传热学 第3章-非稳态导热分析解法

第三章 非稳态导热分析解法

1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；

② 集总参数法的基本原理及应用；

③一维及二维非稳态导热问题。

2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；

② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。

3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。

许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。

§3—1 非稳态导热的基本概念

一、非稳态导热

1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。

2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：

1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ

2）物体的温度随时间而作周期性变化

1）物体的温度随时间而趋于恒定值

如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的

表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为

0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。

首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，

而其余部分仍保持原来的t 0 。

如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温

度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也

逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。

最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，

如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。

由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面

参与换热与不参与换热的两个不同阶段。

（1）第一阶段（右侧面不参与换热）

温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。

（2）第二阶段，（右侧面参与换热）

当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受to 影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。正规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。

2）二类非稳态导热的区别：前者存在着有区别的两个不同阶段，而后者不存在。

3、特点；

非稳态导热过程中，在与热流量方向相垂直的不同截面上热流量不相等，这是非稳态

导热区别于稳态导热的一个特点。

原因：由于在热量传递的路径上，物体各处温度的变化要积聚或消耗能量，所以，在

热流量传递的方向上Φconst ≠。

二、非稳态导热的数学模型

1、数学模型

????边界条件初始条件 特定的非稳态导热问题定解条件导热微分方程??

?? 非稳态导热问题的求解?规定的{初始条件，边界条件}下，求解导热微分方程。

2、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题

在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。

已知：平板厚2δ、初温to 、表面传热系数h 、平板导热系数λ，将其突然置于温度

为∞t 的流体中冷却。

试分析在以下三种情况：λδ/ <<1/h 、λδ/ >>1/h 、λδ/ =1/h 时，平板中温度场的

变化。

1）1/h<<λδ/

因为1/h 可忽略，当平板突然被冷却时，其表面温度就被冷却到∞t ，随着时间的延长，

平板内各点t →∞t 如图3-3（a ）。

2）1/h>>λδ/

因为λδ/忽略不计，即平板内导热的流量接近于无穷大，所以任意时刻平板中各点温

度接近均匀，随着时间的延长，平板内各点t →∞t ，而且整体温度下降如图3-3（b ）。

3）1/h=λδ/

平板中的温度分布介于二者之间，如图3-3（c ）。

由此可见，表面对流换热热阻1/h 与导热热阻λδ/的相对大小对物体中非稳态导热的

温度场的分布有重要影响，因此，引入表征二者比值的无量纲数，毕渥数。

3、毕渥数

1）定义式：λδλδ

h h

i ==B 1 （3-1） 毕渥数属特征数（准则数）。

2）Bi 物理意义：Bi 的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。

3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过程特征的无量纲数。

4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。

§3—2 集总参数法的简化分析

一、集总参数法

1、定义：当固体内的λδ<

一瞬间均处于同一温度下，这时需求解的温度仅是时间的一元函数，而与坐标无关，好象该

固体原来连续分布的质量与热容量汇总到一点上，而只有一个温度值那样。这种忽略物体内

部导热热阻的简化分析方法称为集总参数法。

2、集总参数法的计算

已知：有一任意形状的物体，其体积为V ，面积为A ，初始温度为t 0，在初始时刻，突

然将其置于温度恒为∞t 的流体中，且t o >∞t ,固体与流体间的表面传热系数h ，固体的物性参

数均保持常数。

试根据集总参数法确定物体温度随时间的依变关系。

解：① 建立非稳态导热数学模型

方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：

c z t y t x t c t ρρλτ?

Φ+???? ????+??+??=??222222 ∵物体内部导热热阻很小，忽略不计。

∴物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t 仅是τ的一元函数，二与坐标x 、y 、z

无关，即

???

? ?

???+??+??222222z t y t x t =0 则：

c

d dt ρτ?Φ= （a ） ∵?Φ可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边界（零维无任何边界）。

∴界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即：

)(∞-=Φ-t t Ah V （b ）

∵t>∞t ,物体被冷却，∴?

