当前位置：文档视界 › 双曲线知识点总结及练习题

双曲线知识点总结及练习题

一、双曲线的定义

1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a ＜|F 1F 2|。

当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；

当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两边之差小于第三边

当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2c

a ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动

点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的标准方程（2

22a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）

焦点在x 轴上：122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）

焦点在y 轴上：122

22=-b

x a y （a ＞0，b ＞0）

（1）如果2

x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2

y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。 a 不一定大于b 。判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的

符号，焦点在系数正的那条轴上

（2）与双曲线122

22=-b

y a x 共焦点的双曲线系方程是1222

2=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：

1(0)x y mn m n

-=> 三、双曲线的性质

四、双曲线的参数方程：

sec tan x a y b θθ=??

=?? 椭圆为cos sin x a y b θ

θ=?? =??

五、弦长公式

2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长a

b AB 2

2||=。

3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解六、焦半径公式

双曲线122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）上有一动点00(,)M x y

左焦半径：r=│ex+a │ 右焦半径：r=│ex-a │

当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+ 当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex a =- 左支上绝对值加-号，右支上不用变化

双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）构成满足

注：焦半径公式是关于0x 的一次函数，具有单调性，当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =-，

2||MF c a =+，当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+，2||MF c a =-

七、等轴双曲线

222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）当a b =时称双曲线为等轴双曲线 1。 a b =； 2。离心率2=

e ；

3。两渐近线互相垂直，分别为y=x ±； 4。等轴双曲线的方程λ=-2

y x ，0λ≠；八、共轭双曲线

互为共轭双曲线。

与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. 九、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系

1、点与双曲线

点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?-> 代值验证，如22

1x y -=

点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的外部2200221x y a b ?-<

点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b

2、直线与双曲线代数法：

设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122

22>>=-b a b y a x 联立解得

02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b

（1）0m =时，b b

k a a

<<，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）

； b k a ≥，b

k a

≤-，或k 不存在时，直线与双曲线没有交点；

（2）0m ≠时，

k 存在时，若0222=-k a b ，a

k ±

=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；相交

若222

0b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ?=-----222222

4()a b m b a k =+-

0?>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0?<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；

0?=时2

0m b a k +-=，22

m b k a +=

直线与双曲线有一个交点；相切 k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点；

m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；

十、双曲线与渐近线的关系

1、若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>?渐近线方程：22220x y a b -=?x a

y ±=

a ＞0，

b ＞0）?渐近线方程：22220y x a b -= a

y x b

=±

3、若渐近线方程为x a

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22

b y a x , 0λ≠。

4、若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点在x 轴上，

0<λ，焦点在y 轴上）

十一、双曲线与切线方程

1、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y

a b

-=。

2、过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y

a b -=。

3、双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222

A a

B b c -=。

椭圆与双曲线共同点归纳

十二、顶点连线斜率

双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K 时得到不同的曲线。椭圆参照选修2-1P41，双曲线参照选修2-1P55。

1、A 、B 两点在X 轴上时

2、A 、B 两点在Y 轴上时

十三、面积公式

解：在12PF F ?中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得

222

1212

cos 2PF PF F F PF PF α+-=

?222

1212

(2)2r r c r r +-=

? 22121212()242r r r r c r r -+-=22

1212(2)242a r r c r r +-=

2212122()r r c a r r --=

1212

2r r b

r r -=

∴2

1212cos 2r r r r b α=-

即2

1221cos b r r α

=-，

∴12

212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα?==??-2sin 1cos b αα=-=2cot 2

b α．

解：在12PF F ?中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得

1212

cos 2PF PF F F PF PF α+-=

?222

1212

(2)2r r c r r +-=

22121212()242r r r r c r r +--=22

1212(2)242a r r c r r --=

2212124()22a c r r r r --=212

122b r r r r -=

∴21212cos 2r r b r r α=-

即2

1221cos b r r α

=+，

图3

图1

∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα?==??+2sin 1cos b αα=+=2tan 2

b α．

十四、(双曲线中点弦的斜率公式)：

设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b -=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有2

2AB OM b k k a

证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212

y y k x x -=-，22

1122

2222

11x y a b x y a b ?-=????-=?? 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：22

1222

212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a

+-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OM

y y y y k x x x x +===+，所以2

2AB OM b k k a

?= 椭圆中线弦斜率公式2

2AB OM

b k k a

?=-

双曲线基础题

1．双曲线2x 2

－y 2

＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．42

2．设集合P ＝?

???

?x ，y ???

