简支梁的相关计算
第十章??? 弯曲梁的设计
第一节??????????? ??梁平面弯曲的概念和弯曲内力
一、弯曲的概念
实际中，存在大量的受弯曲杆件，如火车轮轴，桥式起重机大梁。如图10.1.1
?????????????? 图10.1.1 火车轮轴?????????????图起重机大梁
程中常见的梁，其横截面通常都有一个纵向对称轴，该对称轴与梁的轴线组成梁纵向对称面。如图10.1.3所示。
????????????????????? 图10.1.3 梁的纵向对称
果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的轴线将在纵向对称平面内变成一条平面曲线。这种弯曲。平面弯曲是弯曲问题中最基本、最常见的，所以，这里只讨论平面弯曲问题。
、梁的计算简图及基本形式
上的荷载和支承情况比较复杂，为便与分析和计算，在保证足够精度的前提下，需要对梁进行力学简化。
一)、梁的简化
了绘图的方便，首先对梁本身进行简化，通常用梁的轴线来代替实际的梁。
二）、荷载分类
用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型：
、集中荷载 ??当载荷的作用范围和梁的长度相比较是很小时，可以简化为作用于一点的力，称为集中荷载或集中力受的切削力便可视为集中力P，如图10.1.4（a）所示，其单位为牛（N）或千牛（kN）。
中力偶 ??当梁的某一小段内（其长度远远小于梁的长度）受到力偶的作用，可简化为作用在某一截面上的力偶，称为集中力偶。如图10.的单位为牛·米
N·m）或千牛·米（kN·m）。
、均布载荷 ??沿梁的长度均匀分布的载荷，称为均布载荷。分布载荷的大小用载荷集度 q 表示，均布集度 q 为常
1.4（c ）所示。其单位为牛／米（ N ／ m ）或千牛／米（ k ／ m ）。
三）、梁的基本形式
按照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为以下三种形式：固定铰链支座、活动铰链支座和固定端支座。这三种况和支反力已在静力学中讨论过，这里不再重复。根据梁的支承情况，一般可把梁简化为以下三种基本形式。
、简支梁 ?梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动饺链支座的梁称为简支梁。如图10.1.5（a ）。
、外伸梁 ?外伸梁的支座与简支梁一样，不同点是梁的一端或两端伸出支座以外，所以称为外伸梁。如图10.1.5（
悬臂梁 ?一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁。如图10.1.5（c ）?????????????
??????? 图10.1.4 载荷类?????????????????? 图 梁的类
上三种梁的未知约束反力最多只有三个，应用静力平衡条件就可以确定这三种形式梁的内力。
、 梁弯曲时的内力——剪力和弯矩计算
用于梁上的外力以及支承对梁的约束力都是梁的外载荷。支承对梁所产生的约束反力一般都由静力平衡条件求得。用下，梁要产生弯曲变形，梁的各横截面内就必定存在相应的内力。求解梁横截面上内力的方法是截面法。
图10.1.6 截面法求梁的内
.1.6所示的简支梁，受集中力
1P 和2P 作用。为了求出距A 端支座为x 处横截面m-m 上的内力，首先按静力学中的平衡方程求出支座反力
外力及截面处内力的共同作用下也应保持平衡。截面m-m 上必有一个与截面相切的内力Q 来代替右边部分对左边部分
向移动趋势所起的约束作用；又因为R A 与P 1对截面形心的力矩一般不能相互抵消，为保持这部分不发生转动，在横
有一个位于载荷平面的内力偶，其力矩为M ，来代替右边部分对左边部分转动趋势所起的约束作用。由此可见，梁弯上一般存在两个内力因素，其中Q 称为剪力，M 称为弯矩。
力和弯矩的大小可由左段梁的平衡方程确定。
由 ΣFy = 0?? 得 01=--Q P
R A 由 ΣMC = 0?? 得? 0)(1=-+-a x P
x R M A ，C 为横截面的形心。
若取右段梁研究，根据作用力与反作用力定律，在m-m 截面上也必然有剪力Q '?和弯矩M '，并且它们分别与 Q 和
方向相反。
和弯矩的正负按梁的变形来确定。凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。如图10.1.7
? 图10.1.7 剪力的符???????????????????? 图 弯矩的
上所述，可得求剪力、弯矩大小和方向的规则：
于剪力：梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧梁上所有横向外力的代数和；正负号由“外力左上右下，产生的确定。
于弯矩：梁内任一横截面上的弯矩等于该截面一侧梁上所有外力对截面形心力矩的代数和。正负号由“外力矩左顺弯矩为正”确定。
用上述规则，可以直接根据截面左侧或右侧梁上的外力求出指定截面的剪力和弯矩。
10.1.1? 简支梁受集中力kN p 1=，力偶m kN m ⋅=1，均布载荷m kN q /4=Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面上的剪力和弯矩。
图10.1.9
简支梁
：（1）求支座反力。
,
0)(=∑
F M B ???即 02505.01000750=⨯⨯+-⨯-⨯q m R P A
得????? N R A 250=
,
0=∑y
F
? 即05.0=+⨯--B A R q P R
得?????? N R B 2750=
2）计算剪力和弯矩（应取简单的一侧为研究对象）。 Ⅰ-Ⅰ????? N R Q A 2501==
Ⅱ-Ⅱ????? kN R q Q B 5.175.24.044.02-=-⨯=-⨯=
m N q R M B ⋅=⨯⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯=-7802.04.01041040027502004.0400332
例10.1.2kN 4
10,并假定均匀分布在轧辊的CD 的范围内。试求轧辊中央截面上的弯矩及截面C 的剪力。????????
