高一数学必修4 教案全集

1.1．1 任意角

教学目标

（一） 知识与技能目标

理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标

会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．

（三） 情感与态度目标

1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点

任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点

终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义

①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：

1．角的有关概念： ①角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：

③角的分类：

④注意：

⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？

正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角

负角：按顺时针方向旋转形成的角

顶点

A

O

例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．

⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；

答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面

终边相同的角的表示：

所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ，

k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意：

⑴ k ∈Z

⑵ α是任一角；

⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差

360°的整数倍；

⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．

例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．

答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}．

例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：

③象限角；

④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：

①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2

α

各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限，

正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角

负角：按顺时针方向旋转形成的角

∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z)

因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z) 故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角． 又k ·180°+90°＜

2

α

＜k ·180°+135°(k ∈Z) ． 当k 为偶数时，令k=2n(n ∈Z)，则n ·360°+90°＜2

α

＜n ·360°+135°(n ∈Z) ， 此时，

2

α

属于第二象限角 当k 为奇数时，令k=2n+1 (n ∈Z)，则n ·360°+270°＜2

α

＜n ·360°+315°(n ∈Z) ， 此时，2

α

属于第四象限角 因此2

α

属于第二或第四象限角．

1.1.2弧度制（一）

教学目标

（四） 知识与技能目标

理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．

（五） 过程与能力目标

能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 （六） 情感与态度目标

通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美． 教学重点

弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点

“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程

一、复习角度制：

初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的360

1

作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引 入：

由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义

我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：

（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？

（2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为

;ππ=r

r

②整圆所对的圆心角为

.22ππ=r

r

③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r

l 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：

π2360=?； π=?180；rad 01745.0180

1≈=

?π

；rad n n 180

π

=

?． ②将弧度化为角度：

?=3602π；?=180π；815730.57)180

(1'?=?≈?=πrad ；?=) 180 (π

n n ． 5．常规写法：

① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度

7．弧长公式

αα?=?=r l r

l

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度． 例2．把rad 5

3π化成度． 例3．计算：

4

sin

)1(π

；5.1tan )2(．

例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：

3

19)

1(π

；?-315)2(． 例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．

319)

1(π

；6

31)2(π-． 解: (1),6

72319π

ππ+=

而6

7π是第三象限的角,319π

∴是第三象限角.

(2) 6

31,656631π

πππ-

∴+-=- 是第二象限角. .,,2

1

6. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =

证法一:∵圆的面积为2

R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为

R,

∴扇形的圆心角大小为

R

l

rad, ∴扇形面积lR R R l S 21212=?=．

证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为360

2

R n S π?=，又此时弧长

180R n l π=，∴R l R R n S ?=??=2

1

18021π． 可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．

22

1

21:R lR S α==扇形面积公式

7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系

与区别． 8．课后作业： ①阅读教材P 6 –P 8；

②教材P 9练习第1、2、3、6题； ③教材P10面7、8题及B2、3题．

4-1.2.1任意角的三角函数（三）

教学目的：

知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、

值域有更深的理解。

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。

O R l

教学过程： 一、复习引入： 1. 三角函数的定义 2. 诱导公式

)

Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ 练习1.

.____________tan600o

的值是 D 3.D 3.C 3

3

.B 33.A --

练习2. .________,0cos sin 在则若θθθ> B

第二、四象限 第一、四象限第一、三象限

第一、二象限.D .C .B .A

练习3. ____

0sin20cos 的终边在则若 θθ<>θ，且 C

第二象限 第四象限 第三象限 第一象限.D .C .B .A

二、讲解新课：

当角的终边上一点(,)P x y

1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

1．有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义：

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点

P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为

；过点(1,0)A

延 长线交与点T .

（Ⅳ）

（Ⅲ）

由四个图看出：

当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有

sin 1y y y MP r α=

===， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA

α====

我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 说明：

（1）三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线

在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂

足；正切线由切点指向与α的终边的交点。 （3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的

为负值。

（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 4．例题分析：

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 （1）3π； （2）56π； （3）23π-； （4）136

π

-．

解：图略。

例2. .1cos sin 2

0>+<<ααπ

α，证明若

π

ππππ

π5

4

tan 32tan )(35

4

cos 32cos )(254

sin 32sin )(1.3与与与比较大小：例

)(2

1

sin ]20[.4的取值范围是的上满足，在例x x ≥π

??

