电大---微积分初步答案完整版
微积分初步形成性考核作业（一）解答
————函数，极限和连续
一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数)
2ln(1
)(-=
x x f 的定义域是 ．
解：0
20)2ln({
>-≠-x x ， 2
3{
>≠x x
所以函数)
2ln(1
)(-=
x x f 的定义域是),3()3,2(+∞?
2．函数x
x f -=
51)(的定义域是 ．
解：05>-x ，5 所以函数x x f -= 51)(的定义域是)5,(-∞ 3．函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= 的定义域是 ． 解：?? ???≥->+≠+0 4020)2ln(2x x x ，??? ? ?≤≤-->-≠2221 x x x 所以函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(-?-- 4．函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f ． 解：72)1(2 +-=-x x x f 6)1(6122 2 +-=++-=x x x 所以=)(x f 62 +x 5．函数???>≤+=0 e 2 )(2x x x x f x ，则=)0(f ． 解：=)0(f 2202 =+ 6．函数x x x f 2)1(2 -=-，则=)(x f ． 解：x x x f 2)1(2-=-1)1(1122 2+-=-+-=x x x ，=)(x f 12 +x 7．函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是 ． 解：因为当01=+x ，即1-=x 时函数无意义 所以函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是1-=x 8．=∞ →x x x 1 sin lim ． 解：=∞ →x x x 1 sin lim 11 1sin lim =∞→x x x 9．若 2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ． 解： 因为24 sin 44sin lim 4sin 4sin lim 00===→→k kx kx x x k kx x x x 所以2=k 10．若23sin lim 0=→kx x x ，则=k ． 解：因为23 33lim 33lim 00===→→k x x sim k kx x sim x x 所以2 3 = k 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 解：因为y e e e e x y x x x x =+=+= -----2 2)()( 所以函数2 e e x x y +=-是偶函数。故应选B 2．设函数x x y sin 2=，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 解：因为y x x x x x y -=-=--=-sin )sin()()(22 所以函数x x y sin 2=是奇函数。故应选A 3．函数2 22)(x x x x f -+=的图形是关于（ ）对称． A ．x y = B ．x 轴 C ．y 轴 D ．坐标原点 解：因为)(222222)()()(x f x x x f x x x x -=+-=+?-=----- 所以函数222)(x x x x f -+=是奇函数 从而函数2 22)(x x x x f -+=的图形是关于坐标原点对称的 因此应选D 4．下列函数中为奇函数是（ ）． A ．x x sin B ．x ln C ．)1ln(2x x ++ D ．2 x x + 解：应选C 5．函数)5ln(4 1 +++=x x y 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 解：?? ?>+≠+0504x x ，???->-≠5 4 x x ，所以应选D 6．函数) 1ln(1 )(-= x x f 的定义域是（ ）． A ． ),1(+∞ B ．),1()1,0(+∞? C ．),2()2,0(+∞? D ．),2()2,1(+∞? 解：?? ?>-≠-010)1ln(x x ，???>≠1 2 x x ， 函数) 1ln(1 )(-= x x f 的定义域是),2()2,1(+∞?，故应选D 7．设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2 x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 解：1)1(2-=+x x f ]2)1)[(1()1)(1(-++=-+=x x x x )2()(-=x x x f ，故应选C 8．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等． A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．2)(x x f =，x x g =)( C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= 解：两个函数相等必须满足①定义域相同②函数表达式相同，所以应选D 9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ ）. A ． x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2x x 解：因为0)1ln(lim 0 =+→x x ，所以当0→x 时，)1ln(x +为无穷小量，所以应选C 10．当=k （ ）时，函数???=≠+=0, 0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- 解：因为1)1(lim )(lim 2 =+=→→x x f x x ，k f =)0( 若函数???=≠+=0,0 ,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则)(lim )0(0 x f f x →=，因此1=k 。故应选B 11．当=k （ ）时，函数???=≠+=0, ,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：3)2(lim )(lim )0(0 =+===→→x x x e x f f k ，所以应选D 12．函数2 33 )(2 +--= x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x x B ．3=x C ．3,2,1===x x x D ．无间断点 解：当2,1==x x 时分母为零，因此2,1==x x 是间断点，故应选A 三、解答题（每小题7分，共56分） ⒈计算极限4 2 3lim 222-+-→x x x x ． 解：423lim 222-+-→x x x x 41 21lim )2)(2()2)(1(lim 22=+-=-+--=→→x x x x x x x x 2．计算极限1 65lim 221--+→x x x x 解：165lim 221--+→x x x x 27 16lim )1)(1()6)(1(lim 11=++=-++-=→→x x x x x x x x 3．3 29lim 223---→x x x x 解：329lim 2 23---→x x x x 23 4613lim )3)(1()3)(3(lim 33==++=-+-+=→→x x x x x x x x 4．计算极限4 58 6lim 224+-+-→x x x x x 解：4586lim 2 24+-+-→x x x x x 3 2 12lim )4)(1()4)(2(lim 44=--=----=→→x x x x x x x x 5．计算极限6 586lim 222+-+-→x x x x x ． 解：6586lim 2 22+-+-→x x x x x 23 4 lim )3)(2()4)(2(lim 22=--=----=→→x x x x x x x x 6．计算极限x x x 1 1lim --→． 解：x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 2 1 1 11lim - =+--=→x x 7．计算极限x x x 4sin 1 1lim --→ 解：x x x 4sin 1 1lim --→) 11(4sin )11)(11(lim 0+-+---=→x x x x x 81 ) 11(44sin 1lim 41)11(4sin lim 00-=+--=+--=→→x x x x x x x x 8．计算极限2 44sin lim -+→x x x ． 