流函数与势函数.docx
一、流函数
流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得
du dv
--- =—―
dx dy
平面流动的流线微分方程为吗一血" ⑵
式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即
于是
很显然，在流线上(1屮二0或屮二C。每条流线对应一个常数值, 所以称函数屮为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为:
(1)
dr dd
dy/
流函数具有明确的物固愿契：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数屮的定义中，为保证流函数变化值（1屮与流量增量值dq、同
号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这里的流
量4,.是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
通过A点的流线的流函数值屮1 ,通过B点的流线的流函数值屮2 ，则通过AB柱面的体积流量为
￥ r w 辛
q v = \V -dZ = J \u cos(n7 x) +v cos(再y)](S
A A
["字 + v(-务问二j (T -vdx)
A
B
\(1屮=屮2_屮\
A
在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也 没有涉及流体是有旋的还是无旋的。所以，无论是理想流体还是粘性流 体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动, 就存在流函数，
dv du .
----- —=0
对于xoy 平面内的无旋流动，有CO Z =0,即：去Oy
口
2 才屮 d 2
i// 门
VV=—r + —r=0
也可得
dx
创
即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和 函数。对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为
d 2u/ 1 du/ 1 d 2
u/ c
+ -- +——^=0 dr 2 r dr r 2 d02
二、速度势函数
屮】
对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知， 沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。对于无旋流
r = o
动，该封闭周线所包围的速度环量为零，有 AL \BL 2A
即
?念二
J 必?念+J = o
AL^BI^A
AL^B
BL^A
J v = J v? ds
AL^B
AL 2B
对于理想流体无旋流动，从参考点A 到另一点B 的速度线积分与点A 至 点B 的路径无关，上式中ds 表示连接点A 与点B 的任意微元曲线。也 就是说，速度线积分仅仅取决于B 点相对于A 点的位置，具有单值势函 数的特征。 由无旋流动的充要条件可知? = ? = 2 = °
因此有
A gB
上式是 皿+咧+w 力成为某-函数0(兀y z,『)的全微分 的必要且充分条件。函数0(x ，y ，z,°成为速度势函数，简称速度势。 当以t 作为参变量时，即流体作定常流动吋，速度势函数的全微分可写
=udx+ vdy+ wdz
u 輕
4
于是可以得到 dx
dz
写
成
矢
量
形
式
上式说明了速度势函数的一个昌兮坚圃：速度在笛卡尔直角坐标系 屮三个坐标轴X 、y 、7方向上的分量等于速度势函数关于相应坐标的偏 导数。
dv _ du
§p ：
dx d
y
du _ dw dz dx
dw _ dv
— 11
dy dz
翌&
+ r.J
翌
卽
+ r-z 05X 3 5
流场中有速度势
（P 存在，它关于方向S 的偏导数为：
dx dy dz =U — + V —
+ W — ds ds ds
=V cos(K,x) — +cos(K,j)—+ cos(K,z)— ds
ds
ds
=K[cos(K ?x) cos (昂 x) + cos(E, y) cos($』)+ cos(K, z) COS (J ,Z )] = 7cos/s) = K
上式中 cos (r, x) COS0
』)cos (r, z)和 COS (J ,X ) COS (J ,J )
CO 心Z )分别表示速度矢量卢和方向矢量"对于X 、y 、Z 轴的方向
余弦。
它在方向s 上的分量为Vs 。
由于
d (p _ d (jp dx d (p dy dcp dz ds dx cis dy ds dz ds
流场中任取一点M 的速度为/
，
在圆柱坐标系下，径向速度卩厂、切向速度"°、轴向速度Vz分别为:
dq>
速度势函数仅仅是一个数学上的概念，没有所对应的物理意义。
在是常流动中速度势与时间无关，仅是空间位置的函数。当不可压缩流体或可压缩流体作无旋流动时，总有速度势存在，这种流动乂被称为有势流动，即无旋流动等同于有势流动。
在有势流动中，沿曲线AB的切向速度线积分等于终点B与起点A的速
度势之差。
