偏最小二乘回归多元线性回归分析典型相关分析主成分分析
偏最小二乘回归是一种新型的多元统计数据分析方法，它与1983年由伍德与阿巴诺等人首次提出。近十年来，它在理论、方法与应用方面都得到了迅速的发展。密西根大学的弗耐尔教授称偏最小二乘回归为
第二代回归分析方法。
偏最小二乘回归方法在统计应用中的重要性主要的有以下几个方面：（1）偏最小二乘回归是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。
（2）偏最小二乘回归可以较好地解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。在普通多元线形回归的应用中，我们常受到许多限制。最典型的问题就是自变量之间的多重相关性。如果采用普通的最小二乘方法，这种变量多重相关性就会严重危害参数估计，扩大模型误差，并破坏模型的稳定性。变量多重相关问题十分复杂，长期以来在理论与方法上都未给出满意的答案，这一直困扰着从事实际系统分析的工作人员。在偏最小二乘回归中开辟了一种有效的技术途径，它利用对系统中的数据信息进行分解与筛选的方式，提取对因变量的解释性最强的综合变量，辨识系统中的信息与噪声，从而更好地克服变量多重相关性在系统建模中的不良作用。
（3）偏最小二乘回归之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。
由于偏最小二乘回归在建模的同时实现了数据结构的简化，因此，可以在二维平面图上对多维数据的特性进行观察，这使得偏最小二乘回归分析的图形功能十分强大。在一次偏最小二乘回归分析计算后，不但可以得到多因变量对多自变量的回归模型，而且可以在平面图上直接观察两组变量之间的相关关系，以及观察样本点间的相似性结构。这种高维数据多个层面的可视见性，可以使数据系统的分析内容更加丰富，同时又可以对所建立的回归模型给予许多更详细深入的实际解释。
一、 偏最小二乘回归的建模策略\原理\方法 1.1建模原理
设有 q 个因变量{q y y ,...,1}与p 自变量{p x x ,...,1}。为了研究因变量与自变量的统计关系,我们观测了n 个样本点,由此构成了自变量与因变量的数据表X={p x x ,...,1}与.Y={q y y ,...,1}。偏最小二乘回归分别在X 与Y 中提取出成分1t 与1u (也就是说, 1t 是p x x ,...,1 的线形组合, 1u 是
q y y ,...,1 的线形组合).在提取这两个成分时,为了回归分析的需要,有
下列两个要求:
(1) 1t 与1u 应尽可能大地携带他们各自数据表中的变异信息; (2) 1t 与1u 的相关程度能够达到最大。
这两个要求表明，1t 与1u 应尽可能好的代表数据表X 与Y,同时自变量的成分 1t 对因变量的成分1u 又有最强的解释能力。
在第一个成分1t 与 1u 被提取后，偏最小二乘回归分别实施X 对
1t 的回归以及 Y 对1u 的回归。如果回归方程已经达到满意的精度，
则算法终止；否则,将利用 X 被1t 解释后的残余信息以及Y 被1t 解释后的残余信息进行第二轮的成分提取。如此往复，直到能达到一个较满意的精度为止。若最终对 X 共提取了 m 个成分1t ，…，m t ，偏最小二乘回归将通过实施
k
y 对1t ，…，m t ， 的回归,然后再表达成k
y 关于原变量x 1，…，x m ， 的回归方程,k=1,2,…,q 。 1.2计算方法推导
为了数学推导方便起见,首先将数据做标准化处理。X 经标准化处理后的数据矩阵记为0E =(E 01
，…，E p
0)p n ⨯，j Y 经标准化处理后的
数据矩阵记为0F =(01F ，…，q F 0)p n ⨯。
第一步 记1t 是0
E 的第一个成分，1w 是0
E 的第一个轴，它是一
个单位向量，既||1w ||=1。
记1u 是0F 的第一个成分，1u =0
F c 1
。c 1
是0
F
的第一个轴，并且
||c 1||=1。
如果要1t ，1u 能分别很好的代表X 与Y 中的数据变异信息，根据主成分分析原理，应该有
Var(1u )→max Var(1t )→max
另一方面，由于回归建模的需要，又要求1t 对1u 有很大的解释能力，有典型相关分析的思路，1t 与1u 的相关度应达到最大值，既
r （1t ，1u ）→max
因此，综合起来，在偏最小二乘回归中，我们要求1t 与1u 的协方差达到最大，既
Cov(1t ，1u )=
)()(11u t Var Var r(1
t ，1u )
→max
正规的数学表述应该是求解下列优化问题，既
因此，将在||1w ||2=1与||c 1||2=1的约束条件下，去求(w '
1E '0F 0c 1)的最大值。
如果采用拉格朗日算法，记
s=w '1E '00F c 1－λ1 (w '1
1w －1)－λ2 (c '
1c 1－1)
对s 分别求关于1w ，c 1，λ1与λ2的偏导并令之为零，有 1
w s
∂∂=E '00F c 1
－λ
1
21w =0 (1 -2)
1
c s
∂∂=F '00E 1w －λ22c 1
=0 (1-3)
1
λ∂∂s =－(w '
1
1w －1)=0 (1-4)
2
λ∂∂s
=－(c '1c 1－1)=0 (1-5) 由式(1-2)~(1-5),可以推出
记100'1'21122c F E w ===λλθ,所以,1θ正是优化问题的目标函数值. 把式(1-2)与式(1-3)写成
11100'w c F E θ= (1-6)
11100'c w E F θ= (1-7)
将式(1-7)代入式(1-6),有
12
1100'00'w w E F F E θ= (1-8)
同理,可得
12
1100'00'c c F E E F θ= (1-9)
可见,1w 是矩阵00'00'E F F E 的特征向量,对应的特征值为21θ.1θ是目标函数值,它要求取最大值,所以, 1w 是对应于00'00'E F F E 矩阵最大特征值的单位特征向量.而另一方面, 1c 是对应于矩阵00'00'F E E F 最大特征值
21θ的单位特征向量.
求得轴1w 与1c 后,即可得到成分
然后,分别求0E 与0F 对1t ,1u 的三个回归方程 11'10E p t E +=
(1-10)
11'10*+=F q u F (1-11)
11'10F r t F += (1-12)
式中,回归系数向量是
2
11
0'1||
||t t E p = (1-13)
2
11
0'1||||u u F q =
(1-14)
2
11
0'1||
||t t F r = (1-15) 而1E ,1*F ,1F 分别是三个回归方程的残差矩阵.
