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高一数学函数经典练习题(含答案详细)

《函数》复习题

一、求函数的定义域

1、求下列函数的定义域：

答案：x2

又

⑵y =

答案：

111x x -??≤ ?+??

, ()

()

111x x -≤+, ()()2

11x x -≤+,222121x x x x -+≤++,-4x ≤0, ∴x ≥0

{|0}x x ≥

⑶01

(21)111y x x =

+-+

-答案：2

110110

2102

10104022

x x x x x x x x x ?+≠?-≠-?≠?-?

?-≠?≠??

-≠?≠?≥?-≥?-≤≤

∴1{|220,,1}2

x x x x x -≤≤≠≠≠且

2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2

的定义域为_ _ _2 f x ()-2的定义域为

________；

答案：函数f(x)的定义域为[0.1], 则0≤x ≤1

于是0≤x 2≤1 解得-1≤x ≤1

所以函数f x ()2的定义域为[-1,1]

∴4≤x ≤9

3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是；函数

1x 1

(2)f x

+的定义域为。

答案：y=f(x+1)的定义域是【-2,3】注：y=f(x+1)的定义域是【-2，3】指的是里面X 的定义域不是括号内整体的定义域即-2<=x<=3

∴-1<=x+1<=4 ∴x+1 的范围为 [-1,4] f(x)括号内的范围相等

y=f(2x-1)

4、知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

答案解1：知函数f(x)的定义域为[-1.1],

则对函数F （X ）=f(m+x)-f(x-m)来说 -1≤m+x ≤1 -1≤x-m ≤1

1. 由-1≤m+x 和x-m ≤1 两式相加-1+x-m ≤m+x+1 解得2m ≥-2 m ≥-1

2. 由m+x ≤1和-1≤x-m 两式相加 m+x-1≤x-m+1

2m ≤2 解得m ≤1

综上：-1≤m ≤1

答案解2： -1

-1

定义域存在,两者的交集不为空集，（注：则只需（-m-1，1-m ）与（m-1，1-m ）有交集即可。）

-1+m<1-m -1-m<1+m

-1

答案解3：-1≤x+m ≤1 -1-m ≤x ≤1-m x ∈[-1-m,1-m] [f(x+m)定义域]

同理 x ∈[-1+m,1+m] 是f(x-m)的定义域.

要F(x)定义域非空,[-1-m,1-m] ∩[-1+m,1+m]≠φ（空集意思） -1+m ≤1-m,且-1-m ≤1+m 即-1≤m ≤1

二、求函数的值域

5、求下列函数的值域： ⑴2

23y x x =+- ()x R ∈

答案解：即y=(x+1)2-4此函数图像是以x= -1为对称轴,以(-1,-4)为顶点、开口朝上的抛物线.那么当x ∈R 时,值域

最大值为+∞,而最小值是顶点纵坐标-4,即y ∈[-4,+∞)或写作{|4}y y ≥-或写作y ≥-4 ⑵2

23y x x =+- [1,2]x ∈

答案解：即y=(x+1)2-4,当x=1时,取得最小值0,当x=2时,取得最大值5.画一画图，就可以看出[0,5]y ∈

⑶31

x y x -=

可能等于0,所以y≠3. y 的值域是（-∞，3）U （3，+∞）)或写作x≠-1{|3}y y ≠

⑸

y =

∴－5≤102x -

+＜0 ∴－3≤210

x -+＜2,故函数的值域是[－3,2) 或写作[3,2)y ∈- ⑹ 22594

x x y x +=-＋

答案解：y=222225945(1)9(1)9(1)9(1)55111(1)(1)x x x x x x x x x x x ++-++++==-=-----+=9

5(1)

x --,∴y=5+9/(x-1)≠5

且分母x+1≠0 x ≠-1 而x=-1时,9(1)5(1)(1)x x x +-

-+即95(1)x --≠1

所以y ≠

12 ∴值域(-∞,1/2)∪(1/2,5)∪(5,+∞) 或写作1

{|5}2

y y y ≠≠且 ⑺31y x x =-++

答案解：若x<-1,→ x-3<0,→x+1<0 ∴|x-3|=-x+3,|x+1|=-x-1

y=3-x-x-1=2-2x ≥2-2?(-1) ≥4. 若-1≤x ≤3,x-3≤0,x+1≥0 ∴|x-3|=-x+3,|x+1|=x+1 y=3-x+x+1=4.

