。 5．(石庄中学)已知向量 a =(2cos ，2sin )， ( ππ ,2)， b = （0,-1)，则 a 与 b 的夹角为( ) A ． π32- B ．2 π + C ．- 2 π D ． 正确答案：A 错因：学生忽略考虑a 与b 夹角的取值范围在[0，]。

高一上数学错题本(有答案)

1函数f（x）=ax2-（3a-1）x+a2在区间（1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是__________________ 2已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(x-1)

4. 设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x+a2/x+7， 若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为____________．

5. 已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=0．若x1，x2为方程ax2+bx+c=0 的两个实数根，则|x12-x22|的取值范围为__________________． 6不等式ax2+ax-1＜0对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是__________________． 7设奇函数f（x）的定义域为[-5，5]，当x∈[0，5]时，函数y=f（x）的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为______． 由原函数是奇函数，所以y=f（x）在[-5，5]上的图象关于坐标原点对称， 由y=f（x）在[0，5]上的图象， 得它在[-5，0]上的图象，如图所示．

由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为（-2，0）∪（2，5）． 故答案为（-2，0）∪（2，5） 8.奇函数y=f(x)的图像与x轴有三个交点,则方程f(x)=0的所有根之和为奇函数y=f(x)的图像关于原点对称，所以f(0)=0, 设x1是f(x)=0的非零根，即f(x1)=0,则f(-x1)=-f(x1)=0, 所以-x1也是f(x)=0的非零根， 与x轴有三个交点,共有三个根， 所以所有根之和为x1+0+(-x1)=0 9

高一数学经典错题回顾(含答案)

高一数学经典错题回顾(含答案) 1、数列 ,11,22,5,2的一个通项公式是___________ 2、若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项n S 最大时的最大自然数n 是：_______ 3、已知45的解集是11 {}45 x x x <<或，那么不等式2220cx bx a --<的解集是 8、若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是,n n S T ，已知73n n S n T n = +，则54 a b 等于 9、数列{a n }中，前n 项和31n n s =+，则n a = 。 10、在锐角△ABC 中，BC=1，B=2A,则cos AC A 的值等于 AC 的取值范围为 11、直角三角形三边成等比数列，公比为q ，则2 q 的值为 。

12、若方程2(1)10ax a x a +-+-=有一正、一负两实数解，则a 的范围为_____________ 13、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 14、函数9 y x x =+ 的值域是 15、如果满足∠ABC=60°，AC=2，BC=k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 16、三个数c b a ,,成等比数列，且0,0a c >>，若1=++c b a 成立，则b 的范围是三个数 c b a ,,成等比数列，且0,0a c >>，若1=++c b a 成立，则b 的范围是 17、若钝角三角形三边长为a+1,a+2,a+3,则a 的取值范围是 18、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 19、在面积为S （S 为定值）的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r 时，扇形周长最小，这时r ,θ的值分别为 20、函数9 y x x =+的值域是 21、如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东0 60的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西0 60的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？

高一高二高三数学经典错题大合集

高一高二高三数学经典错题大合集：解三角形常见的八种失分需谨慎高中数学提分容易么，说老实话，有时候很容易，有时候很难！其实有点智商方面的关系！但最重要的还是方法！当然首当其冲的是兴趣！每个同学都有自己对应的病灶，找准，抓住，杀掉，成绩自然上来。而错题集是学生进行提高自我成绩的一个非常好的途径！然而很多学生弄了，也没提高多少，主要是没找对方法！错题本重点是总结！然后分析！下一次再做！再错，再总结！如此循环，这一类题就基本能吃透提高了！当然，错题本还得系统，到位！清北学霸高考必备资料库中，我们的师哥师姐就整理了，将近800 来道的高中数学错题集！我们的错题集不是单纯只是把学生容易错的题拉上来，而是收集了近三年来学生针对这个考点容易失分点，容易错的进行错题集分析！非常的全面而实用！有学生在解三角形的道路上经常错。下面就给大家分析下解三角形的常见的8 种是失分，丢分的！ 现在有个福利告诉同学家长，同学家长可以添加学长微信 2475026381 即可参与清华、北大的小伙伴们发起的助学活动，免费领取我们精心打造《应试攻略》系列课程及《直击高考漏洞》电子书，以我们的经历、成功，告诫大家：考试百分百技术活，想要成为尖子生，先要跳出中等生苦学的思维?? 还有高中九科目提分笔记免费领取 【标题01】不能灵活运用正弦定理进行推理解答

