(经典)讲义:等比数列及其前n 项和
1.等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示. 2.等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则它的通项a n =a 1·q n -1. 3.等比中项
若G 2
=a ·b (ab ≠0),那么G 叫做a 与b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:a n =a m ·q n -m ,(n ,m ∈N +).
(2)若{a n }为等比数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N +),则a k ·a l =a m ·a n . (3)若{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ
≠0),?
????????
?1a n ,{a 2n },
{a n ·b n },?
????????
?a n b n 仍是等比数列. (4)公比不为-1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n . 5.等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0),其前n 项和为S n , 当q =1时,S n =na 1;
当q ≠1时,S n =a 11-q n 1-q =a 1-a n q
1-q .
【注意】
6.利用错位相减法推导等比数列的前n 项和:
S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n -1,
同乘q 得:qS n =a 1q +a 1q 2+a 1q 3+…+a 1q n ,
两式相减得(1-q )S n =a 1-a 1q n
,∴S n =a 11-q n
1-q
(q ≠1).
7.1由a n +1=qa n ,q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0. 7.2在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q =1与q ≠1分类讨论,
防止因忽略q =1这一特殊情形导致解题失误. 8.等比数列的判断方法有: (1)定义法:若
a n +1a n =q (q 为非零常数)或a n
a n -1
=q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *),则{a n }是等比数列.
(2)中项公式法:在数列{a n }中,a n ≠0且a 2n +1=a n 〃a n +2(n ∈N *
),则数列{a n }是等
比数列.
(3)通项公式法:若数列通项公式可写成a n =c 〃q n (c ,q 均是不为0的常数,n ∈N *),则{a n }是等比数列.
一、知识梳理
1.等比数列前n 项和公式
(1)111
(1)(1)11(1)n n n a a q
a q q S q q
na q ?--=≠?
=--??=? 探索导引: 求和
631242S =++++
说明:对于等比数列的前n 项和公式:
从方程观点看:由等比数列的前n 项和公式及通项公式可知,若已知1,,,,n n a q n a S 中的三个即可建立方程组求其余两个,即“知三求二”.在运用等比数列的前n 项和公式时,一定要注意讨论公比q 是否为1. 2. 与前n 项和有关的等比数列的性质
(1)若等比数列{}n a 中,公比为1q ≠-,依次k 项和
232,,,k
k
k
k
k
S S S S S --成公比为k q 的等比数列.
(2)若等比数列{}n a 的公比为q ,且项数为2()n n N *
∈,则
S q S =偶奇
.
探索导引: 等比数列{}n a 中,已知,2420,60S S ==,求6S ,并考虑等式226442()()S S S S S -=-是否成立?
说明:利用性质(1)可以快速的求出某些和.但在运用此性质时,要注意是232,,,k k k k k S S S S S --成等比数列,而不是23,,,m m m S S S 成等比数列.
二、方法
(一)等差数列前n 项和公式的应用
理解例题1:在等比数列中, (1)已知13,2,a q ==求66,a S ;
(2)已知111
2.7,,,390
n a q a =-=-=求n ;
(3)已知141,64,a a =-=求q 和4S ;
(4)已知3339
,22
a S ==求1,a q ;
分析:在等比数列中有五个重要量1,,,,,n n a a q n S 只要已知任意三个,就可以求出其他两个.其中1a 和q 两个最重要的量,通常要先求出1a 和q . 解:(1)
55613296a a q ==?=.
6616(1)3(12)189112
a q S q --===--.
(2)11n n a a q -=,111
2.7()6903n n -∴=-?-?=
(3) 341a a q =,3
64q ∴=-,4q ∴=-
144164(4)
5111(4)
a a q S q ---?-==
=--- (4) 2
31231329(1)2
a a q S a q q ?==????=++=??(1)(2)
(2)÷(1)得
2
2
13q q q ++= 22101q q q ∴--=?=或1
2
q =-
当1q =时,132a =,当1
2
q =-时,16a =
知识体验:已知等比数列的
五个量1,,,,n n a a q n S 中的任意三个求其他两个时,要用等比数列的通项公式以其及前n 项和公式.
