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第32届中国数学奥林匹克获奖名单及2017年集训队名单

第32届中国数学奥林匹克获奖名单

一等奖（116人，按省市自治区排列）

编号姓名地区学校

M16001 吴蔚琰安徽合肥一六八

M16002 考图南安徽安师大附中

M16003 徐名宇安徽合肥一中

M16004 吴作凡安徽安师大附中

M16005 周行健北京人大附中

M16006 王阳昇北京北京四中

M16007 陈远洲北京北师大附属实验中学M16008 杨向谦北京人大附中

M16009 夏晨曦北京北师大二附

M16010 谢卓凡北京清华附中

M16011 薛彦钊北京人大附中

M16012 胡宇征北京北京四中

M16013 徐天杨北京北京101中学

M16014 董昕妍北京人大附中

M16015 冯韫禛北京人大附中

M16016 林挺福建福建师范大学附属中学M16017 任秋宇广东华南师大附中

M16018 何天成广东华南师大附中

M16019 戴悦浩广东华南师大附中

M16020 谭健翔广东华南师大附中

M16021 王迩东广东华南师大附中

M16022 程佳文广东深圳中学

M16023 李振广东深圳外国语学校

M16024 张坤隆广东深圳中学

M16025 齐文轩广东深圳中学

M16026 卜辰璟贵州贵阳一中

M16027 顾树锴河北衡水第一中学

M16028 袁铭泽河北衡水第一中学

M16029 卢梓潼河北石家庄二中

M16030 赵振华河南郑州外国语学校

M16031 陈泰杰河南郑州外国语学校

M16032 迟舒乘黑龙江哈尔滨市第三中学

M16033 黄桢黑龙江哈尔滨市第三中学

M16034 姚睿湖北华中师范大学第一附属中学M16035 魏昕湖北武汉二中

M16036 黄楚昊湖北武钢三中

M16037 刘鹏飞湖北武汉二中

M16038 赵子源湖北华中师范大学第一附属中学M16039 徐行知湖北武钢三中

M16040 吴金泽湖北武汉二中

M16041 李弘梓湖北武汉二中

M16042 施奕成湖北华中师范大学第一附属中学M16043 袁睦苏湖北武汉二中

M16044 王子迎湖北武汉二中

M16045 袁昕湖北华中师范大学第一附属中学M16046 陈子瞻湖北湖北省黄冈中学

M16047 詹立宸湖北华中师范大学第一附属中学M16048 严子恒湖北武钢三中

M16049 陈贵显湖北华中师范大学第一附属中学M16050 张騄湖南长沙市长郡中学

M16051 刘哲成湖南长沙市雅礼中学

M16052 仝方舟湖南长沙市长郡中学

M16053 谢添乐湖南长沙市雅礼中学

M16054 尹龙晖湖南长沙市雅礼中学

M16055 黄磊湖南长沙市雅礼中学

M16056 肖煜湖南长沙市长郡中学

M16057 吴雨澄湖南湖南师范大学附属中学M16058 方浩湖南长沙市第一中学

M16059 郭鹏吉林东北师大附中

M16060 丁力煌江苏南京外国语学校

M16061 朱心一江苏南京外国语学校

M16062 高轶寒江苏南京外国语学校

M16063 彭展翔江西高安二中

M16064 刘鸿骏江西江西省吉安市第一中学M16065 孔繁淏辽宁大连二十四中

M16066 孔繁浩辽宁东北育才学校

M16067 孟响辽宁大连24中

M16068 毕梦达辽宁辽宁省实验中学

M16069 韩序舜辽宁大连育明高级中学

M16070 姜霁恒辽宁东北育才学校

M16071 辛正则山东山东省胜利第一中学M16072 王浩然山东山东日照一中

M16073 吕青峰山东烟台一中

M16074 张子洲山西山西大学附属中学

M16075 张入文山西山西大学附属中学

M16076 祁晴山西山西大学附属中学

M16077 张文龙山西康杰中学

M16078 王亦茁陕西西安高新第一中学

M16079 李纪琛陕西西安高新第一中学

M16080 蒋诗琪上海上海市上海中学

M16081 李亚臻上海上海市华东师大二附中M16082 侯喆文上海上海市华东师大二附中M16083 庄子杰上海上海市上海中学

M16084 范峻昊上海上海市上海中学

M16085 张之奕上海上海市上海中学

M16086 李羽航上海复旦大学附属中学

M16087 鲁一逍上海上海市上海中学

M16088 贺炅炀上海上海市上海中学

M16089 马健翔上海上海市华东师大二附中M16090 马致远上海上海市华东师大二附中M16091 朱昦曈上海上海市华东师大二附中M16092 彭淏四川成都七中

