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数学归纳法、数列的极限与运算1.数学归纳法:
(1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,通常叫做归纳法.
归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法.
①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法.
②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法
数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论.
(2)数学归纳法步骤:
①验证当n取第一个
n时结论
()
P n成立;
②由假设当n k
=(
,
k N k n
+
∈≥)时,结论()
P k成立,证明当1
n k
=+时,结论(1)
P k+成立;
根据①②对一切自然数
n n
≥时,()
P n都成立.
2.数列的极限
(1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即
n
a a
-无限地接近于),那么就说数列
{}
n
a以a为极限,或者说a是数列{}
n
a的极限.记为
lim
n
n
a a
→∞
=或当n→∞时,
n
a a
→.
(2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在,且lim,lim
n n
n n
a a
b b
→∞→∞
==,
那么lim()
n n
n
a b a b
→∞
±=±;lim();
n n
n
a b a b
→∞
?=?lim(0)
n
n
n
a a
b
b b
→∞
=≠
特别地,如果C是常数,那么lim()lim lim
n n
n n n
C a C a Ca
→∞→∞→∞
?=?=.
⑶几个常用极限: ①lim
n
C C
→∞
=(C 为常数)②lim0
n
a
n
→∞
=
k
(,a k 均为常数且N*
∈
k)
③
(1)
1
lim0(1)
(1或1)
不存在
n
n
q
q q
q q
④首项为
1
a,公比为q(1
q<)的无穷等比数列的各项和为lim
1
n
n
a
S
q
→∞
=
-
.
注:⑴并不是每一个无穷数列都有极限.
⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况.
数
学
归
纳
法
、数
列
的
极
限
与
运
算
例 1. 某个命题与正整数有关,若当)
(*
N
k
k
n∈
=时该命题成立,那么可推得当
=
n1
+
k时该命题也成立,现已知当5
=
n时该命题不成立,那么可推得()
(A)当6
=
n时,该命题不成立(B)当6
=
n时,该命题成立
(C)当4
=
n时,该命题成立(D)当4
=
n时,该命题不成立
例2.用数学归纳法证明:“)1
(
1
1
1
2
1
2≠
-
-
=
+
+
+
+
+
+a
a
a
a
a
a
n
n
”在验证1
=
n时,左端
计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a
+
1 (C)2
1a
a+
+ (D)3
2
1a
a
a+
+
+
例3.2
2
21
lim
2
n
n
n
→∞
-
+
等于( ) (A)2 (B)-2 (C)-
2
1
(D)
2
1
例4. 等差数列中,若
n
n
S
Lim
∞
→
存在,则这样的数列( )
(A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在
例5.lim(1)
n
n n n
→∞
+-等于( ) (A)
1
3
(B)0 (C)
1
2
(D)不存在
例6.若2
012
(2)n n
n
x a a x a x a x
+=++++,
12
n n
A a a a
=+++,则2
lim
83
n
n
n
A
A
→∞
-
=
+
( )
(A)
3
1
-(B)
11
1(C)
4
1(D)
8
1
-
例7. 在二项式(13)n
x
+和(25)n
x+的展开式中,各项系数之和记为,,
n n
a b n是正整
数,则
2
lim
34
n n
n
n n
a b
a b
→∞
-
-
=.
例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N
a∈
1
,公比为q,且
n
n
a
a
a
S
N
q
+
+
+
=
∈
2
1
,
1,
且3
lim=
∞
→
n
n
S,则=
+
2
1
a
a_____ .
例9. 已知数列{
n
a}前n项和1
1
(1)
n n n
S ba
b
=-+-
+
, 其中b是与n无关的常数,且0
<b<1,若lim
n
n
S
→∞
=存在,则lim
n
n
S
→∞
=________.
例10.若数列{
n
a}的通项21
n
a n
=-,设数列{
n
b}的通项
1
1
n
n
b
a
=+,又记
n
T是数
列{
n
b}的前n项的积.
(Ⅰ)求
1
T,
2
T,
3
T的值;(Ⅱ)试比较
n
T与
1+
n
a的大小,并证明你的结论.
例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化,原式
=11
lim lim
2
11
11
n n
n
n n
n
→∞→∞
==
++
++
例6.A例7.
1
2
例8.
