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乘法公式的灵活运用
一、复习:
(a+b)(a-b)=a 2
-b 2
(a+b)2
=a 2
+2ab+b 2
(a-b)2
=a 2
-2ab+b 2
(a+b)(a 2
-ab+b 2
)=a 3
+b 3
(a-b)(a 2
+ab+b 2
)=a 3
-b 3
归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: ① 位置变化,(x +y )(-y +x )=x 2
-y 2
② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2
-y 2
= x 2
-y 2
③ 指数变化,(x 2
+y 2
)(x 2
-y 2
)=x 4
-y 4 ④ 系数变化,(2a +b )(2a -b )=4a 2
-b 2
⑤ 换式变化,[xy +(z +m )][xy -(z +m )]
=(xy )2
-(z +m )2
=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2
-(z 2
+zm +zm +m 2
) =x 2y 2
-z 2
-2zm -m 2
⑥ 增项变化,(x -y +z )(x -y -z )
=(x -y )2
-z 2
=(x -y )(x -y )-z 2
=x 2
-xy -xy +y 2
-z 2 =x 2
-2xy +y 2
-z 2
⑦ 连用公式变化,(x +y )(x -y )(x 2
+y 2
)
=(x 2
-y 2
)(x 2
+y 2) =x 4
-y 4
⑧ 逆用公式变化,(x -y +z )2
-(x +y -z )2
=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz
例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴2
2b a +=ab b a 2)(2-+
∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222
=?-
例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 2
22b ab a +-
∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2
)(b a -
∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482
=?-
例3:计算19992
-2000×1998
〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。 解:19992
-2000×1998 =19992
-(1999+1)×(1999-1) =19992
-(19992
-12
)=19992
-19992
+1 =1
例4:已知a+b=2,ab=1,求a 2
+b 2
和(a-b)2
的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解:a 2
+b 2
=(a+b)2
-2ab=4-2=2 (a-b)2
=(a+b)2
-4ab=4-4=0
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例5:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x 2
-z 2
的值。
〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值,比较麻烦,考虑到x 2
-z 2
是由x+z 和x-z 的积得来的,所以只要求出x-z 的值即可。
解:因为x-y=2,y-z=2,将两式相加得x-z=4,所以x 2
-z 2
=(x+z )(x-z)=14×4=56。
例6:判断(2+1)(22
+1)(24
+1)……(22048
+1)+1的个位数字是几?
〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案,故有一定的规律可循。观察到1=(2-1)和上式可构
成循环平方差。
解:(2+1)(22
+1)(24
+1)……(2
2048
+1)+1 =(2-1)(22
+1)(24
+1)……(22048
+1)+1
=24096
=161024 因为当一个数的个位数字是6的时候,这个数的任意正整数幂的个位数字都是6,所以上式的个位数字必为6。
例7.运用公式简便计算
(1)1032
(2)1982
解:(1)1032=(100+3)2 =1002+2?100?3+32
=10000+600+9 =10609 (2)1982
=(200-2)2
=2002
-2?200?2+22
=40000-800+4 =39204
例8.计算
(1)(a +4b -3c )(a -4b -3c ) (2)(3x +y -2)(3x -y +2)
解:(1)原式=[(a -3c )+4b ][(a -3c )-4b ]=(a -3c )2
-(4b )2
=a 2
-6ac +9c 2
-16b 2
(2)原式=[3x +(y -2)][3x -(y -2)]=9x 2
-( y 2
-4y +4)=9x 2
-y 2
+4y -4
例9.解下列各式
(1)已知a 2
+b 2
=13,ab =6,求(a +b )2
,(a -b )2
的值。 (2)已知(a +b )2
=7,(a -b )2
=4,求a 2
+b 2
,ab 的值。
(3)已知a (a -1)-(a 2
-b )=2,求222
a b ab +-的值。
(4)已知13x x -=,求4
41x x
+的值。
分析:在公式(a +b )2=a 2+b 2+2ab 中,如果把a +b ,a 2+b 2
和ab 分别看作是一个整体,则公式中有三个未知数,知道了两个就可以求出第三个。 解:(1)∵a 2
+b 2
=13,ab =6
∴(a +b )2
=a 2
+b 2
+2ab =13+2?6=25 (a -b )2
=a 2
+b 2
-2ab =13-2?6=1 (2)∵(a +b )2
=7,(a -b )2
=4
∴ a 2
+2ab +b 2
=7 ① a 2
-2ab +b 2
=4 ② ①+②得 2(a 2
+b 2
)=11,即22
11
2
a b +=
①-②得 4ab =3,即34
ab =
(3)由a (a -1)-(a 2
-b )=2 得a -b =-2
()22221222a b ab a b ab +∴-=+-()()22
112222
a b =-=?-=
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(4)由13x x -=,得19x x 2
?
?-= ??
? 即22129x x +-= 22111x x ∴+=
221121x x 2
??
∴+= ??
? 即4412121x x ++= 441119x x +=
例10.四个连续自然数的乘积加上1,一定是平方数吗?为什么? 分析:由于1?2?3?4+1=25=52
2?3?4?5+1=121=112
3?4?5?6+1=361=192
…… 得猜想:任意四个连续自然数的乘积加上1,都是平方数。 解:设n ,n +1,n +2,n +3是四个连续自然数
则n (n +1)(n +2)(n +3)+1 =[n (n +3)][(n +1)(n +2)]+1 =(n 2
+3n )2
+2(n 2
+3n )+1
=(n 2
+3n )(n 2
+3n +2)+1 =(n 2
+3n +1)2
∵n 是整数,∴ n 2
,3n 都是整数 ∴ n 2
+3n +1一定是整数
∴(n 2
+3n +1)是一个平方数 ∴四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。
例11.计算 (1)(x 2
-x +1)2
(2)(3m +n -p )2
解:(1)(x 2
-x +1)2
=(x 2)2
+(-x )2
+12
+2? x 2
?(-x )+2?x 2
?1+2?(-x )?1=x 4
+x 2
+1-2x 3
+2x 2
-2x
=x 4
-2x 3
+3x 2
-2x +1
(2)(3m +n -p )2
=(3m )2
+n 2
+(-p )2
+2?3m ?n +2?3m ?(-p )+2?n ?(-p )=9m 2
+n 2
+p 2
+6mn -6mp -2np 分析:两数和的平方的推广
(a +b +c )2
=[(a +b )+c ]2
=(a +b )2
+2(a +b )?c +c 2
=a 2
+2ab +b 2
+2ac +2bc +c 2
=a 2
+b 2
+c 2
+2ab +2bc +2ac 即(a +b +c )2
=a 2
+b 2
+c 2
+2ab +2bc +2ac
几个数的和的平方,等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
二、乘法公式的用法
(一)、套用:这是最初的公式运用阶段,在这个环节中,应弄清乘法公式的来龙去脉,准确地掌握其特征,为辨认和运用公式打下基础,同时能提高学生的观察能力。
例1. 计算:
()()53532
2
2
2
x
y
x
y
+- 解:原式()()
=-=-5325922
22
44x y x y
(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。 例2. 计算:()()()()111124-+++a a a a
解:原式()()()=
-++1112
2
4
a a a
()()=-+=-1114
4
8
a a a
例3. 计算:()()32513251x y z x y z +-+-+--
解:原式()()[]()()[]=
-++--+25312531y z x y z x
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()()
=--+=-+---253149252061
22
2
2
2
y z x y x z yz x
三、逆用:学习公式不能只会正向运用,有时还需要将公式左、右两边交换位置,得出公式的逆向形式,并运用其解决问题。
例4. 计算:()()57857822a b c a b c +---+
解:原式()()[]()()[]=
+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c
()=-=-101416140160a b c ab ac
四、变用: 题目变形后运用公式解题。 例5. 计算:()()x y z x y z +-++26
解:原式()[]()[]=
++-+++x y z z x y z z 2424
()()
=++-=+-+++x y z z x y z xy xz yz
24122442
2
2
2
2
五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式:
()()()()(
)
()()122232442
222
222
2
2
2
22
....a b ab a b a b ab a b a b a b a b
a b a b ab
+-=+-+=+++-=++--=
灵活运用这些公式,往往可以处理一些特殊的计算问题,培养综合运用知识的能力。 例6. 已知a b ab -==45,,求a b 22+的值。
解:()a b a b ab 2
22
2242526+=-+=+?=
例7. 计算:()()a b c d b c d a ++-+++-22
解:原式()()[]()()[]
=
++-++--b c a d b c a d 2
2
()()
[]
=++-=++++-22222442
2
2222b c a d a b c d bc ad
例8. 已知实数x 、y 、z 满足x
y z xy y +==+-592,,那么x y z ++=23( )
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解:由两个完全平方公式得:()()[]
ab
a b a b =
+--1
4
22
从而 ()[]
z
x y y 2
22
14
59=
--+- ()()
()
=
--+-=-+-=--+=--25414
529696932
222
y y y y y y y ()∴∴,∴∴z y z y x x y z 22
30032
2322308
+-====++=+?+=
三、学习乘法公式应注意的问题
(一)、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”. 例1 计算(-2x 2
-5)(2x 2
-5)
分析:本题两个因式中“-5”相同,“2x 2
”符号相反,因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2
-b 2
中的a ,而“2x 2
”则是公式中的b .
