第二部分 导数、微分及其导数的应用
知识汇总
一、求导数方法
1.利用定义求导数
2.导数的四则运算法则
3.复合函数的求导法则
若)(u f y =与)(x u φ=均可导,则[])(x f y φ=也可导,且dx
du
du dy dx dy ?
= 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则
若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数,且)(y φ单调、可导,则
)(1)(y x f φ'=
',即dy
dx
dx dy 1
=
5.隐函数求导法
求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx
dy
。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导(注意其中变量y 是x 的函数),然后解出
dx
dy
即可。 6.对数求导法
对数求导法是先取对数,然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题:
(1)幂指数函数y=)()(x v x u ;(2)由若干个因子的乘积或商的显函数,如
y=
3
4
)3(52)2)(1(---++x x x x x ,3
)
2)(53()
32)(1(--+-=x x x x y ,5
5
2
2
5
+-=x x y 等等。
7.由参数方程所确定函数的求导法则
设由参数方程
?
?
?==)()
(t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x),其中)(),(t t ?φ
可导,且)(t φ'≠0,则y=f(x)可导,且
dt
dx
dt dy
t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法
二、求导数公式
1.基本初等函数求导公式
(1) 0)(='C (2) 1
)(-='μμμx x
(3) x x cos )(sin ='
(4) x x sin )(cos -='
(5)
x x 2
sec )(tan =' (6)
x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='
(8) x x x cot csc )(csc -='
(9)
a a a x
x ln )(=' (10) (e )e x
x '=
(11)
a x x a ln 1
)(log =
'
(12)
x x 1)(ln =
',
(13)
211)(arcsin x x -=
' (14)
211)(arccos x x --
=' (15)
21(arctan )1x x '=
+
(16)
21(arccot )1x x '=-
+
2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα
αααα)1()2()1()()
(
(2) x n x e e =)
()
( (3) ()()ln x n x n a a a =
(4) ()
(sin )
sin 2n x x n π?
?=+? ??? (5) ??? ?
??+=2cos )(cos )(πn x x n
(6) ()
1
(1)!ln()(1)
()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1
)()
(!)1()1(++-=+n n
n n b ax a n b ax
3.两个函数乘积的n 阶导数公式(莱布尼兹公式)
()
()()
()(0)(1)'(2)''
(1)()
2!
n
n k n k k n n n n k n n u v C u v u v nu v u v ---=-?==+++∑
()()
(0)()(1)
(1)!
n k k n n n n k u v u v k ---++
+
+
三、微分在近似计算中的应用
1.微分可以用来求函数在某点的近似值:
当|Δx|很小时, f (x 0+Δx)≈f (x 0)+f '(x 0)Δx 2.微分可以用来求函数增量的近似值
当|Δx|很小时,Δy≈dy=f '(x 0)Δx 3.微分可以用来求函数的近似公式
当|x|很小时,特别当
时, 有近似公式
常用的近似公式有
sinx ≈x (x 以弧度为单位),tanx ≈x ,ln(1+x) ≈x ,e x ≈1+x ,(1+x)n
≈1+nx
四、导数的应用
1.函数单调性的判别法
设],[)(b a C x f ∈且在),(b a 内可导,
(1)若在),(b a 内0)(>'x f ,则)(x f 在],[b a 上单调递增; (2)若在),(b a 内0)(<'x f ,则)(x f 在],[b a 上单调递减.
?说明:闭区间换成其他各种区间(包括无穷区间)结论仍成立.
2.函数取极值的充分条件
第一充分条件:设函数设)(x f 在)(0x U 内可导且0)(0='x f (或)(x f 在)(0x U
内 可导且在0x 处连续),
(1)若在)(0x U 内,当0x x <时,0)(>'x f ;当0x x >时,0)(<'x f ,则)(x f 在0
x
处取得极大值)(0x f ;
(2)若在)(0x U 内,当0x x <时,0)(<'x f ;当0x x >时,0)(>'x f ,则)(x f 在0x 处取得极小值)(0x f ;
(3)若在)(0x U 内,)(x f '在0x 的左右同号,那么0x 不是)(x f 的极值点. 3.曲线凹凸性的判定法
设函数)(x f y =在区间),(b a 内二阶可导,
(1)若在),(b a 内0)(">x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的. (2)若在),(b a 内0)(" 案例分析 一、利用导数定义计算若干问题 1.利用导数定义求极限 如果)(/ x f 存在)() ()(lim /0 x f x f x f =-+?→口 口口 注意:分子中的“口”和分母中的“口”应一致,且符号也相同 例1设)(x f 在0x 点可导,求下列极限 (1)h h x f h x f h 2) 2()2(lim 000 --+→ (2)已知x x cos )'(sin =,利用导数定义求极限x x x 1 )2π sin(lim 0-+→ 解:(1)00000000(2)(2)(2)()[(2)()] lim lim 22h h f x h f x h f x h f x f x h f x h h →→+--+----= 000000(2)()(2)()lim lim 22h h f x h f x f x h f x h h →→+---=+- 000()()2()f x f x f x '''=+= (2)x x x 1)2πsin(lim 0-+→=x x x 2sin )2πsin(lim 0π-+→=2 π |)'(sin =x x = 2πcos =0 2.利用导数定义求函数的导数 例2 (1) 设2 // ))(())(()(a x x f a x a f x -+-=?,求)(// a ? 解:由于)()(2))(()()(2 / // / x f a x a x x f a f x -+-+=?,则)()(// / a f a =? 故)](2))(([lim ) ()(lim )(///// x f a x x f a x a x a a x a x +-=--=→→??? 因为)(x f 在a x =处二阶可导,故)(x f 、)(/ x f 在a x =处连续,即 )()(lim a f x f a x =→、)()(lim //a f x f a x =→ 所以)(2)(// a f a =? 注意:函数)(x ?仅在a x =处存在二阶导数,故求)(// a ?时不能直接利用求导公式。 (2)设周期函数)(x f 的周期为5,)(x f 可导,如12) 2()2(lim =--→x x f f x ,求曲线 )(x f y =在点))3(,3(--f 处的切线方程。 解:因为函数)(x f 的周期为5,故 )3()53()2(-=+-=f f f )3()53()2(x f x f x f --=+--=- 而 12) 3()3(lim 2)2()2(lim 00=-----=--→→x f x f x x f f x x 故 2)3()3(lim 0=-----→x f x f x ,即2)3()3(lim )3(0/=-----=-→x f x f f x 所以)(x f y =在点))3(,3(--f 处的切线为)3(2)3(+=--x f y (3)设))((sin )(x f x F ?=,b a f ===)0(,0)0(,)0(/ / ??,求)0(/ F 解:x f x f x F x F F x x )) 0((sin ))((sin lim 0)0()(lim )0(00 / ??-=--=→→ x x x x x f x f x ) ()()(sin )(sin )0())((sin lim ???????-=→ ab f x x f x =?