二次函数解集实际应用问题

知识点一利用二次函数解决最大利润问题

某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。

设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售利润为y元，那么涨价后：

（1）每件商品的售价可以表示为________________。

（2）每件商品的利润可以表示为________________。

（3）销售可以表示为________________。

（4）每个月的销售利润为y=________________。

（5）x的取值范围为________________。

（6）当x=_____________元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是___________元。

知识点二确定最值的方法

（1）配方法：将c

a

x

(的形式，当自变量x=___________时，y

=2)

-

y+

bx

h

y+

ax

+

=2化成k

有最大（小）值为___________。

y+

=2的顶点是最高（低）点，当x=___________时，二次函数

+

（2）公式法：抛物线c

bx

ax

有最大（小）值为___________。

【例1】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每天最高产量为40只，且生产x只的玩具熊猫成本为R元，售价每只为P元，且R，P与x的关系式分别为x

170-

P2

=。

R30

=，x

500+

（1）假设每天获得利润为y元，请写出y与x之间的函数关系式。

（2）请你利用（1）中得出的函数关系式对每天的生产情况与利润之间的关系进行分析。

同步训练：（学生做）

1.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．

（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

2.红星食品厂独家生产具有地方特色的某种食品，产量y

1

(万千克)与销售价格x(元／千

克)(2≤x≤10)满足函数关系式y

1=0.5x+11．经市场调查发现：该食品市场需求量y

2

(万千

克)与销售价格x(元／千克)(2≤x≤10)的关系如图所示．当产量小于或等于市场需求量时，食品将被全部售出；当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，剩余食品由于保质期短将被无条件销毁．

(1)求y

2

与x的函数关系式；

(2)当销售价格为多少时，产量等于市场需求量?

(3)若该食品每千克的生产成本是2元，试求厂家所得利润W(万元)与销售价格x(元／千克)

(2≤x≤10)之间的函数关系式．

3.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500

=-+．

y x

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

（成本＝进价×销售量）

知识点三利用二次函数解决最大（小）面积问题

如图所示，在一个直角三角形的内部做一个长方形ABCD。其中AB和AD分别在两直角边上。

（1）设长方形的一边AB=x米，那么AD边的长度可表示为：______________。

（2）设长方形的面积为y平方米，则y=______________。

（3）当x=___________时，y的值最大，最大值是_________。

知识点四由以上问题可归纳出利用二次函数求几何图形面积的基本步骤

（1）引入自变量。

（2）用含自变量的代数式分别表示出所求几何图形相关的量。

（3）根据几何图形特征，用函数表示这个图形的面积。

（4）根据函数关系式，求出最大值及取得最大值时自变量的值。

【例2】某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m2)．

(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；

（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？

同步训练：（学生做）

1.若抛物线y=-x 2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= ，此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为 ，△ABC 的面积为 . 2．已知二次函数y=x 2

–21x-2

3与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，则△ABC 的面积为 .

3. 已知抛物线y=x 2–4x+1, 与x 轴交于A 、B 两点，在抛物线上有一点N,使△ABN 的面积为43，求点N 的坐标.

4. 已知二次函数y=-2

1x 2+x+4的图象与x 轴的交点从右向左为A 、B 两点，与y 轴交点为C ，

顶点为D ，求四边形ABCD 的面积.

5、如图，抛物线254

=-+经过ABC

y ax ax

∥轴，点A在x轴上，

△的三个顶点，已知BC x

点C在y轴上，且AC BC

=．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A B C

，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB

△是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．Array

知识点五解决实际问题的一般步骤

（1）根据已知条件建立恰当的________________。

（2）写出关键点的坐标，设出相应的________表达式。

（3）列出方程（组）求出待定系数，得到________________解析式。

（4）根据二次函数的图像性质，使实际问题得到解决。

知识点六几种建立直角坐标系的方法

（1）以抛物线的________为原点，对称轴为________建立直角坐标系，抛物线表达式的形式为________________。

（2）以抛物线的对称轴为________建立坐标系，抛物线的形式为________。

（3）使顶点在________轴上，对称轴平行于________轴建立坐标系，抛物线的形式为

________________。

（4）使对称轴平行于________轴建立坐标系，抛物线的形式为________________。

【例3】如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉．已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点

