一元二次方程的定义

一元二次方程的定义

一、满足条件

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

②只含有一个未知数；

③未知数项的最高次数是2。

二、方程形式

折叠一般形式

ax²+bx+c=0(a≠0)

其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项。

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

折叠变形式

ax²+bx=0(a、b是实数，a≠0);

ax²+c=0(a、c是实数，a≠0);

ax²=0(a是实数，a≠0)。

三、解题方法

折叠公式法

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a求根公式

折叠十字相乘法

x的平方+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）

解法

折叠因式分解法

因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

用因式分解法解一元二次方程的步骤

一元二次方程

一元二次方程

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

如

1.解方程：x²+2x+1=0

解：利用完全平方公式因式解得：（x+1)²=0

解得：x=-1

2.解方程x（x+1）-2（x+1）=0

解：利用提公因式法解得：（x-2）（x+1）=0

即 x-2=0 或 x+1=0

∴ x1=2，x2=-1

3.解方程x²-4=0

解：（x+2）（x-2）=0

x+2=0或x-2=0

∴ x1=-2，x2= 2

折叠十字相乘法公式

x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

例：

1. ab+b²+a-b- 2

=ab+a+b²-b-2

=a(b+1)+(b-2)(b+1)

=(b+1)(a+b-2)

公式法

（可解全部一元二次方程）求根公式

首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根

1.当Δ=b²-4ac<0时 x无实数根（初中）

2.当Δ=b²-4ac=0时 x有两个相同的实数根即x1=x2

3.当Δ=b²-4ac>0时 x有两个不相同的实数根

当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程

有根则可根据公式：x={-b±√（b²－4ac）}/2a 来求得方程的根

配方法

（可解全部一元二次方程）

如：解方程：x²+2x－3=0

解：把常数项移项得：x²+2x=3

等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x²+2x+1=4 因式分解得：（x+1)²=4

解得：x1=-3,x2=1

用配方法的小口诀：

二次系数化为一

分开常数未知数

一次系数一半方

两边加上最相当

开方法

（可解部分一元二次方程）

如：x²-24=1

解：x²=25

x=±5

∴x1=5 x2=-5

均值代换法

（可解部分一元二次方程）

ax²+bx+c=0

同时除以a，得到x²+bx/a+c/a=0

设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)

根据x1·x2=c/a

求得m。

再求得x1, x2。

如：x²-70x+825=0

均值为35，设x1=35+m，x2=35-m (m≥0)

x1·x2=825

所以m=20

所以x1=55， x2=15。

一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）（韦达定理）

一般式：ax²+bx+c=0的两个根x1和x2关系：

x1+x2= -b/a

x1·x2=c/a

一元二次方程知识点总结

知识点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 知识点二、一元二次方程的解法 1．直接开方法； 2．配方法； 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方；求出方程的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无 实数解. 3．公式法；

(1)一元二次方程求根公式： 一元二次方程，当时，. (2)一元二次方程根的判别式． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. (3)用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根. 4．因式分解法； (1)用因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. (2)常用因式分解法： 提取公因式法，平方差公式、完全平方公式. 知识点三、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；

一元二次方程的定义

一元二次方程的定义 一、满足条件 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。 ②只含有一个未知数； ③未知数项的最高次数是2。 二、方程形式 折叠一般形式 ax²+bx+c=0(a≠0) 其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项。 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 折叠变形式 ax²+bx=0(a、b是实数，a≠0); ax²+c=0(a、c是实数，a≠0); ax²=0(a是实数，a≠0)。 三、解题方法

折叠公式法 x=(-b±√(b^2-4ac))/2a求根公式 折叠十字相乘法 x的平方+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q） 解法 折叠因式分解法 因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。 用因式分解法解一元二次方程的步骤 一元二次方程 一元二次方程 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 如 1.解方程：x²+2x+1=0 解：利用完全平方公式因式解得：（x+1)²=0 解得：x=-1 2.解方程x（x+1）-2（x+1）=0

一元二次方程概念及解法

一元二次方程 一、一元二次方程的概念： 1、定义：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 补充关于初中常见代数式： 2、一元二次方程的一般式： 例1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值. 举一反三： 【变式】若方程2 (310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程，求m 的值． 3、一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 的两根求， ，的两根分别为为常数方程已知关于0)2(1-2)0,,,(0)(22=+++≠=++b m x a a m b a b m x a x

b a b b ax x x --=++求有一个非零根的一元二次方程关于,,02 二、一元二次方程的解法 1、基本思想：一元二次方程???→降次一元一次方程 2、常见解法： 直接开平方法：模型)0(2≥=p p x 因式分解理论基础： （1）提公因式法 解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)． （2）运用公式 完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+ 平方差公式：22()()a b a b a b +-=- 三数和平方公式：2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ 224(3)25(2)0x x ---= 22)25(96x x x -=+- 01442 =++x x