(二)与等差数列前n 项和有关的性质的应用
理解例题2:等比数列{}n a 中12m S =,236,m S =求3m S .
分析: 在有关等比数列的问题中, 均可化成有关1a 、q 的关系列方程求解.本题中注意下标的关系,可考虑用等差数列前n 项和的有关性质来简化运算.
解法一: 由12m S =,236,m S =可知1q ≠(若1,q =22m m S S =) 1212(1)121(1)36,
1m m m
m a q S q a q S q ?-=
=?-?∴?-?==?-?
解得13m q +=, 12,121m a
q q
∴==--
313(1)
841m m a q S q
-∴=
=- 解法二: 232,,m m m m m S S S S S --成等比数列 2322()()m m m m m S S S S S ∴-=- 2336241248m S -=÷=
知识体验: 在学习了等比
数列前n 项和的有关性质后,我们用其来求解有关
等差数列的前n 项和问题.
方法提炼:求解该类问题一般有两种方法: ①可化成有关1a 、q 的关系列方程组求解. ②可利用等比数列中连续等段和成等比的性质即性质(1)求解.
384m S ∴=
三、 例题
(一) 题型分类全析
1.等比数列前n 项和公式的基本运算
例1:在等比数列的{}n a 中:31648,216,40,n a a a a S -=-==求公比q ,1a
及n .
思路直现:由已知两个条件,可建立关于1,a q 的方程组,分别解出1,a q 的值,代入n S 即可求出n .
解:由已知可得
2
311
132
641(1)8,1,3,
(1)216,a a a q a q a a a q q ?-=-==?????=-=-=??? 1(1)13404113
n n
n a q S n q --∴=
==?=-- 总结:在求数列的基本量问题时,把条件转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.
例2 已知数列{}n a 是等比数列,其前n 项和n S ,若3692S S S +=,求该数列的公比q .
思路直现:由已知两个条件,可建立关于1,a q 的方程组,分别解出1,a q 的值,代入n S 即可求出n . 解: 若1q =,则1n S na =,
36111369S S a a a ∴+=+=,91218S a =,此时3692S S S +≠
1q ∴≠
369369
111(1)(1)(1)222(1)111a q a q a q q q q q q q
---∴+=??--=---- ∴96320q q q --=, 即63210q q --=, 即33(1)(21)0q q -+=
故3
3
12102q q q +=?=-?=.
笔记:在使用等比数列的前n 项和公式时,一定要注意公式的条件.若题目中不明确,应对q 进行讨论.
本题有关等比数列前n 项和的基本
运算的考查. 转化为关于
1,a q 的方程组求解.
本题考查了
等比数列前
n 项和公式
的运用和分类讨论的思
想. 因不知q 的值,故对q 进行讨论.
2.利用等差数列的性质求和
例3:等比数列{}n a 中,267,91S S ==,求4S ?
思路直现:注意到,下标的关系,可考虑利用等比数列的性质解决. 解: {}n a 是等比数列, 24264,,S S S S S --成等比 226442()()S S S S S ∴-=-
2447(91)(7)S S ∴-=-,故2
4475880S S --=
故428S =或421S =-
注意到2
21
2344121221212()10a a a a S a a q a a q S a a a a ++++++===+>++, 42,S S ∴同号,428S ∴=
笔记:遇到类似下标成倍数关系的前n 项和问题,一般可考虑用等比数列中依次k 项和232,,,k k k k k S S S S S --成等比数列来解决,可简化计算量.在已知
本题考查了等比数列连
续等段和成等比的性质. 利用等比数
列分段和成等比. 考虑是否两
解都满足条
件. 建议:已知
3,n n S S 求2n S 时,尽量列方程求解,若用
3,n n S S ,利用这一性质求2n S 时,要考虑是否会出现增根的问题.
例4 已知一个项数为偶数,首项为1的等比数列,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比及项数.
思路: 本题涉及到项数为偶数的等比数列,且奇数项和与偶数项和都已知,由此利用等比数列的性质即可求出公比,进而求其通项. 解:该数列是一项数为偶数的等比数列
170
285
S q S ∴===偶奇,又85170255n S S S =+=+=奇偶
1(1)1(12)21255112
n n n n a q S q -?-===-=--
故8n =
阅题笔记:利用等比数列奇、偶项数和的性质简单明了,运算量较低.