3
8
例9.1 例10(见后面)
导数例21. f(x)=ax3+3x2+2,若(1)4
f'-=,则a的值等于( )
(A)
3
19
(B)
3
16
(C)
3
13
(D)
3
10
例22. f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x)、g(x)满足f ′(x)=g′(x),则( )
(A)f(x)=g(x) (B)f(x)-g(x)为常数函数(C)f(x)=g(x)=0 (D)f(x)+g(x)为常数函数
例23. 设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如右图所示,则导函数y=f'(x)的图象
可能为( )
例24. 已知曲线S:y=3x-x3及点(2,2)
P-,则过点P可向S引切线的条数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
例25. 函数cos sin
y x x x
=-在下面哪个区间内是增函数()
3
()(,)
22
A
ππ
()(,2)
Bππ
35
()(,)
22
C
ππ
()(2,3)
Dππ
例26. y=2x3-3x2+a的极大值为6,那么a等于( )
(A)6 (B)0 (C)5 (D)1
例27. 函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是( )
(A)1,-1 (B)3,-17 (C)1,-17 (D)9,-19
例28.设l1为曲线y1=si nx在点(0,0)处的切线,l2为曲线y2=cos x在点(
2
π
,0)处的切线,
则l1与l2的夹角为___________.
例29. 设函数f(x)=x3+ax2+bx-1,若当x=1时,有极值为1,则函数g(x)=x3+ax2+bx
的单调递减区间为.
例30.已知函数32
()(,)
f x x ax b a b R
=-++∈
(Ⅰ)若函数)
(x
f图像上任意一点处的切线的斜率小于1,求证:33
a
-<<;
(Ⅱ)若[]
0,1
x∈,函数()
y f x
=图像上任意一点处的切线的斜率为k,试讨论1
k≤
的充要条件。
数学基础知识与典型例题(第十一章函数极限与导数)答案
例10. [解](1)21
n
a n
=-,∴
11
1
11
112
211
T b
a
==+=+=
?-
212
2
118
2(1)2(1)
2213
T b b
a
=?=?+=+=
?-
,
3123
3
818116
(1)(1)
332315
T b b b
a
=??=+=+=
?-
(2)由(1)中可猜想得T n>
1+
n
a;只须证明对于*
n N
∈111
(11)(1)(1)(1)21
3521
n
n
+++++
-
设n=1时,左=1+1=2,右=3,∵2>3,故原不等式成立;
假设n=k(k≥1)时,原不等式成立,即1
2
)
1
2
1
1(
)
5
1
1
)(
3
1
1
)(
1
1(+
>
-
+
+
+
+k
k
,
当n=k+1时,不等式左边为11111
(11)(1)(1)(1)[1]21(1)
35212(1)121
k
k k k
+++++++
-+-+
121
21(1)2)
21
k
k k
k
+
++=+
+
,不等式的右边为3
2+
k,
只须得出)2
2(
1
2
1
2
+
+
+
k
k
k>3
2+
k,事实上2
21
2)
k
k
?
+
+??
??
-(2
23
k+
=22
484(483)
21
k k k k
k
++-++
+
=1
21
k+
>0,故)2
2(
1
2
1
2
+
+
+
k
k
k>3
2+
k成立,
从而1111
(11)(1)(1)(1)[1]
35212(1)1
k k
+++++
-+-
>3
2+k。
即n=k+1时不等式也成立,∴对于n∈N,则有111
(11)(1)(1)(1)21
3521
n
n
+++++
-
.
例20. 解:x=0是此分段函数的分界点,
而
lim()
x
f x
→
存在的充要条件是
lim()
x
f x
-
→
与
lim()
x
f x
+
→
都存在且相等。
∴
lim()
x
f x
-
→
=
lim(cos1)
x
x
-
→
+=2,
lim()
x
f x
+
→
=
lim(sin)
x
a x
b b
+
→
+=,
∴当b=2,a取任意实数时,
lim()
x
f x
→
存在,其值为2.
例21.D 例22.B 例23.D例24. C设S上的切点
00
(,)
x y求导数得斜率,过点P可求
得:2
00
(1)(2)0
x x
+-=.例25.B 例26.A例27.B 例28. 90°例29. [ 1,
3
5
](写开区间也可以)
例30.本题考查(1)导数的几何意义(2)恒成立问题中参数取值范围的求法.
(3)分析问题解决问题的能力.需要学生熟练掌握求最值的方法.
解:(1)依题意,由32
()
f x x ax b
=-++,则2
()32
f x x ax
'=-+.