（3）十字相乘：化成标准形式之后“看两端，凑中间” 模型一： （1）=0 （2）21016x x -+=0； （3）2310x x --=0 模型二： (1) 21252x x --=0 (2) 22568x xy y +-=0 配方法：

一元二次方程的概念及其解法

一元二次方程的概念及其解法

一元二次方程的概念及解法和讲义 知识点一：一元二次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax (3)四个特点： (1)只含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a ≠0） 例1：下列方程①x 2+1=0；②2y(3y-5)=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0 ；④0351 =--x x ，其中是一元二次方程的有 。 变式:方程：①13122 =-x x ②05222=+-y xy x ③0172 =+x ④02 2=y 中一元二次程的是 。 例2：一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 变式1：一元二次方程3（x —2）2＝5x －1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 变式2：有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。 例3：在关于x 的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。 变式1：已知关于x 的方程(m+1)x 2－mx+1=0，它是（ ） A ．一元二次方程 B ．一元一次方程 C ．一元一次方程或一元二次方程 D ．以上答案都不对 变式2：当m 时，关于x 的方程5)3(7 2 =---x x m m 是一元二次方程 知识点二：一元二次方程的解 （1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 （2）应用：利用根的概念求代数式的值； 【典型例题】

一元二次方程知识点总结及例题解析

一元二次方程 一）一元二次方程的定义 )0a (0c bx ax 2≠=++是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的 最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。0ax 0c ax 0bx ax 2 2 2 ==+=+；；这三个方 程都是一元二次方程。求根公式为() 0ac 4b a 2ac 4b b x 2 2≥--±-= 二）)0a (0c bx ax 2 ≠=++。a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项，注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？ 1、ac 4b 2 -∆＝当Δ>0时方程有2个不相等的实数根； 2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根； 3、当Δ< 0时方程无实数根. 4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）; 5、ac<0时方程必有解,且有两个不相等的实数根; 6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为a b - 7、当a 、b 、c 是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。 8、若1x ,2x 是一元二次方程)0a (0c bx ax 2 ≠=++的两个实数根， 即① a b x x 21- =+ a c x x 21=•（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足 Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。） 例：已知关于X 的方程()0m x 2m 2x 2 2 =+--,问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。 ②一元二次方程)0a (0c bx ax 2 ≠=++可变形为()()0x x x x a 21=++的形式。可以用求 根公式法分解二次三项式。 9、以两个数x 1 x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-（x 1+ x 2）x+ x 1 x 2＝0 10几种常见的关于21x ,x 的对称式的恒等变形 ①()212 212 22 1x x 2x x x x -+=+ ②()( )()()[] 212 21212 2 212 1213 23 1x x 3x x x x x x x x x x x x -++=+-+=+

一元二次方程定义及配方法

一元二次方程定义及配方法 知识点1：一元二次方程定义及根: (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0a c ,b ,a (0c bx ax 2≠=++为常数， 其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。 (3)一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. （4）难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 （5） 一元二次方程的根 ：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 【经典例题】 例1．判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x 2=4 (3) 3x 2- 5x =0 (4) x 2-4=(x+2) 2 例2．将方程3x （x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 例3、方程()01mx 3x 2m m =+++是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 例4.若x=1是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值

一元二次方程定义

一元二次方程定义 一元二次方程是一种形如 $ax^2+bx+c=0$ 的代数式，其中 $a,b,c$ 都是 实数且 $a \ e 0$。在数学中，一元二次方程是一类基本的二次函数，它在数学上的应 用广泛，尤其在物理学、工程学、计算机科学等领域中，有着重要的作用。 一元二次方程的参数$a,b,c$ 分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。在解一元二次方程时，我们的主要任务就是求解方程的根。通常来说，有三种 常见的解法，即因式分解法、求根公式法和配方法。不过，这三种方法并不一 定适用于所有的一元二次方程。在接下来中，我们将具体介绍这三种解法以及 它们的应用场景。 1. 因式分解法 因式分解法是最为直观的解法之一。对于形如 $ax^2+bx+c=0$ 的一元二次方程，如果其二次项系数 $a$ 不为零并且其方程左边的多项式是可因式分解的，那么我们就可以使用因式分解法来解方程。具体步骤如下： （1）观察方程左边的多项式，尝试将其因式分解为两个一次多项式的乘积，即 $ax^2+bx+c=(mx+p)(nx+q)$。