=--?=→)0()0(0 ) 0()(lim )0(//0 / ??? 3.求含有绝对值的函数和分段函数的导数 分析: 含有绝对值的函数可转化为分段函数 ?? ? ??=)()(x g A x f y a x a x a x <=> 分析:(1)当x>a )(/ / x f y = 当x / x g y = (2)当x=a a x A x f a y a x --=+→+)(lim )(/ a x A x g a y a x --=-→-)(lim )(/ (3)如B a y a y ==-+)()(/ / 则)(/ a y 存在,且)(/ a y =B.否则)(/ a y 不存在 (4)写出/ y 的解析式 例3设)}(),({max )(211 1x f x f x x <<-=?,其中1)(1+=x x f ,2 2)1()(+=x x f ,求)(/ x ? 解:当01≤<-x 时,2)1(1+≥+x x ;当10< )1(1+<+x x ,故 ???<<+≤<-+=1 0)1(011)(2 x x x x x ? 0(1)1 (0)lim 10 x x x ?--→+-'==- 20(1)1(0)lim 20x x x ?++ →+-'==- 因为(0)(0)??- +''≠,故)0(/ ?不存在,即 ? ? ?<<+<<-=1022011 )(/x x x x ? 4.分段函数在分段点处的导数存在,求待定系数 已知?? ?=)()()(x g x f x y a x a x <≥在a x =处可导,求)(x y 中的待定系数 分析:(1))(x y 在a x =处可导,则在a x =处连续,即)()(lim )(lim a f x g x f a x a x ==-→+→﹡ (2)求a x a f x f a y a x --=+→+)()(lim )(/ ,a x a f x g a y a x --=-→-)()(lim )(/ ,而)()(//a y a y -+= ﹟ (3)由﹡和﹟,求待定系数 例4已知???+=b ax e x y x )( 0 ≥ 5.求分段函数的导数,并会讨论导数在分段点处的连续性 函数?? ???=)()()(x g A x f x y a x a x a x <=>,求)(/x y ,并讨论)(/ x y 的连续性 分析:(1)先求)(/ x y (见求导数部分) (2)然后讨论)(/x y 在定义域内的连续性 例5设2, 0 ()ln(1), 0 ax bx c x f x x x ?++<=?+≥? 问如何选取a ,b ,c 才能使f (x )处处具有一阶连续导 数,但在x =0处却不存在二阶导数。 6.利用导数求函数 例6(1)设f (x )在(0,+∞)内有定义,且(1)(0)f a '=≠,又对,(0,)x y ?∈+∞,有 ()()()f xy f x f y =+,求)(/x f 解:令1==y x ,有)1()1()1(f f f +=得0)1(=f (﹡) 而)1()()1()1(x f x f f x x f +==? (﹡﹡) 由 (﹡)、(﹡﹡)得)1 ()(x f x f -= x x x f x x f x x f x x f x x f x f x x x ??+=?+?+=?-?+=→?→?→?) 1(lim )1()(lim )()(lim )(000/ x a x f x x x f x x f x f x x f x x =?=??-?+=?-?+ =→?→?1)1(1) 1()1(lim )1()1(lim /00 注意:有乘积的,一般令x 、y 互为倒数 (2)设函数)(x f 满足等式) ()(1) ()()(y f x f y f x f y x f -+= +,且)0(f '存在,求)(x f 解:令1=x ,0=x 则) 0()1(1) 0()1()1(f f f f f -+= 有0)1)1()(0(2 =+f f 得0)0(=f [1] 令x y -= 有) ()(1) ()()()0(x f x f x f x f x x f f ---+= -= [2] 由[1]、[2]得)()(x f x f --= x x f x x f x x f x x f x f x x ?-+?+=?-?+=→?→?) ()(lim )()(lim )(00/ )]()(1[) (lim )]()(1)[(lim 00x f x x f x x f x x f x x f x f x x ?++???=?-?+-?=→?→? )](1[)0()]()(1[lim ) 0()(lim 2/00x f f x f x x f x f x f x x +?=?++??-?=→?→? 有 ??=+dx f dx x f x f d )0()(1)]([/2 得c x f x f +=)0()(arctan / 令0=x 得0=c 即])0(tan[)(/ x f x f ?= 注意:有和的,一般令x 、y 互为相反数;有差的,一般令x 、y 相等 二、根的存在性问题 1.利用零点定理证明方程有实根 利用零点定理证明方程)()(x g x f =在),(b a 内至少有一个实根 方法: (1)令)()()(x g x f x F -=,()F x 在[,]a b 上连续 (2)计算)(a F ,)(b F (或)(lim x F a x →,)(lim x F b x →) (3)如果0)()( x a x ),则)()(x g x f =在),(b a 内至少 有一个实根 例7(1)设)(x f 在a x ≥时连续,0)(时,0)(/ >>k x f ,则在 )) (,(k a f a a - 内0)(=x f 有唯一的实根 证明:因为0)(/ >>k x f ,则)(x f 在)) (,(k a f a a - 上单调增加 0])(1)[()()()())((// >-=-=-k f a f k a f f a f k a f a f ξξ(中值定理) 而0)( (,(k a f a a - 内0)(=x f 有唯一的实根 (2)设)(x f 在]1,0[上可导,且1)(0< -≠x f ,证明方程x x f -=1)(在)1,0(内有唯一一个实根 证明:令1)()(-+=x x f x g ,1)()(/ / +=x f x g 因为1)(/ -≠x f ,故)(/ x g 要么恒正或恒负,即)(x g 是单调函数 01)0()0(<-=f g ,0)1()1(>=f g ,故方程x x f -=1)(在)1,0(内有唯一一个实根 2.利用中值定理证明方程有实根 若)(x f 可导,证明方程)(x f =0的相邻两个实根之间必有方程)(x f '=0的一个实根。 例8若)(x f =(1)(2)(3)x x x ---,不用求导数,指出)(x f '=0的实根个数及所在的区间。 证明:因1,2,3x x x ===是方程)(x f =0的根,即(1)(2)(3)0f f f ===,又因 )(x f 在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,故)(x f 在[1,2]上满足罗尔定理的 条件,则在(1,2)内至少存在一个点1ξ,使得1()f ξ'=0,即1ξ是方程)(x f '=0 的一个实根。 同理,)(x f 在(2,3)内至少存在一个点2ξ,使得2()f ξ'=0,即2ξ是方程)(x f '=0的另一个实根。 另外,由于)(x f '为二次函数,)(x f '=0最多有两个实根。 综上,)(x f '=0有两个实根,分别在(1,2)和(2,3)内。 例9设)(x f 在),[+∞a 连续,在),(+∞a 可导,且0)(<<'k x f ,0)0(>f ,证明:方程 0)(=x f 在),(+∞a 内必有唯一实根。 证法一:令)0()(f kx x g +=,则有k x g =')(,)0()0(f g =. 由题义)()(x g x f '<'得 []0)()(<'-x g x f ,0)0()0(=-g f 推出:0)()(<-x g x f ,)()(x g x f <, 得:0)0()0(=??? ??-?? ??- k f g k f f ,而0)0(>f 在?? ???? - k f )0(,0上由介值定理知, 存在?? ? ??? - ∈k f )0(,0ξ,使0)(=ξf ,即在),0(+∞内0)(=x f 有实根。 又0)(<'x f ,知)(x f 单调减,故有唯一实根。 证法二:设o a >,在],0[a 上用拉格朗日定理得 a f f a f )()0()(ξ'==,),0(a ∈ξ 由设知ka f a f <-)0()(,即ka f a f +<)0()(,取k f a ) 0(-=, 即0)0(=+ka f ,得0)( 由题设知0)0(>f ,在],0[a 上用介值定理,推知方程0)(=x f 在),(+∞a 内有实根, 故函数单调,知其根唯一。 3.