M16093 叶添四川成都七中嘉祥外国语学校M16094 蒋佳轩四川成都七中

M16095 李为远四川成都七中

M16096 方一杰四川成都七中嘉祥外国语学校M16097 郭子棋四川成都七中

M16098 石元峰四川成都七中

M16099 程思睿四川成都七中

M16100 赵川喆天津天津市第一中学

M16101 肖逸南浙江杭州二中

M16102 叶奇浙江乐成寄宿中学

M16103 连家睿浙江乐成寄宿中学

M16104 滕丁维浙江乐成寄宿中学

M16105 葛佳迪浙江乐成寄宿中学

M16106 陈柯润浙江乐成寄宿中学

M16107 江元旸浙江宁波市鄞州中学

M16108 吴雨航浙江镇海中学

M16109 贺宇昕浙江镇海中学

M16110 金士雯浙江乐成寄宿中学

M16111 柴劲航浙江蛟川书院

M16112 俞博仁浙江乐成寄宿中学

M16113 李纯浙江镇海中学

M16114 俞志远浙江镇海中学

M16115 冯信钦重庆重庆八中

M16116 赵兰昕重庆重庆八中

二等奖（141人，按省市自治区排列）

编号姓名地区学校

M16117 王踞秋安徽合肥一中

M16118 李世欣安徽安师大附中

M16119 胡杨安徽合肥一中

M16120 冯梓轩北京人大附中

M16121 欧阳铭晖北京人大附中

M16122 魏宇辰北京清华附中

M16123 刘鑫焱北京首师大附中

M16124 孔鼎问北京人大附中

M16125 丘铱可北京清华附中

M16126 魏澜北京人大附中

M16127 王昕阳北京北师大附属实验中学

M16128 高国荃北京北京五中

M16129 郑书恒福建厦门双十中学

M16130 吴炜宏福建厦门一中

M16131 王星瀚甘肃西北师大附中

M16132 林立聪广东华南师大附中

M16133 刘润声广东华南师大附中

M16134 吴天昊广东深圳中学

M16135 文豪广东广东省中山市中山纪念中学M16136 郑含之广东深圳中学

M16137 唐山茖广东华南师大附中

M16138 王浩翔广东深圳中学

M16139 邓海航广东深圳市高级中学

M16140 刘文博广东深圳中学

M16141 叶展宏广西柳州高中

M16142 冯双全贵州贵阳一中

M16143 牛钰涵海南海南中学

M16144 王征翊海南海南中学

M16145 闫顺兴河北衡水第一中学

M16146 杨帅河北唐山一中

M16147 曹烁河北石家庄二中

M16148 闫乙铭河北石家庄二中

M16149 李泽乾河北石家庄二中南校

M16150 郑媛洁河北石家庄二中

M16151 郭彦婷河北邯郸市一中

M16152 王泽昊河南郑州一中

M16153 张斐然河南郑州一中

M16154 潘晓凡河南郑州一中

M16155 喻君钊河南郑州外国语学校

M16156 兰倬铭黑龙江哈尔滨市第三中学M16157 王哲威黑龙江哈师大附中

M16158 李俊博黑龙江哈尔滨市第三中学M16159 刘泓黑龙江哈尔滨市第三中学M16160 杨柳霏湖北武汉二中

M16161 周沐风湖北武汉二中

M16162 周达明湖北武钢三中

M16163 梅峻豪湖北湖北夷陵中学

M16164 李师铨湖南长沙市雅礼中学

M16165 刘麒轩湖南长沙市雅礼中学

M16166 段剑儒湖南长沙市雅礼中学

M16167 肖尧湖南长沙市雅礼中学

M16168 刘予培湖南长沙市长郡中学

M16169 肖澍旸湖南长沙市雅礼中学

M16170 邱添湖南长沙市雅礼中学

M16171 刘恺睿湖南长沙市雅礼中学

M16172 罗文林湖南湖南师范大学附属中学M16173 谢茗远湖南长沙市长郡中学

M16174 江林铮湖南湖南师范大学附属中学

M16175 胡宗庆湖南长沙市第一中学

M16176 初炜康吉林吉大附中

M16177 徐洋吉林东北师大附中

M16178 李濛初吉林吉大附中

M16179 于卓吉林东北师大附中

M16180 刘泽楠吉林东北师大附中

M16181 王佳泓吉林东北师大附中

M16182 吴清玉吉林东北师大附中

M16183 王艺纯吉林吉大附中

M16184 张洗月江苏江苏省天一中学

M16185 王卓然江苏南师附中

M16186 邹汉文江苏南师附中

M16187 乌家宁江苏南京外国语学校

M16188 俞然枫江苏南京树人学校

M16189 高诚江苏无锡市第一中学

M16190 吴逸飞江苏泰州中学

M16191 何家亮江苏苏州中学

M16192 张天越江苏江苏省启东中学

M16193 付伟中江西江西省樟树中学

M16194 张继霖江西江西师大附中

M16195 陈自元江西景德镇二中

M16196 谢宇辉江西鹰潭一中

M16197 符文鑫江西江西师大附中

M16198 肖海尧江西江西省吉安市第一中学M16199 黄柏贺辽宁东北育才学校

M16200 鲍思辰辽宁东北育才学校

M16201 任一诺辽宁大连二十四中学

M16202 康书瑞辽宁大连育明高中

M16203 李昶霖山东烟台一中

M16204 王志伟山东山东省胜利第一中学M16205 乔羽山东莱芜一中

M16206 李颜山东齐河县第一中学

M16207 王庆恺山东莱芜一中

M16208 郭若一山西山西大学附属中学M16209 侯雨廷山西山西大学附属中学M16210 李震之山西山西省太原市第五中学M16211 王泽宇陕西西工大附中

M16212 赵沁涵陕西西安高新第一中学

M16213 刘洪禹陕西西工大附中

M16214 陈煜陕西西安交大附中

M16215 张可儿陕西西安高新第一中学

M16216 乔丹上海上海市上海中学

M16217 陆致远上海上海市上海中学

M16218 蒋天泽上海上海市市北初级中学M16219 金及凯上海上海市市北初级中学M16220 李肇基上海上海市上海中学

M16221 胡灏远上海上海市华东师大二附中M16222 张若桐上海上海市七宝中学

M16223 马啸阳上海上海市上海中学

M16224 韩笑上海上海市上海中学

M16225 万丰诚上海上海市上海中学

M16226 卢睿四川成都七中

M16227 宣涵潇四川成都七中

M16228 彭云剑四川成都七中

M16229 姚舜天四川成都七中

M16230 陈博洋四川成都七中嘉祥外国语学校M16231 黄轶之四川成都七中

M16232 吕昊珉四川绵阳中学

M16233 罗涵雨四川成都七中

M16234 吴重霖天津耀华中学

M16235 尹嘉晖天津耀华中学

M16236 刘梓辰天津天津市南开中学

M16237 杨溢诚天津天津市第一中学

M16238 韩晓峥天津耀华中学

M16239 王首樵天津耀华中学

M16240 王天祺天津天津市南开中学

M16241 李明远天津天津市南开中学

M16242 解尧平天津天津实验中学

M16243 陈正杰新疆乌鲁木齐市第一中学M16244 陈致远云南云南师范大学附属中学M16245 高敏博云南云南师范大学附属中学M16246 李保罗浙江乐成寄宿中学

