苏教版数学高二数学苏教版选修4-44.1.2极坐标系

极坐标系练习

1．点M的极坐标为

2

5,π

3

??

?

??

，化成直角坐标形式是__________．

2．点A的极坐标为

π

2,

3

??

--

?

??

，化成直角坐标形式是__________．

3．点P的直角坐标为)，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________．

4．已知两点的极坐标

π

3,

2

A

??

?

??

，

π

3,

6

B

??

?

??

，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为

________．

5．直线l过点

π

7,

3

A

??

?

??

，

π

7,

6

B

??

?

??

，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________．

6．在极坐标系中，若

π

3,

3

A

??

?

??

，

7π

4,

6

B

??

?

??

，则△ABO的面积为__________．

7．点

π

5,

3

A

??

?

??

在条件：

(1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；

(2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．

8．已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐

标为

π

4,

6

??

?

??

，求点M在直角坐标系中的坐标．

9．在极坐标系中，(1)求

7π

5,

36

A

??

?

??

，

43π

12,

36

B

??

?

??

两点间的距离；

(2)已知点P的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R，求满足上述条件的点P的位置．10．将下列极坐标化成直角坐标．

(1)π

4

?

?

?

；(2)

π

6,

3

??

-

?

??

；(3)(5，π)．

参考答案

1. 答案：5,22?- ??

解析：255cos

π32

x ==-，25sin π32y ==，

所以点M 的直角坐标为5,22?- ??

.

2. 答案：(－1)

解析：因为点A 的极坐标又可以写成2π2,3?? ???

， 所以2π1cos 2cos 2132x ρθ??===?-=- ???

，

2π

sin 2sin 23y ρθ====.

所以点A 的直角坐标为(－1)．

3. 答案：? ?

解析：ρ==tan θ==， 又点P 在第一象限，得π6

θ=，

因此点P 的极坐标是π6?? ??

?. 4. 答案：3 5π6 解析：根据极坐标的定义可得

|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3

， 即△AOB 为等边三角形，

所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，

5π6

ACx ∠=

(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 5. 答案：π4 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．

因为|AO |＝|BO |＝7，πππ366AOB ∠=-=， 所以π

π5π6.212

OAB -

∠== 所以π5πππ3124ACO ∠=--=. 6. 答案：3

解析：由题意可知，在△AOB 中，|OA |＝3，|OB |＝4，7ππ5π636

AOB ∠=

-=， 所以△ABO 的面积为 12

|OA |·|OB |·sin ∠AOB 15π34sin 261134322

??????＝＝＝ 3. 7. 答案：(1) 55,π3??- ??? (2)105,π3??- ??

? 解析：(1)当ρ＞0时，点A 的极坐标形式为?

???5，2k π＋π3(k ∈Z )， ∵θ∈(－2π，0)，令k ＝－1，点A 的极坐标为55,π3??-

???

，符合题意． (2)当ρ＜0时，π5,3?? ???的极坐标的一般形式是π5,(21)π3k ??-++ ??

?(k ∈Z )． ∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为105,π3??- ??

?，符合题意． 8. 解：设M (x ，y )

，则π2cos 4cos 6

x ρθ-===

∴2x ＝＋y －(－2)＝ρsin θ＝π4sin 6＝2. ∴y ＝2－2＝0.

∴点M 的直角坐标为

(2＋0)．

9. 解：(1)A ，B 在过极点且与极轴夹角为7π36

的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB |＝5＋12＝17.

(2)由于点P 的极径恒为ρ＝1，且θ∈R ，因此，点P 在以1为半径，极点为圆心的圆上．

10. 解：(1)πcos 14x ==，πsin 14y ==， 所以点π4???

，的直角坐标为(1,1)． (2)π6cos 33x ??=?-

= ???

， π

6sin 3y ??=?-=- ???

