高三数学平面向量专题复习 一、选择题:
1.若|a -b|=41-|a|=4,|b|=5,则a与b 的数量积为 ( )
A .103
B .-103
C .102
D .10
2.若点P 分所成的比为43
,则A 分所成的比是( )
A.73
B. 37
C.- 37
D.-73
3.若将向量a =(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π
4得到向量b ,则向量b 的坐标为( )
A .)22
3,22
(-- B .)223,22( C .)22
,223(- D .)22
,22
3(-
4.在矩形ABCD 中,设1
1
AE =AB,BF =BC, AB =(a,0),AD =(0,b)22,当EF ⊥DE 时,
|a|
|b|的值为 ( ) A .2 B .3 C .2 D .3
5.已知A (5,7),B (2,3),将AB a 按=(4,1)平移后的坐标为 ( )
A .(-3,-4)
B .(-4,-3)
C .(1,-3)
D .(-3,1)
6.将函数)(x f y =图象上的点P (1,0)平移至P ′(2,0),则经过这种平移后得到的新
函数的解析式为 ( )
A .y =f(x -1)
B .y =f(x)-1
C .y =f(x +1)
D .y =f(x)+1
7.设点P 分有向线段21P P 的比是λ,且点P 在有向线段21P P 的延长线上,则λ的取值范围是( )
A.(-∞,-1)
B.(-1,0)
C.(-∞,0)
D.(-∞,-21
)
8.已知02=+?,则△ABC 一定是 ( )
A .锐角三角形
B .直角三角形
C .钝角三角形
D .等腰直角三角形
9.若非零向量a,b 互相垂直,则下列各式中一定成立的是 ( )
A .a +b =a -b
B .|a +b|=|a -b|
C .(a +b)(a -b)=0
D .2(a -b)=0 10.设四边形ABCD 中,有=21
AB ,且|AD |=||,则这个四边形是( )
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
11.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第4个顶点D 的坐标是
A.(2a,b)
B.(a-b,a+b)
C.(a+b,b-a)
D.(a-b,b-a)
12.将椭圆0716********=---+y x y x 按向量a 平移,使中心与原点重合,则a 的坐标为 (
)
A .(2,1)
B .(-1,-2)
C .(-1,2)
D .(1,-2)
二、填空题:
13.在菱形ABCD 中,(AB +AD )·(AB -AD )= 。
14.已知为单位向量,||a =4,与的夹角为π32
,则在方向上的投影为 .
15.已知b a b a ,,3||,4||==的夹角为120°,且2+=,k +=2,当⊥时,
k= .
16.已知点A (-2,-3),B (-1,-6),C (19,4),则△ABC 的形状是 .
三、解答题:
17.已知△ABC 的顶点坐标为A (1,2),B (2,3),C (3,1),把△ABC 按向量),(n m a =平移后得到C B A '''?,
若C B A '''?的重心为G ′(3,4)
求△ABC 的对应点A ′、B ′、C ′以及的坐标.
18.平面内有向量OA =(1,7),OB =(5,
1),OP =(2,1),点M 为直线OP 上一个动点. (1)当MA ,
MB 取最小值,求OM 的坐标; (2)当点M 满足(1)的条件和结论时,求AMB ∠cos 的值.
19.已知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),a 与b 之间相关系|k a +b |=3|a -k b |, (k>0)
(1)用k 表示a ·b ;
(2)求a ·b 的最小值,并求此时a ·b 的夹角的大小。
20.(1)已知a ,b 是两个非零向量,且a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,试求a 与b 的夹角;
(2)已知:|a |=2,|b |=3,a 和b 的夹角为45°,求使向量a +λb 与λa +b 的夹角是锐角时λ的取值范围。
21.设、是两个不共线的非零向量(R t ∈)
(1)记1OA =a,OB =tb,OC =(a +b),3
那么当实数t 为何值时,A 、B 、C 三点共线?
(2)若120且 与夹角为|a|=|b|=1 a b ,那么实数x 为何值时||b x a -的值最小?
22.设x , y ∈R ,i 、j 为直角坐标系内x 、y 轴正方向上的单位向量,若a =x i +(y+2)j ,b =x i +(y -2)j ,且a 2+b 2=16.
(1)求点M (x, y )的轨迹C 的方程;
(2)过定点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP =OA +OB ,是否存有直线l 使四边形OAPB 为正
方形?若存有,求出l 的方程,若不存有说明理由.
答 案
一、选择题:
1.A 2. C 3.B 4.A 5.A 6.A 7. A 8. B 9. B 10. C 11. C 12.B
二、填空题:
13. 0 14.-2 15.32-
16.直角三角形 三、解答题:
17. )2,1(=a , A ′=(2,4) , B ′=(3,5) , C ′=(4,3).
18.(1)设M (x ,y ),当y=2时,?取最小值-8,此时)2,4(=.
(2)1717
4cos -=∠AMB .