??????????????????????πππππππ，，，65.D 326.C 656.B 6,0.A

例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围．

;21sin )1(-

1c o s )2(>x

答案：（1）

71122,66k x k k Z ππππ+<<+∈；

（2）22,66

k x k k Z ππ

ππ-+<<+∈； 三、巩固与练习：P17面练习

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．三角函数线的定义；

2．会画任意角的三角函数线；

3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。 五、课后作业： 作业4

参考资料

例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1? 32s i n

π与54sin π 2? 32tan π与5

4tan π 解： 如图可知：

32sin

π>54sin π tan 32π< tan 5

4π 例2．利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角

1? sin α≥

2

1

2? tan α>33

解：

30?<α<90?或210?<α<270?

补充：1．利用余弦线比较cos 64,cos 285的大小；

2．若

4

2

π

π

θ<<

，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；

3．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：

（1）cos 2θ< ； （2）tan 1θ>- ； （3）sin 2

θ>-．

4-1.2.1任意角的三角函数（1）

教学目的：

知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；

3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；

（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与

比值（函数值）的一种联系方式；

（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各

象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他

们的集合形式表示出来.

教学过程：

一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？

在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依

次为,,a b a

sinA cosA tanA c c b

=

== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，

它与原点的距离为(0)r r ==

>，那么

（1）比值y

r

叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；

（2）比值x

r

叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=；

（3）比值y

x

叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；

（4）比值x

y

叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=；

说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α

的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；

③当()2

k k Z π

απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等

于0，

所以tan y

x

α=

无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；

④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x

y

分别是一个确定的实

数，

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

2．三角函数的定义域、值域

注意：

(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合 (2) α是任意角，射线OP 是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox 转了几圈，按什么方向旋转到OP 的位置无关.

(3)sin α是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:

锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.

(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆. 3．例题分析

例1．求下列各角的四个三角函数值： （通过本例总结特殊角的三角函数值） （1）0； （2）π； （3）

32

π． 解：（1）因为当0α=时，x r =，0y =，所以

sin00=， 01cos =， tan 00=， cot 0不存在。 （2）因为当απ=时，x r =-，0y =，所以

sin 0π=， cos 1π=-， tan 0π=， cot π不存在，

（3）因为当32

π

α=时，0x =，y r =-，所以

3sin 12π=-， 3cos 02π=， 3tan 2π不存在， 3cot 02

π

=，

例2．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的四个函数值。

解：因为2,3x y ==-

，所以r =

=

sin 13y r α=

==-；

cos 13x r α===

； 3

tan 2

y x α==-； 2cot 3x y α==- ．

例3．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。

解：因为过点(,2)(0)a a a ≠

，所以|r a =， ,2x a y a ==

当

0sin 5y a r α>=

===

时，cos 5x r α=

==；

15

tan 2;cot ;sec 5;csc 22

αααα====

；

当0sin

5y a r α<====-

时，

cos

5

x r α=

==-

； 15

tan 2;cot ;sec 5;csc 22αααα===-=-． 4．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

①正弦值

y

r 对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值x

r 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；

③正切值y

x

对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 练习： 确定下列三角函数值的符号： （1）cos 250； （2）sin()4

π

-

； （3）tan(672)-； （4）11tan

3

π

． 例4．求证：若sin 0α<且tan 0α>，则角θ是第三象限角，反之也成立。 5．诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：

sin(2)sin k απα+=，

cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα+=，

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 例5．求下列三角函数的值：（1）9cos 4π， （2）11tan()6

π

-， 例6．求函数x

x

x

x y tan tan cos cos +

=

的值域 解： 定义域：cosx ≠0 ∴x 的终边不在x 轴上 又∵tanx ≠0 ∴x 的终边不在y 轴上

∴当x 是第Ⅰ象限角时，0,0>>y x cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 …………Ⅱ…………,0,0>

