智浪教育—普惠英才文库数学竞赛典型题目(二)1.(1994年伊朗数学

数学竞赛典型题目（二）

1.（1994年伊朗数学奥林匹克） 设a 、b 、c 、S 分别为锐角三角形ABC 的三

边的边长及它的面积。证明在三角形ABC 内存在一点P ，由P 到顶点A 、B 、C 的距离为x 、y 、z 的充份和必要条件是存在三个三角形：第一个的边长分别是a 、y 、z 及其面积为S 1，第二个的边长分别是b 、z 、x 及其面积为

S 2，第三个的边长分别是c 、x 、y 及其面积为S 3及S=S 1+S 2+S 3。

2 .（1995年伊朗数学奥林匹克） 假设ABCD 为一正方形及K 、N 分别在线段

AB 和AD 的点使得AK x AN = 2 BK x DN.设L 和M 分别为对角线BD 与CK 及CN 的交点。证明K 、L 、M 、N 和A 五点共圆。

（1995年伊朗数学奥林匹克）A,B,C 三点在圆O 上,线CO 交AB 于D 且BO 交

AC 于E,如果,,BAC CDE ADE ∠∠∠角度都是α,求α.

（1995年伊朗数学奥林匹克）ABC ?内切圆和边AB,AC 及BC 交于M,N,P,证

明:MNP ?垂心, ABC ?外心和内心三点共线.

3.（1996年伊朗数学奥林匹克）ABC ?中， 60=∠A ，O 、H 、I 、'I 分别为外

心、垂心、内心和关于A 的旁心. 'B 和'C 分别在AC 和AB 上，且'.,'AC AC AB AB ==证明：

（1）八点B 、C 、H 、O 、I 、'I 、'B 、'C 共圆；

（2）若OH 交AB 、AC 分别于E 、F ，则AEF ?周长等于.AC AB +

（3）.AC AB OH -=

4.（1996年伊朗数学奥林匹克）ABC ?为不等边三角形，从A 、B 、C 出发的中线交外接圆于另一点L 、M 、N.若.LN LM =证明：.2222AC AB BC +=

5.（1996年伊朗数学奥林匹克）ABC ?中，D 在AB 上，E 在AC 上，且DE//BC.P 为ABC ? 内任一点，PB 和PC 交DE 分别于F 、G.若1O 为PDG ?外心，2O 为PFE ?外心，证明：.21O O AP ⊥

6.(1997年伊朗数学奥林匹克)ABC ?边BC 的中点是N,以AB 和AC 为直角边向外构造等腰直角ACP ABM ??,,证明:MNP ?也是等腰直角三角形.

7.(1997年伊朗数学奥林匹克)圆心为O,直径为AB 的圆上有两点C,D,直线CD 交AB 于M,且MB

8.(1997年伊朗数学奥林匹克)锐角ABC ?外心为O,垂心为H,且BC>CA,F 为高CH 的垂足,过F 作OF 的垂线交AC 于P,证明:有向角BAC FHP ∠=∠

9.(1997年伊朗数学奥林匹克) ABC ?外接圆弧AB 上有一个动点(不包含

A),21,I I 分别为PAC PAB ??,的内心,证明:

(1)21I PI ?的外接圆是否过定点?

(2)以21I I 为直径的圆过定点.

(3) 21I I 中点在定圆上.

10. (1998年伊朗数学奥林匹克)KL 和KN 是圆C 的切线，切点是L ，N ，M 为

KN 延长线上一点，KLM ?的外接圆交圆C 的另一交点为P ，点Q 是N 向ML 所引垂线的垂足，证明：KML MPQ ∠=∠2

11. (1998年伊朗数学奥林匹克)锐角ABC ?的高是AD ，角B 和C 的内角平分

线交AD 于点E ，F ；若BE=CF ，证明：ABC ?是等腰三角形。

12. (1998年伊朗数学奥林匹克) 锐角ABC ?中，AD ，BE ，CF 是高，过D 作

EF 的平行线交AC 于Q ，交AB 于R ，直线BC 交EF 于P ，证明：PQR ?外接圆过BC 中点。

13. (1998年伊朗数学奥林匹克)ABC ?和XYZ ?中

ZX

AB C YZ AB C YZ CA B XY CA B XY BC A ZX BC A ?=?=?=?=?=?=212121,,,,,证明：YX

A B ZY B C XZ C A CA B B BC A A AB C C 212121212121==?== 14. (1998年伊朗数学奥林匹克) ABC ?中BC 延长线上点D 满足CD=AC ，ACD ?

外接圆交以BC 为直径的圆于另一点P ，BP 交AC 于E ，BP 交AB 于F ，证明：D ，E ，F 三点共线。

15.（1999年伊朗数学奥林匹克）ABC ?内心为I ，AI 交ABC ?的外接圆于D.

从I 向BD 和CD 引垂线，垂足为E 、F.若.2

AD IF IE =+求.BAC ∠ 16.（1999年伊朗数学奥林匹克）ABC ?中，.AB CA BC >>在BC 上有一点D,BA

上有一点E 使.AC BE BD ==BED ?外接圆交AC 于P,直线BD 交ABC ?外接圆于Q.证明：.BP QC AQ =+

17.（1999年伊朗数学奥林匹克）ABC ?中，BAC ∠角平分线交BC 于D.设W 是与BC 相切于D 且过A 点的圆,M 为AC 与W 第二个交点, P 为BM 与W 第二个交点,证明：P 位于ABD ?一条中线上.

18.（1999年伊朗数学奥林匹克）圆W 过ABC ?的顶点A 、C ，边AB 和BC 交W

于D 、E.令r 为EBD ?内切圆，S 为圆心.若r 切弧DE 于M.证明：AMC ∠平分线过ABC ?内心.

19. (2000年伊朗数学奥林匹克)圆1O 和圆2O 交于A ，B ，半径B O B O 21,所在

直线分别交圆1O 和圆2O 于点F ，E ，过B 作EF 的平行线交圆1O 和圆2O 分别于M ，N ，证明：AF AE MN +=

21. (2000年伊朗数学奥林匹克)两圆交于A ，B ，直线l 过A 交两圆分别于C ，

D ；M ，N 分别为BC 和BD 的中点（两条险段都不含点A ）K 是CD 的中点，证明：有向角 90=∠MKN

22. (2000年伊朗数学奥林匹克)以321A A A ?的边为底边向外作等腰

321213,O A A O A A ??，令1O 是321A A A ?外一点，且2312312

1A O A A A O ∠=∠，2313212

1A O A A A O ∠=∠，证明：3211O O O A ⊥；若T 是1O 关于直线32A A 的对称点。则

32132112A A T O O O O A = 23. (2000年伊朗数学奥林匹克)圆O 的半径为R ，直线d 和圆O 相离，点M ，

N 在d 上，且以MN 为直径的圆和圆O 相切，证明：存在点P 使MPN ∠是定角。

24.（2001年伊朗数学奥林匹克）ABC ?中，B 在AC 上，D 在AE 上，F 为CD

和BE 的交点.若.DF AD BF AB +=+证明：.EF AE CF AC +=+

25.（2001年伊朗数学奥林匹克）O 为ABC ?外心，H 为垂心，ABC ?九点圆是

过各边中点、各边高的垂足AH 、BH 、CH 中点的圆.令N 为圆心，'N 为一点满足NBC BA N ∠=∠'，.'NAC AB N ∠=∠令OA 中垂线交BC 于'A .同样定义'B 和'.C 证明：'A 、'B 、'C 共线，且这条直线垂直于'.ON

26.（2001年伊朗数学奥林匹克）I 为ABC ?内心，a I 为关于A 的旁心.若I a I

交BC 及ABC ?的外接圆分别于'A 和M ，N 为外接圆弧MBA 中点，直线NI 和N a I 交外接圆分别于S 、T.证明：S 、T 、'A 共线.