（2）将因式分解后的乘积式展开并合并同类项，得到一个新的二次方程，即 $mnx^2+(mq+np)x+pq=0$。 （3）将新的二次方程与原方程进行比较，即可得到各个系数的关系，从而求出方程的根。 需要注意的是，因式分解法并不适用于所有的一元二次方程。具体来说，它只适用于一元二次方程的方程左边的多项式可以被分解为两个一次多项式的乘积的情况。如果方程左边的多项式是一个完全平方式，则我们可以直接使用求根公式法来求解。 2. 求根公式法 求根公式法是解一元二次方程时最为常见的一种方法。它基于一种著名的求根公式，即 $x=\\frac{-b\\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。这个公式也被称为一元二次方程的通项公式。 在使用求根公式法时，我们需要依次求出二次项系数 $a$、一次项系数$b$ 和常数项 $c$ 的值，并将其代入求根公式中即可求解方程的根。如果 $b^2-4ac<0$，则说明方程无实数根；如果 $b^2-4ac=0$，则说明方程有一个重根；如果 $b^2-4ac>0$，则说明方程有两个不同的实数根。

一元二次方程性质

一元二次方程性质 一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，具有广泛的应用领域。本文将从方程的定义、一元二次方程的性质以及解法等方面进行论述。 1. 方程的定义 方程是一个等式，其中含有未知数。而一元二次方程指的是只有一 个未知数，并且该未知数的最高次数为二的方程。一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。 2. 一元二次方程的性质 一元二次方程具有以下几个重要的性质： 2.1 平方差公式 平方差公式是一元二次方程中的重要成立式，它可以用来将完全平 方的一元二次式转化为一个二次项与某个常数之差的形式。平方差公 式的具体形式为：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 和 (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2。 2.2 解的性质 一元二次方程的解可以分为三种情况：实根、重根和虚根。实根指 的是方程的解为实数，重根指的是方程有两个相同的实数解，虚根指 的是方程的解为复数。解的性质与一元二次方程的判别式有关，判别 式Δ = b^2 - 4ac 的值决定了方程的解的性质。 2.3 方程与图像

一元二次方程与二次函数之间有着密切的联系。对于一元二次方程 y = ax^2 + bx + c而言，其对应的二次函数图像是一个抛物线。当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。抛物线的顶点坐 标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为二次函数。 3. 解法 解一元二次方程的常用方法有以下几种： 3.1 因式分解法 当一元二次方程可以通过因式分解得到两个一次因式相乘时，可以 直接得到方程的解。例如：x^2 + 5x + 6 = 0可以因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，解得x = -2或x = -3。 3.2 公式法 一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √Δ) / 2a，其中Δ = b^2 - 4ac。通过将方程的系数代入公式，可以直接计算出方程的解。 3.3 完全平方公式 完全平方公式是一种将一元二次方程转化为一个平方量与一个常数 之和的方法。对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以通过完全平方 公式x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0得到方程的解。 4. 应用领域 一元二次方程在现实生活中具有广泛的应用。例如，抛物线的形状 在物理学中用于描述抛体的运动轨迹；在经济学中，一元二次方程常

一元二次方程的定义和性质

一元二次方程的定义和性质 一元二次方程是数学中常见的一类方程，它的一般形式为$$ax^2+bx+c=0$$，其中$$a$$、$$b$$、$$c$$是实数且$$a\neq0$$。 定义 一元二次方程是由未知数$$x$$的二次多项式构成的方程。其中，二次项的系数$$a$$为非零常数，未知数的最高次数为2，一次项的系数$$b$$和常数项$$c$$可以是任意实数。 性质 一元二次方程具有以下几个重要的性质： 1. 根的性质：一元二次方程的根是方程$$ax^2+bx+c=0$$中使 得方程成立的$$x$$的值。一元二次方程一般有两个根，可以是实 数根或复数根。当判别式$$\Delta=b^2-4ac$$满足$$\Delta>0$$时， 方程有两个不相等的实数根；当$$\Delta=0$$时，方程有两个相等 的实数根；当$$\Delta<0$$时，方程有两个共轭复数根。根的性质：