解:原式=(-5-2x 2
)(-5+2x 2
)=(-5)2
-(2x 2)2
=25-4x 4
.
例2 计算(-a 2
+4b )2
分析:运用公式(a +b )2
=a 2
+2ab +b 2
时,“-a 2
”就是公式中的a ,“4b ”就是公式中的b ;若将题目变形为(4b -a 2)2
时,则“4b ”是公式中的a ,而“a 2
”就是公式中的b .(解略)
(二)、注意为使用公式创造条件 例3 计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5).
分析:粗看不能运用公式计算,但注意观察,两个因式中的“2x ”、“5”两项同号,“y ”、“z ”两项异号,因而,可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式. 解:原式=〔(2x +5)+(y -z )〕〔(2x +5)-(y -z )〕 =(2x +5)2
-(y -z )2
=4x 2
+20x +25-y +2yz -z 2
.
例4 计算(a -1)2
(a 2
+a +1)2
(a 6
+a 3
+1)2
分析:若先用完全平方公式展开,运算十分繁冗,但注意逆用幂的运算法则,则可利用乘法公式,使运算简便. 解:原式=[(a -1)(a 2
+a +1)(a 6
+a 3
+1)]2
=[(a 3
-1)(a 6
+a 3
+1)]2
=(a 9
-1)2
=a 18
-2a 9
+1
例5 计算(2+1)(22
+1)(24
+1)(28
+1).
分析:此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项(2-1),则可运用公式,使问题化繁为简. 解:原式=(2-1)(2+1)(22
+1)(24
+1)(28
+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)
=(28-1)(28+1)
=216-1
(三)、注意公式的推广
计算多项式的平方,由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推广得到:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.可叙述为:多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2倍.
例6 计算(2x+y-3)2
解:原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)
=4x2+y2+9+4xy-12x-6y.
(四)、注意公式的变换,灵活运用变形公式
例7 (1)已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2的值;
(2)已知:x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值.
分析:粗看似乎无从下手,但注意到乘法公式的下列变形:x2+y2=(x+y)2-2xy,x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),
(x+y)2-(x-y)2=4xy,问题则十分简单.
解:(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),将已知条件代入得100=103-3xy·10,
∴xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40.
(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1.
例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2.
分析:直接展开,运算较繁,但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),因而问题容易解决.
解:原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2
=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]
=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2
=4a2+4b2+4c2
(五)、注意乘法公式的逆运用
例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2.
分析:若按完全平方公式展开,再相减,运算繁杂,但逆用平方差公式,则能使运算简便得多.
解:原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]
=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac.
例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
分析:此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算,但逆用完全平方公式,则运算更为简便.
解:原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2
=[(2a+3b)+(4a-5b)]2
=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2.
四、怎样熟练运用公式:
(一)、明确公式的结构特征
这是正确运用公式的前提,如平方差公式的结构特征是:符号左边是两个二项式相乘,且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数;等号右边是乘式中两项的平方差,且是相同项的平方减去相反项的平方.明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.
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(二)、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a 、b 可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.理解了字母含义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算(x +2y -3z )2
,若视x +2y 为公式中的a ,3z 为b ,则就可用(a -b )2
=a 2
-2ab +b 2
来解了。
(三)、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点.
常见的几种变化是:
1、位置变化 如(3x +5y )(5y -3x )交换3x 和5y 的位置后即可用平方差公式计算了.
2、符号变化 如(-2m -7n )(2m -7n )变为-(2m +7n )(2m -7n )后就可用平方差公式求解了(思考:不变或不这样变,可以吗?)
3、数字变化 如98×102,992
,912
等分别变为(100-2)(100+2),(100-1)2
,(90+1)2
后就能够用乘法公式加以解答了.
4、系数变化 如(4m +
2n )(2m -4n )变为2(2m +4n )(2m -4
n
)后即可用平方差公式进行计算了. 5、项数变化 如(x +3y +2z )(x -3y +6z )变为(x +3y +4z -2z )(x -3y +4z +2z )后再适当分组就可以用乘法公式来解了.
(四)、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如计算(a 2
+1)2
·(a 2
-1)2
,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,则非常简便.即原式=[(a 2
+1)(a 2
-1)]2
=(a 4
-1)2
=a 8
-2a 4
+1.
对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注意逆向(从右到左)运用.如计算(1-2
21
)(1-
231)(1-241)…(1-291)(1-210
1),若分别算出各因式的值后再行相乘,不仅计算繁难,而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,则可巧解本题.
即原式=(1-21)(1+21)(1-31)(1+31)×…×(1-101)(1+101
)=21×23×32×34×…×109×1011 =
2
1×1011=20
11. 有时有些问题不能直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式,乘法公式的变式主要有:a 2
+b 2
=(a +b )2
-2ab ,a 2
+b 2
=(a -b )2
+2ab 等.
用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效. 如已知m +n =7,mn =-18,求m 2
+n 2
,m 2
-mn + n 2
的值. 面对这样的问题就可用上述变式来解,
即m 2
+n 2
=(m +n )2
-2mn =72
-2×(-18)=49+36=85,
m 2-mn + n 2= (m +n )2-3mn =72-3×(-18)=103.
下列各题,难不倒你吧?!
1、若a +a 1=5,求(1)a 2
+21a
,(2)(a -a 1)2的值.
2、求(2+1)(22
+1)(24
+1)(28
+1)(216
+1)(232
+1)(264
+1)+1的末位数字. (答案:1.(1)23;(2)21.2. 6 )
五、乘法公式应用的五个层次
乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)=a2±2ab+b2,
(a±b)(a2±ab+b2)=a3±b3.