27. (2002年伊朗数学奥林匹克) ABC ?的外接圆为O ，平行于BC 的直线交AB ，AC 于点E ，F ，交圆O 于U ，V ，令M 是BC 的中点，圆'O 是UMV ?的外接圆，且两个圆的半径相等，ME 交圆'O 于T ，且FT 交圆'O 于S ，证：EF 和MCS ?的外接圆相切。

28. (2002年伊朗数学奥林匹克) ABC ?的角平分线是AD ，若AB+AD=CD ，AC+AD=BC ，求ABC ?的角。

29. (2002年伊朗数学奥林匹克)圆21,C C 相切于K ，且与圆O 分别切于M ，N ，

圆21,C C 外公切线叫圆O 于A ，B ，AK ，BK 分别交圆O 于E ，F ，若AB 为圆O 的直径，证明：EF ，MN ，OK 三线共点。

30. (2002年伊朗数学奥林匹克) ABC ?的边Bc 上的点M ，N ，点M 在BN 上且

BM=CN ，P,Q 分别在AN ，AM 上，且有向角NAC QNB MAB PMC ∠=∠∠=∠,，证明：有向角PCB QBC ∠=∠

31. (2002年伊朗数学奥林匹克)ABC ?内心为I ，内切圆切AB ，AC 分别于X ，

Y ，XI 交内切圆于M ，CM 和AB 交于'X ，L 是线段C X '上的点，且CM L X ='，证明：A ，L ，I 共线当且仅当AB=AC 。

32. (2002年伊朗数学奥林匹克)AB ，AC 为圆O 的切线，直线l 为圆O 的任意

切线，交AB ，AC 分别于点P ，Q ，过P 作AC 的平行线交BC 于R ，证明：l 改变时，QR 过定点。

33．(2002年伊朗数学奥林匹克) ABC ?关于点A 的旁切圆切BC 于点P ，AP

交ABC ?外接圆于点D ，证明：PBD PCD ??,的内切圆半径相等。

34. (2002年伊朗数学奥林匹克)A ，B ，C 在圆O 上，I 是ABC ?内心，D 是弧

BAC 的中点，圆W 和AB ，AC 相切并与圆O 切于点P （W 在圆O 内），证明：P ，I ，D 共线。

35．（2002伊朗选拔赛）ABCD 是凸四边形，连接其对角线将他分成4部分，对

角线的交点是P ，4321,,,I I I I 是三角形PAD ，PAB ，PBC ，PCD 的旁心（相应于P 点），证明：4321,,,I I I I 共圆等价于ABCD 有内切圆。

36．（2002伊朗选拔赛）从ABC ?内一点O 向BC ，CA ，AB 因垂线，垂足是111,,C B A ，证明：O 是ABC ?外心的充要条件是ABC ?周长不小于

111111,,B CA A BC C AB ???的周长。

37．（2002伊朗选拔赛）ABC ?内切圆且BC 于'A ，'AA 交内切圆于另一点P ，CP ，BD 交内切圆于 另一点N ，M ，证明：CM BN AA ,,'共点。

38. (2003年伊朗数学奥林匹克)ABCD 是凸四边形，P ，Q 分别在BC ，DC 上，且PAQ BAP ∠=∠，证明：ABP ADQ ??,面积相等的充要条件是过两个三角形垂心的直线和AC 垂直。

39. (2003年伊朗数学奥林匹克)XOY ∠的边OX ，OY 有动点A ，B ，且

k

OB OA 111=+，以OA ，OB 为直径画两个圆，证明：这些圆的外公切线与定圆相切。

40. (2003年伊朗数学奥林匹克) ABC ?内切圆分别切边BC ，CA ，AB 于点

111,,C B A ，M ，N 分别为11,AC AB 中点，MN 交11C A 于T ，过T 作圆的切线TP ，TQ ，PQ 交MN 于L ，11C B 交BQ 于K ，若I 为内心，证明：IK 平行于AL 。

41．(2003年伊朗数学奥林匹克)AB 是定线段，求最大的n 使得平面上存在n 个

点n P P P ,,,21 满足)1(n i ABP i ≤≤?都相似，并且证明所有的i P 点共圆。

42. (2003年伊朗数学奥林匹克)四面体ABCD 的四个面的外接圆半径相等，证

明：AB=CD ，AC=BD ，AD+BC 。

43.(2003年伊朗数学奥林匹克) ABC ?边BC 上有一点M ，11,C B 分别是AB ，AC 上的点，且11,MC MC MB MB ==，H ，I 分别为ABC ?垂心和11C MB ?内心，证明：11,,,,C I H B A 共圆。

44. (2003年伊朗数学奥林匹克)A ，B 是定点，直线l 过定点C ，过A ，B 的两

个圆切直线l 于M ，N ，证明：AMN ?外接圆过定点。

45. (2003年伊朗数学奥林匹克)A ，B ，C ，Q 是定点，M ，N ，P 分别是AQ ，BQ ，

CQ 和BC ，CA ，AB 的交点，''',,F E D 是ABC ?内切圆和BC ，CA ，AB 的切

点，从M ，N ，P 向内切圆作切线（不是三角形的边）形成DEF ?，证明：''',,FF EE DD 交于点Q 。

46. (2003年伊朗数学奥林匹克)圆21,C C 交于点P ，从点P 任意作直线交圆21,C C 于B ，C ，求A 的轨迹，其中ABC ?的中线AM 长为定值k 。

47.(2003伊朗选拔赛)设E 为已知椭圆，1B 是E 外任意一点.过1B 作E 的切线，记切点为.1C 2B 是直线1B 1C 上的点，且1B 1211+?=i B B C C 是对i B 进行类似操作而得的点.证明：}{i B 在平面上是有界的.

48.（2003年伊朗选拔赛）设与ABC ?的外接圆内切并与边AB 、AC 相切的圆

为a C ，记a r 为圆a C 的半径，r 是ABC ?的内切圆半径.类似地定义b r 、.c r 证明：a r ++b r .4r r c ≥

49.（2003年伊朗选拔赛）ABC ?的外接圆的圆心为O ，'A 是边BC 的中点，'AA 与外接圆交于点''A ，AO Q A a ⊥'，点a Q 在AO 上，过点''A 的外接圆的切线与a Q A '相交于点.a P 用同样的方式，可以构造点b P 和.c P 证明：a P 、b P 、c P 三点共线.

50. (2004年伊朗数学奥林匹克) P 是边长为n l l l ,,,21 的n 边形，且所有的顶点共圆，求证：不存在同样边长的n 边形其面积超过P 。

51. (2004年伊朗数学奥林匹克)O 为ABC ?的外心，过O 的直线分别交AB ，AC 于M ，N ，令S ，R 分别为BN ，CM 中点，证明：有向角BAC ROS ∠=∠

52. (2004年伊朗数学奥林匹克) 延长锐角ABC ?的中线'AA 交外接圆于''A ，

令AP 为外接圆直径，从'A 向AP 作垂线与过''A 外接圆的切线交于a X ，同样定义C b X X ,，证明：a X ，C b X X ,共线。

53. (2004年伊朗数学奥林匹克)X 是ABC ?中的点，且AX 交BC 于Y ，作YP ，

YQ ，YR ，YS 分别垂直于CA ，CX ，BX ，BA ，求关于X 的充要条件使得P ，Q ，R ，S 共圆。

54. (2004年伊朗数学奥林匹克) ABC ?中，点M ，N 在AC 上，且MA=AB ，NB=NC ，

K,L 在 BC 上，且KA=KB ，LA=LC ， 若BC LK 2

1= ，MN=AC ，求ABC ?的角。 55. (2004年伊朗数学奥林匹克) ABC ?内切圆切边AB ，AC 于P ，Q ，I 是内

心，BI ，CI 交PQ 于K ，L ，证明：ILK ?外接圆和ABC ?内切圆相切的充要条件是AB+AC=3BC

56．（2004伊朗选拔赛）',M M 是ABC ?内等偏角的两个动点（即

AC M MAB '∠=∠等），从',M M 向BC ，CA ，AB 引垂线，垂足分别为

''',,,,,R Q P R Q P ，'','',''Q P PQ G P R RP F R Q QR E ?=?=?=，证明：AG ，BF ，CE 平行。

57．（2004伊朗选拔赛）ABCD 是凸四边形，AB 和CD 交于F ，AD 和BC 交于E ，AC 和BD 交于T ，若A ，B ，T ，E 共圆且圆与EF 交于P ，证明：若M 是AB 的中点，则BPT APM ∠=∠

58. (2005年伊朗数学奥林匹克)从ABC ?的每个顶点画3条平行线，再在每

个顶点作3条垂线，有3个矩形其一条对角线是三角形的边，我们将另一条对 角线画出，记为321,,l l l ，

（1）证明：321,,l l l 交于点P ；

（2）求点P 的轨迹（当平行线变化时）

59. (2005年伊朗数学奥林匹克) ABC ?内切圆切BC 于P ，设α=∠APB ，证明：α

tan 211r c p b p =-+- 60. (2005年伊朗数学奥林匹克) ABC ?外心为O ，垂心为H ，AO 交外接圆于

H A A 11,交外接圆于'A ，AH 和外接圆交于''A ，同样定义'''''',,,C C B B ，证明：''''''''',,C C B B A A 相交于ABC ?的欧拉线上。

61. （2005伊朗选拔赛）ABC ?中AB=AC ，设P 是BC 延长线上的点，X ，Y 分

别是AB ，AC 上的点，使得PX//AC ，PY//AB ，T 是弧BC 的中点，证明：XY PT ⊥

62. （2006伊朗选拔赛）M 是ABC ?中BC 边的中点，AM 交内切圆于点K ，L ，

我们过K ，L 引BC 的平行线交内切圆于另一点X ，Y ，若AX ，AY 分别交BC 于P ，Q ，证明：BP=CQ

63. (2006年伊朗数学奥林匹克)证明：ABC ?三个旁切圆的根心（即根轴的

交点）位于GI 上，其中G 为中心，Ｉ为内心。

64. (2006年伊朗数学奥林匹克)P ，Q ，R 分别为ABC ?边AB ，AC ，BC 中点，

AP 交RQ 于E ，交ABC ?外接圆于F ；T ，S 分别在RP ，PQ 上，且',,F PR ET PQ ES ⊥⊥在外接圆上，且'FF 是直径，'AF 和BC 交于'E ，