若x>3,x-3>0,x+1>0 ∴|x-3|=x-3,|x+1|=x+1 y=x-3+x+1=2x-2≥2?3-2≥4 ∴y ≥4或写作{|4}y y ≥ .如图：

⑻2y x x =-

答案解：222,2,0

2,,x x x y y x x x y ?-+≤≤?=?->>??∴y R ∈

⑼ 245y x x -++

答案解： 2

45x x -++

449x x -+-+ =2(2)9x --+≤ 0≤

29(2)x --≤3

即0≤y ≤3或写作[0,3]y ∈ ⑽ 2445y x x =--++

解：根号下的式子必须不小于0.

∵-x 2+4x+5≥0 -(x+1)(x-5)≥0

∴ x+1≥0 x-5≤0 ∴-1≤x ≤5 而x+1≤0 且x-5≥0无解 ∴ x ∈[-1,5]

-x 2+4x+5对称轴为 x=2 此时取最大值9. -x 2+4x+5 ∈[0,9]

54x x 2-++∈[0,3]

-54x x 2-++∈[-3,0] 4-54x x 2-++∈[1,4]. ∴[1,4]y ∈ ⑾12y x x =-- 解：∵x 定义域1-2x > 0, x <

1，y 最大值=21- 2-121

?=21

∴y 的值域为负无穷到21。1

{|}2

y y ≤

6、已知函数22

2()1

x ax b

f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。解：利用判别式法求值域, 因为该方程能解出x 所以Δ≥0.

在数学中，Δ在一元二次方程ax 2

+bx+c=0(a≠0)或二次函数y=ax 2

+bx+c(a≠0)中代表b2-4ac 即△=b2-4ac ，在方程中，若Δ≥0方程有实数解（若Δ＞0，方程有两个不相等的实数解；若Δ=0，方程有两个相等的实数解），若Δ＜0方程无实数解；在二次函数中，若Δ≥0图像与x 轴有交点（若Δ＞0，图像与x 轴有两个交点；若Δ=0，图像与x 轴有一个交点），若Δ＜0图像与x 轴无交点。

在物理学中，表示物理量的变化如Q=cmΔt (式中Q 代表热量，c 代表物质的比热[容]，m 代表物质的质量，Δt 代表温度的变化量)

∵y=1

b +ax +2x 22+x ,∴y （x 2

+1）= b +ax +2x 2

→∴（y-2）x2-ax+y-b=0

（1）当y-2≠0时因为x ∈R,Δ≥0, b2-4ac ≥0（注：这个abc 是个通用定理字母）。即(-a)2-4(y-2) (y-b)≥0

→a2-4(y2-2y-by+2b) ≥0 →a2-4y2+4(2+b)y-8b≥0→∴4y2-4(2+b)y+8b-a2≤0

又∵1≤y≤3 ∴1,3是关于y=方程4y2-4(2+b)y+8b-a2=0的两根

对于一元二次方程（a 0）经常运用的是韦达定理，如果有实数根，设两实数根为 ,

则

，

（注意：a 指二次项系数，b 指一次项系数，c 指常数，且a≠0）。

由根与系数的关系,

→1+3=

b （)

24+-→4=2+b → b=2， →1ⅹ3=

a -8

b 2→3=4a -282

?→12=16-a 2→a 2=4→a=-2,或2，∴ a=±2 b=2 （2）当y=2时ax+b=2,当a=2,b=2；或a=-2,b=2时,x=0满足题意所以a=±2,b=2 ∴2,2a b =±=

三、求函数的解析式

1、已知函数2

(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。

解：方法多种多样。

方法1、换元法：令t=x-1,则有：x=t+1（注：这个x 是个通用代入表示字母）。得：f(t)=(t+1)2-4(t+1)=t 2-2t+1-4→t 2-2t-3∴f （x ）＝x 2－2x －3 方法2、拼凑法：x 2－4x ＝（x －1）2－2（x －1）－3∴f （x ）＝x 2－2x －3.

第二问把x 用2x －1代替即可f(2x+1)=(2x+1)2-2(2x+1)-3=4x 2+ 4x +1-4x-2-3→4x 2-4 ∴2()23f x x x =-- ； 2(21)44f x x +=-

2、已知()f x 是二次函数，且2

(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。

解：∵f （x ）是二次函数,∴可设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c.