标题02 】在三角形中解三角正弦方程出现错误

标题03】锐角三角形的定义理解错误

标题04】解三角形时出现多解没有注意检验

标题05】忽略了等式的性质在等式两边随便乘除导致漏解

标题06】化简三角方程时忽略了角的范围和正弦函数的图像和性质标题07】求三角函数的范围时忽略了角的取值范围

高中数学错题本格式

高中数学错题本格式 篇一:错题本格式(样本) 错题档案要求 上级领导指出，我校各科错题档案建立普遍不够规范，缺乏实效性，学校决定对 今后错题档案要求如下: 1. 其他学科可参照下面的格式指导学生建立科学实用的错题档案，鼓励有创 意的形式。 2. 教师对学生的错题档案建立情况定期查阅，一般一周一次，根据学生建立 情况评定等级，做出评语，并注明日期，可不用打对号，但学生矫正仍有失误的地方要指出。 3. 错题档案一律用双色笔整理。 英语错题本 时间:?年?月?日星期? 1、I am a stranger here，so I have got_____friends at prenent. A、little B、 a little C、few D、 a few 考查的知识点:不定代词few 、a few little、 a little 的用法错误原因:没分清正解分析:(1)littlea little 修饰不可数名词，few a few 1 修 饰可数名词的复数。(2)a little a few 在句子中表示肯定的含义， little 、few在句子中表示否定的含义。所以选C.

方法总结:一看名词，二看含义。 2、we think everyone_______to the pop songs. A、 enjoy to listen B、 enjoys listen C、 enjoys listening D、 enjoy listening 考查的知识点: 不定代词everyone的用法和enjoy的用法。 错误原因:everyone的用法不会。 正解分析:everyone作主语，谓语动词要用单数形式。enjoy 作“喜欢”讲用法是enjoy doing sth.==like doing sth. 喜欢做某事。enjoy oneself== have a good time.玩的高兴。所以选C. 数学错题本 时间:?年?月?日星期? 1、下列分式，当x取何值时，分式有意义,当x取何值时，分式的值为零, 考查的知识点:分式的意义和性质。错误原因:粗心。 正解分析:(1)分式的分母不为零，分式有意义，反之，分式的分母为零，分式无意义。所以x-3x-4 ?0 (x-4)(x+1)?0 x?4且x?-1 所以 2 当x?42且x?-1 时分式有意义。 (2) 当分式的分子为零，分母不为零的时候，分式的值为零。 22 所以-16=0且-3x-4 ?0时，分式的值为零。得出 x=-4 篇二:郭老师关于如何正确建立“错题本”及使用方法 如何正确建立“错题本”及使用方法 郭老师 首先，错题本是对自身错误的系统汇总。可能很多同学会说，这些错误就让它放在卷子上不也一样吗,将来看卷子就是了。其实，这是一个关于统计的问题，现

如何利用高中数学的草稿本和错题本

如何利用高中数学的草稿本和错题本？ 草稿本和错题本是高中数学的两大学习工具，是容易被同学们忽视的重要元素，草稿本能够让我们清晰的知道运算过程、错题本能够让我们知道错误原因，那么，如何利用好高中数学的草稿本和错题本呢？下面就来一起学习。 如何利用高中数学的草稿本？ 一、打草稿的重要性 打草稿，它能尽可能地保证计算过程和结果的正确性。尤其是涉及大量计算的题型，打草稿就显得特别重要了，比如小学五年级后，做数学题如果仅仅依赖于口算就很容易算错。 很多同学不喜欢打草稿的原因主要有两个：其一是没有意识到打草稿的重要性，从而没有养成习惯；其二是觉得打草稿浪费时间，想把打草稿的时间留出来去做更多的题。这样的结果就是，每次都会犯错，而且很多做错了的题并不难，不是不会，而是算错了。 所以，打草稿很重要，当然，如果考试时间确实来不及了，打不打草稿也可以灵活处理。 二、打草稿出现的毛病 虽然绝大多数同学都会打草稿，但却不会正确地打草稿。打草稿这件事，对与很多同学而言，无非就是推导、演算、出结果，并抄到试卷上就OK了，但是很少有孩子会规范使用草稿本。草稿本乱七八糟不说，还经常因为一些书写不规范，抄答案都抄错了！ 三、典型的两种草稿 第一种草稿无论切换到哪个角度都能找到草稿的痕迹，说不好听点，就是乱七八糟，回看的时候找不到方向、看不出重点，等到誊抄答案、检查结果时很容易出错，重新算一遍又浪费了时间。 也正是因为如此，有非常多的学生在数理化科目考试的时候，本来在草稿上演算时是有些思路的，但东一个步骤，西一个结果，回过头在试卷上做题的时候却反而混乱了，原因就是草稿太乱，没有形成很清晰的逻辑和思路。 另一种草稿，既书写规范，又步骤清晰，还有题号，这种做法在誊抄解题过程和最后检验的时候一般不会出错，一旦计算有纰漏也很容易发现问题出在哪里，并及时补救。 那些成绩优秀的同学，平时就很注重规范草稿演算，这有助于他们理顺自己的思路，减少不必要的失误。相应的，他们在学习的其他方面也比其他同学要更有条理一些，这就是学习成绩好的细节所在！ 四、好的草稿应该是什么样的 1、书写要规范有顺序。要和作业一样认真书写，而不能书写马虎，否则会带来很多不必要的错误。