'',T S 在AB ，AC 上，且AC T E AB S E ⊥⊥'''',，证明：'',S T TS 垂直。

65．(2006年伊朗数学奥林匹克)L ，M ，N 分别为ABC ?边AB ，AC ，BC 的中点，

H 是垂心，证明：)(4

1222222BC AC AB NH MH LH ++≤++ 66．(2006年伊朗数学奥林匹克)圆O 的半径为R ，弦AB 给定，C 为弧AB 的中

点，X 为圆上任一点，从B 向CX 作垂线交圆于D ，从C 向DX 作垂线交圆于E ，过A ，B ，E 作3条直线321,,l l l 分别平行于OX ，OD ，OC 证明：这3条直线共点，并求交点的轨迹。

67．(2006年伊朗数学奥林匹克) ABC ?的BC 边的中点是M ，Ｉ是内心，T 是

弧BC （不含A ）的中点，证明：MT MI C B =?=+1cos cos

68. （2006伊朗选拔赛）ABC ?外接圆O 的半径等于相应A 点的旁切圆半径，

若旁切圆切BC ，CA ，AB 于M ，N ，了，证明：O 是MNL ?的垂心。

69. （2006伊朗选拔赛）m l ,是两条平行线，P 为他们之间的定点，E ，F 分别

为m l ,上动点使有向角)20(π

αα<<=∠EPF 是定值，证明：存在另一点

满足对EF 的张角也是定值。

70. （2006伊朗选拔赛）锐角ABC ?AD ，BE ，CF 是高，从A ，B ，C 向EF ，FD ，

DE 引垂线，垂足是P ，Q ，R ，证明：FD EF DE RP QP PQ ++≥++)(2

71．（2006伊朗培训赛）证明：在三角形中pR cm bm am c b a ≤},,m ax { ，其中a m

是BC 边上的中线，p 是半周长。

72.（2006伊朗培训赛）一个直角的顶点在定圆上移动，一个直角边过定点，

问总和另一个直角边相切的曲线是什么曲线？

73. （2006伊朗培训赛）l 是定直线，',F F 是直线两侧但直线距离相等的点，，

圆C 的圆心是P ，半径是mPF ，其中m 是不等于1的正数，圆'C 是'PFF ?的外接圆。

（1）P 满足什么条件，',C C 相交？

（2）如果交点是',M M ，求其轨迹。

（3）证明：C 总和这个轨迹线相切。

74.（2007伊朗数学竞赛） ABC ?，直线l ，点P 任意，''',,C B A 是点C B A ,, 关于点P 的对称点，''A 在''C B 上，且l AA //''，同样定义'''',C B ，证明：'''''',,C B A 三点共线。

75. （2007伊朗数学竞赛）（1）ABC ?外心为O ，BO ，CO 分别与AC ，AB 交于

'',C B ，''C B 交外接圆于点P ，Q ，证明：AP=AQ 当且仅当ABC ?是等腰三角形。（2）将外心O 换成内心I 后，证明同样的结论。

76. （2007伊朗数学竞赛）ABC ?内心是I ，BC 中点是M ，T 是IM 和内切圆

的交点 （I 在M 和T 之间），证明：)(2

3C B CIM BIM ∠-∠=∠-∠当且仅当BC AT ⊥

77. （2007伊朗数学竞赛）ABC ?内切圆且BC 于D ，BC 中点为M ，K 是BC 上

的点且BC AK ⊥，令'

D 是BC 上的点且DK DM K D M D =''，记a W 是以'DD 为直径的圆，类似定义c b W W ,，证明：a W ，c b W W ,两两相切.

78. （2007伊朗数学竞赛）ABC ?上以AB ，BC ，CA 为边向外作正方形

A C BC

B A CA

C B AB b a c b a c ,,，正方形a a c c B B B B ''

是以正方形C B AB a c 的边a c B B 向外作的，且其中心为P ，证明：C c a a B A B C BP ,,共点。

79. （2007伊朗选拔赛）ABC ?中M 为AC 中点，D 在BC 上，且.DM DB =若

.22

2AC AB AC BC ?=-证明：.)(22AC AB AB AC DC BD +?=? 80. （2007伊朗选拔赛）ABC ?内切圆为W,P 和Q 在AB 和AC 上，且PQ//BC 。

且PQ 与W 相切。AB 、AC 切W 于E 、F 。证明：如果M 是PQ 中点，T 为EF 和BC 交点，则TM 与W 相切。

81. （2007伊朗选拔赛）平面上n 条直线满足：无两条平行，无三线共点，

对于每两条线它们夹角在].2

,0[π求2n C 个夹角和的最大值。 82. （2007伊朗选拔赛）ABC ?内一点O 满足：.OC OB OA +=若','C B 为弧

AOC 和弧AOB 中点，证明：'COC ?和'BOB ?外接圆相切。

83. （2007伊朗选拔赛）ABC ?中，.AC AB =过A 画直线L 平行于BC 。P 、Q

在AB 、AC 中垂线上，且.BC PQ ⊥M 、N 为L 上点，且.2π=

∠=∠AQN APM 证明：

.211AB

AN AM ≤+ 84．（2007伊朗培训赛）D 是ABC ?内的任意点，E 在BDC ?内，证明：22EBC EBC DBC DBC

P S P S ≥

85．（2007伊朗培训赛）圆321,,C C C 两两相离，),(),,(),,(654321l l l l l l 分别是

),(),,(),,(323121C C C C C C 的公切线，令654321,,,,,l l l l l l 为多边形'''CB BA AC 的边，证明：''',,CC BB AA 共点。

86．（2007伊朗培训赛）ABC ?外接圆弧BC ，CA ，AB 的中点分别为''',,C B A ，

ABC ?和'''C B A ?交于P ，Q ，R ，S ，T ，F ，证明：2)

(1c b a ca bc ab S S ABC PQRSTF

++++-= 87．（2007伊朗培训赛）1221,,,+n P P P 是直线l 上的点，1A 是圆C 上的任意点，

1+k A 是k k P A 和圆C 的交点)121(+≤≤n k ，证明：221+n A A 过定点，当1A 在圆C 上移动时。

88.（2008伊朗数学竞赛）ABC ?中，.AB AC BC >>其中H 为垂心，',','C B A

分别在CH BH AH ,,所在直线上且.'''x CC BB AA ===证明：

（1）如果ABC ?相似于'''C B A ?，则.2r x =

（2）若',','C B A 共线，则.d R x d R x -=+=或（这里R 为外径，r 为内径，

OI d =）

89. （2008伊朗数学竞赛）令lc lb la ,,分别为通过C B A ,,的三条平行线。'la 为

la 关于BC 对称直线，同样定义'.,'lc lb 证明：',','lc lb la 共点，当且仅当la 平行于ABC ?欧拉线。

90. （2008伊朗数学竞赛）ABCD 为四边形，F E ,分别为CD AB ,及BC AD ,交

点.DAB ∠和DCB ∠外角平分线交于.P ABC ∠和ADC ∠外角平分线交于Q .AED ∠和AFB ∠外角平分线交于.R 证明：R Q P ,,共线.

91. （2008伊朗数学竞赛）ABC ?中，AC AB =且D 为BC 中点，E 为从C 向

AB 引垂线垂足，H 为ABC ?垂心，N 为CE 中点，AN 和ABC ?外接圆于K .从C 的ABC ?外接圆切线交AD 于.F 假设CHA ?和CKF ?根轴为BC ，求.BAC ∠

92. （2008伊朗数学竞赛）F E D ,,为ABC ?内切圆与边AB CA BC ,,切点，DE

和DF 交过A 且平行于BC 的直线于K 和.L 证明：DKL ?欧拉线过ABC ?费尔巴哈点.

93. （2008伊朗选拔赛）ABC ?内心为I,'L 为内切圆一切线，L 为另一条线

分别交AB 、AC 、BC 于'.,','A B C 从'A 画内切圆一条不同于BC 的切线，且这条线与'L 交于.1A A 类似定义.,11C B 证明：111,,CC BB AA 共点。

94. （2008伊朗选拔赛）4321,,,P P P P 为单位球内点，证明：∑

≠-j i Pj Pi |

|1当且仅当这四个点为一个正四面体四个顶点。

95. （2008伊朗选拔赛）a I 为ABC ?中A 点所对应的旁心，a AI 交ABC ?外接

圆于T.X 为a TI 上点且.2XT XA XI a ?=从X 向BC 引垂线，使得其交BC 于'.A 同样定义'B 和'.C 证明：',','CC BB AA 共点。

96. （2008伊朗选拔赛）ABC ?中T C B .∠>∠为ABC ?外接圆弧BAC 中点。I

为ABC ?内心，E 点满足 90=∠AEI 且AE//BC ，TE 交ABC ?外接圆于另一点P 。如果IPB B ∠=∠，求.A ∠

97. （2008伊朗选拔赛）锐角ABC ?中D 点为A 点向BC 所引垂线垂足，a I 为

ABC ?中A 点所对应的旁心，K 为AB 延长线上点，使得

.4

390C AKI a ∠+=∠ a I K 交AD 延长线于L ，证明：D a I 平分B AI a ∠当且仅当AL=2R （R 为ABC ?外接圆半径）。

98. （2009伊朗选拔赛）ABC ?边BC ，CA ，AB 上有3点',','C B A ，满足ABC ?

