【一轮复习教案】高考文科数学一轮复习教案

高考文科数学一轮复习教案

1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；

2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．

1．元素与集合

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

2．集合间的基本关系

表示

关系

文字语言符号语言

集合间的[来源学科网][来源学科

网][来源:https://www.docsj.com/doc/403386022.html,]基本关

系

相等[来源:https://www.docsj.com/doc/403386022.html,]集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B[来源:学科网ZXXK]子集A中任意一个元素均为B中的元素A?B

真子集

A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有

一个元素不是A中的元素

A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集集合的并集集合的交集集合的补集

图形

语言

符号

语言

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?U A＝{x|x∈U，且x?A}

并集的性质：

A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A．

交集的性质：

A ∩?＝?；A ∩A ＝A ；A ∩

B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ?A ?B ． 补集的性质：

A ∪(?U A )＝U ；A ∩(?U A )＝?；?U (?U A )＝A ．

高频考点一 集合的含义

例1、[2017·北京高考]若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2＜x ＜－1}

B ．{x |－2＜x ＜3}

C ．{x |－1＜x ＜1}

D ．{x |1＜x ＜3}

【变式探究】(1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝?

??

?

??

0，b

a

，b ，则b －a ＝________．

(2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2

＋3x －2＝0}，若A ＝?，则实数a 的取值范围为________．

【感悟提升】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．学-科网

【变式探究】(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中的元素个数为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝?

?????

0，b a ，b ，则b －a ＝________.

【方法技巧】解决集合概念问题的一般思路

(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例(1)集合B 中的代表元素为实数p －q .

(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．

高频考点二 集合间的基本关系

例2、(1)已知集合A ＝{x|x2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x|0

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

(2)已知集合A ＝{x|x2－2017x ＋2016<0}，B ＝{x|x

漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

【变式探究】(1)若集合A＝{x|x>0}，且B?A，则集合B可能是( )

A．{1，2} B．{x|x≤1} C．{－1，0，1} D．R

(2)已知集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R}，B＝{1，m}，若A?B，则m的值为( )

A．2 B．－1 C．－1或2 D.2或2

【方法技巧】根据两集合的关系求参数的方法

(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．学科网

高频考点三集合的基本运算

例3、[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )

A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R

C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝?

【变式探究】(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )

A．5 B．4 C．3 D．2

(2)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(?R Q)＝( )

A．[2，3] B．(－2，3]

C．[1，2) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)

【方法规律】(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．

(2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意

端点值的取舍．

【举一反三】 (1)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是( )

A．N?M B．N∩M＝?C．M?N D．M∩N＝R

(2)(2016·山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则?U (A∪B)

＝( )

A．{2，6} B．{3，6}

C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}

【方法技巧】集合的基本运算的关注点

(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 高频考点四 集合的新定义问题

例4、设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，且U 的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.

(1)若M ＝{2,3,6}，则?U M 表示的6位字符串为________；

(2)已知A ＝{1,3}，B ?U ，若集合A ∪B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是________． 【总结提升】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.学科网

【变式探究】若集合A 具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A ；

(Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1

x ∈A.

则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( ) (1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q 是“好集”；

(3)设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A. A ．0B ．1C ．2D ．3

【感悟提升】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

【变式探究】已知集合A ＝{(x ，y)|x2＋y2≤1，x ，y ∈Z}，B ＝{(x ，y)||x|≤2，|y|≤2，x ，y ∈Z}，定义集合A B ＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A ，(x2，y2)∈B}，则A B 中元素的个数为( )

A ．77

B ．49

C ．45

D ．30

1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；

2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

1．充分条件、必要条件与充要条件

(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p?q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件．

(2)如果既有p?q，又有q?p，记作p?q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．

p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．

2．命题的四种形式及真假关系

互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．

【特别提醒】等价命题和等价转化

(1)逆命题与否命题互为逆否命题；学！科网

(2)互为逆否命题的两个命题同真假；

(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．

高频考点一四种命题的关系及其真假判断

例1、(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()

A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题

B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题

C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题

D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题

(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()

A．真、假、真 B．假、假、真C．真、真、假 D．假、假、假

【感悟提升】(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．

(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

【变式探究】已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()