Φ应为负值

由（a ），（b ）式得： ττ

ρΦ=--=∞)(t t Ah d dt cV （3-2） 这就是瞬时时刻导热微分方程式。

方法二：根据能量守恒原理，建立物体的热平衡方程，即

物体与环境的对流散热量=物体内能的减少量 则有：ττρΦ=--=∞)(t t Ah d dt

cV

② 物体温度随时间的依变关系

引入过余温度：∞-=t t θ 则上式表示成：θτθ

ρAh d d cV -=

其初始条件为：00)0(θθ=-=∞t t 将θτθ

ρAh d d cV -=分离变量求解微分方程，

τρθθ

d cV hA

d -=

对时间τ从0τ→积分，则：

??-

=θθττρθθ00d cV hA

d In τρθθcV

hA

-=0

即： exp 00=--=∞∞t t t t θθ（τρcV

hA

-）

（

3-3） 其中：

τρcV hA τρλλ22cV hV A A =V V Fo i A V a A V

h B ==2)/()/(τ

λ

其中：V/A 是具有长度的量纲，记为l ；

————V Bi hl λ毕渥数；

————V Fo l a 2τ

傅立叶数；

而V 说明Fov 、Biv 中的特征长度为V/A

故得：

)exp(00V V Fo Bi t t t t -=--=∞

∞θθ （3-4） 由此可见，采用集总参数法分析时，物体内的过余温度随时间成指数曲线关系变化。

而且开始变化较快，随后逐渐变慢。

指数函数中的cV hA ρ/ 的量纲与 τ1 的量纲相同，如果时间=τhA

cV ρ，则 %8.36368.0)1exp(00==-=--=∞

∞t t t t θθ

则：hA cV ρ称时间常数，记为c τ。

c τ的物理意义：表示物体对外界温度变化的响应程度。

当时间 =τ c τ时，物体的过余温度已是初始过余温度值的36.8%。

③ 确定从初始时刻到某一瞬间这段时间内，物体与流体所交换的热流量

首先求得瞬时热流量：

将 τd dt

带入瞬时热流量的定义式得：

cV ρτ-=Φτd dt

= cV ρ-)exp())((0τρρcV hA

cV hA

t t ---∞

（3-5） = )exp()(0τρcV hA

hA t t --∞

式中负号是为了使Φ恒取正值而引入的。

若∞

然后求得从时间=τ0到τ时刻间的总热流量：

?Φ=Φ→τ

τττ00d

= )(0∞-t t ττρτ

d cV hA

hA ?-0)exp(

= )(0∞-t t )]exp(1[τρρcV hA

cV --

（3—6） 3、集总参数法的判别条件

对形如平板、圆柱和球这一类的物体，如果毕渥数满足以下条件：

V Bi =h(V/A)/λ<0.1M （

3-7）

则物体中各点间过余温度的偏差小于5%。其中M 是与物体几何形状有关的无量纲数。

无限大平板：M=1

无限长圆柱：M=1/2

球 ：M=1/3

毕渥数的特征长度为V/A ，不同几何形状，其值不同，对于：

厚度为 2δ的平板：δδ=?=A

A A V 半径为R 的圆柱：2

2R RL l R A V ==ππ 半径为R 的球 ：3

43/423R R A V ==ππ 由此可见，对平板：V Bi =Bi

圆柱： V Bi = Bi /2

球体： V Bi = Bi/3

二、毕渥数V Bi 与傅立叶数V Fo 的物理意义

1、V Bi

1）定义：表征固体内部单位导热面积上的导热热阻与单位面积上的换热热阻（即外部热阻）之比。

V Bi =h

1λδ

V Bi 越小，表示内热阻越小，外部热阻越大。此时采用集总参数法求解更为合适。

2）物理意义：V Bi 的大小反映了物体在非稳态导热条件下，物体内温度场的分布规律。

2、V Fo

1）定义：V Fo 表征两个时间间隔相比所得的无量纲时间。 V Fo =()ατ2l

分子τ是从边界上开始发生热扰动的时刻起到所计时刻为止的时间间隔。分母可视为边

界上发生的有限大小的热扰动穿过一定厚度的固体层扩散到2

l 的面积上所需的时间。

2）物理意义：表示非稳态导热过程进行的程度，V Fo 越大，热扰动就越深入地传播到物体

内部，因而物体内各点的温度越接近周围介质的温度。

§3—3 一维非稳态导热的分析解

本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应用。如何理

解无限大物体，如：当一块平板的长度、宽度>>厚度时，平板的长度和宽度的边缘向四周

的散热对平板内的温度分布影响很少，以至于可以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数

时，该平板就是一块“无限大”平板。若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝

热良好，则热量交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分

析，可简化成一维导热问题。

一、 无限大平板的分析解

已知：厚度δ2的无限大平板，初温0t ，初始瞬间将其放

于温度为∞t 的流体中，而且 ∞t >0t ，流体与板面间的表

面传热系数为一常数。

试确定在非稳态过程中板内的温度分布。

解：如图3-5所示，平板两面对称受热，所以其内温度分

布以其中心截面为对称面。

对于x ≥0的半块平板，其导热微分方程：

22x

t a t ??=??τ (0τ) （3-8） 定解条件：

t(x,0)= 0t (0≤x ≤δ)

0),(0=??=x x

x t τ （边界条件） ()[]()δτλτδ=∞??-=-x x

x t t t h ,, （边界条件） 引入过余温度：∞-=t t x t ),(θ

则 22x

??=??θατθ （0τ） (3-9) θ(x,0)= 0θ (0≤x ≤δ) （初始条件） ()0,0=??=x x

x τθ （边界条件） ()δτθλτδθ=??-=x x

x h ,),( （边界条件） 对偏微分方程22x

a ??=??θτθ 分离变量求解得：

∑∞=-+=1)(0)cos()sin(]

)cos[()sin(2),(22n n n n n n a x e x n δβδβδβδδβδβθτθδτδβ （3-10） 其中离散值n β是下列超越方程的根，称为特征值。

，

，，21)tan(==n Bi

n n δβδβ…… （3-11） 其中Bi 是以特征长度为δ的毕渥数。 由此可见：平板中的无量纲过余温度0θθ

与三个无量纲数有关：以平板厚度一半δ为特征长度的傅立叶数、毕渥数及δx 即：

)()(),(00δ

τθτθx Bi Fo f t t t x t x ，，，=--=∞∞ （3-12） 二、非稳态导热的正规状况阶段

1、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系

前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对比计算表明，当Fo>0.2时，

采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于1%，因此，当 Fo>0.2

时，采用以下简化结果：

])cos[()cos()sin()sin(2),(1)(1111021δ

δβδβδβδβδβθτθδβx e x Fo -+= （3-13） 其中特征值)2,1( =n n β之值与Bi 有关。

由上式（3-13）可知：Fo>0.2以后平板中任一点的过余温度θ(x ，τ)与平板中心的过余温度 θ(0，τ)= m θ（τ）之比为：

)cos()(),(1δ

μτθτθx x m = （3-14） 此式反映了非稳态导热过程中一种很重要的物理现象：即当Fo>0.2以后，虽然θ(x ，τ) 与m θ（τ）各自均与τ有关，但其比值则与τ无关，而仅取决于几何位置（x/δ）及边界条

件（Bi ）。也就是说，初始条件的影响已经消失，无论初始条件分布如何，只要Fo>0.2，

)

(),(τθτθm x 之值是一个常数，也就是无量纲的温度分布是一样的。

由此可见，当Fo>0.2时，非稳态导热过程进入正规状况阶段。

2、在一个时间间隔内非稳态导热过程中传递的热量

1） 从物体初始时刻平板与周围介质处于热平衡，这一过程中传递的热量：

)(00∞-=t t cV Q ρ （3-15）

此值为非稳态导热过程中传递的最大热量。

2） 从初始时刻到某一时间τ，这段时间内所传递的热量τ→0Q ：

dV x t t c Q V ?-=→)],([00τρτ （3-16）

3） 0

0Q Q τ→之比： dV t t t t t t V t t cV dV x t t c Q Q V V ??∞

∞∞∞→----=--=000000)()(1)()],([ρτρτ ?-=---=∞∞V dV t t t t V 0

0111θθ (3-17) 其中：)(τθθ=是时刻τ物体的平均过余温度，?∞-=

V dV t t V )(1θ。 对于无限大平板，当Fo>0.2，将式（3-13）代入θ的定义式，可得：

?-∞∞+=--=V Fo e dV t t t t V 1

1)(111100sin cos sin sin 21)(21μμμμμμθτθμ （3-18） 对圆柱体、球体 2R a Fo τ

=>0.2时，无穷级数的解也可用第一项近似代替，并且0

),(θτθx 及)(τ可表示为：

)()exp(),(1210

ημμθτθf Fo A x -= （3-19） B Fo A )exp()(210μθτθ-= （3-30）

其中：η为无量纲几何位置，对平板δη/x =，对柱体及球体R r /=η，R 为外表面半径，系数A 、B 及函数)(1ημf 的表达式取决于几何形状，见教材表3-2所示。

三、正规阶段状况的实用计算方法

当Fo>0.2时，可采用上述计算公式求得非稳态导热物体的温度场及交换的热量，也可采用简化的拟合公式和诺模图求得。

1、诺模图：工程技术中，为便于计算，采用按分析解的级数第一项绘制的一些图线，叫诺模图。

2、海斯勒图：诺模图中用以确定温度分布的图线，称海斯勒图。

首先根据（3—13）式给出0θθm

随Fo 及Bi 变化的曲线（此时x/δ=0），然后根据（3—14）式确定m θθ的值，于是平板中任意一点的0θθ值便为：

m

m θθθθθθ00= （3-21） 同样，从初始时刻到时刻τ物体与环境间所交换的热量，可采用（3—15）、（3—17）作出 ),(0

Bi Fo f Q Q =曲线。 3、诺模图法评述

优点：简洁方便。

缺点：准确度有限，误差较大。

目前，随着计算技术的发展，直接应用分析解及简化拟合公式计算的方法受到重视。

四、分析解应用范围的推广及讨论

1、推广范围

1）对物体被冷却的情况也适用；

2）也适于一侧绝热，另一侧为第三类边界条件的厚为δ的平板；

3）当固体表面与流体间的表面传热系数h ∞→时，即表面换热热阻→0时，所以∞→Bi 时分析解就是固体表面温度发生一突然变化然后保持不变时的解，即第一类边界条件的解。