和'''C B A ?的内心相同，且'''C B A ?的内切圆半径是ABC ?的一半，证明：ABC ? 是等边三角形。

99. （2009伊朗选拔赛）ABC ?的三条高是',','CC BB AA ，P 是'C 向''B A 所引

垂线的垂足，Q 是''B A 上一点，且QB QA =，证明：

C PC PAQ PBQ '∠=∠=∠

100. （2009伊朗选拔赛）ABC ?的内切圆与边BC ，CA ，AB 切于D ，E ，F ，从

D 向EF 引 垂线，垂足是M ，P 在DM 上，且DP=MP ，若H 是BIC ?的垂心，证明：PH 平分EF

101. （2009伊朗选拔赛）ABC ?中AC AB ≠，D 是BC 上的点且BA=BD ，其中

B 在

C 和

D 之间。令C I 是相应C 的旁心，c CI 交ABC ?外接圆于T ，若4

C B TDI c ∠+∠=∠，求A ∠ 补充：1.（1997年伊朗数学奥林匹克）直角ABC ?中 90=∠A ，设C B ∠∠,平

分线交于点I ，且分别交对边于D ，E ，求证：BIC BCDE S S 2=

2.（1997年伊朗数学奥林匹克）直角ABC ?中 90=∠A ，又C B ∠=∠2，若C ∠的平分线交中线AM 于点D （M 是BC 的中点），求证：

45≤∠MDC ，并确立等号成立的条件。

3. (2002伊朗)在凸四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=135度，点M 和点N

分别在射线AB 和AD 上，使得∠MCD=∠NCB=90度，外接圆AMN 和ABD 相交于点A 和K 。求证：AK⊥KC。

4. ((2002伊朗))平面上有A ，B 两个固定点，构造一个四边形ABCD ，使AB=BC ，AD=DC ，∠ADC=90°,证明：存在一个固定的点P ，使得每一个构造的三边形ABCD 在线段AB 的同侧，并且CD 通过点P 。

5. ((2002伊朗))在△ABC 中，∠A=60°，P 为△ABC 所在平面上一点，使得

PA=6，PB=7，PC=10，求△ABC面积的最大值。

人教版六年级数学下册应用题大全答案附后

人数版六年级数学下册应用题大全答案附后

人教版六年级数学下册应用题大全 一、分数的应用题 1、修筑一条公路，完成了全长的2/3后,离中点16. 5千米，这条公路全长多少干 米？ 2、一根钢管长10米，第一次截去它的7/10,第二次又截去余下的1/3,还剩多少米？ 3、一缸水，用去1/2和5桶，还剩30乐这缸水有多少桶？ 4、师徒两人合做一批零件，徒弟做了总数的2/7,比师傅少做21个，这批零件有多少个？ 5、仓库里有一批化肥，第一次取出总数的2/5,第二次取出总数的1/3少12袋，这时仓库里还剩24袋，两次共取出多少袋？ 6、甲乙两地相距1152千米,一列客车和一列货车同时从两地对开，货车每小时行72 千米，比客车快2/7,两车经过多少小时相遇？ 7、一件上衣比一条裤子贵160元,其中裤子的价格是上衣的3/5, 一条裤子多少元 8、饲养组有黑兔60只，白兔比黑兔多1/5,白兔有多少只 9、学校要挖一条长80米的下水道，第一天挖了全长的1/4,第二天挖了全长的1/2,两 天共挖了多少米还剩下多少米

二、比的应用题 1、？一个长方形的周长是24厘米，长与宽的比是2： 1 ,这个长方形的面积是多少平方厘米？ 2、？一个长方体棱长总和为96厘米，长、宽、高的比是3 ： 2 ： 1 ,这个长方体的体积是多少？ 3、？一个长方体棱长总和为96厘米，高为4厘米，长与宽的比是3 ： 2 ,这个长方体的体积是多少？ 4、？某校参加电脑兴趣小组的有42人，其中男、女生人数的比是4 ： 3,男生有多少人？ 5、？有两筐水果，甲筐水果重32千克，从乙筐取出20%后，甲乙两筐水果的重量比是4:3,原来两筐水果共有多少千克？ 6、？做一个600克豆沙包，需要面粉红豆和糖的比是3:2:1,面粉红豆和糖各需多少克 7、？小明看一本故事书，第一天看了全书的1/9,第二天看了 24页，两天看了的页数与剩下页数的比是1： 4,这本书共有多少页？ 8、？一个三角形的三个内角的比是2:3:4,这三个内角的度数分别是多少？ 六年级数学应用题3 1、某化肥厂今年产值比去年增加了20%,比去年增加了500万元，今年产值是多少万元？

波兰数学奥林匹克试题及解答

波兰数学奥林匹克试题及解答 1 设为正整数，证明：所有与互质且不超过的自然数的立方和是的倍数。 2 在锐角三角形中，点是边上一点，使得 。证明：。 3 已知正实数的和等于1，证明：。 4 圆周上的点都被染上了某三种颜色中的一种，证明：在这个圆周上存在三个点，它们是某个等腰三角形的顶点，且它们同色。 5 求所有的正整数对（），使得与都是完全立方数。 6 点是内部或边界上一点，点分别是点在边 上的垂足，证明：的充要条件是点在边 上。

7 证明：对任意正整数，和每一个实数，存在实数，使得。 8 关于非负整数的函数定义如下：对任意 ；对。证明：对 均有。 9 设为给定的自然数，且，证明：是一个完全平方数。 10 设是三维空间中彼此垂直的三个单位向量，设是过点的一个平面，分别是在平面上的投影。对任意平面，求数 构成的集合。 11 设为正整数，是具有下述性质的个自然数构成的集合：中任意 个元素中，必有两个数，使得其中一个是另一个的倍数。证明：中存在 个数，使得对，均有。 12 点分别是锐角三角形的边上的点， 的外接圆交于一点，证明：若

，则为三角形的三条高。 解答或提示 1 利用结论：若，则，将与配对即可证明此题。 2 记，则，利用正弦定理可知，， ，从而，要证的式子等价于，最后一式是显然的。 3 注意到，，所以， ， 故。 于是，我们有：。 即：。结合，可知命题成立。 4 可以证明：该圆周的内接正十三边形的13个顶点中，必有同色的三个点，它们是一个等腰三角形的顶点。

5 设是满足条件的正整数对，不失一般性，设， 则：，故，这表明 ，将之代入，可知是一个完全立方数，从而，是一个完全立方数。设 ，展开可知，于是。注意到： ， 故或，分别求解，可知只能是，进而 。所求数对。 6 利用勾股定理易证：等价于。 7 任给，及，令待定， 则：

1—1代数式的恒等变换方法与技巧

1—1 代数式的恒等变换方法与技巧 一、代数式恒等的一般概念 定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。 定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。 两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但 x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。 定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。 代数式的变形，可能引起定义域的变化。如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，2lgx 的定义域是 (0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。由lgx 2变形为2lgx 时， 定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。 例1：设p x =有实根的充要条件，并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。 解： 原方程等价于222(0,0 x p x x x ?-=-??-≥≥?? 2 22222 (4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ?-=??=+--?????≤≤?≤ ???? ≥??+-≤≥?? ? 222(4)8(2) 44,043p x p p x x ?-=??-??-?≤≤≥?? 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44 048(2)33 p p p p --≤≤?≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是4 03p ≤≤ 。这时，原方程有惟一实根x =。 二、恒等变换的方法与技巧 恒等变换的目的是使问题变得简单，便于求解。因此，式的恒等变换是根据需要进行的，根据不同问题的特点，有其不同的规律性。 1．分类变换 当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。

培智数学二年级教学计划

学年教学工作计划 一、学情分析 本班共有学生10人，在经过了一个学期的数学学习后，大部分学生已经养成了良好的学习习惯，基本知识、技能方面基本上已经达到学习的目标，对学习数学有着一定的兴趣，乐于参加学习活动中去。特别是一些动手操作、需要合作完成的学习内容都比较感兴趣。有部分学生思维敏捷，好学上进，不足之处是本班学生不善于发现、思考和解决问题，有一小部分学生比较顽皮，对学习不太自觉，依赖心比较重。 二、教学内容 这册教材包括下面一些内容： 第一认数对数7 、8、9 、10 、0 的认识。 第二对图形的认识，其中有长方形、正方形、圆的认识。 第三是对10以内的加法的数得数为2、3、4、5的加法的计算。 这册教材的重点教学内容是：学会对10以内数的认识，10以内的得数为2、3、4、5的加法。在学生掌握了10以内各数的基础上，这册教材把认数的范围扩大到20，使学生初步理解数的概念，学会10以内数的读法和写法，弄清10以内数的大小，会用这些数来表达和交流，形成初步的数感。且10以内的加、减法，分为口算和笔算两部分。而这册教材出现的是只是对数的初步认识，即对数7、8、9、10、0的认识。这些在日常生活中有广泛的应用，又是进一步学习计算的基础，因此，应该让学生很好地掌握。同时，教材结合认识了解计算教学，安排了应用所学计算知识解决问题的内容，让学生了解所学知识的实际应用，学习解决现实生活中相关的计算问题，培养学生用数学解决问题的能力。 三、教学目标： 1．认识数7、8、9、10、0，初步理解这几个数表示的意义，能够熟练地数10以内的数，会读会写10以内的数，掌握10以内数的形象记法，掌握10以内