求含有待定系数的方程在区间上的根的个数 例10(1)0932 3=+--h x x x 解:令h x x x x f +--=93)(2 3 则963)(2 / --=x x x f 由963)(2 / --=x x x f =0 得11-=x ,32=x 当1- >x f ;当31<<-x 时,0)(/ >x f -∞=+-- =-∞-∞ →)931(lim )(323x h x x x f x ;+∞=+--=+∞-∞→)931(lim )(323x h x x x f x h f +=-5)1( h f +-=27)3( 当27>h 时,有唯一根在)1,(--∞上;当5- 275<<-h 时,有三个根分别在)1,(--∞,)3,1(-,),3(+∞上 (2)kx x =ln 解:令kx x x f -=ln )( 则k x x f -= 1 )(/ (i )当0 >x f ,即)(x f 为增函数 因为-∞=-=++→)(ln lim )0(0 kx x f x ;+∞=-=+∞+∞ →)(ln lim )(kx x f x 此时kx x =ln 有一根 (ii )当0=k ,有一根1=x (iii )当0>k ,由01)(/ =-= k x x f 得k x 1= k x 10<<时,0)(/>x f ;k x 1 >时,0)(/ 因-∞=-=++→)(ln lim )0(0 kx x f x ;-∞=-=+∞+∞ →)(ln lim )(kx x f x ;1ln )1 (--=k k f 01ln =--k ,即1-=e k 时有一根;01ln >--k ,即10-< 4.已知方程0)(=x f 在],[b a (或),(b a )上有若干个根,求待定系数λ的范围 方法: (1)令)(x f y =并求)(/ / x f y = (2)当待定系数λ满足条件P 时,0)(/ >x f (或0)(/ ),(b a )上单调,考察)()(b f a f 的正负性,判断)(x f y =是否有唯一根 (3)找 0)(/=x f 和)(/x f 不存在的点,再分区间讨论 例11设0>x 时,方程11 2=+ x ax 有且只有一根,求a 的范围 解:(1)当0=a 时,1=x 是方程的唯一根 (2)令11)(2-+ =x ax x f 则3 / 1)(x a x f -= 当0 +∞=-+ =+→+)11(lim )0(20 x ax f x -∞=-+=+∞+∞→)11 (lim )(2 x ax f x 故此时11 )(2-+ =x ax x f 在0>x 时有唯一的根 (3)当0>a 时,令0)(/ =x f 即01 3=- x a 得3 1a x = 3 20a x <<时 0)(/ x >时 0)(/ >x f ,)(x f 为增函数 又因为+∞=-+=+→+)11(lim )0(20 x ax f x +∞=-+=+∞+∞→)11 (lim )(2x ax f x 令01)2(2)2(333 =-+=a a a a f 得39 2 =a 故只有0≤a 或39 2 = a 时方程有唯一的根 三、利用微分中值定理证明 1.利用中值定理证明等式成立 (1)将等式变形,使含ηξ,的表达式分别在等式的两端 (2)两端分别使用中值定理(或柯西定理) 例12设)x (f 在]1,0[上可微,且1)x (f 0<<,1)x (f ≠',则在)1,0(内存在唯一点,使 ξξ=)(f 证明:(i )存在性 构造辅助函数x )x (f )x (F -=,在]1,0[连续,且0)0(f )0(F >=, 01)1(f )1(F <-=,由连续函数的介质定理,存在)1,0(∈ξ使0)(F =ξ,即ξξ=)(f (ii )唯一性(反证法) 设还存在)1,0(2∈ξ,使22)(f ξξ=,且2ξξ≠,在区间],[2ξξ上应用拉格朗日定理,存在)1,0(∈η使1)(f )(f )(f 2222=--=--='ξ ξξ ξξξξξη,这与题设1)x (f ≠'矛盾。(证明过程 对2ξξ>仍正确) 例13设)x (f 在]1,0[连续,在)1,0(内可导,且1)0(f =,0)1(f =,证明在)1,0(内至少? 一点ξ,使ξ ξξ) (f )(f - =' 证明:令)x (xf )x (F =,则)x (f )x (f x )x (F +'=',0)1(F )0(F ==, 由罗尔定理有)1,0(∈ξ,使0)(F ='ξ 即0)(f )(f =+'ξξ, 得:) () (f )(f ξξξ- =' 例14已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续,在(0 ,1)内可导,b a <<0,证明存在),(,b a ∈ηξ,使)()()(3/ 2 2 / 2 ηξηf b ab a f ++= 解:利用柯西中值定理3 32/)()(3)(a b a f b f f --= ηη 而))(()()(/ a b f a f b f -=-ξ 则 2 2 /33/332/) ())(()()(3)(b ab a f a b a b f a b a f b f f ++=--=--=ξξηη(后面略) 2.结论为0)() (=ξn f 的命题证明 方法: (1)对)()1(x f n -用罗尔定理 (2)利用)(x f 的1-n 阶泰勒公式 例15设函数)(x f 在区间],[b a 内具有二阶导数,且)()()(b f c f a f ==(b c a <<)。证明在开区间),(b a 内至少有一点ξ,使0)(// =ξf 解:因为)()(c f a f =,则在),(c a 内存在一点1ξ,使0)(1/ =ξf 同理,因为)()(b f c f =,则在),(b c 内存在一点2ξ,使0)(2/=ξf 故在),(21ξξ内存在一点ξ,使0)(// =ξf 例16设函数)(x f 在区间]1,0[内具有二阶导数,0)1(=f ,又)()(2 x f x x F =,证明在 )1,0(内至少存在一点ξ,使0)(//=ξF 解:因为0)1(=F ,0)0(=F 而)()(2)(/ 2 / x f x x xf x F += 所以0)0(/ =F )(! 2)0()0()(// 2/ ξF x x F F x F ++= 其中),0(x ∈ξ 当1=x 时, 有)(! 21)0()0()1(// / ξF F F F ++= 其中)1,0(∈ξ 即0)(// =ξF 3.(1)利用泰勒公式证明含有抽象函数及其导数的不等式 例17设)(x f 在]2,0[上二阶可导,且1|)(|≤x f ,1|)(|// ≤x f ,证明2|)(|/ ≤x f 解:2// / )(21)()()0(x f x x f x f f ξ! + -= 其中)2,0(∈ξ x x f f x f x f 2 ///)(21 )0()()(ξ+-= 即 x x f f x f x f 2 ///|)(|21 |)0(||)(||)(|ξ++≤ 由于1|)(|≤x f ,1|)(|//≤x f 所以x x x x x f 24212|)(|2 2/+= +≤ 因为在]2,0[∈x 上,x x 242+的最大值为2,故2|)(|/ ≤x f 例18设)(x f 在]1,0[上三阶可导、连续,且0|)0(|=f ,21|)1(|=f ,0)2 1(/=f ,证明在)1,0(内至少存在一点ξ,使12|)(|/// ≥ξf 解:由于30///200//00/ 0))((61 ))((21))(()()(x x f x x x f x x x f x f x f -+-+ -+=ξ 当21,00==x x 时,有)(481)21(81 )21(01/////ξf f f -+= )2 1,0(1∈ξ 当21,10==x x 时,有)(481)21(8 1 )21(212/////ξf f f ++= )1,2 1(2∈ξ 两式相减得24)()(1///2/// =+ξξf f 而24)()(1///2/// =+ξξf f 即|)(||)(||)()(|2///1///1///2///ξξξξf f f f +≤+ 令|})(||,)(m ax {||)(|2///1////// ξξξf f f =,则12|)(|///≥ξf (2)题中已知A x f b a x =∈)(max ) ,(或B x f b a x =∈)(min ) ,(,则在)(x f 的最值点),(0b a x ∈处展开, 此时0)(0/ =x f 例19设)(x f 在]1,0[上二阶可导,且0)1()0(==f f 又1)(min ] 1,0[-=∈x f x ,证明在)1,0(上 存在一点ξ,使8)(// ≥ξf 解:设)(x f 在)1,0(∈η处取得最小值,此时1)(min )(] 1,0[-==∈x f f x η,且0)(/ =ηf 由泰勒公式知 21// / )(2 1)()()0(ηξηηηf f f f + -= 得21//2)(ηξ=f 22// /)1)((2 1)1)(()()1(ηξηηη-+ -+=f f f f 得22//)1(2)(ηξ-= f 令)}(),(m ax {)(2// 1////ξξξf f f = 则2 2 // ) 1(22 )(ηηξ-+ ≥ f 因为 2 2 ) 1(22 ηη-+ 的最值为8,故8)(// ≥ξf 四、求函数的单调区间和极值(最值) 方法: (1)确定函数)(x f y =的定义域D (2)求)(/ x f ,在D 内求出)(/ x f 不存在的点和0)(/ =x f 的点 (3)判断这些点左右的增减性 (4)求极值(5)再考虑函数)(x f y =在D 的端点处的取值,最终确定最值 例20(1)设x bx x a x f ++=2 ln )(在11=x 和22=x 两点处取得极值,求b a , 解:12)(/ ++= bx x a x f 因为函数)(x f 在11=x 和22=x 两点处取得极值,故 0)1(/=f 0)2(/=f 即 ??? ??