2、讨论Bi 与Fo 对温度场的影响：

1）傅立叶数Fo ：

由(3-10)、(3-13)式及诺模图可知：物体中各点的过余温度随时间τ的增加而减小；而Fo 与τ成正比，所以物体中各点过余温度亦随Fo 的增大而减小。

2）毕渥数Bi

Bi 对温度的影响从以下两方面分析：

一方面，从教材图3—6可知，Fo 相同时，Bi 越大，0θθm 越小。因为，Bi 越大，意味着固体表面的换热条件越强，导致物体的中心温度越迅速地接近周围介质的温度；当Bi →∞时，意味着在过程开始瞬间物体表面温度就达到介质温度，物体中心温度变化最快，所以在诺模图中1/Bi=0时的线就是壁面温度保持恒定的第一类边界条件的解。

另一方面Bi 的大小决定于物体内部温度的扯平程度。如：对于平板，从诺模图3—7中可知： 当Bi

1>10（即Bi<0.1）时，截面上的过余温度差小于5% 当Bi 下限一直推到0.01时，其分析解与集总参数法的解相差极微。

综上可得如下结论：介质温度恒定的第三类边界条件下的分析解；当Bi →∞时，转化为第一类边界条件下的解，Bi →0时，则与集总参数法的解相同。

§3—4 二维及三维非稳态导热问题的求解

一、 求解方法

对于典型的几何形状的物体，可利用一维非稳态导热问题分析解的组合求得。

如图3-9所示：无限长方柱体的非稳态导热问题，属二维导热问题。截面尺寸为：2122δδ? 的方柱体可视为两块厚度分别为 12δ及22δ的无限大平板垂直相交所截出的物体。

讨论的目的：找出二维温度场与两块无限大平板的温

度场之间的关系。

已知：方柱体初温为to ，初始时放于t ∞流体中，表面

传热系数为h.

试求：温度场分布。

解：如图3-9所示，建立坐标系，由于其对称性，只研究其41截面的温度分布，截面上的温度分布由下列

导热微分方程和定解条件确定：

)(2222y

x a ?Θ?+?Θ?=?Θ?τ （3-22） 1)0,,(=Θy x

0)

,,(),,(11=?Θ?+Θ=δτλτδx x y x h y （I ）

0)

,,(),,(22=?Θ?+Θ=δτλτδx y y x h x （II ）

0),,(0=?Θ?=x x

y x τ （III ） 0),,(0=?Θ?=y y

y x τ （IV ） 式中： 0

0),,(θθτ=--=Θ∞∞t t t y x t 为无量纲过余温度。 如果无量纲过余温度 ),(τx x Θ与 ),(τy y Θ 分别是处于与方柱体同样定解条件下的厚度分别为 12δ及22δ的无限大平板的分析解，则它们必须满足各自的导热微分方程及定解条件，即：

22x

a x x ?Θ?=?Θ?τ （3-23） 1)0,(=Θx x （V ）

0),(0=?Θ?=x x x

x τ (VI) 0),(),(11=?Θ?+

Θ=δτλτδx x x x x h (VII)

及 22y a y

y

?Θ?=?Θ?τ （3-24）

1)0,(=Θy y

0)

,(0=?Θ?=y y y

y τ 0)

,(),(22=?Θ?+Θ=δτλτδy y y y y h

只要证明：两块无限大平板分析解的乘积就是上述无限长方柱体的分析解，即：

),(),(),,(τττy x y x y x ΘΘ=Θ （3-25）

证明：

首先证明式（3-25）满足导热微分方程（3-22），为此将式（3-25）代入式（3-22）的左右两端得：

左端： τ

τττ?Θ?Θ+?Θ?Θ=?Θ?Θ?=?Θ?x y y x y x )( 右端： )()(22222222y x a y x a y

x x

y ?Θ?Θ+?Θ?Θ=?Θ

?+?Θ

?

左端减去右端得：

ττ?Θ?Θ+?Θ?Θx y y

x －)(2222y x a y x x y ?Θ?Θ+?Θ?Θ =τ?Θ?Θy x (－)22y a y

?Θ?+-?Θ?Θτx y ()22x a x ?Θ?=0 ∴证明),(),(ττy x y x ΘΘ满足微分方程

其次证明：),,(),(),(z y x y x y x Θ=ΘΘττ满足初始条件

根据),(τx x Θ及),(τy y Θ的初始条件1)0,(=Θx x 和1)0,(=Θy y 得：

1)0,()0,(=ΘΘy x y x

∴证明),(),(ττy x y x ΘΘ满足初始条件1)0,,(=Θy x

最后证明：),,(),(),(τττy x y x y x Θ=ΘΘ满足边界条件

将式（3-25）代入边界条件（I ），并注意到式（VII ）的关系得

+ΘΘ),(),(1ττδy y x )

,(τy y Θ1),(δτλ=?Θ?x x x x h =),(τy y Θ[+Θ),(1τδx 1)

,(δτλ=?Θ?x x x x h ]=),(τy y Θ*0=0

同样可以证明它也满足式（3-34）。

再将式（3-25）代入边界条件（III ），并注意到式（VI ）的关系得

0),(=?Θ?x x x

x τ),(τy y Θ=0*),(τy y Θ=0 同理可证明它也满足式（IV ）。

∴证明),(),(ττy x y x ΘΘ满足边界条件

综上可知：),(),(ττy x y x ΘΘ是上述无限长方柱体导热微分方程的解。

结论：

此方法是多维非稳态导热的求乘积解法，此法适用于第一类边界条件，且const t =0时。 同理，对长圆柱体，矩六柱体等二维，三维非稳态导热问题，可以用相应的二个或三个一维问题的解的乘积来表示其温度分布。

