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空间向量的夹角、距离计算同步练习题
一、选择题
1. 已知 (2 ， -5,1) ， (2 ， -2,4)
， (1 ，-4,1) ，则直线
与
AB 的夹角为（ C
）
A
B
C
AC
A.30 0
B.45 0
C.600
D.90 0
2. 已知向量 a ＝ (0 ，2， 1) ， b ＝ ( － 1， 1，－ 2) ，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A ． 0° B ． 45° C ．90° D ． 180°
解析：选 C.已知 a ＝(0 ， 2， 1) ， b ＝ ( －1， 1，－ 2) ，则 cos 〈 a ， b 〉＝ 0，从而得出 a 与 b 的夹角为 90° .
3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是 a =（ 0,2,1 ），b =（ ， ， ），那么这条
直线与平面的夹角为 (
D )
A.90 0
B. 60 0
C.45 0
D. 30
4. 边长为 a 的正六边形 ABCDEF 所在平面为 α， PA ⊥ α 且 PA ＝ a ，则 PC 与 α 所成的角为 (
A )
A.30°
B.60°
C.45°
D.90°
5．在棱长为
a 的正方体
－1111中，是
1
的中点，则点
1
到平面 的距离是 (
)
ABCD A B CD
M
AA
A
MBD
6
30
3
6
A.
B.
a
C.
D.
a
6
a
6
4
a
3
D
a
A ( a, 0 a ) A ( a, 0,0) M
1
B ( a a, 0)
解析： 以 为原点建立空间直角坐标系， 正方体棱长为
a ， 0， a ，
，则1
，
，
， ，
，
2
→
→
→
0，－
1 →
1
D (0,0,0) ，设 n ＝ ( x ，y ，z ) 为平面 BMD 的法向量，则 n · BM ＝0，且 n ·DM ＝ 0，而 BM ＝ a ，
，DM ＝ a
， 0，
2a
2a .
1
1
－ y ＋ 2z ＝ 0，
y ＝ 2z ，
令 z ＝ 2，则 n ＝ ( － 1,1,2)
→
，a ) ，则 A 到平面
所以
所以
，DA ＝( a, 0
1
1
1
1
x ＋2z ＝ 0，
x ＝－ 2z ，
的距离是
→
＝ 6 . 答案： A
＝ | DA ·n |
BDM
d 1
6
a
| n |
6. 已知向量 n =（ 1,0 ， -1 ）与平面 α垂直，且 α经过点 A （ 2,3,1 ），则点 P （4,3,2 ）到 α的距离为 (
B )
A. 1
B.
C.
D. 2
7. 正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1， O 是 A 1C 1 的中点，则 O 到平面 ABC 1D 1 的距离为（ A ）
A.
B.
C.
D.
8．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l 与平面 α 所成的角等于 ( ) A ．120° B ．60° C ．30° D ．60°或 30° 解析：选 C. 由题意得直线 l 与平面 α 的法向量所在直线的夹角为 60°，∴直线 l 与平面 α 所成的角为 90°－ 60°＝ 30°. 9．设 ， 都是边长为 1 的正方形，⊥面 ，则异面直线 与 BF 所成的角等于 ( )
ABCD ABEF
FA
ABCD
AC
A ．45°
B ．30°
C ．90°
D ．60° 解析：选 D.以 B 为原点， BA 所在直线为 x 轴，
所在直线为 y 轴， BE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 ( 图 BC
→ → → → 1 → → 略 ) ，则 A (1,0,0) ，C (0,1,0) ，F (1,0,1) ，∴ AC ＝ ( － 1,1,0) ，BF ＝ (1,0,1) ．∴ cos 〈 AC ，BF 〉＝－ 2. ∴〈 AC ，BF 〉
1
＝120°. ∴ AC 与 BF 所成的角为 60°.
10．在长方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中， AB ＝ 2， BC ＝2， DD 1＝ 3，则 AC 与 BD 1 所成角的余弦值为
( )
3
70 3 70
70
A ．0B.
70
C ．－70
D.
70
解析：
选 A. 建立如图坐标系，则
D (0,0 ， 3) ，B (2,2,0) ， A (2,0,0) ， C (0,2,0) ，
1
→
∴ BD ＝ ( － 2，－ 2,3) ，
1
→
→ →
→ →
→ →
BD · AC
AC ＝ ( －2,2,0)
．∴ cos 〈BD ， AC 〉＝ 1
→ ＝0.
∴〈 BD ， AC 〉＝ 90°，其余弦值为
0.
→
1
1
|
1
||
|
BD
AC
BE 与平面 B BD 所成的角的正弦值
为
11．在正方体 ABCD － A BCD 中， E 是 CC 的中点，则直线
()
1 1 1
1
1
1
10
B.
10 ．－
15
D.
15
A ．－
5 C
5
5
5
解析：选 B.
建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为
2，则 D (0,0,0) ，B (2,2,0) ， B 1 (2,2,2) ，E (0,2,1) →
．∴ BD ＝( －2，
－ 2,0) → →
，BB 1＝ (0,0,2) ， BE ＝( － 2,0,1) ．
→
→
，∴
－ 2x －2y ＝ 0， x ＝－ y ，
设平面 B 1BD 的法向量为 n ＝ ( x ，y ， z ) ．∵ n ⊥ BD ， n ⊥ BB 1
2z ＝ 0. ∴
z ＝ 0.