=++=++0142 12b a b a 得32-=a 61-=b (2)设n x nx x f )1()(-=(N n ∈),记)(max )(] 1,0[x f n M x ∈=求)(lim n M n ∞ → 解:1 2/) 1()1()(----=n n x x n x n x f 令0)(/ =x f 即0)1()1(1 2 =----n n x x n x n 得1 1+= n x 因为0)1()0(==f f 而1 )1()11(++=+n n n n f 故1] 1,0[)1( )(max )(+∈+==n x n n x f n M ,即11)1(lim )(lim -+∞→∞→=+=e n n n M n n n (3) 设可导函数)(x f y =由32233 2 3 =+-y xy x 所确定,讨论)(x f 的极值 解:两边对x 求导有 06633/ 2 / 2 2 =+--y y xyy y x 得y y x y 2/ += 令0/ =y 得x y -=把x y -=代入原方程有2-=x ,2=y 求// y ,因为04 1 |2 2// >= =-=y x y ,所以)(x f 在2-=x ,2=y 处有极小值 (4)求数列}) 2 1({1 2 +n n 中的最大项(提示:令12)2 1 ()(+=x x x f ) (5)设函数?? ?≤+>=0 1 )(2x x x x x f x ,问x 为何值时,)(x f 取极值 (提示:对每一段和分段点讨论) (6)求函f(x)= ? +--x dt t t t 0 21 1 2在[0,2]上的最大值与最小值。 (提示:利用变上限积分的求导讨论) 注意: (1)如果/ ()0f c =,()f x ''存在且()0f c ''≠,则)(c f 为函数)(x f 的极值 (2)?>0)(// c f 极小值,?<0)(// c f 极大值 例21设)(x f 满足x e x f x x xf --=+1))((3)(2 / // (R x ∈) (1)如果)(x f 在)0(≠=c c x 有极值,证明)(c f 为极小值 (2)如果)(x f 在0=x 处有极值,)0(f 是极大还是极小值 解:(1)因为)(x f 在)0(≠=c c x 有极值,所以0)(/ =c f ,而 2/// ))((31)(x f x e x f x --=-,即c e c f c e c f c c ---=--=1))((31)(2 /// 因为0≠c 所以0)(// >c f ,即)(c f 为极小值 (2)因为)(x f 二阶可导,所以)(/ x f 连续,)(x f 在0=x 处有极值,有0)0(/ =f 及0)(lim / =→x f x })]([31{lim )(lim )0()(lim )0(2/0// 0//0// x f x e x f x f x f f x x x x --==-=-→→→ 011lim 0>=-=-→x e x x 此时)0(f 为极小值 五、证明不等式 1.利用函数的单调性来证明 例22证明不等式)1ln(x x +>(0>x )恒成立 证明:设)1ln()(x x x f +-=,则有 x x x x x x f += +-+=+- =1111111)(' )(x f 在),0[+∞内连续,且在开区间),0(+∞0)('>x f 因此在),0[+∞上函数)(x f 单调增加,从而当0>x 时,)0()(f x f > 而0)01ln(0)0(=+-=f 所以有0)(>x f ,即 )1ln(x x +> 2.利用微分中值定理来证明 例23证明:当0>x 时,不等式成立 x x x x <+<+)1ln(1恒成立. 证明:设)1ln()(x x f +=,显然)(x f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件,根据定理,应有 )0() 0)(()0()('x x f f x f <<-=-ξξ 由于0)0(=f ,x x f += 11 )(' ,因此上式即为 ξ += +1)1ln(x x 又因为x <<ξ0,故有 x x x x <+<+ξ 11 即 x x x x <+<+)1ln(1 强化训练 一、求下列函数导数 1 .y = 2 .y =3.1sin x y e = 4.sin sin (n y nx x n =?为常数) 5.x x x y 53tan 5 1 tan 31tan +- = 6.x a a a x a a a x y ++= 二、设()时当∞→='n x f ,10n n y x ,为等价无穷小,求()() n n n n x y x f x x f --+∞ →00lim 三、设()??? ? ??+-=x x x x f sin 1sin 1arcsin ,求()0f ' 四、设函数)(x f 在()+∞∞-,内有意义,且f (0)=0 ()10,='f 又 ()()()()()122121x x f x x f x x f ??+=+,其中()x e x x x 22cos -+=?,求()x f ' 五、设x x y sin 3 = ,求)0() 6(y 六、用对数求导法求下列函数的导数: 1.x x x y )1( += 2.552 5+-=x x y 3x e x x y -=1sin 七、求方程 )tan(y x y +=所确定的隐函数y 的二阶导数 2 2dx y d 八、求参数方程?? ???==t e x t e x t t cos sin 所确定的函数的导数dx dy 九、设函数)(x f 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且)1(f =0,试证:至少存在一点)1,0(∈ξ 使:ξ ξξ) (2)(f f - =' 十、当a 为何值时,x x a y 3sin 31sin += 在 3 π =x 处有极值?求此极值,并说明是极 大值还是极小值。 参考答案 一、1.154 3 63211363x x x ----- 3.1sin 211cos x e x x -? 4.1 sin sin(1)n n x n x -?+ 5.22242sec tan sec tan sec x x x x -+ 6.() 2 1 11ln ln a a x a a x a a x a x a x a a a -+-+++ 二、2 (提示:用导数定义求 ()()()()()() =---+-+=--+∞→∞→∞ →n n n n n n n n n n x x f y x f x x f x x f x y x f x x f 000000lim lim lim ()()()()()22lim lim 00000='=---+-+=∞→∞ →x f y x f y x f x x f x x f n n n n n n ) 三、1(提示:用导数定义求) 四、()()22cos x f x x x x e ?-'==+ (提示: ()()()()()()()()[]x f x x f x x f x x x f x x f x f x x -?+??=?-?+='→?→???1 lim lim 00 ()()()()00f x x f '+'=?? 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导,则[])(x f y φ=也可导,且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数,且)(y φ单调、可导,则 )(1)(y x f φ'= ',即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导(注意其中变量y 是x 的函数),然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数,然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题: (1)幂指数函数y=)()(x v x u ;(2)由若干个因子的乘积或商的显函数,如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x),其中)(),(t t ?φ 可导,且)(t φ'≠0,则y=f(x)可导,且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 导数及其应用高考题精选 1.(2010·海南高考·理科T3)曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为() (A )21y x =+(B )21y x =-(C )23y x =--(D )22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +,所以,在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+,所以,切线方程为12(1)y x +=+,即21y x =+,故选A. 2.