p x )],([τΘ——表示无限大平板的解

c r )],([τΘ——表示无限长圆柱体的解

则：

（a ）： =Θ),,(z y x 1)],([p x τΘ2

)],([p y τΘ （b ）： =Θ),,(τx r p x )],([τΘc r )],([τΘ

（c ）： =Θ),,,(τz y x 1)],([p x τΘ2)],([p y τΘ3

)],([p z τΘ 二、乘积解法的适用条件

1、 初始温度为常数，=0t const ；

2、 第一类边界条件，=w t const ；

3、 第三类边界条件，=∞t const 、h=const ；

4、 线性微分方程，且定解条件均为齐次，即乘积解中温度必须以过余温度或无量纲过余温度的形式表示。

说明：对于形状复杂或边界条件复杂，分析解法无能为力，应借助其它的求解的方法， 如①数值解法；②实验模拟法。

§3—5 半无限大物体的非稳态导热

一、半无限大物体的概念

几何上是指从x=0的界面开始可以向正的 x 方向及其他两个坐标（x,y ）方向无限延伸的物体，称半无限大物体。

实际中不存在该物体，但研究物体中非稳态导热的初始阶段，可把实物看为该物体处理。 如：有限厚度的平板，起初有均匀温度，后其侧表面突然受到热扰动，如

（1） 壁温突然升高到一定值并保持不变；

（2） 壁面突然受到恒定的热流量密度加热；

（3） 壁面受到温度恒定的流体的加热或冷却。

当扰动的影响只局限在表面附近，而尚未进入平板内部时，就可视该平板为，“半无限大”物体。

二、第一类边界条件下半无限大物体非稳态导热温度场的分析解

如图3-11所示：已知半无限大物体初始温度均匀为（to ），当 τ=0时，x=0侧表面温度突然升高到w t ，并保持不变，试确定物体内温度随时间的

变化和在时间间隔[0，τ]内的热流量。

解：1、物体内的温度分布

根据半无限大物体的定义，得出其导热微分方程：

22x

t a t ??=??τ （3-26） 初始条件为： τ=0时，0)0,(t x t =

边界条件为： x=0时，w t t =),0(τ

x →∞时，0),(t x t =τ

引入过余温度：=θw t x t -),(τ 则有：

22x

a ??=??θτθ （3-27） τ=0时，w t t x -==00)0,(θθ

x=0时，0),0(=-=w w t t τθ

x →∞时，w t t -=∞0),(τθ

将微分方程22x

a ??=??θτθ分离变量并求解得分析解为： ηπ

θθτηd e t t t t a x w w ?-=--=400022 =erf （τa x

2）=erf η （3-28）

其中：无量纲变量η=

τa x 2；erf η称为误差函数，它随η的变化而变化，由附录表可知：

当η=2时，0θθ=0.9953，就是说当η≥2即τ

a x 2≥2时，该处x 的温度仍认为等于to （无量纲过余温度的变化小于5%），由此得到以下两个重要参数：

① 从几何位置上说，若τa x 4≥，则时刻τ时x 处的温度可认为未发生变化。 所以，对00=t 且厚为2δ的平板，当其一侧温度突然变化到另一恒定温度时，若δτa 4≥，则在τ时刻之前该平板中瞬时温度场的计算可采用半无限大物体模型处理。

② 从时间上看，如果a x 162≤τ，则此时x 处的温度可认为完全不变，所以把a

x 162

视为惰性时间，即当a

x 162

<τ时x 处的温度可认为仍等于0t 。 2、表面上的瞬时热流密度及在[0，τ]时间间隔内放出或吸收的热量：

物体中任意一点的热流密度：

)()(0ηλλerf x

t t x t q w x ??--=??-= )4/(02ττ

πλa x w e a t t --= （3-29） 则，表面上的热流密度为：

τ

πλa t t q w w 0-= （3-30） 在时间[0，τ]内，流过面积A 的总热流流量：

ττ

πλτττd a t t A d q A Q w w ??-==000)(

)(20t t c A w -=λρπ

τ （3-31） 由此可见：

① 半无限大物体在第一类边界条件影响下被加热或冷却时，界面上的瞬时热流量与时间的平方根成反比；

② 在时间[0，τ]内交换的总热量则正比于

λρc 及时间的平方根。 其中：λρc 称为吸热系数，表示物体与其接触的高温物体吸热的能力。

三、半无限大物体概念的适用范围

只适于物体非稳态导热的初始阶段，当物体表面上的热扰动已深入传递到物体内部时，就不再适用，则应采用前述分析方法。

补充：

一、非稳态导热问题求解思路

1、 解一维非稳态导热问题的基本思路

1） 首先，用Bi 检验是否满足集总参数法的条件，若性质属于h 或δ未知，可先假设，然后校核；

2）若不能用集总参数法，可采用分析解法{诺模图法和近似公式法}；

3）若2）， 1）方法均不能求解，则采用数值解法。

2、 多维非稳态导热问题的求解方法

1）是否满足乘积解法的条件；

2）合理将一个多维问题分析成几个一维问题。

二、物体内速度变化的规律

1、 温度变化最慢的点位于物体的体心或形心；

2、 温度变化最快的点位于离物体的体心或形心最远处。

非稳态导热习题

第三章 非稳态导热习题 例3.1一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室内。电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同，均为t f 。电热器假定为均质的固体，密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，内部温度均布。通电时其温度为t 0。试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 [解] 根据题意，电热器内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 电热器以辐射换热方式散失的热量为： 44r f ()A T T σΦ=- （1） 以对流换热方式的热量为： c f ()hA T T Φ=- （2） 电热器断电后无内热源，根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。若只考虑电热器的热力学能 r c d d T cV ρτ -Φ-Φ= （3） 因此，相应的微分方程式为： 44f f d ()()d T A T T hA T T cV σρτ -+-=- （4） 初始条件为： τ=0， t =t 0 （5） 上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 例 3.2 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。 [解] 根据题意，保险丝内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 保险丝表面以对流换热方式散失的热量为： c f ()hA T T Φ=- （1） 保险丝的内热源为： Q 0=IR 2 （2） 式中：I ——保险丝通过的电流，（A ）； R ——保险丝的电阻，Ω。 根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。若只考虑保险丝的热力学能 c 0d d T Q cV ρτ -Φ+= （3）

第三章非稳态导热分析解法

第三章非稳态导热分析解法 本章主要要求： １、重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。 2 、掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3 、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。 许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。 §3—1 非稳态导热的基本概念 一、非稳态导热 1 、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。 2 、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分： 1 2 ）物体的温度随时间而作周期性变化 如图 3-1 所示，设一平壁，初值温度 t 0 ，令其左侧的表面温 度突然升高到 并保持不变，而右侧仍与温度为 的空气接触，试分 析物体的温度场的变化过程。 首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍 保持原来的 t 0 。 如图中曲线 HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范 围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线 HCD 、 HE 、 HF 。 最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线 HG （若 λ=const ，则 HG 是直线）。 由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参 与换热的两个不同阶段。 （ 1 ）第一阶段（右侧面不参与换热） 温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受 t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。 （ 2 ）第二阶段，（右侧面参与换热） 当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受 to 影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。正规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。 2 ）二类非稳态导热的区别：前者存在着有区别的两个不同阶段，而后者不存在。 3 、特点； 非稳态导热过程中，在与热流量方向相垂直的不同截面上热流量不相等，这是非稳态导热区别于稳态导热的一个特点。

传热学传热学--第三章 第三节 一维非稳态导热问题

传热学--第三章第三节一维非稳态导热问题 §3 — 3 一维非稳态导热的分析解 本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应用。如何理解无限大物体，如：当一块平板的长度、宽度>> 厚度时，平板的长度和宽度的边缘向四周的散热对平板内的温度分布影响很少，以至于可以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时，该平板就是一块“无限大”平板。若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好，则热量交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问题。 一、无限大平板的分析解 已知：厚度的无限大平板，初温t0，初始瞬间将其放于温度为的流体中，而且> t0，流体与板面间的表面传热系数为一常数。 试确定在非稳态过程中板内的温度分布。 解：如图3-5 所示，平板两面对称受热，所以其内温度分布以其中心截面为对称面。对 于x 0 的半块平板，其导热微分方程：(0

（边界条件） （边界条件） 对偏微分方程分离变量求解得： （3-10 ） 其中离散值是下列超越方程的根，称为特征值。 其中Bi 是以特征长度为的毕渥数。 由此可见：平板中的无量纲过余温度与三个无量纲数有关：以平板厚度一半为特 征长度的傅立叶数、毕渥数及即：（3-12) 二、非稳态导热的正规状况阶段 1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系 前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对比计算表明，当Fo>0.2 时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于1% ，因此，当Fo>0.2 时，采用以下简化结果：（3-13 ） 其中特征值之值与Bi 有关。 由上式（3-13 ）可知：Fo>0.2 以后平板中任一点的过余温度(x ，τ) 与平板中心的过余温度(0 ，τ)=（τ ）之比为：（3-14 ） 此式反映了非稳态导热过程中一种很重要的物理现象：即当Fo>0.2 以后，虽然(x ，τ) 与（τ ）各自均与τ 有关，但其比值则与τ 无关，而仅取决于几何位置（x/ ）及边界条件（Bi ）。也就是说，初始条件的影响已经消失，无论初始条件分布如何，只要