…………ⅢⅣ………, 0

,00

,0<><

1．任意角的三角函数的定义；2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱导公式。

五、巩固与练习

1、教材P15面练习；

2、作业P20面习题1．２A 组第1、2、3（1）（2）（3）题及P21面第9题的（1）、（3）题。

4-1.2.2同角三角函数的基本关系

教学目的：

知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联

系；

2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分

析、解决三角的思维能力；

教学重点：同角三角函数的基本关系式

教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程： 一、复习引入：

1．任意角的三角函数定义：

设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为

(0)r r ==>，那么：sin y r α=

，cos x r α=，tan y x

α=， 2．当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的？ 3．背景：如果5

3

sin =

A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值； 4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？

二、讲解新课：

（一）同角三角函数的基本关系式：

（板书课题：同角的三角函数的基本关系）

1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

（1）商数关系：α

ααcon sin tan = （2）平方关系：1sin 2

2=+ααcon 说明：

①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如2

2

sin 4cos 41αα+=等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如

tan cot 1(,)2

k k Z π

ααα?=≠

∈； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

cos α= 22sin 1cos αα=-， sin cos tan α

αα

=

等。 2．例题分析： 一、求值问题 例1．（1）已知12

sin 13

α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα． （2）已知4

cos 5

α=-，求sin ,tan αα． 解：（1）∵2

2sin

cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()13

13

αα=-=-=

又∵α是第二象限角， ∴cos 0α<，即有5

cos 13

α=-

，从而 sin 12tan cos 5ααα=

=-， 15

cot tan 12αα==-

（2）∵2

2sin

cos 1αα+=， ∴22224

3sin 1cos 1()()55

αα=-=--=，

又∵4

cos 05

α=-

<， ∴α在第二或三象限角。 当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5α=，sin 3

tan cos 4ααα==-；

当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3

tan cos 4

ααα==．

总结：

1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值

中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。

2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方

关系开平方时，漏掉了负的平方根。

例2．已知tan α为非零实数，用tan α表示sin ,cos αα． 解：∵2

2sin

cos 1αα+=，sin tan cos α

αα

=

， ∴2

2

2

2

(cos tan )cos cos (1tan )1ααααα?+=+=，即有2

21

cos 1tan αα

=

+，

又∵tan α为非零实数，∴α为象限角。

当α在第一、四象限时，即有cos 0α>

，从而cos α==，

sin tan cos ααα=?= 当α在第二、三象限时，即有cos 0α<

，从而cos α==

2tan sin tan cos 1tan αααα

=?=-+．

例3、已知α=αcos 2sin ，求ααα

αcos 2sin 5cos 4sin +-

解：2tan cos 2sin =α∴α

=α

6

1

1222tan 54tan cos 2sin 5cos 4sin -=-=+α-α=α+αα-α∴

强调（指出）技巧：1? 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式

注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以αcos ,将分子、分母转化为αtan 的代数式； 2? “化1法” 可利用平方关系1cos sin 2

2

=+αα，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关

．

αααα22cos cos sin 2sin 2-+⑵

系化归为αtan 的分式求值；

小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：

（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低； （2）尽量使分母不含三角函数式； （3）根式内的三角函数式尽量开出来；

（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形， 二、化简

练习1

解：原式

2

1sin 80==-cos80==．

练习2．)2

3( cos 1cos 1cos 1cos 1

π

θπθθθθ<<-+++-化简 三、证明恒等式

例4．求证：

cos 1sin 1sin cos x x

x x

+=

-． 证法一：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠．

∴左边=2cos (1sin )cos (1sin )(1sin )(1sin )cos x x x x x x x ++=-+1sin cos x

x

+==右边．

∴原式成立．

证法二：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠． 又∵2

2

(1sin )(1sin )1sin cos cos cos x x x x x x -+=-==?，

∴

cos 1sin 1sin cos x x

x x

+=

-． 证法三：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠．

cos 1sin 1sin cos x x x x

+-

-cos cos (1sin )(1sin )(1sin )cos x x x x x x ?-+-=-22cos 1sin 0(1sin )cos x x

x x -+==-， ∴cos 1sin 1sin cos x x x x

+=-． 总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边； （2）证明左右两边同等于同一个式子；

（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。 四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；