第一层次──正用
即根据所求式的特征,模仿公式进行直接、简单的套用.
例1计算
(2)(-2x-y)(2x-y).
(2)原式=[(-y)-2x][(-y)+2x]=y2-4x2.
第二层次──逆用,即将这些公式反过来进行逆向使用.
例2计算Array
(1)19982-1998·3994+19972;
=1
解(1)原式=19982-2·1998·1997+19972 =(1998-1997)2
第三层次──活用:根据待求式的结构特征,探寻规律,连续反复使用乘法公式;有时根据需要创造条件,灵活应用公式.
例3化简:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1.
分析直接计算繁琐易错,注意到这四个因式很有规律,如果再增添一个因式“2-1”便可连续应用平方差公式,
从而问题迎刃而解.
解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=216.
例4计算:(2x-3y-1)(-2x-3y+5)
分析仔细观察,易见两个因式的字母部分与平方差公式相近,但常数不符.于是可创造条件─“拆”数:-1=2
-3,5=2+3,使用公式巧解.
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解原式=(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)
=[(2-3y)+(2x-3)][(2-3y)-(2x-3)]
=(2-3y)2-(2x-3)2=9y2-4x2+12x-12y-5.
第四层次──变用:解某些问题时,若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式,如a2+b2=(a+b)2-2ab,a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)等,则求解十分简单、明快.
例5已知a+b=9,ab=14,求2a2+2b2和a3+b3的值.
解:∵a+b=9,ab=14,∴2a2+2b2=2[(a+b)2-2ab]=2(92-2·14)=106,
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=93-3·14·9=351
第五层次──综合后用:将(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2综合,
可得 (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);(a+b)2-(a-b)2=4ab;
等,合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷.
例6计算:(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
解:原式=1
4
[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-
1
4
[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2
=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2
六、正确认识和使用乘法公式
1、数形结合的数学思想认识乘法公式:
对于学习的两种(三个)乘法公式:平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2,可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设a、b都是正数,那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。
如图1,两个矩形的面积之和(即阴影部分的面积)为(a+b)(a-b),通过左右两图的对照,即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2,通过面积的计算方法,即可得到两个完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。
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2、乘法公式的使用技巧:
①提出负号:对于含负号较多的因式,通常先提出负号,以避免负号多带来的麻烦。 例1、 运用乘法公式计算:
(1)(-1+3x)(-1-3x); (2)(-2m-1)2
解:(1)(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=12
-(3x)2
=1-9x 2
. (2) (-2m-1)2
=[-(2m+1)]2
=(2m+1)2
= 4m 2
+4m+1.
②改变顺序:运用交换律、结合律,调整因式或因式中各项的排列顺序,可以使公式的特征更加明显. 例2、 运用乘法公式计算:
(1)(13a-14b )(-14b -a 3 ); (2)(x-1/2)(x 2
+1/4)(x+1/2)
解:(1)(13a-14b )(-14b -a 3 )=(-14b+ 13a )(-14b -1
3
a )
=(14b- 13a )(14b +13a )=(14b)2- (13a)2 = 116b 2- 19
a 2 (2) (x-1/2)(x 2
+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x 2
+1/4)
=(x 2
-1/4) (x 2
+1/4)= x 2
-1/16.
③逆用公式
将幂的公式或者乘法公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得a 2
-b 2
= (a+b)(a-b),逆用积的乘方公式,得a n b n
=(ab)n
,等等,在解题时常会收到事半功倍的效果。
例3、 计算:
(1)(x/2+5)2
-(x/2-5)2
; (2)(a-1/2)2
(a 2
+1/4) 2
(a+1/2)
2
解:(1)(x/2+5)2
-(x/2-5)2
=[(x/2+5)+(x/2-5)] [(x/2+5)-(x/2-5)]
=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x ·10=10x.
(2)(a-1/2)2
(a 2
+1/4) 2
(a+1/2)2
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=[(a-1/2)(a 2
+1/4)
(a+1/2)] 2
=[(a-1/2
) (a+1/2) (a 2
+1/4)] 2
=[(a 2
-1/4
) (a 2
+1/4)] 2
=(a 4
-1/16 )
2
=a 8-a 4
/8+1/256.
④合理分组:对于只有符号不同的两个三项式相乘,一般先将完全相同的项调到各因式的前面,视为一组;符号相反的项放在后面,视为另一组;再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。
计算:(1)(x+y+1)(1-x-y); (2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
解:(1) (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= [1+(x+y)][1-(x+y)]=12
-(x+y)
2
=1-(x 2
+2xy+y 2
)= 1-x 2
-2xy-y 2
.
(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)
=[ (2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]
= (2x+5)2
-(y-z)2
=(4x 2
+20x+25)-(y 2
-2yz+z 2
) = 4x 2
+20x+25-y 2
+2yz-z 2
= 4x 2
-y 2
-z 2
+2yz +20x+25 .
七、巧用公式做整式乘法
整式乘法是初中数学的重要内容,是今后学习的基础,应用极为广泛。尤其多项式乘多项式,运算过程复杂,在解答中,要仔细观察,认真分析题目中各多项式的结构特征,将其适当变化,找出规律,用乘法公式将其展开,运算就显得简便易行。
一. 先分组,再用公式 例1. 计算:()()a
b c d a b c d -+-----
简析:本题若以多项式乘多项式的方法展开,则显得非常繁杂。通过观察,将整式()a
b c d -+-运用加法交换律和结合律变形为()()--++b d a c ;将另一个整式()----a b c d 变形为()()---+b d a c ,则
从其中找出了特点,从而利用平方差公式即可将其展开。 解:原式[]()()[]=--++---+()()b d a c b d a c
=---+=++---()()b d a c b bd d a ac c
22
2
2
2
2
22
二. 先提公因式,再用公式 例2. 计算:8244x
y x y +??
???-?? ??
? 简析:通过观察、比较,不难发现,两个多项式中的x 的系数成倍数,y 的系数也成倍数,而且存在相同的倍数关系,若将第一个多项式中各项提公因数2出来,变为244x y +??
?
?
?,则可利用乘法公式。 解:原式=
+?
? ???-?? ??
?24444x y x y
()=-?? ??????????
?=-
244328
222
2x y x y
三. 先分项,再用公式 例3. 计算:
()()232236x y x y ++-+
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简析:两个多项中似乎没多大联系,但先从相同未知数的系数着手观察,不难发现,x 的系数相同,y 的系数互为相反数,符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与-2的和,将6分解成4与2的和,再分组,则可应用公式展开。 解:原式=
[]()()[]()()24232423x y x y +--++-
()=+--=+++-()24234161212922
22
x y x x y y
四. 先整体展开,再用公式 例4. 计算:()()a b a b +-+221
简析:乍看两个多项式无联系,但把第二个整式分成两部分,即[]()a b -+21,再将第一个整式与之相乘,
利用平方差公式即可展开。 解:原式[]=+-+()()a b a b 221
=+-++=-++()()()
a b a b a b a b a b
222422
2
五. 先补项,再用公式
例5. 计算:3313131318
42+++++()()()()
简析:由观察整式()31+,不难发现,若先补上一项()31-,则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐
步展开,使运算变得简便易行。
解:原式=+++++-331313131312
842()()()()()
=+
+++-=+
++-=++-=+
-=+3313131312
33131312
33131233125232
8422844881616()()()()()()()()()
()
六. 先用公式,再展开
例6. 计算:1121131141110
2222-
??