∴f （x ＋1）＝a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c ＝ax 2＋2ax ＋1＋bx ＋b ＋c. f （x －1）＝a （x －1）2＋b （x －1）＋c ＝ax 2－2ax ＋1＋bx －b ＋c. ∴f （x ＋1）＋f （x －1）＝2ax 2＋2＋2bx ＋2c ＝2ax 2＋2bx ＋2c ＋2.······① 又f （x ＋1）＋f （x －1）＝2x 2－4x.······②

显然,①、②恒等,∴通过比较各项系数,得：a ＝1、b ＝－2、c ＝－1. ∴f （x ）＝x 2－2x －1.

3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。解：方法多种多样。方法1

∵2f （x ）+f(-x ）=3x+4 ······① 令-x 代替上式中的x ，即x=-x,则

∴2f(-x)+f(x)=-3x+4 ······② ①?2-②得2?[2f （x ）+f(-x ）]- [2f(-x)+f(x)]= 4f （x ）

+2f(-x ）- 2f(-x)-f(x)= 3f(x)=2(3x+4)-(-3x+4)=9x+4

4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _

()f x 在R 上的解析式为

解: 函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （-x ）=f （x ），则称函数f （x ）为偶函数。奇函数：一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （-x ）＝-f （x ），那么函数f

（x ）是奇函数。

奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。当(,0)x ∈-∞时,-x>0 ∵是奇函数，∴ f(-x)= -f(x)

∵

()(1f x x =+→∴f(-x)=-x(1+3x -= -f(x) →-f(x) =-x(1+3

x -) →∴f(x)=x(1+3x -

) = x(1-3

x )…… (-1开立方为-1) →f(x)= x(1-3

)

∴()(1f x x = ；∴解析式为(10)

()(10)x x f x x x ?+≥?=?

5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1

()()1

f x

g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式

解: ∵f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，∴f （-x ）=f （x ），且g （-x ）=-g （x ） ∵1

()()1

f x

g x x +=

-………① ∴f(-x)+g(-x)= 11

--x = -

1+x =f(x)-g(x)

∴f(x)-g(x)= -

1+x ………②

①+②得2 f(x)=

1-x + （-

1+x ）=11-x -

11+x =)1)(1(1

)1)(1(1+--+-+-x x x x x x

)

1)(1()

1()1(+---+x x x x =

)

1)(1(2+-x x =

22--+x x x =

22-x

即2 f(x) =

22-x ，∴f(x)=

112-x

①-②得2g(x)= 11

-x - （-

1+x ）=11-x +

11+x =)

1)(1(1)

1)(1(1+--+-++

x x x x x x

)

1)(1()1()1(+--++x x x x =

)1)(1(2+-x x x =122-x x

即g(x)=12-x x

∴

()1f x x =- 2()1x g x x =- 四、求函数的单调区间

6、求下列+： ⑴ 2

23y x x =++

解: 单调性的定义：

对于给定区间D 上的函数f （x ），若对于任意x1，x2∈D ，当x1＜x2时，都有f （x1）＜f （x2），则称f （x ）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f （x1）＞f （x2），则称f （x ）是区间D 上的减函数。

如果函数y=f （x ）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f （x ）在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 称为函数f （x ）的单调区间。如果函数y=f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，区间D 称为函数f （x ）的单调增或减区间 ∵y=x 2

+2x+3=(x+1)2

抛物线的顶点（-1,2）,对称轴是x= -1,开口向上,

∴x 在[1,)-+∞内，任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f （x1）＜f （x2），······① ∴x 在（-∞,-1）内，任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f （x1）＞f （x2），·····

·② ∴在（-1,+∞）内单调增函数，在（-∞,-1）内单调减函数。 ∴ 增区间：[1,)-+∞ 减区间：(,1]-∞- ⑵y =

解: 方法1

∵ 322++-x x ≥0，∴322

++-x x ≥0→-(2

x -2x-1)+4≥0

→-(x-1)2+4≥0（抛物线开口向下，对称轴x=1，当x=1时有最大值）→4≥(x-1)2 → (x-1)2 ≤

4→?

?-≥→-≥-≤→≤-1213

21x x x x ，∴-1≤X ≤3

∵y ==4+ 1)-(x -2

∴增区间（即x 增y 就增）：[1,1]- 减区间（即x 增y 就减）：[1,3]。

）

0,4值域（0 =4+2）（- =

y ,时有最小值3=x 和-1=x 4

4+1)-(1- =y 时有最大值：1=x 22±=

方法2

∵ 322++-x x ≥0，∴322

++-x x ≥0→2

x -2x-3≤0→(x+1)(x-3)≤0

→???≤→≤--≥→≥+303101x x x x 或无解?