性质应考虑是否会出现增根.
本题考查了等比数列的性质.
注意S
q
S =偶奇这个性质是在项数为偶数这一前提下成立的. 建议:巧用特例,熟记等差等比数列奇偶项的一些性质. 3.某些特殊数列的求和
例5: (1)已知数列{}n a 的通项公式2n n a n =+,求该数列的前n 项和n S ; (2)已知数列{}n a 的通项公式23n n n a =+,求该数列的前n 项和n S . 解:(1)123n n S a a a a =++++
23(21)(22)(23)(2)n n =++++++++
23(2222)(123)n n =+++
+++++
2(12)(1)122
n n n
-+=+
- 1(1)222
n n n
++=-+
(2) 123n n S a a a a =++++
2233(23)(23)(23)(23)n n =++++++++
2323(2222)(3333)n n =+++
+++++
+
2(12)3(13)
1213
n n --=+
-- 13
22(31)2n n +=-+-
=11
37222
n n +++-
笔记:分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项是可写成几个等比数列或等差数列的和的形式.
例6:已知数列{}n a 的通项公式2n n a n =?,求该数列的前n 项和n S ; 思路:写出数列的前n 项和注意其与等比数列形式类似,考虑用推导等比数列求和的方法来求其前n 项和.
解:23222322n n S n =+?+?++?
2312222(1)22n n n S n n +=
+?+
+-?+?
23122222n n n S n +-=+++
+-?
1232(2222)n n n S n +=?-+++
+
考查数列的分组求和问题.
等差等比数列各自分组求和.
不同公比的等比数列按公比各自分组求和 建议:熟记几种常见的数列求和类型及其对应方法.
考查数列的错位相减法求和的问题。
1
2(12)
212n n n +-=?--
1
112(22)(1)22n n n n n +++=?--=-?+
笔记:错位相减法适用与求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前n 项和.
建议:错位相减法是高考的一个常考点,平时训练给予重视.
(二)重点突破
例7:(2007天津)在数列{}n a 中,12a =,1431n n a a n +=-+,n ∈*N .
(Ⅰ)证明数列{}n a n -是等比数列;
(Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S ;
(Ⅲ)证明不等式14n n S S +≤,对任意n N *
∈皆成立. 思路直现: (1)由递推关系式构造出数列n a n -,并证明其是等比数列.
(2)利用分组求和法求出{}n a 的前n 项和.
(3)考虑用作差法证明.
(Ⅰ)证明:由题设1431n n a a n +=-+,得
1(1)4()n n a n a n +-+=-,n N *∈. 所以数列{}n a n -是首项为111a -=,且公比为4的等比数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知14n n a n --=,
14n n a n -∴=+.
1
(11)(42)(4)n n S n -∴=++++++ 21
(1444)(123)n n -=+++++++++ 41(1)
32
n n n -+=+ (Ⅲ)证明:对任意的n N *∈,
1141(1)(2)
41(1)443232n n n n n n n n S S ++??-++-+-=+-+ ?
?? 21(34)02n n =-+-≤. 所以不等式14n n S S +≤,对任意n N *
∈皆成立.
笔记: 本题实际上第一步的证明起到一个提示的作用,即应从递推关系出发
构造出n a n -的形式,并证明其为等比数列.
例8: (2007辽宁)已知数列{}n a ,{}n b 满足12a =,11b =,且
111131144131
44n n n n n n a a b b a b ----?=++???
?=++??,2n ≥ (I )令n n n c a b =+,求数列{}n c 的通项公式; (II )求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S .
思路:(1)由于要构造n c ,故把已知两式相加,即可得出规律.
(2)由(I )提示,可考虑两式相减.
(I)解:由题设可得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥,
即12n n c c -=+(2n ≥)
易知{}n c 是首项为113a b +=,公差为2的等差数列 21n c n ∴=+.