→
→
10
n · BE
令 y ＝ 1，则 n ＝( － 1,1,0) ．∴ cos 〈 n ，BE 〉＝
→ ＝ 5 ，设直线 BE 与平面 B 1BD 所成角为
θ，则 sin θ＝
| n || BE | |cos 〈 ，→
〉 | ＝ 10 .
n BE 5
uuur uuuur
(
)
12. 在正方体 ABCD －A B CD 中， M 、N 分别为棱 AA 和 BB 的中点，则 sin 〈 CM ， D 1 N 〉的值为 1 1 1 1 1 1
1 4
2
2 A. 9
B.
9 5
C.
9
5
D.
3
解析：设正方体棱长为
2，以 D 为坐标原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 为 z 轴建立空间直角坐标系，可知
uuur
CM
1
uuuur
＝ (2 ，－ 2,1) ， D 1 N ＝ (2,2 ，－ 1) ，
uuur uuuur
1 uuur uuuur
4 5 cos 〈 CM ， D N 〉＝－
， sin 〈 CM ， D N 〉＝.
1
9
1
9
答案： B
二、填空题
13. 已知 a ， b 是直线， α，β 是平面， a ⊥ α， b ⊥ β，向量 a 1 在 a 上，向量
b 1 在 b
上， a 1＝ (1,0,1) ，
2
b ＝( － 1,2,1) ，则 α， β 所成二面角的大小为 __ 90° ______．
1
7
14. 正三角形 PAB 与正方形 ABCD 所在平面互相垂直，正方形的边长为 a ，则点 D 到直线 PB 的距离是 __ 2 a ___．
15．平面 α 的法向量为 (1,0 ，－ 1) ，平面 β 的法向量为 (0 ，－ 1,1) ，则平面 α 与平面 β 所成二面角的大小为
________ ．
解析：设 u ＝ (1,0 ，－ 1) ， v ＝(0 ，－ 1,1) ，则 cos θ＝± |cos 〈 u ， v 〉 | ＝±|
－ 1
1
π 2π
2× 2 | ＝± 2. ∴ θ＝ 3 或 3 .
π 2π
答案：
或
3 3
16．已知在棱长为 a 的正方体
-′′′′中，
E 是
BC 的中点．则直线
′ 与
DE 所成角的余弦值为
ABCDA B C D
A C
________ ．
解析：
A (0,0 a ) C ( a a, 0) D (0 a, 0) E a →
( a a
a ) →
如图所示建立空间直角坐标系，则
， ， ， ， ， a ， ，0
A C
， DE
′
，
， ′ ＝
， ，－
2
a
→ →
→ → 15
15
〉＝ A ′ C · DE
＝
＝ a ，－ ， 0
，∴ cos 〈 ′ ，
. 答案：
2
A C
DE → →
15
15
| A ′C | · | DE |
三、解答题
AE 与 CF 所成角的余弦值．
17．正方体 ABCD － AB CD 中， E 、 F 分别是 A D 、 A C 的中点．求：异面直线
1 1 1 1
1 1
1 1
解：
设正方体棱长为 2，分别取 DA 、 DC 、 DD 1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则 A (2,0,0) 、 C (0,2,0) 、 E (1,0,2) 、F (1,1,2) ，
→ ， 则 AE ＝ ( － 1,0,2)
→
＝ (1 ，－ 1,2) ，∴ |→
|＝
5，|→
|＝ 6.
CF
AE
CF
→ →
→→→→ → → → → → →
30 AE · CF ＝－ 1＋ 0＋ 4＝ 3. 又AE · CF ＝| AE || CF |cos 〈 AE ， CF 〉＝ 30cos 〈 AE ，CF 〉，∴ cos 〈AE ， CF 〉＝ 10
，
30
∴所求角的余弦值为 10 .
18．已知正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1，棱长为 a ， E 、 F 、 G 分别是 CC 1、 A 1 D 1、 AB 的中点，求点 A 到平面 EFG
的距离．
解析：
如图建立空间直角坐标系，
3
则
，
0， a ， a
，
a
， 0， a ，
a
→ ＝ a ，－ a ， a
，
A ( a, 0,0) E 2 F 2 G a ， ， 0 ，∴ 2 2 2 EF
→
a
a
，
EG ＝ a ，－
2
，－
2
a
→
→ 0，－ ， 0 ，设 n ＝ ( x ， y ， z ) 是平面 EFG 的法向量，则 n · EF ＝ 0
GA ＝ 2 →
，
n · EG ＝ 0 x － 2 ＋
＝ 0
→ a
2
3
∴
y
z
，∴ x ＝ y ＝ z ，可取 n ＝(1,1,1) | GA · n|
＝
2x － y － z ＝ 0 ，∴ d ＝
＝ a .
| n |
3 6
3
即点 A 到平面 EFG 的距离为 6 a .
19. 正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 的所有棱长都为 2，D 为 CC 1中点．
(1) 求证： AB 1⊥平面 A 1BD ； (2) 求二面角 A - A 1D - B 的余弦值．
解析： (1)
→ → →
x ， y ， z 轴的正方向建立空间直
取 BC 中点 O ，B 1C 1 中点 O 1，以 O 为原点， OB 、 OO 1、 OA 的方向分别
为 角坐标系．
则 (1,0,0)
， ( － 1,1,0) ， 1(0,2 ， 3) ， (0,0 ， 3) ， 1(1,2,0) ，
B
D A
A
B
∴ →
(1,2 ，－ →
→
AB 1＝ 3) ， BD ＝( － 2,1,0) ， BA 1＝( － 1,2 ， 3) ． → → ∵ AB 1· BD ＝－ 2＋ 2＋ 0＝ 0，
→ · →
＝－ 1＋ 4－ 3＝ 0，∴ → ⊥ → ， → ⊥ → . ∴ ⊥平面 ；
AB
1
1
1
1
1
1
1
(2) 设平面 A 1AD 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ，
→ AD ＝ ( －1,1 ，－
→
n · AD ＝ 0，
∴
→
n · AA 1＝ 0.