M16247 聂涵韬浙江镇海中学

M16248 应铖阳浙江蛟川书院

M16249 华奕轩浙江杭州二中

M16250 何旭峥浙江衢州二中

M16251 张诚彪浙江杭州二中

M16252 赵艺涵重庆重庆巴蜀中学

M16253 宋铭源重庆重庆巴蜀中学

M16254 叶安宁重庆重庆巴蜀中学

M16255 聂扬重庆重庆巴蜀中学

M16256 杨埔重庆重庆南开中学

M16257 李函阳重庆重庆南开中学

三等奖（106人，按省市自治区排列）

编号姓名地区学校

M16258 钱伟康安徽安师大附中

M16259 承君阳安徽安师大附中

M16260 王凡安徽芜湖一中

M16261 初佳慧北京北师大附属实验中学

M16262 王匡云福建福州一中

M16263 俞宸福建福建省莆田第一中学

M16264 王腾勇福建厦门双十中学

M16265 柯志发福建厦门大学附属实验中学

M16266 陈昶侃福建福建省莆田第一中学

M16267 顾炜东福建福建省泉州市第七中学

M16268 詹俊宁福建福建省莆田第一中学

M16269 肖智文甘肃甘肃省兰州第一中学

M16270 袁梓萌甘肃西北师大附中

M16271 刘瑾哲甘肃甘肃省兰州第一中学

M16272 蒋博文甘肃甘肃省兰州第一中学

M16273 蒋博文广西广西师范大学附属外国语学校M16274 陈俊麒广西南宁三中

M16275 田路广西广西师范大学附属外国语学校M16276 丁佩雪贵州贵阳一中

M16277 申月洋贵州贵阳一中

M16278 傅东东海南海口中学

M16279 王兴铃海南海南华侨中学

M16280 郭凌月河北邯郸市一中

M16281 李淳一河北石家庄二中

M16282 刘泽霖河南郑州外国语学校

M16283 唐博睿河南郑州一中

M16284 王泽植河南郑州外国语学校

M16285 郑煜衡河南郑州一中

M16286 王健铭黑龙江哈师大附中

M16287 苏博黑龙江哈尔滨市第三中学

M16288 王鼎黑龙江哈师大附中

M16289 张睿桐湖北武汉外国语学校

M16290 周家梁湖北武钢三中

M16291 陈芷芮湖北武汉二中

M16292 孙鸿儒湖北华中师范大学第一附属中学M16293 王逸泽湖南长沙市雅礼中学

M16294 曹一凡湖南湖南师范大学附属中学M16295 胡东健湖南长沙市雅礼中学

M16296 夏添湖南长沙市雅礼中学

M16297 孙汉存吉林东北师大附中

M16298 徐靖博吉林吉林一中

M16299 刘坤瓒吉林东北师大附中

M16300 董勃言吉林吉林一中

M16301 谭诚吉林东北师大附中

M16302 朱俊泽吉林吉大附中

M16303 陈天睿江苏江苏省盐城中学

M16304 施彧江苏江苏省天一中学

M16305 杨元江苏江苏省扬州中学

M16306 陆苏扬江苏南京外国语学校

M16307 胡亚建江西鹰潭一中

M16308 黄沛铖江西江西省余江一中

M16309 钟涵江西江西省吉安市第一中学M16310 赵昀昇江西南昌大学附属中学

M16311 寇一雯辽宁东北育才学校

M16312 张听海辽宁东北育才学校

M16313 郭苑珩辽宁葫芦岛市第一高级中学M16314 赵一阳辽宁东北育才学校

M16315 韩炎均辽宁东北育才学校

M16316 王渤辽宁大连24中

M16317 郑清源内蒙古呼和浩特市第二中M16318 李怡德内蒙古鄂尔多斯市一中

M16319 陈亚鑫内蒙古鄂尔多斯市一中

M16320 张羽内蒙古赤峰市二中

M16321 郎一凡宁夏银川一中

M16322 刘晰鸣宁夏银川一中

M16323 杨舜尧宁夏吴忠中学

M16324 冯捷宁夏银川一中

M16325 王智旸青海师大附中

M16326 刘路平山东山东省胜利第一中学M16327 刘雨佳陕西西安铁一中学

M16328 高旖泽陕西西工大附中

M16329 申文旭陕西西安铁一中学

M16330 张淼陕西西安铁一中学

M16331 祁皓琛陕西西工大附中

M16332 周博文上海上海市上海中学

M16333 陈绪高四川成都七中

M16334 李圆直四川成都七中

M16335 周川四川遂宁市安居育才中学M16336 冉本立四川绵阳东辰学校

M16337 张乐四川成都七中

M16338 陈琦元四川绵阳中学

M16339 张轩恺四川成都七中

M16340 刘旭铠四川绵阳东辰学校

M16341 李翼龙天津耀华中学

M16342 蔡雨雷西藏拉萨市北京中学

M16343 周鑫西藏林芝市第一中学

M16344 陈祺云西藏拉萨中学

M16345 李壮壮西藏林芝市第一中学