???-?? ???-?? ???-?? ?
??… 简析:第一个整式1122-?
? ???可表示为11222-?? ?????????
??,由简单的变化,可看出整式符合平方差公式,其它因
式类似变化,进一步变换成分数的积,化简即可。
解:原式=+?? ???-?? ???+?? ???-?? ???+?? ???-?? ???+?? ???-?? ???11211211311311411411101110… =???????=32124323543411109101120
…
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七. 乘法公式交替用 例7. 计算:()()()()x
z x xz z x z x xz z +-+-++222222
简析:利用乘法交换律,把第一个整式和第四个整式结合在一起,把第二个整式与第三个整式结合,则可利用乘法公式展开。 解:原式[][]=
+++-+-()()()()
x z x xz z x xz z
x z 2
2
2
2
22
[][]=++--()()()()x z x z x z x z 22
[]=+-=+-=-=-+-()()()()()
x z x z x z x z x z x x z x z z 33
3
2
23
642246
33
八、中考与乘法公式 1. 结论开放
例1. (02年济南中考)请你观察图1中的图形,依据图形面积的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是______________。
分析:利用面积公式即可列出()()x y x y x y +-=-22
或()()x
y x y x y 2
2-=+-或()x y x xy y -=-+2
222
在上述公式中任意选一个即可。
例2. (03年陕西中考)
如图2,在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a
b >)
,把余下的部分剪成一个矩形,如图3,通过计算两个图形的面积,验证了一个等式,则这个等式是______________。
分析:利用面积公式即可列出
()()a b a b a b +-=-22或()()a b a b a b 22-=+-
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2. 条件开放
例3. (03年四川中考)多项式912
x
+加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上
的单项式可以是____________(填上你认为正确的一个即可,不必考虑所有的可能情况)。
分析:解答时,可能习惯于按课本上的完全平方公式,得出
()
9163122
x x x ++=+ 或()
916312
2
x
x x +-=-只要再动点脑筋,还会得出
()
9181492191132422
22
x x x x x ++=+?? ?
??
+-=
9191222x x +-= 故所加的单项式可以是±6x ,或
814
4
x ,或-1,或-92x 等。 3. 找规律
例4. (01年武汉中考) 观察下列各式:
()()()()()()x x x x x x x x x x x x -+=--++=--+++=-111
111111
223324……
由猜想到的规律可得
()()x x x x x n n n -+++++=--1112…____________。
分析:由已知等式观察可知 ()()x x x x x x n n n n -+++++=---+111121…
4. 推导新公式 例
5. 在公式
()a a a +=++1212
2中,当a 分别取1,2,3,……,n 时,可得下列n 个等式
()()()()111211212221
313231
121
2222222
2+=+?++=+?++=+?++=++…
…
n n n
将这n 个等式的左右两边分别相加,可推导出求和公式:
123++++=…n __________(用含n 的代数式表示)
分析:观察已知等式可知,后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边,将已知等式左右两边分别相加,得:
()n n n +=+?+?++?+11212222
2… 移项,整理得:
()1231
2
1++++=
+…n n n
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乘法公式的几何背景 1、如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为. 第2题 2、如图所示,用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是. 3、如图,图①是边长为a的正方形中有一个边长是b的小正方形,图②是将图①中的阴影部分剪拼成的一个等腰梯形,比较图①和图②阴影部分的面积,可验证的是. 第4题图 4、用该几何图形的面积可以表示的等量关系是. 5、如图:边长为a,b的两个正方形,边保持平行,如果从大正方形中剪去小正方形,剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形.请你计算出两个阴影部分的面积,同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义. 6、如图1,A、B、C是三种不同型号的卡片,其中A型是边长为a的正方形,B型是长为 b、宽为a的长方形,C是边长是b的正方形. 7、小杰同学用1张A型、2张B型和1张C型卡片拼出了一个新的图形(如图2).请根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的公式是.8、图1是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线剪开,可分成四块小长方形.
(1)你认为图1的长方形面积等于; (2)将四块小长方形拼成一个图2的正方形.请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积. 方法1: 方法2: (3)观察图2直接写出代数式(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系; (4)把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部(如图3),未被覆盖的部分用阴影表示.求两块阴影部分的周长和(用含m、n的代数式表示). 9、如图,ABCD是正方形,P是对角线BD上一点,过P点作直线EF、GH分别平行于AB、BC,交两组对边于E、F、G、H,则四边形PEDG,四边形PHBF都是正方形,四边形PEAH、四边形PGCF都是矩形,设正方形PEDG的边长是a,正方形PHBF的边长是b.请动手实践并得出结论: (1)请你动手测量一些线段的长后,计算正方形PEDG与正方形PHBF的面积之和以及矩形PEAH与矩形PGCF的面积之和. (2)你能根据(1)的结果判断a2+b2与2ab的大小吗? (3)当点P在什么位置时,有a2+b2=2ab?
完全平方公式 一、填空题: ()22)(91 291=+-a a (2)1-6a+9a 2=()2 22)(41 )5(=++x x (6)x 2y 2-4xy+4=()2 (7)x 2+()+9y 2=(x+)2(8)(a+b)2-()=(a-b)2 (9)(5x+3)2(3-5x)2=_______________________ (10)若(x-3y)2+K=x 2-5xy+8y 2,则K=_________ 二、选择题: (1)已知4x 2+kx+9是一个完全平方式,那么k 值为() (A )12(B )±18(C )±12(D )±6 (2)下列多项式中,是完全平方式的为() (A )1-4m+2m 2(B )a 2+2a+4 ()ab b a C 341 922-+(D )x 2+2xy+1 二、 1、计算 (1)(3a+2b)2(2)(5x-y)2 (3)(-4x+3a)2(4)(-y-6)2 2、计算 (1)99.82(2)20052 (3)1042(4)982 3、计算
(1)(2x-3)(3-2x)(2)(5a-4b)(-5a+4b) (3)(2m2+3n)(2m2-3n)(4)(2m2+3n)(-2m2-3n) 四、填空 (1)(x-y)(x+y)=________(2)(x-y)(x-y)=________ (3)(-x-y)(x+y)=________(4)(-x-y)(x-y)=________ (5)(a-1)·()=a2-1(6)(a-1)·()=a2-2a+1 (7)(a+b)2-(a-b)2=________(8)(a+b)2+(a-b)2=________ 五、计算 (1)(a-2b-3c)2(2)(x+y-2)(x-y+2) (3)(a+2b-3c)(a-2b+3c)(4)(a+2b-3c)(a-2b-3c) (5)(2a+b-5c)(2a-b-5c)(6)(2a+b+5c)(-2a-b+5c)
乘法公式的综合应用 1、平方差公式 符号表示:(a+b)(a-b)=a2-b2 语言描述:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。 要点诠释:平方差公式的典型特征:既有相同项,又有“相反项”,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方。 2、完全平方公式 符号表示:(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 语言描述:两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍. 要点诠释:公式特点:左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍。 题型一、完全平方公式 1.已知x2+kxy+64y2是一个完全式,则k的值是() A.8 B.±8 C.16 D.±16 2.若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式,则m的值为()A.24 B.-12 C.±12 D.±24 3.若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式,则m ()
A.6 B.12 C.±6 D.±12 4.下列多项式中是完全平方式的是() A.2x2+4x-4 B.16x2-8y2+1 C.9a2-12a+4 D.x2y2+2xy+y2 5.如果x2+mx+9是一个完全平方式,则m的值为() A.3 B.6 C.±3 D.±6 6.x2-10x+ =(x-)2. 7.下列各式是完全平方式的是() A.x2-x+1 4B.1+x2 C.x+xy+1 D.x2+2a-1 题型二、 1、若(x+ 1 x)2=9,则(x - 1 x)2的值为. 2.已知x-1 x=1,则x2+= . 4.已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a2+b2和ab的值.4.若a2+b2=5,ab=2,则(a+b)2= .