?????????????图 剪板机电
轧辊可简化为如图（c ）所示形式。轧制力均匀分布于长度为的范围内，故轧制力的载荷集度为
于梁上的载荷与约束反力对跨度中点是对称的，所以容易求出两段的约束反力为
截面C 左侧为研究对象，求得该截面上的剪力为
的外力为A F 和一部分均布载荷。以中点截面左侧为研跨度中点截面左侧
弯矩
为??????????????
、剪力图和弯矩图
一般情况下，剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化的。如果取梁的轴线为x 轴，以坐标x 表示横截面的位置，可表示为x 的函数，即
述两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，故分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
了能一目了然地看出梁各截面上的剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，在设计计算中常把各截面上的剪力和弯矩用图一平行于梁轴线的横坐标x 来表示横截面的位置，以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩，画出剪力和弯矩与x 这样得出的图形叫做梁的剪力图和弯矩图。
用剪力图和弯矩图，很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁的危险截面的位置。所以画剪力图和弯矩图往往刚度计算中的重要步骤。
力图和弯矩图的画法是首先求出梁的支座反力，然后以力和力偶的作用点为分界点，将梁分为几段，分段列出剪力取横坐标x 表示截面的位置；纵坐标表示各截面的剪力和弯矩，按方程绘图。
面通过分析例题说明剪力图和弯矩图的绘制方法及步骤
例10.1.3l ，起吊重量为P 。不计梁的自重，试绘制图示位置横梁的剪力图和弯矩图，并指出最大剪力和最大弯矩所
。
图 简支梁受集中力
（1）绘制横梁的计算简图?? 根据横梁两端A 、B 轮的实际支承情况，将其简化为简支梁（图（a ）。起吊重量为P 可沿横梁行走的小车两轮中点所对应的梁的梁截面C 处的集中力。
2）计算A 、B 两端的支座的约束反力?? 根据静力平衡方程得
m kN q F M A .31502
4
.04.083.0=⨯
⨯-⨯=
既曲线顶点为（
8,22ql l ），开口向下，可按下列对应值确定几点。 x 0
M
剪力图与弯矩图分别如图（c ）、(d)所示。由图可知，剪力最大值 在两支座A 、B 内侧的横截面上，
2max ql
F S =
。弯
梁的中点，
82
max ql M =
。 1.5
：1）求支反力。
得：??? ?????
l M F e
Ay =
图 简支梁受集中力偶
）列出剪力方程和弯矩方程。
C 点处有集中力偶，故弯矩需分段考虑。 段 段??
）画剪力图。
剪力方程知，剪力为常数，故是一水平直线，如图（b ）所示。
）画弯矩图。
弯矩方程知，C 截面左右段均为斜直线。 段
BC 段
。
图
解：（1）绘剪力图。剪力图从零开始,一般自左向右,逐段画出。根据规律可知，因A 点有集中力,A R 故在A 点剪力
向上突变，从A 点右侧到C 点左侧，两点之间无力作用，故剪力图平行与x 轴的直线。因C 点有集中力1P ,故在C 点剪
变3kN ，C 点左侧的剪力值为，C 点右侧的剪力值为kN 5.0-。同样的道理，依次，可完成其剪力图（图（b ））。需要
最后应回到零。图中虚线箭头只表示画图走向和突变方向。
? （2）绘弯矩图。弯矩图也是从零开始，自左向右边，逐段画出。A 点因无力偶作用，故无突变。因AC 段剪力图为线，故其弯矩图为一条从零开始的上斜线，其斜率为（图（c ）中斜率仅为绘图方便而标注），C 点的弯矩值为
)(5.2m kN ⋅=。
CD 段的弯矩图为一条从m kN ⋅5.2开始的下斜线，斜率为，故D 点的弯矩值为)(5.125.05.2m kN ⋅=⨯-，同样的道理
矩图，最后回到零（图（c ））。
例10.1.7m kN M ⋅=4，kN P 10=，kN R A 6-=，kN R B 16=。其它尺寸如图所示。试绘出梁的剪力图和弯矩图
图
：
1）绘剪力图。根据规律画剪力图时可不考虑力偶的影响。因此，绘其剪力图时，从A 点零开始，向下突变6，从6行线至B 点，向上突变16，在画X 轴平行线，最后连D 点向下突变10而回到零（图（b ））.