M16346 杨继钊西藏西藏民族大学附属中学M16347 杨浩然新疆乌鲁木齐市第七十中学M16348 王子健新疆乌鲁木齐市第一中学M16349 蒋晓雅新疆乌鲁木齐市第一中学M16350 姚瑞凌新疆新疆兵团第二中学M16351 李筱航云南云南师范大学附属中学M16352 梁翥云南云南师范大学附属中学M16353 汪宇晨浙江衢州二中

M16354 金慕晗浙江蛟川书院M16355 方彦哲浙江镇海中学M16356 周杭琪浙江杭州二中M16357 王思迦重庆重庆八中M16358 李卓勋重庆重庆南开中学M16359 谢飞扬重庆重庆南开中学M16360 杨芯重庆重庆南开中学M16361 周振宇重庆重庆巴蜀中学M16362 陈金海重庆重庆巴蜀中学M16363 崔郝好重庆重庆巴蜀中学

2017年中国数学奥林匹克国家集训队名单

姓名地区学校

吴蔚琰安徽合肥一六八

周行健北京人大附中

王阳昇北京北京四中

陈远洲北京北师大附属实验中学

杨向谦北京人大附中

夏晨曦北京北师大二附

谢卓凡北京清华附中

薛彦钊北京人大附中

胡宇征北京北京四中

林挺福建福建师范大学附属中学任秋宇广东华南师大附中

何天成广东华南师大附中

卜辰璟贵州贵阳一中

顾树锴河北衡水第一中学

赵振华河南郑州外国语学校

迟舒乘黑龙江哈尔滨市第三中学

姚睿湖北华中师范大学第一附属中学魏昕湖北武汉二中

黄楚昊湖北武钢三中

刘鹏飞湖北武汉二中

赵子源湖北华中师范大学第一附属中学徐行知湖北武钢三中

吴金泽湖北武汉二中

张騄湖南长沙市长郡中学

刘哲成湖南长沙市雅礼中学

仝方舟湖南长沙市长郡中学

谢添乐湖南长沙市雅礼中学

尹龙晖湖南长沙市雅礼中学

丁力煌江苏南京外国语学校

朱心一江苏南京外国语学校

高轶寒江苏南京外国语学校

彭展翔江西高安二中

孔繁淏辽宁大连二十四中

孔繁浩辽宁东北育才学校

孟响辽宁大连24中

毕梦达辽宁辽宁省实验中学

韩序舜辽宁大连育明高级中学

辛正则山东山东省胜利第一中学王浩然山东山东日照一中

张子洲山西山西大学附属中学

蒋诗琪上海上海市上海中学

李亚臻上海上海市华东师大二附中侯喆文上海上海市华东师大二附中庄子杰上海上海市上海中学

范峻昊上海上海市上海中学

张之奕上海上海市上海中学

李羽航上海复旦大学附属中学

鲁一逍上海上海市上海中学

彭淏四川成都七中

叶添四川成都七中嘉祥外国语学校蒋佳轩四川成都七中

李为远四川成都七中

肖逸南浙江杭州二中

叶奇浙江乐成寄宿中学

连家睿浙江乐成寄宿中学

滕丁维浙江乐成寄宿中学

葛佳迪浙江乐成寄宿中学

陈柯润浙江乐成寄宿中学

江元旸浙江宁波市鄞州中学

吴雨航浙江镇海中学

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ．〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?；〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论．解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====，又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠，由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠，因此图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠，因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠，故 EQM MRF ???，因此 EM ＝FM ，同理可得 EN ＝FN ，因此 EM FN EN FM ?=?．〔2〕答案是否定的．当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下：如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B

因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =．因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠，即NSE EQM ∠=∠，因此NSE ?～EQM ?，故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =，因此EN FN EM FM =，从而EM FN EN FM ?=?． C B