一元二次方程的根是方程$$ax^2+bx+c=0$$中使得方程成立的 $$x$$的值。一元二次方程一般有两个根，可以是实数根或复数根。当判别式$$\Delta=b^2-4ac$$满足$$\Delta>0$$时，方程有两个不相 等的实数根；当$$\Delta=0$$时，方程有两个相等的实数根；当$$\Delta<0$$时，方程有两个共轭复数根。 2. 求根公式：对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$，可以使用 求根公式来求解。求根公式为$$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$，其中$$\Delta=b^2-4ac$$是判别式。求根公式：对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$，可以使用求根公式来求解。求根公式为 $$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$，其中$$\Delta=b^2-4ac$$是判 别式。 3. 顶点和轴对称：一元二次方程的图像是一个抛物线。抛物线 的顶点坐标为$$(h,k)$$，其中$$h=\frac{-b}{2a}$$，$$k=\frac{- \Delta}{4a}$$。抛物线关于直线$$x=\frac{-b}{2a}$$对称。顶点和 轴对称：一元二次方程的图像是一个抛物线。抛物线的顶点坐标为$$(h,k)$$，其中$$h=\frac{-b}{2a}$$，$$k=\frac{-\Delta}{4a}$$。抛 物线关于直线$$x=\frac{-b}{2a}$$对称。

一元二次方程基本概念

一兀二次方程基本概念 1、 基本概念： 方程两边都是整式， 只含有一个未知数(一元) ，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程(等式)，叫做一元二次方程• 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，？经过整理，？都能化成如下形式 ax 2 +bx+c=0 (a z 0).这种形式叫做一元二次方程的 一般形式• 一个一元二次方程经过整理化成 ax 2 +bx+c=0 (a z 0)后，其中ax 2 是二次项，a 是二次 项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 2、 解方程常用方法： (1).直接开平方法： 由应用直接开平方法解形如 x 2 =p (p > 0),那么x= 土、转化为应用直接开平方法解 形如(mx+ n) 2 =p (p > 0),那么mx+n= 土 > p ，达到降次转化之目的. (2).配方法: 左边不含有x 的完全平方形式、左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有 x 的完 全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程。 转化过程如下： 移项T 两边加(^64 ) 2使左边配成x 2+2bx+b 2 的形式 2 左边写成平方形式 T 降次T 解一次方程T 可以验证： 例1 .解下列方程 2 (1) x +6x+5=0 2 (2) 2x +6x-2=0 2 (3)( 1+x) +2 (1+x) -4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一 个含有 X 2 -64X +768=0 2 x 64x=-768 2 2 X 2 -64X +322 =-768+1024 (x-32) 2 =?256 ? x-32= ± 16 即 X -32=16 或 X -32=-16 X I =48, X 2=16

一元二次方程的定义(例题、典型习题)

一元二次方程的定义 一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程称为一元二次方程。 识别一元二次方程必须抓住三个方面：（1）整式方程 （2）含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2。 【例】下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？说说你的理由. (1)16x 2= (2)0125x 2=--x (3)032x 2=-+y (4)03x 12=-+x (5)0x 2= (6)052x 24=--x 一元二次方程的一般形式 02 =++c bx ax （a ≠0） 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下的形式：02=++c bx ax （a ≠0）.这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 【整理】2ax 是二次项，a 是二次项系数， bx 是一次项，b 是一次项系数， c 是常数项. 例1把6)4)(3(-=-+x x 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数， 一次项系数和常数项。 解：移项，整理，得 062=--x x 二次项系数为1，一次项系数为1-，常数项为6-。 例2指出 mx 2-nx-mx+nx 2=p 二次项，一次项，二次项系数，一次项系数， . 解：变形为一般形式为：（m+n ）x 2+（-n-m ）x –p=0 二次项是（m+n ）x 2，二次项系数是m+n ； 一次项是（-n-m ）x ，一次项系数是-n-m ； 常数项是–p 练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项，常数项。 ①()x x x x 3422-=- ②()()2 21248-+=+x x x ③12132=+-x x ④ ()0p 22≠+-=++-n m q nx mx nx mx 小结：理解一元二次方程以下方面入手： （1）一元：只含有一个未知数，"元"的含义就是未知数 （2）二次：未知数的最高次数是2，注意二次系数不等于0. （3）方程：方程必须是整式方程，这是判断的前提。