2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值； 五、课后作业：《习案》作业第 五 课时

参考资料

．

解：原式=

|cos40sin 40|cos40sin 40==-=-．

思考1．已知)0(51

cos sin π<θ<=

α+α，求的值。

及θ-θθ33cos sin tan 解：1? 由),2(0cos ,0,2512cos sin ππ

∈θ∴<θπ<θ<-=αα得：

由5

7cos sin ,2549)cos (sin 2

=

θ-θ=α-α得： 联立： 34tan 53cos 54sin 57cos sin 51cos sin -=θ????

???

?

??

???

-=θ=θ?=θ-θ=θ+θ

2? 125

91

)5

3()54

(cos sin 3

3

3

3

=

--=θ-θ 2、已知是第四象限角，

α+-=α+-=α,5

3

cos ,524sin m m m m 求的值。αtan 解：∵sin 2α + cos 2

α = 1 ∴1)5

3()524(22=+-++-m m m m

化简，整理得：8,00)8(21==∴=-m m m m

当m = 0时，是第四象限角不合）

与，α-=α=

α(53

cos ,54sin 当m = 8时，5

12

tan 135cos ,1312sin -=α∴=α-=α，

1．3诱导公式（一）

教学目标

（一）知识与技能目标

⑴理解正弦、余弦的诱导公式． ⑵培养学生化归、转化的能力． （二）过程与能力目标

（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．

（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． （三）情感与态度目标

通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质． 教学重点

掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式． 教学难点

运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． 教学过程 一、复习： 诱导公式（一）

tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(ααα

ααα=+?=+?=+?k k k

诱导公式（二）

tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(ααα

ααα=+?-=+?-=+?

诱导公式（三）

tan )tan(cos )cos( sin )sin(ααα

ααα-=-=--=-

诱导公式（四）

tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(ααα

ααα-=-?-=-?=-?

对于五组诱导公式的理解 ： ①可以是任意角；公式中的α ②这四组诱导公式可以概括为：

符号。

看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名

的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,,

, ),Z (2-+-∈+k k

总结为一句话：函数名不变，符号看象限 练习1：P27面作业1、2、3、4。 2：P25面的例2：化简 二、新课讲授：

1、诱导公式（五） sin )2

cos( cos )2sin(ααπ

ααπ

=-=- 2、诱导公式（六） sin )2

cos( cos )2sin(

ααπ

ααπ

-=+=+ 总结为一句话：函数正变余，符号看象限 例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：

).3

17

sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan

)1(πππ-? 练习3：求下列函数值：

).580tan )4( ,670sin )3( ),4

31sin()2( ,665cos

)1(??-ππ 例2．证明：（1）ααπ

cos )23sin(-=-

（2）ααπ

sin )2

3cos(-=-

例3．化简：.)

2

9sin()sin()3sin()cos()

211cos()2cos()cos()2sin(απ

πααπαπαπ

απαπαπ+-----++-

的值。

求：已知例)

sin(2)4cos()3sin()2cos( ,3)tan( .4απααπαπαπ-+-+--=+ 解：.3tan ,3)tan(=∴=+ααπ

.7343

32tan 4tan 32sin 4cos 3sin 2cos =-?+-=-+-=-+-=αααααα原式

小结：

①三角函数的简化过程图：

②三角函数的简化过程口诀： 负化正，正化小，化到锐角就行了.

练习4：教材P28页7． 三．课堂小结

①熟记诱导公式五、六；

②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；

③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数． 四．课后作业： ①阅读教材；

②《习案》作业七．

1．3诱导公式（二）

教学目标

（一）知识与技能目标

⑴理解正弦、余弦的诱导公式． ⑵培养学生化归、转化的能力． （二）过程与能力目标

（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．

（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． （三）情感与态度目标

通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质． 教学重点

掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式． 教学难点

运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． 教学过程 一、复习： 诱导公式（一）

tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(ααα

ααα=+?=+?=+?k k k

诱导公式（二）

tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(ααα

ααα=+?-=+?-=+?