第32届中国数学奥林匹克获奖名单及2017年集训队名单

第32届中国数学奥林匹克获奖名单一等奖（116人，按省市自治区排列）编号姓名地区学校 M16001 吴蔚琰安徽合肥一六八 M16002 考图南安徽安师大附中 M16003 徐名宇安徽合肥一中 M16004 吴作凡安徽安师大附中 M16005 周行健北京人大附中 M16006 王阳昇北京北京四中 M16007 陈远洲北京北师大附属实验中学M16008 杨向谦北京人大附中 M16009 夏晨曦北京北师大二附 M16010 谢卓凡北京清华附中 M16011 薛彦钊北京人大附中 M16012 胡宇征北京北京四中 M16013 徐天杨北京北京101中学 M16014 董昕妍北京人大附中 M16015 冯韫禛北京人大附中 M16016 林挺福建福建师范大学附属中学M16017 任秋宇广东华南师大附中 M16018 何天成广东华南师大附中 M16019 戴悦浩广东华南师大附中 M16020 谭健翔广东华南师大附中 M16021 王迩东广东华南师大附中 M16022 程佳文广东深圳中学 M16023 李振广东深圳外国语学校 M16024 张坤隆广东深圳中学 M16025 齐文轩广东深圳中学 M16026 卜辰璟贵州贵阳一中 M16027 顾树锴河北衡水第一中学 M16028 袁铭泽河北衡水第一中学 M16029 卢梓潼河北石家庄二中 M16030 赵振华河南郑州外国语学校 M16031 陈泰杰河南郑州外国语学校

M16032 迟舒乘黑龙江哈尔滨市第三中学 M16033 黄桢黑龙江哈尔滨市第三中学 M16034 姚睿湖北华中师范大学第一附属中学M16035 魏昕湖北武汉二中 M16036 黄楚昊湖北武钢三中 M16037 刘鹏飞湖北武汉二中 M16038 赵子源湖北华中师范大学第一附属中学M16039 徐行知湖北武钢三中 M16040 吴金泽湖北武汉二中 M16041 李弘梓湖北武汉二中 M16042 施奕成湖北华中师范大学第一附属中学M16043 袁睦苏湖北武汉二中 M16044 王子迎湖北武汉二中 M16045 袁昕湖北华中师范大学第一附属中学M16046 陈子瞻湖北湖北省黄冈中学 M16047 詹立宸湖北华中师范大学第一附属中学M16048 严子恒湖北武钢三中 M16049 陈贵显湖北华中师范大学第一附属中学M16050 张騄湖南长沙市长郡中学 M16051 刘哲成湖南长沙市雅礼中学 M16052 仝方舟湖南长沙市长郡中学 M16053 谢添乐湖南长沙市雅礼中学 M16054 尹龙晖湖南长沙市雅礼中学 M16055 黄磊湖南长沙市雅礼中学 M16056 肖煜湖南长沙市长郡中学 M16057 吴雨澄湖南湖南师范大学附属中学M16058 方浩湖南长沙市第一中学 M16059 郭鹏吉林东北师大附中 M16060 丁力煌江苏南京外国语学校 M16061 朱心一江苏南京外国语学校 M16062 高轶寒江苏南京外国语学校 M16063 彭展翔江西高安二中 M16064 刘鸿骏江西江西省吉安市第一中学M16065 孔繁淏辽宁大连二十四中 M16066 孔繁浩辽宁东北育才学校 M16067 孟响辽宁大连24中 M16068 毕梦达辽宁辽宁省实验中学

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题第一天 1. 如图1，在圆内接ABC 中，A ∠为最大角，不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ，1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵，满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明：对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a ：（1）对每个正整数i ，有i i a M >；（2）当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ .

第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ，求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。

参考答案第一天 1. 如图2，联结EP 、BE 、BP 、CD 。分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠，X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ，这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行，既不改变题设也不改变结论。同样，不妨设12p y y y <<< 。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =，不妨设122a =。否则，将整个数表关于主对

中国数学奥林匹克(CMO)试题和详细解答word版

2009中国数学奥林匹克解答一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ．（1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?；（2）若 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论．解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，则 11 ,22 EQ OB RM MQ OC RF ====，又OQMR 是平行四边形，所以 OQM ORM ∠=∠，由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以 ABD ACD ∠=∠，于是图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠，所以 E Q M E Q O O Q M F R O O R M ∠=∠+∠=∠+∠=∠，故 E Q M M R F ???，所以 EM ＝FM ，同理可得 EN ＝FN ，所以 E M F N E N F M ?=?．（2）答案是否定的．当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有 EM FN EN FM ?=?，证明如下：如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则 11 ,22 NS OD EQ OB ==，所以 N S O D E Q O B =． ① C B

又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，所以 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，所以 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =．因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠，即NSE EQM ∠=∠，所以NSE ?～EQM ?，故 EN SE OA EM QM OC ==（由②）．同理可得， FN OA FM OC =，所以EN FN EM FM =，从而EM FN EN FM ?=?． C B

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证：（1）1，2，…，17都是好数；（2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？