第二步 用残差矩阵1E 与1F 取代0E 与0F ,然后,求第二个轴2w 与
2c 以及第二个成分2t ,2u ,有
2w 是对应于矩阵11'11'E F F E 最大特征值2
2θ的特征值, 2c 是对应于
矩阵11'11'F E E F 最大特征值的特征向量.计算回归系数 因此,有回归方程
如此计算下去,如果X 的秩是A ,则会有
A A p t p t E '1'10++= （1-16）
A A A F r t r t F +++='1'10 （1-17）
由于,A t t ,,1 均可以表示成p E E 001,, 的线性组合,因此,式(1-17)还可以还原成k k F y 0*=关于k j E x 0*=的回归方程形式，即
Ak p kp k k F x x y +++=**
11*αα k=1,2,…,q
Ak F 是残差距阵A F 的第k 列。
1.3交叉有效性
下面要讨论的问题是在现有的数据表下,如何确定更好的回归方程。在许多情形下,偏最小二乘回归方程并不需要选用全部的成分
A t t ,,1 进行回归建模,而是可以象在主成分分析一样,采用截尾的方式
选择前m 个成分))(,(X A A m 秩=<,仅用这m 个后续的成分m t t ,,1 就可以得到一个预测性较好的模型。事实上,如果后续的成分已经不能
为解释0F 提供更有意义的信息时,采用过多的成分只会破坏对统计趋势的认识,引导错误的预测结论。在多元回归分析一章中,我们曾在调整复测定系数的内容中讨论过这一观点。
下面的问题是怎样来确定所应提取的成分个数。
在多元回归分析中,曾介绍过用抽样测试法来确定回归模型是否适于预测应用。我们把手中的数据分成两部分:第一部分用于建立回归
方程,求出回归系数估计量B b ,拟合值B y ˆ以及残差均方与2ˆB σ;再用第二部分数据作为实验点,代入刚才所求得的回归方程,由此求出2
ˆˆT T y σ和。一般地,若有≈2ˆT σ2ˆB σ,则回归方程会有更好的预测效果。若 >>2ˆT σ2
ˆB σ,
则回归方程不宜用于预测。
在偏最小二乘回归建模中,究竟应该选取多少个成分为宜,这可通过考察增加一个新的成分后,能否对模型的预测功能有明显的改进来考虑。采用类似于抽样测试法的工作方式,把所有n 个样本点分成两部分:第一部分除去某个样本点i 的所有样本点集合(共含n-1个样本点),用这部分样本点并使用h 个成分拟合一个回归方程;第二部分是把刚才被排除的样本点i 代入前面拟合的回归方程,得到j y 在样本点i
上的拟合值)(ˆi hj y
-。对于每一个i =1,2,…,n,重复上述测试,则可以定义j y 的预测误差平方与为hj PRESS ,有
∑=--=n
i i hj ij hj y
y PRESS 1
2)()ˆ( (1-18) 定义Y
的预测误差平方与为h PRESS ,有
∑==p
j hj h PRESS PRESS 1
(1-19)
显然,如果回归方程的稳健性不好,误差就很大,它对样本点的变动就会十分敏感,这种扰动误差的作用,就会加大h PRESS 的值。
另外,再采用所有的样本点,拟合含h 个成分的回归方程。这是,
记第i 个样本点的预测值为hji y
ˆ,则可以记j y 的误差平方与为hj SS ,有 ∑=-=n
i hji ij hj y
y SS 1
2)ˆ( (1-20) 定义Y 的误差平方与为h SS ,有
∑==p
j hj h SS SS 1
(1-21)
一般说来,总是有h PRESS 大于h SS ,而h SS 则总是小于1-h SS 。下面比
较1-h SS 与h PRESS 。
1-h SS 是用全部样本点拟合的具有h-1个成分的方程的拟合误差; h PRESS 增加了一个成分h t ,但却含有样本点的扰动误差。如果h 个成分的回归方程的含扰动误差能在一定程度上小于(h-1)个成分回归方程的拟合误差,则认为增加一个成分h t ,会使预测结果明显提高。因此我们希望)/(1-h h SS PRESS 的比值能越小越好。在SIMCA-P 软件中,指定
即195.0-≤h h SS PRESS 时,增加成分h t 就是有益的;或者反过来说,当
195.0->h h SS PRESS 时,就认为增加新的成分h t ,对减少方程的预测误
差无明显的改善作用.
另有一种等价的定义称为交叉有效性。对每一个变量k y ,定义
k
h hk
hk SS PRESS Q )1(2
1--
= (1-22)
对于全部因变量Y,成分h t 交叉有效性定义为
)
1()1(1
211--=-
=-
=∑∑h h
k
h q
k hk
h
SS PRESS SS
PRESS
Q (1-23)
用交叉有效性测量成分h t 对预测模型精度的边际贡献有如下两个尺度。
(1)
当0975.0)95.01(22=-≥h Q 时, h t 成分的边际贡献是显著的。显而易见, 0975.02≥h Q 与2195.0)/(<-h h SS PRESS 是完全等价的决策原则。
(2)
对于k=1,2,…,q,至少有一个k,使得
这时增加成分h t ,至少使一个因变量k y 的预测模型得到显著的改善,因此,也可以考虑增加成分h t 是明显有益的。
明确了偏最小二乘回归方法的基本原理、方法及算法步骤后，我们将做实证分析。
附 录
function w=maxdet(A) %求矩阵的最大特征值 [v,d]=eig(A); [n,p]=size(d); d1=d*ones(p,1); d2=max(d1); i=find(d1==d2); w=v(:,i);
function [c,m,v]=norm1(C)
%对数据进行标准化处理
[n,s]=size(C);
for i=1:n
for j=1:s
c(i,j)=(C(i,j)-mean(C(:,j)))/sqrt(cov(C(:,j)));
end
end
m=mean(C);
for j=1:s
v(1,j)=sqrt(cov(C(:,j)));
end
function [t,q,w,wh,f0,FF]=fun717(px,py,C)
% px自变量的输入个数
% py输入因变量的个数。
% C输入的自变量与因变量组成的矩阵
% t提取的主成分
% q为回归系数。
% w最大特征值所对应的特征向量。
% wh处理后的特征向量
% f0回归的标准化的方程系数
% FF原始变量的回归方程的系数
c=norm1(C); %norm1为标准化
函数
y=c(:,px+1:px+py); %截取标准化的因变量
E0=c(:,1:px);
F0=c(:,px+1:px+py);
A=E0'*F0*F0'*E0;
w(:,1)=maxdet(A); %求最大特征向量
t(:,1)=E0*w(:,1); %提取主成分
E(:,1:px)=E0-t(:,1)*(E0'*t(:,1)/(t(:,1)'*t(:,1)))';
% 获得回归系数
p(:,1:px)=(E0'*t(:,1)/(t(:,1)'*t(:,1)))';
for i=0:px-2
B(:,px*i+1:px*i+px)=E(:,px*i+1:px*i+px)'*F0*F0'*E(:,px*i+1: px*i+px);
w(:,i+2)=maxdet(B(:,px*i+1:px*i+px));
% maxdet为求最大特征值的函数
t(:,i+2)=E(:,px*i+1:px*i+px)*w(:,i+2);
p(:,px*i+px+1:px*i+2*px)=(E(:,px*i+1:px*i+px)'*t(:,i+2)/(t(:,i+2 )'*t(:,i+2)))';