本小题考查等比数列的概念、等比数
列的通项公
式及前n 项
和公式、不等式的证明
利用递推关
系式证明数
列成等比.
利用分组求和法求和
利用作差比
较法证明不等式. 建议:学会解题的技巧,有
时候题目的提示往往在问题当中. 本小题主要
考查等差数
列、等比数列等基础知识,考查基本运算能力
两式相加构
造n n a b +
(II )解:由题设得111
()(2)2
n n n n a b a b n ---=-≥,令n n n d a b =-,则
11
(2)2
n n d d n -=≥.
易知{}n d 是首项为111a b -=,公比为1
2
的等比数列
11
2
n n d -=.
由1211
2n n n n n a b n a b -+=+??
?-=??,解得 11
22
n n a n =++
1315121
()()()224222n n n S +∴=++++++
1113521
()()242222n n +=+++++++
2
1122
n n n =-+++
阅题: 这是一道创新题,题目较为新颖,遇见题目不要慌乱,其实(1)问已经提示解答本题的方法,应整体考虑.
两式相减构造n n a b -
列方程组求n a
分组求和求n S 建议:在学习中重视整体思想的训练.
四、习题
一、选择题
1.(2008福建) 设{}n a 是公比为正数的等比数列,若151,16a a ==,则数列{}n a 前7项的和为
A.63
B.64
C.127
D.128 2.(2008浙江)已知{}n a 是等比数列,251
24
a a ==,,则12231n n a a a a a a ++++=
A.16(14)n --
B.16(12)n
-- C.32(14)3n -- D.32
(12)3
n -- 3.(2008海南)设等比数列{}n a 的公比2q =,前n 项和为n S ,则42
S
a =
A. 2
B. 4
C.
152 D. 17
2
4.(2007陕西) 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若32,14n n S S ==
则4n S 等于
A.80
B.30
C. 26
D.16 5.(2006辽宁) 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于
A.122n +-
B. 3n
C. 2n
D.31n -
6.数列1111
1,2,3,4,24816的前n 项和为( )
A.211(2)22n n n ++-
B.111(1)122n n n -++-
C.211(2)22n n n -+-
D.11(1)2(1)22n n n ++- 7.234323422222
n n -+++++=
A.
1212n n n
-
- B.1122n n
n
--
-
C.
11
22n n
n --
D.1
122n n n
--
-
二、填空题 8.等比数列{}n a 共2n 项,其和为240-,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q = 9.(2007全国Ⅰ) 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1S ,22S ,33S 成等差数列,
则{}n a 的公比为 . 10.若等比数列{}n a 的前n 项和为n S 满足
1053132
S S =,则此数列的公比q 为 三、解答题
11. (2007全国Ⅱ)设等比数列{}n a 的公比1q <,前n 项和为n S .已知34225a S S ==,,求{}n a 的通项公式.
12.(2008全国Ⅰ). 在数列{}n a 中,11a =,122n n n a a +=+.
(Ⅰ)设1
2n
n n a b -=
.证明:数列{}n b 是等差数列; (Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S . 13.已知数列{},{}n n a b 满足:111,8,a b == 且1137,
328,
n n n n n n a a b b a b ++=+??
=+?2n ≥ (1)令n n n c a b =+,求{}n c 的通项公式;
(2)求数列{},{}n n a b 的通项公式; (3)求数列{}n a 的前n 项和n S
习题答案
1. C. 分析:由151,16a a ==及{}n a 是公比为正数得公比2q =,所以7
71212712
S -==-
2. C. 分析:{}n a 为等比数列,352a a q ∴=,311
242q q ∴=??=
设1n n n b a a +=,{}n b ∴是首项为8,公比为1
4的等比数列.