→ ．∵ → →
3) ，AA 1＝ (0,2,0) n ⊥ AD ， n ⊥AA 1，
－ x ＋ y － 3z ＝ 0，
∴
y ＝ 0， ∴
x ＝－ 3z .
2y ＝ 0.
令 z ＝ 1，得 n ＝ ( － 3， 0,1) 为平面
1
的一个法向量．由 (1) 知
1
⊥平面
1
，
AAD
AB
A BD
→
1
为平面
→
1〉＝
→
＝－ 3－
∴
1
的法向量． cos 〈 ， n · AB 1
3 ＝－ 6 .
AB
ABD
n AB
→ 2· 2 2 4
1
6
∴
1
4
.
二面角 A - A D - B 的余弦值
为
20．如图， P － ABCD 是正四棱锥， A BCD －A 1B 1C 1D 1 是正方体，其中
AB ＝ 2， PA ＝ 6.
(1) 求证： PA ⊥ B 1D 1； (2) 求平面 PAD 与平面 BDD 1B 1 所成锐二面角的余弦值．
解：以 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y 轴， DD 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，
1
1 1
1 1
1
则 D (0,0,0)
， A (2,0,0) ， B (2,2,0) ， C (0,2,0) ， D (0,0,2) ， A (2,0,2) ，B (2,2,2) ， C (0,2,2) ，
1
1
1 1
(1,1,4) ．(1) 证明：∵
uuur ＝ ( － 1,1,2)
uuuur
＝(2,2,0)
AP ，
D 1 B 1 ，
P
4
uuur uuuur ∴ AP · D 1 B 1 ＝－ 2＋ 2＋0＝ 0，∴ PA ⊥ B 1D 1.
uuur
(2) 平面 BDD 1B 1 的法向量为 AC ＝ ( － 2,2,0) ． uuur uuur
DA ＝ (2,0,0) ， OP ＝(1,1,2) ．
uuur uuur
设平面 PAD 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ，则 n ⊥ DA ， n ⊥ DP .
2x ＝ 0，
x ＝0， ∴
∴
取 n ＝ (0 ，－ 2,1) ，
x ＋ y ＋2z ＝ 0，
y ＝－ 2z ，
uuur
ngAC
设所求锐二面角为 θ，则 cos θ＝
uuur
n g AC
|0 －4＋0| 10 ＝ 22×5
＝ 5 .
21. 如图，四边形 ABCD 为正方形， PD ⊥平面 ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB = 1
PD ．
2
（ I ）证明：平面 PQC ⊥平面 DCQ ；（ II ）求二面角
Q — BP —C 的余弦值．
解析： 如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系
D — xyz .
uuur
uuur uuur (1, 1,0). 所以
（ I ）依题意有 Q （ 1，1，0），C （ 0， 0，1）， P （ 0，2，0） . 则 DQ (1,1,0),DC (0,0,1), PQ
uuur uuur uuur uuur . 故
⊥平面.
PQ DQ
0, PQ DC 0.
即
⊥ ， ⊥ ⊥平面
又
平面
，所以平面
PQ DQ PQ DC PQ
DCQ. PQ
PQC
PQC
DCQ
（ II
uuur uuur ( 1,2, 1).
）依题意有 B （1， 0， 1）， CB (1,0,0), BP
n uuur 0, x 0,
设 n CB
(x, y, z) 是平面 PBC 的法向量，则 uuur 即
2 y z 0.
n BP 0, x
uuur 0,m (1,1,1)所.以 cos m, n
15 . 因此可取 n
m BP (0, 1, 2). 设 m 是平面 PBQ 的法向量，则uuur
可取 5
m PQ
0.
15 . 故二面角 Q — BP — C 的余弦值为
5 .
22. 如图，四棱锥 P — ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA ⊥底面 ABCD ， PA ＝ AB ＝ 6，E 是棱 PB 的中点．
(1) 求直线 AD 与平面 PBC 的距离； (2) 若 AD ＝ 3，求二面角 A - EC - D 的平面角的余弦值．
5
解析：设 D (0 ， a, 0) ，则 B ( 6， 0,0) ， C (
6， a, 0) ，P (0,0 ， 6) ，E
6
， 0，
6
.
2
2
→ 6 6 →
所以 AE ＝ 2，0，2 ，BC ＝ (0 ， a, 0) ，
→ → → → →
PC ＝ ( 6， 0，－ 6) ，则 AE · BC ＝ 0， AE · PC ＝ 0. 所以 AE ⊥平面 PBC .又由 AE ⊥ AD ， 故直线 AD 与平面 PBC 的距离为 →
|AE |＝ 3.
→ 3，则 D (0 ， 3，0) ， C ( 6， 3 ，0) ．设平面 AEC 的法向量 n 1＝( x 1， y 1， z 1) ，
(2) 因为 | AD | ＝
→
→
→
→
6
6 6x 1＋ 3y 1＝ 0，
则 n
6 6
· AC ＝ 0， n · AE ＝ 0. 又 AC ＝ (
6， 3， 0) ， AE ＝
， 0，
，故
1
1
2
2
2 x 1＋ 2 z 1＝ 0，
所以 y 1 ＝－ 2x ， z ＝－ x . 可取 z ＝－ 2，则 n ＝ ( － 2， 2， 2) ．
1 1
1 1
设平面 DEC 的法向量 n ＝ ( x ， y ， z
→
→
) ，则 n · DC ＝ 0， n · DE ＝0.