19. 解 (1)要求用k 表示a ·b ,而已知|k a +b |=3|a -k b |,故采用两边平方,得
|k a +b |2=(3|a -k b |)2
k 2a 2+b 2+2k a ·b =3(a 2+k 2b 2-2k a ·b )
∴8k ·a ·b =(3-k 2)a 2+(3k 2-1)b 2
a ·
b =k
k k 8)13()3(2
222b a -+- ∵a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),
∴a 2=1, b 2=1,
∴a ·b =k
k k 813322-+-=k k 412+ (2)∵k 2+1≥2k ,即k k 412+≥k k 42=2
1 ∴a ·b 的最小值为
2
1, 又∵a ·b =| a |·|b |·cos γ,|a|=|b|=1 ∴21=1×1×cos γ。 ∴γ=60°,此时a 与b 的夹角为60°。
20. 解 (1)∵a +3b 与7a -5b 垂直,∴(a +3b )·(7a -5b )=0,
即7|a |2+16a ·b -15|b |2=0, ①
又∵a -4b 与7a -2b 垂直,∴(a -4b )·(7a -2b )=0。
即7|a |2-30a ·b +8|b |2=0。 ②
①-②得46a ·b =23|b |2,得a ·b =2
1|b |2, 代入①可得|a |=|b |,设所求a 与b 的夹角为θ,则
cos θ=||||b a b a ?=22
||||2
1a a =2
1,∴θ=60°。 (2)由已知
a ·
b =|a |·|b |·cos45°=32·21
=3。
∵a +λb 与λa +b 夹角为锐角,
∴(a +λb )·(λa +b )>0,即a ·b λ2+(a 2+b 2) λ+a ·b >0。
把a ·b =3,a 2+b 2=|a |2+|b |2=2+9=11代入得3λ2+11λ+3>0,
解之得λ<68511--或λ>6
8511+-,此即所求λ的取值范围。 注 与代数运算相同,有时能够在含有向量的式子左右两边平方,且有|a +b |2=|(a +b )2|=a 2+b 2+2a ·b 或|a |2+|b |2+2a ·b
21. 解:(1)A 、B 、C 三点共线知存有实数OB OA OC )1(,λλλ-+=使
即t )1()(3
1
λλ-+=+,…………………………………………………4分
则21,31==t 实数λ………………………………………………………………6分
(2),21120cos ||||-=?=? ,12||22222++=??-?+=-∴x x b a x b x a b x a ……………………………9分
当2
3||,21
取最小值时b x a x --=…………………………………………12分 22. 解:(1)由2+2=16得x 2+y 2=4…………………………4分
(2)假设直线l 存有,显然l 的斜率存有
设A (x 1,y 1) B(x 2, y 2)
由056)1(43
2222=+++???=++=kx x k y x kx y 得………………6分 2212211516k
x x k k
x x +=+-=+ ||||OB OA = ∴若OAPB 为正方形 只有|OB OA ⊥即x 1x 2+y 1y 2=0
y 1y 2=(kx 1+3)(kx 2+3)=k 2x 1x 2+3k(x 1+x 2)+9……………………8分
2
142709)16(315152222±=±==++-++++∴k k k k k k k ……10分 ∴存有l 且l 的方程为y=2
14±
x +3…………………………12分
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高考数学平面向量专题卷(附答案) 一、单选题(共10题;共20分) 1.已知向量,则=() A. B. C. 4 D. 5 2.若向量,,若,则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量,,且,则=() A. B. C. D. 4.已知平面向量、,满足,若,则向量、的夹角为() A. B. C. D. 5.在中,的中点为,的中点为,则() A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线,且,,记与的夹角是,则最大时, () A. B. C. D. 7.在中,,AD是BC边上的高,则等于() A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知,则的取值范围是() A. [0,1] B. C. [1,2] D. [0,2] 9.已知向量,的夹角为,且,则的最小值为() A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆:上的三点,,,斜率为负数的直线与轴交于,若原点是的重心,且与的面积之比为,则直线的斜率为()
A. B. C. D. 二、填空题(共8题;共8分) 11.在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,﹣1),B(﹣3,﹣4)两点,若点C在∠AOB的平分线上,且 ,则点C的坐标是________. 12.已知单位圆上两点满足,点是单位圆上的动点,且,则 的取值范围为________. 13.已知正方形的边长为1,,,,则________. 14.在平面直角坐标系中,设是函数()的图象上任意一点,过点向直线 和轴作垂线,垂足分别是,,则________. 15.已知为锐角三角形,满足,外接圆的圆心为,半径为1,则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点,长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦,则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为,半径为2,且满足,则 的最小值为________. 18.如图,在中,,点,分别为的中点,若,,则 ________. 三、解答题(共6题;共60分) 19.的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求的面积. 20.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),已知点,点是曲线上任意一点,点为的中点,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
考点1 平面向量的概念及其线性运算 1.平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m ∈R ),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角,则m =( ) A .-2 B .-1 C . 1 D .2 2. 在下列向量组中,能够把向量a =(3,2)表示出来的是( ) A .e 1=(0,0),e 2=(1,2) B .e 1=(-1,2),e 2=(5,-2) C .e 1=(3,5),e 2=(6,10) D .e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3.已知向量a =(k ,3),b =(1,4),c =(2,1),且(2a -3b )⊥c ,则实数k =( ) A .-92 B .0 C .3 D.152 4.设0<θ<π2,向量a =(sin 2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ=________. 考点3 平面向量的数量积及应用 5.已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|=___. 6.设向量a =(3,3),b =(1,-1).若(a +λb )⊥(a -λb ),则实数λ=___. 7.已知单位向量e 1与e 2的夹角为α,且cos α=13,向量a =3e 1-2e 2与b =3e 1-e 2的 夹角为β,则cos β=________. 8.若向量a ,b 满足:=1,(a +b )⊥a ,(+b )⊥b ,则|=______. 9.设向量a ,b 满足|a +b |=10,|a -b |=6,则=______. 10.在△ABC 中,已知AB →·AC →=tan A ,当A =π6 时,△ABC 的面积为______. 考点4 单元综合 11.在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0,3),C (3,0),动点D 满足 |CD →|=1,则|OA →+OB →+OD →|的最大值是________. 练习: 1.已知A ,B ,C 是圆O 上的三点,若1()2 AO AB AC =+,则AB 与AC 的夹角为 .