又函数)
(x
f图像上任意一点切线的斜率小于1,即2
()321
f x x ax
'=-+<
亦即2
3210
x ax
-+>对任意的x R
∈恒成立. 故2
4120
a
?=-<,即33
a
<<
(2)由题可知,原问题等价于2
()321
f x x ax
'=-+≤对
[]
0,1
x∈恒成立.
当0
x=时,显然有(0)01
f'=≤,故当(0,1]
x∈时2
1321
x ax
--+
≤≤,从而11
323
x a x
x x
-+
≤≤
(※)
对(0,1]
x∈恒成立. 令11
()3,()3
u x x v x x
x x
=-=+.则可知
1
()3
u x x
x
=-在(0,1]上递增,故
max
()(1)2
u x u
==1
()323
v x x
x
=+≥
3
(0,1]
x,故min
()23
v x=
要使(※)恒成立只须
max min
()2()
u x a v x
≤≤,即13
a
≤1
k≤在[]
0,1
x∈的充要条件.
函数图象变换 1、平移变换(左加右减上加下减): y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h. 2、对称变换: y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x) 轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点 →y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x); 3、翻折变换: (1)函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方, 去掉原x 轴下方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到; (2)函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到. 4、伸缩变换: y=f(x)ω?→x y=f(ωx ); y=f(x)ω ?→y y=ωf(x). 经典题型:作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用 例1.函数1 11--=x y 的图象是( ) 答案B 例2.如图所示,)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数,其中满足性质:“对]1,0[中任意的1x 和2x ,)]()([2 1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有( ) 答案A
例3、利用函数x x f 2)(=的图象,作出下列各函数的图象: (1))1(-x f ;(2)|)(|x f ;(3)1)(-x f ;(4))(x f -;(5).|1)(|-x f 例4已知0>a ,且≠a 1,函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的( ) 答案B 例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上,则函数)(x f y =·)(x g 的图象是( ) 答案A 例6 已知函数y =f (x )的周期为2,当x ∈[-1,1]时f (x )=x 2,那么函数y =f (x )的图象与函数y =|lg x |的图象的交点共有( ). A .10个 B .9个 C .8个 D .1个 解析:画出两个函数图象可看出交点有10个.答案 A
导数的概念、运算及其几何意义 黑龙江 依兰高中 刘 岩 A 组基础达标 选择题: 1.已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时, (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ,那么正确的说法是( ) A .9.8/m s 是在0~1s 这一段时间内的平均速度 B .9.8/m s 是在1~(1+t ?)s 这段时间内的速度 C .9.8/m s 是物体从1s 到(1+t ?)s 这段时间内的平均速度 D .9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2. 已知函数f ’ (x)=3x 2 , 则f (x)的值一定是( ) A. 3x +x B. 3x C. 3x +c (c 为常数) D. 3x+c (c 为常数) 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限,则函数f / (x)的图象是( ) 4.下列求导数运算错误.. 的是( ) A. 20122013x 0132c x ='+)( (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+=')( C. 2x cosx xsinx x cosx +=')( D . 3ln 33x x =')( 5..已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12 ,则切点的横坐标为( ) A . 2 B . 3 C . 12 D .1 填空题: 1.若2012)1(/ =f ,则x f x f x ?-?+→?)1()1(lim 0= ,x f x f x ?--?+→?)1()1(lim 0= ,x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= , x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 2.函数y=(2x -3)2 的导数为 函数y= x -e 的导数为 A x D C x B
1.求 导:(1)函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- (2)y =ln(x +2)-------------------------------------;(3)y =(1+sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y =3x 2+x cos x ------------------------------------ ;(5)y =x 2cos(2x -π 3 )---------------------------------------- . (6)已知y =ln 3x e x ,则y ′|x =1=________. 2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ). (A).5 4 (B).5 2 (C).5 1 (D). 5 3 3.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1x =-,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为 ( ) (A).4 (B).5 (C).-6 (D).不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,
底面边长为( ). (A).3V (B).32V (C).34V (D).32V 6.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). (A).18 (B). 3 38 (C). 3 16 (D).16 7.曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1,则=a _________ 。 8.已知抛物线2y x bx c =++在点(12),处的切线与直线20x y ++=垂直,求函数2y x bx c =++的最值. 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.