2
2
2
2
2
2
6
，－
6
x 2＝ 0，
→
6， 0,0) →
，故
6
6
所以 x 2＝0， z 2＝ 2y 2.
又DC ＝ ( ，DE ＝
3，
2
2
x 2－ 3y 2＋ z 2＝ 0.
2
2
n · n 2
6
6
可取 y 2＝ 1，则 2＝ (0,1 ， 2) ．故 cos 〈
1
. 所以二面角
- -
的平面角的余弦值为.
1， 2〉＝ ＝
n
n
n | n 1 | ·|n 2| 3
A ECD
3
23. 如图，在四面体 ABOC 中， OC ⊥ OA ，OC ⊥ OB ，∠ AOB ＝120°，且 OA ＝ OB ＝OC ＝ 1.
(1) 设 P 为 AC 的中点， Q 在 AB 上，且 AB ＝ 3AQ ，证明： PQ ⊥ OA ； (2) 求二面角 O - AC - B 的平面角的余弦值．
解析： (1) 取 O 为坐标原点，以
OA 、 OC 所在的直线为 x 轴， z 轴，建立如图所示空间直角坐标系
O — xyz .
则 A (1,0,0) ， C (0,0,1)
1 ， 3 P 为 AC 中点，∴ P 1 1 . ∵ → 3 ， 3
， 0 ，
， B － 2 ，0 .∵ ， 0， 2 AB ＝ － 2 2 2 2
→ 1→
1 ，
3
→ → →
3 ，∴ → → → 3
1 .
∴ AQ ＝
AB ＝ －
2 6 ，0 .又
OQ ＝OA ＋ AQ ＝ 1
，
6 ， 0
PQ ＝ OQ － OP ＝ 0， 6 ，－
2
3
2
∴ →·→＝
3 1 ·(1,0,0)
＝0.∴ ⊥ .
PQ OA
0， 6 ，－2
PQ OA
6
n 1－ n 3＝ 0，
(2) 设平面 ABC 的法向量 n ＝ →→ →
，得
3
3
( n 1， n 2， n 3) ，则由 n ⊥ CA ， n ⊥ AB ，且 CA ＝ (1,0 ，－ 1)
－ 2n 1＋ 2 n 2＝ 0. 取 n 1＝ 1，则 n ＝ (1 ， 3，1) ．又 平面 OAC 的法向量为
e ＝ (0,1,0) ，∴ cos 〈 n ，e 〉＝ 1， 3，1
· 0，1，0
5·1
＝ 15 . 故二面角 — — 的平面角的余弦值为
15 .
5 OACB
5
24. 在三棱锥 —
中，△ 是边长为 4 的正三角形，平面 ⊥平面 ， ＝ ＝2 2， 为 的中点．
S ABC ABC
SAC ABC SA SC M AB
(1) 求证： AC ⊥ SB ； (2) 求点 B 到平面 SCM 的距离．
解析： (1) 取 AC 的中点 E ，连接 BE 、 SE ，则由已知，得 SE ⊥ AC ， BE ⊥ AC . ∴
AC ⊥面 SBE .∴
AC ⊥ SB .
(2) 建立如图所示的空间直角坐标系．
则 (0,2,0)
， (0,0,2) ， (0 ，－ 2,0) ， (2 3， 0,0) ．∴
( 3，－ 1,0) ．∴
→
＝ ( 3，－ 1，－ 2) ，
C
S
A B M
SM
→
3，－ 3,0) ．设 n ＝ ( x ， y, 1) 为面 SCM 的一个法向量，
则
n ＝ ( 3， 1,1) ．
CM ＝ ( →
→
4 5
| BM · n |
∵ BM ＝ ( － 3，－ 1,0) ，∴
点 B 到面 SCM 的距离
为
|n|
＝ 5 .
7
空间向量与立体几何知识点
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：
全国高中数学优秀课评选：《9.6空间向量的夹角和距离公式》教学设计教案或说明
1 9．6空间向量的夹角和距离公式 三维目标： 知识与技能： ⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度公式、 夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式 解决有关问题； ⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而提高 分析问题、解决问题的能力. 过程与方法： 通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在 积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”. 情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习 热情和求知欲，充分体现学生的主体地位； ⒉通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的 魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情. 教学重点：夹角公式、距离公式． 教学难点：数学模型的建立． 关键： 将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空 间向量的坐标. 教具准备：多媒体投影，实物投影仪. 教学过程： (一) 创设情境,新课导入 2008年5月16日，南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在圣火的传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其中途经我市雄伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程，我校派了小记者在船上进行全景拍摄,出现了这么一个问题. 引例:在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ C 1 A
2 （2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）. 今天我们从另一个角度来分析这个问题. 分析:建立数学模型 问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离? 问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？ 1、空间两点间的距离公式 111222(,,)(,,),A x y z B x y z 已知：，则 ()212121,,AB x x y y z z =--- (AB AB AB x =?= ,A B d =2、夹角公式 设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==， 则,a OA b OB = = cos ,a b a b a b ?<>== (二)例题示范，形成技能 例1: 在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ （2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）. 解：建立如图空间直角坐标系， x y z O 111(,,) A x y z 222(,,) B x y z a a b
利用空间向量求空间角和距离
利用空间向量求空间角和距离 A 级——夯基保分练 1.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( ) A.30 30 B ．3015 C. 3010 D. 1515 解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B 1(2,2,2)，M (1,1,0)，D 1(0，0,2)，N (1,0,0)，∴B 1M ―→ ＝(－1，－1，－2)，D 1N ―→ ＝(1,0，－2)， ∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为|B 1M ―→·D 1N ―→ | |B 1M ―→|·|D 1N ―→|＝ |－1＋4|1＋1＋4×1＋4＝30 10 . 2.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝1 3AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成角的 正弦值为( ) A.33535 B ．277 C.33 D.24 解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)， ∴DC 1―→＝(0,3,1)，D 1E ―→＝(1,1，－1)，D 1C ―→ ＝(0,3，－1)． 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则????? n ·D 1E ―→＝0，n · D 1C ―→＝0，即????? x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1,3)． ∴cos DC 1―→，n ＝DC 1―→·n |DC 1―→|·|n| ＝33535， ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335 35 .