（2）绘弯矩图从A 点零开始，画斜率为6的下斜线至C 点，因C 点有力偶作用，故弯矩图有突变，根据“顺上逆下”，在画斜率为6的下斜线至B 点，在B 点转折，作斜率为10的上斜线至D 点而回到零（图（c ））。
10.1.8m KN M ⋅=16，m kN q /2=，KN p 2=，约束反力KN R A 2.7=，KN R B 8.14=，试绘出梁的剪力图和弯矩图
m 处截面的剪力和弯矩。
：（1）绘制剪力图。
零开始，向上突变，AC 段为x 轴的平行线。CB 段，剪力图从下斜至B 点，斜率为2，故B 点左侧的剪力值为，从向上突变，即到B 点右侧
斜率2的下斜线至D 点左侧，因D 点有集中力P ，故向下突变回到零（图（b ））。剪力图
Q=0的点可由几何关系求得，如：6.322
.7=(m)。
2）绘弯矩图。
AC 段弯矩图为一条从零开始的斜率为的上斜线。因C 点有力偶，故弯矩图在C 点
????????????????????????? 图
下突变。CB 段剪力图为一条下斜线，故对应的弯矩图为一条从开始的上弯抛物线，最大值点应对应于Q=0的点，其
三角形面积求得
点的值也可由对应的三角形面积求得
也可暂不求此值，继续绘图，因B，D点无力偶，故弯矩图直接转折上弯至零，最后利用对应的剪力图梯形面积计算需要注意，图
3）求距A点4m处截面的剪力和弯矩。
截面剪力和弯矩可由图中几何关系直接求得。由图（b）可知，该截面的剪力
由图（c）可知，该截面的弯矩?
由上述各例可以看出，绘制剪力图和弯矩图的基本过程为：熟记规律，从左至右，从零开始，到点即停，标值判定（，最终回零。
第二节? 梁的弯曲强度计算
纯弯曲时梁横截面上的正应力
前面对梁弯曲时横截面上的内力进行了分析讨论。为了进行梁的强度计算，还需要进一步研究横截面上的应力情况。截面上既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为剪切弯曲。若梁的横截面上只有弯矩而无剪力，则梁的横截面上仅有正应力。这种弯曲称为纯弯曲。梁纯弯曲的强度主要决定于截面上的正应力，切应力居于次要地位。所以这里只讨论梁在纯面上的正应力。
想分析正应力的分布规律并计算正应力，先是通过实验，观察其变形，提出假设。在这个基础上综合应用几何变形学关系，找出变形及其应力的变化规律而推导出应力计算公式。
一）、实验观察
一矩形截面直杆，实验前，在梁的侧面上，画上垂直于梁轴的横向线 = 1 \* ROMAN I－ = 1 \* ROMAN I和 = 2 \* 2 \* ROMAN II及平行于梁轴的纵向线ab和cd，然后在梁的纵向对称平面内两端施加集中力偶M，使梁产生纯弯曲1所示。梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象：
、横向线ac和bd仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度
、纵向线ab和cd（包括轴线）都变成了弧线。且ab变成b
a''后缩短了，cd变成d
c''后伸长了
横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。??????????? 图10.2.1 梁的弯曲试验图???????? 梁的中性层
据上述现象，可对梁的变形提出如下假设：
平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了一个微小的角度。
单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。
以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这层纤维中性层和横截面的交线称为中性轴。如图10.2.2所示。
二）、变形的几何关系
于纯弯曲时，各层纵向纤维受到轴向拉伸和压缩的作用，因此材料的应力和应变的关系应符合拉压胡克定律εσE =可知，若搞清应力分布规律，必须搞清应变ε的变化规律，为此，将变形后的梁中取一微段来进行研究，如图10.2.3所示。两截面 = 1 \* ROMAN I 和 = 2 \* ROMAN II － = 2 \* ROMAN II 原来是平行的，现在相互倾斜了一个微小角度θd 。图中O O '为中性层，设其曲率中性层的距离为y 形后中性层纤维长度仍为X d 且θρd d X =。距中性层为y ，则纵向线cd 的线应变为：???
内任一纵向纤维的线应变ε与它到中性层的距离y 成正比。
）、变形的物理关系
单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律代入上式，得：
ρεσy
E E ==????? （ 10.2.1）
式表明了横截面上正应力的分布规律，即：横截面上任一点处的正应力与它到中性轴的距离成正比，与中性层距离正应力相等；距离中性层越远，正应力越大；中性轴上各点的正应力为零，由此可得横截面上各点的正应力分布情况4所示。为了准确计算正应力值，必须确定中性轴的位置与曲率半径ρ的大小，而这又需要通过应力与内力间的静力决。
四）、静力学关系
?????? 图10.2.3 弯曲变形???????????????????????? 图 10.2.4 弯曲正应力的分布规律
生纯弯曲时，横截面上只有弯矩而无剪力，且弯曲变形时横截面绕中性轴Z 转动。所以，横截面上所有内力合成的结中性轴Z 的弯矩M ，而沿梁轴线的分量和对横截面对称轴的弯矩均为零。
过对静力学和截面形心进行分析可得如下结论：
曲时，横截面的中性轴必须通过截面的形心。
曲时，中性轴的曲率半径的计算公式为
Z 称为抗弯截面模量，也是衡量截面抗弯强度的一个几何量，其值与横截面的形状和尺寸有关
式（10.2.2
弯曲正应力计算公式是梁在纯弯曲的情况下导出来的。对于一般的梁来说，横截面上除弯矩外还有剪力存在，这样的切弯曲。在剪切弯曲时，横截面将发生翘曲，平截面假设不再成立。但较精确的分析证明，对于跨度l 与截面高度h 之5
的梁，计算其正应力所得结果误差很小。在工程上常用的梁，其跨高比远大于5，因此，计算式可足够精确地推广曲的情况。 2.15ｋＮ，ａ＝180ｍｍ，ｂ＝30ｍｍ，ｈ＝60ｍｍ。试分别求将截面竖放和横放时梁截面上的最大正应力。
图 10.2.5 简支梁受力
：1）求支座反力。根据外力平衡条件列平衡方程，可解得支座反力为
画出剪力图和弯矩图，如图10.2.5（b ）、（c ）所示。可见，在CD 段横截面上剪力为零，故CD 段为纯弯曲段，为?