E(:,px*i+px+1:px*i+2*px)=E(:,px*i+1:px*i+px)-t(:,i+2)*(E(:,px*i +1:px*i+px)'*t(:,i+2)/(t(:,i+2)'*t(:,i+2)))';
end
for s=1:px
q(:,s)=p(1,px*(s-1)+1:px*s)';
end
[n,d]=size(q);
for h=1:px
iw=eye(d);
for j=1:h-1
iw=iw*(eye(d)-w(:,j)*q(:,j)');
end
wh(:,h)=iw*w(:,h);
end
for j=1:py
zr(j,:)=(regress1(y(:,j),t))'; %求回归系数end
for j=1:px
fori=1:py
%生成标准化变量的方程的系数矩阵
w1=wh(:,1:j);
zr1=(zr(i,1:j))';
f0(i,:,j)=(w1*zr1)';
end
[normxy,meanxy,covxy]=norm1(C);
%normxy标准化后的数据矩阵
%meanxy每一列的均值
%covxy每一列的方差
ccxx=ones(py,1)*meanxy(1,1:px);
ccy=(covxy(1,px+1:px+py))'*ones(1,px);
ccx=ones(py,1)*(covxy(1,1:px));
ff=ccy.*f0(:,:,j)./ccx;
fff=-(sum((ccy.*ccxx.*f0(:,:,j)./ccx)')-meanxy(1,px+1:px+py))';
FF(:,:,j)=[fff,ff];
%生成原始变量方程的常数项与系数矩阵
end
function [r,Rdyt,RdYt,RdYtt,Rdytt,VIP]=fun8y(px,py,c) X=c(:,1:px);
Y=c(:,px+1:px+py);
x=norm1(X);
y=norm1(Y);
[t,q,w]=fun717(px,py,[X,Y]);
r1=corrcoef([y,t]);
r=r1(py+1:px+py,1:py)';
Rdyt=r.^2;
RdYt=mean(Rdyt)
for m=1:px
RdYtt(1,m)=sum(RdYt(1,1:m)');
end
for j=1:py
for m=1:py
Rdytt(j,m)=sum(Rdyt(j,1:m)');
end
end
for j=1:px
for m=1:px
Rd(j,m)=RdYt(1,1:m)*((w(j,1:m).^2)');
end
end
for j=1:px
VIP(j,:)=sqrt((px*ones(1,px)./RdYtt).*Rd(j,:)); end
function [r,Rdxt,RdXt,RdXtt,Rdxtt]=fun8x(px,py,c) X=c(:,1:px);
Y=c(:,px+1:px+py);
x=norm1(X);
y=norm1(Y);
[t,q,w]=fun717(px,py,[X,Y]);
r1=corrcoef([x,t]);
r=r1(px+1:px+px,1:px)';
Rdxt=r.^2;
RdXt=mean(Rdxt);
for m=1:px
RdXtt(1,m)=sum(RdXt(1,1:m)');
end
for j=1:px
for m=1:px
Rdxtt(j,m)=sum(Rdxt(j,1:m)');
end
end
% for j=1:px
% for m=1:px
% Rd(j,m)=RdXt(1,1:m)*((w(j,1:m).^2)');
% end
% end
% for j=1:px
% VIP(j,:)=sqrt((px*ones(1,px)./RdYtt).*Rd(j,:));
% end
function [t,u]=TU(px,py,C)
%t提取的自变量的主成分
%u 提取的因变量的主成分
c=norm1(C);
y=c(:,px+1:px+py);
E0=c(:,1:px);
F0=c(:,px+1:px+py);
A=E0'*F0*F0'*E0;
w(:,1)=maxdet(A);
t(:,1)=E0*w(:,1);
B=F0'*E0*E0'*F0;
cc(:,1)=maxdet(B);
u(:,1)=F0*cc(:,1);
function drew(px,py,c)
X=c(:,1:px);
Y=c(:,px+1:px+py);
[line,l]=size(Y);
[t,q,w,wh,f0,FF]=fun717(px,py,c);
YY=X*FF(:,2:px+1,3)'+ones(line,1)*FF(:,1,3)';
subplot(1,1,1,1)
bar(f0(:,:,3))
title(' 直方图')
legend('SG','TZBFB','FHL','JK','HPZD','JPZD','TZ','ZG','GPK') grid on
plot(YY(:,4),Y(:,4),'+');
lsline
for i=1:py
v=mod(i,4);
d=(i-v)/4;
subplot(2,2,v,d+1)
plot(YY(:,i),Y(:,i),'*');
lsline
end
function [ Qhj,Qh,prey]=crossval7(px,py,c)
%px是自变量的个数；
%py是因量
PRESShj=zeros(px,py);
X=c(:,1:px);
Y=c(:,px+1:px+py);
x=norm1(X);
y=norm1(Y);
[line,row]=size(x);
for h=1:px
for j=1:line
newx=X;
newy=Y;
newx(j,:)=[];
newy(j,:)=[];
[t,p0,w,wh,f0,FF]=fun717(px,py,[newx,ne
wy]);
prey(j,:,h)=X(j,:)*FF(:,2:px+1,h)'+FF(:,1,h)';
end
PRESShj(h,:)=sum((Y-prey(:,:,h)).^2);
end
PRESSh=(sum(PRESShj'))';
for h=1:px
[t1,p0,w,wh,f0,FF]=fun717(px,py,c);
prey2(:,:,h)=X(:,:)*FF(:,2:px+1,h)'+ones(line
,1)*FF(:,1,h)';
SShj(h,:)=sum((Y-prey2(:,:,h)).^2);
end
SSh=(sum(SShj'))';
Qhj=ones(px-1,py)-PRESShj(2:px,:).
/SShj(1:px-1,:); % 错位
Qh=ones(px-1,1)-PRESSh(2:px,1)./SSh(1:px-1,1);
偏最小二乘法(PLS)简介