一元二次方程的概念及其解法

一元二次方程的概念及解法和讲义 知识点一：一元二次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax (3)四个特点： (1)只含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a ≠0） 例1：下列方程①*2+1=0；②2y(3y-5)=6y 2+4；③a*2+b*+c=0 ；④0351 =--x x ，其中是一元二次方程的有。 变式:方程：①13122 =-x x ②05222=+-y xy x ③0172 =+x ④02 2=y 中一元二次程的是。 例2：一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。 变式1：一元二次方程3（*—2）2＝5*－1的一般形式是，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。 变式2：有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。 例3：在关于*的方程(m-5)*m-7+(m+3)*-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。 变式1：已知关于*的方程(m+1)*2－m*+1=0，它是（ ） A ．一元二次方程 B ．一元一次方程 C ．一元一次方程或一元二次方程 D ．以上答案都不对 变式2：当m 时，关于*的方程5)3(7 2=---x x m m 是一元二次方程 知识点二：一元二次方程的解 （1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 （2）应用：利用根的概念求代数式的值； 【典型例题】 1. 已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ） A ．3- B ．3 C ．0 D ．0或3

一元二次方程

一元二次方程 1.定义：在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高项的次数的和 是二次的整式方程叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)只含有一个未知数； (2)未知数的最高项的次数和是2； (3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为 整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a ≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 3，韦达定理方程的两根与方程中各数有如下关系：X1+X2= -b/a X1X2=c/a 4,方程两根为X1,X2时,方程为:X^2-(X1+X2)X+X1X2=0(根据韦达定理逆推 而得) 5.一元二次方程的形式 （1）一般式 ax^2+bx+c=0（a 、b 、c 是实数a≠0) （2）配方式 （3）两根式a(x-x1)(x-x2)=0 6.一般解法 （1）配方法 （2）公式法（可解全部一元二次方程） 其公式为 当b^2-4ac ＞0时 x 有两个不相同的实数根 当b^2-4ac ＜0时 x 无实数根（初中） 当b^2-4ac=0时 x 有两个实数根 即x1=x2 （3）因式分解法 （4）直接开平方法 () .04.242 2≥--±-=∴ac b a ac b b x

x k x k 2 2114 10-+++=()∆=-+-+=-≥[()]()k k k 1414 1230 2 2三．典型例题 例1：已知关于x 的一元 二次方程 （1）k 取什么值时，方程有两个实数根。 （2）如果方程的两个实数根x x 12，满足||x x 12=，求k 的值。 解：（1） 时，方程有两个实数根 （2）∵||x x 12=，分两种情况 ①当x x x 1120≥=时，得，∴方程有两个相等的实数根。 ∴，∴∆== 03 2k ②当x x x x x <=-+=002112时，得，∴ 由根与系数关系，得k +=10 ∴k k =-≥113 2，由知，矛盾 () ∴舍去 ∴k k =-= 132 例2：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了 扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 解：（1）设每件衬衫应降价x 元，则有 ()()402021200302000 2-+=-+=x x x x 解得x x 121020==， 根据题意，取x=20， ∴每件衬衫应降低20元。 （2）商场每天赢利 ()()()40202800602215125022-+=+-=--+x x x x x

一元二次方程的定义与概念

一元二次方程的定义与概念 【知识要点】 1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数并且所含未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 2．把)0,,(02≠=++a c b a c bx ax 为常数，称为一元二次方程的一般形式，a 和b 分别称为二次项系数和一次项系数，c 为常数项。 3． 若x m =是关于x 的方程02=++c bx ax 的一个根，则一定有02 =++c bm am 。 【典型例题】 一、一元二次方程的概念及其运用 例1．根据题薏列出方程： 1． 两个正方形面积和为106，它们的周长的差是16，求这两个正方形的边长； 2．20L 的纯酒精，倒出一部分后注满水，第二次倒出与前次同量的混合液，再注满水，此时容器内的水是纯酒精的3倍，求第一次倒出酒精的数量。 【类题训练】 1． 一个直角三角形三条边的长是三个连续的整数，求这三条边的长。 2． 某工厂计划两年后使产量翻一番，求每年增长的百分数是多少？ 例2．下列方程哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？是的指出二次项系数，一次项系数，常数项。 （1）0322=-+y x （2）04332=+-x x