(2010·山东高考文科·T8)已知某生产厂家的年利润y (单位:万元) 与年产量x (单位:万件)的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-,则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为() (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题,考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ,2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-(舍去),当9x <时'0y >;当9x >时'0y <,故当9x =时函数有极大值,也是最大值,故选C. 3.(2010·山东高考理科·T7)由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为() (A ) 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时,x y ??有极限,我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。 即f (x 0)=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明: (1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x y ??不存在极限,就说函数在点x 0处不可导, 或说无导数。 (2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤: (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0); (2)求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00; (3)取极限,得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( .)' ''v u v u ±=± 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数, 即: .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: .)(''Cu Cu = 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方: ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -(v ≠0)。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y '|x = y '|u ·u '|x 五、导数应用 1、单调区间: 一般地,设函数)(x f y =在某个区间可导, 高二数学导数单元练习 一、选择题 1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t^2其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( ) A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2 +c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D. 0 3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()f x ,()g x 满足'' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足( ) A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3 y x x 的递增区间是( ) A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 5.若函数f(x)在区间(a ,b )内函数的导数为正,且f(b)≤0,则函数f(x)在(a , b )内有( ) A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .非充分非必要条件 7.曲线3 () 2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ,则0p 点的坐标为( ) A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 8.函数3 13y x x =+- 有 ( ) A.极小值-1,极大值1 B. 极小值-2,极大值3 C.极小值-1,极大值3 D. 极小值-2,极大值2 9 对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足' (1)()0x f x -≥,则必有( ) A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C (0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +> 二、填空题 11 . 函 数 32y x x x =--的单调区间为 《导数及其应用》经典题型总结 一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考 点一 导数的概念,物理意义的应用 例 1.(1)设函数()f x 在 2x =处可 导,且(2)f '=, 求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--; (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++,求(0)f '. 考点二 导数的几何意义的应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1,1),且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切,求实数a 、b 、c 的值 例3:已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1 如果函数y =f(x)的图象如图,那么导函数y =f(x)的图象可能是( ) 考点二 求函数的单调区间及逆向应用 例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.(不含参函数求单调区间) 例2 已知函数f (x )=1 2x 2+a ln x (a ∈R ,a ≠0),求f (x )的单调区间.(含参函数求单调区间) 练习:求函数x a x x f + =)(的单调区间。 例3 若函数f(x)=x 3 -ax 2 +1在(0,2)内单调递减,求实数a 的取值范围.(单调性的逆向应用) 练习1:已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ,若)(x f 在]1,0(上是增函数,求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在(1,+∞)上是单调递增函数,求实数a 的取值范围。 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 (数学选修1-1)第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于( ) A .sin α B .cos α C .sin cos αα+ D .2sin α 2.若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x 的图象是( ) 3.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是( ) A .),3[]3,(+∞--∞ B .]3,3[- C .),3()3,(+∞--∞ D .)3,3(- 4.对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足'(1)()0x f x -≥,则必有( ) A . (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5.若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ) A .430x y --= B .450x y +-= C .430x y -+= D .430x y ++= 6.