(完整版)空间向量的夹角、距离计算同步练习题(教师版).doc
空间向量的夹角、距离计算同步练习题 一、选择题 1. 已知 (2 ， -5,1) ， (2 ， -2,4) ， (1 ，-4,1) ，则直线 与 AB 的夹角为（ C ） A B C AC A.30 0 B.45 0 C.600 D.90 0 2. 已知向量 a ＝ (0 ，2， 1) ， b ＝ ( － 1， 1，－ 2) ，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A ． 0° B ． 45° C ．90° D ． 180° 解析：选 C.已知 a ＝(0 ， 2， 1) ， b ＝ ( －1， 1，－ 2) ，则 cos 〈 a ， b 〉＝ 0，从而得出 a 与 b 的夹角为 90° . 3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是 a =（ 0,2,1 ），b =（ ， ， ），那么这条 直线与平面的夹角为 ( D ) A.90 0 B. 60 0 C.45 0 D. 30 4. 边长为 a 的正六边形 ABCDEF 所在平面为 α， PA ⊥ α 且 PA ＝ a ，则 PC 与 α 所成的角为 ( A ) A.30° B.60° C.45° D.90° 5．在棱长为 a 的正方体 －1111中，是 1 的中点，则点 1 到平面 的距离是 ( ) ABCD A B CD M AA A MBD 6 30 3 6 A. B. a C. D. a 6 a 6 4 a 3 D a A ( a, 0 a ) A ( a, 0,0) M 1 B ( a a, 0) 解析： 以 为原点建立空间直角坐标系， 正方体棱长为 a ， 0， a ， ，则1 ， ， ， ， ， 2 → → → 0，－ 1 → 1 D (0,0,0) ，设 n ＝ ( x ，y ，z ) 为平面 BMD 的法向量，则 n · BM ＝0，且 n ·DM ＝ 0，而 BM ＝ a ， ，DM ＝ a ， 0， 2a 2a . 1 1 － y ＋ 2z ＝ 0， y ＝ 2z ， 令 z ＝ 2，则 n ＝ ( － 1,1,2) → ，a ) ，则 A 到平面 所以 所以 ，DA ＝( a, 0 1 1 1 1 x ＋2z ＝ 0， x ＝－ 2z ， 的距离是 → ＝ 6 . 答案： A ＝ | DA ·n | BDM d 1 6 a | n | 6. 已知向量 n =（ 1,0 ， -1 ）与平面 α垂直，且 α经过点 A （ 2,3,1 ），则点 P （4,3,2 ）到 α的距离为 ( B ) A. 1 B. C. D. 2 7. 正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1， O 是 A 1C 1 的中点，则 O 到平面 ABC 1D 1 的距离为（ A ） A. B. C. D. 8．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l 与平面 α 所成的角等于 ( ) A ．120° B ．60° C ．30° D ．60°或 30° 解析：选 C. 由题意得直线 l 与平面 α 的法向量所在直线的夹角为 60°，∴直线 l 与平面 α 所成的角为 90°－ 60°＝ 30°. 9．设 ， 都是边长为 1 的正方形，⊥面 ，则异面直线 与 BF 所成的角等于 ( ) ABCD ABEF FA ABCD AC A ．45° B ．30° C ．90° D ．60° 解析：选 D.以 B 为原点， BA 所在直线为 x 轴， 所在直线为 y 轴， BE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 ( 图 BC → → → → 1 → → 略 ) ，则 A (1,0,0) ，C (0,1,0) ，F (1,0,1) ，∴ AC ＝ ( － 1,1,0) ，BF ＝ (1,0,1) ．∴ cos 〈 AC ，BF 〉＝－ 2. ∴〈 AC ，BF 〉 1
第43讲 利用空间向量求空间角和距离(讲)(解析版)
第43讲 利用空间向量求空间角和距离 思维导图 知识梳理 1．异面直线所成角 设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b | |a ||b |， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量． 2．直线与平面所成角 如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n | |a ||n | 3．二面角 (1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角，如图(1)． (2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1·n 2| |n 1||n 2| ，如图(2)(3)． 4．利用空间向量求距离 (1)两点间的距离
设点A (x 1，y 1，z 1)，点B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝|AB ―→ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. (2)点到平面的距离 如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|BO ―→|＝|AB ―→ ·n | |n | . 题型归纳 题型1 异面直线所成的角 【例1-1】（2020?济南模拟）已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，1 2 AB AD BC == ，将直角梯形ABCD （及其内部）以AB 所在直线为轴顺时针旋转90?，形成如图所示的几何体，其中M 为CE 的中点． （1）求证：BM DF ⊥； （2）求异面直线BM 与EF 所成角的大小． 【分析】（1）建立空间坐标系，得出BM ，DF 的坐标，根据向量的数量积为0得出直线垂直； （2）计算BM 和EF 的夹角，从而得出异面直线所成角的大小． 【解答】（1）证明： AB BC ⊥，AB BE ⊥，BC BE B =， AB ∴⊥平面BCE ， 以B 为原点，以BE ，BC ，BA 为坐标轴建立空间坐标系B xyz -，如图所示： 设1AB AD ==，则(0D ，1，1)，(1F ，0，1)，(0B ，0，0)，M 0)， ∴(2BM =，0)，(1DF =，1-，0)，
空间向量的应用----求空间角与距离
空间向量的应用----求空间角与距离 一、考点梳理 1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考查常规解题方法的同时，更多地关注向量法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续体现法向量的应用价值。 2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下： 1)求直线和直线所成的角 若直线AB 、CD 所成的角是α，cos α=|,cos |> 计算公式为： 4).利用法向量求点面距离 如图点P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO ，记∠OPA=θ，则点P 到平面的距离 θcos ||||PA PO d == 5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面 间的距离，以及平行平面间的距离等。其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二， 异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A 、B ，AB 在n 上的射影长即 为所求。n 为异面直线AD 、BC 公共垂直的方向向量，可由0n AD ?=及0n BC ?=求得，其计算公式为： || || n AB d n =。其本质与求点面距离一致。 向量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一朵厅葩，解题方法新颖，往往能使解题有起死回生的效果，所以在学习中应起足够的重视。 