（3）22)1(43-=++x x x （4）012=++qx px 例3．关于x 的方程() ();032422=-++-x a x a （1） 当a 满足什么条件时，该方程为一元二次方程； （2） 当a 满足什么条件时，该方程为一元一次方程。 【类题训练】 1.方程();05)2(372=+-+--x m x m m （1） m 为何值时，方程是一元二次方程； （2） m 为何值时，方程是一元一次方程； 2.已知m 是方程022=--x x 的一个根，则代数式m m -2的值等于________。 3． 若,x m x n ==都是02=++c bx ax 的根，求()()c n m b n m a 222++++的值。

一元二次方程的概念及其解法

1 / 7 一元二次方程的概念及解法和讲义 知识点一：一元二次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数 ．． ．．．．．．．．．2．，这样的整式．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是 方程 ．．就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02????acbxax (3)四个特点： (1)只含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02????acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02???cbxax时，应满足（a≠0） 例1：下列方程①x2+1=0；②2y(3y-5)=6y2+4；③ax2+bx+c=0 ；④0351???xx，其中是一元二次方程的有。 变式:方程：①13122??xx②05222???yxyx③0172??x④022?y中一元二次程的是。 例2：一元二次方程12)3)(31(2????xxx化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为：，常数项为： 。 变式1：一元二次方程3（x—2）2＝5x－1的一般形式是

，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。 变式2：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。 例3：在关于x的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元 二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。 变式1：已知关于x的方程(m+1)x2－mx+1=0，它是（） A．一元二次方程 B．一元一次方程 C．一元一次方程或一元二次方程 D．以上答案都不对 变式2：当m 时，关于x的方程5)3(72????xxm m是一元二次方程 知识点二：一元二次方程的解 （1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 （2）应用：利用根的概念求代数式的值； 【典型例题】 1. 已知2x?是一元二次方程220xmx???的一个解，则m的值是（） 2 / 7 A．3? B．3 C．0 D．0或3 2. 已知322??yy的值为2，则1242??yy的值为。 3. 若x=a是方程x2-x-2015=0的根，则代数式2a2-2a-2015值为。 4. 关于x的一元二次方程??04222?????axxa的一个根为

第 讲 一元二次方程的概念及解法

第 讲 一元二次方程的概念及解法 理解一元二次方程的概念，并掌握几种解法 模块一 方程的概念及直接开方法解 1 .一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做 一元二次方程。一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ， 2.一元二次方程的解法 （1）、直接开平方法: （2）、配方法: （3）、公式法 （4）、因式分解法 一元二次方程的常见解法有四种：直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法。优先选取顺序依次为：直接开平方法→分解因式法→公式法→配方法．学会选取最优方法，在解一元二次方程时可以省时省力.

考点1 一元二次方程概念 1．判定是否为一元二次方程的方法： 一个方程是一元二次方程须满足三个条件： ①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 例题1 （1）下列方程中：①4x2=3x；①（x2﹣2）2+3x﹣1=0；①+4x﹣ =0；①x2=0；①=2；①6x（x+5）=6x2．其中一元二次方程的个数是（） A．1 B．2C．3 D．4 （2）已知关于x的方程（k﹣1）（k+3）x2+（k﹣1）x﹣k+3=0， 当k时，它是一元二次方程； 当k时，它是一元一次方程．

考点2 一元二次方程的根 例题2 （1）已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋k 2－1＝0有一个根为 0，则k 的值为 ______ （2）已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根， 则2m 2－4m ＝______ 考点3 直接开方法解一元二次方程 例题3 （1）判断下列哪个方程可以用直接开方法。 ①42=x ②062=--x x ③01322=++x x ④4)1(2=-x ⑤ 9)1(162=-x

一元二次方程

一元二次方程 知识梳理 一、 一元二次方程的概念 1．一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式 ()ax bx c a 2++=0≠0，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项． （1）要判断一个方程是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2． （2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax bx c 2++=0 (a ≠0)．要特别注意对于关于x 的方程ax bx c 2++=0．当a ≠0时，方程是一元二次方程；当a =0且 b ≠0时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程式()ax bx c a 2++=0≠0的项与各项的系数．ax 2为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项． 二、 一元二次方程的解法 1．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：适用于解形如()(),≥ax b c a c 2+=≠00的一元二次方程． （2）配方法：解形如()ax bx c a 2++=0≠0的一元二次方程， 运用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①二次项系数化为1； ②常数项右移； ③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）． ④化成()x m n 2+=的形式． ⑤若≥n 0，直接开平方得出方程的解． （3）公式法：将()ax bx c a 2 ++=0≠0进行配方可以得到：b b ac x a a 2 22 -4⎛ ⎫+= ⎪24⎝⎭ ．