离水面8m，以水平线为x轴，的中点为原点建立坐标系．

①求此桥拱线所在抛物线的解析式．

②桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处12m的渔船，试探索此船能否开到桥下?说明理由．

同步训练：（学生做）

1.如图26-3-2所示，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是

2.5m时，达到最大高度

3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．

（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上0.25m处出手，问：球出手时，他距离地面的高度是多少？

2.心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系（04黄冈）

（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

（3）一道数学题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力达到180，那么经过适当安排，老师能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

224100(010)240(1020)

7380(2040)t t t y t t t ?-++<≤??=<≤??

-+<≤??

3.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y

（米）与水平距离x （米）之间的关系是4

5

22++-=x x y .请回答下列问题：

（1） 柱子OA 的高度是多少米？

（2） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

（3） 若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？

课后作业：

1．某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是

，那么小球运动中的最大高度=最大h ．

2．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( )

A ．424m

B ．6 m

C ．15 m

D ．25m

3.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.

（1）假设每件商品降低x 元，商店每天销售这种小商品的利润是y 元，请你写出y 与x 的之间的函数关系式，并注明x 的取值范围；

（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购进成本）

4.国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价1y （万元）之间满足关系式x y 21701-=，月产量x （套）与生产总成本2y （万元）存在如图所示的函数关系.

5某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现

这种商品每天的销售量m （件）与每件的销售价x （元） 满足一次函数，其图象如图10所示.

(1)每天的销售数量m （件）与每件的销售价格x （元） 的函数表达式是 ．（3分）

(2)求该商场每天销售这种商品的销售利润y （元）与每件的销售价格x （元）之间的函数表达式；（4分）

(3)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加?（3分）

x ）元

6.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．

（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm2)是多少？

（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm2)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

（3）t为何值时s最小，最小值时多少？

7.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米．

(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

x

8．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；

（2）求支柱的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．

2过点C 9、如图，已知直线y=2x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线c

-

=2

y+

ax

ax

且与直线y=2x+2交于点A（5，12）。

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）M为抛物线上x轴上方一点，若△MCO与△MOB的面积相等，求M点的坐标；

二次函数在实际生活中的应用

二次函数在实际生活中的应用 【经典母题】 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？ 解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]＝1 360－80x， y＝(x－9)(1 360－80x) ＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)． －b 2a＝－ 2 080 2×（－80） ＝13， ∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值， y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)． 答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元． 【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论． 【中考变形】 1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示． (1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元 /件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时， 销售量相应减少__20__件； (2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x图Z8－1

二次函数解决实际问题归纳.doc

二次函数解决实际问题归纳及练习 一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤： 1、基本思路：理解问题一分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系一用函数关系式表示它们的关系f用数学方法求解f检验结果的合理性； 2、基本步骤：审题一建模（建立二次两数模型）一解模（求解）一回答（用生活语言回答，即问什么答什么）。 二、利用二次函数解决实际问题的类型 1、用二次函数解决几类典型问题 解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点：①设未知数在“当某某为何值时，什么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。 （1）利用二次函数解决利润最大问题 此类问题围绕总利润二单件利润X销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y,而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。 例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%,现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y （件）与降价x （元）之间的函数关系式为y=20+4x（x > 0） ①求M型服装的进价 ②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。 （2）利用二次函数解决面积最值 例：已知正方形ABCD边长为8, E、F、P分别是AB、CD、AD ±的点（不与正方形顶点重合），且PE丄PF, PE=PF 问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？ 2、用二次函数解抛物线形问题