函 数 练 习 题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-+ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =
6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1,3],求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =,则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且 1()()1 f x g x x +=-,求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间: ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数,则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ;函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y , 52-=x y ; ⑵111-+=x x y , )1)(1(2-+=x x y ; ⑶x x f =)(, 2)(x x g = ; ⑷x x f =)(, ()g x =; ⑸21)52()(-=x x f , 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 ( ) A 、(-∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( ) (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤,不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是( ) (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ) A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是( ) A 、奇函数,且在(0,1)上是增函数 B 、奇函数,且在(0,1)上是减函数 C 、偶函数,且在(0,1)上是增函数 D 、偶函数,且在(0,1)上是减函数
高中数学函数的单调性与导数测试题(附答 案) 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f(x)为R上增函数的充要条件是() A.b2-4ac0 B.b0,c0 C.b=0,c D.b2-3ac0 [答案] D [解析]∵a0,f(x)为增函数, f(x)=3ax2+2bx+c0恒成立, =(2b)2-43ac=4b2-12ac0,b2-3ac0. 2.(2009广东文,8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是() A.(-,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+) [答案] D [解析]考查导数的简单应用. f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex, 令f(x)0,解得x2,故选D. 3.已知函数y=f(x)(xR)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k =(x0-2)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为() A.[-1,+) B.(-,2]
C.(-,-1)和(1,2) D.[2,+) [答案] B [解析]令k0得x02,由导数的几何意义可知,函数的单调减区间为(-,2]. 4.已知函数y=xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是() [答案] C [解析]当01时xf(x)0 f(x)0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数 当x1时xf(x)0,f(x)0,故y=f(x)在(1,+)上为增函数,因此否定A、B、D故选C. 5.函数y=xsinx+cosx,x(-)的单调增区间是() A.-,-2和0,2 B.-2,0和0,2 C.-,-2, D.-2,0和 [答案] A [解析]y=xcosx,当-x2时, cosx0,y=xcosx0, 当02时,cosx0,y=xcosx0. 6.下列命题成立的是() A.若f(x)在(a,b)内是增函数,则对任何x(a,b),都有f(x)0
导数经典习题 选择题: 1.已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时, (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ,那么正确的说法是( ) A .9.8/m s 是在0~1s 这一段时间内的平均速度 B .9.8/m s 是在1~(1+t ?)s 这段时间内的速度 C .9.8/m s 是物体从1s 到(1+t ?)s 这段时间内的平均速度 D .9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2.一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒, 那么物体在3秒末的瞬时速度是( ) A .7米/秒 B .6米/秒 C .5米/秒 D .8米/秒 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限,则函数f /(x)的图象是( ) 4.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)( x f y =在这点取极值的( ) A .充分条件 B .必要条件 C .充要条件 D .必要非充分条件 5.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足( ) A .()f x =()g x B .()f x -()g x 为常数函数 C .()f x =()0g x = D .()f x +()g x 为常数函数 6.. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于( ) A .sin α B .cos α C .sin cos αα+ D .2sin α 7. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是( ) A .),3[]3,(+∞--∞Y B .]3,3[- A x D C x B
导数练习题(含答案) 【编著】黄勇权 一、求下函数的导数 (1)f (x )=2x 2+3x+2 (2)f (x )=3sinx+7x 2 (3)f (x )=lnx+2x (4)f (x )=2x +6x (5)f (x )=4cosx -7 (6)f (x )=7e x +9x (7)f (x )=x 3+4x 2+6 (8)f (x )=2sinx -4cosx (9)f (x )=log2x (10)f (x )= x 1 (11)f (x )=lnx+3e x (12)f (x )=2x x (13)f (x )=sinx 2 (14)f (x )=ln (2x 2+6x ) (15)f (x )=x 1x 3x 2++ (16)f (x )=xlnx+9x (17)f (x )= x sinx lnx + (18)f (x )=tanx (19)f (x )=x x e 1e 1-+ (20) f (x )=(x 2-x )3 【答案】 一、求下函数的导数 (1)f /=4x+3 (2)f /=3cos+14x (3)f /=x 1+2 (4)f /=2x ln2+6 (5)f /= -4sinx (6)f /=7e x (7)f /=3x 2+8x (8)f /=2cosx+4sinx
(9)因为f (x )=log2x =2ln lnx =lnx 2 ln 1? 所以:f /=(lnx 2ln 1?)/ =(2ln 1)?(lnx )/ =2ln 1?x 1 =ln2 x 1? (10)因为:f (x )=x 1 f /=2x x 1x 1) ()()('?-?'= x x 1210?- = x x 21- = 2x 2x - (11)f /= x e 3x 1+ (12)f (x )= 2x x =23x - f /=(2 3-)25x -= 3 x 2x 3- (13)f /=(sinx 2)/?(x 2)/=cosx 2?(2x )=2x ?cosx 2 (14)f /=[ln (2x 2+6x )]/?(2x 2+6x)/ = x 6x 212+? (4x+6) = x 3x 3x 22++ (15)f (x )=x 1x 3x 2++ = x+3+x 1 f /=(x+3+x 1)/= 1+0 -2x 1 =22x 1-x (16)f /=(x )/(lnx )+(x )(lnx )/+9 =lnx+x 1x ?+9 =lnx+10