－y 2＝1

，Q ＝{(x ，y )|x －2y ＋1＝0}，记A ＝P ∩Q ，则集合A 中元素的个数是( )

A ．3

B ．1

C ．2

D ．4

3．双曲线x 216－y 2

＝1的焦点到渐近线的距离为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

4．双曲线y 27－x 2

＝1的共轭双曲线的离心率是________．

能力提升

5．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )

6．设双曲线x 2a 2－y 2

＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

7．从x 2m －y 2

＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一

个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )

8．双曲线y 26－x 2

＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2

(r >0)相切，则r ＝( )

B ．3

C ．4

D ．6

图K51－1

9．如图K51－1，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝2AD ，设∠DAB ＝θ，θ∈?

????0，π2，以A 、B

为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C 、D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，则e 1·e 2＝________.

10．已知双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的

右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．

11．已知双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，它的一个焦点为F (6,0)，则

双曲线的方程为________．

12．(13分)双曲线C 与椭圆

x 227＋y 2

＝1有相同焦点，且经过点(15，4)． (1)求双曲线C 的方程；

(2)若F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝120°，求△F 1PF 2的面积．

难点突破

13．(1)(6分) 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2

2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a ，

b ，m 为边长的三角形是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D．锐角三角形或钝角三角形

(2)(6分) 已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )

A．2 B．4 C．6 D．8

双曲线综合训练

一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）

1．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（）

A ．双曲线

B ．双曲线的一支

C ．两条射线

D ．一条射线

2．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．3

3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠2

1π

=Q PF ，则双曲线的离心

率e 等于（）

A ．12-

B ．2

C ．12+

D ．22+

4．双曲线2

1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（）

A ．14

B ．4-

C ．4

D ．

5．双曲线)0,(122

22>=-b a b

y a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为该双曲线在第一象限的点，△PF 1F 2

面积为1，且,2tan ,2

tan 1221-=∠=

∠F PF F PF 则该双曲线的方程为（） A ．1351222

=-y x B ．1312522

=-y x C ．15

1232

=-y x D ．112

532

2=-y x 6．若1F 、2F 为双曲线122

22=-b

y a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M 在双

曲线的右准线上，且满足,

1OM OF F ==λ)0(>λ，则该双曲线的离心率为（）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．3

7．如果方程22

1x y p q

+=-表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是（）

A ．22

12x y q p q +=+

B ． 22

12x y q p p

+=-+

C ．

12x y p q q

+=+ D ． 22

12x y p q q

+=-+

二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）

8．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

9．若曲线

141x y k k

+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是。 10．若双曲线

142

2=-m

y x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是_________．三、解答题：（本大题共2小题，满分30分）

11. （本小题满分10分）双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。

12．（本小题满分20分）已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）。（1）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；

（2）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.

【基础热身】

1．C [解析] 双曲线方程可化为x 24－y 2

＝1，所以a 2

＝4，得a ＝2，所以2a ＝4.故实轴长为4.

2．B [解析] 由于直线x －2y ＋1＝0与双曲线x 24－y 2＝1的渐近线y ＝1

x 平行，所以直线与双曲线

只有一个交点，所以集合A 中只有一个元素．故选B.

3．B [解析] 双曲线x 216－y 2

＝1的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是3x －4y ＝0，由点到直线的距离

公式可得d ＝|3×5－0|

＝3.故选B.

[解析] 双曲线y 27－x 29＝1的共轭双曲线是x 29－y 2

＝1，所以a ＝3，b ＝7，所以c ＝4，所以离心率

e ＝43

【能力提升】

5．D [解析] 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y ＝±b

x ，因为点

(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12.根据c 2＝a 2＋b 2，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2

＝54，所以e ＝52，故选D.

6．C [解析] 根据双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程得：y ＝±3

x ，即ay ±3x ＝0.又已知双曲线的渐

近线方程为3x ±2y ＝0且a >0，所以有a ＝2，故选C.

7．B [解析] 若方程表示圆锥曲线，则数组(m ，n )只有7种：(2，－1)，(3，－1)，(－1，－1)，

(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，其中后4种对应的方程表示焦点在x 轴上的双曲线，所以概率为P ＝4

故选B.

8．A [解析] 双曲线的渐近线为y ＝±2x ，圆心为(3,0)，所以半径r ＝|±2×3－0|

＝ 6.故选

9．1 [解析] 作DM ⊥AB 于M ，连接BD ，设AB ＝2，则DM ＝sin θ，在Rt △BMD 中，由勾股定理得BD ＝5－4cos θ，所以

e 1＝|AB |||BD |－|AD ||＝2

5－4cos θ－1

，

e 2＝

|CD ||AC |＋|AD |＝2－2cos θ

5－4cos θ＋1

，所以e 1·e 2＝1.