2018年四川省遂宁市中考物理试卷

2018年四川省遂宁市中考物理试卷 一、选择题（本大题共计10个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列有关声和能的说法中正确的是（） A．声纹锁在房主说出暗语时才能被打开，是因为它能辨别声音的音调 B．“辽宁号”航母上的起飞引导员佩戴有耳罩的头盔，这是从传播过程中减弱噪声 C．太阳能、风能、核能是目前正在努力研究、开发的新能源，它们都是可再生能源 D．能量的转化和转移具有方向性，在转化和转移过程中能量的总量总保持不变2．（3分）下列光现象与其成因对应正确的是（） A．雨后彩虹一光的色散B．鱼翔浅底一一光的直线传播 C．小孔成像一光的反射D．镜花水月一光的折射 3．（3分）小军帮妈妈煲鸡汤时，联想到了许多物理知识。下列说法错误的是（） A．鸡汤香气四溢是扩散现象，说明分子在不停地做无规则运动 B．鸡汤沸腾过程中吸收热量，温度不变，内能不变 C．煲鸡汤过程中，限压阀转动，此过程的能量转化与内燃机的做功冲程相似D．限压阀口“烟雾缭绕”，这是水蒸气液化形成的小水珠 4．（3分）如图是某品牌榨汁机，为保障安全，该榨汁机设置了电源开关s和安全开关S1．当杯体放在主机上时，S1自动闭合，此时再闭合S，电动机才能启动，开始榨汁。下列电路图符合上述要求的是（） A．B．C．D．

5．（3分）下面是小明整理的部分电学笔记，其中叙述正确的是（） A．丝绸与玻璃棒摩擦过程中，丝绸失去了电子 B．由欧姆定律可知，导体电阻的大小与其两端电压成正比，与通过它的电流成反比 C．磁感线总是从磁体北极出发回到磁体南极 D．安装家庭电路时，开关应与所控制的用电器串联，且接在火线上 6．（3分）KTV丰富了人们的业余文化生活，唱歌时用的麦克风（动圈式话筒）如图所示，它的工作原理是：对着话简说话时，话简将声音转变为随声音变化的电流，然后经扬声器（喇叭）还原为声音。麦克风工作原理与下列装置的工作原理相同的是（） A．B．C．D． 7．（3分）如图所示电路，电源电压保持不变，闭合开关S，将滑动变阻器的滑片P向b端移动，则在移动过程中（） A．电压表V的示数变小，电流表A1的示数变大 B．电压表V的示数不变，电流表A2的示数变小 C．电压表V的示数与电流表A1的示数的乘积变小 D．电压表V的示数与电流表A1和A2的示数差的比值不变 8．（3分）小明在水平地面上推如图所示的一只圆柱形油桶，油桶高40cm，底

培智二年级生活与数学二单元认识7

课题：认识7 一．教学目标 1．认知目标：学会7的读法，了解写法并能书写，在生活中能的到运用。 2.能力目标：理论联系实际的能力，能在生活中运用所学知识；锻炼学生观 察能力、想象能力、语言表达能力和独立思考能力；锻炼学生模仿动手能力、集中注意力能力 3．情感目标：让学生能更好的了解数学，了解数学与生活的密切联系。 二．教学重点： 认识7的读法，学会读数与数数。让学生从实际生活中的事物掌握知识。通过老师示范、学生反复练习读音。 三．教学难点：学习7的写法，学习通过动手模仿老师更好的掌握数字的写法。 四．教学安排：（3课时） 第一课时 教学过程 一．复习???????? 1.教师出示数量1--6的物品，让学生回答：这是几个？ 2.教师板书数字1--6，问学生这个数读几？ .?? 3.在小黑板田字格上练习写数字1----6 二、新授 1、教师出示一个盘子，里面放上6个苹果，问学生：里面是什么啊？有几个？学生观回答 2、教师再出示1个苹果，问学生有几个?

学生回答 3、教师把7个苹果放在一起，问学生是几个？ 学生回答 4、教师出示6五角星，问学生有几个？ ? ??学生回答 5、教师再添加上一个，问学生有几个？ ?? ?学生回答 教师板书数字7 6、教师带学生观看教科书，认识数字7 7、引导学生观察书上的图片：问7像什么（镰刀），镰刀用来干什么的？（割青草） 引导学生一起编7的儿歌：7 7 7 ，我是7, 7像镰刀割青草。 8、教读7的数字儿歌 三、课堂练习 1、教师教学生学写数字7，要注意写7时候拐弯时要注意 2、学生在作业本上练习，教师及时纠正学生错误写法 四、小结 ? 第二课时 教学过程 一．复习???????? 1、教师出示数量1--7的物品，让学生回答：这是几个？ 2、教师板书数字1--7，问学生这个数读几？

小学六年级数学教学工作的总结

小学六年级数学教学工作的总结 小学六年级数学教学工作的总结 本学期，我继续担任六年级数学教学工作和班主任工作，认真学习教育教学理论，从各方面严格要求自己，积极向有经验的教师请教，结合本校的实际条件和学生的实际情况，勤勤恳恳，兢兢业业，使教学工作有计划，有组织，有步骤地开展。为使今后的工作取得更大的进步，现对本学期教学工作作出总结： 在课堂中推进素质教育，力求体现三个面向的指导思想。目的是使学生体会数学与大自然及人类社会的密切联系；体会数学的价值，增强理解数学和运用数学的信心；初步学会应用数学的思维方式去观察，分析，解决日常生活中的问题；形成勇于探索，勇于创新的科学精神；获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实和必要的应用技能。 认真备课，不但备学生而且备教材备教法，根据教材内容及学生的实际，设计课的类型，拟定教学方法，认真写好教案。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，课后及时对该课作出总结，写好教学后记。 注重课堂教学的师生之间学生之间交往互动，共同发展，增强上课技能，提高教学质量。在课堂上我特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生学得容易，学得轻松，学得愉快，培养学生多动口动手动脑的能力。本学期我把课堂教学作为有利于学生主动

探索数学学习环境，让学生在获得知识和技能的同时，在情感、态度价值观等方面都能够充分发展作为教学改革的基本指导思想，把数学教学看成是师生之间学生之间交往互动，共同发展的过程。提倡自主性“学生是教学活动的主体，教师成为教学活动的组织者、指导者、与参与者。”这一观念的确立，学生成了学习的主人，学习成了他们的需求，学中有发现，学中有乐趣，学中有收获，这说明：设计学生主动探究的过程是探究性学习的新的空间、载体和途径。 创新评价，激励促进学生全面发展。我们把评价作为全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生全面发展的手段，也作为教师反思和改进教学的有力手段。对学生的学习评价，既关注学生知识与技能的理解和掌握，更关注他们情感与态度的形成和发展；既关注学生数学学习的结果，更关注他们在学习过程中的变化和发展。更多地关注学生已经掌握了什么，获得了那些进步，具备了什么能力。使评价结果有利于树立学生学习数学的自信心，提高学生学习数学的兴趣，促进学生的发展。 虚心请教其他老师。在教学上，有疑必问。在各个章节的学习上都积极征求其他老师的意见，学习他们的方法，学习他们的优点，克服自己的不足，并常常邀请其他老师来听课，征求他们的意见，改进工作。 认真批改作业，布置作业有针对性，有层次性。对学生的作业批改及时，认真分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题做出分类总结，进行透切的讲评，并针对有关情况及时改进教学

2018~2019学年第二学期初三第二次质量测试

2018～2019学年第二学期初三第二次质量测试 物理2019. 05 注意事项: 1.本试卷选择题共24分，非选择题共76分，全卷满分100分;考试时间100分钟. 2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号等用书写黑色字迹的0. 5毫米签字笔 填写在答题卷上. 第Ⅰ卷(选择题共24分) 一选择题(每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确.) 1.下列关于声现象的说法正确的是 A.声音在真空中的传播速度是340 m/s B.学校附近禁止鸣笛是在传播过程中减弱噪声 C.敲门时，门的响声是由门的振动产生的 D.超声波、次声波是人耳可以听到的声音 2.如图所示的四种现象中，由光的反射形成的是 3.现代生活照明多采用低碳节能的LED灯，其核心元件的主要材料是 A.导体 B.纳米材料 C.超导体 D.半导体 4.生活中的热现象随处可见，下列说法正确的是 A.夏天洒水降温，是利用水升华吸热 B.冬天搓手取暖，说明热传递可以改变内能 C.海边昼夜温差小，是因为海水的比热容小 D.端午节米棕飘香，说明分子不停做热运动 5.下列关于一些物理量的描述最接近实际的是 A.一支新的2B铅笔的长度约为18 cm B.一支考试用的新水笔的质量约为10 kg C.初中生的正常步行速度约为5 m/s D.教室里一盏日光灯的工作电流约为2A