《函 数》复习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111y x x = +-+ -2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数 1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-+ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1,3],求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =+ ,则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且 1()()1 f x g x x +=-,求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间: ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数,则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ;函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y , 52-=x y ; ⑵111-+=x x y , )1)(1(2-+=x x y ; ⑶x x f =)(, 2)(x x g = ; ⑷x x f =)(, ()g x =; ⑸21)52()(-=x x f , 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 ( ) A 、(-∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( ) (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤,不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是( ) (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ) A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是( ) A 、奇函数,且在(0,1)上是增函数 B 、奇函数,且在(0,1)上是减函数 C 、偶函数,且在(0,1)上是增函数 D 、偶函数,且在(0,1)上是减函数
高中数学导数典型例题 题型一:利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 (1)若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式; (2)在(1)的条件下,求函数)(x f y =在[-3,1]上的最大值; (3)若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增,求实数b 的取值范围 解:(1)极值的求法与极值的性质 (2)由导数求最值 (3)单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证:)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解:(1)单调区间 零点 驻点 拐点————草图 (2)草图——讨论 题型二:利用导数解决恒成立的问题 例1:已知322()69f x x ax a x =-+(a ∈R ). (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间; (Ⅱ)当0a >时,若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立,求实数a 的取值范围.
例2:已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++,1()()2 g x f x '=. (1)证明:当22t <时,()g x 在R 上是增函数; (2)对于给定的闭区间[]a b ,,试说明存在实数 k ,当t k >时,()g x 在闭区间[]a b , 上是减函数; (3)证明:3()2 f x ≥. 解:g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人,我也没做出来 例3:已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f (1)求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 (2)对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立,求实数a 的取值范围 解:讨论点x=1/e 1/e 经典函数测试题及答案 (满分:150分 考试时间:120分钟) 一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.函数)12(-=x f y 是偶函数,则函数)2(x f y =的对称轴是 ( ) A .0=x B .1-=x C .21= x D .2 1-=x 2.已知1,10-<<x 时,,log )(2x x f =则当0 1.已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示. (I )求d c ,的值; (II )若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ,求函数)(x f 的解析式; (III )在(II )的条件下,函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围. 2.已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=. (I )求函数)(x f 的单调区间; (II )函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间(1,3)上不是单调函数,求m 的取值范围. 3.已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值. (I )求实数a 的取值范围; (II )若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根,求)(x f 的解析式; (III )对于(II )中的函数)(x f ,对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f . 4.已知常数0>a ,e 为自然对数的底数,函数x e x f x -=)(,x a x x g ln )(2-=. (I )写出)(x f 的单调递增区间,并证明a e a >; (II )讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数. 5.已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. (I )当1k =时,求函数()f x 的最大值; (II )若函数()f x 没有零点,求实数k 的取值范围; 6.已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点(???=718.2e ). (I )求实数a 的值; (II )求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值. 7.已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f (I )当a=18时,求函数)(x f 的单调区间; (II )求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值. 8.已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有...单调性. (I )求实数a 的取值范围; (II )若()f x '是()f x 的导函数,设2 2 ()()6g x f x x '=+- ,试证明:对任意两个不相 等正数12x x 、,不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立. 专题8:导数(文) 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析:()2'2 +=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案:3 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 解析:因为21= k ,所以()2 1 1'=f ,由切线过点(1(1))M f ,,可得点M 的纵坐标为25,所以()2 5 1=f ,所以()()31'1=+f f 答案:3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 解析:443'2 --=x x y ,∴点(13)-,处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-,带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-,处的切线方程为:025=-+y x 答案:025=-+y x 点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 解析:Θ直线过原点,则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上,则02030023x x x y +-=,∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ,∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ,∴ (满分:150分 考试时间:120分钟) 一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.