八年级上数学《整式的乘法与乘法公式》测试题 (100分) 班级__________ 姓名______________ 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列计算中正确的是( ) A .5322a b a =+ B .44a a a =÷ C .842a a a =? D .()632a a -=- 2.下面是某同学在一次测验中的计算摘录,其中正确的个数有( ) ① ()523623x x x -=-?; ② ()a b a b a 22423-=-÷; ③ ()523a a =; ④ ()()23a a a -=-÷- A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 3. 若()()b ax x x x ++=+-2 32,则a, b 的值分别为( ) A .a=5, b=6 B .a=1, b= -6 C .a=1, b=6 D .a=5, b= -6 4.()()22a ax x a x ++-的计算结果是( ) A .3232a ax x -+ B .33a x - C .3232a x a x -+ D .322322a a ax x -++ 5.已知210x y -=,则24y x -的值为 ( ) A .10 B .20 C .-10 D .-20 6.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( ) A.))((b a b a -+- B.)2)(2(x x ++ C.)31)(31(x y y x - + D.)1)(2(+-x x 7. 我们约定1010a b a b ?=?,如23523101010?=?=,那么48?为 ( ) A. 32 B.3210 C. 1210 D. 1012 8.若153=x ,53=y ,则y x -3等于( ) A. 5 B. 3 C. 15 D. 10 9. 13+m a 可写成( ) A. (a 3)m+1 B. (a m )3+1 C. a ·a 3m D. (a m )2m+1 10. 如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项,则m 的值为( ) A. –3 B. 3 C. 0 D. 1 二、填空题(每空3分,共18分)
乘法公式的活用 一、公式 : (a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b) 2=a 2+2ab+b 2 (a-b) 2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b )(a 2+ab+b 2)=a 3- 归纳小结公式的变式, ① 位置变化, x y ② 符号变化, x y ③ 指数变化, x 2 y 2 ④ 系数变化, 2a b ⑤ 换式变化, xy z yx 2 x 2 y 2 2 2 2 xy xy xy 22 4 4 xy x y 2a b 22 4a 2 b 2 m xy zm 2 2 xy z m 22 x 2y 2 z m z m 22 2 2 xy z zm zm m 22 2 2 x 2y 2 z 2zm m b 3 准确灵活运用公式: ⑥ 增项变化, x y z ⑦ 连用公式变化, x ⑧ 逆用公式变化, x x y z x y z 例 1.已知 a b 2 , xyz 22 x y z 2 x y x y z 2 2 2 x xy xy y z 2 2 2 x 2xy y z 22 y x y x y 2 2 2 2 x y x y 44 xy 22 y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz ab 1,求 a 2 b 2 的值 例 2.已知 a b 8, ab 2 ,求 (a b )2 的值 例 3:计算 19992-2000 ×1998 2 2 2 例 4:已知 a+b=2, ab=1,求 a+b 和 (a-b ) 的值。 22 例 5:已知 x-y=2 ,y-z=2 ,x+z=14 。求 x -z 的值。 例 6:判断( 2+1)( 22+1)(24+1)??( 22048+1) +1 的个位数字是几? 例 7.运用公式简便计算 (1)1032 (2) 1982 例 8.计算 (1) a 4b 3c a 4b 3c ( 2) 3x y 2 3x y 2
整式的乘除和因式分解 【考点知识】 1、整式的乘法法则 2、整式的乘法公式 3、同底数幂的除法 4、整式的除法法则 5、因式分解 【基础过关】 1.(2014?邵阳,第2题3分)下列计算正确的是( ) A . ) 2x ﹣x =x B . a 3?a 2=a 6 C . (a ﹣b )2=a 2﹣b 2 D . (a +b )(a ﹣b )=a 2+b 2 2、下列运算正确的是 ( ) A 、 9 3 3 842x x x ÷= B 、 23 23 440a b a b ÷= C 、22m m a a a ÷= D 、221 2()42 ab c ab c ÷-=- 3、下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( ) ^ A 、))((b a b a -+- B 、)2)(2(x x ++ C 、)3 1 )(31(x y y x - + D 、)1)(2(+-x x 4、若多项式x 2 +kx+25是一个完全平方式,则值是( ) B.±10 D.±5 5、在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a >b ),再沿 虚线剪开,如图①,然后拼成一个梯形,如图②,根据这两个图形的面积关系,表明下列式子成立的是( )。 A 、a 2+b 2=(a +b )(a -b ) B 、(a +b )2=a 2+2ab +b 2 C 、(a -b )2=a 2-2ab +b 2 D 、a 2-b 2=(a -b )2 6.如图,你能根据面积关系得到的数学公式是( ) A .a 2-b 2=(a+b )(a -b ) B .(a+b )2=a 2+2ab+b 2 C .(a -b )2=a 2-2ab+b 2 D .a (a+b )=a 2 +ab 7、下列分解因式正确的是( ) A .3x 2 - 6x =x(x -6) B .-a 2 +b 2 =(b+a)(b -a) C .4x 2 - y 2=(4x -y)(4x+y) D .4x 2-2xy+y 2=(2x -y)2 a b b b a a 图① ! (第05题
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版) ?、基本公式 1. 平方差公式:(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 2 例:计算 1999 -2000 X 1998 2 2 2 2. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b) 例:运用公式简便计算 3. 完全平方公式 a+b(或a-b)、ab 、a 2 +b 2 这三者任意知道两项就可以求出第三项 (a+b)2 、(a-b) 2 、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项 ① a 2 b 2 = (a b)2 - 2ab a 2 b 2 = (a-b) 2+2ab 2 2 2 2 ② (a-b) =(a+b) -4ab (a+b) =(a-b) +4ab (2) 完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合 2 2 2 2 (a+b) + (a-b) =2 (a+b) 例1 ?已知a b 2 , ab =1,求a 2 b 2的值。 2 例 2.已知 a ? b = 8 , ab = 2,求(a - b)的值。 例3.已知a - b = 4, ab = 5,求a 2 b 2的值。 2 2 例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值. 例 5 (3)已知:x+2y=7 , xy=6,求(x-2y)2 的值. 例6.已知a +丄=5,求(1) a 2 +W , (2) (a —丄)2 的值. a a a (1) 完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项 2 2 2 =a -2ab+b (1) 1032 (2) 1982
1 1 例7.已知x -― =3,求x4■ ~4的值。 x x 2
1.平方差公式: 例:填空:(-2a-b )2= ; x 2+4y 2+ =(x- )2; x 2-x+ =( )2; (2)3121y x -+ ---- =(2)3 121y x + 3、形如:(x+p )(x+q)型公式: 一、选择题: 1、下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的有 ( ) A 、)2 1)(21(--+x x B 、)2)(2(--+-m m C 、)22)(22(b a b a -+- D 、)33)(33(33y x y x +- 2.若2 2)(b a p b a -=?+-,则p 等于 ( ) A .b a -- B .b a +- C .b a - D .b a + 【整式的乘除】强化训练 【一】一般运算法则的巩固练习: )2)(1()3)(2(,),1(-+-++y x y x (2) )43)(32()12(32y x y x x x xy ------ (3) ()()??? ??-?÷2332343228bc a b a c b a 【二】乘法公式的巩固练习 公式结构特征:(1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘;且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)];(2) 公式右边是这两个数的平方差;即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方。 (3) 公式中的 a 和b 可以是数,也可以是代数式. 2、完全平方公式:
3.若多项式n mx 12-可分解成两个整式的积为(3x +15)(3x -15 ),则m 、n 的值为( ) A .m=3,n=5 B .m=-3,n=5 C .m=9,n=25 D .m=-9,n=-25 4.下列等式正确的个数有( ) ①4x 2-1=(4x+1)(4x -1) ②m 2-n 2=(m+n )(m -n ) ③-16+9x 2=(4+3x )(-4+3x ) ④a 2+(-b )2=(a+b )(a -b ) A .①② B .②③ C .③④ D .①④ 5.若16)1(22+++x a x 是完全平方式,则a 的值为( ) A .3 B .-5 C .4 D .3或-5 6.若22)(4b x a x x -=+-,则b a ,应满足 ( ) A .a=1,b=1 B .a=4,b=2 C .a=4,b=-2 D .a=16,b=4 7.若关于x 的积)7)((+-x m x 中常数项为14,则m 的值为( ) A 、2 B 、-2 C 、7 D 、-7 9、代数式222b a ab --等于 ( ) A.2)(a b - B.2)(b a -- C.2)(b a -- D.2)(b a - 10. 若k xy x ++30252为一完全平方式,则k 为 ( ) A .362y B . 92y C . 42y D .2 y 11. 已知31=+m m ,则441m m +的值是 ( ) A 、9 B 、49 C 、47 D 、1 12.若013642 2=+-++b a b a ,则b a ,的值分别是 ( ) A.3,2==b a B.3,2=-=b a C.3,2-=-=b a D.3,2-==b a 二.填空题 1、=-++-+-+-22222222129596979899100 2.=?-123456790123456788 1234567892 3.________________)1)(1()3(2=-+--x x x 。
整式的乘法和乘法公式 一、单选题(共7题;共14分) 1.计算的结果为 A. B. C. 1 D. 【答案】C 2.已知,则的值为() A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 3.若,则的值为() A. B. C. D. 【答案】A 4.将方程x2+4x+1=0配方后,原方程变形为() A. (x+2)2=3 B. (x+4)2=3 C. (x+2)2=﹣3 D. (x+2)2=﹣5 【答案】A 5.下列运算正确的是() A. (﹣2a3)2=4a5 B. (a﹣b)2=a2﹣b2 C. D. 【答案】 D 6.(﹣5a2+4b2)()=25a4﹣16b4,括号内应填() A. 5a2+4b2 B. 5a2﹣4b2 C. ﹣5a2﹣4b2 D. ﹣5a2+4b2 【答案】C 7.如图1,从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形;如图2,然后将剩余部分拼成一个长方形.上述操作能验证的等式是( ) A. . B. . C. . D. . 【答案】B 二、填空题(共4题;共4分) 8.当x________时,(x-4)0=1.
【答案】x ≠4 9.计算的结果是________. 【答案】 10.计算:________. 【答案】9 11.已知三角形的底边是cm,高是cm,则这个三角形的面积是________ cm .【答案】 三、计算题(共1题;共10分) 12.计算: (1) (2) 【答案】(1)解: = = = (2)解: = = = 四、解答题(共3题;共15分) 13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14,C=10,求Rt△ABC的面积. 【答案】解:∵a+b=14 ∴(a+b)2=196 ∵C=10, ∴a2+b2=c2=100 ∴2ab=(a+b)2-(a2+b2)=196 -100=96, ∴ab=48,
【知识梳理】 (1) m n a a ?= (m .n 都是正整数). (2) ()m n a = (m .n 都是正整数). (3) ()n ab = (n 是正整数). (4) m n a a ÷= (a≠0,m .n 都是正整数,m n >). (5)()()x p x q ++= . (6)()()a b a b +- = . (7)2 ()a b + = . (8)2 ()a b - = . (9)2 ()a b c ++ = . (10)0 a = (0≠a ). 【例题讲解】 例1计算 1.()()()()2 3 3 2 32222x y x xy y x ÷-+-? 2.()()()a b b a b a -+-+-22222 3.()()p n m p n m 3232+++- 4. ??? ?????+??? ??-??? ??--????????-??? ??+??? ?? --1111112 2a a a a a a a a 例2应用运算性质及公式进行简便运算 1.2005 20051003000.25480.5?-? 2. 1241221232 ?- 3. ()2 8.79- 例3求值问题 1.已知9=m a ,6=n a ,2=k a ,试求 k n m a 32+-的值 2.若2 2 ()(23)x px q x x ++--展开项中不含2 x 和3x 项,求p 和q 的值. 3.()()()() 2 2 1112++++-+--a b a b a b a 其中2 1 =a ,2-=b . 4.已知一个多项式与单项式xy 2的积为 3223423xy y x y x ++-,试求这个多项式 5.已知9ab =,3a b -=-,求22 3a ab b ++的值. 例4 1.如果1㎏煤的全部能量都释放出来有 KJ 141004.9?,完全燃烧1㎏煤却只能释 放KJ 4 1035.3?的热。1㎏煤的全部能量是完全燃烧释放的热的多少倍?(保留3 个有效数字) 2.如图,某市有一块长为()b a +3米,宽为 ()b a +2米的长方形地块,?规划部门计划 将阴影部分进行绿化,中间将修建一座雕像,则绿化的面积是多少平方米??并求出当3=a ,2=b 时的绿化面积. 3.利用我们学过的知识,可以导出下面这个形式优美的等式: 222a b c ab bc ac ++---= ()()()222 12a b b c c a ??-+-+-? ? 该等式从左到右的变形,不仅保持了结构的对称性,?还体现了数学的和谐.简洁美. (1)请你检验这个等式的正确性. (2)若a =2005,b =2006,c =2007,你能很快求出ac bc ab c b a ---++2 2 2 的值吗? 49
2.2.3 运用乘法公式进行计算 1.熟练运用乘法公式进行计算;(重点、难点) 2.通过对不同的式子采取合适的方法运算,培养学生的思维能力和解题能力. 一、情境导入 1.我们学过了哪些乘法公式? (1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2. 2.怎样计算:(a+2b-c)(a-2b+c). 二、合作探究 探究点:运用乘法公式进行计算 【类型一】乘法公式的综合运用 计算: (1)(2+1)(22+1)(24+1)…(216+1); (2)(a+b)2-2(a+b)(a-b)+(a-b)2; (3)(x-2y+3z)(x+2y-3z); (4)(2a+b)2(b-2a)2. 解析:(1)可添加(2-1),与首项结合起来用平方差公式,再把结果依次与下一项运用平方差公式; (2)逆用完全平方公式,能简化运算; (3)两个因式都是三项式,且各项的绝对值对应相等,所以可先运用平方差公式; (4)先利用积的乘方把原式变形为[(b+2a)(b-2a)]2,再利用平方差公式把中括号内的多项式的乘法展开,然后再利用完全平方公式展开即可. 解:(1)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(216+1)=(22-1)(22+1)(24+1)…(216+1) =(24-1)(24+1)…(216+1)=232-1; (2)原式=[(a+b)-(a-b)]2=(a+b-a+b)2=4b2; (3)原式=[x-(2y-3z)][x+(2y-3z)]=x2-(2y-3z)2=x2-(4y2-12yz+9z2)=x2-4y2 +12yz-9z2; (4)(2a+b)2(b-2a)2=[(b+2a)(b-2a)]2=(b2-4a2)2=b4-8a2b2+16a4. 方法总结:运用乘法公式计算时,先要分析式子的特点,找准合适的方法,能起到事半功倍的作用.同时由于减少了运算量,能提高解题的准确率. 【类型二】运用乘法公式求值 如图,立方体每个面上都写有一个自然数,并且相对两个面所写两数之和相等. 若18的对面写的是质数a,14的对面写的是质数b,35的对面写的是质数c,试求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.