10．[2，＋∞) [解析] 依题意，双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是[60°，90°)，所以b a

≥tan60°＝3，即b 2

≥3a 2

，c 2

≥4a 2

，所以e ≥2.

－y 227＝1 [解析] b

a ＝3，即

b ＝3a ，而

c ＝6，所以b 2＝3a 2＝3(36－b 2)，得b 2＝27，a 2

＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 2

＝1.

12．[解答] (1)椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．

设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b

2＝1，则a 2＋b 2＝32

＝9.①

又双曲线经过点(15，4)，所以

16a 2－15

2＝1，②

解①②得a 2

＝4，b 2

＝5或a 2

＝36，b 2

＝－27(舍去)，所以所求双曲线C 的方程为y 24－x 2

＝1.

(2)由双曲线C 的方程，知a ＝2，b ＝5，c ＝3. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|m －n |＝2a ＝4，

平方得m 2－2mn ＋n 2

＝16.①

在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos120°＝m 2＋n 2

＋mn ＝36.②

由①②得mn ＝20

，

所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn sin120°＝53

【难点突破】

13．(1)B (2)B [解析] (1)依题意有a 2＋b 2a ·m 2－b 2m

＝1，化简整理得a 2＋b 2＝m 2

，故选B.

(2)在△F 1PF 2中，由余弦定理得，

cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|

2|PF 1|·|PF 2|

，

＝|PF 1|－|PF 2|2－|F 1F 2|2

＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|

，

＝4a 2－4c 22|PF 1|·|PF 2|＋1＝－4b 22|PF 1|·|PF 2|

＋1. 因为b ＝1，所以|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.

一、选择题

1．D 2,2PM PN MN -==而，P ∴在线段MN 的延长线上

2．

C 22222

22,2,2,a c c c a e e c a

=====3．C Δ12PF F

是等腰直角三角形，21212,PF F F c PF ===

122,22,1c PF PF a c a e a -=-==

== 4．A.

5． A 【思路分析】：设),(00y x p ，则

1,2,2100000==-=+cy c

x y

c x y ，

∴ 3

32,635,2300===

y x c 【命题分析】：考察圆锥曲线的相关运算

6． C 【思路分析】：由PM O F =1知四边形OMP F 1

是平行四边形，又λ=

知OP 平分OM F 1∠，即OMP F 1是菱形，设c OF =1，则c PF =1.

又a PF PF 212=-，∴c a PF +=22，由双曲线的第二定义知：12

2+=+=

c c a e ,且1>e ，∴2=e ，故选C .

【命题分析】：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性.

7．D ．由题意知,0pq >.若0,0p q >>,则双曲线的焦点在y 轴上,而在选择支A,C 中,椭圆的焦点都

在x 轴上,而选择支B,D 不表示椭圆;

若0,0p q <<,选择支A,C 不表示椭圆,双曲线的半焦距平方2

c p q =--,双曲线的焦点在x 轴上,选择支D 的方程符合题意.

二、填空题

8．

1205

x y -=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠，焦距2210,25c c == 当0λ>时，

1,25,204

x y λ

λλλ

==；

当0λ<时，

21,()25,2044

y x λλλλλ-=-+-==--- 9．(,4)(1,)-∞-+∞U (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或.

10．

(

渐近线方程为2

y x =±

，得3,m c ==x 轴上. 三、解答题

11．解：由共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，可设椭圆方程为22

125y x a a +=-；双曲线方程为2222125y x b b +=-，点(3,4)P 在椭圆上，2

1691,4025

a a a +==- 双曲线的过点(3,4)P

的渐近线为y x =

，即243,16b =

所以椭圆方程为

2214015y x +=；双曲线方程为22

1169

y x += 12．（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22a x +122

y )0(>>b a ，其半焦距6=c 。

||||221PF PF a +=56212112222=+++=， ∴=a 53， 936452

=-=-=c a b ，故所求椭圆的标准方程为452x +

=y ；（2）点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）关于直线y ＝x 的对称点分别为：

)5,2(P '、'1F （0，-6）、'2F （0，6）设所求双曲线的标准方程为

2a x -

2=b y )0,0(11>>b a ，由题意知半焦距61=c ，

|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=， ∴=1a 52，

1620362

1=-=-=a c b ，故所求双曲线的标准方程为202y -116

=x .