A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题

B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题

C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题

D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题

【方法技巧】四种命题真假判断的方法

(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；

(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；

(3)判断一个命题为假命题可举反例．

高频考点二、充分条件与必要条件的判定

例2、(1)函数f(x)在x处导数存在．若p：f′(x)＝0；q：x是f(x)的极值点，则()

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件

(2) “a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的()

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【感悟提升】充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断．

(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y ＝1”是“xy＝1”的何种条件．

【举一反三】(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【变式探究】充分条件、必要条件的判定方法

(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．学+科网

高频考点三充分条件、必要条件的应用

例3、已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m 的取值范围．

【特别提醒】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；

(2)要注意区间端点值的检验．

【变式探究】已知命题p：|x－4|≤6，命题q：1－m≤x≤1＋m，m>0，若綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

【变式探究】根据充要条件求参数的取值范围

解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解；涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系来求解．

1.理解全称量词与存在量词的意义；

2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定；

3.了解命题的概念，了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．

1．命题

能判断真假的语句叫做命题．

2．全称量词与全称命题

(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词．

(2)全称命题：含有全称量词的命题．

(3)全称命题的符号表示

形如“对M中所有x，p(x)”的命题，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”．

3．存在量词与存在性命题

(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词。学￥科网

(2)存在性命题：含有全称量词的命题．

(3)存在性命题的符号表示

形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为?x∈M，q(x)。

4．基本逻辑联结词

常用的基本逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．

5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

p q p∧q p∨q [来源学科网]綈p

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

6．含有一个量词的命题的否定

命题命题的否定

?x∈M，p(x) ?x∈M，綈p(x)

?x∈M，p(x) ?x∈M，綈p(x)

高频考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断

例1、[2017·山东高考]已知命题p ：?x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2

A ．p ∧q

B ．p ∧(綈q )

C ．(綈p )∧q

D ．(綈p )∧(綈q )

【方法技巧】“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p ，q 的真假；

(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．

【变式探究】设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p: 若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )

A ．p ∨q

B ．p ∧q

C ．(綈p )∧(綈q )

D ．p ∧(綈q )

【感悟提升】(1)“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：①明确其构成形式；②判断其中命题p ，q 的真假；③确定“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题的真假．

(2)p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”．

【变式探究】命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝1

3x ＋1的值域为(0，

1)．下列命题是真命题的为( )

A ．p ∧q

B ．p ∨q

C ．p ∧(綈q )

D ．綈q

高频考点二 含有一个量词命题的否定及真假判定 例2、(1)已知命题p ：?x ∈R ，e x －x －1>0，则綈p 是( ) A ．?x ∈R ，e x －x －1<0 B ．?x ∈R ，e x －x －1≤0 C ．?x ∈R ，e x －x －1<0 D ．?x ∈R ，e x －x －1≤0

(2)不等式组?

???

?x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集为D ，有下面四个命题：

p 1：?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A.p 2，p 3

B ．p 1，p 2

C ．p 1，p 4

D ．p 1，p 3

【感悟提升】(1)全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．学+科网

(2)判定全称命题“?x ∈M ，p (x )”是真命题需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ，使p (x )成立．

【变式探究】命题p ：存在x ∈????0，π

2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“?x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是“?x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

高频考点三 由命题的真假求参数的取值范围

例3、已知命题p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．

【变式探究】(1)已知命题“?x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋1

2≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－1，3)

C ．(－3，＋∞)

D ．(－3，1)

(2)已知p ：?x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )

A ．[2，＋∞)

B ．(－∞，－2]

C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D ．[－2，2]

【感悟提升】 (1)根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： ①根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； ②求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ③根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． (2)全称命题可转化为恒成立问题．

【变式探究】设p：实数x满足x2－5ax＋4a2<0(其中a>0)，q：实数x满足2

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．

(2)若綈q是綈p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

函数及其表示

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3.了解简单的分段函数，并能简单应用．

1．函数的概念

(1)函数的定义：

一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.

(2)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

2．函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．映射的概念

设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．4．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

高频考点一 函数的概念 例1、有以下判断：学科网

①f(x)＝|x|

x 与g(x)＝???

??

1 x ≥0－1x<0

表示同一函数；

②函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f(x)＝x2－2x ＋1与g(t)＝t2－2t ＋1是同一函数；

④若f(x)＝|x －1|－|x|，则f ? ??

??f ? ????12＝0.