偏最小二乘法（PLS）简介 偏最小二乘法（PLS ）简介 偏最小二乘法（PLS ）简介 简介 偏最小二乘法是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德（S.Wold）和阿巴诺（C.Albano）等人首次提出。近几十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。 偏最小二乘法 长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模（多元线性回归）、数据结构简化（主成分分析）以及两组变量之间的相关性分析（典型相关分析）。这是多元统计数据分析中 的一个飞跃。 偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面： 偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用 普通多元回归无法解决的问题。 偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。 主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X 中的相关信息，然后用于预测变量Y 的值。 这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分 进行挑选，那样又太困难了。 偏最小二乘回归可以解决这个问题。它采用对变量X 和Y 都进行分解的方法，从变量X 和Y 中同时提取成分（通常称为因子），再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。现在，我们要建立一个模型，我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了 基本概念 偏最小二乘回归是对多元线性回归模型的一种扩展，在其最简单的形式中，只用一个线性模 型来描述独立变量Y 与预测变量组X 之间的关系: 偏最小二乘法(PLS) 简介
(真正的好东西)偏最小二乘回归=多元线性回归分析+典型相关分析+主成分分析教学内容
(真正的好东西)偏最小二乘回归=多元线性回归分析+典型相关分析+主成分分析
偏最小二乘回归是一种新型的多元统计数据分析方法，它与1983年由伍德和阿巴诺等人首次提出。近十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。密西根大学的弗耐尔教授称偏最小二乘回归为第二代回归分析方法。偏最小二乘回归方法在统计应用中的重要性主要的有以下几个方面：（1）偏最小二乘回归是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。 （2）偏最小二乘回归可以较好地解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。在普通多元线形回归的应用中，我们常受到许多限制。最典型的问题就是自变量之间的多重相关性。如果采用普通的最小二乘方法，这种变量多重相关性就会严重危害参数估计，扩大模型误差，并破坏模型的稳定性。变量多重相关问题十分复杂，长期以来在理论和方法上都未给出满意的答案，这一直困扰着从事实际系统分析的工作人员。在偏最小二乘回归中开辟了一种有效的技术途径，它利用对系统中的数据信息进行分解和筛选的方式，提取对因变量的解释性最强的综合变量，辨识系统中的信息与噪声，从而更好地克服变量多重相关性在系统建模中的不良作用。 （3）偏最小二乘回归之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。 由于偏最小二乘回归在建模的同时实现了数据结构的简化，因此，可以在二维平面图上对多维数据的特性进行观察，这使得偏最小二乘回归分析的图形功能十分强大。在一次偏最小二乘回归分析计算后，不但可以得到多因变量对
多自变量的回归模型，而且可以在平面图上直接观察两组变量之间的相关关系，以及观察样本点间的相似性结构。这种高维数据多个层面的可视见性，可以使数据系统的分析内容更加丰富，同时又可以对所建立的回归模型给予许多更详细深入的实际解释。 一、 偏最小二乘回归的建模策略\原理\方法 1.1建模原理 设有 q 个因变量{q y y ,...,1}和p 自变量{p x x ,...,1}。为了研究因变量和自变量的统计关系,我们观测了n 个样本点,由此构成了自变量与因变量的数据表X={p x x ,...,1}和.Y={q y y ,...,1}。偏最小二乘回归分别在X 与Y 中提取出成分1t 和1u (也就是说, 1t 是p x x ,...,1 的线形组合, 1u 是q y y ,...,1 的线形组合).在提取这两个成分时,为了回归分析的需要,有下列两个要求: (1) 1t 和1u 应尽可能大地携带他们各自数据表中的变异信息; (2) 1t 与1u 的相关程度能够达到最大。 这两个要求表明，1t 和1u 应尽可能好的代表数据表X 和Y,同时自变量的成分 1t 对因变量的成分1u 又有最强的解释能力。 在第一个成分1t 和 1u 被提取后，偏最小二乘回归分别实施X 对 1t 的回归以及 Y 对1u 的回归。如果回归方程已经达到满意的精度，则算法终止；否则,将利用 X 被1t 解释后的残余信息以及Y 被1t 解释后的残余信息进行第二轮的成分提取。如此往复，直到能达到一个较满意的精度为止。若最终对 X 共提取了 m 个成分1 t ，…， m t ， 偏最小二乘回归将通过实施 k y 对1 t ，…， m t ， 的回归,然 后再表达成k y 关于原变量 x 1 ，…， x m ， 的回归方程,k=1,2,…,q 。
偏最小二乘法回归系数值
偏最小二乘法回归系数值 一、偏最小二乘法回归系数值的定义 偏最小二乘法回归系数值是用来量化自变量与因变量之间关系强度的参数，用来衡量自变量和因变量之间关系的强度和方向的统计量。它通过最小化预测误差方和来估计回归系数，从而得到回归方程。 二、偏最小二乘法回归系数值的意义 偏最小二乘法回归系数值是在回归分析中，偏最小二乘法是一种常用的方法，它通过对自变量和因变量进行线性回归分析，得出回归系数值，从而揭示出自变量对因变量的影响程度。 三、偏最小二乘法回归系数值的特点 偏最小二乘法回归系数值的特点在于自变量的变换过程，它使用了典型相关分析的目标函数和主成分分析的约束方程，变换是求解组间相关性最强的变量，不过它的约束条件是控制变换向量的范数。 四、偏最小二乘法回归系数值的影响 从形式上看，它使用了典型相关分析的目标函数和主成分分析的约束方程。另一个角度看，偏最小二乘的回归参数也是使用最小二乘估计的，所以它在回归参数求解的时候，对于多个因变量的参数是单独求解的。 在偏最小二乘法回归分析中，回归系数值的正负表示自变量和因变量之间的相关关系方向，正值表示正相关，负值表示负相关。回归系数值的绝对值大小则表示自变量对因变量的影响程度。一般来说，如果回归系数值的绝对值较大，说明自变量对因变量的影响程度较大，反之则较小。 五、解释偏最小二乘法回归系数值的注意事项
首先，回归系数值并不是一个概率或概率比值，它只表示自变量和因变量之间的相关关系强度和方向。 其次，回归系数值的大小并不代表预测的准确性，预测的准确性需要使用其他统计方法进行评估。 最后，回归系数值并不是固定不变的，它们会随着样本数据的变化而变化。 六、偏最小二乘回归系数值的计算步骤 1.收集数据，建立样本矩阵。 2.对样本矩阵进行标准化处理。 3.计算样本矩阵的协方差矩阵。 4.对协方差矩阵进行特征值分解。 5.提取主成分，保留前k个主成分。 6.建立回归模型，使用主成分作为自变量，因变量为原始数据中的因 变量。 7.对回归模型进行参数估计，得到回归系数值。 总之，偏最小二乘法回归系数值是用来衡量自变量和因变量之间关系的强度和方向的统计量，其正负表示相关关系方向，绝对值大小表示影响程度。在解释回归系数值时，需要注意它们并不代表概率或预测准确性，而是反映自变量和因变量之间的相关关系强度和方向。