二、范例分析 例1 已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，3将它沿对称轴1 OO n α A P O θ 空间向量与空间距离 1.了解点到直线、平面距离的概念． 2.会用空间向量 求点到直线、平面距离． 空间距离的向量求法 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B →的长度．() 所成向量AB (2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．() (3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条 直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A.534 B.532 C.532 D.132 答案：C 3．已知直线l 过点A (1，－1，2)，和l 垂直的一个向量为n ＝(－3，0，4)，则P (3，5，0)到l 的距离为( ) A ．5 B ．14 C.145 D.45 答案：C 4．已知直线l 与平面α相交于点O ，A ∈l ，B 为线段OA 的中点，若点A 到平面α的距离为10，则点B 到平面α的距离为________． 答案：5 探究点一 点到直线的距离 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，求点B 到直线A ′C 的距离． [解] 因为AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，所以A ′(0，0，3)，C (1，2，0)，B (1，0，0)， 所以直线A ′C 的方向向量A ′C →＝(1，2，－3)． 又BC →＝(0，2，0)， 所以BC →在A ′C →上的射影长为|BC →·A ′C →||A ′C →|＝414. 所以点B 到直线A ′C 的距离 d ＝|BC →|2－????????BC →·A ′ C →|A ′C →|2＝ 4－1614 ＝2357. 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长； (4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法 向量， 则斜线l 与平 面 α 所成的角 α=arcsin | ||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角 l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ--的两 个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角 l αβ--的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）． 用向量法求空间角与距离 1.1. 向量的数量积和坐标运算 b a ,是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数 cos |||| b 叫做与的数量积（或内积），记作b a ，即.cos |||| 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是： 若),,(),,,(222111z y x b z y x a ，则 ①212121z z y y x x b a ； ②2 22222212121||,||z y x b z y x a ； ③212121z z y y x x b a ④2 2 2 22 22 12 12 12 12121,cos z y x z y x z z y y x x b a 1.2. 异面直线n m ,所成的角 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角 等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示），则 .||||| |cos b a b a （例如2004年高考数学广东卷第18题第（2）问） 1.3. 异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的 向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在 上的射影长，即| |n d . 图1 证明：设CD 为公垂线段，取b a ,（如图1所示），则 | |||)( | |||n d 设直线n m ,所成的角为 ，显然.||||| |cos b a b a 1.4. 直线L 与平面 所成的角 在L 上取定，求平面 的法向量2所示）， 再求 | |||cos n AB 2 为所求的角. 1.5． 二面角 方法一：构造二面角 l 的两个半平面 、的法向量 21n n 、（都取向上的方向，如图3所示），则 ① 若二面角 l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即| |||cos 2121n n （例如2004年高考数学广 东卷第18题第（1）问）. ② 若二面角 l 是“锐角型”的如图3乙所示， 那么其大 小等于两法向量21n n 、的夹角， 即| |||cos 2121n n （例如 2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）. 方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面 、内求出与l 垂直的向量21n n 、（如图4所示） ，则二面角 l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 图3乙 图3 图4 图2 用空间向量求空间角和距离 四川省通江中学 徐荣德 空间中角和距离的计算问题是立体几何的重要内容，也是近几年高考的热点之一。空间向量为求空间角和距离提供了新的方法，可以使几何问题中的逻辑推理转化为向量的代数运算，使问题的解决更简洁、清晰，有较强的规律性，易于掌握。 一、求空间中的角 1、两异面直线所成的角 设异面直线AB 、CD 所成的角为])2 ,0((π αα∈ （如图1），则|| |||||,cos |cos CD AB ?=><=α。 2、直线与平面所成的角 设直线PA 与平面α（),αα?∈P A 所成的角 为])2 , 0[(π θθ∈，平面α的法向量为（如图2）， 则|| |||| |,cos |sin n AP ?=><=θ。 3、二面角 设二面角βα--l 的大小为θ（),0(πθ∈）， 平面βα,的法向量分别为n m ,（如图3）， 则><-=>=<,,πθθ或。 例1、四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方 形，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且侧面PAD 与底面ABCD 垂直，E 为DP 的中点。 （1） 求异面直线AE 与PB （2） 求直线BE 与平面PCD 所成的角； （3） 求二面角E —AC —D 的大小。 解：建立如图4所示的空间直角坐标系，则 (1) A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,1,3),E(0,23∴23 ,23,0(),3,1,2(=-=AE BP 4 6| |||,cos =?>= <∴AE BP ∴异面直线AE 与PB 所成的角4 6arccos . (2) C(2,2,0),D(0,2,0),)2 3 , 23,2(),3,1,2(),0,0,2(-=--=-=∴BE CP CD , 设平面PCD 的一个法向量),,,(z y x = 则? ???? ?==∴=+--=-z y x z y x x 30,03202，取1=z ，得)1,3,0(= 设直线BE 与平面PCD 所成的角为θ，则 =θsin 7 21 || |,cos |= =>< ∴直线BE 与平面PCD 所成的角为7 21arcsin 。 （3）)0,2,2(),2 3 , 23,0(==AC AE ,设平面ACE 的一个法向量),,(z y x n =， 则???-=-=∴?????