诱导公式（三）

tan )tan(cos )cos( sin )sin(ααα

ααα-=-=--=-

诱导公式（四）

sin(π－α)=sin α cos(π －α)=－cos α tan (π－α)=－tan α 诱导公式(五)

sin )2

cos( cos )2sin(

ααπ

ααπ

=-=-

诱导公式（六）

sin )2

cos( cos )2sin(

ααπ

ααπ

-=+=+ 二、新课讲授：

练习1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：

).3

17

sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan

)1(πππ-? 练习2：求下列函数值：

).580tan )4( ,670sin )3( ),4

31sin()2( ,665cos

)1(??-ππ 例1．证明：（1）ααπ

cos )23sin(-=-

（2）ααπ

sin )2

3cos(-=-

例2．化简：.)

2

9sin()sin()3sin()cos()

211cos()2cos()cos()2sin(απ

πααπαπαπ

απαπαπ+-----++-

的值。求：已知例)

sin(2)4cos()

3sin()2cos( ,3)tan( .3απααπαπαπ-+-+--=+

解：.3tan ,3)tan(=∴=+ααπ

.73

43

32tan 4tan 32sin 4cos 3sin 2cos =-?+-=-+-=-+-=αααααα原式

例4. .)3cos(4)

3tan(3)sin(2,0cos sin ,54)sin(的值求

且已知πααππαααπα--+-<=+

小结：

①三角函数的简化过程图：

②三角函数的简化过程口诀： 负化正，正化小，化到锐角就行了. 练习3：教材P28页7． 化简:

);2cos()2sin(25sin 2cos )1(αππααππα-?-???

? ??+?

?? ??

- .)

sin()360tan()(cos )2(o 2

ααα-+--

例5. .2

73021cos ,sin 2

παπαα<<=+

-的两根，且的方程是关于已知ax x x .)

900sin()180cos()

6cos()2sin()6tan(的值求

αααπαπαπ-??--+--

三．课堂小结

①熟记诱导公式五、六；

②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；

③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数． 四．课后作业： ①阅读教材；

②《学案》P.16-P.17的双基训练.

1.4.1正弦、余弦函数的图象

教学目的：

知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的

形状；

（2）根据关系)2

sin(cos π

+

=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；

（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些

有关问题；

能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；

（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；

德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工

作精神；

教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 教学难点：作余弦函数的图象。 教学过程： 一、复习引入：

1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）

P 与原点的距离r(0222

2>+=+=

y x y

x r )

则比值r

y

叫做α的正弦 记作： r y =αsin

比值r x

叫做α的余弦 记作： r

x =αcos

3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂

线，垂足为M ，则有

MP r y ==

αsin ，OM r

x

==αcos 向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．

二、讲解新课：

1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

（1）函数y=sinx 的图象

第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.

第二步：在单位圆中画出对应于角6

,

0π，

3π，2

π

,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.

第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.

把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.

（2）余弦函数y=cosx 的图象

探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？

根据诱导公式cos sin()2

x x π

=+

,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移

2

π

单位即得余弦函数y=cosx 的图象. （课件第三页“平移曲线” ）

人教版新课标高中数学必修四 全册教案

按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2 α 各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限， 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角

新课标高一数学人教版必修1教案全集

课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。阅读课本P-P内容 23二、新课教学（一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3. 思考1：课本P的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，3对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5. 元

高中数学必修一集合的基本运算教案

数学汇总 第一章 集合与函数概念 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ?