8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

2013中国数学奥林匹克成绩

2013中国数学奥林匹克成绩名次姓名性别学校总分1张灵夫男四川绵阳中学126 2宋杰傲男上海中学126 3刘宇韬男上海中学126 4肖非依男华中师范大学一附中126 5夏剑桥男郑州外国语学校126 6陈嘉杰男华南师范大学附属中学126 7高奕博男人大附中126 8胥晓宇男人大附中126 9柳何园男上海中学123 10杨赛超男石家庄二中南校123 11孟涛男北京四中123 12刘驰洲男乐清市乐成公立寄宿学校120 13李大为男复旦大学附属中学120 14郝晨杰男江苏省启东中学120 15马玉聪男武汉二中120 16余张逸航男华中师范大学一附中120 17王翔男深圳中学120 18刘潇男乐清市乐成公立寄宿学校117 19宋一凡男石家庄二中117 20饶家鼎男深圳市第三高级中学117 21段柏延男人大附中117 22陈凯文男鄞州中学114 23顾超男格致中学114 24沈澈男人大附中114 25金辉男镇海中学111 26涂瀚宇男四川南充高中108 27李辰星男郑州一中108 28周韫坤男深圳中学108 29陈成男镇海中学105 30朱晶泽男华东师范大学第二附属中学105 31邓杨肯迪男湖南师大附中105 32廖宇轩男郑州外国语学校105 33任卓涵男郑州一中105 34李爽男育才中学105 35高继杨男上海华育中学102 36李笑男湖南师大附中102 37颜公望男武汉六中102 38黄开男华中师范大学一附中102 39田方泽男中山纪念中学102 40占玮男合肥一中102 41黄迪男四川自贡蜀光中学99 42杨卓熠男成都七中99 43杨承业男成都七中99 44丁允梓男上海中学99

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克（2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点，则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

中国数学奥林匹克(cmo)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CM Ｏ）试题第一天 1. 如图1,在圆内接ABC 中,A ∠为最大角，不含点A 的弧BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为 2O ,1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵,满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤=、。允许对一个矩阵作如下操作:选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上１或同时减去１。若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵"。求好矩阵A 的个数. 3.证明:对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,, a a : （1）对每个正整数i ,有i i a M >；（2）当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈-使得 1122m m n b a b a b a =+++.

第二天 4．设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x ++ +=的非负实数12,,,n x x x ,求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤=∑的最大值． 5．设n 为无平方因子的正偶数,k 为整数,p 为质数，满足 |p p <2,|()n p n k +。证明:n 可以表示为ab bc ca ++，其中,,,a b c 为互不相同的正整数。６．求满足下面条件的最小正整数k ：对集合{1,2,,2012}S =的任意一个k 元子集A ,都存在S 中的三个互不相同的元素a 、b 、c ，使得a b +、b c +、c a +均在集合A 中.

第五届中国数学奥林匹克 (1990年)

第五届中国数学奥林匹克(1990年) 1.如下图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，圆O1过A、B且与边CD相切于P，圆O2过C，D且与边AB相切于Q，圆O1与O2相交于 E、F。求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD。 2.设x是一个自然数，若一串自然数x0=1,x2, ... , x n=x满足x i-10有定义，且满足条件： i.对任何x、y≧0，f(x)f(y)≦x2 f(x/2) +y2 f(y/x)； ii.存在常数M>0，当0≦x≦1时，| f(x) | ≦M。求证：f(x)≦x2。 4.设a是给定的正整数，A和B是两个实数，试确定方程组： x2 +y2 +z2 =(13a)2，x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3 有整数解的充份必要条件(用A、B的关系式表示，并予以证明)。 5.设X是一个有限集合，法则f使的X的每一个偶子集E(偶数个元素组成的子集)都对应一个实数f(E)，满足条件：

a.存在一个偶子集D，使得f(D)>1990； b.对于X的任意两个示相交的偶子集A、B，有f(A∪ B)=f(A)+f(B)-1990。求证：存在X的子集P、Q，满足 iii.P∩Q是空集，P∪Q=X； iv.对P的任何非空偶子集S，有f(S)>1990 v.对Q的任何偶子集T，有f(T)≦1990。 6.凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分图。求证：当且仅当3|n时，存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点出发，经过图中各线段恰一次，最后回到出发点)。

2017年第13届中国北方数学奥林匹克试题及解析

B B 第13届中国北方数学奥林匹克试题及解析（提高班） 1.已知数列{}n a 满足()3 1221211 ,,2,,k k k n n n a e a e e a a a n n Z k R -++-++===≥∈∈，求2017 1 i i a =∏ 解：对12211k k k n n n e a a a -++-=两边同时取对数得 ()()()()1 1 11 12l n l n 2l n 1l n 21l n 21l n n n n n n n k k a a k a a k a k a +----++=+?+=++-+ 设()()111ln 222n n n n n b a b k b kb n +-=+?=+-≥ ()()11222n n n n b b k b b n +-?-=-≥ 又21 1121ln 1ln 2,1ln 2n n n n b a e b a a e -=+=+==+=?= 记()2017 2017 201820191 1 21i s i i i S a e e -===-?==∑∏ 2.在ABC ?中，D 为BC 的中点，,E F 分别为,AB AC 上的点，且DE DF =，证明：AE AF BE CF EDF BAC +=+?∠=∠ 证明：如图，取,AB AC 的中点,M N ，延长DM 至点P ，使得MP MA = 联结,,EP MN DN 一方面，若AE AF BE CF EM FN +=+?= 则由,PME MAN DNF MP MA DN ∠=∠=∠== 所以：PME DNF ??≌ 所以：,PE DF DE NDF MPE PDE ==∠=∠=∠ 所以：EDF MND BAC ∠=∠=∠ 又因为：若EDF BAC MDE NDF ∠=∠?∠=∠ 由正弦定理得sin sin sin sin EM DE DF FN MDE DME DNF NDF ===∠∠∠∠ 所以：EM FN AE AF BE CF =?+=+