双曲线知识点复习总结

双曲线知识点总结复习 1.双曲线的定义：（1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222 c a b =+），焦点在y 轴上时2 222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为： 22 1(0)x y mn m n -=>这样设的好处是为了计算方便。（2）等轴双曲线：（注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。）例一：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。）思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线？ 2.双曲线的几何性质：（1）双曲线（以）（0,01-22 22>>=b a b y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±；⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通径22b a （2）渐近线：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为：等轴双曲线的渐近线方程为：，离心率为：（注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图）例二：方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________ 例四：双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________

高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴关于x 轴、y 轴及原点对称关于ｘ轴、y 轴及原点对称准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关系 222c a b =+ 考点题型一求双曲线的标准方程１、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。（1）虚轴长为12,离心率为 54 ; （2）焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）；（3）与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y

解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。（2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +,

重点高中化学选修五知识点全汇总

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

备战高中：梳理选修五知识点结构相似，在分子组成上相差一个或若干个CH2原子团的物质物质。同系物的判断要点： 1、通式相同，但通式相同不一定是同系物。 2、组成元素种类必须相同 3、结构相似指具有相似的原子连接方式，相同的官能团类别和数目。结构相似不一定完全相同，如CH3CH2CH3和(CH3)4C，前者无支链，后者有支链仍为同系物。 4、在分子组成上必须相差一个或几个CH2原子团，但通式相同组成上相差一个或几个CH2原子团不一定是同系物，如CH3CH2Br和 CH3CH2CH2Cl都是卤代烃，且组成相差一个CH2原子团，但不是同系物。（马上点标题下蓝字"高中化学"关注可获取更多学习方法、干货！） 5、同分异构体之间不是同系物。二、同分异构体化合物具有相同的分子式，但具有不同结构的现象叫做同分异构现象。具有同分异构现象的化合物互称同分异构体。 1、同分异构体的种类：

⑴碳链异构：指碳原子之间连接成不同的链状或环状结构而造成的异构。如C5H12有三种同分异构体，即正戊烷、异戊烷和新戊烷。 ⑵位置异构：指官能团或取代基在在碳链上的位置不同而造成的异构。如1—丁烯与2—丁烯、1—丙醇与2—丙醇、邻二甲苯与间二甲苯及对二甲苯。 ⑶异类异构：指官能团不同而造成的异构，也叫官能团异构。如1—丁炔与1，3—丁二烯、丙烯与环丙烷、乙醇与甲醚、丙醛与丙酮、乙酸与甲酸甲酯、葡萄糖与果糖、蔗糖与麦芽糖等。 ⑷其他异构方式：如顺反异构、对映异构（也叫做镜像异构或手性异构）等，在中学阶段的信息题中屡有涉及。各类有机物异构体情况：

双曲线知识点归纳总结

双曲线知识点归纳总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

第二章 2.3 双曲线

① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上；当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。若2a =2c 时，即2121F F MF MF =-,当2 12 1F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线；若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2 AB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在y 轴上；当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

人教版高中化学知识点详细总结(很全面)