常见情形具体方法 抛物线形 建筑物问 题 几种常见的抛物线形建筑物有拱 形桥洞、涵洞、隧道洞口、拱形 门窗等 （1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的 图形放到坐标系之中； （2）从己知和图象中获得求二次函数表达式所需条 件； （3）利用待定系数法求出抛物线的表达式； （4）运用已求出抛物线的表达式去解决相关问题。运动路线 （轨迹）问 题 运动员空屮跳跃轨迹、球类飞行 轨迹、喷头喷出水的轨迹等 牢记（1）解决这类问题的关键首先在于建立一次函数模型，将实际问题转化为数学问题，其次是充分运用已知的条件利用待定系数法求出抛物线的表达式； （2）把哪一点当作原点建立坐标系，将会直接关系到解题的难易程度或是否可解； （3）一般把抛物线形的顶点作为坐标系的原点建立坐标系，这样得出的二次函数的表 达式最为简单。 巧记实际问题要解决，正确建模是关键；根据题意的函数，提取配方定顶点；抛物线有对称轴，增减特性可看图；线轴交点是顶点，顶点纵标最值出。 练习 1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1. 6m,涵洞顶点O到水面的距离为2. 4m,在 图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m。这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由. 3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）.设每件商品的售价上涨x 元（X为正整数），每个月的销售利润为y元. （1）求y与兀的函数关系式并直接写出自变量兀的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围吋，每个月的利润不低于2200元？ 4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50%,设每件纪念品的成本为a 元。（1）试求a的值； （2）公司在试销过程中进行了市场调查，发现试销量y （件）与每件售价x （元）满足关系式y= - 10x+800.设每天销售利润为W（元）,求每天销售利润W（元）与每件售价x （元）之间的函数关系式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

二次函数在实际生活中的应用及建模应用

二次函数的建模 知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． 一、利用二次函数解决几何面积最大问题 1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。 (1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴? ??- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是： 利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式 中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18） （2）∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。 2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？ 解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 252 1)250(2+-=-=； 又∵500,02 500＜x＜＞x x ＞∴?????- ∵x x x x y 252 1)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，

二次函数实际应用问题及解析

中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题，主要是解答题，也有少量的选择和填空题，常见问题有以几何为背景问题，以球类为背景问题，以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。 一. 以几何为背景问题 原创模拟预测题1. 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB 高出地面1.5m ，在B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45的角，水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ，水流的落地点为D ．在建立如图所示的直角坐标系中： （1）求抛物线的函数解析式； （2）求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ？ 【答案】（1）213222y x x =-++；（2）(2+m ． 【解析】 试题分析：（1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C （2，3.5）及B （0，1.5），设顶点式求解析式； （2）求AD ，实际上是求当y=0时点D 横坐标． 在如图所建立的直角坐标系中， 由题意知，B 点的坐标为(01.5)，， 45CBE BEC ∠=∴，△为等腰直角三角形， 2BE ∴=， 点坐标为(23.5)， （1）设抛物线的函数解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠，

则抛物线过点(01.5)，顶点为(23.5)， ， 当0x =时， 1.5y c == 由22b a -=，得4b a =-， 由24 3.54ac b a -=，得2 616 3.54a a a -= 解之，得0a =（舍去），1422a b a =-∴=-=，． 所以抛物线的解析式为213222 y x x =-++． 考点：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用 点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．结合实际问题并从 中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型． 原创模拟预测题2.在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC x 边长为（m ），花园的面积为y （m ）． （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）满足条件的花园面积能达到200 m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由； （3）根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）x x y 202 12+- =)150(≤

二次函数的实际应用----最值问题以及设计方案问题

二次函数的实际应用——最大(小)值问题 知识要点： 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 (0≠a )化成顶点式a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）． 即当0>a 时，函数有最小值，并且当a b x 2-=，a b ac y 442-=最小值； 当0 B. 0,0a h >> C. 0,0a k >> D. 0,0a k << 5.函数92 +-=x y 。当-2

二次函数在实际中的应用

二次函数在实际中的应用 法国著名数学家的卡尔说过：“我们所解决的每一个问题，将成为一种模式，用于解决其它问题”.本文用二次函数的模式，解答生产、生活、体育等实际中的问题，达到触类旁通的目的. 一、借助二次函数解答桥梁问题 例1、（2006吉林省）如图1，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽是10m ． ⑴ 建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； ⑵ 现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？ 解：（1）设抛物线的解析式为2y ax =，桥拱最高点O 到水面CD 的距离为h 米，则D （5，h -），B （10，3h --）． ∴25100 3.a h a h =-??=--?，解得1251a h ?=-???=? ，∴抛物线的解析式为2125y x =-． （2）水位由CD 处涨到点O 的时间为：1÷0.25 = 4（小时）， 货车按原来速度行驶的路程为：40×1＋40×4 = 200＜280， ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥，设货车速度提高到x 千米/小时， 当4401280x +?=时，解得60x = ， ∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米小时． 二、应用二次函数剖析撞车问题 例2、（2006苏州市）司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间．之后还会继续行驶一段距离．我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”，如图2． 已知汽车的刹车距离s(单位：m)与车速v(单位：m ／s)之同有如下关系：s=tv+kv 2其中t 为司机的反应时间(单位：s)，k 为制动系数．某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k=0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t=O.7s 图1