数学中各种回归分析方法总结
其主要思路是将对异常值十分敏感的经典最小二乘回归中的目标函数进行修改。经典最小二乘回归以使误差平方和达到最小为其目标函数。因为方差为一不稳健统计量，故最小二乘回归是一种不稳健的方法。为减少异常点的作用，对不同的点施加不同的权重，残差小的点权重大，残差大的店权重小。 2、变系数回归 地理位置加权 3、偏最小二乘回归 长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。能够消除自变量选取时可能存在的多重共线性问题。普通最小二乘回归方法在自变量间存在严重的多重共线性时会失效。自变量的样本数与自变量个数相比过少时仍可进行预测。 4、支持向量回归 能较好地解决小样本、非线性、高维数和局部极小点等实际问题。 传统的化学计量学算法处理回归建模问题在拟合训练样本时,要求“残差平方和”最小,这样将有限样本数据中的误差也拟合进了数学模型,易产生“过拟合”问题,针对传统方法这一不足之处,SVR采用“ε不敏感函数”来解决“过拟合”问题,即f(x)用拟合目标值yk时,取:f(x) =∑SVs(αi-α*i)K(xi,x) 上式中αi和α*i为支持向量对应的拉格朗日待定系数,K(xi,x)是采用的核函数[18],x为未知样本的特征矢量,xi为支持向量(拟合函数周围的ε“管壁”上的特征矢量),SVs 为支持向量的数目.目标值yk拟合在yk-∑SVs(αi-α*i)K(xi,xk)≤ε时,即认为进一步拟合是无意义的。 5、核回归 核函数回归的最初始想法是用非参数方法来估计离散观测情况下的概率密度函数(pdf)。为了避免高维空间中的内积运算由Mercer条件，存在映射函数a和核函数K(?,?)，使得：
matlab中的偏最小二乘法(pls)回归模型,离群点检测和变量选择
matlab中的偏最小二乘法（pls）回归模型，离群点检测和变量选择 【实用版】 目录 一、偏最小二乘法（PLS）简介 二、PLS 回归模型的实现 三、离群点检测方法 四、变量选择方法 五、实例应用 六、模型评估与优化 正文 一、偏最小二乘法（PLS）简介 偏最小二乘法（PLS）是一种多元统计数据分析方法，于 1983 年由S.Wold 和 C.Albano 等人首次提出。PLS 实现了在一个算法下，可以同时实现回归建模（多元线性回归）、数据结构简化（主成分分析）以及两组变量之间的相关性分析（典型相关分析）。与 PCA 方法相比，PLS 不仅解决了自变量共线性的问题，还考虑了自变量主元对于因变量变化的解释作用。 二、PLS 回归模型的实现 在 MATLAB 中，可以通过调用 pls.m 函数建立 PLS 回归模型。该函数返回一个包含成分列表的对象 PLS。在构建模型时，需要对数据进行预处理，包括去除离群点和选择重要变量。 三、离群点检测方法 离群点是指数据集中与其它数据点显著不同的点。在 PLS 回归模型中，离群点可能会对模型的性能产生负面影响。为了识别和处理离群点，
可以采用以下方法： 1.基于残差的方法：通过计算数据点预测残差并与某个阈值进行比较，判断该数据点是否为离群点。 2.基于距离的方法：计算数据点到其它数据点的距离，根据距离阈值判断是否为离群点。 3.基于聚类的方法：对数据集进行聚类分析，将距离聚类中心较远的点视为离群点。 四、变量选择方法 在 PLS 回归模型中，变量选择是为了找到对因变量影响最大的自变量。常用的变量选择方法包括： 1.逐步回归法：从特征集开始，每一步根据某种准则（如 VIF、R 方等）移除一个特征，直到满足停止条件。 https://www.docsj.com/doc/0f19509296.html,sso 回归法：在回归模型中添加 L1 惩罚项，使得部分系数变为0，从而实现变量选择。 3.主成分分析（PCA）：将原始变量映射到新的主成分上，选择主要成分作为新变量，减少变量数量。 五、实例应用 本文以基准近红外数据为例，建立 PLS 回归模型，并采用离群点检 测和变量选择方法进行数据预处理。通过模型评估，选择最优的 PLS 模型。 六、模型评估与优化 为了评估 PLS 回归模型的性能，可以采用以下指标： 1.RMSEF：拟合的均方根误差。 2.R2：Y 的解释变异的百分比。
偏最小二乘回归
偏最小二乘回归 偏最小二乘回归（Partial Least Squares Regression，简称PLSR）是 一种主成分回归方法，旨在解决多元线性回归中自变量数目较多，且 存在共线性或多重共线性的问题。本文将介绍偏最小二乘回归的原理、应用案例以及优缺点。 1. 偏最小二乘回归原理 偏最小二乘回归是基于多元线性回归的一种方法，通过压缩自变量 的空间，将高维的自变量转化为低维的潜在变量，从而避免了多重共 线性的问题。在偏最小二乘回归中，我们定义两个主成分，其中第一 个主成分能最大化自变量与因变量之间的协方差，而第二个主成分垂 直于第一个主成分，以此类推。 2. 偏最小二乘回归应用案例 偏最小二乘回归在众多领域都有广泛的应用。以下是一些常见的应 用案例： 2.1 化学分析 在化学领域中，我们常常需要使用红外光谱仪等仪器进行样本的分析。然而，由于样本中存在大量的杂质，导致光谱数据存在共线性等 问题。通过偏最小二乘回归可以降低样本数据的维度，提取出有用的 信息，从而准确地进行化学成分的分析。 2.2 生物医学
在生物医学领域中，研究人员常常需要通过大量的生理指标预测某 种疾病的发生风险。然而，由于生理指标之间存在相互关联，使用传 统的线性回归模型时，很容易出现共线性的问题。通过偏最小二乘回归，可以降低指标的维度，减少共线性对预测结果的影响，提高疾病 预测的准确性。 2.3 金融领域 在金融领域中，偏最小二乘回归也有广泛的应用。例如，在股票市 场的分析中，研究人员常常需要通过一系列宏观经济指标预测股票的 涨跌趋势。然而，这些指标之间往往存在较强的相关性，导致传统的 回归模型难以提取出有效的信息。通过偏最小二乘回归，可以从多个 指标中提取出潜在的主成分，预测股票的涨跌趋势。 3. 偏最小二乘回归的优缺点 3.1 优点 （1）解决了多重共线性问题：偏最小二乘回归通过降低自变量的 维度，有效地解决了多重共线性问题，提高了模型的稳定性和准确性。 （2）提取了潜在的主成分：通过偏最小二乘回归，我们可以从高 维的自变量中提取出潜在的主成分，这些主成分更具有解释性，有助 于理解自变量与因变量之间的关系。 3.2 缺点
偏最小二乘回归分析
偏最小二乘回归分析 偏最小二乘回归（Partial Least Squares Regression）是一种多元 统计分析方法，用于建立预测模型，可以同时考虑多个自变量之间的共线 性问题。与传统的最小二乘回归方法相比，偏最小二乘回归通过引入主成 分分析的思想，将原始自变量空间转换为一组最佳主成分，从而降低变量 之间的相关性，提高模型的预测能力。 在偏最小二乘回归分析中，我们有一个自变量矩阵X，其中包含n个 样本和p个自变量，和一个因变量向量Y，包含n个样本。我们的目标是 找到一组新的变量T，使得X投影到T上后Y的方差最大。这一过程可以 通过以下几个步骤来实现： 1.数据预处理：对于自变量矩阵X和因变量向量Y，进行标准化处理，使其均值为0，方差为1、这样做的目的是消除量纲的影响，保证特征的 权重在同一尺度上。 2.建立主成分回归模型：偏最小二乘回归使用主成分分析的思想进行 变量压缩。通过对变量矩阵X进行奇异值分解，得到一组新的主成分向量，这些主成分向量对原始自变量矩阵进行正交变换。可以选择前k个主成分 作为新的自变量矩阵X'。 3.计算权重系数：利用最小二乘法，估计主成分回归模型中每个主成 分对因变量Y的影响程度。这些权重系数可以通过回归方程的计算得到。 4.选择最佳主成分数：通过交叉验证等方法，选择最佳的主成分数， 以避免模型过拟合现象。 5.预测模型构建：将主成分回归模型中的权重系数应用到待预测的自 变量矩阵X'上，得到因变量Y的预测值。