竖放时最大正应力。先由表10.2.1中查得矩形截面的截面弯曲系Wz 的计算公式，代入式Z W M =
max σ即可求出竖放时大正应力为
理可求得横放时横截面上的最大正应力为
此例可知：矩形截面梁的横截面放置方位不同，其最大正应力值也不同，即梁的弯曲强度不同，矩形截面梁的横截时强度高。
梁的弯曲强度计算
进行梁的强度计算时，由于梁上的应力一般是随截面位置的不同而变化的，因此应首先找出最大应力所在截面，即求出最大应力m ax σ。一般情况下，对于等截面直梁，其危险点在弯矩最大的截面上的上下边缘处，即最大正应力所在
一)、强度条件
梁安全可靠的工作，危险点的最大工作应力不能超过梁所用材料的许用应力，强度条件为：
只超过的%，故选用20b 号工字钢能满足梁的要求。
10.3.2 ????小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许用拉应力[]MPa l 30=σ，许用压应力[]MPa y 160=σ。试度确定压力机的最大许可压力P 。立柱的截面尺寸如图，其中O 为形心，z 0=7.5cm ，I y =5310cm 3，面积A=15×10-3 cm 2
???????????????????? 图10.3.2 立柱的受力分析及应力图
：（1）外力分析：由于外力P 与床身立柱的轴线平行但不重合，故立柱受偏心拉伸作用。
（2）内力分析：如图10.3.2所示，由截面法可得：
见,立柱实质上承受轴向拉伸和弯曲组合变形。
（3）应力分析：如图10.3.2所示，由轴力N 引起的正应力σ'沿横截面均匀分布，其值为：
弯矩M y 引起的正应力σ''沿y 方向分布如图所示。其值分别为：
PMPa P I Z M y y 6.010*******.010425.0830max =⨯⨯⨯==''-σ?? （拉）
PMPa P I Z M y y 1105310125.010425.08
31max =⨯⨯⨯==''-σ?? （压）
σ'与σ''叠加后得到总应力σ,仍在截面内侧有最大拉应力，外侧有最大压应力，其值分别为：
PMPa P P 667.06.015max
max =+=''+'=σσσ?? （拉） MPa P P 933.015max -=-=σ?? （压）
4）由强度条件确定许可载荷：由抗拉强度条件? []l σσ≤max ??
得：
kN P l45
667
.0
667
.0
=
=
≤
由抗压强度条件
[]
y
σ
σ≤max???
得：P≤
[]
kN P y5.
171
933
.0
160
933
.0
=
=
≤
σ
使立柱同时满足抗拉和抗压强度条件,压力P不应超过45kN。
第四节? 梁的弯曲变形及刚度计算
与其它受力杆件一样，除了要满足强度条件外，还要满足刚度条件。使其工作时变形不致过大，否则会引起振动，转精度，甚至导致失效。例如图10.4.1所示，齿轮轴的弯曲变形过大，就会影响齿轮的正常啮合，加速齿轮的磨损承配合不好，造成传动不稳定，减少寿命。另一方面，弯曲变形也有可利用的一面。如车辆上的钢板弹簧，需要足够和车辆受到的冲击和震动，为了限制和利用梁的变形，就必须掌握梁的变形计算。
图10.4.1 齿轮轴????????????????????????????????????????? 图梁的挠曲线
、弯曲变形的挠度与转角
梁在平面弯曲时，其轴线将在加载平面内弯成一条光滑的平面曲线，该曲线称为梁的挠曲线。如图10.4.2所示。梁形心沿y轴方向的线位移，称为挠度，用y表示，通常规定：向上为正，向下为负。由于弯曲变形属于小变形，梁横轴方向的位移很小，可忽略不计。
弯曲过程中，梁任一横截面相对于原来位置所转过的角度，称为转角，用θ表示，通常规定：逆时针为正，顺时针、梁的挠曲线方程
了表达梁的挠度与转角随着截面位置不同而变化的规律，取梁变形前的轴线为x轴，与x轴垂直向上的轴为y轴，2所示。则挠曲线方程可表示为：
??????? )
(x
y
y=?????????????（10.4.1）
忽略剪力对变形影响的情况下，横截面在变形后仍垂直于挠曲线。这样，任一截面的转角θ也等于挠曲线在该截面轴的夹角。由于θ很小，所以有
????? ?