沿任一曲线AB切向速度的线积分「力$可写成
在有势流动中，沿任一封闭周线（A、B点重合）的速度环量为:
如果速度势是单值的和连续的，则沿任一封闭周线的速度环量等于零。对于不可压缩流体，有％/引二°,有
上式中5x2夕&2为拉普拉斯算子。
当不可压缩流体作有势流动时，速度势满足拉普
拉斯方程。满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。由于拉普拉斯方程7串二“是线性齐次方程，该方程的不同解的叠加后仍然是该方程的解。设4和卩2是调和函数，则'I% +勺? （其中5和C2为任意常数）也是调和函数。
因此，简单的调和函数可以叠加成复杂的调和函数，这为简单无旋流动的叠
加提供理论基础。
对于圆柱坐标系，拉普拉斯方程变为
吩护署右甥+黔。
应当指出的是，速度势函数满足拉普拉斯方程的前提条件是不可压缩流体的无旋流动，而并未限制流动是定常或非定常，速度势函数（P也可以是时间的函数。
三、流网
对于不可压缩流体的平面无旋流动（即有势流动），必然同时存在速度势函数（P和流函数屮。根据它们与速度分量U、V的关系，可以得到（p 和屮之间的重要关系式：
dx dy
dy dx
上式称为柯西-黎曼条件。
流函数线 屮二C1，屮=X2…等，构成一簇流线，它们和等势线 q)=K 】,(p=K2…等构成一张描述平面流动特征的网，称为流网。 流线和等势线"籤的交点为M 。在等势线"瓦上,
妇諛+辭"
僚
L
由此可得等势线的斜率为
如=陂亦也dy =
有
氐?
K1
= :c;c.
可得到等势线和流线线簇的斜率的乘积
e (p dy/
_ OX _ n
■ zz — I
dq> dip dy dy
可见，在流线与等势线在其交点处相互止交。习惯上，采用相等的流 函数增量来画流线，用相等的速度势函数增量人卩来画等势线，
由此可得流线的斜率为
dx
di//
IT
dy/
药
氐可知，流场中速度越大，则对应的流线之间及
dn
及
等势线之间的距离越小，因此，流网可以比较直观地描绘出流动的特征。
流函数与势函数
一、流函数 流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。所谓平面 流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此 平面的垂直方向上没有变化。 由不可压缩流体的平面流动的连续方程得 平面流动的流线微分方程为 式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即 于是 很显然，在流线上dψ=0或ψ=C。每条流线对应一个常数值，所以称函数ψ为流函数。 对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微 分和速度分量分别为：
流函数具有明确的物理意义：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。 在流函数ψ的定义中，为保证流函数变化值dψ与流量增量值dq v 同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这 是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。 里的流量q v 通过A点的流线的流函数值ψ1，通过B点的流线的流函数值ψ2，则通过AB柱面的体积流量为
在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也没有涉及流体是有旋的还是无旋的。所以，无论是理想流体还是粘性流体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在流函数， 对于xoy平面内的无旋流动，有 z=0，即： 也可得 即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为 二、速度势函数
对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知，沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。对于无旋流 动，该封闭周线所包围的速度环量为零，有 对于理想流体无旋流动，从参考点A到另一点B的速度线积分与点A至点B的路径无关，上式中ds表示连接点A与点B的任意微元曲线。也就是说，速度线积分仅仅取决于B点相对于A点的位置，具有单值势函数的特征。 由无旋流动的充要条件可知
第六章势流理论