与传统的最小二乘回归方法相比，偏最小二乘回归具有以下几个优点： 1.克服自变量之间的共线性问题：通过主成分分析的方法，可以将原 始自变量空间转换为一组不相关的主成分，从而降低各个自变量之间的相 关性。 2.减少噪声的影响：主成分分析可以通过去除各个主成分中的噪声部分，减少模型的误差，提高预测精度。 3.降低变量维度：偏最小二乘回归将原始自变量矩阵通过压缩降维的 方式转换为新的自变量矩阵，减少需要考虑的变量个数。这不仅可以提高 计算效率，还可以避免过拟合问题。 4.提高模型的稳定性：偏最小二乘回归采用交叉验证等方法选择最佳 的主成分数，可以提高模型的稳定性和鲁棒性。 总之，偏最小二乘回归是一种强大的预测建模方法，可以在多个自变 量之间存在共线性的情况下，建立准确的预测模型。它在化学、生物、医 学等领域都有广泛的应用，并且逐渐在其他学科中得到推广和应用。
偏最小二乘回归方法(PLS)
偏最小二乘回归方法 1 偏最小二乘回归方法（PLS）背景介绍 在经济管理、教育学、农业、社会科学、工程技术、医学和生物学中，多元线性回归分析是一种普遍应用的统计分析与预测技术。多元线性回归中，一般采用最小二乘方法（Ordinary Least Squares :OLS）估计回归系数，以使残差平方和达到最小，但当自变量之间存在多重相关性时，最小二乘估计方法往往失效。而这种变量之间多重相关性问题在多元线性回归分析中危害非常严重，但又普遍存在。为消除这种影响，常采用主成分分析（principal Components Analysis :PCA）的方法，但采用主成分分析提取的主成分，虽然能较好地概括自变量系统中的信息，却带进了许多无用的噪声，从而对因变量缺乏解释能力。 最小偏二乘回归方法（Partial Least Squares Regression ：PLS）就是应这种实际需要而产生和发展的一种有广泛适用性的多元统计分析方法。它于1983年由S.Wold 和 C.Albano 等人首次提出并成功地应用在化学领域。近十年来，偏最小二乘回归方法在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展，己经广泛地应用在许多领域，如生物信息学、机器学习和文本分类等领域。 偏最小二乘回归方法主要的研究焦点是多因变量对多自变量的回归建模，它与普通多元回归方法在思路上的主要区别是它在回归建模过程中采用了信息综合与筛选技术。它不再是直接考虑因变量集合与自变量集合的回归建模，而是在变量系统中提取若干对系统具有最佳解释能力的新综合变量（又称成分），然后对它们进行回归建模。偏最小二乘回归可以将建模类型的预测分析方法与非模型式的数据内涵分析方法有机地结合起来，可以同时实现回归建模、数据结构简化（主成分分析）以及两组变量间的相关性分析（典型性关分析），即集多元线 性回归分析、典型相关分析和主成分分析的基本功能为一体。下面将简单地叙述偏最小二乘 回归的基本原理。 2 偏最小二乘法的工作目标 2.1 偏最小二乘法的工作目标 在一般的多元线性回归模型中，如果有一组因变量Y={y 1, ?,y q} 和一组自变量 X={x 1, ?,x p} ，当数据总体能够满足高斯—马尔科夫假设条件时，根据最小二乘法，有 Y =X（X T X）-1X T Y Y 将是Y 的一个很好的估计量。从这个公式容易看出，由于（X T X）必须是可逆矩阵，所以
偏最小二乘回归分析案例
偏最小二乘回归分析案例 偏最小二乘(PLS)回归方法，用来解决两组多重相关变量间的相互依赖关系，并研究用一组变量(常称为自变量或预测变量)去预测另一组变量(常称为因变量或响应变量)。 偏最小二乘回归是一种多对多线性回归建模的方法，当两组变量的个数很多，且都存在多重相关性，而观测数据的数量(样本量)又较少时，用偏最小二乘回归建立的模型具有传统的经典回归分析等方法所没有的优点。 偏最小二乘回归分析在建模过程中集中了主成分分析，典型相关分析和线性回归分析方法的特点，因此在分析结果中，除了可以提供一个更为合理的回归模型外，还可以同时完成一些类似于主成分分析和典型相关分析的研究内容，提供更丰富、深入的一些信息。 接下来让我们通过例子来学习偏最小二乘回归分析的建模方法。 #偏最小二乘回归 考虑p 个变量y1 , y2 ,... , yp " 与m 个自变量x1 , x2 ,... , xm " 的建模问题。 偏最小二乘回归的基本作法是首先在自变量集中提出第一成分 t1 ( t1 是x1 ,... , xm" 的线性组合，且尽可能多地提取原自变量集中的变异信息);
同时在因变量集中也提取第一成分u1 ，并要求t1 与u1 相关程度达到最大。然后建立因变量y1, ..., yp与t1的回归，如果回归方程已达到满意的精度，则算法中止。否则继续第二对成分的提取，直到能达到满意的精度为止。 若最终对自变量集提取r 个成分t1 ,t2 ,... ,tr ，偏最小二乘回归将通过建立y1 ,... , yp 与t1 ,t2 ,... ,tr 的回归式，然后再表示为 y1 ,... , yp " 与原自变量的回归方程式，即偏最小二乘回归方程式。 为了方便起见，不妨假定p 个因变量y1 ,... , yp 与m 个自变量x1 ,... , xm 均为标准化变量。因变量组和自变量组的n 次标准化观测数据阵分别记为 偏最小二乘回归分析建模的具体步骤如下： 1.分别提取两变量组的第一对成分，并使之相关性达最大。 假设从两组变量分别提出第一对成分为t1 和u1 ，t1 是自变量集X (x1 ,... , xm )T = 1 的线性组合： u1 是因变量集的线性组合： 为了回归分析的需要，要求： 1.1 t1 和u1 各自尽可能多地提取所在变量组的变异信息; 1.2 t1 和u1 的相关程度达到最大。
【原创】R语言多元线性回归特征降维：主成分回归和偏最小二乘案例分析报告附代码数据
主成分分析（Principal Component Analysis, PCA） 一个优秀的模型应该是用尽可能少的特征来涵盖尽可能多的信息。对于多元线性回归模型，除了对全部特征进行筛选和压缩——这些都是针对原特征本身，那么是否可以把多个特征组合成少数的几个新特征，使模型更加简洁？特别是多个特征之间往往还存在多重共线性关系。 主成分分析的核心思想就是降维，把高维空间上的多个特征组合成少数几个无关的主成分，同时包含原数据中大部分的变异信息。举个例子，在二维平面中，如果大部分的点都在一条直线附近，是不是就可以直接用这条直线当作一维坐标轴来反映原始数据？在三维空间中，如果大部分的点都在一个平面附近，是不是就可以直接用这个平面当作二维平面来反映原始数据？ 以上概念中的变异信息就用方差来衡量，第一主成分是高维空间上的一个向量，所有的点沿着这条线波动最大，或者说所有的点到直线的距离的平方和最小。如下图所示，所有的点沿着绿色直线的波动最大，它就代表着第一主成分向量。 主成分分析几何意义 有了第一主成分，还可以依次往后选择主成分，各主成分之间是相互正交的向量。如下左图所示，右图是左图的旋转，以第一主成分作为x轴，第二主成分作为y轴与之垂直。