解：2 44sin lim -+→x x x ) 24)(24()24(4sin lim ++-+++=→x x x x x 16)24(44sin lim 4)24(4sin lim 00=++=++=→→x x x x x x x x 微积分初步形成性考核作业（二）解答（除选择题） ————导数、微分及应用 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的斜率是 ． 解：x x f 21)(= '，斜率2 1)1(= '=f k 2．曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 解：x e x f =')( ，斜率1)0(0=='=e f k 所以曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是：1+=x y 3．曲线2 1-=x y 在点)1,1(处的切线方程是 ． 解：23 2 1- -='x y ，斜率2 1211 2 3 1- =-='==-=x x x y k 所以曲线2 1 -=x y 在点)1,1(处的切线方程是：)1(2 1 1-- =-x y ，即：032=-+y x 4．=')2 (x ． 解：=')2(x x x x x 22 ln 2 2ln 212 = ? 5．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) = ．解：6)3)(2)(1()0(-=---='y 6．已知 x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ．解：3ln 33)(2x x x f +='，)3(f '3ln 2727+= 7．已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．解：x x f 1)(= '，21)(x x f -='' 8．若x x x f -=e )(，则='')0(f ． 解：x x xe e x f ---=')(，x x x x x xe e xe e e x f -----+-=---=''2)()(， ='')0(f 2- 9．函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 解：0)1(6≥-='x y ，1≥x ，所以函数y x =-312()的单调增加区间是),1[+∞ 10．函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 解：02)(≥='ax x f ，而0>x ，所以0≥a 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 2．满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 3．若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ C ）． A . 2 B . 1 C . -1 D . -2 4．设y x =lg2，则d y =（ B ）． A ． 12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1 d x x 5．．设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ D ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 6．曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是（ C ） ． A ．4 e B ．2 e C ．4 2e D ．2 7．若x x x f cos )(=，则='')(x f （ C ）． A ．x x x sin cos + B ．x x x sin cos - C ．x x x cos sin 2-- D ．x x x cos sin 2+ 8．若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ C ）． A ．2 3cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 9．下列结论中（ B ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D ．若)(x f 在[a ，b ]内恒有0)(<'x f ，则在[a ，b ]内函数是单调下降的. 10．若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的． A ．函数f (x )在点x 0处有定义 B ．A x f x x =→)(lim 0 ，但)(0x f A ≠ C ．函数f (x )在点x 0处连续 D ．函数f (x )在点x 0处可微 11．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 - x 12.下列结论正确的有（ A ）． A ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0 B ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点 C ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点 D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 三、解答题（每小题7分，共56分） ⒈设x x y 1 2e =，求y '． 解：x x x x e xe x e x xe y 11212 12)1 (2-=-+='x e x 1 )12(-= 2．设x x y 3cos 4sin +=，求y '. 解：x x x y sin cos 34cos 42-=' 3．设x y x 1 e 1 + =+，求y '. 解：2 1 11 21x e x y x - += '+ 4．设x x x y cos ln +=，求y '. 解：x x x x x y tan 2 3cos sin 23-=-+= ' 5．设)(x y y =是由方程42 2=-+xy y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边微分：0)(22=+-+xdy ydx ydy xdx x d x y d x x d y y d y 22-=- dx x y x y dy --= 22 6．设)(x y y =是由方程122 2=++xy y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边对122 2=++xy y x 求导，得：0)(222='++'+y x y y y x 0='++'+y x y y y x ，)()(y x y y x +-='+，1-='y dx dx y dy -='= 7．设)(x y y =是由方程4e e 2 =++x x y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边微分，得：02=+++xdx dy xe dx e dx e y y x dx x e e dy xe y x y )2(++-=，dx xe x e e dy y y x 2++-= 8．设1e )cos(=++y y x ，求y d ． 解：两边对1e )cos(=++y y x 求导，得： 0)s i n ()1(='++'+-y e y y x y 0)s i n ()s i n (='++'-+-y e y y x y y x )s i n ()]sin([y x y y x e y +='+- ) s i n () s i n (y x e y x y y +-+= ' dx y x e y x dx y dy y ) sin() sin(+-+='= 微积分初步形成性考核作业（三）解答（填空题除外） ———不定积分，极值应用问题 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．若)(x f 的一个原函数为2 ln x ，则=)(x f 2 ln 2x x x c -+ 。 2．若)(x f 的一个原函数为x x 2e --，则=')(x f 24x e -- 。 3．若?+=c x x x f x e d )(，则=)(x f ()1x x e + ． 4．若?+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f 2c o s 2x ． 5．若c x x x x f +=? ln d )(，则=')(x f 1 x ． 6．若 ?+=c x x x f 2cos d )(，则=')(x f 4c o s 2x - ． 