二次函数在实际问题中的应用

孟老师12月23日初三学案 二次函数在实际问题中的应用 一抛物线形的物体 研究抛物线的问题，需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础,． （2012?益阳）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处． （1）求原抛物线的解析式； （2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明 通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等 于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果可保留根号） 2（2010?南充）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？ 二应用二次函数解决实际问题中的最值 求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法． 二次函数的性质在实际生活中的应用

二次函数及实际应用之利润最大(小)值问题

二次函数的实际应用——利润最大(小)值问题 知识要点： 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 (0≠a )化成顶点式a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）． 即当0>a 时，函数有最小值，并且当a b x 2-=，a b ac y 442-=最小值； 当0

2 [例1]：求下列二次函数的最值： （1）求函数322 -+=x x y 的最值． [例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ [练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？

2021中考数学专题08 二次函数在实际应用中的最值问题

专题二次函数在实际应用中的最值问题 1、某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y （元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？ （3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？ 2、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式； （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ （3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）3、怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份；

（2）该店为了增加利润，准备降低A 种菜品的售价，同时提高B 种菜品的售价，售卖时发现，A 种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B 种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少． 4、“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现， 影城每天售出的电影票张数y （张）与电影票售价x （元/张）之间满足一次函数： y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x 是整数），设影城每天的利润为w （元）（利润=票房收入﹣运营成本）． （1）试求w 与x 之间的函数关系式； （2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 5、把函数21:23(0)C y ax ax a a =--≠的图象绕点(,0)P m 旋转180，得到新函数2C 的图 象，我们称2C 是1C 关于点P 的相关函数．2C 的图象的对称轴与x 轴交点坐标为(,0)t ． （1）填空：t 的值为 （用含m 的代数式表示） （2）若1a =-，当12 x t ≤≤时，函数1C 的最大值为1y ，最小值为2y ，且121y y -=，求2C 的解析式； （3）当0m =时，2C 的图象与x 轴相交于,A B 两点（点A 在点B 的右侧）．与y 轴相交于点D ．把线段AD 原点O 逆时针旋转90，得到它的对应线段''A D ，若线''A D 与2C 的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． 6、湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养 天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）． （1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值； （2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可