6.下列做法中符合安全用电要求的是 A.用电器电线绝缘皮破损了仍继续使用 B.在未断开电源的情况下更换灯泡 C.在家庭电路中安装空气开关或保险丝 D.在高压线附近放风筝 7.如图所示，AOB是光滑轨道，A点的高度H大于B点的高度，让小球从A点由静止开始自由滑下，沿轨道AOB到达B点后离开(不计空气阻力).则小球离开B点后的运动轨迹最符合实际的是 A. a B. b C. c D. d 8. 如图所示的几种杠杆类工具，在使用时属于费力杠杆的是 9.如图是智能扶手电梯工作原理图，电梯上无乘客时运行慢，有乘客时运行快，两种情况下衔铁接触的触点不同，电路中压敏电阻的阻值随压力增大而减小，下列说法正确的是 A. R是压敏电阻，电梯无乘客时，衔铁与触点1接触 B. R1是压敏电阻，电梯无乘客时，衔铁与触点1接触 C. R是压敏电阻，电梯无乘客时，衔铁与触点2接触 D. R2是压敏电阻，电梯无乘客时，衔铁与触点2接触 10.如图，物体a、b、c叠放在水平桌面上，水平力F a=F b=5N，分别作用于物体b、c上，a、 b、c保持静止.以f1、f2、f3分别表示a与b、b与 c、c与桌面间的摩擦力的大小，则 A.f1=5N，f2=0，f3=5N B. f1=0，f2=5N，f3=0 C.f1=0，f2=5N，f3=5N D.f1=5N，f2=5N，f3=5N

培智学校二年级上数学期末试卷

培智学校二年级数学上册期末试卷 班级________ 姓名________ 一．数一数(3分) 从左数：大象排第（）小猴排第（）熊猫排第（） 从右数：斑马排第（）小猪排第（）小猫排第（） 二.找一找（3分）

三、填一填 1. （10分） 2.填相邻数（5分） ( ) 5 ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 1 ( ) 10 ( ) 8 7 ( ) 5 8 ( ) 6 5（）7 ( ) 6 ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 7 ( ) 四、数的分与合（6分） 6 5 7 9 ∕﹨∕﹨∕﹨∕﹨ () 2 3 （）（）4 5 () 10 8 2 4 ∕﹨∕﹨∕﹨∕﹨ ( ) 4 () 5 () ( ) 1 ( ) 5 () 3 () 6 () 7 ( ) ＼／＼／＼／＼／ 10 8 9 8

五、口算（40分+15分） 3+( )=10 0+( )=4 4+( )=9 1+( )=8 6+( )=10 4+( )=8 5+( )=7 10+( )=10 2+( )=6 3+( )=5 2+( )=9 4+( )=6 3+( )=3 7+( )=8 6+( )=9 1+( )=10 8+( )=9 5+( )=10 6+( )=7 3+( )=10 ( )+5=10 ( )+2=5 ( )+6=9 ( )+8=10 ( )+3=8 ( )+6=6 ( )+7=8 ( )+0=5 ( )+1=7 ( )+4=6 ( )+2=9 ( )+2=8 ( )+3=7 ( )+3=8 ( )+2=9 ( )+3=10 ( )+2=4 ( )+6=7 ( )+7=10 ( )+0=6 1-1= 2-2= 3-3= 4-4= 5-5= 6-6= 7-7= 8-8= 9-9= 10-10= 0+2= 0+3= 0+4= 5+0= 1+0= 6+0= 0+7= 0+8= 0+9= 0+10= 0+0= 3+0= 2+0= 7+0= 8+0= 3-0= 4-0= 5-0= 8-0= 9-0= 五、看图列算式（18分） □○□=□□○□=□□○□=□ □○□=□□○□=□□○□=□

2012年IMO国际数学奥林匹克试题解答

2012年IMO国际数学奥林匹克试题解答 第一题 设J是三角形ABC顶点A所对旁切圆的圆心. 该旁切圆与边BC相切于点M, 与直线AB和AC分别相切于点K和L. 直线LM和BJ相交于点F, 直线KM与CJ相交于点G. 设S是直线AF和BC的交点, T是直线AG和BC 的交点. 证明: M是线段ST的中点. 2012年IMO国际数学奥林匹克试题第一题 解答: 因为 ∠JFL=∠JBM?∠FMB=∠JBM?∠CML=12(∠A+∠C)?12∠C=12∠A= ∠JAL, 所以A、F、J、L四点共圆. 由此可得AF⊥FJ, 而BJ是∠ABS的角平分线, 于是三角形ABS的角平分线与高重合, 从而AB=BS; 同理可得AC=CT.

综上, 有 SM=SB+BM=AB+BK=AK=AL=AC+CL=CT+CM=MT, 即M是线段ST的中点. 第二题 设n?3, 正实数a2,a3,?,a n满足a2?a3???a n=1, 证明: (a2+1)2(a3+1)3?(a n+1)n>n n. 解答:由均值不等式, 我们有 (a k+1)k=?(a k+1k?1+?+1k?1)k(ka k?(1k?1)k?1?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?√k)k=k k(k?1)k?1a k, 当a k=1k?1时等号成立, 其中k=2,3,?,n. 于是 (a2+1)2(a3+1)3?(a n+1)n?221a2?3322a3???n n(n?1)n?1a n=n n. 当对任意的k=2,3,?,n时, 若恒有a k=1k?1, 此时由n?3知 a2?a3???a n=1(n?1)!≠1, 因此上述不等式等号不成立, 从而不等式得证. 第三题 "欺诈猜数游戏" 在两个玩家甲和乙之间进行, 游戏依赖于两个甲和乙都知道的正整数k和n. 游戏开始时甲先选定两个整数x和N, 1?x?N. 甲如实告诉乙N的值, 但对x 守口如瓶. 乙现在试图通过如下方式的提问来获得关于x的信息: 每次提问, 乙任选一个由若干正整数组成的集合S(可以重复使用之前提问中使用过的集合), 问甲"x是否属于S?". 乙可以提任意数量的问题. 在乙每次提问之后, 家必须对乙的提问立刻回答"是" 或"否", 甲可以说谎话, 并且说谎的次数没有限制, 唯一的限制是甲在任意连续k+1次回答中至少又一次回答是真话. 在乙问完所有想问的问题之后, 乙必须指出一个至多包含n个正整数的集合X, 若x属于X, 则乙获胜; 否则甲获胜. 证明:

六年级数学 教育叙事故事案例 精品

一盒彩笔的故事 那是发生在今年六月份的一件事，我像往常一样去教室上课，刚踏进教室门口，室内一片狼藉，有说话的，有趴在课桌上的，还有几个调皮捣蛋的还在后面大吵大闹。为了引起学生的注意，我故意在教室转了一圈。可他们依然如此，对我这个老师视而不见。 见此情形，我顿时怒火中烧，这是六年级的学生吗？怎么可以这么明目张胆的犯错误？快毕业了也不能这样呀！如此公然作对我是无论如何也容忍不了的！我拿起板擦狠命的敲了下讲桌，顿时鸦雀无声，但是他们那不屑的表情让我看了实在是生气，于是我对他们说：“还有半个月的时间就毕业了，现在的精力应该放在学习上，只有认真学习你才能考上好的中学。”没等我的话说完，不爱学习的代新廷发话了，他说：“老师，我妈妈说了，我就去十一中最次的班了。”听到他说这些，我更生气了，我是想教育一下他们，让他这么一说，还有几个学生给他帮腔，我压住怒火，又说：“xxx，你本来是个聪明的孩子，为什么不把 精力放在学习上，让你妈妈也高兴高兴。”他又说：“老师，我从一年级就这样，改不了了。”见他这样，我说几句他跟几句，我压不住火了，走上前去，拿起他的彩笔，砸在了他的桌上，由于我的力气大了点，把他的彩笔盒砸裂了，其他同学见我真的发火了，不敢出声了。我回到讲台前，继续我的教学工作。在以后的三天里，代新廷一句话都不和我说，以前见到我还问声老师好，现在就当没看见。那几天我自己也在反思，是不是自己做的有些过分，真是太不至于了，于是我又买了盒新的彩笔，主动找了个时间和他谈，我问他：“你是不是还在生老师的气，如果那天你不接老师话茬的话，老师也不会那么生气，老师也认识到自己那天做的不对，所以我又给你买了盒新的彩笔。”他沉默了一会说：“老师我没生你的气，那天我也不对……”听到他说这些，我意识到自己这样做是对的，不能因为