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x

高中数学必修4第一章知识点总结及典型例题

高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一：任意角的三角函数 一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边 相同的角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ ，弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2 112 2 s lr r α==， 二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22 r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1.平方关系： 22 sin cos 1αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 , 正弦 | 余弦 [ 正切 < 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x

2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图：五点分别为： 、 、 、 、 。 3、图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数 sin()y A x ω?=+的解析式：即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。 基础练习： / 1、tan(600)-= . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ，该圆心角是1弧度，则扇形的面积= cm 2. 3、设a <0,角α的终边经过点P （－3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于 4 、函数 y =的定义域是_____ __ 5、 的结果是 。 6、函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3 x 2sin(3y π -=的图象-------（ ） （A ）向左平移个6π单位 （B ）向右平移个6π单位（C ）向左平移个3π单位 （D ）向右平移个3 π 单位 7、已知0tan ,0sin ><θθ，那么θ是 。 8.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在 9、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 π = x 对称的是（ ） 》 A ．sin(2)3π=-y x B.sin(2)6π=-y x C.sin(2)6π=+y x D.sin()23 π=+x y 10、下列函数中,周期为π的偶函数是（ ） A.cos y x = B.sin 2y x = C. tan y x = D. sin(2)2 y x π =+ 解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 第一类型：1、已知角α终边上一点P （－4，3），求) 2 9sin()211cos() sin()2cos(απαπαπαπ +---+的值

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高 中 数 学 必 修 4 教 案 1.1．1 任意角 教学目标 （一）知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三）情感与态度目标

1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

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（第1课时） 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系

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课题：§1.1 集合 1 2 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学3 的一个重要的基础。许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基4 础上。此外，集合理论的应用也变得更加广泛。 5 课型：新授课 6 课时：1课时 7 教学目标：1.知识与技能 8 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属9 于”关系； 10 （2）牢记常用的数集及其专用的记号。 11 （3）理解集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。 12 （4）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述13 法）描述不同的问题。 14 2.过程与方法 15 （1）学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过16 程，深入理解集合的含义。 17 （2）学生自己归纳本节所学的知识点。 18 3.情感态度价值观 19 使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数20 学学习的兴趣。

教学重点：集合的概念与表示方法。 教学难点：对待不同问题，表示法的恰当选择。 21 教学过程： 22 一、引入课题 23 军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试24 问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 25 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是26 高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习27 一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 28 阅读课本P 2-P 3 内容 29 二、新课教学 30 （一）集合的有关概念 31 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全32 体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个33 总体。 34 2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素35 组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。 36 3.关于集合的元素的特征 37

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高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．

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高中数学必修4知识点汇总 第一章：三角函数 1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

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第1，2课时1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角：按顺时针方向旋转形成的角

角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究： 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o

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2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数；

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第一章集合与函数概念 §1．1集合 1.1.1集合的含义与表示（第一课时） 教学目标：1.理解集合的含义。 2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。 教学重点：集合含义 教学难点：集合含义的理解 教学方法：尝试指导法 教学过程： 引入问题 （I）提出问题 问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？ 问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？ 讨论问题：按小组讨论。 归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。 复习问题 x-< 问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式73的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。（II）讲授新课 1．集合含义 通过以上实例，指出： （1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。 说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。 （2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？ 2. 集合元素的三个特征

由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征： （1） 确定性： 设A 是一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则a 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） “中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P 周围的点”一般不构成集合 元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) 若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A ，记作a ∈A ； 若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32?A.(请学生填充)。 （2） 互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素。 说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1)2 =0的解集表示为{1,-2 },而不是{ 1,1,-2 } （3）无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列，调换. 。 3.常见数集的专用符号 （III ）课堂练习 （IV ）课时小结 1.集合的含义； 2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集合的表示，无序性可用于判定集合的关系。