7．=? -x x d e d 2 2 x e dx - ． 8．='? x x d )(sin sin x c + ． 9．若 ?+=c x F x x f )(d )(，则?=-x x f d )32( ()1 232F x c -+ ． 10．若?+=c x F x x f )(d )(，则?=-x x xf d )1(2 ()2112 F x c --+ ． 二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1．下列等式成立的是（ ）． A ． )(d )(d d x f x x f x =? B ．)(d )(x f x x f ='? C ．)(d )(d x f x x f =? D ．)()(d x f x f =? 解：应选A 2．若 c x x x f x +=?22 e d )(，则=)(x f （ ）. A. )1(e 22x x x + B. x x 22 e 2 C. x x 2e 2 D. x x 2e 解：两边同时求导，得：x x e x xe x f 22222)(+==)1(e 22x x x +，所以应选A 3．若)0()(>+ =x x x x f ，则='?x x f d )(（ ）. A. c x x ++ B. c x x ++2 C. c x x ++23 2 2 3 D. c x x ++23 23221 解：应选A 4．以下计算正确的是（ ） A ．3 ln 3d d 3x x x = B ．)1(d 1d 22 x x x +=+ C ． x x x d d = D ．)1 d(d ln x x x = 解：应选A 5．=''? x x f x d )(（ ） A. c x f x f x +-')()( B. c x f x +')( C. c x f x +')(2 12 D. c x f x +'+)()1( 解：=''?x x f x d )(??+-'='-'='c x f x f x dx x f x f x x f xd )()()()()(，所以应选A 6．?-x a x d d 2=（ ）． A ．x a 2- B ．x a a x d ln 22-- C ．x a x d 2- D ．c x a x +-d 2 解：应选C 7．? -x a x d d 2=（ ）． A ．x a 2- B ．x a a x d ln 22-- C ．x a x d 2- D ．c x a x +-d 2 解：x a 2-先积分，再微分，导致x a 2-不变，后面再添上x d 即可，故应选C 8．如果等式?+-=- - C x x f x x 11e d e )(，则=)(x f （ ） A.x 1- B. 21x - C. x 1 D. 21x 解：两边求导，得：2 11 1 )(x e e x f x x ? -=- -，所以21)(x x f -=，故应选B 三、计算题（每小题7分，共35分） 1．?+-x x x x x d sin 33 解：?+-x x x x x d sin 33???+-=xdx dx x dx x sin 13 c x x x +--=c o s 3 2 ln 323 2．x x d )12(10 ? - 解：x x d )12(10 ? -c x x d x +-+?=--= +?1 1010)12(1 10121)12()12(21 c x +-=11)12(221 3．x x x d 1sin 2? 解：x x x d 1sin 2?c x x d x +=-=?1 cos )1(1sin 4．? x x x d 2sin 解：?x x x d 2sin ??--=- =)2cos 2cos (2 12cos 21xdx x x x xd c x x x ++-=2s i n 4 1 2c o s 21 5．? -x xe x d 解：?-x xe x d c e xe dx e xe xde x x x x x +--=--=-=-----? ?)( 四、极值应用题（每小题12分，共24分） 1． 设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。 解：设矩形的一边长为x 厘米，则另一边长为x -60厘米，以x -60厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则 体积V 为： )60(2x x V -=π，即：3260x x V ππ-= 23120x x dx dV ππ-=，令0=dx dV ，得： 0=x （不合题意，舍去），40=x ，这时2060=-x 由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘米时，才能使圆柱体 的体积最大。 2． 欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：设矩形的长为x 米，则矩形的宽为 x 216 米，从而所用建筑材料为： x x L 21632?+=，即：x x L 648 2+= 26482x dx dL -=，令0=dx dL 得：18=x （取正值），这时12216=x 由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用建筑材料最省 五、证明题（本题5分） 函数x e x x f -=)(在（)0,∞-是单调增加的． 证明：因为x e x f -='1)(，当∈x （)0,∞-时，x e x f -='1)(0> 所以函数x e x x f -=)(在（)0,∞-是单调增加的． 微积分初步形成性考核作业（四）解答（选择题除外） ———定积分及应用、微分方程 一、填空题（每小题2分，共20分） 1． .______d )2cos (sin 1 12=-? -x x x x 解： 3 222cos sin d )2cos (sin 10 2112111 12-=-=-=-????---dx x dx x xdx x x x x x 2． .______d )cos 4(22 5=+-?-x x x x π π 解： ???- - -+-=+-22 2 2 5 22 5 cos )4(d )cos 4(π ππ πππxdx dx x x x x x x 2sin 2cos 2202 ===?π πx xdx 3．已知曲线)(x f y =在任意点x 处切线的斜率为x ，且曲线过)5,4(，则该曲线的方程是 。 解：由 c x dx x +=? 2332得所求的曲线方程由c x y +=23 3 2 确定 因为曲线过)5,4(，所以c +?=23 43 2 5，解得：31-=c 因此所求的曲线方程为3 1 3223 -=x y 4．若=+-? -dx x x )235(1 1 3 ． 解： =+-? -dx x x )235(1 1 3442)35(1 1 1 1 1 3==+-???--dx dx dx x x 5．由定积分的几何意义知， x x a a d 0 22? -= 。 解：由定积分的几何意义知，x x a a d 0 22? -就等于圆222a y x =+在第Ⅰ象限的面积，即 圆2 2 2 a y x =+面积的41，因此x x a a d 022?-24 1a π= 6． =+?e 1 2 d )1ln(d d x x x . 解：=+?e 1 2d )1ln(d d x x x 0 7． x x d e 2?∞-= ． 解：x x d e 0 2?∞-0 2020 221lim )2(lim 21lim b x b b x b b x b e x d e dx e -∞→-∞→-∞→==?? 21)1(lim 212=-=-∞→b b e 8．微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 . 解：由y y ='得 y dx dy =，dx y dy =，两边同时积分，得c x y +=ln 因为1)0(=y ，所以c +=01ln ，所以0=c 从而x y =ln ，因此微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x e y = 9．微分方程03=+'y y 的通解为 . 解：03=+'y y ， 03=+y dx dy ，03=+dx y dy ，13ln c x y =+ x c y 3ln 1-=，x c e y 31 -=，即x c e e y 31-?= 所以微分方程03=+'y y 的通解为x ce y 3-= 10．微分方程x y xy y sin 4)(7) 4(3 =+''的阶数为 ． 解：微分方程x y xy y sin 4)(7) 4(3=+''的阶数为4阶 二、单项选择题（每小题2分，共20分） 1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）． A ．y = x 2 + 3 B ．y = x 2 + 4 C ．22 +=x y D ．12 +=x y 2．若 ?