y
dx
dy
=
=
=θ
θtan
?????????(10.4.2)
简支梁的相关计算
第十章??? 弯曲梁的设计 第一节??????????? ??梁平面弯曲的概念和弯曲内力 一、弯曲的概念 实际中，存在大量的受弯曲杆件，如火车轮轴，桥式起重机大梁。如图10.1.1 ?????????????? 图10.1.1 火车轮轴?????????????图起重机大梁 程中常见的梁，其横截面通常都有一个纵向对称轴，该对称轴与梁的轴线组成梁纵向对称面。如图10.1.3所示。 ????????????????????? 图10.1.3 梁的纵向对称 果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的轴线将在纵向对称平面内变成一条平面曲线。这种弯曲。平面弯曲是弯曲问题中最基本、最常见的，所以，这里只讨论平面弯曲问题。 、梁的计算简图及基本形式 上的荷载和支承情况比较复杂，为便与分析和计算，在保证足够精度的前提下，需要对梁进行力学简化。 一)、梁的简化 了绘图的方便，首先对梁本身进行简化，通常用梁的轴线来代替实际的梁。 二）、荷载分类 用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型： 、集中荷载 ??当载荷的作用范围和梁的长度相比较是很小时，可以简化为作用于一点的力，称为集中荷载或集中力受的切削力便可视为集中力P，如图10.1.4（a）所示，其单位为牛（N）或千牛（kN）。 中力偶 ??当梁的某一小段内（其长度远远小于梁的长度）受到力偶的作用，可简化为作用在某一截面上的力偶，称为集中力偶。如图10.的单位为牛·米 N·m）或千牛·米（kN·m）。 、均布载荷 ??沿梁的长度均匀分布的载荷，称为均布载荷。分布载荷的大小用载荷集度 q 表示，均布集度 q 为常
1.4（c ）所示。其单位为牛／米（ N ／ m ）或千牛／米（ k ／ m ）。 三）、梁的基本形式 按照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为以下三种形式：固定铰链支座、活动铰链支座和固定端支座。这三种况和支反力已在静力学中讨论过，这里不再重复。根据梁的支承情况，一般可把梁简化为以下三种基本形式。 、简支梁 ?梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动饺链支座的梁称为简支梁。如图10.1.5（a ）。 、外伸梁 ?外伸梁的支座与简支梁一样，不同点是梁的一端或两端伸出支座以外，所以称为外伸梁。如图10.1.5（ 悬臂梁 ?一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁。如图10.1.5（c ）????????????? ??????? 图10.1.4 载荷类?????????????????? 图 梁的类 上三种梁的未知约束反力最多只有三个，应用静力平衡条件就可以确定这三种形式梁的内力。 、 梁弯曲时的内力——剪力和弯矩计算 用于梁上的外力以及支承对梁的约束力都是梁的外载荷。支承对梁所产生的约束反力一般都由静力平衡条件求得。用下，梁要产生弯曲变形，梁的各横截面内就必定存在相应的内力。求解梁横截面上内力的方法是截面法。 图10.1.6 截面法求梁的内 .1.6所示的简支梁，受集中力 1P 和2P 作用。为了求出距A 端支座为x 处横截面m-m 上的内力，首先按静力学中的平衡方程求出支座反力 外力及截面处内力的共同作用下也应保持平衡。截面m-m 上必有一个与截面相切的内力Q 来代替右边部分对左边部分 向移动趋势所起的约束作用；又因为R A 与P 1对截面形心的力矩一般不能相互抵消，为保持这部分不发生转动，在横 有一个位于载荷平面的内力偶，其力矩为M ，来代替右边部分对左边部分转动趋势所起的约束作用。由此可见，梁弯上一般存在两个内力因素，其中Q 称为剪力，M 称为弯矩。 力和弯矩的大小可由左段梁的平衡方程确定。 由 ΣFy = 0?? 得 01=--Q P R A 由 ΣMC = 0?? 得? 0)(1=-+-a x P x R M A ，C 为横截面的形心。 若取右段梁研究，根据作用力与反作用力定律，在m-m 截面上也必然有剪力Q '?和弯矩M '，并且它们分别与 Q 和
简支梁计算公式总汇
简支梁在各种荷载作用下跨中最大挠度计算公式： 均布荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 5ql^4/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). q 为均布线荷载标准值(kn/m). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨中一个集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置两个相等的集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 6.81pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4).