122311218[1()]
324(14)1314
n n n n n
a a a a a a
b b b -+-+++=+++==--, 3. C 分析: 4
14421(1)1215122
a q S q
a a q ---===-
4. B 分析: {}n a 为等比数列,23243,,,n n n n n n n S S S S S S S ∴---成等比
2
322()()n n n n n
S S S S S -=-即22222(14)(2)6n n n S S S -=-?=或24n S =-
{}n a 各项均为正数,故2n n S S >,故26n S =,
432,4,8,n n S S ∴-成等比,所以4316n n S S -=,430n S ∴=
5. D 分析: 解:依题意,()f n 为首项为2,公比为328=的前4n +项和,根据等比数列的求和公式可得D
6.C 分析:因数列{}n a 为等比,则12n n a q -=,因数列{}1n a +也是等比数列,则2212112221
(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +++++++++=++?+=++?+=2(12)01n a q q q ?+-=?=,即2n a =,所以2n S n =,故选择答案C 。
7.A 分析:11111111
1
1234()(123)()248162248
2n n n
S n n =++++++=++++++++
+
211(1)
(1)1122(2)122212
n n
n n n n -+=+=++-- 8.B 分析: 设231232222n n S =++++, 则231112122222
n n n n
S +-=++++
两式相减得21111
(1)
111
1221222
22212
n n n n n S ++-=++
+-=-- 11222n n
n S -==-- 22n
n ∴-
n-1
1原式=S-2=-
9.2- 分析:由题意可知24080S S S S +=-???-=??奇偶奇偶,,80160S S =-????
=-??奇偶,
,
因为等比数列共2n 项,2S
q S ==-偶奇
10.3 分析:假设塔每层有n a 盏,塔尖有1a 盏,由题意知道数列{}n a 为公比为2的等比数列,
7171(12)
12738112a S a -===-,13a =
11.1
3
分析:21343S S S =+,即121123234()3()3.a a a a a a a a +=+++?=
解得{}n a 的公比321
.3
a q a ==
12.1
2
- 分析 数列{}n a 为等比数列,故51051510,,S S S S S -- 成公比为5q 的等比数列,
故有
5105531113232S S q S -==-=-,12
q ∴=-
13. ①④ 分析:①11a S =,221a S S =-,∴q 确定,∴等比数列{}n a 唯一确定.
②由2312322a S a a a a a q q =++=++,得32110S
q q a ++-=即232
(1)10S q q a +-+=
不能唯一确定q ,从而该数列不能唯一确定.
③11n n a
q a -=,n 为奇数时,1n -为偶数,q 不唯一,而该数列不能唯一确定.
④11
n n a
a q -=唯一确定,∴等比数列{}n a 唯一确定
故①④满足题意.
14.分析:由条件列出关于1,a q 的方程组求解1,a q 进而得出结论.
解:由题设知11(1)
0,11n n a q a q S q
-≠<∴=-,,
则2142112(1)(1)511a q a q a q q q ?=?
?--=??--?
, ② 由②得4215(1)q q -=-,22(4)(1)0q q --=,(2)(2)(1)(1)0q q q q -+-+=, 因为1q <,解得1q =-或2q =-.
当1q =-时,代入①得12a =,通项公式12(1)n n a -=?-;
当2q =-时,代入①得112a =,通项公式11
(2)2
n n a -=?-.
点拨:等比数列求基本量的题目都可转化为关于1,a q 的方程组解题.当然,应在解题过程中注意有关性质的应用,可简化计算量.
15.分析:利用递归关系式构造等差数列,进而求出数列n a 的通项公式,利用错位相减法求其前n 项和. 解:(1)122n n n a a +=+,
11122
n n
n n a a +-=+,
11n n b b +=+,
则{}n b 为等差数列,11b =, n b n =,12n n a n -=. (2)01221122232(1)22n n n S n n --=?+?+?+
+-?+?
12312122232(1)22n n n S n n -=?+?+?++-?+?
两式相减,得
0121212222221n n n n n S n n -=?-?----=?-+
点拨:在求解题目的过程中,不应把思路集中在题目的条件上,有时考虑一下题目的问题上,
往往会有“暮然回首,那人却在灯火阑珊处”的感觉.例如本题充分考虑如何构造1
2
n n a
-. 16分析:(1)构造题目要求的n n a b +,即可得到结果.