高中化学重要知识点详细总结一、俗名无机部分：纯碱、苏打、天然碱、口碱：Ｎa2CO3小苏打：NaHCO3大苏打：Na2S2O3石膏（生石膏）：CaSO4.2H2O 熟石膏：2CaSO4·.H2O 莹石：CaF2重晶石：BaSO4（无毒）碳铵：NH4HCO3 石灰石、大理石：CaCO3生石灰：CaO 食盐：NaCl 熟石灰、消石灰：Ca(OH)2芒硝：Na2SO4·7H2O (缓泻剂) 烧碱、火碱、苛性钠：NaOH 绿矾：FaSO4·7H2O 干冰：CO2明矾：KAl (SO4)2·12H2O 漂白粉：Ca (ClO)2、CaCl2（混和物）泻盐：MgSO4·7H2O 胆矾、蓝矾：CuSO4·5H2O 双氧水：H2O2皓矾：ZnSO4·7H2O 硅石、石英：SiO2刚玉：Al2O3 水玻璃、泡花碱、矿物胶：Na2SiO3铁红、铁矿：Fe2O3磁铁矿：Fe3O4黄铁矿、硫铁矿：FeS2铜绿、孔雀石：Cu2 (OH)2CO3菱铁矿：FeCO3赤铜矿：Cu2O 波尔多液：Ca (OH)2和CuSO4石硫合剂：Ca (OH)2和S 玻璃的主要成分：Na2SiO3、CaSiO3、SiO2过磷酸钙（主要成分）：Ca (H2PO4)2和CaSO4重过磷酸钙（主要成分）：Ca (H2PO4)2天然气、沼气、坑气（主要成分）：CH4水煤气：CO和H2硫酸亚铁铵（淡蓝绿色）：Fe (NH4)2 (SO4)2溶于水后呈淡绿色光化学烟雾：NO2在光照下产生的一种有毒气体王水：浓HNO3与浓HCl按体积比1：3混合而成。铝热剂：Al + Fe2O3或其它氧化物。尿素：CO（NH2) 2 有机部分：氯仿：CHCl3电石：CaC2电石气：C2H2 (乙炔) TNT：三硝基甲苯酒精、乙醇：C2H5OH 氟氯烃：是良好的制冷剂，有毒，但破坏O3层。醋酸：冰醋酸、食醋CH3COOH 裂解气成分（石油裂化）：烯烃、烷烃、炔烃、H2S、CO2、CO等。甘油、丙三醇：C3H8O3 焦炉气成分（煤干馏）：H2、CH4、乙烯、CO等。石炭酸：苯酚蚁醛：甲醛HCHO 福尔马林：35%—40%的甲醛水溶液蚁酸：甲酸HCOOH 葡萄糖：C6H12O6果糖：C6H12O6蔗糖：C12H22O11麦芽糖：C12H22O11淀粉：（C6H10O5）n 硬脂酸：C17H35COOH 油酸：C17H33COOH 软脂酸：C15H31COOH 草酸：乙二酸HOOC—COOH 使蓝墨水褪色，强酸性，受热分解成CO2和水，使KMnO4酸性溶液褪色。二、颜色铁：铁粉是黑色的；一整块的固体铁是银白色的。Fe2+——浅绿色Fe3O4——黑色晶体 Fe(OH)2——白色沉淀Fe3+——黄色Fe (OH)3——红褐色沉淀Fe (SCN)3——血红色溶液FeO——黑色的粉末Fe (NH4)2(SO4)2——淡蓝绿色Fe2O3——红棕色粉末FeS——黑色固体铜：单质是紫红色Cu2+——蓝色CuO——黑色Cu2O——红色CuSO4（无水）—白色CuSO4·5H2O——蓝色Cu2(OH)2CO3—绿色Cu(OH)2——蓝色[Cu(NH3)4]SO4——深蓝色溶液 BaSO4、BaCO3、Ag2CO3、CaCO3、AgCl 、Mg (OH)2、三溴苯酚均是白色沉淀 Al(OH)3白色絮状沉淀H4SiO4（原硅酸）白色胶状沉淀 Cl2、氯水——黄绿色F2——淡黄绿色气体Br2——深红棕色液体I2——紫黑色固体 HF、HCl、HBr、HI均为无色气体，在空气中均形成白雾 CCl4——无色的液体，密度大于水，与水不互溶KMnO4--——紫色MnO4-——紫色 Na2O2—淡黄色固体Ag3PO4—黄色沉淀S—黄色固体AgBr—浅黄色沉淀 AgI—黄色沉淀O3—淡蓝色气体SO2—无色，有剌激性气味、有毒的气体 SO3—无色固体（沸点44.8 0C）品红溶液——红色氢氟酸：HF——腐蚀玻璃 N2O4、NO——无色气体NO2——红棕色气体NH3——无色、有剌激性气味气体三、现象： 1、铝片与盐酸反应是放热的，Ba(OH)2与NH4Cl反应是吸热的； 2、Na与H2O（放有酚酞）反应，熔化、浮于水面、转动、有气体放出；(熔、浮、游、嘶、红) 3、焰色反应：Na 黄色、K紫色（透过蓝色的钴玻璃）、Cu 绿色、Ca砖红、Na+（黄色）、K+（紫色）。 4、Cu丝在Cl2中燃烧产生棕色的烟； 5、H2在Cl2中燃烧是苍白色的火焰； 6、Na在Cl2中燃烧产生大量的白烟； 7、P在Cl2中燃烧产生大量的白色烟雾； 8、SO2通入品红溶液先褪色，加热后恢复原色； 9、NH3与HCl相遇产生大量的白烟；10、铝箔在氧气中激烈燃烧产生刺眼的白光； 11、镁条在空气中燃烧产生刺眼白光，在CO2中燃烧

双曲线知识点复习总结

双曲线知识点总结复习 1. 双曲线的定义：（1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222 c a b =+），焦点在y 轴上时2 222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为： 22 1(0)x y mn m n -=>这样设的好处是为了计算方便。（2）等轴双曲线：（注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。）例一：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。）思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线 2. 双曲线的几何性质：（1）双曲线（以）（0,01-22 22>>=b a b y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a = ，双曲线?1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通径22b a （2）渐近线：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为：

等轴双曲线的渐近线方程为：，离心率为：（注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图）例二：方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________ 例四：双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________