第六章势流理论 课堂提问： 为什么上弧旋与下弧旋乒乓球的应对方法不同 本章内容： 1．势流问题求解的思路 2．库塔----儒可夫斯基条件 3. 势流的迭加法 绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流 4．布拉休斯公式 5．库塔----儒可夫斯基定理 学习这部分内容的目的有二： 其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。 其二，明确两点重要结论： １）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。 ２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。 本章重点： 1、平面势流问题求解的基本思想。 2、势流迭加法 3、物面条件，无穷远处条件 4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位 置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。 5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。 6、麦马格鲁斯效应的概念 7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 8、附加惯性力，附加质量的概念
本章难点： 1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置， 流线图谱，升力，阻力，环流方向等。 2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 3．附加惯性力，附加质量的概念 §６-1 几种简单的平面势流 平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的 分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。 例如： 1）绕一个无穷长机翼的流动， 2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。 一、均匀流 流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ， V ｘ＝V o ， V y ＝０ 平面流动速度势的全微分为 dx V dy V dx V dy y dx x d y x 0=+=??+??= ? ?? 积分： φ＝Vox （６-4） 流函数的全微分为， dy V dy V dx V dy y dx x d o x y =+-=??+??= ψψψ 积分： ψ＝Vo ｙ （６-5） 由（６-4）和（６-5）可得： 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线。
6.流函数
6.流函数求解方法 6.1方法简介 类似于势函数解法，对于理想流体的二维流动在流动区域内流函数也满足Laplace 方程，可以使用类似于势函数的方法进行离散和网格处理，通过递推收敛得到最终结果。也是一种可行的快速求解方法。同时，相较于势函数解法而言，流函数还有一大优势就是在物面满足第一类边界条件，相较于势函数的第二类边界条件而言更加容易描述。然而流函数在求解域边界（近似无穷远）上的边界条件的提法并不是显然的。在这里我们遇到了一些困难，目前估计是由于边界条件的处理并不十分合理导致流函数解发散。这一点在后面会更加详细地讨论。 6.2 程序实现 对于流函数的Laplace 函数 02 222=??+??y x ψ ψ 和势函数方法一样，我们需要将对物理平面的导数转化为计算平面的导数。 由于 x x x ηηψξξψψ??+??=?? ， y y y ηη ψ ξξψψ??+??=?? 令ξηηξy x y x J -= ，得 )(1ξηηψξψψx x J y ??+??-=?? ， )(1ξηη ψξψψy y J x ??-??=?? 所以有 0)()2(1 2 =??+??++-= ?ηξηηηηξξψηψξγψβψαψψJ 其中 22η ηαy x += ， ηξηξβy y x x += ，2 2ξξγy x += yy xx ξξξ+=? ， yy xx ηηη+=? 下面将方程离散化 2,1,,1)(2ξψψψψξξ ?+-=-+j i j i j i ， 2 1 ,,1,) (2ηψψψψηη?+-=-+j i j i j i ξηψψψψψξη??+--=---++-++41 ,11,11,11,1j i j i j i j i ξ ψψψξ?-= -+2,1,1j i j i ， ηψψψη?-=-+21 ,1,j i j i 对X,Y 的离散类似于对ψ的离散
流体力学势流理论
第六章势流理论 本章内容： 1．势流问题求解的思路 2．库塔----儒可夫斯基条件 3. 势流的迭加法 绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流 4．布拉休斯公式 5．库塔----儒可夫斯基定理 学习这部分内容的目的有二： 其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。 其二，明确两点重要结论： １）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。 ２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。 本章重点： 1、平面势流问题求解的基本思想。 2、势流迭加法 3、物面条件，无穷远处条件 4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位 置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。 