(2)利用(1)的条件,即可求得1,n n a a +的递推关系式,利用递推关系求n a 进而求n b (3)利用分组求和法,求n S
解:(1)由题意可得,113()9()n n n n a b a b +++=+,即113()n n n n a b a b +++=+ 即13n n c c +=,所以{}n c 为首项为19,c =公比为3的等比数列 11933n n n c -+∴=?=
(2)由(1)可知13n n n a b ++=,故13n n n b a +=- 11363n n n a a ++=+,故123n n n a a +=+ 故1132(3)n n n n a a ++-=-
即{3}n n a -为首项为2-公比为2的等比数列, 故1322n n n a --=-?即32n n n a =- 故13(32)232n n n n n n b +=--=?+ (3)2233(32)(32)(32)(32)n n n S =-+-+-++-
2323(3333)(2222)n n =+++
+-+++
+
113(13)2(12)31
2131222
n n n n ++--=-=-+--
点拨:本题较为新颖,所给方程组的未知元过多,因此,如何消元是本题的关键,应注意到题目系数的关系以及问题(1)的中的提示,构建出数列n n a b +.
等比数列及其前n 项和 [考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系. 【知识通关】 1.等比数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用 字母q 表示,定义的数学表达式为a n +1a n =q (n ∈N *,q 为非零常数). (2)等比中项:如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项?a ,G ,b 成等比数列?G 2=ab . 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1q n -1=a m q n -m . (2)前n 项和公式: S n =??? na 1(q = 1),a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q (q ≠1). [常用结论] 1.在等比数列{a n }中,若m +n =p +q =2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q =a 2k . 2.若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),???? ??1a n ,{a 2n },{a n ·b n },???? ??a n b n 仍然是等比数列. 3.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n ,其中当公比为-1时,n 为偶数时除外. 【基础自测】 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( ) (2)G 为a ,b 的等比中项?G 2=ab .( ) (3)若{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( )
等比数列的前n 项和 【教学目标】 知识与技能:掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路;会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。 过程与方法:经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用,总结数列的求和方法,并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。 情感态度与价值观:在应用数列知识解决问题的过程中,要勇于探索,积极进取,激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。 【教学重点】 等比数列的前n 项和公式推导 【教学难点】 灵活应用公式解决有关问题 【学情分析】 针对学生学习等差数列前n 项和时的情况,一定在本节课的教学中加大思想方法的教学力度,突破错位相减思想理解困难。引导学生完成基本技能的训练。 【教学过程】 一、课题导入 创设情境 提出问题 :“国王对国际象棋的发明者的奖励” 二、讲授新课 分析问题:如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是1,公比是2,求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。 等比数列的前n 项和公式: 当1≠q 时, q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②当q=1时,1 na S n =当已知1a , q , n 时用公式①;当已知1a , q , n a 时,用公式②。 公式的推导方法一:
一般地,设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是 =n S n a a a a +++321由 ???=+++=-11321n n n n q a a a a a a S 得 ?????++++=++++=---n n n n n n q a q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴ 论同上)∴当1≠q 时, q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②当q=1时,1 na S n =公式的推导方法二:有等比数列的定义,q a a a a a a n n ====-12 312 根据等比的性质,有q a S a S a a a a a a n n n n n =--=++++++-112132 即 q a S a S n n n =--1?q a a S q n n -=-1)1((结围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式。 公式的推导方法三: =n S n a a a a +++321=) (13211-++++n a a a a q a =11-+n qS a =) (1n n a S q a -+?q a a S q n n -=-1)1((结论同上) 解决问题; 有了等比数列的前n 项和公式,就可以解决刚才的问题。 由11,2,64a q n ===可得 1(1)1n n a q S q -=-=641(12)12?--=6421-。 6421-这个数很大,超过了19 1.8410?。国王不能实现他的诺言。三、 例题讲解 例1.求下列等比数列的各项的和:
等比数列的前n项和例题详细解法?例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),前n项和为80,其中 最大的一项为54,又它的前2n项和为6560,求a和q. 解:由S n=80,S2n=6560,故q≠1 ∵a>0,q>1,等比数列为递增数列,故前n项中最大项为an. ∴a n=aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q-1 ⑤ 由⑤,⑥联立方程组解得a=2,q=3 证∵Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1q n-1 S2n=S n+(a1q n+a1q n+1+...+a1q2n-1)
=S n+q n(a1+a1q+...+a1q n-1)=S n+q n S n=S n(1+q n) 类似地,可得S3n=S n(1+q n+q2n) 说明本题直接运用前n项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好,则解法巧. 【例2】一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数. 分析设等比数列为{a n},公比为q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列,公比为q2,首项分别为a1,a1q. 解设项数为2n(n∈N*),因为a1=1,由已知可得q≠1. 即公比为2,项数为8. 说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时,对公比q要分情况讨论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相除的方法达到降次的目的.