?????≥→≥--≤→≤+303101x x x x ，∴-1≤X ≤3

⑶ 2

61y x x =--

解: 当 x ≥0时, 2

61y x x =--=x 2

-6x-1=x 2

-6x+9-9-1=(x-3)2

-10(对称轴为x=3，开口向上)

→∴x ≥3即x ∈[3,+]∞时增区间,0≤x ≤3即x ∈[]3,0时减区间

当X ≤0时, 2

61y x x =--=x 2

+6x-1= x 2

+6x+9-9-1=(x+3)2

-10

→∴-3≤x ≤0即x ∈[]0,3-时增区间,x ≤-3即x ∈[]3,-∞-时减区间

∴增区间：[3,0],[3,)-+∞ 减区间：[0,3],(,3]-∞-

7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2

(1)f x -的单调递增区间是解: ∵ 函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数

∴在﹙0,+∞﹚上,f ﹙x ﹚随x 的增大而减小；随x 的减小而增大.

令t=1-x 2,则t 在﹙0,+∞﹚上,f ﹙t ﹚随t 的增大而减小；随t 的减小而增大. ∵t ＞0, ∴1-x 2＞0→1＞x 2→x 2＜1 →?

??≤-?≤011

0x x →-1＜x ＜1,

且0≦x ＜1时,t 随 x 的增大而减小; -1＜x ≦0时,t 随 x 的减小而增大；

即0≦x ＜1时(x 为自变量),x 增大,t 减小.

又当t 减小时(这里t 又变为自变量)，复合函数f ﹙1-x 2﹚增大（这是一个复合函数） ∴f ﹙1-x 2﹚的单调增区间是 [0,1)

8、函数236

y x -=

+的递减区间是；函数y =的递减区间是

解: ①、236

x y x -=+=632

++-x x =

)2(32

2)2(++++-x x )2(34)2(+++-x x =-31

+)2(34+x

∵x+2≠0∴x ≠-2即x ∈(-∞,-2)∪(-2,+∞).

在 (-∞,-2),(-2,+∞)上是减函数,

∴y=(2-x)/(3x+6)的递减区间是:(-∞,-2)和(-2,+∞).

②、∵y =

∴632+-x x

≥0

→???-?→?-→?-→?-≤→≥→≥-2020)2(30）分母不为0632202x x x （

x x x x 或无解???????→?-→-≥→≤→≤-2020?632202x x x x x x

∴-2＜x ≤2即x ∈(2,2]-

∴y =

五、综合题

9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ C ） ⑴3

)

5)(3(1+-+=

x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；

⑶x x f =)(， 2)(x x g =

； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。

A 、⑴、⑵

B 、 ⑵、⑶

C 、 ⑷

D 、 ⑶、⑸ 解:

∵函数1=

同理（2）、（3）、（5）中的两个函数的定义域皆不相同，故都不是同一函数．（4）()g x =x x f =)(，

故是同一函数．故选C ．

10、若函数()f x = 3

++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是（ D ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4

)

解:

∵函数()f x ∴ mx 2+4mx+3≠0 恒成立

令 f(x)=mx 2+4mx+3=m(x+2)2-4m +3 若 m=0 f(x)=mx 2+4mx+3=3

①若m>0 函数 f(x)=mx 2+4mx+3 开口向上要使 f(x)=mx 2+4mx+3≠0 恒成立

则函数 f(x)=mx 2+4mx+3 的最小值应大于零又 f(x)=mx 2+4mx+3=m(x+2)2-4m +3＞-4m+ 3

②若m<0 函数 f(x)=mx 2+4mx+3 开口向下要使 f(x)=mx 2+4mx+3≠0 恒成立

则函数 f(x)=mx 2+4mx+3 的最大值应小于零又 f(x)=mx 2+4mx+3=m(x+2)2+3-4m ＜3-4m

11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ B ）

(A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 解:

对于函数f(x)=ax 2+bx+c

①当a ＞0时,函数图像开口向上, 函数有极小值,

当△≥0时,函数图像与x 轴有交点

当△＜0时,函数图像与x 轴没有交点,函数值恒大于0 ②当a ＜0时,函数图像开口向下, 函数有极大值,

当△≥0时,函数图像与x 轴有交点

当△＜0时,函数图像与x 轴没有交点,函数值恒小于0 ③当a=0时,构不成二次函数,所以没有讨论的必要!