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示, 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 二、填空题 1.若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值,则常数c 的值为_________; 2.函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3.设函数())(0)f x ??π=+<<,若()()f x f x '+为奇函数,则?=__________ 4.设3 2 1()252 f x x x x =- -+,当]2,1[-∈x 时,()f x m <恒成立,则实数m 的 取值范围为 。 5.对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1.求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2.求函数y = 3.已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围。 4.已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞,是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件:(1))(x f 在(0,1)上是减函数,在[)1,+∞上是增函数;(2))(x f 的最小值是1,若存在,求出a b 、,若不存在,说明理由. (数学选修1-1)第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1.A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 高中数学导数典型例题 题型一:利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 (1)若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式; (2)在(1)的条件下,求函数)(x f y =在[-3,1]上的最大值; (3)若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增,求实数b 的取值范围 解:(1)极值的求法与极值的性质 (2)由导数求最值 (3)单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证:)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解:(1)单调区间 零点 驻点 拐点————草图 (2)草图——讨论 题型二:利用导数解决恒成立的问题 例1:已知322()69f x x ax a x =-+(a ∈R ). (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间; (Ⅱ)当0a >时,若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立,求实数a 的取值范围. 例2:已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++,1()()2 g x f x '=. (1)证明:当22t <时,()g x 在R 上是增函数; (2)对于给定的闭区间[]a b ,,试说明存在实数 k ,当t k >时,()g x 在闭区间[]a b , 上是减函数; (3)证明:3()2 f x ≥. 解:g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人,我也没做出来 例3:已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f (1)求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 (2)对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立,求实数a 的取值范围 解:讨论点x=1/e 1/e 导数及其应用 1、函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数在0x x =处的瞬时变化率是 ,则称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或,即= . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 )(x f y =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ,()g x 均可导(可积),则有: 7.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式,得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式,得x 的范围,就是递减区间;[注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 8.求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数 '()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区 间分成若干小开区间,并列成表格,检查/()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f (x )在这个根处无极值 9.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值;⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。[注]:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点; 欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题(文)一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主1. 要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题,关键是建立恰当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极大(小)值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小)值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数,则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析:,所以 答案:3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My,f2,点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1,f(1))222,所的纵坐标为,所以,由切线过点,可得点M 解析:因为5???f1?????3'f1?f12以,所以3 答案: 学习好资料欢迎下载 32?3)(1,2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1,4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析:,所以设切线方程,处切线的斜率为点?3)(1, ?3)y??5x?b(1,2b?,将点处的切线为带入切线方程可得,所以,过曲线上点5x?y?2?0方程为:5x?y?2?0答案:点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点,,例,4.已知曲线C:直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解:线直线过原点,C则。由点上, ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在,处,。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?,整曲线C,的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以,(舍),此时,,解得:理得:,或033??