跨间等间距布置三个相等的集中荷载下的最大挠度,其计算公式: Ymax = 6.33pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时，自由端最大挠度分别为的,其计算公式: Ymax =1ql^4/(8EI). ;Ymax =1pl^3/(3EI). q 为均布线荷载标准值(kn/m). ;p 为各个集中荷载标准值之和(kn). 你可以根据最大挠度控制1/400，荷载条件25kn/m以及一些其他荷载条件 进行反算，看能满足的上部荷载要求！ 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！ 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
简支梁计算例题
简支梁计算例题 摘要： 一、简支梁概述 1.定义与特点 2.简支梁计算的重要性 二、简支梁计算的基本公式 1.力矩平衡方程 2.静力平衡方程 3.几何方程 三、简支梁计算例题 1.例题一 a.问题描述 b.计算过程 c.结果分析 2.例题二 a.问题描述 b.计算过程 c.结果分析 四、简支梁计算在工程中的应用 1.桥梁工程 2.建筑工程
3.机械工程 正文： 简支梁计算例题 简支梁是工程中常见的一种构件，它的一端固定，另一端自由。由于简支梁的计算方法相对简单，因此被广泛应用于各种工程领域。接下来，我们通过两个例题来学习简支梁的计算方法。 例题一： 假设一简支梁，其长度为L，截面宽度为b，截面高度为h，承受均布荷载q，求梁在固定端和自由端的弯矩和剪力。 解答： 首先，我们需要根据力矩平衡方程计算弯矩。对于简支梁来说，弯矩的计算公式为：M = F * L，其中F 为作用在梁上的力，L 为力的作用距离。在本例中，由于荷载q 是均布的，因此可以将F 视为q 乘以梁的面积，即F = q * ab。将F 和L 代入弯矩公式，得到：M = q * ab * L。 接下来，我们需要计算剪力。根据静力平衡方程，剪力V 的计算公式为：V = F * cosθ，其中θ为力F 与梁的夹角。对于简支梁来说，θ=90°，因此cosθ=0。所以，剪力V=0。 最后，我们需要计算梁在固定端和自由端的弯矩和剪力。根据几何方程，梁在固定端的弯矩为M1 = M，剪力为V1 = 0；梁在自由端的弯矩为M2 = -M，剪力为V2 = 0。 例题二： 假设一简支梁，其长度为L，截面宽度为b，截面高度为h，承受集中荷
自己整理的简支梁挠度计算公式
自己整理的简支梁挠度计算公式 简支梁是工程结构中常见的一种梁型，其计算挠度是结构设计的重要一步。本文将介绍简支梁挠度计算的基本公式和相关公式，帮助读者更好地理解梁的挠度计算方法。 简支梁的挠度计算是通过考虑梁的弯曲和剪切效应来进行的。基本的挠度计算公式可以通过梁的受力平衡方程和运动方程得到。 首先，我们需要计算梁的弹性弯矩和剪力。弯矩表示梁在承受外部载荷时的弯曲程度。剪力表示梁在承受外部载荷时的剪切力大小。 弯矩的计算可以通过梁的受力平衡方程得到。受力平衡方程表示梁上任意一截面的受力之和为零。在简支梁上，受力平衡方程可以简化为以下形式： M = -wx^2/2 + A*x + B (1) 其中，M为弯矩，w为外部载荷分布，x为梁上其中一点的坐标，A和B为常数，代表梁的边界条件。 剪力的计算可以通过梁的受力平衡方程和受力平衡方程的导数得到。根据受力平衡方程的导数得到的公式为： V=-w*x+A(2) 其中，V为剪力，w为外部载荷分布，x为梁上其中一点的坐标，A为常数，代表梁的边界条件。 得到弯矩和剪力之后，我们可以利用梁的运动方程计算梁的挠度。梁的运动方程描述了梁在承受外力作用下的挠度变化。根据梁的运动方程，简支梁的挠度满足以下微分方程：
d^2y/dx^2 = M/EI (3) 其中，y为梁的挠度，x为梁上其中一点的坐标，E为梁的弹性模量，I为梁的惯性矩。 对上述微分方程进行两次积分得到梁的挠度计算公式： y = -wx^4/(24EI) + Ax^3/(6EI) + Bx^2/(2EI) + Cx + D (4) 其中，y为梁的挠度，w为外部载荷分布，x为梁上其中一点的坐标，E为梁的弹性模量，I为梁的惯性矩，A、B、C、D为常数，代表梁的边界 条件。 常见的边界条件包括：两端支座间距离为L的简支梁，边界条件为 y(0) = 0，y(L) = 0；一端固定、一端简支的悬臂梁，边界条件为y(0) = 0，dy/dx(0) = 0。根据边界条件可以确定常数A、B、C、D的值。 除了上述基本公式，还有一些特殊情况下的简支梁挠度计算公式。例如，当外部载荷为均布对称载荷时，梁的挠度可以通过以下公式计算：y=wL^4/(185EI)(5) 其中，w为外部均布载荷，L为梁的长度，E为梁的弹性模量，I为梁 的惯性矩。 此外，还有一些特殊形状的简支梁，例如矩形截面梁、圆柱截面梁等，可以通过特定的公式计算挠度。这些特殊形状的梁在结构设计中较为常见，有专门的计算公式进行挠度计算。 综上所述，简支梁的挠度计算可以通过弯矩、剪力和运动方程来进行。通过上述公式，我们可以计算简支梁在不同边界条件下的挠度，从而为结 构设计提供参考。