高中数学经典例题错题详解

高中数学经典例题错题 详解 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应） 映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B 的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射 方向性 上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。 【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素

【高考状元】数学错题本：第10章概率统计易错题含解析

我的高考数学错题本 第10章 概率统计易错题 易错点1．重复计算或漏算导致错误 【例1】4名考生在三道选做题中任选一道进行做答，则这三道题都有人选做的概率为( ) A ． 49 B ． 827 C ． 29 D ． 427 【错解】 【错因分析】第一种做法在计算的过程漏掉了“先选的三个人也可以有两个人同时做同一个题”这种情况；第 二种做法在计算过程中出现了重复计算． 【正解】4个人做三道题目，每题至少一人，则必有一个题目有两个人做，因此要先将四个人分成三组，然后 再排列，方法数为2 3 4336C A =，所求概率为 364 819 =．选A 【巩固练习1】从1,2,3，…，9这9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（ ） A ． 57 B ． 59 C ． 27D ． 49 【答案】C 易错点2．超几何分布与二项分布混淆 【例2】为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前组的频率之比为1:2:3，其中第组的频数为12．（1）求该校报考飞行员的总人数； （2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人， 设X 表示体重超过60公斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望．【错解展示】

【错因分析】（1）对随机变量的含义不清楚，不能区分超几何分布与二项分布；（2）对于何时可以样本的频率代替总体的概率不清楚；【纠错提醒】（1）超几何分布的本质是“不放回抽样”，是一种古典概型，而二项分布的随机实验是“独立重复实验”，强调每次实验的结果发生的概率相同，可认为是“有放回抽样”．本题中，“若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人”，特别强调人数很多，意味着实验可以看做是“有放回抽样”，所以是一个二项分布；（2）本题明确要求“以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据”，其意思是：用频率来代替概率，即16个人中每个人的体重超过60公斤的概率是 105=168，也是说，全省每个学生的体重超过60公斤的概率为5 8 ．【正解】（1）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为321,,p p p ，则由条件可得： 21 31 1 2323(0.0370.013)51 p p p p p p p =?? =??++++?=?，解得，1230.125,0.25,0.375.p p p ===又因为212 0.25p n == ，故48=．（2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为35 (0.0370.013)58 p p =++?= ，故X 服从二项分布，()335388k k k P X k C -????== ? ????? ∴随机变量X 的分布列为： 则271352251251501235125125125128EX =? +?+?+?=，或515388 EX np ==?=．【巩固练习2】盒子里装有大小相同的个球，其中个号球，个号球，个号球． （1）若第一次从盒中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是的概率；（2）若从盒中一次取出个球，记取到球的号码和为随机变量X ，求X 的分布列及期望．【答案】记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是”为事件A ，则3223123()88886416 P A = ?+?==（Ⅱ）X 可能取的值是6 ,5,4,3,223283(2)28C P X C ===，11 332 89 (3)28 C C P X C ===，112323289(4)28C C C P X C +===，11322863(5)2814C C P X C ====， 2 2281 (6)28 C P X C ===∴X 的分布列为： X P 28 3928 928 314 128 X 0123 P 27512135512225512125512