浅谈二次函数在实际生活中的应用

龙源期刊网 https://www.docsj.com/doc/556444581.html, 浅谈二次函数在实际生活中的应用 作者：刘昌义 来源：《学习与科普》2019年第11期 摘要：随着社会的快速发展，人们的生活水平不断提升，生活质量的要求也不断提高， 这样一来，对各种资源的需求量也不断增大。而资源的总数是有限的，如何将优先的资源通过合理的运用来满足更多人的实际需要，这就需要用到数学中所学到的二次函数知识。二次函数在实际生活中的应用，是利用所学知识解决实际生活问题的体现。二次函数的实际应用过程，也是数学思想在生活实际中得到合理运用的过程。 关键词：二次函数；实际生活；实际应用 二次函数不管是作为一种数学计算工具还是作为初中数学学习过程中的知识组成部分，都具有非常重要的作用。二次函数贯穿了初中数学的整体学习过程，从最简单的图像方程画图计算再到复杂的二次函数实际应用，无一不体现出了它的重要性。同时二次函数也作为中考的重要考察内容，其难度相对其他数学知识更高，连贯性也更强，如果初中阶段的二次函数没有学好，势必会影响到后续的函数学习。除此之外，通过教学研究，笔者发现很多学生在二次函数的学习中暴漏出来一个问题：当题目与现实生活综合到一起时，很多学生往往后无从下手，这体现出学生对其所学知识的实际应用能力较差。所以我们需要通过对二次函数在实际生活中应用方向的研究，来找到培养学生利用二次函数解决生活实际问题能力的方法。 一、二次函数在桥梁建筑方面的应用 在日常生活中所见到的桥类建筑大多为拱形，拱形的桥梁结构相对于直桥更加稳固，且可以给桥下的水面提供较大的通行空间，以供船只通过。从拱形桥的形状看上去跟抛物线类似，其在设计之中就应用了二次函数的相关性质。除此之外，在很多公共建筑的设计上也应用了二次函数的原理，如花坛、喷泉和国家体育馆鸟巢的设计。通过这类实际应用体现出二次函数已经融入了我们的生活之中。 二、二次函数在经济生活中的实际应用 二次函數作为一种数学工具被广泛的应用到统计之中，其在经济生活之中的作用往往集中在投资调查、销售定价、销售情况统计、市场调查、消费住宿等方面。在这些经济活动中，无论其表现形式如何，最终的目的都是为了做到利益最大化。在这些项目中二次函数都是作为统计工具，根据实际经济情况建立相应的函数关系式，使用函数关系式对市场进行调查、统计和预测，从而保证拿到最大利润。 （1）投资调查

二次函数实际应用问题

二次函数应用问题 二次函数在各方面的应用比较广泛，本节中通过几个例题及几个练习题，举例说明它在一些问题中的应用. 例1 某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件），与每件的销售价（元/件）可看成是一次函数关系： 1.写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价之间的函数关系式（每天的销售利润 是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定 为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 分析：商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定。 在这个问题中，每件服装的利润为（），而销售的件数是（+204），那么就能得到一个与 之间的函数关系，这个函数是二次函数. 要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值. 解：（1）由题意，销售利润与每件的销售价之间的函数关系为 =（－42）（－3＋204），即=－32+8568 （2）配方，得=－3（－55）2+507 ∴当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元. 例2 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误. （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在 空中的运动路线是（1）中的抛物线， 且运动员在空中调整好入水姿势时，距 池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？ 并通过计算说明理由. 分析：（1）在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O（0，0）， 入水点（2，－10），最高点的纵点标为. （2）求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距池边水平距离为米.， 时，该运动员是不是距水面高度为5米. 解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为 B，抛物线的解析式为. 由题意，知O（0，0），B（2，－10），且顶点A的纵坐标为.

知识点20 二次函数在实际生活中应用

知识点20 二次函数在实际生活中应用 一、选择题 9．（2019·山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B 两点,拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米),跨径为90米,(即AB ＝90米),以最高点O 为坐标原点,以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则次抛物线型钢拱的函数表达式为( ) A.y ＝ 26 675 x 2 B.y ＝26675 - x 2 C.y ＝ 13 1350 x 2 D.y ＝13 1350 - x 2 第9题图 【答案】B 【解析】设二次函数表达式为y ＝ax 2,由题可知,点A 坐标为(－45,－78),代入表达式可得:－78＝a(－45)2,解得a ＝26675- ,∴二次函数表达式为y ＝26675 -x 2 ,故选B. 三、解答题 22．（2019年浙江省绍兴市，第22题，12分 ）.有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°，∠C=135°，∠E ＞90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE 上，并使所截矩形的面积尽可能大. （1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积； （2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由. 【解题过程】

24．（2019·嘉兴）某农作物的生长率p 与温度t （℃）有如下关系：如图1，当10≤t ≤25时可近似用函数p ＝ t ﹣刻画；当25≤t ≤37时可近似用函数p ＝﹣ （t ﹣h ）2 +0.4刻画． （1）求h 的值． （2）按照经验，该作物提前上市的天数m （天）与生长率p 满足函数关系： 生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m （天） 5 10 15 ①请运用已学的知识，求m 关于p 的函数表达式； ②请用含t 的代数式表示m ． （3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w （元）与大棚温度t （℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）． 【解题过程】（1）把（25,0.3）的坐标代入21 ()0.4160 p t h =- -+，得h =29或h =21. ∵h >25，∴h =29. （2）①由表格可知m 是p 的一次函数，∴m=100p-20.