∵()f x =的定义域为R ，当m>0时∴2

mx +mx+1≥0,令y=2

mx +mx+1 ∵y=2

mx +mx+1≥0, ∴△≤0即△=b 2-4ac=m 2-4m ×1≤0

m 2-4m ≤0→ m 2-4m+4-4≤0→(m-2)2-4≤0→(m-2)2

≤4→?

?≥→-≥-≤→≤-022422m m m m ∴0≤m ≤4 当m=0时f(x)=1,其定义域为R 恒成立

当m>0时f(x)恒成立0≤m ≤4

m<0时，f(x)不是恒成立,虽然有个别数是，但不能定义域全为R ，所以不用解。当m ≥0时f(x)恒成立，能

成立的才解∴解0≤m ≤4 12、对于11a -≤≤，不等式2

(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ B ）

(A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 解:

x 2

+(a-2)x+1-a ＞0

x 2

+ax-2x+1-a>0→ +ax-a+ x 2

-2x+1 >0 a(x-1)+(x-1)2

a(x-1)>-(x-1)2

→

(x-1)（a+x-1）>0??

?-→-+→-a x x a x x 1011

01 或a

x x a x x -→-+→-101101

分类讨论

1.当x=1时, a(x-1)>-(x-1)2

两边均为0,不成立大于这个条件 2.当x ≠1时

①当x-1>0,即x>1时 a>-(x-1) x>1-a

因为-1≤a ≤1,?

??====0a -1 1a 2a -1 -1a ，，

时当时当，所以0≤1-a ≤2

若要恒成立,则x>2

②当x-1<0,即x<1时

x<1-a

∵0≤1-a ≤2，若要恒成立，x<1-a ，即

x<0, 综上所诉,x>2

或x<0

13、函数()f x = D ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}-

解:

?????→→4

≥ x 0≥4-x 4

≤x 0≥x -42

2→同时成立则x 2=4→x=±2 所以定义域{2,-2} 14、函数1

()(0)f x x x x

≠是（ B ） x 1 A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数解: ∵x ≠0即x ∈(－∞,0)∪(0,＋∞)

∵f(x)=x ＋

1∵f(－x)=(－x)+

-1= (－x)-

1=－f(x)∴f(－x)=－f(x)这个函数是奇函数.

设0

f(x2)-f(x1)=x2-x1+

1x -

=(x2-x1)+x1x2x2

-x1= (x2-x1)-x1x21-x2x

=(x2-x1)(1-x1x21

)因为 0

∴x1x2<1，∴x1x21＞1, (1-x1x21)＜0, (x2-x1)(1-x1x21

)<0, f(x2)-f(x1) <0,

f(x1)>f(x2), ∵0

1在区间(0,1]上是减函数.

15、函数2

2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<

，若()3f x =，则x =

解: ??

??--）2（舍去， =x ，解得3=2x 时，即 2 ≥x 当）1（舍去， 3 -=x ，或3 =x ，解得3=x 时，即

2＜x ＜1- 当）1（舍去，1=x ，解得3=2+x 时，即 1-≤

x 当23

2因少于因少于因大于

故当f （x ）=3，则x= 3,

故答案为：3

16、已知函数f x (

)的定义域是[0，1]，则g x f x a f x a a ()()()()=+?--<≤1

0的定义域为。解:

y=f(x)定义域为[0,1],则在f(x+a)?f(x-a)中需同时满足 (x+a)∈[0,1] ……① (x-a)∈[0,1] ……② 由①得 x ∈[-a,1-a]；由②得 x ∈[ a,1+a]

取①与②交集,但要讨论 a 的范围但这a 范围已定 ∵2

＜a ≤0,

⑴若x ∈[-a,1+a], 则

-a ∈???==--0

21）（→0≤-a ＜21,

(1+a)∈

211001=

-+=+）（→

1＜1+a ≤1,

∴[-a,1+a]符合f x ()的定义域是[0，1]，有交集,即所求函数定义域为 [-a, 1+a] . ⑵若 a= 0,则所求函数定义域为[0,1] ⑶若x ∈[a,1-a], 则

a ∈2

＜a ≤0,

1-a ∈?