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是答案:直线点评:本小题考查导数 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈,其中t R ∈. (Ⅰ)当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间; (Ⅲ)证明:对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点. 【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法,满分14分。 (Ⅰ)解:当1t =时,3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- (Ⅱ)解:2 2 ()1266f x x tx t '=+-,令()0f x '=,解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠,以下分两种情况讨论: (1)若0,,2 t t t x <<-则 当变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表: x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以,()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 (2)若0,2 t t t >-< 则,当x 变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表: x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x 高考文科数学专题复习导数训练题(文) 一、考点回顾 1.导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用。 3.应用导数解决实际问题,关键是建立恰当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极大(小)值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小)值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析: ()2'2+=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案:3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ,处的切线方程是1 22y x = +,则 (1)(1)f f '+= 。 解析:因为 21= k ,所以()211'= f ,由切线过点(1(1))M f ,,可得点M 的纵坐标为25 ,所 以 ()25 1= f ,所以()()31'1=+f f 答案:3 例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 解析: 443'2 --=x x y ,∴点(13)-,处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-, 带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-,处的切线方程为:025=-+y x 答案:025=-+y x 点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C :x x x y 232 3+-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00 ≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 解析: 直线过原点,则 ()000 ≠= x x y k 。由点 () 00,y x 在曲线C 上,则 02 30023x x x y +-=,∴?2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ,∴ 在 ()00,y x 处 曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ,∴?2632302 002 0+-=+-x x x x ,整理 得:0 3200=-x x ,解得: 230= x 或00=x (舍),此时,830-=y ,41 - =k 。所以,直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23。 答案:直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23 点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。 考点四:函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。 解析:函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0' 高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练(十) 一、选择题 1. 设函数f (x )存在导数且满足 ,则曲线y=f (x )在 点(2,f (2))处的切线斜率为( ) A .﹣1 B .﹣2 C .1 D .2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ,则曲线在点P 处的切线的方程为 ( ) A .1y e x =-?+ B .1y x =-+ C . y x =- D . y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为() A .3 B .3 C. 32 D .6 4. 设P 为曲线2:23C y x x =++上的点,且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为0,4π?????? ,则点P 的横坐标的取值范围为() A .[]0,1 B .[]1,0- C .11,2??--??? ? D .1,12?????? 5. 已知23 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++ ++,则(0)f '=( ). A .n B .1n - C .(1)2 n n -D .1 (1)2n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为( ) A . B .2 C .3 D .2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线,则这样的切线条数为() A .0 B .1 C .2 D .3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ,且a 2014,a 2016是函数f (x )= +6x ﹣1的极值点,则log 2(a 2000+a 2012+a 2018+a 2030)的值是( ) A .2 B .3 C .4 D .5 导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 .已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 .已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 .已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 .已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围. 6 .已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 .已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 .已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 .已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e , 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10.已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围. 导数典型例题 数作 考 内容的考 力度逐年增大 .考点涉及到了 数的所有内容,如 数的定 , 数的几何意 、物理意 ,用 数研究函数的 性,求函数的最(极) 等等,考 的 型有客 ( 、填空 ) 、主 (解答 ) 、考 的形式具有 合性和多 性的特 点 .并且, 数与 内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的 合考 成 新的 点 . 