+1 0d )2(x k x = 2，则k =（ A ） ． A ．1 B ．-1 C ．0 D ．2 1 3．下列定积分中积分值为0的是（ A ）． A ．x x x d 2 e e 1 1?--- B ．x x x d 2 e e 1 1?--+ C ．x x x d )cos (3?-+ππ D ． x x x d )sin (2?- +π π 4．设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=? a a x x f -d )(（ D ） A ．? -d )(2 a x x f B ．?0 -d )(a x x f C ．?a x x f 0 d )( D ． 0 5． =?x x d sin 22 -π π（ D ） ． A ．0 B ．π C ．2 π D ．2 6．下列无穷积分收敛的是（ B ）． A ． ? +∞ d e x x B ．?+∞ -0 d e x x C ． ? ∞ +1 d 1 x x D ．?∞+1d 1x x 7．下列无穷积分收敛的是（ B ）． A ． ? ∞ +0 d in x x s B ．? ∞ +-0 2d e x x C ． ? ∞ +1 d 1 x x D ．?∞+1d 1x x 8．下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程． A ．y y yx '=+ln 2 B ．x xy y y e 2=+' C ．y y x y e ='+'' D ．x y y x y x ln e sin ='-'' 9．微分方程0='y 的通解为（ C ）． A ．Cx y = B ． C x y += C ．C y = D ．0=y 10．下列微分方程中为可分离变量方程的是（ B ） A. y x x y +=d d ； B. y xy x y +=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x x y += 三、计算题（每小题7分，共56分） 1． x x x d )e 1(e 22 ln 0 +? 解： x x x d )e 1(e 22 ln 0+? 3 19389)1(3 1 )1()1(2 ln 0 3 22 ln 0 =- =+=++=? x x x e e d e 2． x x x d ln 51e 1?+ 解：x x x d ln 51e 1?+??++=+=e e x d x x d x 1 1)ln 51()ln 51(51ln )ln 51( 21 )16(101)ln 51(21511 2=-=+?=e x 3． x xe x d 10 ? 解：x xe x d 10 ?1)1(10 10 10 1 =--=-=-==??e e e e dx e xe xde x x x x 4． ?π 0d 2sin x x x 解：?π0d 2sin x x x ??-==ππ002 cos 2)2(2sin 2x xd x d x x dx x dx x x x ??=--=πππ 0002 cos 2)2cos 2cos (2 42sin 4)2(2cos 40 0===?π π x x d x 5． ? π 20 d sin x x x 解： ? π20 d sin x x x )cos cos (cos 20 2020 ??--=-=π π πxdx x x x xd 1s i n 20 ==π x 6．求微分方程12+=+ 'x x y y 满足初始条件4 7 )1(=y 的特解． 解：微分方程的通解为? +??=-])([)()(c dx e x q e y dx x p dx x p 这里 x x p 1)(= ，1)(2 +=x x q 代入得微分方程的通解为)2 141(12 4c x x x y ++= 将初始条件4 7 )1(=y 代入上式，解得1=c 所以微分方程的特解为)12 141(12 4++=x x x y 7．求微分方程x x x y y 2sin 2=-'的通解。 解：微分方程的通解为? +??=-])([)()(c dx e x q e y dx x p dx x p 这里x x p 1 )(- =，x x x q 2sin 2)(= 代入得微分方程的通解为)2cos (c x x y +-= 四、证明题（本题4分） 证明等式?? +-=-a a a x x f x f x x f 0)]()([)(d d 。 证明： ??? +=--a a a a dx x f dx x f dx x f 0 )()()( 考虑积分? -0 )(a dx x f ，令t x -=，则dt dx -=，从而 ????? -=-=--=--=-a a a a a dx x f dt t f dt t f dt t f dx x f 0 )()()(])[()( 所以 ??? +=--a a a a dx x f dx x f dx x f 0 0)()()( ??? +-=+-= a a a dx x f x f dx x f dx x f 0 )]()([)()( 2015年6月微积分2期末复习提纲 1、 本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接 展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：224x y y +≤，则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D ：9122≤+≤y x ，则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤，将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? ． (判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。 （依题得：010< 一、填空题 1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3) (lim 0=→x x P x ，则=)(x P 2．=-++∞ →))(arcsin(lim 2 x x x x 6 π x x x 3262 3++↑ 3．=?? ? ??-∞ →3 21lim x x x 32 -e 4．设A x x ax x x =-+--→1 4 lim 31，则有=a ，=A 4，－2 5．设x x x x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 2 6．=?+→2 32031 sin sin lim x x x x x 31 7．函数) 2)(1(1+-+=x x x y 的间断点是 1=x 8．为使函数()x x x f tan 1 ?=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 1 9．设函数?????=≠-=00)1(3 x K x x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数???>+≤+=0 10 )(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2 二、单项选择题 1．设0>n x ，且n n x ∞→lim 存在，则n n x ∞ →lim ② ①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→1 11 lim x e x ③ ①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞→- →x x x x x x 1 sin lim ) 1(lim 10 ④ ①e ； ②1e -； ③1e +； ④1 1e -+ 4．()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5．