(20、21)第四章 4.3 非稳态导热

1主要内容本节介绍非稳态导热的分析解法，最后简要介绍导热问题的数值解法。4.3 非稳态导热 4.3非稳态导热 ：温度场随时间变化的导热过程。 2 非稳态导热非稳态导热的类型： （1）周期性非稳态导热： （2）非周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过程，如内 燃机汽缸壁的导热、一年四季大地土壤的导热等。 在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，例如 热处理工件的加热或冷却等。 讨论一维非周期性非稳态导热的分析解法及求解特殊非稳态导热问题的集总参数法。 了解和掌握非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的计算方法。本节主要内容：主要目的： 1.一维非稳态导热问题的分析解3第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。（1）无限大平壁冷却或加热问题的分析解简介 假设：厚度为δ、热导率λ、热扩散率a 为常数，无内热源，初始温度与两侧的流体相同并为t 0。两侧流体温度突然降低为t ∞，并保持不变，平壁表面与流体间对流换热表面传热系数h 为常数。 考虑温度场的对称性，选取 坐标系如图，仅需讨论半个平壁的导热问题。这是一维的非稳态导热问题。41)数学模型：（对称性）引进无量纲过余温度、无 量纲坐标，Fo 是无量纲特征数，称为傅里叶数称为毕渥数 令过余温度 5傅里叶数的物理意义： Fo 为两个时间之比，是非 稳态导热过程的无量纲时间。毕渥数的物理意义：Bi 为物体内部的导热热阻与边界处的对流换热热阻之比。 由无量纲数学模型可知，Θ是Fo 、Bi 、X 三个无量纲参数的函数确定此函数关系是求解该非稳态导热问题的主要任务。2）求解结果：6解的函数形式为无穷级数，式中β1,β2,···，βn 是下面超越 方程 的根 根有无穷多个，是Bi 的函数。无论Bi 取任何值，β1,β2,···，βn 都是 正的递增数列，Θ的解是一个快速 收敛的无穷级数。 2y 由解的函数形式可以看出，Θ确实是Fo 、Bi 、X 三 个无量纲特征数的函数

一维非稳态导热的数值计算

一维非稳态导热的数值计算 一、实验名称 一维非稳态导热的数值计算 二、实验内容 一块无限大平板（如图3所示），其一半厚度为L=0.1m ，初始温度T 0=1000℃，突然将其插入温度T ∞=20℃的流体介质中。平板的导热系数λ=34.89W/m ℃，密度ρ=7800 kg/m 3，比热c=0.712310 J/kg ℃，平板与介质的对流换热系数为h=233W/m 2.℃，求平板内各点的温度分布。 三、实验编程 #include #include #define S 3.14 #define L 10 #define Dx (1.0/L) #define Dy (0.5/L) int main(int argc, char* argv[]) { Int i, j, k; double a = 2/(1+sin(S/L)); double T[L+1][L+1]; for(i=0; i<=L; i++) T[0][i] = T[i][0] = 100; for(i=1; i<=L; i++) T[i][L] = 100 + 400*Dx*i; for(j=1; j<=L-1; j++) T[L][j] = 100 + 800*Dy*j; for(i=1; i<=L-1; i++) T[i][j] = 100;

for(k=0; k<=1000; k++) {for(i=1; i<=L-1; i++) for(j=1; j<=L-1; j++) {T[i][j] = T[i][j] + (a/4)*(T[i+1][j] + T[i][j+1] + T[i-1][j] + T[i][j-1] - 4*T[i][j]); } } printf(" a = %lf\n", a); printf("T[x][y] = ...\n"); for(i=0; i<=L; i++) for(j=0; j<=L; j++) {printf("%.1lf\t", T[i][j]); if(j == L) putchar(10); } return 0; } 四、运行结果

传热学 第3章-非稳态导热分析解法

第三章 非稳态导热分析解法 1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③一维及二维非稳态导热问题。 2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。 许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。 §3—1 非稳态导热的基本概念 一、非稳态导热 1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。 2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分： 1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ 2）物体的温度随时间而作周期性变化 1）物体的温度随时间而趋于恒定值 如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的 表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为 0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。 首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升， 而其余部分仍保持原来的t 0 。 如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温 度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也 逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。 最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定， 如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。 由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面 参与换热与不参与换热的两个不同阶段。 （1）第一阶段（右侧面不参与换热） 温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。 （2）第二阶段，（右侧面参与换热） 当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受to 影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。正规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。

一维非稳态导热的数值计算

传热学C 程序源 二维稳态导热的数值计算 2.1物理问题 一矩形区域，其边长L=W=1，假设区域内无内热源，导热系数为常数，三个边温度为T1=0，一个边温度为T2=1，求该矩形区域内的温度分布。 2.2 数学描述 对上述问题的微分方程及其边界条件为：2222T T 0x y ??+=?? x=0，T=T 1=0 x=1，T=T 1=0 y=0，T=T 1=0 y=1，T=T 2=1 该问题的解析解：112121(1)sin n n n sh y T T n L x n T T n L sh W L ππππ∞=??? ?---????=? ?-????? ??? ∑ 2.3数值离散 2.3.1区域离散 区域离散x 方向总节点数为N ，y 方向总节点数为M ，区域内任一节点用I,j 表示。 2.3.2方程的离散 对于图中所有的内部节点方程可写为：2222,,0i j i j t t x y ??????+= ? ??????? 用I,j 节点的二阶中心差分代替上式中的二阶导数，得： +1,,-1,,+1,,-1222+2+0i j i j i j i j i j i j T T T T T T x y --+= 上式整理成迭代形式：()()22 ,1,-1,,1,-12222+2() 2()i j i j i j i j i j y x T T T T T x y x y ++=++++ (i=2,3……,N-1)，(j=2,3……,M-1) 补充四个边界上的第一类边界条件得：1,1j T T = (j=1,2,3……,M) ,1N j T T = (j=1,2,3……,M) ,1i j T T = (i=1,2,3……,N)

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【最新整理，下载后即可编辑】 第三章 思考题 1. 试说明集中参数法的物理概念及数学处理的特点 答：当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。而内部由于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数， 数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。 2. 在用热电偶测定气流的非稳态温度场时,怎么才能改善热电偶的温度响应特性? 答：要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数 hA cv c ρτ= ,形状 上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流换热。 3. 试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题 答；所谓“无限大”平板，是指其长宽尺度远大于其厚度，从边缘交换的热量可以忽略 不计，当平板两侧换热均匀时，热量只垂直于板面方向流动。如薄板两侧均匀加热或冷却、 炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。

4.什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物 理过程及数学处理上都有些什么特点? 答：非稳态导热过程进行到一定程度,初始温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍 随时间变化,但过余温度的比值已与时间无关，只是几何位置(δ/x)和边界条件(Bi数) 的函数，亦即无量纲温度分布不变，这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。这一阶段的数学处理十分便利，温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。 5.有人认为,当非稳态导热过程经历时间很长时,采用图3-7记算 所得的结果是错误的.理由是：这个图表明,物体中各点的过余温度的比值与几何位置及Bi有关,而与时间无关.但当时间趋于无限大时,物体中各点的温度应趋近流体温度,所以两者是有矛盾的。你是否同意这种看法,说明你的理由。 答：我不同意这种看法，因为随着时间的推移，虽然物体中各点过余温度的比值不变 但各点温度的绝对值在无限接近。这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。 6.试说明Bi数的物理意义。o Bi→及∞ Bi各代表什么样的换热 → 条件?有人认为, ∞ → Bi代表了绝热工况,你是否赞同这一观点,为什么?