=+=+y z y x y x z y 3,0 2202323 ，取1-=y ，得)3,1,1(-=n ， 显然)1,0,0(=m 是平面ACD 的一个法向量， 5 15 ,cos = >= <∴n m ∴ 二面角E —AC —D 的大小为5 15arccos 。 二、求空间中的距离 1、两异面直线的距离 设异面直线b a ,间的距离为d ，AB 是b a ,的公垂线 段，D 、C 分别是b a ,上的一点，n 是AB 的方向向量（如图5）。 | |||n d CD n AB n DB CD AC AB = =∴?=?∴++= 2、点到平面的距离 设平面α外一点P 到平面α的距离为d ，点A 是平面α 任一点，是平面α的法向量（如图6）。则 空间向量的应用----求空间角与距离 湖南高明生 一、考点梳理 1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考查常规解题方法的同时，更多地关注向量法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续体现法向量的应用价值。 2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下： 1)求直线和直线所成的角 若直线AB、CD所成的角是α，cosα=| , cos |> 计算公式为： 1212cos cos |||| n n n n θ?=-= 1212cos cos |||| n n n n θ?== 4).利用法向量求点面距离 如图点P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO ，记∠OPA=θ，则点P 到平面的距离 θ cos ||||PA PO d == || |||||||||| n PA PA n PA n PA n ?=? ?= 5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二，异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A 、B ，AB 在n 上的射影长即为所求。n 为异面直线AD 、BC 公共垂直的方向向量，可由0n AD ?=及0n BC ?=求 得，其计算公式为： n α A P O θ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2) -A 基础练 一、选择题 1.若平面α的一个法向量为n 1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n 2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【参考答案】D 【解析】因为n 1· n 2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°. 2.已知A (0,1,1),B (2,-1,0),C (3,5,7),D (1,2,4),则直线AB 和直线CD 所成角的余弦值为( ) A. B.- C. D.- 【参考答案】A 【解析】=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos =,故直线AB 和CD 所成角的余弦值为. 3.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AA 1=3,AB=AC=BC=2,则AA 1与平面AB 1C 1所成角的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【参考答案】A 【解析】取AB 的中点D ,连接CD ,分别以DA ,DC ,DE 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 可得A (1,0,0),A 1(1,0,3),故=(0,0,3),而B 1(-1,0,3),C 1(0,,3),设平面AB 1C 1的法向量为m =(a ,b ,c ), 根据m·=0,m·=0,解得m =(3,-,2),cos 【例1】 在正方体1111ABCD A B C D -中，1111111 44 A B B E D F == =，求1BE 与1DF 所成角的余弦值． 【例2】 直三棱柱111ABC A B C -中，1111BC AC BC AB ⊥⊥，．求证：11 AB AC =． 【例3】 如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°，SA ⊥平面 ABCD ，1 12 SA AB BC AD ==== ，．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． C 1 B 1 A 1 C B A D C B A S 典例分析 板块四.用空间向量计算距离 与角度 【例4】 已知(023)A ，，，(216)B -，，，(115)C -，，，求方向向量为(001)j =，，直线与平 面ABC 所成角的余弦值． 【例5】 已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=， 60BAA DAA ''∠=∠=°，90BAD ∠=°，求AC '的长 【例6】 如图直角梯形OABC 中，π 2 COA OAB ∠=∠= ，2OC =，1OA AB ==，SO ⊥平面OABC ，1SO =，以OC 、OA 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O xyz -． ⑴求SC 与OB 的夹角α的大小（用反三角函数表示）； ⑵设(1)n p q =，，，满足n ⊥平面SBC ，求 ①n 的坐标； ②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示）； ③O 到平面SBC 的距离． 【例7】 如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ， G 在AD 上，且4PG =，1 3 AG GD =，BG GC ⊥，2GB GC ==，E 是BC 的中点． ⑴求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； ⑵求点D 到平面PBG 的距离； ⑶若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求 PF FC 的值． D ' C ' B 'A 'D C B A C B A O S 空间向量与空间距离 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.已知△ABC的三个顶点的坐标为A(-1,0,1),B(1,3,5),C(-1,-1,1),则BC边上的中线AD的长为( ) A. B.6 C. D.3 2.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是( ) A. a B. a C. a D. a 3.(2013·开封高二检测)四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E,F分别为PB,PD的中点,则P到直线EF的距离为( ) A.1 B. C. D. 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,E为CD的中点,则点D1到平面AEC1的距离为( ) A. B. C. D.1 5.(2013·石家庄高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则直线A1C1到平面ACD1的距离为( ) A.1 B. C. D. 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·东莞高二检测)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3, ∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为. 7.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD 且∠ADC=90°,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,则A1B1到平面ABE的距离是. 