其中正确判断的序号是________．

【感悟提升】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．

【变式探究】(1)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝x －1 2 B ．y ＝x －1与y ＝

x －1x －1

C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx2

D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x

100

(2)下列所给图象是函数图象的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

高频考点二 函数的定义域

例2、(1)函数f (x )＝10＋9x －x

2

lg (x －1)的定义域为( )

A ．[1,10]

B ．[1,2)∪(2,10]

C ．(1,10]

D ．(1,2)∪(2,10]

(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1)

B.?

????－1，－12

C ．(－1,0)

D.? ??

??12，1 【变式探究】(1)函数f (x )＝ln x

x －1＋x 1

2

的定义域为( ) A ．(0，＋∞)

B ．(1，＋∞)

C ．(0，1)

D ．(0，1)∪(1，＋∞)

(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 017]，则函数g (x )＝f （x ＋1）

x －1

的定义域是____________．

【方法规律】求函数定义域的类型及求法

(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．

(2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f [g (x )]的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．

【变式探究】(1)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6

x －3

的定义域为( )

A ．(2，3)

B ．(2，4]

C ．(2，3)∪(3，4]

D ．(－1，3)∪(3，6]

(2)若函数f (x )＝2x 2

＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 高频考点三、已知定义域求参数范围 例3、若函数f(x)＝222

1＋－－x ax a

的定义域为R ，则a 的取值范围为________．

【感悟提升】简单函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：

①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合； ②对应f 下的范围一致．学科网

(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．

【变式探究】(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x ＋12)＋f(x －1

2)的定义域是

________．

(2)函数y ＝

ln x ＋1－x2－3x ＋4

的定义域为___________________________．

高频考点四 求函数解析式

例4、(1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2

－6x ＋5，则f (x )＝________.

(2)已知f (x )满足2f (x )＋f ? ??

??1x

＝3x －1，则f (x )＝________.

【变式探究】(1)已知f ?

??

??2x

＋1＝lg x ，则f (x )＝________． (2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________．

(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ? ??

??1x ·x －1，则f (x )＝________．

【方法规律】求函数解析式的常用方法

(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．

(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

(3)构造法：已知关于f (x )与f ? ??

??1x

或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过

解方程组求出f (x )．

(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．

【变式探究】(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________．

(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，

f (x )＝________．

(3)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________． 高频考点五、分段函数(多维探究) 命题角度1 分段函数求值问题

例1、设函数f (x )＝?

???? 3x －1，x <1，

2x

，x ≥1，则f ????

??f ? ????23＝________；若f [f (a )]＝1，则a 的值为________．

命题角度2 分段函数与方程的交汇问题

例2、设函数f (x )＝?

????

3x －b ，x <1，

2x

，x ≥1.

若f ????

??f ? ????56＝4，则b ＝( )

A ．1 B.78 C.34 D.1

2

命题角度3 分段函数与不等式的交汇问题

例3、设函数f (x )＝?????

? ??

??12x －7(x <0)，

x (x ≥0)，

若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )

A.(－∞，－3) B ．(1，＋∞)

C ．(－3,1)

D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 【方法技巧】分段函数问题的求解策略

(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解． (2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．

【变式探究】设函数f (x )＝?

????1＋log 2（2－x ），x <1，

2x －1，x ≥1，

则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12

【举一反三】设函数f (x )＝?

???

?3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.

若f ? ??

??f ? ????56＝4，则b ＝( )

A ．1 B.78 C.34 D.1

2

(2)设函数f (x )＝????

?e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．

高频考点六 分段函数中的分类讨论思想

例6、[2017·山东高考]设f (x )＝??

?

x ，0

2(x －1)，x ≥1.

若f (a )＝f (a ＋1)，则f ? ??

??1a

＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8

解题视点 当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域的不同子集进行分类讨论．

【感悟提升】根据自变量所在的区间代入相应段的函数解析式，若涉及复合函数求值，从内到外逐步求值，注意相应自变量所在的区间；已知函数值求自变量(或参数)的值，通过分类讨论化为若干个混合组求解，要充分利用分段函数在各段上的值域，减少运算量.

【变式探究】设函数f (x )＝?

????

3x －1，x <1，

2x

，x ≥1，则满足f [f (a )]＝2

f (a )

的a 的取值范围是( )

A.??????23，1 B ．[0,1]

C.????