非稳态导热例题

“非稳态导热”例题 例题1：一温度为20℃的圆钢，长度为0.3m ，直径为60mm ，在一温度为1250℃的加热炉 内被加热。已知圆钢的导热系数为35 W/(m ?K)，密度为7800kg/m 3，比热容为0.460kJ/(kg ?K)， 加热炉长为6m ，圆钢在其中匀速通过，其表面和炉内烟气间的表面传热系数为100 W/(m 2?K)。现欲将该圆钢加热到850℃，试求该圆钢在加热炉内的通过速度。 解 特征尺寸A V /为 m 0136.0)1060(14.34 13.0)1060(14.33.0)1060(14.3414124133322=???+???????=?+=---d dL L d A V πππ 则毕渥数v Bi 为 05.02 11.01.0039.0350136.0100)/(v =?=<=?==M A V h Bi λ 因此可以采用集总参数法求解。 θθρτ0ln hA cV = 即 s 548.14 1250 850125020ln 100)10460.0(78003=--??=τ 则该圆钢在加热炉内的通过速度为 m /s 0109.014 .5486===τL v 例题2：两块厚度均为30mm 的无限大平板，初始温度为20℃，分别用铜和钢制成。平板 两侧表面的温度突然上升至60℃，计算使两板中心温度均达到56℃时两板所需时间之比。 已知铜和钢的热扩散率分别为610103-?m 2/s 和6 109.12-?m 2/s 。

(125.0==铜 钢钢铜a a ττ) 例题3：无内热源、常物性的二维导热物体在某一瞬时的温度分布为x y t cos 22=。试说明 该导热物体在x =0，y =1处的温度是随时间增加而逐渐升高，还是逐渐降低？ 例题4：一初始温度为20℃的钢板，厚度为10cm ，密度为为7800kg/m 3，比热容为460.5 J/(kg ?K)，导热系数为53.5W/(m ?K)，放置到温度为1200℃的加热炉中加热，钢板与烟气间 的表面传热系数为407 W/(m 2?K)。试求单面加热30min 时该钢板的中心温度以及两面加热 到相同的中心温度需要的时间。 解：(1) 考虑单面加热时，特征尺寸为1m .0cm 10==δ，则毕渥数Bi 为 1.076.05 .531.0407>=?==λδ h Bi 因此不能采用集总参数法求解，可采用图解分析法。钢板中心处无量纲尺寸η为 5.01.01052 =?==-δηx 30min 时的傅里叶数Fo 为 68.21.0)6030()]5.4607800/(5.53[)/(2 22=???= ==δρλδτc a Fo 而毕渥数的倒数1-Bi 为 31.176.011==-Bi 查诺模图可得 93.0 ,21.0m 0m ==θθθθ 则钢板中心的无量纲过余温度0/θθ为 195.093.021.0m 0m f 0f 0=?==--=θθθθθθt t t t 因此钢板中心温度t 为 970)120020(195.01200)(f 00 f =-?+=-+=t t t t θθ℃ (2) 考虑两面加热时，特征尺寸为0.05m cm 2/102/==δ，则毕渥数Bi 为 1.038.05 .5305.0407>=?==λδ h Bi 因此仍不能采用集总参数法求解，可应用图解分析法。此时钢板中心的无量纲过余温度为

第三章非稳态导热分析解法

第三章非稳态导热分析解法 本章主要要求： １、重点内容：①非稳态导热的基本概念及特点； ②集总参数法的基本原理及使用； ③一维及二维非稳态导热问题。 2 、掌握内容：①确定瞬时温度场的方法； ②确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3 、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。 许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。 §3—1 非稳态导热的基本概念 一、非稳态导热 1 、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。 2 、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分： 1 ）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即： 2 ）物体的温度随时间而作周期性变化 如图 3-1 所示，设一平壁，初值温度 t 0 ，令其左侧的表面温 度突然升高到 并保持不变，而右侧仍和温度为 的空气接触，试分 析物体的温度场的变化过程。 首先，物体和高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍 保持原来的 t 0 。 如图中曲线 HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范 围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线 HCD 、 HE 、 HF 。

最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线 HG （若λ=const ，则 HG 是直线）。 由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参和换热和不参 和换热的两个不同阶段。 （ 1 ）第一阶段（右侧面不参和换热） 温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受 t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。 （ 2 ）第二阶段，（右侧面参和换热） 当右侧面参和换热以后，物体中的温度分布不受 to 影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。正规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。 2 ）二类非稳态导热的区别：前者存在着有区别的两个不同阶段，而后者不存在。 3 、特点； 非稳态导热过程中，在和热流量方向相垂直的不同截面上热流量不相等，这是非稳态导热区别于稳态导热的一个特点。 原因：由于在热量传递的路径上，物体各处温度的变化要积聚或消耗能量，所以，在热流量传递的方向上。 二、非稳态导热的数学模型 1 、数学模型 非稳态导热问题的求解规定的 { 初始条件，边界条件 } 下，求解导热微分方程。 2 、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题 在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征和边界条件参数的关系。 已知：平板厚 2 、初温 to 、表面传热系数 h 、平板导热系数，将 其突然置于温度为的流体中冷却。 试分析在以下三种情况：<<1/h 、>>1/h 、=1/h 时，平板中温度场 的变化。 1 ） 1/h<< 因为 1/h 可忽略，当平板突然被冷却时，其表面温度就被冷却到，随着时

ANSYS非稳态热分析及实例详解解析

第7 章非稳态热分析及实例详解 本章向读者介绍非稳态热分析的基本知识，主要包括非稳态热分析的应用、非稳态热分析单元、非稳态热分析的基本步骤。 本章要点 非稳态导热的基本概念 非稳态热分析的应用 非稳态热分析单元 分析的基本步骤 本章案例 钢球非稳态传热过程分析 不同材料金属块水中冷却的非稳态传热过程分析 高温铜导线冷却过程分析

7.1 非稳态热分析概述 物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热。根据物体温度随着时间的推移而变化的特性可以区分为两类非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定的值以及物体的温度随时间而作周期性的变化。无论在自然界还是工程实际问题中，绝大多数传热过程都是非稳态的。许多工程实际问题需要确定物体内部的温度场随时间的变化，或确定其内部温度达到某一限定值所需要的时间。例如：在机器启动、停机及变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏，因此需要确定物体内部的瞬时温度场；钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素。再例如，金属在加热炉内加热时，需要确定它在加热炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。可见，非稳态热分析是有相当大的应用价值的。ANSYS 11.0及其相关的下属产品均支持非稳态的热分析。非稳态热分析确定了温度以及其它随时间变化的热参数。 7.1.1 非稳态热分析特性 瞬态热分析用于计算一个系统的随时间变化的温度场及其它热参数。在工程上一般用瞬态热分析计算温度场，并将之作为热载荷进行应力分析。 瞬态热分析的基本步骤与稳态热分析类似。主要的区别是瞬态热分析中的载荷是随时间变化的。为了表达随时间变化的载荷，首先必须将载荷-时间曲线分为载荷步。对于每一个载荷步，必须定义载荷值及时间值，同时必须选择载荷步为渐变或阶越。 7.1.2 非稳态热分析的控制方程 热储存项的计入将稳态系统变为非稳态系统，计入热储存项的控制方程的矩阵形式如下： []{}[]{}{}C T K T Q += 其中，[]{} C T 为热储存项。 在非稳态分析时，载荷是和时间有关的函数，因此控制方程可表示如下： []{}[]{}(){}C T K T Q t += 若分析为分线性，则各参数除了和时间有关外，还和温度有关。非线性的控制方程可表示如下： (){}(){}(){},C T T K T T Q T t +=???????? 7.1.3 时间积分与时间步长 1、时间积分 从求解方法上来看，稳态分析和非稳态分析之间的差别就是时间积分。利用ANSYS 11.0分析问题时，只要在后续载荷步中将时间积分效果打开，稳态分析即转变为非稳态分析；同样，只要在后续载荷步中将时间积分关闭，非稳态分析也可转变为稳态分析。 2、时间步长 两次求解之间的时间称为时间步，一般来说，时间步越小，计算结果越精确。确定时间步长的方法有两种： （1）指定裕度较大的初始时间步长，然后使用自动时间步长增加时间步。