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

中国数学奥林匹克试题及解答

一、实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑．证明只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可．记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ，把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ．由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑，所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑．二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两

第五届中国女子数学奥林匹克试题

第五届中国女子数学奥林匹克试题第一天 2006年8月8日下午15：30——19：30 乌鲁木齐中国在国际数学奥林匹克竞赛中，连续多年取得很好的成绩，这项竞赛是高中程度，不包括微积分，但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的，因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试，竞赛胜利者也未必是将来的数学家，这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的；匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身一、设a ＞0，函数 f : （0，＋∞） → R 满足f （a ）＝1．如果对任意正实数x ，y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ，①求证： f （x ）为常数．证明：在①中令x ＝y ＝1，得 f 2（1）＋f 2（a ）＝2 f （1），（f （1）－1）2 ＝0， ∴ f （1）＝1。在①中令y ＝1，得 f （x ）f （1）＋f （a x ）f （a ）＝2 f （x ）， f （x ）＝f （ a x ），x ＞0。 ② 在①中取y ＝a x ，得 f （x ）f （a x ）＋f （a x ）f （x ）＝2 f （a ）， f （x ）f （ a x ）＝1。 ③ 由②，③得：f 2（x ）＝1，x ＞0。在①中取x ＝y ，得 f 2 ）＋f 2 ）＝2 f （t ）， ∴ f （t ）＞0。故f （x ）＝1，x ＞0。二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点．△OAD ，△OBC 的外接圆交于O ，M 两点，直线 OM 分别交△OAB ，△OCD 的外接圆于T ，S 两点．求证：M 是线段TS 的中点．证法1：如图，连接BT ，CS ，MA ，MB ，MC ，MD 。 ∵ ∠BTO ＝∠BAO ，∠BCO ＝∠BMO ，

历届女子数学奥林匹克试题

目录 2002年女子数学奥林匹克 (1) 2003年女子数学奥林匹克 (3) 2004年女子数学奥林匹克 (5) 2005年女子数学奥林匹克 (7) 2006年女子数学奥林匹克 (9) 2007年女子数学奥林匹克 (11) 2008年女子数学奥林匹克 (13) 2009年女子数学奥林匹克 (16) 2010年女子数学奥林匹克 (19) 2011年女子数学奥林匹克 (21) 2012年女子数学奥林匹克 (24)

2002年女子数学奥林匹克 1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+200 2. 2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次. （1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数. 3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式 k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2) 4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC. 5.设P1，P2，?，P n(n≥2)是1，2，?，n的任意一个排列.求证： 1P 1+P2+1P2+P3+?+1P n?2+P n?1+1P n?1+P n>n?1n+2. 6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x?y. 7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半. 8.设A1，A2，?，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，?，A8在该直线上的摄影分别是

中国女子数学奥林匹克(CGMO)第10届(2011)解答

2011女子数学奥林匹克 2011年8月1日上午8:00 ~ 12:00广东深圳市第三高级中学 1．求出所有的正整数n ，使得关于,x y 的方程 111x y n += 恰有2011组满足x y ≤的正整数解(,)x y ．解：由题设，20()()xy nx ny x n y n n --=?--=．所以，除了x=y=2n 外，x n -取2n 的小于n 的正约数，就可得一组满足条件的正整数解(x , y )．故2n 的小于n 的正约数恰好为2010．设1 1k k n p p α α= ，其中1,,k p p 是互不相同的素数，1,,k αα 是非负整数．故2n 的小于n 的正约数个数为 1(21)(21)1 2 k αα++- ，故1(21)(21)4021k αα++= ．由于4021是素数，所以1k =，1214021α+=，12010α=．所以，2010n p =，其中p 是素数．

2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q．若M F C D N F AB ?=?且DQ BP AQ CP ?=?，求证：PQ BC ⊥．证明：连接AF、BF、CF、DF．由题目条件可知△AFB和△CFD都是等腰三角形，FM 和FN分别为这两个等腰三角形底边上的高．由M F C D N F AB ?=?，知△AFB∽△DFC，从而∠AFB=∠CFD，∠FAB=∠FDC．由∠AFB=∠CFD可得∠BFD=∠CFA，又因FB=FA，FD=FC，所以△BFD≌△AFC．由此可得∠FAC=∠FBD，∠FCA=∠FDB．从而A、B、F、E四点共圆，C、D、E、F四点共圆．由上可得∠FEB=∠FAB=∠FDC=∠FEC，即直线EP是∠BEC的角平分线，从而EB/EC=BP/CP．同理，ED/EA=QD/AQ．由于DQ BP AQ CP ?=?，所以EB ED EC EA ?=?．由此可得ABCD为圆内接四边形，且点F为其外接圆的圆心．这时，因为 ∠EBC=1 2∠DFC=1 2 ∠AFB=∠ECB，所以E P B C ⊥． Q P M N F E D C B A A B C D E F N M P Q

第二届中国数学奥林匹克 (1987年)

第二届中国数学奥林匹克(1987年) 1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2 可被6整除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。试求 (1)放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 (2)所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r