函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，② ①x cos 1- ②2 x x + ③x ④x 2sin 2015年电大专科微积分初步期末考试试题及答案微积分初步考试试题 1、填空题 1(1)函数的定义域是 ( f(x),ln(x,2)x,2x,3答案:且. 12(2)函数的定义域是 ( f(x),，4,xln(x，2) 答案: (,2,,1),(,1,2] 2(3)函数，则 ( f(x),f(x，2),x，4x，7 2 答案: f(x),x，3 3,,xsin，1,x,0x,0k,f(x),(4)若函数在处连续，则 ( ,x ,k,x,0, k,1 答案: 2(5)函数，则 ( f(x),f(x,1),x,2x 2 答案: f(x),x,1 2x,2x,3y,(6)函数的间断点是 ( x，1 x,,1 答案: 1x,limsin (7) ( x,,x 答案:1 xsin4k,lim,2(8)若，则 ( x,0kxsin k,2 答案: (1,2)(9)曲线在点的切斜率是 ( f(x),x，11答案: 2 x(10)曲线(0,1)在点的切线方程是 ( f(x),e y,x，e答案: 3x,(11)已知，则= ( f(3)f(x),x，3 2x,答案: f(x),3x，3ln3,=27( f(3)1，ln3) ,,(12)已知，则= ( f(x),lnxf(x) 11,,,f(x),,答案:，= f(x)2xx ,x,,(13)若，则 ( f(0),f(x),xe ,x,x,,答案: f(x),,2e，xe ,,,2 f(0), 2(14)函数的单调增加区间是 ( yx,,31() 答案: (1,，,) 2(15)函数在区间内单调增加，则应满足 ( a(0,，,)f(x),ax，1a,0答案: 2lnx(16)若的一个原函数为，则 . f(x)f(x), 2答案: x f(x)dx,sin2x，c(17)若，则 ( f(x), 2cos2x答案: cosxdx,______________(18)若 , sinx，c答案: 2,xde,(19) ( , 2,xe，c答案: ,(sinx)dx,(20) ( , sinx，c答案: f(x)dx,F(x)，cf(2x,3)dx,(21)若，则 ( ,, 1答案: F(2x,3)，c2 2(22)若，则 ( f(x)dx,F(x)，cxf(1,x)dx,,, 12答案: ,F(1,x)，c2 12(23) (sinxcos2x,x，x)dx,______.,,1 微积分初步形成性考核作业（一）解答 ————函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是 ． 解：0 20)2ln({ >-≠-x x ， 2 3{ >≠x x 所以函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是),3()3,2(+∞? 2．函数x x f -= 51)(的定义域是 ． 解：05>-x ，5 １ 微积分初步模拟试题一 一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数) 2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：),3()3,2(+∞? ⒉函数1 322+--=x x x y 的间断点是= ． 答案：1-=x ⒊曲线1)(+= x x f 在)1,0(点的斜率是 ． 答案： 21 ⒋若?+=c x x x f 2cos d )(，则)(x f ' ． 答案：x 2cos 4- ⒌微分方程0)(3='+''y y x 的阶数是 ． 答案：2 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 答案：B ⒉若函数x x x f 2sin )(= ，则=→)(lim 0x f x （ ）. A ．2 1 B ．0 C ．1 D ．不存在 答案：A ⒊函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先减后增 D ．先增后减 答案：C ⒋下列无穷积分收敛的是（ ）． A ． ?∞+0d in x x s B ．?∞+-02d e x x C ．?∞ +1d 1x x D ．?∞+1d 1x x 答案：B ⒌微分方程1+='y y 的通解是（ ） ２ A. c x y += 22 1； B. c x y +=2； C.c y x +=e ； D.1e -=x c y 答案：D 三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈ 计算极限1 23lim 221-+-→x x x x ． 解 2112lim )1)(1()2)(1(lim 1 23lim 11221-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⒉ 设x x y cos ln 2 3 +=，求y '. 解 )sin (cos 12321x x x y -+='x x tan 2 321 -= 3．计算不定积分x x x d e 5e ?+ 解 c x x x x x x x ++=++=+??e 52d e 5)e d(5d e 5e 4．计算定积分 ?20d sin πx x x 解 ?20d sin πx x x 1sin d cos cos 202 020==+-=?ππ πx x x x x 四、应用题（本题16分） 用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸 如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24x h = 所以,164)(22x x xh x x S +=+= 2162)(x x x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+?S （元）. 微积分习题集带参考答案 一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4) 2ln(1 )(的定义域是]4,1()1,2(-?--． ⒉若24sin lim 0=→kx x x ，则=k 2 ． ⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ． ⒋ =+?e 1 2 d )1ln(d d x x x 0 ． ⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =． 6函数24)2(2 -+=+x x x f ，则=)(x f 62 -x ． 7.当→x 0时，x x x f 1 sin )(=为无穷小量. 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-． 9. =+-? -x x x d )135(1 1 32． 10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =. 11.函数x x x f 2)1(2 +=+，则=)(x f 12 -x ． 1⒉=∞ →x x x 1 sin lim 1 ． 1⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2 121+= x y ． 1⒋若 ?+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s -． 1⒌微分方程x y xy y cos 4)(7) 5(3 =+''的阶数为 5 ． 16.函数74)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f 32 +x ． 17.若函数???=≠+=0, ,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ． 18.函数2 )1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-． 19. = ? ∞ -dx e x 0 22 1 ． 20.微分方程x y xy y sin 4)(5) 4(3 =+''的阶数为 4 ． 21.设函数54)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f 12 +x ． 22.设函数????? =-≠+=0, 10 ,2sin )(x x k x x x f 在x = 0处连续，则k =1-． 微积分初步复习试题 一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4) 2ln(1 )(的定义域是 ]4,1()1,2(-?-- ． ⒉若24sin lim 0=→kx x x ，则=k 2 ． ⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是 1+=x y ． ⒋ =+?e 12 d )1ln(d d x x x ． ⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ． 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）． A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 ⒉当=k （ C ）时，函数???=≠+=0,0 ,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．