所以点π6,3??- ???的直角坐标为(3，-． (3)x ＝5·cos π＝－5，y ＝5·sin π＝0，

所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．

人教新课标版数学高二A版选修4-4课后训练 1.2极坐标系

课后训练 1．下列各点中与极坐标π57?? ?? ? ，表示同一个点的是( )． A ．6π57?? ??? ， B ．15π57?? ???， C ．6π57??- ???， D ．π57??- ?? ?， 2．在极坐标系内，点π32?? ??? ，关于直线π6θ＝(ρ∈R )的对称点的坐标为( )． A ．(3,0) B ．π32?? ??? ， C ．2π33??- ???， D ．11π36?? ??? ， 3．已知点M 的极坐标为π53??- ???，，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )． A ．π53??- ???， B ．4π53?? ??? ， C ．2π53??- ???， D ．5π53??-- ?? ?， 4．已知A ，B 的极坐标分别是π33?? ???，和? ???3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )． A ．2 B ．2 C D 5．写出与直角坐标系中的点(－表示同一个点的所有点的极坐标__________． 6．直线l 过点π33A ?? ???，，π36B ?? ??? ，，则直线l 与极轴的夹角等于________． 7．已知A ，B 的极坐标分别为2π83?? ???，，π63?? ??? ，，求线段AB 的中点的极坐标． 8．在极轴上求与点π4A ?? ???，的距离为5的点M 的坐标． 9．(1)将下列各点的极坐标化为直角坐标： ①π4???；②π6,3??- ??? ；③(5，π)． (2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)： ①；②(－1，－1)；③(－3,0)． 10．△ABC 的顶点的极坐标为4π43A ?? ???，，5π6 6B ?? ???，7π86C ?? ??? ，.

苏教版数学高二数学苏教版选修4-44.1.2极坐标系

极坐标系练习 1．点M的极坐标为 2 5,π 3 ?? ? ?? ，化成直角坐标形式是__________． 2．点A的极坐标为 π 2, 3 ?? -- ? ?? ，化成直角坐标形式是__________． 3．点P的直角坐标为)，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________． 4．已知两点的极坐标 π 3, 2 A ?? ? ?? ， π 3, 6 B ?? ? ?? ，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为 ________． 5．直线l过点 π 7, 3 A ?? ? ?? ， π 7, 6 B ?? ? ?? ，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________． 6．在极坐标系中，若 π 3, 3 A ?? ? ?? ， 7π 4, 6 B ?? ? ?? ，则△ABO的面积为__________． 7．点 π 5, 3 A ?? ? ?? 在条件： (1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________； (2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________． 8．已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐 标为 π 4, 6 ?? ? ?? ，求点M在直角坐标系中的坐标． 9．在极坐标系中，(1)求 7π 5, 36 A ?? ? ?? ， 43π 12, 36 B ?? ? ?? 两点间的距离； (2)已知点P的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R，求满足上述条件的点P的位置．10．将下列极坐标化成直角坐标． (1)π 4 ? ? ? ；(2) π 6, 3 ?? - ? ?? ；(3)(5，π)．

高中数学极坐标系

【作业表单：单元学习目标与活动设计及检验提示单】

对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM 的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。 特别强调：由极径的意义可知≥0;当极角的取值范围是[0,2 )时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系.们约定,极点的极坐标是极径极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角当＜0时，点M （，）位于极角终边的反向延长线上，且OM= 。 M （，）也可以表示为 4、数学应用 例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页） A（4，0）B（2 ）C（） D（）E（）F（） G（） ①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ③不同的极坐标是否可以写出统一表达式 约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。 变式训练 在极坐标系里描出下列各点 A（3，0）B（6，2 ）C（3，）D（5，）E（3，）F（4，）G（6，点的极坐标的表达式的研究

例2 在极坐标系中， （1）已知两点P（5，），Q ，求线段PQ的长度； （2）已知M的极坐标为（，）且，，说明满足上述条件的点M 的位置。 变式训练 1、若的的三个顶点为 2、若A、B两点的极坐标为求AB的长以及的面积。（O为极点） 例3 已知Q（，），分别按下列条件求出点P 的极坐标。 （1）P是点Q关于极点O的对称点； （2）P是点Q关于直线的对称点； （3）P是点Q关于极轴的对称点。 变式训练 1.在极坐标系中,与点关于极点对称的点的一个坐标是( ) 2在极坐标系中，如果等边的两个顶点是求第三个顶点C的坐标。 三、巩固与练习 四、小结：本节课学习了以下内容： 1．如何建立极坐标系。 2．极坐标系的基本要素是：极点、极轴、极角和度单位 3．极坐标中的点与坐标的对应关系。 五、课后作业：教材P14-15页5，8，9，10，11