简支梁受力分析力矩剪力计算
简支梁受力分析力矩剪力计算 简支梁是一种常见的结构形式，在工程中广泛应用。在设计和分析梁的受力时，需要进行力矩和剪力计算。下面将详细介绍简支梁的受力分析和力矩、剪力的计算方法。 简支梁的受力分析主要包括受力方向、受力大小和力的平衡等内容。在进行力矩计算时，需要根据受力方向和力的大小，确定力的杆心与梁的任意一点之间的距离。而剪力则是在梁上产生的一个作用力，主要承受横向力和反作用力。在计算剪力时，主要根据受力方向和梁截面的形状来确定作用力的大小。 首先，我们来看力矩的计算。力矩定义为力乘以力臂，即M = F × d，其中M为力矩，F为力的大小，d为力臂的长度。对于简支梁，假设有一个集中力作用在距离梁端点a处的位置，如果力的方向与梁轴线垂直，则力臂的长度就是a。如果力的方向与梁轴线夹角θ不为90°，则力臂的长度为a × sinθ。通过这个公式，我们可以计算出力矩的大小。 同时，力矩还可以用来求解受力点的位置。如果在简支梁上有两个力分别作用在距离左端点a和右端点b的位置上，并且这两个力对称，则可以通过以下公式计算出受力点的位置：受力点位置L=b×(F1- F2)/(F1+F2)，其中L为受力点距离左端点的位置，F1和F2分别是两个力的大小。 接下来，我们来看剪力的计算。剪力是梁上任意一点受到的横向作用力。在简支梁中，剪力的大小主要根据梁的受力平衡条件来确定。剪力的计算过程一般可分为以下几个步骤：
1.绘制力的受力图：根据梁上的受力情况，绘制力的受力图，包括所 有受力的大小和方向。 2.划分截面：在梁上任意一点，将梁划分为两个截面，分别计算每个 截面上的受力情况。 3.受力平衡条件：根据受力平衡条件，对每个截面上的受力进行分析，得到剪力大小。 4.剪力分布图：将每个截面上的剪力大小绘制在横坐标为梁位置的图上，得到剪力分布图。 在剪力计算时，需要注意以下几点： -受力图的绘制要准确，包括受力的大小、方向和受力位置的标注。 -划分截面时，要选择合适的位置，使得计算剪力时可以忽略不需要 的力。 -在计算剪力时，要将每个截面看作一个整体，考虑截面内力的平衡 关系，避免将截面分开计算。 综上所述，简支梁的受力分析涉及力矩和剪力的计算。通过力矩的计算，可以求解力的杆心与梁上任意一点之间的距离，同时也可以计算受力 点的位置。而剪力的计算则需要根据受力平衡条件，绘制力的受力图，并 划分截面进行计算。通过对简支梁的受力分析和力矩、剪力的计算，可以 更好地理解梁的受力情况并进行合理的设计和分析。
简支梁计算公式总汇
简支梁计算公式总汇 简支梁计算方法是什么？ 计算基数级荷载值： Pka=Mka/α=21279.736/54.75=388.671（kN） 计算各荷载下理论挠度值： f=2P[L+2(L/2-Χ1)(3L-4(L/2-Χ1))+2(L/2－Χ2)(3L-4(L/2-Χ2))]/48EI/1000 =0.01156P 基数级跨中弯距Mka： Mka=(Md+Mf)×VZ/VJ+ΔMs/VJ－Ms Mka=(Md+Mf)×1.017/1.0319+△Ms/1.0319－Ms =(17364.38+0)×1.017/1.0319+4468.475/1.0319－ 164.25=21279.736（kN·m） 简支梁是什么？ 它是指梁的两端搁置在支座上，而支座仅约束梁的垂直位移，梁端是可以自由转动的。为了使整个梁不产生水平移动，将在一端加设水平约束，该处的支座称为铰支座，另一端不加水平约束的支座则称为滚动支座。 简支梁有哪些特点？ 简支梁具有受力明确（静定结构）、构造简单、易于标准化设计，易于标准化工厂制造和工地预制，易于架设施工，易于养护、维修和更换等特点。但简支梁桥不适用于较大跨度的桥梁工程。
简支梁和连续梁的区别是什么？ 1、支座数量不同 简支梁有两个支座。简支梁的两端搁置在支座上，一端加水平约束的支座称为铰支座，另一端不加水平约束的支座称为滚动支座。 连续梁有三个或三个以上支座。连续梁有中间支座。 2、所受力不同 简支梁仅在两端受铰支座约束，主要承受正弯矩。体系温变、混凝土收缩徐变、张拉预应力、支座移动等都不会在梁中产生附加内力，受力简单，简支梁为力学简化模型。 连续梁属静不定结构，从力法求解其中的内力可知，连续梁承受三个以上的支座力矩。连续梁有负弯矩，受正弯矩比相应的简支梁要小。 3、用途不同 简支梁受力简单，为力学简化模型，构造也较简单，容易做成标准化、装配化构件。 连续梁经常使用在建筑、桥梁、航空以及管道线路等工程中。
简支梁的相关计算