(八年级数学)整式的乘法(六)——乘法公式(2) 第 周星期 班别 姓名 学号 一、学习目标: 自主探索总结出两数和的平方与两数差的平方规律,并能正确运用完全平方 公式进行多项式的乘法。 二、问题情境 问题1:街心花园有一块边长为a 米的正方形草坪,经统一规划后,南北向 要加长2米,东西向也要加长2米。问改造后的长方形草坪的面积是多少? 解: 问题2:== 问题3:将2改为b ,结果如何?即 三、结论: 完全平方和公式: ① 两数和的平方,等于它们的 加上它们 的2倍。 猜想: ② 比较①、②两个公式: 2(2)a +)2)(2++a a (2()a b +=______________))((=++b a b a 2()a b +=_______________________)(2=-b a
1、 计算结果只有___________与______________符号不同 2、 计算结果:右边中间项的符号都与左边___________符号相同 四、练习(A 组) 1、判断下列各式是否正确。如果错误,请改正在横线上。 (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) 2、你准备好了吗?请对照平方差公式完成以下练习: (1) (2) (3) (4)= (5) 3.请用公式写出以下多项式乘以多项式的结果: 222() a b a b +=+2 22()2a b a ab b +=++222()a b a b -=-22(2)4x x -=-222()2a b a a b b += + + 222(21)()2()()()a += + + ==+-=-222)())((2)()2(y x 222(32)()2()()()x y += + + =222)())((2)()21+-=-y (2221(3)()2()()()2 a b += + + =
整式的乘除与乘法公式 【知识梳理】 (1) m n a a ?= (m .n 都是正整数). (2) ()m n a = (m .n 都是正整数). (3) ()n ab = (n 是正整数). (4) m n a a ÷= (a≠0,m .n 都是正整数, m n >). (5)()()x p x q + += . (6)()()a b a b +- = . (7)2 ()a b + = . (8)2 ()a b - = . (9)2 ()a b c ++ = . (10)0 a = (0≠a ). 【例题讲解】 例1计算 1.()()()()2 3 3 2 3 2222x y x xy y x ÷-+-? 2.()()()a b b a b a -+-+-22222 3. ()()p n m p n m 3232+++- 4. ?? ? ?????+??? ??-??? ??--????????-??? ??+??? ?? --1111112 2a a a a a a a a 例2应用运算性质及公式进行简便运算 1.2005 2005 100 300 0.254 8 0.5 ?-? 2. 1241221232?- 3. () 2 8.79- 例3求值问题 1.已知 9=m a ,6=n a ,2=k a ,试求 k n m a 32+-的值 2.若2 2()(23)x px q x x ++--展开项中不含 2 x 和3 x 项,求p 和q 的值. 3.(2011浙江绍兴,)先化简,再求值: ,其中. 4.已知一个多项式与单项式xy 2的积为 3 223423xy y x y x ++-,试求这个多项 式 5.已知 9 ab =, 3 a b -=-,求 223a ab b ++的值. 例4 1.如果1㎏煤的全部能量都释放出来有 KJ 141004.9?,完全燃烧1㎏煤却只能释放KJ 4 10 35.3?的热。1㎏煤的全部能量 是完全燃烧释放的热的多少倍?(保留3个有效数字) 2.如图,某市有一块长为 ()b a +3米,宽 为 ()b a +2米的长方形地块,?规划部门 计划将阴影部分进行绿化,中间将修建一座雕像,则绿化的面积是多少平方米??并求出当3=a ,2=b 时的绿化面积. 3.利用我们学过的知识,可以导出下面这 个形式优美的等式: 222a b c ab bc ac ++---= ()()()222 12a b b c c a ??-+-+-? ? 该等式从左到右的变形,不仅保持了结构的对称性,?还体现了数学的和谐.简洁美. (1)请你检验这个等式的正确性. (2)若a =2005,b =2006,c =2007,你 能 很 快 求 出 ac bc ab c b a ---++222的值吗? 【课后巩固】 1.(2009眉山)下列运算正确的是( ) 2 (2)2()()() a a b a b a b a b -++-++1 ,12 a b =- =
18.乘法公式 知识纵横 乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,?将多项式乘法的一般法 则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、?又有实用性的具体结论,在复杂 的数值计算,代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应 用,在学习乘法公式时,应该做到以下几点: 1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式; 2.根据待求式的特点,模仿套用公式; 3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式; 4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式. 例题求解 【例1】?(?1)?已知两个连续奇数的平方差为?2000,?则这两个连续奇数可以是______. (江苏省竞赛题) (2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________. (2000年重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,?由平方 和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形. 解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则 222000 2 x y x y ?-=± ? -= ? 得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499). (2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a) 【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M
第三课时(乘法公式的综合运用) 一、学导目标:1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。 二、学导重点:熟练的利用平方差、完全平方公式进行混合运算。 三、学导难点:灵活运用乘法公式 四、目标导航 1.复习回顾两个公式。 2.自学例题:教材P65例2第(2)小题、P66例 3.(注意书上的解题方法。) 3.注意:难,小本节内容偏组内、小组间要认真交流,有困难的要问老师。 4.教材P66练习第1、2 题: 5.计算: (1)(x+3)2(3-x)2(2)(2a+b+1)(2a+b-1) (3)(a-2b-3)(a+2b+3) (4)(2a+b)2-(b+2a)(2a-b) 五、学导流程: (一)、出示目标:1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。
(二)、自学质疑:1、学生把课前没学完的可以再围绕“目标”和“目标导航”自学、对学、小组内展开。 2、教师深入其中查进度、问题汇总、导学。 3、检测“目标导航”有关内容。 (三)、汇报展示:1、各小组再小组长带领下共同展示目标内容 2、教师针对展示的结果进行分析、归纳组织学生再学、学会、会学。 五、测评提升: 1.先化简,再求值: (5y+1)(5y-1)-(5y+25y 2),其中y= 52 2.解方程: (1)(x+ 41)2–(x-41)(x+41)=41 (2)(x+1)(x-1)-(x+2)2=7 3.解不等式: 2(x+4)(x-4) (x-2)(2x+5) 4.计算 (1)(2x+3)3 (3)(2a-b-3c)2 5.计算: (1)已知x 2+xy =6 y 2+xy=10 求:1.(.x+y)2 2. x 2-y 2 3..x-y