的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

2017年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题一试(三)

2017年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（三）一试一、填空题（本大题共8道小题，每小题8分） 1.各项均为正数的数列满足121n n a a +≥+，且对*N n ∈恒成立，则的取值范围为 . 2.已知函数23()log cos()2 x f x x x π-=+-.若()10,()10f f αβ==-，则 . 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2.直线与双曲线交于点，与的内心分别为, 且. 则的值为 . 4.已知是定义在上的奇函数，当时，13 ()|sin ||sin |2sin 22 f x x x ααα=+++-， (,)αππ∈-.若对任意实数，都有，则的取值范围是 . 5.从集合{1,2,,105}中任取一个元素a ，使得260x ax a ++=只有整数解的概率为 . 6.三棱锥中，三个侧面与底面所成角相等，三个侧面的面积分别为3，4，5，且底面积为6，则三棱锥的外接球的表面积是 . 7.已知点(4,2)P ，过的直线与轴、轴正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则周长的最小值为 . 8.高兴中学李老师为同学们购买纪念品，商店中有书签、明信片、笔记本、签字笔四种类型纪念品各10个（每种类型纪念品完全相同），李老师计划购买25个纪念品，且每种纪念品至少购买一个，则共有__________种不同的购买方案.（用数字作答）二、解答题（本大题共3道小题，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9.若二次函数（）有零点，求的最大值. 10.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点(1,0)的两条互相垂直的动直线的一{}n a 12+12(,0),(,0)F c F c -2()y x c =-,A B 12AF F ?12BF F ?12,I I 12I I =a )(x f R 0≤x x )2()(+≥x f x f αP ABC -P ABC -P l x y A B O AOB ?2()f x ax bx c =++,,0a b c >min{,,}b c c a a b a b c +++2 2:12 x y Γ+=21,F F

2008年第七届中国女子数学奥林匹克试题及解答

2008年第七届中国女子数学奥林匹克 1．（a ）问能否将集合{}1,2,,96 表示为它的32个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相等；（b ）问能否将集合{}1,2,,99 表示为它的33个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相等．（刘诗雄供题）解：（a ）不能．因为96(961) 32|129648972?++++==? ．（b ）能．每个三元集的元素和为 1299 99(991) 15033 332 +++?+= =? ．将1,2,3,,66 每两个一组，分成33个组，，每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列： 150,349,,3334,+++ 266,465,,3251+++ ．故如下33组数，每组三个数之和均相等： {}{}{}1,50,99,3,49,98,,33,34,83, {}{}{}2,66,82,4,65,81,,32,51,67. ．注：此题的一般情况是设集合{}1,2,3,,3M n = 的三元子集族{},,i i i i A x y z =，1,2,i n = 满足 12n A A A M ???= ．记i i i s x y z =++，求所有的整数n ，使对任意,(1)i j i j n ≤≠≤，i j s s =．解：首先，|1233n n ++++ ，即 3(31) 2|312 n n n n +?+．所以，n 为奇数．又当n 为奇数时，可将1,2,3,,2n 每两个一组，分成n 个组，每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列： 111(),3(),,(1)2 2 n n n n n n +-++ ++ ++ ； 322,4(21),,(1)()2 n n n n n +++--++ ．其通项公式为

中国数学奥林匹克介绍

中国数学奥林匹克 ◇考试介绍中国数学奥林匹克又称全国中学生数学冬令营，是在全国高中数学联赛的基础上进行的一次较高层次的数学竞赛。1985年，由大学、南开大学、复旦大学和中国科技大学四所大学倡议，中国数学会决定，自1986年起每年一月份举行全国中学生数学冬令营，后又名中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad,简称CMO）。冬令营邀请各省、市、自治区在全国高中数学联赛中的优胜者参加，人数100多人，分配原则是每省市区至少一人，然后设立分数线择优选取。冬令营为期5天，第一天为开幕式，第二、第三天考试，第四天学术报告或参观游览，第五天闭幕式，宣布考试成绩和颁奖。中国数学奥林匹克考试完全模拟国际数学奥林匹克进行，每天3道题，限四个半小时完成。每题21分（为IMO试题的3倍），6个题满分为126分。题目难度接近IMO，颁奖也与IMO类似，设立一、二、三等奖，分数最高的前20至30名选手将组成参加当年国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad，简称IMO）的中国国家集训队。从1990年开始，全国中学生数学冬令营设立了省身杯团体赛。从1991年起，全国中学生数学冬令营被正式命名为中国数学奥林匹克，它成为中国中学生最高级别、最具规模、最有影响的数学竞赛。附：中国数学奥林匹克相关制度条例 1．《全国中学生数学竞赛条例（试行）》 2．《中国数学奥林匹克实施细则（试行）》 ◇报名条件根据《中国数学奥林匹克实施细则（试行）》规定，参加中国数学奥林匹克的选手必须是本年度全国高中数学联赛一等奖获得者或上一年度国家集训队未高中毕业的队员。 ◇报名时间中国数学会奥林匹克委员会确定参赛选手总人数；中国数学会普及工作委员会根据当年全国高中数学联赛成绩确定各省、自治区、直辖市代表队队员；各省、自治区、直辖市数学会确定各代表队领队（壹人）；以上两于11月15日前报数学奥林匹克委员会。 ◇考试费用

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