最全高一化学知识点总结5篇

最全高一化学知识点总结5篇高一化学很多同学的噩梦，知识点众多而且杂，对于高一的新生们很不友好，建议同学们通过总结知识点的方法来学习化学，这样可以提高学习效率。高一化学知识点总结1 1.原子定义原子：化学变化中的最小微粒。 (1)原子也是构成物质的一种微粒。例如少数非金属单质(金刚石、石墨等);金属单质(如铁、汞等);稀有气体等。 (2)原子也不断地运动着;原子虽很小但也有一定质量。对于原子的认识远在公元前5世纪提出了有关原子的观念。但没有科学实验作依据，直到19世纪初，化学家道尔顿根据实验事实和严格的逻辑推导，在1803年提出了科学的原子论。 2.分子是保持物质化学性质的最小粒子。 (1)构成物质的每一个分子与该物质的化学性质是一致的，分子只能保持物质的化学性质，不保持物质的物理性质。因物质的物理性质，如颜色、状态等，都是宏观现象，是该物质的大量分子聚集后所表现的属性，并不是单个分子所能保持的。 (2)最小;不是绝对意义上的最小，而是;保持物质化学性质的最小;

3.分子的性质 (1)分子质量和体积都很小。 (2)分子总是在不断运动着的。温度升高，分子运动速度加快，如阳光下湿衣物干得快。 (3)分子之间有间隔。一般说来，气体的分子之间间隔距离较大，液体和固体的分子之间的距离较小。气体比液体和固体容易压缩，不同液体混合后的总体积小于二者的原体积之和，都说明分子之间有间隔。 (4)同种物质的分子性质相同，不同种物质的分子性质不同。我们都有这样的生活体验：若口渴了，可以喝水解渴，同时吃几块冰块也可以解渴，这就说明：水和冰都具有相同的性质，因为水和冰都是由水分子构成的，同种物质的分子，性质是相同的。 4.原子的构成质子：1个质子带1个单位正电荷原子核(+) 中子：不带电原子不带电电子：1个电子带1个单位负电荷 5.原子与分子的异同分子原子区别在化学反应中可再分，构成分子中的原子重新组合成新物质的分子在化学反应中不可再分，化学反应前后并没有变成其它原子相似点 (1)都是构成物质的基本粒子 (2)质量、体积都非常小，彼此间均有一定间隔，处于永恒的运

双曲线知识点归纳总结

第二章 2.3 双曲线

右延伸的一条射线；当2 112 F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线；若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2πAB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01φπB A ，双曲线的焦点在y 轴上；当01 ,01πφB A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 6. 离心率与渐近线之间的关系 22 2 22222 1a b a b a a c e +=+== 1）2 1?? ? ??+=a b e 2） 12-=e a b 7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. (4)与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22 22b y a x 0(≠λ

双曲线知识点总结 (1)

双曲线知识点知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： 1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1 、F 2 为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F 1 F 2 的垂直平分线。标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点

轴长实轴长 =，虚轴长= 离心率渐近线方程 1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长 a b2 2 2.等轴双曲线 :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为 3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） 4.焦点三角形的面积 2 cot 2 2 1 θ b S F PF = ? ，其中 2 1 PF F ∠ = θ 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0 (1 2 2< = +mn ny mx 7. 椭圆双曲线根据|MF 1 |+|MF 2 |=2a 根据|MF 1 |－|MF 2 |=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）

(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要： 1、椭圆：（1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为：； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心率用集合表示为：；（2）标准方程和性质：

注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。（3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线：（1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。用集合表示为：

（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。

4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为：（2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；

二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。

双曲线知识点归纳总结

第二章 2.3 双曲线双曲线标准方程（焦点在x轴） )0 ,0 (1 2 2 2 2 > > = -b a b y a x 标准方程（焦点在y轴） )0 ,0 (1 2 2 2 2 > > = -b a b x a y 定义第一定义：平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离的差的绝对值是常数（小于 12 F F）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 {}a MF MF M2 2 1 = -()21 2F F a< 第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1 e>时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 e（1 e>）叫做双曲线的离心率。范围x a ≥，y R ∈y a ≥，x R ∈ 对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b 对称中心原点(0,0) O x y P 1 F 2 F x y P x y P 1 F 2 F x y x y P 1 F 2 F x y x y P 1 F 2 F x y P