智浪教育—普惠英才文库数学竞赛典型题目(二)1.(1994年伊朗数学

数学竞赛典型题目（二） 1.（1994年伊朗数学奥林匹克） 设a 、b 、c 、S 分别为锐角三角形ABC 的三 边的边长及它的面积。证明在三角形ABC 内存在一点P ，由P 到顶点A 、B 、C 的距离为x 、y 、z 的充份和必要条件是存在三个三角形：第一个的边长分别是a 、y 、z 及其面积为S 1，第二个的边长分别是b 、z 、x 及其面积为 S 2，第三个的边长分别是c 、x 、y 及其面积为S 3及S=S 1+S 2+S 3。 2 .（1995年伊朗数学奥林匹克） 假设ABCD 为一正方形及K 、N 分别在线段 AB 和AD 的点使得AK x AN = 2 BK x DN.设L 和M 分别为对角线BD 与CK 及CN 的交点。证明K 、L 、M 、N 和A 五点共圆。 （1995年伊朗数学奥林匹克）A,B,C 三点在圆O 上,线CO 交AB 于D 且BO 交 AC 于E,如果,,BAC CDE ADE ∠∠∠角度都是α,求α. （1995年伊朗数学奥林匹克）ABC ?内切圆和边AB,AC 及BC 交于M,N,P,证 明:MNP ?垂心, ABC ?外心和内心三点共线. 3.（1996年伊朗数学奥林匹克）ABC ?中， 60=∠A ，O 、H 、I 、'I 分别为外 心、垂心、内心和关于A 的旁心. 'B 和'C 分别在AC 和AB 上，且'.,'AC AC AB AB ==证明： （1）八点B 、C 、H 、O 、I 、'I 、'B 、'C 共圆； （2）若OH 交AB 、AC 分别于E 、F ，则AEF ?周长等于.AC AB + （3）.AC AB OH -= 4.（1996年伊朗数学奥林匹克）ABC ?为不等边三角形，从A 、B 、C 出发的中线交外接圆于另一点L 、M 、N.若.LN LM =证明：.2222AC AB BC += 5.（1996年伊朗数学奥林匹克）ABC ?中，D 在AB 上，E 在AC 上，且DE//BC.P 为ABC ? 内任一点，PB 和PC 交DE 分别于F 、G.若1O 为PDG ?外心，2O 为PFE ?外心，证明：.21O O AP ⊥ 6.(1997年伊朗数学奥林匹克)ABC ?边BC 的中点是N,以AB 和AC 为直角边向外构造等腰直角ACP ABM ??,,证明:MNP ?也是等腰直角三角形.

特殊教育课件-培智二年级数学教案

培智二年级（2）班数学教案 1和2的认识 一、活动目标： 1、让幼儿喜欢上数学课，感受并喜欢数学课的氛围。 2、使幼儿初步认识数字1、2。 3、让幼儿在游戏中能用实物来表示1、2。 二、活动准备： 1、1、2的大数字卡以及相应小棒小鸭图片。 2、二个框子上面分别贴有小棒、鸭子的图片。 3、数字宝宝卡片1、2幼儿人手一套。 三、活动过程： 宝宝，宝宝拍拍手，宝宝，宝宝拍拍腿，宝宝，宝宝坐神气。 （一）、活动导入：用儿歌引出课题： 宝宝们，今天老师啊，带来了一首好听的儿歌，你们想不想听听呀。（想…）那宝宝的小耳朵可要听仔细了。听完儿歌后告诉老师你都听到什么。 教师唱儿歌：“数字宝宝1和2，1像小棒细又长，2像小鸭水里游，”。宝宝们，刚在儿歌里面听到了什么呀？（幼儿自由说）。我们的数字宝宝长什么样呢？今天老师请他们来我们这做客了。宝宝们看看这些数字宝宝是不是像儿歌里唱的那样像小棒和小鸭啊。现在老师就来请出数字宝宝了。 哇！数字宝宝出来啦！ （二）、活动开始： 1、请出1、2大数字卡和小棒小鸭的图片，用数字和图片相对应，让幼儿看看数字是否象儿歌中唱的一样，加深幼儿对数字的理解和记忆。 宝宝们，看看老师现在手上拿的呀是数字宝宝的图片，这是1，问：是什么呀？（幼儿一起说1，或者请单独宝宝说说）； 举起2，这是2，（请单独幼儿说是什么？）； 看看这些数字宝宝是不是跟这些图上长得一样啊？（嗯…） 2、游戏：我出几你念几。教师随意出示大数字卡，让幼儿念出卡片上相应的数字。

现在老师拿出一张数字宝宝图片，宝宝们一起跟老师大声念出来啊。（一开始跟老师一起，中途老师可以试试不念。）宝宝真聪明，表扬说的宝宝。 3、感知数字： 1表示什么呢？老师觉得1可以表示一张椅子，还可以表示一个大电视机（从班上的东西来举例）；让幼儿说说。对说的宝宝进行表扬。 拍手游戏：宝宝们，老师现在要跟你们做个游戏。说1拍（手），说2拍拍。老师先进行示范再跟幼儿一起。 （三）、游戏：送数字宝宝回家 宝宝们，看老师呀这有两个框子，上面呀，贴着小棒、小鸭图片，你们手里拿着数字宝宝，现在数字宝宝要回家了，把1送给小棒，2送给小鸭吧。 教学反思：在观察书中的插图时，我尽量的引导孩子仔细，并且有序的观察数数，进而感知1、2数序。比如：数“1”时，有人数出一只大象，这我并不奇怪，可之后孩子们的一些细致发现让我很高兴也很意外。一片天、一片绿草地、一位女老师、一个扎两个小辫的女孩儿、一只黄颜色的小鸟等等；在数“2”时，有人数出两头犀牛、两个男生、两个女生、两个书包、两根木头柱子等等； 在教学写1和2时，我先引导学生观察每个数字的特征，把每个字关键点讲出，用简短的话帮助孩子记忆，比如1的教学：1像小棒斜着放，帮助学生找准1的位置。再如2的教学： 2字像小鸭，圆圆的脑袋碰上线，长长的脖子斜下来，平平的身子碰下线。关键点讲到了，学生也乐学。巡视下来，学生的书写还是不错的。接着告诉孩子们书写的时候要顶天立地写满格，把字写得满满的。这样，学生写出来的还是比较好看。 3的认识 教学目标 1．使学生正确地数出数量是3的物体的个数，会读、写数字3. 2．了解3以内数的顺序，会比较3以内数的大小，认识“＜”，掌握3的组成. 3．初步培养学生的观察能力和良好的书写习惯.

2017奥林匹克数学竞赛试题及答案

绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 三年级试题（Ａ卷） （本试卷满分120分，考试时间90分钟） 一、填空题。（每题5分，共计50分） 1、仔细观察，想一想接着该怎么画。 2、一只猫吃完1条鱼需要6分钟，5只猫同时吃完5条同样大小的鱼需要分钟。 3、国庆阅兵中，15辆坦克排成一队，从前往后数，战士小李驾驶的坦克是第6辆，那么从后往前数这辆坦克是第_______辆。 4、车站里的汽车每隔15分钟一班，小青想搭8:45的一班车去图书馆，但是她到达车站的时间已经是8:47，那么她还要等_______分钟才能搭乘下一班汽车。 5、一只大白兔的重量是2只松鼠的重量，1只松鼠的重量是3只小鸡的重量，1只大白兔的重量等于_______只小鸡的重量。 6、东村到西村有3条路，西村到南庄有4条路。那么从东村经过西村到南庄一共有_______条路可走。 7、学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级，还要招收30人。若编成每班50人的班级，还需招收10名新生。这次共招收了名新生。 8、妈妈买来一块豆腐准备做鱼头豆腐汤，让小军动手切8块，小军最少要切刀。 9、王奶奶有两篮桃子，从第一个篮子里拿3个放入第二个篮子里，两个篮子里桃子就一样多，已知第二个篮子里原来有8个桃子，第一个篮子里原来有______个桃子。 10、下图中有个三角形。 二、计算题。（每题6分，共计12分） 11、2015＋201＋20－15＋5 12、1000-9-99-8-98-7-97-6-96-5-95-4-94-3-93-2-92-1-1 三、解答题。（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分） 13、一条大鲨鱼，尾长是身长的一半，头长是尾长的一半，已知头长3米，这条大鲨鱼全长有多少米？ 14、超市新进6箱足球，连续4天，每天卖出8个。服务员重新整理一下，剩下的足球正好装满2箱。原来每箱有几个足球？ 15、小丽和小晴两人比赛爬楼梯，小丽跑到3楼时，小晴恰好跑到2楼，照这样计算，小丽跑到9楼，小晴跑到几楼？ 16、三年级（2）班有46人，新学期开学要从A、B、C、D、E五位候选人中选出一位班长，每人只能投一票。投票结束（没人弃权），A得24票，B得选票占第二位，C、D得票同样多，E得票最少只得4票。那B得多少票？ 17、有两层书架，共有书173本，从第一层拿走38本后，第二层的书是第一层的2倍还多6本，第二层原有多少本书？ 18、小张和小赵两人同时从相距1000米的两地相向而行，小张每分钟行120米，小赵每分钟行80米，如果一只狗与小张同时同向而行，每分钟跑460米，遇到小赵后，立即回头向小张跑去，遇到小张再向小赵跑去，这样不断地来回跑，直到小张和小赵相遇为止，狗共跑了多少米？