函数的极值点一定发生在其驻点上. C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ D ）． A . )cos d(d sin x x x = B. )1 d(d ln x x x = C. )d(d x x a x a = D. )d(2d 1 x x x = ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限238 6lim 222+-+-→x x x x x ． 原式21 4 lim )1)(2()2)(4(lim 22-=--=----=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 3cos ln +=，求y d . 《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a πθπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1 010d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ??1 01 0d ),(d x y x f y 电大《微积分初步》形成性考核作业（一）参考答案 ——函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．()()3,+∞ 2，3 或填{}23x x x >≠且； 2．(),5-∞或填{}5x x <； 3．()(]2,11,2--?-或填{}121x x x -<≤≠-且； 4．26x +； 5．2； 6．21x -； 7.1x =-； 8.1； 9.2； 10. 32 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1.B 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7.C 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A 三、解答题（每小题7分，共56分） 1、1/4; 2、7/2; 3、3/2; 4、2/3; 5、2； 6、-1/2; 7、-1/8; 8/16 《微积分初步》形成性考核作业（二）参考答案 ——导数、微分及应用 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．12 ； 2．10x y -+=； 3．230x y +-=； 4．1 2ln 2 x x -； 5．6-； 6．()271ln3+；7.21x -； 8.2-； 9.()1,+∞； 10. 0a >. 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1.D 2.C 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.C 9.A 10.B 11.B 12.A 三、解答题（每小题7分，共56分） 1．解：()111 2 21221x x x y xe x e x e x ? ?'=+-=- ??? . 2．解：24cos43sin cos y x x x '=-. 3．解：1 2121 x e y x x +'=- +. 4．解：3sin 3tan 2cos 2 x y x x x x '= -=-. 5．解：方程两边同时对x 求微分，得 ()()220 2222xdx ydy xdy ydx x y dx x y dy x y dy dx x y +--=-=--∴= - 1 2019年电大高等数学基础期末考试试题及答案 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)( C.3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g 1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． A. x y = B. x 轴 C. y 轴 D. 坐标原点 .函数2 e e x x y -=-的图形关于（ A ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 下列函数中为奇函数是（A ）． A. x x y -=3 B. x x e e y -+= C. )1ln(+=x y D. x x y sin = 下列函数中为偶函数的是（ D ）． A x x y sin )1(+= B x x y 2= C x x y cos = D )1ln(2x y += 2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12 lim 22 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x 2-2当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x 当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C 1e -x D 2x x .当0→x 时，变量（D ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C x 2 D )1ln(+x 下列变量中，是无穷小量的为（ B ） A ()1sin 0x x → B ()()ln 10x x +→ C ()1 x e x →∞ D.()22 24 x x x -→- 3-1设)(x f 在点x=1处可导，则=--→h f h f h ) 1()21(lim （ D ）． A. )1(f ' B. )1(f '- C. )1(2f ' D. )1(2f '- 2010—2011真题答案 一、 1.答案：14 21sin 2sin 2 x x x x --，易。 学霸解析：()2 1 2 2 4 421(sin )()sin ()sin sin 2sin 2 x x f x t dt x x x x x x x x -''''==-=-? 知识点：原函数求导，易。 2． 答案：1y x =- 学霸解析：22()0y y y xy ''-+= 代入)1,2(，1y '=- 知识点：等式两边同时求导，中。 3. 答案：11(1)(1)1 n n n x n ∞ +=--+∑ 学霸解析：11 (1)ln(1)n n n x x n -∞ =-+=∑ 知识点：对ln(1+x)的应用，中。 4． 答案： 120 (,)y y dy f x y dx -? ? 学霸解析：01, 0x y x ≤≤?? ≤≤?12, 02x y x ≤≤?? ≤≤-? 知识点：x,y 定义域的转换，中。 5．答案：(1cos1)π- 学霸解析：21 22 2 sin()sin (1cos1)D x y dxdy d r rdr πθπ+= =-???? 知识点：二重积分，中。 6．答案：11(ln )21x y c x +=- +- 学霸解析：111 ln 21x c x y +=-+- 11(ln )21x y c x +=-+- 知识点：微分方程求通解，难。 二、 1. 答案：C 学霸解析：绝对收敛：对于级数1n n u ∞=∑,如果级数1n n u ∞=∑收敛的话，则称1 n n u ∞ =∑为绝对收敛。 条件收敛：如果 1 n n u ∞ =∑发散，但 1 n n u ∞ =∑却是收敛的，则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛。 知识点：幂级数收敛性，易。 2． 答案：D 学霸解析：对于A ，2D dxdy =?? 对于B ， 4D dxdy =?? 知识点：二重积分，中。 3． 姓名： 微积分初步 作业1 学 号： 得 分： 教师签名： ————函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数) 2-ln(1)(x x f =的定义域是)∞,3(∪)3,2(+ 2．函数x x f -51)(=的定义域是)5,- 3．函数2 -4) 2ln(1 )(x x x f ++= 的定义域是]2,1-(∪)1-,2-( 4．函数72-)1-(+=x x x f ，则=)(x f 62+x 5．函数>+=0 e ≤2 )(2x x x x f x ，则=)0(f 2 ． 6．函数x x x f 2-)1-(2=，则=)(x f 1-2x 7．函数1 3 -2-2+=x x x y 的间断点是1-=x 8．=x x x 1 sin lim ∞→ 1 ． 9．若2sin 4sin lim 0→=kx x x ，则=k 2 ． 10．若23sin lim 0→=kx x x ，则=k 23 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．设函数2 e e x x y += ，则该函数是（B ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 2．设函数x x y sin 2=，则该函数是（A ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 3．