焦点坐标 1 (,0) F c- 2 (,0) F c 1 (0,) F c- 2 (0,) F c 焦点在实轴上，22 c a b =+；焦距： 12 2 F F c = 顶点坐标（a -,0） (a,0) (0, a -,) (0，a) 离心率e a c e( =>1) 准线方程 c a x 2 ± = c a y 2 ± = 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： c a2 2 顶点到准线的距离顶点 1 A（ 2 A）到准线 1 l（ 2 l）的距离为 c a a 2 - 顶点 1 A（ 2 A）到准线 2 l（ 1 l）的距离为a c a + 2 焦点到准线的距离焦点 1 F（ 2 F）到准线 1 l（ 2 l）的距离为 c a c 2 - 焦点 1 F（ 2 F）到准线 2 l（ 1 l）的距离为c c a + 2 渐近线方程 x a b y± =x b a y± = 共渐近线的双曲线系方程 k b y a x = - 2 2 2 2 （0 k≠）k b x a y = - 2 2 2 2 （0 k≠） ①当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点M在双曲线右支上；当a MF MF2 1 2 = -时，则表示点M在双曲线左支上； ②注意定义中的“（小于 12 F F）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。若2a=2c时，即 2 1 2 1 F F MF MF= -,当21 2 1 F F MF MF= -，动点轨迹是以2F为端点向右延伸的一条射线；当 2 1 1 2 F F MF MF= -时，动点轨迹是以1F为端点向左延伸的一条射线；

经典双曲线知识点

双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质. 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线. 知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、― y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。

人教版高一化学必修一知识点超全总结

化学必修1知识点第一章从实验学化学一、常见物质的分离、提纯和鉴别混合物的物理分离方法

i、蒸发和结晶蒸发是将溶液浓缩、溶剂气化或溶质以晶体析出的方法。结晶是溶质从溶液中析出晶体的过程，可以用来分离和提纯几种可溶性固体的混合物。结晶的原理是根据混合物中各成分在某种溶剂里的溶解度的不同，通过蒸发减少溶剂或降低温度使溶解度变小，从而使晶体析出。加热蒸发皿使溶液蒸发时、要用玻璃棒不断搅动溶液，防止由于局部温度过高，造成液滴飞溅。当蒸发皿中出现较多的固体时，即停止加热，例如用结晶的方法分离NaCl和KNO3混合物。

ii、蒸馏蒸馏是提纯或分离沸点不同的液体混合物的方法。用蒸馏原理进行多种混合液体的分离，叫分馏。操作时要注意： ①在蒸馏烧瓶中放少量碎瓷片，防止液体暴沸。 ②温度计水银球的位置应与支管底口下缘位于同一水平线上。 ③蒸馏烧瓶中所盛放液体不能超过其容积的2/3，也不能少于l/3。 ④冷凝管中冷却水从下口进，从上口出。 ⑤加热温度不能超过混合物中沸点最高物质的沸点，例如用分馏的方法进行石油的分馏。常见物质除杂方法

①常见气体的检验

②几种重要阳离子的检验（l）H+能使紫色石蕊试液或橙色的甲基橙试液变为红色。（2）K+用焰色反应来检验时，它的火焰呈浅紫色（通过钴玻片）。（3）Ba2+能使用稀硫酸或可溶性硫酸盐溶液产生白色BaSO4沉淀，且沉淀不溶于稀硝酸。（4）Al3+能与适量的NaOH溶液反应生成白色Al(OH)3絮状沉淀，该沉淀能溶于盐酸或过量的NaOH溶液。（5）Ag+能与稀盐酸或可溶性盐酸盐反应，生成白色AgCl沉淀，不溶于稀HNO3，但溶于氨水，生成［Ag(NH3)2］（6）NH4+铵盐（或浓溶液）与NaOH浓溶液反应，并加热，放出使湿润的红色石蓝试纸变蓝的有刺激性气味NH3气体。（7）Fe2+能与少量NaOH溶液反应，先生成白色Fe(OH)2沉淀，迅速变成灰绿色，最后变成红褐色Fe(OH)3沉淀。或向亚铁盐的溶液里加入KSCN溶液，不显红色，加入少量新制的氯水后，

双曲线知识点归纳总结.

第二章 2.3 双曲线双曲线标准方程（焦点在x 轴） )0,0(122 22>>=-b a b y a x 标准方程（焦点在y 轴） )0,0(122 22>>=-b a b x a y 定义第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 {}a MF MF M 22 1 =-()212F F a < 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e ，当1e >时，动点的轨迹是双曲线。定点F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （1e >）叫做双曲线的离心率。范围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈ 对称轴 x 轴，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b 对称中心原点(0,0)O 焦点坐标 1(,0)F c - 2(,0)F c 1(0,)F c - 2(0,)F c 焦点在实轴上，22c a b =+；焦距：122F F c = 顶点坐标（a -,0） (a ,0) (0, a -,) (0，a ) x y P 1 F 2 F x y P x y P 1F 2F x y x y P 1 F 2 F x y x y P 1F 2F x y P

离心率 e a c e (= >1) 准线方程 c a x 2 ± = c a y 2 ± = 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：c a 2 2 顶点到准线的距离顶点1A （2A ）到准线1l （2l ）的距离为c a a 2 - 顶点1 A （2A ）到准线2l （1l ）的距离为a c a +2 焦点到准线的距离焦点1F （2F ）到准线1l （2l ）的距离为c a c 2 - 焦点1F （2F ）到准线2l （1l ）的距离为c c a +2 渐近线方程 x a b y ±= x b a y ±= 共渐近线的双曲线系方程 k b y a x =-2222（0k ≠） k b x a y =-22 2 2（0k ≠） 1. 双曲线的定义 ① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上；当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。若2a =2c 时，即2 12 1F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线；若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<.