王创作 第十章弯曲梁的设计 第一节梁平面弯曲的概念和弯曲内力 一、弯曲的概念 实际中，存在大量的受弯曲杆件，如火车轮轴，桥式起重机大梁。如图10.1.1，图10.1.2所示，这类杆件受力的共同横向力）与杆轴线相垂直，变形时杆轴线由直线酿成曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁。 图10.1.1火车轮轴图10.1.2 起重机大梁 程中罕见的梁，其横截面通常都有一个纵向对称轴，该对称轴与梁的轴线组成梁纵向对称面。如图10.1.3所示。 图10.1.3 梁的纵向对称 果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的轴线将在纵向对称平面内酿成一条平面曲线。这种弯曲。平面弯曲是弯曲问题中最基本、最罕见的，所以，这里只讨论平面弯曲问题。 、梁的计算简图及基本形式 上的荷载和支承情况比较复杂，为便与分析和计算，在包管足够精度的前提下，需要对梁进行力学简化。 (一)、梁的简化 了绘图的方便，首先对梁自己进行简化，通经常使用梁的轴线来代替实际的梁。 二）、荷载分类 用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型： 、集中荷载当载荷的作用范围和梁的长度相比较是很小时，可以简化为作用于一点的力，称为集中荷载或集中所受的切削力即可视为集中力P，如图10.1.4（a）所示，其单位为牛（N）或千牛（kN）。 中力偶当梁的某一小段内（其长度远远小于梁的长度）受到力偶的作用，可简化为作用在某一截面上的力偶，称为集中力偶。（b）所示。它的单位为牛·米 N·m）或千牛·米（kN·m）。 、均布载荷沿梁的长度均匀分布的载荷，称为均布载荷。分布载荷的大小用载荷集度 q 暗示，均布集度 q 为0.1.4（c）所示。其单位为牛／米（ N ／ m ）或千牛／米（ k ／ m ）。 三）、梁的基本形式 依照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为以下三种形式：固定铰链支座、活动铰链支座和固定端支座。这三种况和支反力已在静力学中讨论过，这里不再重复。根据梁的支承情况，一般可把梁简化为以下三种基本形式。
简支梁计算公式总汇
简支梁计算公式总汇 简支梁是一种常见的结构形式，在工程设计中经常使用。它的计算公式是基于梁的力学性能来进行推导和计算的，下面将介绍简支梁计算公式的总汇。 1.简支梁的跨度和支点反力计算公式 简支梁的跨度是指两个支点之间的距离，可以根据悬臂臂长和梁的长度来计算。支点反力是指支点处的外力作用力，可以通过力的平衡方程来计算。 2.简支梁的弯矩计算公式 简支梁的弯矩是指在梁上各点产生的弯曲力矩，可以通过力的平衡和弯矩平衡方程来计算。弯矩与梁的截面惯性矩有关，可以通过梁的几何形状和材料特性来计算。 3.简支梁的剪力计算公式 简支梁的剪力是指在梁上各点产生的剪切力，可以通过力的平衡和剪力平衡方程来计算。剪力与梁的截面面积有关，可以通过梁的几何形状和材料特性来计算。 4.简支梁的挠度和挠度计算公式 简支梁的挠度是指在梁上任意一点由于受力而产生的弯曲变形，可以通过力的平衡和挠度平衡方程来计算。挠度与梁的弹性模量、截面惯性矩和梁的长度有关，可以通过梁的几何形状、材料特性和受力情况来计算。 5.简支梁的自振频率和频率计算公式
简支梁的自振频率是指梁在受到外力或激励时的振动频率，可以通过 梁的质量、刚度和长度来计算。自振频率与梁的自重、材料特性和梁的长 度有关，可以通过梁的几何形状、材料特性和支撑方式等来计算。 总结起来，简支梁的计算公式包括跨度和支点反力计算公式、弯矩计 算公式、剪力计算公式、挠度计算公式和频率计算公式等。通过这些公式，可以对简支梁的受力和变形进行准确的计算和分析，为工程设计提供参考 依据。但需要注意的是，在实际应用中还应考虑一些实际条件和约束，如 荷载类型、荷载大小、梁的几何形状和材料特性等。
简支梁计算例题
简支梁计算例题 （原创实用版） 目录 1.引言 2.简支梁的定义和特点 3.简支梁计算的方法 4.例题解析 5.结论 正文 【引言】 简支梁是一种常见的梁式结构，广泛应用于建筑、桥梁等领域。在设计简支梁时，计算其荷载承载能力是非常重要的环节。本文将介绍简支梁计算的方法，并通过例题进行解析。 【简支梁的定义和特点】 简支梁是指在两端支承条件下的梁，其支承条件为：梁的两端可以上下移动，但左右移动受到限制。简支梁的特点是结构简单，受力明确，便于计算。 【简支梁计算的方法】 简支梁的计算方法主要有以下两种： 1.静力法：根据静力平衡原理，求解梁在各种荷载作用下的内力。 2.弹性法：根据弹性力学原理，求解梁在各种荷载作用下的内力。 【例题解析】 假设有一简支梁，材料为钢筋混凝土，截面为矩形，长为 10m，宽为
0.5m。现需要计算在均匀分布荷载作用下，梁的最大弯矩。 步骤 1：确定梁的截面几何特征，计算截面惯性矩 I。 梁的截面惯性矩 I = (b * h^3) / 12 = (0.5m * (10m)^3) / 12 = 318.1m^4。 步骤 2：计算梁的截面模数 W。 梁的截面模数 W = I * (b * h^2) = 318.1m^4 * (0.5m * (10m)^2) = 7957.5m^5。 步骤 3：根据均匀分布荷载，计算梁的最大弯矩。 假设均匀分布荷载为 q，梁的支点反力为 N，梁的最大弯矩 M = 2 * q * L = 2 * q * 10m = 20q。 根据弯矩公式，求解最大弯矩 M： M = W * (N - q * L) / L = 7957.5m^5 * (200kN - 1000kg/m * 10m) / 10m = 159150kNm. 【结论】 简支梁的计算是建筑结构设计中的基本内容。通过静力法或弹性法计算简支梁的内力，可以确保梁在各种荷载作用下的安全性。