5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。 6、麦马格鲁斯效应的概念 7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 8、附加惯性力，附加质量的概念 本章难点： 1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。 2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 3．附加惯性力，附加质量的概念 §６-1 几种简单的平面势流 平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。
例如： 1）绕一个无穷长机翼的流动， 2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动，如图６-２所示。如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话， 则这一问题就可以按 一、均匀流 流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，如图６-5所示， V ｘ＝V o ， V y ＝０ dx V dy V dx V dy y dx x d y x 0=+=??+??= ?? ? 积分：φ＝V ox （６-4） 如图６-3 流函数的全微分为， dy V dy V dx V dy y dx x d o x y =+-=??+??= ψψψ 积分：ψ＝V o ｙ （６ -5 如图６-4 由（６-4）和（６ -5 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线，如图６ -3 等势线：ｘ＝const ，一组平行于ｙ轴的直线，如图６-3中的虚线。 均匀流的速度势还可用来表示平行平壁间的流动或薄平板的均匀纵向绕流，如图６-4所示。 平面源：流体由坐标原点出发沿射线流出，反之，流体从各个方向流过来汇聚于一点，谓之平面汇：与源的流动方向相反。 设源的体积流量为Ｑ，速度以源为中心，沿矢径方向向外，沿圆周切线方向速度分量为零。现以原点为中心，任一半径ｒ作一圆，则根据不可压缩流体的连续性方程， 体积流量Ｑ πｒｖｒ＝Ｑ ∴ｖｒ＝Ｑ/２πｒ （６-6） 在直角坐标中，有 x y V y x V y x ??- =??=??=??= ψ?ψ? 在极坐标中有： r r s V r s r V s r ??- =??=??=??=??=??= ψθ??θψψ?11 （６-7） 图６-6 点源和点汇 极坐标中φ和ψ 的全微分：
第五章 有旋流动和有势流动 复习思考题
第五章有旋流动和有势流动复习思考题 发出日期：2003-10-28 1. 速度势函数。 (A) 满足拉普拉斯方程(B) 在可压缩流体流动中满足拉普拉斯方程(C) 在恒定流动中满足拉普拉斯方程(D) 在不可压缩流体无旋流动中满足拉普拉斯方程 2. 流动中，一定存在有流函数。 (A) 可压缩流体二维(B) 不可压缩流体二维(C) 不可压缩流体三维(D) 可压缩流体三维 3. 在流函数满足拉普拉斯方程。 (A) 不可压缩流体无旋流动中(B) 不可压缩流体平面流动中(C) 不可压缩流体有旋流动中(D) 不可压缩流体平面无旋流动中 4. 偶极子可看成是叠加的极限过程的产物。 (A) 等强度点源和点汇(B) 不等强度的点源和点汇(C) 点源和点汇(D) 点汇和点涡 5. 流动无旋的等价命题是。 6. (A) 流动是均匀流（B）速度场有势（C）流线为互相平行的直线（D）流体微团没有变形 6. 无环量圆柱绕流是由叠加而成的。 (A) 直线等速流和偶极子(B) 直线等速流和点汇(C) 直线等速流和点涡(D) 直线等速流和点源 7. 已知平面流场速度分布为，求绕圆的环量。 8. 三维流动是否存在有流函数？为什么？ 9. 既然点涡是一个无旋流动，为什么沿着以点涡为圆心的圆周的速度环量不等于
零？ 10. 什么是速度环量和涡量？两者有何关系？ 11. 什么情况下平面流动既存在流函数又存在速度势函数？两者有何关系？ 12. 什么是流网？流网有什么特征？有什么实际意义？如何应用流网解决平面流动问题？ 13. 常见的几种简单平面势流有哪些？它们的势函数和流函数是什么？ 14. 什么是势流叠加原理？ 15. 不可压缩流体平面无旋流动的流速势函数和流函数的全微分为: dj = ，dy = ，图示流网中，有A 、B 两点，试比较以下各物理量大小（注zA= zB ）: 速度uA uB ，压强 pA pB ，jA j B ， y A y B 。 16. 设一蒙古包做成半径为a 的半圆柱形，因受正面来的速度为V 的大风袭击，屋顶承受升力有离开基础而升起的危险。升力产生的主要原因是入口在地面上，该处有驻点压力。一有经验的牧民迅速地将此口堵上，而在由地面算起的β角处重新开一通气窗，使作用在屋顶的升力消除了，问β应为什么值？设开口尺寸远小于半径a ，又设流动是不可压缩的位势流动。 17. 1 （D ） 2 （B ） 3 （D ） 4 （A ） 5 （B ） 6 （A ） 7 （14π） 16 3 2sin 1-