高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计 一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点,难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计
课时教案
一、复习提问 回顾等比数列定义,通项公式 (1)等比数列定义:(, (2)等比数列通项公式: (3)等差数列前n项和公式的推导方法:倒序相加法。二、问题引入: 阅读:课本“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨: 问题:如何求等比数列的前n项和公式 回顾:等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。 等差数列它的前n项和是 根据等差数列的定义 (1) (2) (1)+(2)得:
探究:等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导? 学生讨论分析,得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾:等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项,化繁为简。 探究:等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导? 根据等比数列的定义: 变形: 具体: …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式,学生不难发现:由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。 (1) (2) 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。
当q=1时, 当时, 学生经过讨论还发现了其他的推导方法,让学生课后整合自己的思路,将各自的推导过程展示在班级学习园地,同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形 式: 当时, 四.知识整合: 1.等比数列的前n项和公式: 当q=1时, 当时, 2.公式特征: ⑴等比数列求和时,应考虑与两种情况。 ⑵当时,等比数列前n项和公式有两种形式,分别都 涉及四个量,四个量中“知三求一”。 ⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量, , 五个量中“知三求二”(方程思想)。 3.等比数列前n项和公式推导方法:错位相减法。
澜沧拉祜族自治县第一中学教案 2.5 等比数列的前n项和(一) 学科:数学年级:高二 备课教师:刘德清、龙新荣、郭晓芳、王焕刚、沈良宏 一、教材分析:等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、 分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想,有助于培养学生的创新思维和探索精神, 是培养学生应用意识和数学能力的良好载体. 二、教学目标: 1、(1)了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题; (2)探索并掌握等比数列前n项和公式; (3)用方程的思想认识等比数列前n项和公式,利用公式知三求一; (4)体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想. 2、(1)采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学; (2)发挥学生的主体作用,作好探究性活动. 3、(1)通过生活中有趣的实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识 的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力; (2)在探究活动中学会思考,学会解决问题的方法; (3)通过对有关实际问题的解决,体现数学与实际生活的密切联系,激发学生学习的兴趣. 三、教学重点:等比数列前n项和公式的推导及其应用。 四、教学难点:等比数列前n项和公式的推导,灵活应用公式解决有关问题。 五、教学准备 1、课时安排:1课时 2、学情分析:等差、等比数列的定义和通项公式,等差数列的前n项 和的公式是学生在学习之前已经具备的知识基础。学生具体研究学习了等差数列前n项和公式的推导方法,具备了一定的探究能力。由此,学生会产生思考,等比数列前n项和公式应该如何推导,公式是从什么新的角度建构?
6.3等比数列及其前n 项和 考情分析 高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质,在解 答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查 基础知识 1、等比数列的判定:(1)定义法:*1()n n a q q n N a +=∈为非零常数,(2)等比中项法:2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且(3)通项公式法:*(,)n n a cq c q n N =∈均为非零常数,(4)1()1n n a S kq k k q =-=≠≠-是常数且q 0且q 1 (5)若{},{}n n a b 均为等比数列,n S 为{}n a 的前n 项和,则1{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n n ka k a ma b a a ≠;;;公比不为1的等比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---,相邻k 项和232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比;由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比 2、等比数列的性质 (1)通项公式:①11n n a a q -=②n m n m a q a -= (2)前n 项和公式:111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? (3)下脚标性质:若m+n=p+q ,则m n p q a a a a = (4)两个常用技巧:若三个数成等比通常设成,,a a aq q ,若四个数成等比通常设成33,,,a a aq aq q q ,方便计算 注意事项