函数)12(-=x f y 是偶函数,则函数)2(x f y =的对称轴是 ( ) A .0=x B .1-=x C .21= x D .2 1-=x 2.已知1,10-<<x 时,,log )(2x x f =则当0 导数题型分析及解题方法 一、考试内容 导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一:利用导数研究函数的极值、最值。 1. 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2.已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值,则常数c = 6 ; 3.函数3 31x x y -+=有极小值 -1 ,极大值 3 题型二:利用导数几何意义求切线方程 1.曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2.若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ,则P 点的坐标为 (1,0) 3.若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为 430x y --= 4.求下列直线的方程: (1)曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线; (2)曲线2 x y =过点P(3,5)的切线; 解:(1) 123|y k 23 1)1,1(1x /2/2 3===∴+=∴++=-=-上,在曲线点-x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即, (2)显然点P (3,5)不在曲线上,所以可设切点为) ,(00y x A ,则 2 00x y =①又函数的导数为x y 2/ =, 所以过 ) ,(00y x A 点的切线的斜率为 /2|0x y k x x ===,又切线过),(00y x A 、P(3,5)点,所以有 3 5 2000--= x y x ②,由①②联立方程组得,??????====25 5 110 000y x y x 或,即切点为(1,1)时,切线斜率为 ; 2201==x k ;当切点为(5,25)时,切线斜率为10202==x k ;所以所求的切线有两条,方程分 别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即, 或 题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值 1.已知函数 ))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 (Ⅰ)若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数)(x f y =在[-3,1]上的最大值; § 1.2.1 函数的概念 ¤知识要点: 1. 设 A 、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应,那么就称 f :A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y = f (x) , x A .其中, x 叫自变量, x 的取值范 围 A 叫作定义域,与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 . 2. 设 a 、b 是两个实数,且 a 一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对 2.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 3.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 4.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ 5.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图 所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-7.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1 精心整理 高二数学导数专题训练 一、选择题 1.一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是() A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.已知函数f (x )=ax 2 +c ,且(1)f '=2,则a 的值为() A.1 B.2 C.-1 D.0 3()f x 与(f x A (f C (f 4.函数y A (5.若函数A.f(x)6.0'()f x A C 7.曲线f A (1,0)C (1,0)8.函数y A.C.9.对于R A (0)(2)2(1)f f f + 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为() A .' 0()f x B .' 02()f x C .' 02()f x -D .0 二、填空题 11.函数32 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12.已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是. 13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为__________. 14.对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列1n a n ?? ??+?? 的前n 项和的公式是 . 三、解答题: 15.求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3 2 35y x x =+-相切的直线方程 16 17 (1)求y (2)求 y 18(I (II (III 19(I (II 20.已知x (1)求m (2)求f (3)当x AABCBACCDB 二、填空题 11.递增区间为:(-∞,13),(1,+∞)递减区间为(1 3 -,1) (注:递增区间不能写成:(-∞,1 3 )∪(1,+∞)) 12.(,0)-∞13.3 4 π 14.1 2 2n +-()()/ 112 22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为, 函数及其表示 考点一 求定义域的几种情况 ①若f(x)是整式,则函数的定义域是实数集R; ②若f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集; ③若f (x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合; ④若f(x)是对数函数,真数应大于零。 ⑤.因为零的零次幂没有意义,所以底数和指数不能同时为零。 ⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑦若f(x )是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式 C ard(A)=m ,card(B)=n, m,n ∈N * ,则从A 到B 的映射个数为 n m 。简单说成“前指后底”。 方法技巧清单 方法一 函数定义域的求法 2.(2009江西卷理)函数 2 34 y x x = --+的定义域为? ?? ( ) A.(4,1)-- B .(4,1)- C.(1,1)- D.(1,1]- 解析 由2 10 1 1141 340x x x x x x +>>-????-< ?-<<--+>??.故选C 5.求下列函数的定义域。①y= 22+?-x x .②y= () x x x -+12 .③y= x x -+-11 6.已知函数f(x)的定义域为(),51,求函数F (x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。 1. 下列各组函数中表示同一函数的是( )A.y=5 5 x 和 x y 2 = B .y =ln e x 和 e x y ln = C. ()()() ()3131+=-+-= x y x x x y 和 D. x x y y 0 1 = = 和 2.函数y=f(x)的图像与直线x =2的公共点个数为 A. 0个B. 1个 C. 0个或1个 D. 不能确定 3.已知函数y= 22 -x 定义域为{}2,1.0,1-,则其值域为 方法三 分段函数的考察 ⅰ 求分段函数的定义域和值域 2x+2 x []0,1-∈ 1求函数f(x)= x 2 1- x()2,0∈ 的定义域和值域 3 x [)+∞∈ ,2高中数学_经典函数试题及答案
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