(完整版)高二数学必修五解三角形知识点公式,推荐文档

cos , cos

高中数学必修五 第一章

解三角形知识点归纳

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

2、三角形三边关系：a+b>c; a-b

3、三角形中的基本关系： sin( A + B ) = sin C , cos( A + B ) = -cos C ,

tan( A + B ) = - tan C ,

sin

A + B

= C A + B = sin C , 2 2 2 2

4、正弦定理：在 ?AB C 中， a 、b 、c 分别为角 A 、B 、C 的对边， R 为 ?AB C 的外

接圆的半径，则有 a

= b = c = 2R ．

sin A sin B sin C

5、正弦定理的变形公式：①化角为边： a = 2R sin A ， b = 2R sin B ， c = 2R sin C ；

②化边为角： sin A = a ， sin B

=

2R

b ， sin C =

c ； 2R 2R

③ a : b : c = sin A : sin B : sin C ；

a +

b +

c a b c

④ = = = ． sin A + sin B + sin C sin A sin B sin C

6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已

知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况

1 1 1

7、三角形面积公式： S ?AB C = bc sin A = ab sin C = ac sin B ．=2R 2sinAsinBsinC=

2 2 2

abc 4R

8、余弦定理：在 ?AB C 中，有 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ， b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ，

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C ．

9、余弦定理的推论：

b 2 +

c 2 - a 2 a 2 + c 2 - b 2 a 2 + b 2 - c 2

cos A = 2bc ， cos B = 2ac ， cos C =

． 2ab

a 2 +

b 2 -

c 2 = 2ab cos C , b 2 + c 2 - a 2 = 2bc cos A , a 2 + c 2 - b 2 = 2ac cos B

10、余弦定理主要解决的问题：

①已知两边和夹角，求其余的量。 ②已知三边求角

11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式

“”

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At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!

高中数学必修五 知识点总结【经典】

《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=

（3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.

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高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若 222a b c +<，则90C >． 注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标

高中数学的必修五解三角形知识点归纳

解三角形 一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=- (2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== (3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B ．R 为C ?AB 的外接圆的半径） 正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 两类正弦定理解三角形的问题：

①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）) 三．余弦定理： 222 2cos a b c bc =+-A 222 2cos b a c ac =+-B 222 2cos c a b ab C =+-． 注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论： 222 cos 2b c a bc +-A = 222 cos 2a c b ac +-B = 2 2 2 cos 2a b c C ab +-= ．

高二数学必修5全套教案(人教版)

1．1．1正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系， 引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合 情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 一.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二.讲授新课 [探索研究] 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，（1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B （2）当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导） 思考2：还有其方法吗？ 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。 C A B B C A

高二数学必修五知识点归纳

高二数学必修五知识点归纳 第一章解三角形 1、三角形的性质： ①.A+B+C=, AB2 C2 sin AB2 cos C2 ②.在ABC中, ab＞c , ab＜c ; A＞BsinA＞sinB, A＞BcosA＜cosB, a ＞b A＞B ③.若ABC为锐角，则AB＞ ,B+C ＞ ,A+C ＞ a2b2＞c2，b2c2＞a2，a2＋c2＞b2 2、正弦定理与余弦定理：①. (2R为ABC外接圆的直径) a2Rsin A、b2Rsin B、c2RsinC sinA a2R

12 b2R 、 sinC 12 c2R 12 acsinB 面积公式：SABC absinC bcsinA ②.余弦定理：abc2bccosA、bac2accosB、cab2abcosC bca 2bc cosA、cosB ac b 2ac 222 、cosC abc

222 3第二章数列 1、数列的定义及数列的通项公式： ①. anf(n)，数列是定义域为N 的函数f(n)，当n依次取1，2，时的一列函数值② i.归纳法 若S00，则an不分段；若S00，则an分段iii. 若an1panq，则可设an1mp(anm)解得m,得等比数列anm Snf(an) iv. 若Snf(an)，先求a 1得到关于an1和an的递推关系式 Sf(a)n1n1Sn2an1 例如：Sn2an1先求a1，再构造方程组：（下减上）an12an12an Sn12an11 2.等差数列： ① 定义：a n1an=d（常数）,证明数列是等差数列的重要工具。② 通项d0时，an为关于n的一次函数； d＞0时，an为单调递增数列；d＜0时，a n为单调递减数列。 n(n1)2 ③ 前nna1