一维非稳态导热问题的数值解

计算传热学程序报告 题目：一维非稳态导热问题的数值解 ： 学号： 学院：能源与动力工程学院 专业：工程热物理 日期：2014年5月25日

一维非稳态导热问题数值解 求解下列热传导问题： ? ?? ????=====≤≤=??- ??1,10),(,1),0(0)0,()0(01T 22ααL t L T t T x T L x t T x 1.方程离散化 对方程进行控制体积分得到： dxdt t T dxdt x T t t t e w t t t e w ? ?? ??+?+??=??α 1 2 2 ? ? -=??-???+?+e w t t t w e t t t dx T T dt x T x T )(1])()( [α 非稳态项：选取T 随x 阶梯式变化，有 x T T dx T T t p t t p e w t t t ?-=-?+?+? )()( 扩散项：选取一阶导数随时间做显示变化，有 t x T x T dt x T x T t w t e w e t t t ???-??=??-??? ?+])()[(])()[( 进一步取T 随x 呈分段线性变化，有 e P E e x T T x T )()( δ-=?? ， w W P w x T T x T )()(δ-=?? 整理可以得到总的离散方程为： 2 21x T T T t T T t W t P t E t P t t E ?+-=?-?+α 2.计算空间和时间步长 取空间步长为： h=L/N 网格Fourier 数为： 2 2 0x t x t F ??= ??= α（小于0.5时稳定）

非稳态导热习题

第三章 非稳态导热习题 例一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室内。电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同，均为t f 。电热器假定为均质的固体，密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，内部温度均布。通电时其温度为t 0。试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 [解] 根据题意，电热器内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 电热器以辐射换热方式散失的热量为： 44r f ()A T T σΦ=- （1） 以对流换热方式的热量为： c f ()hA T T Φ=- （2） 电热器断电后无内热源，根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。若只考虑电热器的热力学能 r c d d T cV ρτ -Φ-Φ= （3） 因此，相应的微分方程式为： 44f f d ()()d T A T T hA T T cV σρτ -+-=- （4） 初始条件为： τ=0， t =t 0 （5） 上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 例 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。 [解] 根据题意，保险丝内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 保险丝表面以对流换热方式散失的热量为： c f ()hA T T Φ=- （1） 保险丝的内热源为： Q 0=IR 2 （2） 式中：I ——保险丝通过的电流，（A ）； R ——保险丝的电阻，Ω。 根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。若只考虑保险丝的热力学能 c 0d d T Q cV ρτ -Φ+= （3）

传热学上机C程序源答案之二维非稳态导热的数值计算

二维稳态导热的数值计算 2.1物理问题 一矩形区域，其边长L=W=1，假设区域内无内热源，导热系数为常数，三个边温度为T1=0，一个边温度为T2=1，求该矩形区域内的温度分布。 2.2 数学描述 对上述问题的微分方程及其边界条件为：2222T T 0x y ??+=?? x=0，T=T 1=0 x=1，T=T 1=0 y=0，T=T 1=0 y=1，T=T 2=1 该问题的解析解：112121(1)sin n n n sh y T T n L x n T T n L sh W L ππππ∞=??? ?---??? ?=? ?-????? ??? ∑ 2.3数值离散 2.3.1区域离散 区域离散x 方向总节点数为N ，y 方向总节点数为M ，区域内任一节点用I,j 表示。 2.3.2方程的离散 对于图中所有的内部节点方程可写为：2222,,0i j i j t t x y ??????+= ? ??????? 用I,j 节点的二阶中心差分代替上式中的二阶导数，得： +1,,-1,,+1,,-1222+2+0i j i j i j i j i j i j T T T T T T x y --+= 上式整理成迭代形式：()()22 ,1,-1,,1,-12222+2() 2()i j i j i j i j i j y x T T T T T x y x y ++=++++ (i=2,3……,N-1)，(j=2,3……,M-1) 补充四个边界上的第一类边界条件得：1,1j T T = (j=1,2,3……,M) ,1N j T T = (j=1,2,3……,M) ,1i j T T = (i=1,2,3……,N)

非稳态导热习题

第三章 非稳态导热习题 例3.1一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室内。电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同，均为t f 。电热器假定为均质的固体，密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，内部温度均布。通电时其温度为t 0。试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 [解] 根据题意，电热器内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 电热器以辐射换热方式散失的热量为： 44r f ()A T T σΦ=- （1） 以对流换热方式的热量为： c f ()hA T T Φ=- （2） 电热器断电后无内热源，根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。若只考虑电热器的热力学能 r c d d T cV ρτ -Φ-Φ= （3） 因此，相应的微分方程式为： 44f f d ()()d T A T T hA T T cV σρτ -+-=- （4） 初始条件为： τ=0， t =t 0 （5） 上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 例 3.2 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。 [解] 根据题意，保险丝内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 保险丝表面以对流换热方式散失的热量为： c f ()hA T T Φ=- （1） 保险丝的内热源为： Q 0=IR 2 （2） 式中：I ——保险丝通过的电流，（A ）； R ——保险丝的电阻，Ω。 根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。若只考虑保险丝的热力学能 c 0d d T Q cV ρτ -Φ+= （3）

一维非稳态导热问题的数值解

计算传热学程序报告题目：一维非稳态导热问题的数值解姓名： 学号： 学院：能源与动力工程学院 专业：工程热物理 日期：2014年5月25日

一维非稳态导热问题数值解 求解下列热传导问题： 1.方程离散化 对方程进行控制体积分得到： 非稳态项：选取T 随x 阶梯式变化，有 扩散项：选取一阶导数随时间做显示变化，有 进一步取T 随x 呈分段线性变化，有 e P E e x T T x T )()(δ-=?? ， w W P w x T T x T )()(δ-=?? 整理可以得到总的离散方程为： 2.计算空间和时间步长 取空间步长为： h=L/N 网格Fourier 数为： 220x t x t F ??=??= α（小于0.5时稳定） 时间步长为： 3.建立温度矩阵与边界条件 T=ones(N+1,M+1) T(:,1)=Ti (初始条件温度都为0） T(1,:)=To (边界条件x=0处温度为1） T(N+1,:)=Te (边界条件x=L 处温度为0） 4.差分法求解温度 由离散方程可得到： 转化为相应的温度矩阵形式： 5.输入界面 考虑到方程的变量，采用inputdlg 函数设置5个输入变量，对这5个变量设置了默认值，如图1所示。在计算中可以改变不同的数值，得到不同的结果，特别注意稳定条件的临界值是0.5。根据设置的默认值，得到的计算结果如图2所示。 图1 matlab 变量输入界面