函数2 2 2)(x x x x f +=的图形是关于（D ）对称． A ．x y = B ．x 轴 C ．y 轴 D ．坐标原点 4．下列函数中为奇函数是（ C ）． A ．x x sin B ．x ln C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x + 5．函数)5ln(4 1 +++= x x y 的定义域为（ D ） ． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 6．函数) 1-ln(1 )(x x f = 的定义域是（D ）． A ． )∞,1(+ B ．)∞,1(∪)1,0(+ C ．)∞,2(∪)2,0(+ D ．)∞,2(∪)2,1(+ 7．设1-)1(2x x f =+，则=)(x f （ C ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2-(x x D ．)1-)(2(x x + 8．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等． A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．2)(x x f =，x x g =)( C ．2ln )(x x f =， 9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）. A ．x 1 B ． x x sin C ．)1ln(x + D ．2x x 10．当=k （ B ）时，函数=+= , ≠, 1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1 11．当=k （ D ）时，函数=+= , ≠, 2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. 第十章 无穷级数习题解答 练习 10.1 1. 写出下列级数的一般项: (1) 1 (1) n +- ; (2) 1 1 21 (1)n n n a +-+-; (3) 2 1 n n +; (4) 2 1 n n -+. 2. 用定义判断下列级数的敛散性: (1) 当n 为奇数时, 前n 项和为1; 当为偶数时, 前n 项和为0, 故此级数发散. (2) 前n 项和为ln n , 其极限为+∞, 故此级数发散. (3) 此级数为公比是 1 5 的等比级数, 故此级数收敛. (4) 当1x <时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数收敛; 当1x ≥时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数发散. (5) 前n 项和为 11(1)221n -+, 其极限为12 , 故此级数收敛. 练习 10.2 1. 根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性: (1) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散. (2) 此级数通项的极限为不存在, 故此级数发散 (3) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (4) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (5) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛 (6) 此级数是一个有限数和一个收敛级数的和, 故此级数收敛 (7) 此级数是一个发散级数和一个收敛级数的和, 故此级数发散 2. 若级数 1 n n u ∞ =∑ 收敛, 指出下列哪些级数是一定收敛的, 哪些级数是发散的? 哪些不能确 定? (1) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛 (2) 此级数是由收敛级数删掉有限项后得到, 故此级数收敛 (3) 此级数通项的极限为∞, 故此级数发散 (4) 不一定 (5) 不一定 练习 10.3 1. 用比较判别法判别下列级数的敛散性: (1) 此级数的通项小于 1()2 n , 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛 (2) 此级数的通项小于 2 1 n , 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛 习题10-1 二重积分的概念与性质 1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()D x y d σ+??与3 ()D x y d σ+?? ，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成； （2） ln()D x y d σ+??与2 [ln()]D x y d σ+??，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)， (1,1)，(2,0)； 2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22 sin sin D I x yd σ= ??，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤； （2）22 (49)D I x y d σ= ++?? ，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤ . （3） .D I = ，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤ 解 () ,f x y = Q 2，在D 上(),f x y 的最大值 ()1 04M x y = == ，最小值()11,25m x y ==== 故0.40.5I ≤≤ 习题10-2 二重积分的计算法 1.计算下列二重积分： （1） 22 ()D x y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤； （2） sin D y d y σ??，其中D 是由2 ,y x y x ==所围成的闭区域. 解：sin D y d y σ??210sin 1sin1y y y dy dx y ==-?? 2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1） x y D e d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤ 一、填空题 1. 2. 设P(x)是x 的多项式，且lim 凡门二6 '—= 2, lim — = 3 ,则P(x) = 0 X 7T lim (arcsin(vx 2+x 一 x))= .YT4-X 6A 3 + 2x 2 + 3x t 3. lim 1 一 — .V — 4. x ) 设lim 一 "" 一 * + 4 = A ,则有"= 5. 6. 7. 8. 9. j X — 1 .? “ \ ? 2 sinx 设 / (A ) = xsm — d ----- X X ? 3 .1 L +sin x-sin — lim ------------ ------ - = t 3* 函数v = 一上］一的间断点是 (x-l)(x + 2) 为使函数/(x) = - ? tanx 在点x = 0处连续，应补充左义/(0)= x 3 设函数y = ^- x )x K 则 lim f (x)= X->X %工°在兀=0处连续，则参数K = x = 0 x + a e x +\ 二、单项选择题 1 ?设x n >Q,且lim x 存在,则 lim x HTX n->x @>0 ② no ③=0 2?极限 lim e 7^ = XT I ①8 ②1 10.函数f(x)= < x < 0 在点x = 0处连续，则“= x>0 ④<0 3. 4. ③不存在 lim(1 + x) x + lim xsiii —= -V — ②"： Jx 3 4, -2 ③ €+1: ④』+l y =-——-——-的连续区间是_ (x + lXx + 2) ①(-s,-2)u (- 2,-l)U (- 1，T ③(-oo,-2)U (-2,400) ②［3，T ④ co 厂i)u(_l,+oo) 函数『二二2 耳的不连续点有 ■ X-l .Y+1 ①2个 ②3个 6.下列函数中，?当XT0时，与无穷小量x 相比是髙阶无穷小咼的是. 