班主任教育叙事案例

班主任教育叙事案例 宁化石壁中心学校张强 从教二十年，十八年的班主任经历使我深深的感觉到：班主任工作是繁琐的，有时令人眼花缭乱，甚至顾此失彼。而且，当学生犯下错误时，我们当老师的即气不得，又恼不得，因为，他们毕竟还是孩子嘛！因此，提高班级管理的效率是班主任工作的首要选择，避免和学生发生正面冲突是班主任工作的明智之举。 【案例1冷静处理】 一次上课铃响了。同学们都很快地跑回教室。过了一会儿，上课的老师也进了教室，第二遍铃响过后，我的目光刚要移开，突然看见我班特调皮的同学王建奇慌慌张张地跑进教室。我当时就想：“这小子肯定又是去做什么坏事了，才会上课迟到！这是我亲眼所见，准没错！”下课了，我走进教室，把他叫到讲台前，严厉地批评他上课迟到。这下他可急了，那声音大得像要发怒。“您冤枉人，我根本没做坏事，下课，同学们围着张老师问问题，然后张老师又叫我帮她把作业本抱到办公室去，这才晚的！”我的脑中“轰”的一下，是呀，我怎么忘了，为了调动他的学习积极性，我和张老师商量好让他当数学课代表的呀！我知道错怪了他，连忙道歉。他却气乎乎地走了，以后几天都不怎么理我。都说“眼见为实”，可我亲眼所见，还是错怪了同学，这是深刻的教训。孩子的心是稚嫩而脆弱的，伤害了就很不容易愈合。我们作为教师，每当在批评学生之前，一定要先问问自己，事

情搞清楚了吗？事实是这样吗？我批评得有理有据吗？千万不要凭 主观想象就草率处理。 这件事对我触动很大，作为班主任我们一定要树立正确的学生观，学生都是可教育可塑造的。我们应该用发展的眼光看待学生，而不能用一成不变的老眼光看学生，还要注意到学生取得的每一点进步。学生犯了错误，只要改正了，就应该原谅，而不应总挂在嘴边。批评更应就事论事，今天的事就说今天的，把以前的、其他的都抖落出来说几句，学生心里会想：“我就算改好了，老师也不会忘记我以前犯的错，也不会相信我！”这样很不利于学生改正错误。有时老师由于急躁的情绪或一时不冷静会说出一些过火的话，如：“我怎么会遇上你这样的学生！真是一粒老鼠屎坏了一锅粥。”“你简直是无药可救了，干脆回家自学去吧！”“你这种人永远也学不好，你要能考及格，除非太阳从西边出来！”……这些定性的话、消极的断言，只会严重伤害学生的自尊心，使他们失去了努力改正缺点的勇气和信心，严重抑制了学生的主体性。有时，教师一句伤学生的话，就可能使学生永远不能原谅老师，产生对立的情绪，这样，教育工作就更难进行了。【案例2关注特殊生】 一名好教师应该既爱好学生，也爱“特殊”生。但在现实中，常常是：爱好学生容易，爱差的学生难。因为一名好学生在校会勤学守纪，很讨人喜欢；而特殊生往往会让大多数人爱不起来：他们不守纪律、调皮爱动，故意捣乱，作业不认真，成绩不理想。他们固然让老师头疼，但他们也并不是一无是处，作为班主任要善于发现他们身上的闪光点，并做大力表扬，以他的优点带动他改掉自己的缺点。 我班有一个孩子叫张小强，他父亲患家族遗传精神病，母亲早早地离开了他。从小由爷爷奶奶抚养，百般宠爱。天性调皮好动，自制

智浪教育普惠英才文库

Pan Pearl River Delta Physics Olympiad 2010 2010年泛珠三角及中华名校物理奥林匹克邀请赛 Part-1 (Total 6 Problems) 卷-1（共6题） (9:00 am – 12:00 pm, 02-19-2010) Math hints 数学提示: 111n n x dx x n +=∫+ , ()3 22213A x =??∫ Q1 Solve the following short problems. (11 points) 题1 解下列各题。（11分） (i) Nucleus-A of mass M A and kinetic energy E 0 (< a ). The space between the shells is filled with medium with dielectric constant ε and conductivity σ. (2 points) 两同心圆壳导体，半径分别为a 、b (> a )。两壳间充满介电常 数为ε、导电率为σ的介质。求两导体之间的电阻和电容。（2 分） (iii) (a) The electric field of an electromagnetic wave is ()00i kz t E E x e ω?=G G . What is its state of polarization? (1 point) (b) Write down the expression in the same way as in (a) for the electric field of a left circularly polarized electromagnetic wave. (1 point) (a)一电磁波的电场为(00i kz t E E x e )ω?=G G 。问电磁波的偏振状态是什么？（1分） (b)以与(a)相同的格式给出左旋圆偏振电磁波的电场。（1分） (iv) The electric field of an electromagnetic wave in vacuum is ()00i kz t E E x e ω?=G G . Find the magnetic field and the Poynting vector. (2 points) 真空中一电磁波的电场为()00i kz t E E x e ω?=G G 。求电磁波的磁场和Poynting 矢量。 （2分） (v) Use the Lorentz transformation to derive the relativistic Doppler Effect when the relative motion between the source and the receiver is (a) parallel or (b) perpendicular to the wave propagation direction. (3 points) 利用洛伦兹变换，推出下列情形的相对论多普勒效应：(a)波的传播方向与波源、 接收器的相对速度平行；(b) 波的传播方向与波源、接收器的相对速度垂直。（3 分）

1997-199年伊朗数学奥林匹克

1997-199年伊朗数学奥林匹克 (第一轮) 1.设正整数x、y满足方程3x2+x = 4y2 +y。证明x-y是个完全平方数。 证：原方程可改写为y2= 3x2+x -3y2-y =3(x2 - y2)+(x-y)=(x-y)[ 3x+3y+1]。 设d=( x-y，3x+3y+1)=(x-y，6y+1)为这两个整数的最大公因子，现证明d=1；否则d 有一素数因子记为p。特别地p整除x-y及6y+1。利用改写后的方程，p亦能整除 y2。因于p是素数，所以p能整除y。因此p能整除(y，6y+1)=1，这是不可能的，即d=1。因此整数x-y 及3x+3y+1为互素，由于这两个数之乘积是完全平方数，所以x-y及3x+3y+1亦是完全平方整数。 2.假设线段KL、KN与圆C相切于点L和N。在KN的延长线上任选一点M。圆C 与三角形KLM的外接圆交于另一点P。若Q为点N到ML的垂足，证明∠MPQ=2∠KLM。 证：首先有∠KPL=∠KLM=∠LPS，∠SPM=∠LPK=∠KML。又由于KN与三角形SMP的外接圆相切于M，所以RM2 =RS.RP=RN2。设R是MN的中点，即三角形MNQ的外接圆圆心，得∠MPQ=∠SMR=∠MQR。所以M、R、P、Q四点共圆，于是∠MPQ=∠MPS+∠RPQ=∠KLM+∠KML=2∠KML。 3.假设n x n的表格上只填上0、1、-1使得表格内的每行和每列各只有一个1和一个 -1。证明经互换某些行及互换某些列后表格内的所有数目和原来的数目多加负号。 解：首先记第i行第j列的数为a ij，现在利用a ij来构造一有向图G=(V，E)其中V={v1，，v2，...，v n}为图的顶点集合，E={e1，e2，...，e n}为图的有向边集合。e i连起顶点v j 到v k当且仅当a ji= 1及a ki= -1。由于每列只包含一个1和一个-1，图G能确实定义。 现在由对每行的同样的假设，每个顶点的出和入次数同样是1。因此G是几个不连 接的环所组成。经互换某些行及互换某些列，可以将这些环的方向更改。那样，在 对应的表格内，1和-1的位置刚好互相对换。 4.设x1、x2、x3、x4为正实数使得x1x2x3x4=1。证明 x13+x23+x33+x43≧max{x1+x2+x3+x4，1 x1 + 1 x2 + 1 x3 + 1 x4 }。 5.证：设A=(x13+x23+x33+x43)，A i=A-x i3。则A=(A1+A2+A3+A4)/3，利用AM-GM不等 式得A1/3≧(x23x33x43)1/3=1/x1。类似地有A i/3≧1/x i。因此 (x13+x23+x33+x43)=(A1+A2+A3+A4)/3≧1/x1+1/x2+1/x3+1/x4。这完成第一部份。 此外先用AM-GM不等式证明(x1+x2+x3+x4)/4≧(x1x2x3x4)1/4=1，再用幂均值不等式及以上不等式得(x13+x23+x33+x43)/4≧[(x1+x2+x3+x4)/4]3≧(x1+x2+x3+x4)/4。因此有(x13+x23+x33+x43)≧(x1+x2+x3+x4)。 6.设ABC是一锐角三角形。由点A到BC的垂足为D。假设角B和角C的角平分线 分别交AD于E和F。若BE=CF，证明三角形ABC是等腰的。 证：用反证法，假设AB