高中数学提分宝典：如何正确使用错题本

高中数学提分宝典：如何正确使用错题本错题本很重要，错题本利用好了学习成绩提高自然而然，那么，如何正确使用错题本？今天，学习网小编为大家整理了相关内容，非常实用，赶紧看看吧。进入高三，面对紧张的复习备考，如何提高学习效率，是高三生最关心的问题。很多高考过来人传授自己在高三的学习经验，都会提到错题本。究竟如何利用错题本呢？小编建议，高三生建立错题本后，应该经常翻看，并拓展其功能。某高三学生小陈在数学错题本上这样写道此题属于运算错误。错题旁边还注明在数学考试中，答选择题要注意答题技巧，比如有的题可以用特殊值法、排除法、代入验证法等。做大题时，要多注意答题的规范性........部分高考过来人介绍，他们在高三复习中一个最重要的法宝就是建立错题本，这一也是很多老师所推崇的。错题本中不仅包括了在平时复习、练习、测验、模考中容易犯错的典型习题及解题思路，还可涵盖在课外辅导资料中搜集到的经典题目。因此，错题本是对知识的梳理，是重点尤其是难点、精点的集合。据了解，高三一年，学生要经历大大小小的很多考试，错题本是必不可少的好帮手。在学习中，同学们可把自己做过的作业、习题、试卷中的错题抄在上面，以备日后随时查找自己的知识漏洞。因此，错题本也可使学习更有针对性，有助于提高学习效率。但是，这个错题本到底应该怎么用才有效率，不少考生还没找到正确的。同学们建立了错题本，就要充分地利用好它。最好用活页本分学科将每次习题、测验和考试的错题抄录下来，并把正确的答案记录在下面。错题记录下来后，一定要经常阅读、翻看，以加深记忆。不能只把错误记下来就不管了。另外，同学们还应就一道错题拓展出更多功能，如分析并标注出该错误是概念错

我的错题本之高中数学易错类型分析及应对策略上：易错

易错类型三运算错误 《普通高中数学课程标准》对运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简洁的计算途径；能够根据要求对数据进行估计和近似计算.很多学生看到错误之后只是说“自己又做错了”，但并没有很好地分析原因，同时也没有采取有效的措施来减少计算错误对解题的影响.高中阶段的学习中，学生计算错误的原因主要有以下几点： 1.缺少对解题策略的比较和选择 对于这类错误要加强对一个错误题目的认识的思维导图，把它涉及到的知识，涉及到的解决方法都全面归纳和思考.从不同角度认识问题，并比较每种解法的优劣，思考在何种情况下采取何种变形，避免会解但解不对，会解来不及解得无奈. 2.缺少对概念的本原性的认识 对于这类错误：主要原因在于对基本的概念的理解没有抓住其本质，导致理解出现偏差，计算固然就会走弯路，最后结果呈现错误.所以学生在平时学习时一定要弄清知识的概念，本质. 3.缺少对图像的直观性的充分利用 对于这类错误：学生在做题时，对式子的运算关注得较多，对图形如何呈现，以及呈现出的图形对不对，关心得很少.特别是面对复杂运算时，学生无法打开思路，要引导学生在较短时间内突破思路.所以学生在学习新问题时要有意识的用图形的思想进行解决. 4.缺少对相似问题的背景的区分 如果没有对相似问题背景的深入研究，那么遇到一种模型也很难进行识别.所以学生要经常性的对易错点的背景和形式进行变式训练，加强学生的辨认和联系.

5.类比计算中缺少对类的思考 例1函数()33f x ax x ＝－在(1,1)-上为单调减函数，则a 的取值范围是________． 【错解】｛1｝，()2'3f x ax ＝3－，由已知得'(1)0,1'(1)0 f a f =?∴=?-=?. 【反思】 若f (x )的单调减区间为m ，n ]，则在x ＝m (x ＝n )两侧函数值异号，f ′(m )＝0(f ′(n )＝0)；若f (x )在区间m ，n ]上单调递减，则f ′(x )≤0在m ，n ]上恒成立．要对概念的本原性的认识清楚. 【针对训练】【河北省正定中学2015-2016学年高三第一学期期末考试】设向量，是相互垂直的单位向量，向量+λ与2-垂直，则实数=λ________. 【答案】2 【解析】由题意1a b ==，0a b ?=，又()(2)0a b a b λ+?-=，即 22(12)20a a b b λλ+-?-=，所以20λ-=，2λ=． 例2 【浙江省效实中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题】异面直线,a b 所成的角为，过空间中定点P ，与,a b 都成60?角的直线有四条，则的取值范围是 ． 【错解】 将异面直线b a ,平移使它们相交点O ，如图平移后的直线分别用CD AB ,表示，作 ABCD SO 平面⊥,则θ=∠BOC ,满足与,a b 都成60?角的直线有四条，所以必须在区域 SOAB,SOBC,SOCD,SOAD 内各有一条直线与AC,BD 成60°角，当0 60<θ时，在区域SOAB 没有满足条件的直线，当060=θ，在区域SOAB 满足条件的直线只能在平面ABCD 内，此时只能有 3条，所以060>θ，所以的取值范围是)180,0(00. 【剖析】没有注意到两直线所成角的范围是(]0090,0.