??23，＋∞ D ．[1，＋∞)

函数的单调性与最值

1.利用函数的单调性求单调区间，比较大小，解不等式；

2.利用函数单调性求最值和参数的取值范围；

3.与导数交汇命题，以解答题形式考查．

1．函数单调性的定义

增函数减函数

定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当[来源

学科网ZXXK][来源学。科。网Z。X。X。K][来源学§科§网Z§X§X§K]

Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就

称函数y＝f(x)在区间M上

是增函数

Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就

称函数y＝f(x)在区间M上

是减函数

图象

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

2.单调性与单调区间

如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M 称为单调区间．

【特别提醒】

1．函数的单调性是局部性质

函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．

2．函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；

如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

3．单调区间的表示

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

高频考点一 确定函数的单调性(区间) 例1、求下列函数的单调区间：

(1)y ＝－x 2

＋2|x |＋1；(2)y ＝log 12

(x 2

－3x ＋2)．

【变式探究】(1)函数f (x )＝log 12(x 2

－4)的单调递增区间为( )

A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，0)

C ．(2，＋∞)

D ．(－∞，－2) (2)试讨论函数f (x )＝

ax

x －1

(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．

【方法规律】(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．

(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． (3)函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．

【变式探究】 判断函数f (x )＝x ＋a x

(a >0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明． 高频考点二 函数的最值

例2、(1)函数f (x )＝x ＋21－x 的最大值为________． (2)函数f (x )＝3x ＋2

x

，x ∈[1,2]的值域为________．

【变式探究】(1)已知函数f (x )＝?????log 13x ，x >1，

－x 2＋2x ，x ≤1，

则f (f (3))＝________，函数f (x )的最大值是________．

(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a

x

，x ∈[1，＋∞)且a ≤1.

①当a ＝1

2

时，求函数f (x )的最小值；

②若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．

【方法规律】(1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②均值不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法．

(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．

【变式探究】 如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥1

2时，f (x )＝log 2(3x －

1)，那么函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．－1

高频考点三 函数单调性的应用 命题角度1 利用函数的单调性比较大小

例1、已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设

a ＝f ? ??

??－12

，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．c >a >b

B ．c >b >a

C ．a >c >b

D ．b >a >c 命题角度2 利用函数的单调性解不等式

例2、 f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )

A ．(8，＋∞)

B ．(8,9]

C ．[8,9]

D ．(0,8) 命题角度3 利用函数的单调性求参数 例3、若f (x )＝－x 2

＋2ax 与g (x )＝

a

x ＋1

在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )

A ．(－1,0)∪(0,1)

B ．(－1,0)∪(0,1]

C ．(0,1)

D ．(0,1]

【方法规律】函数单调性应用问题的解题策略

(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．

(3)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．

【特别提醒】若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

函数的奇偶性与周期性

1.判断函数的奇偶性；

2.利用函数的奇偶性求参数；

3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．

一、函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，

那么函数f(x)是偶函数

关于y轴对称

奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，

那么函数f(x)是奇函数

关于原点对称

二、周期性

1．周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

三、必会结论

1．函数奇偶性的四个重要结论

(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．学%科网

(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．周期性的三个常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；

(2)若f(x＋a)＝

1

f(x)

，则T＝2a；

(3)若f(x＋a)＝－1

f(x)

，则T＝2a.(a>0) 3．对称性的三个常用结论

(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称； (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称； (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．

高频考点一 判断函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2

－|x |＋1，x ∈[－1,4]；[来源:学科网]

(2)f (x )＝log 2(x ＋x 2

＋1)；

(3)f (x )＝?

????

x 2

＋x ，x >0，

x 2

－x ，x <0.

【变式探究】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2

－3； (2)f (x )＝lg （1－x 2

）

|x －2|－2

；

(3)f (x )＝?

????x 2

＋x ，x <0，

－x 2＋x ，x >0.

【方法规律】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．

在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－

x )＝0(偶函数)是否成立．

【变式探究】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )

A ．y ＝x ＋sin 2x

B ．y ＝x 2

－cos x

C ．y ＝2x

＋12

x

D ．y ＝x 2

＋sin x

(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数

B ．|f (x )|g (x )是奇函数

C ．f (x )|g (x )|是奇函数

D ．|f (x )g (x )|是奇函数 高频考点二 函数奇偶性的应用 命题角度1 利用奇偶性求函数值