第一主成分与第二主成分 以上是主成分的几何意义，那么它的数学意义是什么？如何去求解主成分向量？ 首先，我们定义主成分是原特征的线性组合，即： 主成分定义 找到一组Φ（其平方和为1），使Z1的方差最大，它的优化问题变成： 主成分优化目标 第一主成分确定之后，如果是二维空间那么第二主成分就可以通过正交关系直接确定；对于高维空间，一个向量的正交向量可以有无数个，则在其正交向量中继续优化上式至最大值；之后的主成分依次类推。 以下以美国的犯罪记录数据为例，对特征进行PCA： > library(ISLR) > apply(USArrests,2,mean) # 各变量均值差异很大 Murder Assault UrbanPop Rape 7.788170.76065.54021.232 > apply(USArrests,2,var) # 各变量方差差异也很大 Murder Assault UrbanPop Rape 18.970476945.16571209.5187887.72916 > > ## 必须要对变量进行标准化，否则主成分就由Assault一个变量决定 > > pr.out = prcomp(USArrests,scale. = T) > names(pr.out) [1] "sdev""rotation""center""scale""x" > pr.out$center # 标准化之后的均值
经济统计学中的偏最小二乘法
经济统计学中的偏最小二乘法 经济统计学是研究经济现象和经济规律的一门学科，它运用数理统计学的方法 和原理，通过对大量的经济数据进行分析和处理，为经济决策提供科学依据。在经济统计学中，偏最小二乘法是一种重要的统计方法，它在多元统计分析中起到了至关重要的作用。 偏最小二乘法（Partial Least Squares，简称PLS）是一种通过构建潜在变量来 解决多重共线性问题的方法。在经济统计学中，多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，这会导致回归分析结果的不稳定性和解释力的下降。为了解决这一问题，PLS方法引入了潜在变量，通过降低自变量之间的相关性，提高回归模型的稳定性和解释力。 PLS方法的核心思想是通过最小化因变量和自变量之间的协方差，寻找潜在变 量的线性组合，使得这些线性组合与因变量之间的相关性最大化。具体而言，PLS 方法通过两个主要步骤来实现。首先，它通过主成分分析的方法构建潜在变量，即将自变量和因变量分别投影到新的坐标系中，使得在新的坐标系下自变量和因变量之间的相关性最大化。其次，PLS方法通过逐步回归的方法，选择与因变量相关性最高的潜在变量，并计算其系数，得到最终的回归模型。 PLS方法的优势在于它能够同时考虑自变量之间的相关性和自变量与因变量之 间的相关性，从而提高回归模型的解释力。相比于传统的最小二乘法（Ordinary Least Squares，简称OLS），PLS方法更适用于多元统计分析中自变量之间存在高 度相关性的情况。此外，PLS方法还可以用于处理自变量的高维问题，即自变量的数量远大于样本数量的情况，这在经济统计学中经常会遇到。 在实际应用中，PLS方法已经被广泛应用于经济统计学的各个领域。例如，在 市场营销中，PLS方法可以用于构建消费者购买行为的预测模型，从而帮助企业制定精准的市场营销策略。在金融领域，PLS方法可以用于构建信用评级模型，从而
回归分析中的偏最小二乘回归模型应用技巧(六)
回归分析中的偏最小二乘回归模型应用技巧 回归分析是统计学中常用的一种分析方法，用于探究自变量和因变量之间的 关系。而偏最小二乘回归模型是在多元统计分析中应用广泛的一种方法，特别适用于变量之间存在多重共线性的情况。本文将介绍偏最小二乘回归模型的应用技巧，帮助读者更好地理解和运用这一方法。 一、偏最小二乘回归模型的基本原理 偏最小二乘回归模型是一种降维技术，它通过找到与因变量最相关的新变量 来解决多重共线性问题。在传统的多元回归分析中，如果自变量之间存在高度相关性，就会导致回归系数估计不准确。而偏最小二乘回归模型可以通过构建新的变量，将自变量空间转换为一个新的空间，从而降低自变量之间的相关性，使得回归系数的估计更加准确。 二、偏最小二乘回归模型的应用场景 偏最小二乘回归模型特别适用于高维数据集中的特征选择和建模。在实际应 用中，很多数据集都存在大量的变量，而这些变量之间往往存在一定的相关性。使用偏最小二乘回归模型可以帮助我们找到最重要的变量，从而简化模型，提高预测的准确性。 除此之外，偏最小二乘回归模型还可以用于光谱分析、化学工程、生物信息 学等领域。在这些领域中，往往需要处理大量的高维数据，而偏最小二乘回归模型
可以帮助我们挖掘数据之间的潜在关系，找到最相关的变量，从而提高数据分析的效率和准确性。 三、偏最小二乘回归模型的实现步骤 实现偏最小二乘回归模型，需要经过以下几个步骤： 1. 数据预处理：对原始数据进行标准化处理，使得数据的均值为0，方差为1，以便更好地应用偏最小二乘回归模型。 2. 求解因子载荷矩阵：通过对数据进行主成分分析，求解因子载荷矩阵，得到新的变量空间。 3. 求解回归系数：在新的变量空间中，通过最小二乘法求解回归系数，得到最终的回归模型。 4. 模型评估：对建立的偏最小二乘回归模型进行评估，包括模型的拟合优度、预测准确性等指标。 四、偏最小二乘回归模型的应用技巧 在应用偏最小二乘回归模型时，需要注意以下几点技巧： 1. 数据标准化：在进行偏最小二乘回归分析之前，一定要对数据进行标准化处理，以避免变量之间的量纲差异对模型结果的影响。 2. 因子数选择：在实际应用中，需要选择合适的因子数来构建新的变量空间。通常可以通过交叉验证等方法来确定最优的因子数。
(真正的好东西)偏最小二乘回归=多元线性回归分析+典型相关分析+主成分分析
偏最小二乘回归是一种新型的多元统计数据分析方法，它与1983年由伍德和阿巴诺等人首次提出。近十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。密西根大学的弗耐尔教授称偏最小二乘回归为第二代回归分析方法。 偏最小二乘回归方法在统计应用中的重要性主要的有以下几个方面：（1）偏最小二乘回归是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。 （2）偏最小二乘回归可以较好地解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。在普通多元线形回归的应用中，我们常受到许多限制。最典型的问题就是自变量之间的多重相关性。如果采用普通的最小二乘方法，这种变量多重相关性就会严重危害参数估计，扩大模型误差，并破坏模型的稳定性。变量多重相关问题十分复杂，长期以来在理论和方法上都未给出满意的答案，这一直困扰着从事实际系统分析的工作人员。在偏最小二乘回归中开辟了一种有效的技术途径，它利用对系统中的数据信息进行分解和筛选的方式，提取对因变量的解释性最强的综合变量，辨识系统中的信息与噪声，从而更好地克服变量多重相关性在系统建模中的不良作用。 （3）偏最小二乘回归之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。 由于偏最小二乘回归在建模的同时实现了数据结构的简化，因此，可以在二维平面图上对多维数据的特性进行观察，这使得偏最小二乘回归分析的图形功能十分强大。在一次偏最小二乘回归分析计算后，不但可以得到多因变量对多自变量的回归模型，而且可以在平面图上直接观察两组变量之间的相关关系，以及观察样本点间的相似性结构。这种高维数据多个层面的可视见性，可以使数据系统的分析内容更加丰富，同时又可以对所建立的回归模型给予许多更详细深入的实际解释。 一、偏最小二乘回归的建模策略\原理\方法