14.二次函数的实际应用

第六节 二次函数的实际应用 姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟 1．(2019·易错题)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m )与足球被踢出后经过的时间t(单位：s )之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝9 2；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度 是11 m ．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．(2018·北京中考)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m )与水平距离x(单位：m )近似满足函数关系y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．如图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( ) A ．10 m B ．15 m C ．20 m D ．22.5 m

3．(2018·武汉中考)飞机着陆后滑行的距离y(单位：m )关于滑行时间t(单位： s )的函数解析式是y ＝60t －32 t 2.在飞机着陆滑行中，最后 4 s 滑行的距离是 ________m . 4．(2018·沈阳中考)如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900 m (篱笆的厚度忽略不计)，当AB ＝__________m 时，矩形土地ABCD 的面积最大． 5．(2017·成都中考)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y 1(单位：分钟)是关于x 的一次函数，其关系如下表： 地铁站 A B C D E x(千米) 8 9 10 11.5 13 y 1(分钟) 18 20 22 25 28 (1)求y 1关于x 的函数表达式； (2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x 的影响，其关系可以用y 2＝12x 2 －11x ＋78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．

《二次函数的应用》练习题

【课时训练】21.4二次函数的应用 1.已知函数y=2 1x 2-x-12，当函数y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是（ ） A. x ＜1 B. x ＞1 C. x ＞-4 D. -4＜x ＜6 2.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如果提高售价，才能在半月内获得最大利润？ 3.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花 形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水， 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一 平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流 喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系是 4 522++-=x x y .请回答下列问题： （1） 柱子OA 的高度是多少米？ （2） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？ （3） 若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？ 4.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击 影响可以用公式I=2v 2来表示，其中v （千米/分）表示汽车的速度. ① 列表表示I 与v 的关系； ② 当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？ 5.如图，正方形EFGH 的顶点在边长为a 的正方形ABCD 的边上，若AE=x ，正方形EFGH 的面积为y. （1） 求出y 与x 之间的函数关系式； （2） 正方形EFGH 有没有最大面积？若有，试确定E 点位置；若没有，说明理由.

中考数学习题精选：二次函数在实际生活中应用(含参考答案)

中考数学习题精选：一、选择题 1、（2018北京房山区第一学期检测）小明以二次函数 2 248 y x x =-+的图象为灵感为 “2017北京·房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿， 若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为 A．14 B．11 C．6 D． 3 答案：B 2、（2018北京怀柔区第一学期期末）网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB的高度）.中网比赛中，某运动员退出场地在距球网 14米的D点处接球，设计打出直线 ．．穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为 A. 1.65米 B. 1.75米 C.1.85米 D. 1.95米 答案：D 3、（2018北京丰台区第一学期期末）在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG = 2BE. 如果 设BE的长为x（单位：m），绿地AEFG的面积为y（单位： m2），那么y与x的函数的表达式为；当 BE AEFG的面积最大. E D G F H A C B 第 6题图 C

答案：2 2864(08)y x x x =-++<<（可不化为一般式），2 4、（2018北京密云区初三（上）期末）学校组织“美丽校园我设计”活动.某同学打算利用学校文化墙的墙角建一个矩形植物园.其中矩形植物园的两邻边之和为4m ，设矩形的一边长为x m ，矩形的面积为y m 2.则函数y 的表达式为______________，该矩形植物园的最大面积是_______________ m 2. 答案：(4)y x x =- ，4 5、（2018北京顺义区初三上学期期末）如图，利用成直角的墙角（墙足够长），用10m 长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积S （m 2）与它一边长a （m ）的 函数关系式是 ，面积S 的最大值是 ． 答案：2 20S a a =-+ 6、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面 的最大距离是5m ． （1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如下图）， 你选择的方案是_____(填方案一，方案二，或方案三)，则B 点坐标是______， 求出你所选方案中的抛物线的表达式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m ，求水面上涨的高度． 解：方案1：（1）点B 的坐标为（5,0） (1) 分 设抛物线的解析式为：(5)(5)y a x x =+-…………… 2分 由题意可以得到抛物线的顶点为（0,5），代入解析式可得：1 5 a =- y 方案 2 方案 3 方案 1