(八年级数学)整式的乘法(五)——乘法公式1 第周星期班别姓名学号 一、学习目标:自主探索总结出两数和乘以它们的差规律,并能正确运用两数和乘以它们的差的公式进行多项式乘法。 二、回忆:()() ++= m n a b 三、探讨: 1、赛一赛,看谁做得最快:计算 A组:(1)(1)(2) --= x x (2)(1)(2) ++= x x (3)(21)(23) +-= x x B组:(1)(1)(1) -+= x x (2)(5)(5) -+= x x (3)(23)(23) -+= x x 2、想一想:完成以上练习后与同学交换答案,并与同组同学讨论: (1) A组练习与B组练习有什么不同? (2)讨论B组的题目特点。 左边:右边: 3、结论:平方差公式:两数和与它们的差的积,等于 a b a b +-= ()() 四、你会运用上述公式吗?请来试一试: 例:1、________ +x ( - x 3)(2 _______ )2 3= 相同项的积相反项的积
2、_________________)23)(23=--+-x x ( 相同项的积 相反项的积 3、 ______________________________)2)(2(==+-+x x 相同项的积 相反项的积 A 组 1、 下列各式,能直接用平方差公式计算的有: (写编号) (1)(2)(2)a b a b -+ (2)(2)()a b a b -+ (3)(12)(12)c c +- (4) (2)(2)x x -+-- 2、你准备好了吗?请对照平方差公式完成以下练习: (1)(3)(3)x x +- = + =________________ 相同项的积 相反项的积 (2)(23)(23)a a +-= _ + =________________ (3)(3)(3)a b a b +- = + =________________ (4)(12)(12)c c +- = + =________________ (5)11(2)(2)22 x x + -= + =________________ 3、计算 (1)(2)(2)x x +- 解:(2)(2)x x +-= + =________________ 相同项的积 相反项的积 (2)(2)(2)x x -+-- 解:(2)(2)x x -+--=____________+___________=_______________ (3)(2)(2)x y x y -+-- 解:(2)(2)x y x y -+--____________+___________=_______________ (4)(23)(23)a b a b ---+ 解:(23)(23)a b a b ---+____________+___________=_______________
专题一乘法公式及应用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
专题一乘法公式的复习一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: ①位置变化,xyyxx2y2 ②符号变化,xyxyx2y2 x2y2 ③指数变化,x2y2x2y2x4y4 ④系数变化,2ab2ab4a2b2 ⑤换式变化,xyzmxyzm xy2zm2 x2y2zmzm x2y2z2zmzmm2 x2y2z22zmm2 ⑥增项变化,xyzxyz xy2z2 xyxyz2 x2xyxyy2z2 x22xyy2z2 ⑦连用公式变化,xyxyx2y2 x2y2x2y2 x4y4
⑧ 逆用公式变化,xyz 2xyz 2 xyzxyzxyzxyz 2x 2y 2z 4xy 4xz 例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。 解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3:计算19992-2000×1998 例4:已知a+b=2,ab=1,求a 2+b 2和(a-b)2的值。 例5:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x 2-z 2的值。 例6:判断(2+1)(22+1)(24+1)……(22048+1)+1的个位数字是几? 例7.运用公式简便计算 (1)1032 (2)1982 例8.计算 (1)a 4b 3ca 4b 3c (2)3xy 23xy 2 例9.解下列各式 (1)已知a 2b 213,ab 6,求ab 2,ab 2的值。 (2)已知ab 27,ab 24,求a 2b 2,ab 的值。 (3)已知aa 1a 2b 2,求222 a b ab +-的值。
整式的乘法和乘法公 式练习题
收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 整式的乘法乘法公式复习题 一.选择题 1.下列各式计算正确的是( ) A 、()66322b a b a =- B 、()5252 b a b a -=- C 、124341b a ab =??? ??- D 、462239131b a b a =??? ??- 2.()()1333--?+-m m 的值是( )A 、1 B 、-1 C 、0 D 、()13+-m 3下列各式中,正确的是( )A 、m 2·m 3=m 6 B 、(-a +b)(b -a)=a 2-b 2 C 、25a 2-2b 2=(5a +2b)(5a -2b) D 、(x -y)(x 2+xy +y 2)=x 3-y 3 4.与(x 2+x +1)(x -1)的积等于x 6-1的多项式是( ) A 、x 2-1 B 、x 3-1 C 、x 2+1 D 、x 3+1 5.已知5x =3,5y =4,则25x+y 的结果为( ) A 、144 B 、24 C 、25 D 、49 6.x 为正整数,且满足3x+1·2x -3x 2x+1=66,则x =( ) A 、2 B 、3 C 、6 D 、12 7.若m 2+m -1=0,则m 3+2m 2+3=( ) A 、2 B 、4 C 、-2 D 、-4 8.不等式(x -1)2-(x +1)(x -1)+3(x +1)>0的正整数解为( ) A 、1, 2 B 、1, 2, 3 C 、1, 2, 3, 4 D 、任意正整数 9.a 4+(1-a )(1+a )(1+a 2)的计算结果是( ) A.-1 B.1 C.2a 4-1 D.1-2a 4 10.下列各式运算结果是x 2-25y 2的是( ) 11. A.(x +5y )(-x +5y ) B.(-x -5y )(-x +5y ) C.(x -y )(x +25y ) D.(x -5y )(5y -x ) 12.下列多项式乘法,能用平方差公式进行计算的是( ) A.(x +y )(-x -y ) B.(2x +3y )(2x -3z ) C.(-a -b )(a -b ) D.(m -n )(n -m ) 13..下列计算正确的是( ) A.(2x +3)(2x -3)=2x 2-9 B.(x +4)(x -4)=x 2-4 C.(5+x )(x -6)=x 2-30 D.(-1+4b )(-1-4b )=1-16b 2 14.下列多项式乘法,不能用平方差公式计算的是( ) A.(-a -b )(-b +a ) B.(xy +z )(xy -z ) C.(-2a -b )(2a +b ) D.(0.5x -y )(-y -0.5x ) 15.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( )
教学课题 整式的乘法与乘法公式 教学目标 1.掌握整式的乘法、除法法则,会进行单项式与多项式的乘除运算,并熟练地进行整式的计算与化简; 2.认识平方差公式与完全平方公式,并了解公式的意义并用其简化计算和解决简单的实际问题; 教学重难点 重点:掌握整式乘除的乘法、除法法则,理解并运用乘法公式; 难点:迅速准确地进行整式的乘法运算及运算过程中的系数与符号问题,理解乘法公式中字母的广泛含义; 知识网络归纳: 22222()(,,)()()()():()()()2m n m n m n mn n n n a a a a a m n a b ab a b m a b ma mb m n a b ma mb na nb a b a b a b a b a ab b +?????=???? =?????? ?+=+?++=+++??+-=-????→?±=±+??特殊的=幂的运算法则为正整数,可为一个单项式或一个式项式单项式单项式单项式多项式:多项式多项式:整式的乘法平方差公式 乘法公式完全平方公式:????? ?? ?????? ???? ???? 知识点一:整式乘法的简单运用 注意:正确处理运算中的“符号”,避免以下错误,如: 等; 例一: 例二:下列各式计算正确的是( ) A 、() 663 2 2b a b a =- B 、() 525 2b a b a -=- C 、12 4341b a ab =??? ??- D 、4 62 239131b a b a =?? ? ??- 例三:()() 1 333--?+-m m 的值是( ) A 、1 B 、-1 C 、0 D 、()1 3+-m 例四:化简下列结果 (1)()()x y b a y x a ---2 3 3 (2)()()()737355322 +---a a a 整式的乘法