??=-=--1011123

21大于）（→即1-a ≥1 ∴[a,1-a]不符合f x ()的定义域是[0，1]，交集为空,所求函数定义域为空集

总合为所求函数定义域为 [-a, 1+a] 17、已知函数2

mx n

y x +=

+的最大值为4，最小值为 —1 ，则m = ，n = 解:

【韦达定理(不一定这里题全用到，但温习下)：

设一元二次方程

中，两根x ?、x ?有如下关系：

数学推导：由一元二次方程求根公式知：

241,22b b ac

x -±-=

则有：

逆定理：如果两数α和β满足如下关系：α+β=

，α·β= ，那么这两个数α和β是方程

的根。通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二

次方程。

推广定理：韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n 次方程根与系数的关系。定理：设（i=1、2、3、……n ）是方

程：

的n 个根，记（k 为整数），则有：。

4m =± 3n =】

方法㈠

∵2

mx n

y x +=

+→y(x 2+1)=mx+n →yx 2+y-mx-n=0→ yx 2-mx+y -n=0, ∵最大值为4，最小值为 —1, 有实数解。

(在数学中，Δ在一元二次方程ax 2

+bx+c=0(a≠0)或二次函数y=ax 2

+bx+c(a≠0)中若Δ≥0方程有实数解（若Δ＞0，方程有两个不相等的实数解；若Δ=0，方程有两个相等的实数解），若Δ＜0方程无实数解；在二次函数中，若Δ≥0图像与x 轴有交点（若Δ＞0，图像与x 轴有两个交点；若Δ=0，图像与x 轴有一个交点），若Δ＜0图像与x 轴无交点。＝ ∴Δ≥0,→ b2-4ac ≥0

→(-m)

-4y(y-n) ≥0

→m 2-4y 2+4yn ≥0→ -m 2+4y 2-4y n ≤0

→4y

-4ny- m 2

≤0

对于4y 2

-4ny- m 2

≤0有两个根，

韦达定理y

），（21(韦达定理的x

看成y)=a

b b 242-±-,∵这里4a

c -b 2恒≥0，

∵最大值为4，最小值为 —1

∴4m =± 3n =

方法㈡

∵2

mx n

y x +=

+→ yx 2-mx+y -n=0（由上解简化）

∴4m =± 3n =.

18、把函数1

y x =+的图象沿x 轴向左平移一个单位后，得到图象C ，则C 关于原点对称的图象的解析式为解：

把函数y=

1+x 的图象沿x 轴向左平移一个单位后即

y=f(x+1), （记住左加右减才能回到y=f(x)

的意思）

()111++x → y=2

1+x

C 关于原点对称的图象的函数解析式为：-y =f(-x+1)

→

y =2

1+-x →

+-x → y=21-x ,∴解析式为y=21-x .

19、求函数12)(2

--=ax x x f 在区间[ 0 , 2 ]上的最值【注：〔考点名称：二次函数的性质及应用〕

二次函数的定义：一般地，如果

（a ，b ，c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数。

二次函数的图像：是一条关于x= -2b

a 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向，a 表示开口方向；a ＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；

②有对称轴x= -2b a ；③有顶点(-2b a , 2

44ac b a -) ；④ c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）。

二次函数y=ax2+bx+c 性质：

①当a ＞0时，函数f （x ）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数；

②当a<0时，函数f （x ）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。〕

】

f(x)=x 2-2ax-1=(x-a)

-a 2-1=（x-a)2

-（1+a 2）

为二次函数,图象为开口向上的抛物线（∵A=1＞0，这个A 特指通用的a ） f(x)m ax 表示函数的最大值，f(x)min 是最小值。

∵函数f （x ）的图象开口向上，在区间［0,2］上的最值与对称轴为x=a 和区间［0,2］的相对位置相关，用的方法就是对称轴距离（对称轴是a ，记住是X -a 的绝对值与对称轴a 数字最相近时）越近, 函数值越小, 距离对称轴越远, 函数值越大。

① 当a ＜0时，函数f （x ）在[0，2]上单调递增

∴最大值f （x ）max =f （2）=3-4a ，最小值f （x ）min =f （0）=-1 值域为[-1，3-4a]……（3分）

②当0≤a ＜1时，函数f （x ）在[0，a]上单调递减，在[a ，2]上单调递增 ∴最大值在x ＝2处取得f （x ）max =f （2）=3-4a ，

最小值在对称轴处取得f （x ）min =f （a ）=-1-a 2

值域为[-a 2-1，3-4a]……（5分）

③当1≤a ＜2时函数f （x ）在[0，a]上单调递减，在[a ，2]上单调递增 ∴最大值在0处取得，f （x ）max =f （0）=-1，

最小值仍在对称轴处取得，f （x ）min =f （a ）=-1-a 2

值域为[-a 2-1，-1]……（8分）

④当a ≥2时，函数f （x ）在[0，2]上单调递减

∴最大值f （x ）max =f （0）=-1，最小值f （x ）min =f （，2）=3-4a 值域为[3-4a ，1]