必修5-解三角形知识点归纳总结

第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形： 1）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 2）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 3）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 4）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正 弦定理C A c a sin sin =求出c 边 二.三角形面积 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21 sin 21sin 21===? 2. r c b a S ABC )(2 1 ++=?,其中r 是三角形内切圆半径. 3. ))()((c p b p a p p S ABC ---=?, 其中)(2 1 c b a p ++=, 4. R abc S ABC 4=?,R 为外接圆半径 5.C B A R S ABC sin sin sin 22=?,R 为外接圆半径

高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当ab 时，B 有一解

注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状： 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A 、B, C 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O ,

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期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n

高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:

最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若2 2 2 a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系 （１）平方关系：ｓｉｎ2α＋ｃｏｓ2α＝１ （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１ （３）商的关系：α α ααααsin cos cot ,cos sin tan ==

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加油吧，少年，拼一次，无怨无悔！ 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 学习过程 一、课前准备 试验：固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动． 思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直 角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a， AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B = sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B =

高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳与测试卷.doc

第十二讲 解三角形 1 、三角形三角关系： A+B+C=180 °； C=180 °— (A+B) ； 3 、三角形中的基本关系： sin( A B) sin C , cos( A B) cosC , tan(A B) tanC , sin A B cos C ,cos A B sin C , tan A B cot C 2 2 2 2 2 2 4 、正弦定理：在 C 中， a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边， R 为 C 的外接圆的半 径，则有 a b c 2R ． sin sin C sin 5 、正弦定理的变形公式： ①化角为边： a 2Rsin ， b 2Rsin ， c 2R sin C ； ②化边为角： sin a ， sin b c ； ， sin C 2R 2R 2R ③ a : b: c sin :sin :sin C ；④ a b c a b c ． sin sin sin C sin sin sin C 7 、余弦定理：在 C 中，有 a 2 2 c 2 2bc cos 等，变形： cos b 2 c 2 a 2 b 等， 2bc 8 、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角） 9 、三角形面积公式： 1 1 1 S C bc sin ab sin Cac sin ． 2 2 2 10 、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形 式或角的形式设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边，则： ①若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；②若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；③若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ． 11 、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点

人教版高中数学必修5全册导学案

§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． CB 及∠B ，使边AC 绕着 顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ） ． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它 的边和角的过程叫作解三角形． ※ 典型例题 例1. 在ABC ?中， 已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．

高中数学必修五第一章知识点总结

高中数学必修五第一章知识点总结 一．正弦定理（重点） １．正弦定理 （１）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ==sin sin sin a b c A B C =２Ｒ（其中Ｒ是该三角形外接圆的半径） （２）正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． ２．正弦定理的应用（重难点） （１）已知任意两角与一边：有三角形的内角和定理，先算出第三个角，再有正弦定理计算出另两边 （２）已知任意两边与其中一边的对角：先应用正弦定理计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边与角（注意：这种情况可能出现解的个数的判断问题，一解，两解，或无解） （３）面积公式 111s i n s i n s i n 222C S b c a b C a c ?A B =A ==B 二余弦定理（重点） １．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即 222 2cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 应用：已知三角形的两边及其夹角可以求出第三边 ２．推论 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=

必修5-解三角形知识点归纳总结

第一章解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 2）化边为角： C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a =;sin sin C B c b =;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A =;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边：R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b =;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正 弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b <

高中数学人教版必修5全套教案

课题: §1．1．1正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1 c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

人教版高中二年级数学必修5知识点归纳(最完整版)

必修五数学知识点归纳资料 第一章 解三角形 1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,?222A B C π+=-?sin cos 22 A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sin B , A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B ③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2 π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b 2、正弦定理与余弦定理： ①.为ABC ?外接圆的直径) 2sin a R A =、2sin b R B =、2sin c R C = sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R = 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理： 2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、 2222cos c a b ab C =+- 222 cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222 cos 2a b c C ab +-=补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；

人教版高中数学必修五知识点总结

必修5 第一章 解三角形 一、正弦定理 1.定理 2.sin sin sin a b c R A B C === 其中a ，b ，c 为一个三角形的三边，A ，B ，C 为其对角，R 为外接圆半径. 变式：a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C 二、余弦定理 1.定理 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A 、b 2=a 2+c 2-2ac cos B 、c 2=a 2+b 2-2ab cos C 变形：222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222 cos 2a b c C ab +-= 2.可解决的问题 ①已知三边，解三角形； ②已知两边及其夹角，解三角形； ③已知两边及一边的对角，求第三边.