图2 默认值的计算结果 6.结果分析 根据上面的分析，给出了程序的输入界面，以及默认值状态下的数值解。可以通过改变不同的输入值，得到需要的分析结果，总结出了下面4点结论： （1）取F =0.48，得到一维非稳态导热结果如下图所示 图2 F0=0.48时一维非稳态导热从图中可以看出，对于长度L=1的细杆，初始时刻t=0时温度为0，边界条件x=0时，T=1,边界条件x=1时，T=0。随着时间的增加，温度从x=0通过导热的形式传递到x=1，不同时刻不同位置杆的温度都不同，并且随着时间的增加，杆的温度也逐渐增加。 （2）取F =0.48，可以得到不同位置的温度响应曲线，如下图所示 图3 F0=0.48时不同x位置处的温度响应图中红色曲线代表x=0.1位置的温度瞬态响应，黑色曲线代表x=0.2位置的温度瞬态响应，蓝色曲线代表x=0.4位置的温度瞬态响应。从图中可以看出，随着x的增加，曲线与x轴的交点值越大，温度开始传递到该位置的所需的时间越长。随着x的增加，温度响应曲线的变化速率越慢，最终的达到的温度也越低。 （3）取F =0.25，得到不同位置的温度响应曲线如下图所示 图4 F0=0.25时不同x位置处的温度响应图中三条曲线分别是x=0.1，x=0.2，x=0.4位置的温度瞬态响应。与图3 的F 0=0.48进行对比，两种情况下的F 值不同，F 值越大表明热扩散系数 的值 越大。从图中可以看出热扩散系数对于导热的影响，F 0=0.25时，与F =0.48相 比较，各位置开始响应时所需的时间较长，而且各位置响应曲线的变化速率较小， 最终的达到的温度也较低，说明了热扩散系数越小，热传导越慢，传递效率越低。 （4）取F 0= 0.51，得到非稳定的数值解如图所示 图5 F0=0.51时一维非稳态导热 图6 F0=0.51时不同x位置处的温度响应 从图中可以看出，对于显示格式的离散方程，并不是所有的F 值都能得到 有意义的解，必须要求F 0<0.5时才能得到稳定的数值解，当F >0.5时，会出现

非稳态传热计算方法及举例

题目 一厚度为0.1m的无限大平壁，两侧均为对流换热边界条件，初始时两侧流体温度与壁内温度一致，t f1=t f2=t0=5℃；已知两侧对流换热系数分别为h1=11 W/m2K、h2=23W/m2K, 壁材料的导热系数 =0.43W/mK，导温系数a=0.3437×10-6 m2/s。如果一侧的环境温度t f1突然升高为50℃并维持不变，计算在其它参数不变的条件下，平壁内温度分布及两侧壁面热流密度随时间的变化规律（用图形表示）。 问题分析 此题为两侧受恒温流体作用,并求其从非稳态传热过程温度场到接近稳态传热的温度场,并算出其热流密度随时间的变化规律。

解法 建立离散方程及求解 将平板分割成如下网格：共计10个网格，11个节点，以恒温流体1处为节点1，恒温流体2处为节点11。 列写节点方程，边界条件皆为恒温流体传热，初始条件为5摄氏度。以此对每个单独时刻进行求解，解出该时刻各节点的温度，并在此解的基础上进一步解出之后各时段的温度解，进行迭代计算，直到满足时间要求为止。 非稳态传热计数器 计算过程使用Excel实现，具体做法是利用Excel进行解方程，并求出温度解。因使用10个网格，故方程类型为10元1次方程组，也就是说每个时刻都有10个方程必须联立求解，使用Excel的行列式计算能很容易地用克拉姆方法解出该方程。之后用该组温度解进行下一次迭代运算，如此反复，直到满足题设要求。 具体的温度求解请查阅非稳态传热计算器.xlsx 文件，为了要求计算器的整洁美观，繁琐的计算过程使用Hide功能隐藏，若需查阅解除Hide指令即可。 使用计算器时仅需输入相关系数，并输入合适的时间步长即可，计算器将按给定的参数计算出平板在之后各个时刻各节点上的温度值。 计算器将列出各节点的温度值随时间变化的计算表格，同时输出三种图形：平板内各节点温度随时间变化规律，平板内各节点温度在某一时刻的变化规律及平板壁面热流密度随时间变化规律。

第三章非稳态导热

第三章 非稳态导热的分析计算 3-1 非稳态导热过程分析 一、非稳态导热过程及其特点 导热系统（物体）内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热过程。在过程的进行中系统内各处的温度是随时间变化的，热流量也是变化的。这反映了传热过程中系统内的能量随时间的改变。我们研究非稳态导热过程的意义在于，工程上和自然界存在着大量的非稳态导热过程，如房屋墙壁内的温度变化、炉墙在加热（冷却）过程中的温度变化、物体在炉内的加热或在环境中冷却等。归纳起来，非稳态导热过程可分为两大类型，其一是周期性的非稳态导热过程，其二是非周期性的非稳态导热过 程，通常指物体（或系统）的加热或冷却过程。这里主要介绍 非周期性的非稳态导热过程。下面以一维非稳态导热为例来分析其过程的主要特征。 今有一无限大平板，突然放入加热炉中加热，平板受炉内 烟气环境的加热作用，其温度就会从平板表面向平板中心随时间逐渐升高，其内能也逐渐增加，同时伴随着热流向平板中心 的传递。图3-1显示了大平板加热过程的温度变化的情况。 从图中可见，当0=τ时平板处于均匀的温度0t t =下,随着时间τ的增加平板温度开始变化，并向板中心发展，而后中心 温度也逐步升高。当∞→τ时平板温度将与环境温度拉平，非 稳态导热过程结束。图中温度分布曲线是用相同的?τ来描绘的。总之，在非稳态导热过程中物体内的温度和热流都是在不断的变化，而且都是一个不断地从非稳态到稳态的导热过程，也是一个能量从不平衡到平衡的过程。 二、加热或冷却过程的两个重要阶段 从图3-1中也可以看出，在平板加热过程的初期，初始温度分布0t t =仍然在影响物体整个的温度分布。只有物体中心的温度开始变化之后(如图中τ>τ2之后)，初始温度分布0t t =的影响才会消失，其后的温度分布就是一条光滑连续的曲线。据此，我们可以把非稳态导热过程分为两个不同的阶段，即： 初始状况阶段――环境的热影响不断向物体内部扩展的过程，也就是物体（或系统）仍然有部分区域受初始温度分布控制的阶段； 正规状况阶段――环境对物体的热影响已经扩展到整个物体内部，且仍然继续作用于物体的过程，也就是物体（或系统）的温度分布不再受初始温度分布影响的阶段。 由于初始状况阶段存在初始温度分布的影响而使物体内的整体温度分布必须用无穷级数来加以描述，而在正规状况阶段，由于初始温度影响的消失，温度分布曲线变为光滑连续的曲线，因而可以用初等函数加以描述，此时只要无穷级数的首项来表示物体内的温度分布。 3 边界条件对导热系统温度分布的影响 从上面的分析不难看出，环境（边界条件）对系统温度分布的影响是很显著的，且在整个过程中都一直在起作用。因此，分析一下非稳态导热过程的边界条件是十分重要的， 图3-1平板加热过程示意图