∴简化答案如下：

对称轴为x a = （1）0a ≤时，min ()(0)1f x f ==- ， max ()(2)34f x f a ==-

（2）01a <≤时，2

min ()()1f x f a a ==-- ，max ()(2)34f x f a ==- （3）12a <≤时，2

min ()()1f x f a a ==-- ，max ()(0)1f x f ==-

（4）2a >时，min ()(2)34f x f a ==- ，max ()(0)1f x f ==-

20、若函数2

()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，求函数()g t 当∈t [-3,-2]时的最值。解：

首先配方得f （x ）=x 2

-2x+2=（x-1）2

+1，则这个函数的对称轴为：x=1. 是二次函数的抛物线开口向上。 x 属于[t ，t+1] 时，f （x ）的最小值为g （t ），

f （x ）=（x-1）2

+1不论是g(t)或g(t+1)的值它们都是非负的。

｛注：解法：此类题主要先是分三种情况【区间在对称轴（这里是1）的左边（t ≤0）、右边（t ≥1）、之间

（0＜t ＜1即介于0，对称轴1之间）】讨论可得二次函数的最小值即得g （t ）的函数表达式为几个函数段，再对相关的某分段函数在[-3，-2]求出最值即可得．｝

① 当t+1≤1，即t ≤0时，f （x ）在[t ，t+1]上单调递减（即X 越小，绝对值Y 就越大），

∴f （x ）的最小值（即x-1的绝对值与对称轴1数字最近时）g （t ）=f （t+1）【注：（∵t ≤0，（x-1）2

出

来的都是正的，这里（t+1）-1的绝对值比t-1的绝对值更近对称轴1，∴取f （t+1）。】

f （x ）=x 2-2x+2，∴ f （t+1）=()2

1t +-2（t+1）+2=2t +1 ………3分

②当t ＜1＜t+1，即0＜t ＜1时，f （x ）的最小值g （t ）=f （1）

（注：∵ f （x ）的 x ∈[t ，t+1] ，∴ x 取1时f （x ）更近对称轴1 ） ………5分 f （1）=1

③当t ≥1时，f （x ）在[t ，t+1]上单调递增， ∴f （x ）的最小值g （t ）=f （t ）（注： x 取t 时f （x ）更近对称轴1 ） f （t ）=t 2-2t+2 ………8分

综上所述， ………10分

当t ∈（-∞，0]时，g （t ）= t 2

+1为减函数，｛注：[-3，-2] ∈（-∞，0] ｝

∴在[-3，-2]上，g （t ）= t 2+1也为减函数，当t= -2时,g （t ）有最小值。当t= -3时,g （t ）有最大值。 ∴g （t ）min 最小值= ()2g -= t 2

+1=()2

2-+1=5，

g （t ）max 最大值= ()3g -= t 2+1=()2

3-+1=10． ………14分．

21、已知a R ∈，讨论关于x 的方程2

680x x a -+-=的根的情况。解：

x 2

-6x +8-a=0

→（x -3)

-1-a=0

→（x -3)

=a+1

①a+1<0,即a< -1时,无解

②a+1=0.即a=-1时,有两个绝对值相等的解

x -3=0

→

x =3→x=±3

③a+1>0.即a> -1时,有4个解 ∵a+1>0

→a> -1 ∴x -3=±

+a →x=±（±

1+a +3 ）

∴?

??++±±=>+±==+<+)

31(013x 01,01a x a ，a a 时时无解时

22、已知

a ≤≤，若2()21f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-。（1）求函数()g a 的表达式；（2）判断函数()g a 的单调性，并求()g a 的最小值。

解：

【注：重温习：二次函数的定义：一般地，如果

（a ，b ，c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的

二次函数。二次函数的图像：是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有

开口方向，a 表示开口方向；a ＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③

有顶点；④c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）。性质：二次函数y=ax 2+bx+c ，①当

a ＞0时，函数f （x ）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a<0时，

函数f （x ）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。】

① f(x)=ax 2-2x+1

的对称轴为x= -A B 2 = -a 22

-= -a 1-=a 1

∵31

≤a ≤1，

→1≤3a ≤3→

a 1

≤3≤a 3

∴a>0，a

3 >0，a 1

不等式两边乘以大于0的数，不等式仍成立

1≤a 两边乘以a

→

1×a 3≤a ×a

3→

a 1≤3

a≤1两边乘以a 1

→a ×a 1≤1×a

1→1≤a

???≤≤a

a 1113

高中数学必修一函数难题

高中函数大题专练２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由；（2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。