价 无穷小量的是 ______________ ① l-cosx ?x + X 2 5. ④4个以上 ④ sin 2x __ ■ 疋有 ①，② 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 n x a ε-< 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 n k x a ε+-< 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若l i m n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列 x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证： lim 0,,. 使当时，有n x n x a N n N x a εε→∞ =∴?>?>-< 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞ 不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞2221 11(1)(2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 2 2 2 2 22111112(1) (2) n n n n n n n n n n + +≤+++≤≤=+ 而且 2 1lim 0n n →∞ =，2lim 0n n →∞ =， 所以由夹逼定理，得 微积分习题集带参考答案 2（2），求圆的面积为1时，面积变量S 相对于周长l 的变化率。 解 此时S 是l 的函数 πππ4222 l l S = ?? ? ??=。于是S 对周长l 的变化率为 π2l dl dS =。 当1=S 时π2=l ，此时π π 1 2 = =l dl dS 。 5(2). 设a x y ||=，在0=x 点可导，求α的取值范围。 解 设a x x f ||)(=。当0≤α时，0=x 是函数的间断点，此时函数不可导。只讨论0>α。 考虑左导数 ?? ? ??>=<∞===---+ →1,0111 ,0)0()(lim 1 0αααα a x x x x x f x f ， 考虑右导数 ?????>=-<∞=--=-=----→1 ,0111,)()(0)0()(lim 1 0ααααa x x x x x f x f ， 因此该函数当1>α时在0=x 点可导，导数为0. 6. 设??? ??≥+-<≤+<-=1 ,1)1sin(10,0,1)(x x b x a x x e x f x 。求b a ,使得)(x f 在1,0=x 可导。 解法1 因可导必连续，则 a f x f x ===- →)0(0)(lim 0，则0=a 。这样在1=x 处)(x f 也连续。 此时 110)0()(lim )0(0=-=--='-→-x e x f x f f x x ，1lim 0)0()(lim )0(00==--='+→+→+x x x f x f f x x ， 。 1111)1()(lim )1(1=--=--='- →-x x x f x f f x ，b x x b x f x f f x x =--=--='+→+→+1 ) 1sin(lim 1)1()(lim )1(11。 若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。 解法2 同理可得0=a 。 1lim )'1(lim )0(00==-='- →- →-x x x x e e f ，11lim )'(lim )0(00==+='+ →+→+x x a x f ，则1)0('=f 。 11lim )'(lim )1(11==+='- →- →-x x a x f ，b x b x b f x x =-=+-='+ →+ →+)1cos(lim ]'1)1sin([lim )1(11。 若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。 电大专科2332高等数学基础复习及答案2332高等数学期末复习指导 高等数学基础复习指导注意: 1 本次考试题型分为单选(20=4分*5)填空(20=4分*5)计算题(44=11分*4)应用题(16=16 分*1) 2 复习指导分为3个部分，第一部分配有详细解答，掌握解题方法，第二部分历年试题汇编，熟 悉考试题型;第三部分中央电大今年的模拟真题，应该重点掌握。 3 复印的蓝皮书大家要掌握第5页的样卷和29页的综合练习。 第一部分(详细解答) 一(填空题 x，41(函数的定义域为 xx,,12且。 y,ln(1)x, x，,40,,,x4, ,,x,,10解:且,,,,xx12 x,1,, ,,ln10x,,，，x,,11,, ln(1)x，2(函数的定义域是。 ,,,12xy,24,x x，,10x,,1,, 解:,,,,,12x,,2,,,22x40,,x,, x，23(函数的定义域是。 xx,,,23且y,x,3 xx，,,,202,, 解:,,,xx,,,303,, 22f(x),4(设，则。 xx,，46fxx(2)2，,, 2xt，,2xt,,2解:设，则且原式 fxx(2)2，,, 22ftt()22,,,即, tt,，42，， 2fx(),亦即 xx,，42 4,x,,4(1),0,,xxfx(),x,0k4(若函数在处连续，则= e 。 , ,kx,0,, 第 1 页共 19 页 2332高等数学期末复习指导 函数fx在x=0连续,lim则ffx,0，，，，，，x0, 41,，,4，，,4xxlimlim1limfxxxe,,,,,1，，，，，， xxx,,000, fk(0), ,4？,ke ,xx,05(曲线在处的切线方程为。 yx,,,1ye, ,曲线在点处的切线方程为yyyxx,,, yfx,xy,，，，，，，0000x0 ,x0,解:， ye1,,,,xye,,,01时，，，000x,0x, ， yxyx,,,,,,,,1(0)1 ln(3)x，6. 函数的连续区间为。 y,,,,，,3,1,1,，，，，x，1 初等函数在其定义区间连续。 x，,30ln(3)x，,x,,3x,,1y,且 ,,,，,3,1,1,,,,，，，，,x，1x，,10, 7(曲线在点(1,0)处的切线方程为。 yx,lnyx,,1 1,,yx解:,,,ln1,，，xxx,,,111 x yxyx？,,,,,,，，0111 1dy,fxdx'(ln2)8. 设函数yfx,(ln2)可导，则。 x 1dyydx,'解:,,,fxxdx'(ln2)2' fxdx(ln2)'fxxdx'(ln2)ln2'，，，，,,2x 11fxdx'(ln2),fxxdx'(ln2)2', ，，x2x 习题11-1 对弧长的曲线积分 1.计算下列对弧长的曲线积分： （1） 22 x y L e ds +? ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的 扇形的整个边界； （2） 2x yzds Γ ? ，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、 (1,0,2)、(1,3,2)； （3） 2L y ds ? ，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤. 2.有一段铁丝成半圆形y ，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。 解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ???π==≤≤ ds ad ??= = 依题意(),x y y ρ=，所求质量22 sin 2L M yds a d a π ??= ==?? 习题11-2 对坐标的曲线积分 1.计算下列对坐标的曲线积分： （1） 2 2()L x y dx -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； （2） 22()()L x y dx x y dy x y +--+?，其中L 为圆周222 x y a +=（按逆时针方向绕行）； （3） (1)xdx ydy x y dz Γ +++-? ，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线； （4） dx dy ydz Γ -+? ，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、 (0,1,0)、(0,0,1)； 2.计算 ()()L x y dx y x dy ++-?，其中L 是： （1）抛物线2 y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段； （3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；微积分2期末复习提纲答案
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