二次函数的实际应用(典型例题分类)

二次函数与实际问题 1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等） 2、实际应用（求最值、最大利润、最大面积等） 解决此类问题的基本思路是： (1)理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； (3)用数学的方式表示它们之间的关系； (4)做函数求解； (5)检验结果的合理性，拓展等． 例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？ 变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造 一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积 y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数 关系式？当x为多长时，花园面积最大？

例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多? 设销售单价为x元，(0＜x≤13.5)元，那么 （1）销售量可以表示为____________________； （2）销售额可以表示为____________________； （3）所获利润可以表示为__________________； （4）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________。 变式练习2：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. （1）问题中有哪些变量？其中自变量是_______,因变量是___________. （2）假设增种棵橙子树，那么果园里共有_________棵橙子树,这时平均每棵树结 _________个橙子. （3）如果橙子的总产量为y个，请你写出x与y之间的关系式_______________. （4）果园里种_____棵橙子树橙子的总产量最多，最多是________________。

二次函数实际应用(利润问题)

二次函数实际应用（利润问题）教学设计 教学目标知识技能 能根据具体问题中的数量关系，列出二次函数，体会二次函数是刻 画现实世界的有效数学模型。 数学思考 经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系， 并能用二次函数对之进行描述。 解决问题 通过解决销售的最大利润等问题的过程，学会将实际问题转化成数 学问题，发展实践应用意识。 情感态度 通过用二次函数解决经济生活中的问题，体会数学知识应用的价值， 提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理 性精神的作用。 重 点 会把实际问题中的最值问题转化为二次函数的最值问题 难 点 发现问题中的函数关系。 活动流程图活动内容和目的活动1 创设情境，导入新课引发学生兴趣，导入新课。 活动2 合作交流，解读探究例一:商品涨价降价利润求法对比涨价、降价的最大利润，熟悉分析、解决最大利润问题的思路和方法，培养分类讨论思想，全面考虑问题的思想。 活动3 应用迁移，能力提升 （宾馆的利润） 探究问题中的函数关系，提高分析问题的能力。 活动4 当堂检测，试试身手 （变式训练） 当堂检测，回馈教学效果。 活动5 总结反思，归纳理顺回顾，总结，提高对知识的系统性认识。 活动6 课后练习，知识应用解决问题，巩固所学知识。 问题与情境师生行为设计意图 活动1【创设情境，导入新课】 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？老建教师展示课件，出 示问题 .教师分步出示 问题①②③，引导学生 回答这些问题，教师步 入学生中间，及时发现 学生在解答时的不足， 加以辅导。 分组解决，小组内分别 计算涨价、降价的最大 利润，展示学生的解答 过程，教师及学生共同 评析。师提出问题，引 导学生层层深入，思考 问题。 分步回答问题，降 低问题难度，深入 学生中间，加强师 生沟通。 通过该问题使学 生，体会分类讨论， 全面考虑问题的重 要意义 活动2【合作交流，解读探究】问题①，请一位学生回问题①②有助于学

经典二次函数和实际应用题解法

二次函数运用题 一：知识点 利润问题：总利润=总售价–总成本 总利润=每件商品的利润×销售数量 二：例题讲解 1、（2009年内蒙古包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2． 2、(2010年聊城冠县实验中学二模)某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是________________ 3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大最大面积是多少 4、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可以多售出2件．（1）若每件降价x元，每天盈利y元，求y与x的关系式．（2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元（3）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多盈利多少元

5、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求： （1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式． （2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式． （3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值最大值是多少 6、某商店经营一批进价每件为2元的小商品，在市场营销的过程中发现：如果该商品按每件最低价3元销售，日销售量为18件，如果单价每提高1元，日销售量就减少2件．设销售单价为x（元），日销售量为y（件）． （1）写出日销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）设日销售的毛利润（毛利润=销售总额-总进价）为P（元），求出毛利润P （元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （3）在下图所示的坐标系中画出Ｐ关于x的函数图象的草图，并标出顶点的坐标； （4）观察图象，说出当销售单价为多少元时，日销售的毛利润最高是多少