高一数学函数练习题及答案

数学高一函数练习题（高一升高二衔接）一、求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x +的定义域为。 4、知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。三、求函数的解析式 1、已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236x y x -= +的递减区间是；函数y =的递减区间是五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x ； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。

高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题附答案解析

高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题附答案解析 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

高一数学必修一集合与函数的概念单元测试附答案解析 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( ) A ．{0} B ．{0,2} C ．{－2,0} D ．{－2,0,2} 2．设f ：x →|x |是集合A 到集合B 的映射，若A ＝{－2,0,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{2} C ．{0,2} D ．{－2,0} 3．f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点在函数f (x )图象上的是( ) A ．(3，－2) B ．(3,2) C ．(－3，－2) D ．(2，－3) 4．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 5．若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝9x ＋8 B ．f (x )＝3x ＋2 C ．f (x )＝－3x －4 D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 6．设f (x )＝??? x ＋3 x >10， fx ＋5 x ≤10，则f (5)的值为( ) A ．16 B ．18 C ．21 D ．24 7．设T ＝{(x ，y )|ax ＋y －3＝0}，S ＝{(x ，y )|x －y －b ＝0}，若S ∩T ＝{(2,1)}，则 a ， b 的值为( ) A ．a ＝1，b ＝－1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝1 D ．a ＝－1，b ＝－1 8．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) C ．(－1,0) 9．已知A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f 是从A 到B 映射的对应关系，则满足f (0)>f (1)的映射有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－ x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0，则当n ∈N *时，有( ) A ．f (－n )

高一数学函数及其表示测试题及答案

必修1数学章节测试（3）—第一单元（函数及其表示）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．下列四种说法正确的一个是（） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的数集B C ．函数是一种特殊的映射 D ．映射是一种特殊的函数 2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于（） A ．q p + B ．q p 23+ C ．q p 32+ D ．2 3 q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是（） A ．x x y y = =,1 B ．1,112-=+?-= x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2 )(|,|x y x y == 4．已知函数2 3212 ---= x x x y 的定义域为（） A ．]1,(-∞ B ．]2,(-∞ C ．]1,21 ()21 ,(- ?--∞ D ． ]1,2 1()21,(- ?--∞ 5．设?? ???<=>+=)0(,0)0(,) 0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （） A ．1+π B ．0 C ．π D ．1- 6．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2 与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是（） 7．设函数x x x f =+-)11(，则)(x f 的表达式为（） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．x x +-11 D ． 1 2+x x 8．已知二次函数)0()(2 >++=a a x x x f ，若0)(

高一函数经典难题讲解

高一经典难题讲解 1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以，f(x)= -1+1/(a-x), 当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时 x∈[a-1,a-1/2] (a-x)∈[1/2,1] 1/(a-x)∈[1,2] f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1] 2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间 (2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2 当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1 当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增； (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① a=0时x=0,零点个数为1； a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2; 04时，②无实根，零点个数为1。 a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+4a)]/2； x4时零点个数为1； a=土4时，零点个数为2； -4

高一数学函数试卷及答案

高一数学函数试卷及答案 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-

函数测试题班级姓名学号成绩一、选择题：（本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数y = ） A )4 3 ,21(- B ]4 3,21[- C ),4 3[]2 1,(+∞?-∞ D ),0()0,2 1(+∞?- 2.下列对应关系f 中，不是从集合A 到集合B 的映射的是（） A A=}{是锐角x x ，B=（0，1），f ：求正弦； B A=R ，B=R ，f ：取绝对值 C A=+R ，B=R ，f ：求平方； D A=R ，B=R ，f ：取倒数 3二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为（） A 7- B 1 C 17 D 25 4.已知???<+≥-=)6()2()6(5 )(x x f x x x f ，则f(3)为（） A 2 B 3 C 4 D 5 5.二次函数2y ax bx c =++中，0a c ?<，则函数的零点个数是（） A 0个 B 1个 C 2个 D 无法确定 6.如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值范围是（） A 3-≤a B 3-≥a C 5≤a D 5≥a 7.若132 log