一、与导数概念有关的问题 【例 1】函数 f(x)=x(x-1) ( x-2)? (x-100) 在 x=0 的 数 .100 2 C ! f ( 0 x) f ( 0) x( x 1)( x 2) (100 ) 解法一 f ' (0)= lim x = lim x x 0 x 0 = lim ( x-1)( x-2)? ( x-100)= ( -1 )( -2)?( -100 ) =100 ! ∴ D. x 0 解法二 f(x)=a 101 x 101 + a 100 x 100 +? + a 1x+a 0, f '(0)= a 1,而 a 1 =( -1)( -2 )?( -100 ) =100 ! . ∴ D. 点 解法一是 用 数的定 直接求解,函数在某点的 数就是函数在 点平均 化 率的极限 .解法二是根据 数的四 运算求 法 使 解 . 【例 2】 已知函数 f (x)= c n 0 c 1 n x 1 c n 2 x 2 1 c n k x k 1 c n n x n , n ∈ N * , 2 k n f ( 2 2 x ) f ( 2x) lim x = . x 0 f (2 2 x) f ( 2 x) f ( 2 2 x) f (2) 解 ∵ lim x =2 lim 2 x + x x 0 f 2 ( x) f ( 2) lim x =2f ' (2)+ f '(2)=3 f ' (2), x 0 又∵ f '(x)= c n 1 c n 2 x c n k x k 1 c n n x n 1 , ∴ f '(2)= 1 ( 2 c n 1 22 c n 2 2k c n k 2 n c n n ) = 1 [(1+2) n -1]= 1 ( 3 n -1). 2 2 2 点 数定 中的“增量 x ”有多种形式,可以 正也可以 ,如 f ( x 0 m x) f ( x 0 ) , 且 其 定形 式 可 以 是 lim f ( x 0 m x) f ( x 0 ) lim m x m x , 也 可 以 是 x 0 x 0 f (x) f (x 0 ) (令 x=x-x 得到),本 是 数的定 与多 式函数求 及二 式定理有关 lim x x x 0 知 的 合 , 接交 、自然,背景新 . 【例 3】 如 的半径以 2 cm/s 的等速度增加, 半径 R=10 cm , 面 增加的速 度是 . 导数的应用 二、典型例题 题型一 未定式及其逆问题的求解 例1、求下列极限(∞∞): (1)0ln tan 2lim ln tan 3x x x +→ (2)0lim ln x x x +→ (3)arctan lim (1)x x x a x x a a x →∞->+ (4)ln(1)lim an n e n →∞+ (1)解:原式2'2002cot 2sec 22tan 3lim lim 13cot 3sec 33tan 2L H x x x x x x x x ++ →→===. (2)解:原式1'ln 1 lim lim 0t x L H t t t t t =→+∞→+∞-==-=. (3)提示:arctan 1()arctan lim lim 11() x x x x x x a x x x a x a x x a →+∞→+∞--==++; arctan ()arctan lim lim ()12 x x x x x x a x x a x x a x a x π →-∞→-∞--==++. (4)提示:0a ≤,原式0=;0a >,原式ln(1) lim an n an e a n -→∞++==(不能用'L H ). 注:ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,x x x x x x x a b a x x a x ββαββα><+>无限增大之速渐快; ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,!,n n n n n n n a b a n n a n n ββαββα><+>无限增大之速渐快. 例2、求下列极限(0 000,,1,,0∞ ?∞∞-∞∞,): (1)4301 sin sin lim tan x x x x x x →-+;(2)20(1)ln(1)lim 1 x x x x x e →-++-;(3)01lim(cot )1x x x e →--; (4)21lim[ln(1)]x x x x →∞-+;(5)2arctan lim ()x x x π→+∞;(6)101lim()x kx n x k e n →=∑; (7)2122lim()x x x a →∞+. (1)提示:原式3300 32000tan ~sin 11cos 1 lim lim sin lim 36 x x x x x x x x x x x x →→→--+==. (2)提示:解:原式2200 '2001~(1)ln(1)ln(1)1 lim lim 22x L H x x e x x x x x x x →→--++-+===-. (3)提示:原式2'20001tan 1tan sec 1 lim lim lim (1)tan 22x x x L H x x x x e x e x e x e x x x →→→-----====-. (4)提示:原式1'20ln(1)1 lim 2 t x L H t t t t =→-+==. (5)提示:原式22 2 2 ln arctan arctan 12[(1)]2 lim 1lim lim 111x x x x x x x x x e e e e ππ π π∞ →+∞ →+∞ →+∞ -+- -====(令 2 arctan 1x t π -=). (6)提示:原式1 1 00 11 ln( ) 11 1lim 1'lim lim 2 n n kx kx n kx k k x x x k e n e n n ke L H n x x e e e e ∞==→→→=-+∑∑ ∑ ====. (7)提示:原式0 ∞=22222ln()2() 'lim lim 21x x x a x x a L H x x e e →∞→∞++==. 注1 :对1n =,不能直接使用L’H 法则,先求0 1lim 1x x x ∞→+∞ =,而0 00 lim 1x x x + →=. 导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(1)1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=(||1a <);(2)00lim x x x x →=,0011lim x x x x →= . 两个重要的极限 :(1)0sin lim 1x x x →=;(2)1lim 1x x e x →∞?? += ??? (e=2.718281845…). 函数极限的四则运算法则:若0 lim ()x x f x a →=,0 lim ()x x g x b →=,则 (1)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;(2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±;(2)()lim n n n a b a b →∞?=?(3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商) 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度:00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度:00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数:()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C (C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -=' (4) x x 1 )(ln = ';e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则 (1)' ' ' ()u v u v ±=±.(2)' ' ' ()uv u v uv =+.(3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=,函数)(u f y =在点x 处的对应点U处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数,且''' x u x y y u =?,或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 . [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.高考数学 导数及其应用的典型例题
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