三、三角形面积公式 （1）111 222 a b c S ah bh ch ?===. 其中h a ，h b ，h c 为a ，b ，c 三边对应的高. （3）如果一个数列已给出前几项，并给出后面任一项与前面的项之间关系式，这种给出数列的方法叫做递推法，其中的关系式称为递推公式. （4）一个重要公式：对任何数列，总有 111, (2). n n n a S a S S n -??? ??==-≥ 注：数列是特殊的函数，要注意数列与函数问题之间的相互转化. 二、等差数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做数列的公差. （2）递推公式：a n +1=a n ＋d . （3）通项公式：a n =a 1+(n -1)d . （4）求和公式：11()(1).22 n n n a a n n S na d +-==+ （5）性质：

高中数学必修5教材电子课本(人教版)

高中数学必修5_教材电子课本（人教 版）.pdf 篇一：人教版高一数学必修一电子课本1 第一章集合和函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义和表示 1.1.2 集合间的基本关系 1.1.3 集合的基本运算 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性和最大（小）值 1.3.2 奇偶性 第二章基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.1 指数和指数幂的运算 2.1.2 指数函数及其性质 2.2 对数函数

2.2.1 对数和对数运算（一） 2.2.1 对数和对数运算（二） 2.2.2 对数函数及其性质 2.3 幂函数 第三章函数的使用 3.1 函数和方程 3.1.1 方程的根和函数的零点 3.1.2 用二分法求方程的近似解 3.2 函数模型及其使用1 2 3 4 5 篇二：人教版高一数学必修一至必修五教材目录 必修一、二、四、五章节内容 必修一必修四 第一章集合和函数的概念第一章三角函数1.1 集合 1.1 任意角和弧度制1.2 函数及其表示1.2 任意角的三角函数1.3 函数的基本性质第二章基本初等函数 2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数第三章函数的使用 3.1 函数和方程3.2 函数模型及其使用必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 使用举例第二章数列

2.1 数列的概念和简单表示方法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n 项和第三章不等式 3.1 不等关系和不等式3.2 一元一次不等式及其解法3.3 二元一次不等式(组) 及其解法3.4 基本不等式 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图像和性质1.5 函数y=Asin(?x+?) 1.6 三角函数模型的简单使用第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算 2.3 平面向量的基本定理及坐标表 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量使用举例第三章三角恒等变换 3.1 两角和和差的正弦、余弦3.2 简单的三角恒等变换必修二 第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构 1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间体的表面积和体积 第二章点、直线、平面间的关系2.1 空间点、直线、平面之间的位2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线和方程 3.1 直线的倾斜角和斜率3.2 直线的方程 3.3 直线的交点坐标和距离公式

人教版高中数学必修五试题

必修五·数学试卷Ⅳ Ⅰ、选择题 一、选择题 1、在ABC V 中，若 sin cos A B a b = ，则角B 等于 （ ） A 、30? B 、45? C 、60? D 、90? 2、在ABC V 中，10,30a c A ===?，则角B 等于 （ ） A 、105? B 、60? C 、15? D 、105?或15? 3、已知一个锐角三角形的三边边长分别为3，4，a ，则a 的取值范围 （ ） A 、(1,5) B 、(1,7) C 、 ) D 、 ) 4、ABC V 中，若 1cos 1cos A a B b -=-，则ABC V 一定是 （ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、钝角三角形 5、在等差数列{} n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +等于 （ ） A 、45 B 、75 C 、180 D 、300 6、设等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，且2 11210,38m m m n a a a S -+-+-==，则m 等于 （ ） A 、38 B 、20 C 、10 D 、9 7、若数列{} n a 的通项公式为n a = ，且9m S =，则m 等于 （ ） A 、9 B 、10 C 、99 D 、100 8、已知{} n a 为等差数列，135105a a a ++=，34699a a a ++=，用n S 表示{} n a 的前n 项和，则使n S 达到最大值的n 是 （ ） A 、21 B 、20 C 、19 D 、18 9、若关于x 的不等式2 20ax bx ++>的解集为1 12 3x x ?? - < B 、12 a b a -< C 、22log log 2a b +<- D 、12a b b a a +> 12、已知集合{} 22 40,1M x x N x x ??=->= B 、{} 2x x <- C 、N D 、M Ⅱ、非选择题 二、填空题 13、ABC V 的三个内角之比为1:2:3，则这个三角形的三边之比为 . 14.已知数列{} n a 的前n 项和为2 31n S n n =++，则它的通项公式为 . 15、设等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，且53655S S -=，则4a = . 16、已知函数16 ,(2,)2 y x x x =+∈-+∞+，则此函数的最小值为 . 三、解答题 17、在ABC V 中，已知a =2,150c B ==?，求边b 的长及ABC V 的面积S . 18、在ABC V 中，sin b a C =且sin(90)c a B =?-，试判断ABC V 的形状.