高一数学必修四第一章练习题库

高一数学必修4第一章复习题 一、选择题 1、与角o 315终边相同的角是（ ） A.495o B.－45o C.－135o D.450o 2、已知α为第一象限，那么 2 α是（ ） Ａ.第一象限角 Ｂ.第二象限角 Ｃ.第一或第二象限角 Ｄ.第一或第三象限角 3、已知3 tan -=α ，则αsin = （ ） A 、2 3- B 、2 1- C 、2 1± D 、2 3± 4、2 sin tan )cos(0sin πππ++-+等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.－1 5、如果点)cos 2,cos (sin θθθ P 位于第三象限，那么角θ 所在的象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、 第四象限 6、函数的最大值 2sin 2+=x y 和最小值分别为 （ ） A ．2,-2 B ．4,0 C ．2，0 D ．4，-4 7如果2 1)sin(- =+A π ，那么)2 cos( A +π的值是（ ） A 、2 1- B 、2 1 C 、2 3- D 、 2 3 8、函数x x x x x x y tan tan cos cos sin sin + + = 的值域是（ ） A ．{}3,1,0,1- B ．{}3,0,1- C ．{}3,1- D ．{}1,1- 9、已知=- =-ααααcos sin ,4 5cos sin 则（ ） A 、4 7 B 、16 9- C 、32 9- D 、32 9 10、函数 ()sin (2)2([0, ]) 6 3 f x x a x ππ=- ++∈的最大值为2，则a ＝（ ） A 、－1 B 、1 C 、－2 D 、2

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第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念、引入大于360?角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法 回忆-观察-讲解-归纳-推广. 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360 ?? ~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1．初中时，我们已学习了0360 ?? ~角的概念，它是如何定义的呢？ 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的

端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?” （即转体2周），“转体1080?”（即转体3周）等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360?的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750?；图1.1.3(2)中，正角210α?=，负角150,660βγ??=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α. 3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 如教材图1.1-4中的30?角、 210?-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一

高中数学必修一教案全套

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『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）——————————————

人教版高中数学必修四第一章单元测试(一)- Word版含答案

2018-2019学年必修四第一章训练卷 三角函数（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1 ） A ． B ． 2 3 C ． D ． 2 1 2．已知点33sin ,cos 44P ? ?ππ ??? 落在角θ的终边上，且[)0,2θ∈π，则θ的值为（ ） A ． 4 π B ． 4 3π C ． 4 5π D ． 4 7π 3．已知3tan 4α= ，3,2α?? ∈ππ ??? ，则cos α的值是（ ） A ．45 ± B ． 45 C ．45- D ．35 4．已知sin 24()5απ-=，32α?? ∈π,2π ???，则sin cos sin cos αααα+-等于（ ） A ． 1 7 B ．17 - C ．7- D ．7 5．已知函数()(2)sin f x x ?+=的图象关于直线8 x π =对称，则?可能取值是（ ） A ． 2π B ．4 π- C ． 4 π D ． 4 3π 6．若点sin cos ,t ()an P ααα-在第一象限，则在[)0,2π内α的取值范围是（ ） A ．35,,244πππ????π ? ????? B ．5,,424πππ????π ? ????? C ．353,,2442ππππ???? ? ????? D ．3,,244ππ3π????π ? ?? ? ? ? 7．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax +=的图象不可能是（ ） 8．为了得到函数sin 26y x π? ?=- ?? ?的图象，可以将函数cos2y x =的图象（ ） A ．向右平移6 π 个单位长度 B ．向右平移3 π 个单位长度 C ．向左平移 6 π 个单位长度 D ．向左平移 3 π 个单位长度 9．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数()sin 0,0,02I A x A ω?ω?π? ?=+>><< ? ? ?的图象如右图所示，则当1 100 t = 秒时，电流强度是（ ） 此 卷 只 装订 不密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

人教版新课标高中数学必修4-全册教案

高中数学必修4教案按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标 1．提高学生的推理能力； 2．培养学生 应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合 的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕 着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角 的名称：始边 B 终边③角的分类： O A 顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角④注意：⑴在不引 起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑤练习：请说出角α、β、γ各是多 少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角 分别属于第几象限角？ y y B 145° 30° x x o60 O O B 2B 3⑵ ⑴ 例2．在直 角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． 1 高中数学必修4教案⑴ 60°；⑵ 120°；⑶ 240°； ⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；答：分别为1、2、3、

高一年级数学必修一教案

高一年级数学必修一教案 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方 面，很多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所 反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体 问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：使用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，准确表示一些简单的集合；教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合实行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

二、新课教学 （一）集合的相关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体， 人们能意识到这 些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体 叫集合（set），也简 称集。 3. 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者 是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的 个体（对象），所以，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 4. 元素与集合的关系； （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A， 记作aA（或a A） 5. 常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q