偏最小二乘回归方法及其应用
偏最小二乘回归方法及其应用 王惠文著 国防工业出版社1999年版 偏最小二乘回归≈多元线性回归分析＋典型相关分析＋主成分分析 与传统多元线性回归模型相比，偏最小二乘回归的特点是：（1）能够在自变量存在严重多重相关性的条件下进行回归建模；（2）允许在样本点个数少于变量个数的条件下进行回归建模；（3）偏最小二乘回归在最终模型中将包含原有的所有自变量；（4）偏最小二乘回归模型更易于辨识系统信息与噪声（甚至一些非随机性的噪声）；（5）在偏最小二乘回归模型中，每一个自变量的回归系数将更容易解释。 在计算方差和协方差时，求和号前面的系数有两种取法：当样本点集合是随机抽取得到时，应该取1/(n-1)；如果不是随机抽取的，这个系数可取1/n。 多重相关性的诊断 1 经验式诊断方法 1、在自变量的简单相关系数矩阵中，有某些自变量的相关系数值较大。 2、回归系数的代数符号与专业知识或一般经验相反；或者，它同该自变量与y 的简单相关系数符号相反。 3、对重要自变量的回归系数进行t检验，其结果不显著。 特别典型的是，当F检验能在高精度下通过，测定系数R2的值亦很大，但自变量的t检验却全都不显著，这时，多重相关性的可能性将很大。 4、如果增加（或删除）一个变量，或者增加（或删除）一个观测值，回归系数的估计值发生了很大的变化。 5、重要自变量的回归系数置信区间明显过大。 6、在自变量中，某一个自变量是另一部分自变量的完全或近似完全的线性组合。 7、对于一般的观测数据，如果样本点的个数过少，样本数据中的多重相关性是经常存在的。
但是，采用经验式方法诊断自变量系统中是否确实存在多重相关性，并不十分可靠，另一种较正规的方法是利用统计检验（回归分析），检查每一个自变量相对其它自变量是否存在线性关系。 2 方差膨胀因子 最常用的多重相关性的正规诊断方法是使用方差膨胀因子。自变量x j 的方差膨胀因子记为（VIF ）j ，它的计算方法为 （4-5） （VIF ）j =（1-R j 2）-1 式中，R j 2是以x j 为因变量时对其它自变量回归的复测定系数。 所有x j 变量中最大的（VIF ）j 通常被用来作为测量多重相关性的指标。 一般认为，如果最大的（VIF ）j 超过10，常常表示多重相关性将严重影响最小二乘的估计值。 （VIF ）j 被称为方差膨胀因子的原因，是由于它还可以度量回归系数的估计方差与自变量线性无关时相比，增加了多少。 不妨假设x 1,x 2,…,x p 均是标准化变量。采用最小二乘法得到回归系数向量B ，它的精度是用它的方差来测量的。B 的协方差矩阵为 Cov(B )= σ2 (X'X)-1 式中，σ2是误差项方差。所以，对于回归系数b j ，有 Var(b j )= σ2c jj c jj 是(X'X)-1矩阵中第j 个对角元素。可以证明， c jj =（VIF ）j 岭回归分析 1 岭回归估计量 岭回归分析是一种修正的最小二乘估计法，当自变量系统中存在多重相关性时，它可以提供一个比最小二乘法更为稳定的估计，并且回归系数的标准差也比最小二乘估计的要小。 根据高斯——马尔科夫定理，多重相关性并不影响最小二乘估计量的无偏性和最小方差性。但是，虽然最小二乘估计量在所有线性无偏估计量中是方差最小的，但是这个方差却不一定小。于是可以找一个有偏估计量，这个估计量虽然有微小的偏差，但它的精度却能够大大高于无偏的估计量。
主成分回归与偏最小二乘方法的区别与联系
主成分回归与偏最小二乘方法的区别与联系在工程技术、医药学和社会科学研究中，为了解决实际问题，常常要建立某些数学模型。例如：常说的回归分析，就是将实验数据或观察值代入相关的数学函数中去，借助统计方法确定出使总体均值最大（或最小）或均值、标准差最小（或最大）的那些函数的值，作为x与其他变量之间相互关系的数学表达式，它是描述两个变量之间关系的一种方法。 一、偏最小二乘法在线性回归方程中的应用分析，就是指从一组相关的x、 y数据中建立最小二乘（ LS）模型，用来估计未知参数x、 y的数学模型。 (一)主成分回归法的原理1、相关性原理2、线性原理(1)有限原则(2)逐步回归的原则 (3)线性回归方程的几何形式主要有最小平方和、最大平方和、最小最大平方和、最大最小平方和和最大最小最大平方和五种类型。主成分回归具有以下特点：(1)适用于非线性模型。(2)能保持原有指标不变，且可作不同尺度比较。(3)有效降低总变异的估计误差。 3、单因素主成分回归的适用条件(1)因变量是高维向量{(2)只存在一个自变量; (3)每个自变量服从正态分布。(4)回归方程对自变量的水平无特别要求。 (5)已知因变量与若干个自变量的统计特征值。 二、主成分回归和偏最小二乘法的联系与区别联系：两者都是基于最小二乘法而发展起来的一种多元线性回归方程的预测方法。区别： 1、偏最小二乘是相关性的改进。 2、偏最小二乘方法属于“非线性模型”
的线性预测，而主成分回归则属于“非线性模型”的线性预测。 3、偏最小二乘需要两个或两个以上的指标，主成分回归仅需要一个指标即可。 4、在相关性原理的基础上，偏最小二乘又增加了原则上最优的特征根，并用逐步回归的方法寻找出原始回归模型，这样做既增加了信息含量，又减少了错误，提高了精确度。 3、单因素主成分回归的适用条件(1)因变量是高维向量{(2)只存在一个自变量; (3)每个自变量服从正态分布。(4)回归方程对自变量的水平无特别要求。(5)已知因变量与若干个自变量的统计特征值。
(真正好东西)偏最小二乘回归=多元线性回归分析典型相关分析主成分分析
偏最小二乘回归是一种新式的多元统计数据剖析方法，它与 1983 年由伍德和阿巴诺等人初次提出。近十年来，它在理论、方法和应用方面都获取了快速的发展。密西根大学的弗耐尔教授称偏最小二乘回归为第二代回归剖析方法。偏最小二乘回归方法在统计应用中的重要性主要的有以下几个方面： （1）偏最小二乘回归是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。 （2）偏最小二乘回归能够较好地解决很多过去用一般多元回归没法解决的 问题。在一般多元线形回归的应用中，我们常遇到很多限制。最典型的问题就是自变量之间的多重有关性。假如采纳一般的最小二乘方法，这类变量多重有关性就会严重危害参数预计，扩大模型偏差，并损坏模型的稳固性。变量多重有关问题十分复杂，长久以来在理论和方法上都未给出满意的答案，这向来困扰着从事实质系统剖析的工作人员。在偏最小二乘回归中开拓了一种有效的技术门路，它利用对系统中的数据信息进行分解和挑选的方式，提取对因变量的解说性最强的综合变量，辨别系统中的信息与噪声，进而更好地战胜变量多重有关性在系统建 模中的不良作用。 （3）偏最小二乘回归之所以被称为第二代回归方法，还因为它能够实现多 种数据剖析方法的综合应用。 偏最小二乘回归 =多元线性回归剖析 +典型有关剖析 +主成分剖析 因为偏最小二乘回归在建模的同时实现了数据构造的简化，所以，能够在二维平面图上对多维数据的特征进行察看，这使得偏最小二乘回归剖析的图形功能十分强盛。在一次偏最小二乘回归剖析计算后，不只能够获取多因变量对多自变量的回归模型，并且能够在平面图上直接察看两组变量之间的有关关系，以及察看样本点间的相像性构造。这类高维数据多个层面的可视见性，能够使数据系统的剖析内容更为丰富，同时又能够对所成立的回归模型赐予很多更详尽深入的实质解说。 一、偏最小二乘回归的建模策略原理方法