(完整版)双曲线经典知识点总结

双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0 且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， . 知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成― x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线，所以离心率。（5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是，我们把直线叫做双曲线的渐近线。注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，

2019年高二数学双曲线知识点总结

2019年高二数学双曲线知识点总结双曲线是高二数学中较难的内容，同时也是高中数学的重点。下面给高二同学带来数学双曲线知识点，希望对你有帮助。 1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减” a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。当λ>0时，λa与a同方向; 当λ<0时，λa与a反方向; 当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。 ②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积

高中有机化学知识归纳和总结(完整版)

高中有机化学知识点归纳和总结(完整版) 一、同系物结构相似，在分子组成上相差一个或若干个CH 2原子团的物质物质。同系物的判断要点： 1、通式相同，但通式相同不一定是同系物。 2、组成元素种类必须相同 3、结构相似指具有相似的原子连接方式，相同的官能团类别和数目。结构相似不一定完全相同，如CH 3CH 2CH 3和(CH 3)4C ，前者无支链，后者有支链仍为同系物。 4、在分子组成上必须相差一个或几个CH 2原子团，但通式相同组成上相差一个或几个CH 2原子团不一定是同系物，如CH 3CH 2Br 和CH 3CH 2CH 2Cl 都是卤代烃，且组成相差一个CH 2原子团，但不是同系物。 5、同分异构体之间不是同系物。二、同分异构体化合物具有相同的分子式，但具有不同结构的现象叫做同分异构现象。具有同分异构现象的化合物互称同分异构体。 1、同分异构体的种类： ⑴ 碳链异构：指碳原子之间连接成不同的链状或环状结构而造成的异构。如C 5H 12有三种同分异构体，即正戊烷、异戊烷和新戊烷。 ⑵ 位置异构：指官能团或取代基在在碳链上的位置不同而造成的异构。如1—丁烯与2—丁烯、 1—丙醇与2—丙醇、邻二甲苯与间二甲苯及对二甲苯。 ⑶ 异类异构：指官能团不同而造成的异构，也叫官能团异构。如1—丁炔与1，3—丁二烯、丙烯与环丙烷、乙醇与甲醚、丙醛与丙酮、乙酸与甲酸甲酯、葡萄糖与果糖、蔗糖与麦芽糖等。 ⑷ 其他异构方式：如顺反异构、对映异构（也叫做镜像异构或手性异构）等，在中学阶段的信息题中屡有涉及。各类有机物异构体情况： ⑴ C n H 2n +2：只能是烷烃，而且只有碳链异构。如CH 3(CH 2)3CH 3、CH 3CH(CH 3)CH 2CH 3、C(CH 3)4 ⑵ C n H 2n ：单烯烃、环烷烃。如CH 2=CHCH 2CH 3、 CH 3CH=CHCH 3、CH 2=C(CH 3)2、、 ⑶ C n H 2n -2：炔烃、二烯烃。如：CH ≡CCH 2CH 3、CH 3C ≡CCH 3、CH 2=CHCH=CH 2 ⑷ C n H 2n -6：芳香烃（苯及其同系物）、 ⑸ C n H 2n +2O ：饱和脂肪醇、醚。如：CH 3CH 2CH 2OH 、CH 3CH(OH)CH 3、CH 3OCH 2CH 3 CH 2—CH 2 CH 2—CH 2 CH 2 CH 2—CH —CH 3 CH 3 CH 3 CH 3 3 CH 3 CH 3

双曲线知识点总结及练习题

双曲线知识点复习总结

高中数学双曲线抛物线知识点总结

重点高中化学选修五知识点全汇总

双曲线知识点归纳总结

人教版高中化学知识点详细总结(很全面)

双曲线知识点复习总结

最全高一化学知识点总结5篇

双曲线知识点归纳总结

双曲线知识点总结 (1)

(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结

双曲线知识点归纳总结

经典双曲线知识点

人教版高一化学必修一知识点超全总结

双曲线知识点归纳总结.

最新最全高中化学知识总结(精心整理)

(完整版)双曲线经典知识点总结

2019年高二数学双曲线知识点总结

高中有机化学知识归纳和总结(完整版)