北师版数学高二数学选修4—4极坐标系2教案

课题：极坐标系 教学目的： 知识目标：理解极坐标的概念 能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系 中刻画点的位置的区别. 德育目标： 教学重点：理解极坐标的意义 教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。 （1）他向东偏60°方向走120M 后到达什么位置？该位置惟 一确 定吗？ （2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ 问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的 坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？ 这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下 用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基 础． 二、讲解新课： 从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 1、极坐标系的建立： 在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。 特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是 [0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一 对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任 意的正角或负角 当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线 上，且OM= ρ。 M （ρ，θ）也可以表示 为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 4、数学应用 例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页） A （4，0） B （2 ） C （ ） D （ ） E （ ） F （ ）

高二数学必修三极坐标系知识点

高二数学必修三极坐标系知识点 极坐标系的定义： 在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长 度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样就建立了一个极坐标系。这样，平面上任 一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对ρ，θ就称为P点的极坐标，记为Pρ，θ;ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。 点的极坐标： 设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对ρ，θ叫做M点的极坐标，如图， 极坐标系的四要素： 极点，极轴，长度单位，角度单位和它的正方向.极坐标系的四要素，缺一不可. 极坐标系的特别注意： ①关于θ和ρ的正负：极角θ的始边是极轴，取逆时针方向为正，顺时针方向为负，θ的值一般以弧度为单位。 极坐标和直角坐标的互化: 1互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ②极轴与x轴的正半轴重合; ③两种坐标系中取相同的长度单位. 2互化公式 特别提醒:①直角坐标化为极坐标用第二组公式.通常取 所在的象限取最小正角; ②当 ③直角坐标方程及极坐标方程互化时，要切实注意互化前后方程的等价性. ④若极点与坐标原点不是同一个点.如图，设M点在以O为原点的直角坐标系中的坐 标为x，y，在以 为原点也是极点的时候的直角坐标为x′,y′，极坐标为ρ,θ，则有 第一组公式用于极坐标化直角坐标;第二组公式用于直角坐标化极坐标.

数轴直线坐标系: 在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴.如图， 平面直角坐标系： 在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。 如图： 平面上的伸缩变换： 设点Px,y是平面直角坐标系中任意一点，在变换 对应到 为平面直角坐标系中的伸缩变换。 建立坐标系必须满足的条件: 任意一点都有确定的坐标与它对应;反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置. 坐标系的作用： ①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物; ②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹或范围; ③可通过数形结合，用代数的方法解决几何问题。 曲线的极坐标方程的定义： 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程fρ，θ=0，并且坐标适合方程fρ，θ=0的点都在曲线上，那么方程fρ，θ=0叫做曲线C的极坐标方程。 求曲线的极坐标方程的常用方法： 直译法、待定系数法、相关点法等。 圆心为α，βa>0，半径为a的圆的极坐标方程为 此圆过极点O。

极坐标系的的概念

极坐标系的的概念 教学目的： 知识与技能：理解极坐标的概念 过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：理解极坐标的意义 教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习引入： 情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将 它们引爆？ 情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。 （1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位 置惟一确 定吗？ （2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描 述？ 问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎 样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？ 这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础． 二、讲解新课： 从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 1、极坐标系的建立： 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度， 用θ表示从OX到OM 的角度，ρ叫做点M的极径，θ 叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M的极坐标。 特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范 围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建 立一一对应的关系.们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角 当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。

高中数学极坐标及参数方程大题详解

参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作及l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值及最小值． 考点：参数方程化成普通方程；直线及圆锥曲线的关系． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l 的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值及最小值． 解答： 解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ， 故曲线C的参数方程为，（θ为参数）． 对于直线l：， 由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为． 则，其中α为锐角． 当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．

当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为． 点评：本题考查普通方程及参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题． 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴及x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可； （2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线及圆的位置关系进行转化求解．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：， ∴ρ（sinθ﹣cosθ）=， ∴， ∴x﹣y+1=0． （2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）． 得 （x﹣2）2+y2=4， 它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆， 圆心到直线的距离为： d=， ∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．