8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,则平面A1BC1与平面ACD1的距离是. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点, 将正方形沿EF折成直二面角(如图所示),M是矩形 AEFD内一点,如果∠MB'E=∠MB'C',MB'和平面B'C'FE 所成的角的正切值为,求点M到直线EF的距离. 10.(2013·济南高二检测)如图所示的多面体是由底面 为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1. (1)求||. (2)求点C到平面AEC1F的距离. 11.(能力挑战题)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, ∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1, A1C1的中点,EF与B1D相交于点H. (1)求证:B1D⊥平面ABD. (2)求证:平面EGF∥平面ABD. (3)求平面EGF与平面ABD的距离. 9．8用空间向量求角和距离 一、明确复习目标 1．了解空间向量的概念；会建立坐标系，并用坐标来表示向量； 2．理解空间向量的坐标运算；会用向量工具求空间的角和距离. 二．建构知识网络 1．求角： （1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角； （2）直线和平面所成的角： ①找出射影，求线线角； ②求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面角为 θ,则|cos ,||||||| n a sin n a n a θ?=<>=? . （3）二面角： ①求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）； ②求两个法向量的夹角（或补角）. 2．求距离 （1）点M 到面的距离||cos d M N θ= （如图）就是斜线段MN 在法向量n 方向上的正投影. 由||||cos ||n N M n N M n d θ?=??=? 得距离公式：|| || n N M d n ?= （2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离； （3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量n 和连接两异面直线上两点的向量N M ，再代上面距离公式. 三、双基题目练练手 1．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 （ ） ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.3 B.2 C.1 D.0 2． 直三棱柱A 1B 1C 1—ABC ，∠BCA =90°，D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是 （ ） A ． 10 30 B . 2 1 C ． 15 30 D ． 10 15 3．已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k = ___ 4． 已知A （3，2，1）、B （1，0，4），则线段AB 的中点坐标和长度分别是 ， . ◆答案提示： 1. C ； 2. A ； 3. 5 7； 4.（2，1， 2 5），d AB 四、以典例题做一做 【例1】 (2005江西)如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD =AA 1=1，AB =2，点E 在棱AB 上移动.（1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4 π . 解：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，设AE =x ，则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0） （1）11(1,0,1)(1,,1)DA D E x ?=?- 因为110,.DA D E =⊥ 所以 （２）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0）， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1(1-=AD ， 设平面ACD 1的法向量为,n n 则不与y 轴垂直,可设 (,1,)n a c = ，则???? ?=?=?, 0,01AD n AC n 向量法求空间角、距离和二面角 1.1.向量的数量积和坐标运算 a,b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a| |b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作a b，即a b | a | | b | cos .其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是： —￥■—* 若a （x1,y1,^）,b （X2,y2,Z2），贝U ① a b X1X2 y〃2 Z1Z2; ②|a| X12y12z/,|b| X22目; Z22; ③ a b X1X2 y1 y2 z1z2 X1X2 y“2 Z1Z2 ④C0S a ， b 丨 2 2 2 厂 2 2 2 X1 y1 Z, . X2 y2 Z2 1.2.异面直线m,n所成的角 分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n所 成的角等于向量a,b所成的角或其补角（如图1所 示），则cos |a b 1 .（例如2004年高考数学广东 D图1 b B |a| |b| 卷第18题第（2）问） 1.3.异面直线m、n的距离 分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的 向量n，分别在m、n上各取一个定点A、B，则异面直线m、n的距离d等于AB在 | AB n | n上的射影长，即d |n| 证明：设CD为公垂线段，取CA a, DB b （如图1所示），则 CD CA AB BD CD n (CA AB BD) |CD n| |AB n| d |CD| 皿 1 |n| 设直线m, n所成的角为，显然cos la b| |a| |b| 14直线L与平面所成的角 在L上取定AB ,求平面的法向量n （如图2所 示）, 再求cos ，则 |AB| | n| 2为所求的角. 1.5 . 二面角 方法一：构造二面 角 量n1、门2 （都取向上的方向，如图3所示）， 则 的两个半平面、的法向 ① 若二面角l 是“钝角型”的如图3甲所示, 那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角的补角，即cos ri t n2 g | “2 | .(例如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）. ②若二面角l 是“锐角型”的如图3乙所示, 那么其大小等于两法向量n1、门2的夹角，即 n t n2 cos .（例如2004年高考数学广东卷第 |n 1 | |n2 | 图3 乙 18题第（1）问）. 方法二：在二面角的棱I上确定两个点A、 求出与I垂直的向量n1、门2 （如图4所示），则空间向量与空间距离
向量法求空间距离和角
用向量法求空间角与距离
用空间向量求空间角和距离
人教版数学高二数学选修2-1 3.2空间向量的应用----求空间角与距离
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2) -A基础练(解析版).docx
空间向量计算距离与角度
空间向量与空间距离
利用空间向量求角和距离典型例题精讲
向量法求空间角、距离和二面角
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