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2019年中科大创新班考试数学模拟试题及参考答案

2019年中科大创新班考试数学模拟试题

注意事项：

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.

将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.

考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。4.本试卷共四大题，满分100分，解答题需写出必要的计算和证明过程。

一、填空题（每小题5分，共40分）

1.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为．

2.已知{}7,6,5,4,3,2,1,0=A ，A A f →:，若7=+j i ，则ij j f i f =)()(，那么映射f 的个数是.

3.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于.

4.在锐角ABC △中，G O ,分别是其外心和重心，若AC OG ∥且 75=∠B ,则=+C A tan tan .

5.如图，在单位正四面体ABCD 中，K N M ,,分别在棱BD AD AB 、、上，满足

.41,31===DK DN BM 则面ACK 与面CMN 所夹锐角的余弦值为.

6.设复数z ，11=+z z ，则z 的取值范围是为.

7.严格递增的正实数数列{}n x 满足：{}n x x ∈当且仅当2{}x x +=整数，（其中，等式中的{}x 表示x 的小数部分）．那么，这个数列的前100项之和是．

8.任意m 个正整数中，必有一个数的各位数码之和是11的倍数，则m 的最小值为.

二、解答题（20分）

在ABC ?中，角C B A ,,的对边依次成等差数列。求证：3

12tan 2tan =C A .三、解答题（20分）

已知对于任意的]1,1[-∈x ，都有12

≤++c bx ax ，证明：对于任意的]1,1[-∈x ，都有22≤++a bx cx 。

四、解答题（20分）

在坐标平面内，从原点出发以同一初速度0v 和不同发射角（即发射方向与x 轴正向之间的夹角）[]2

,,0(παπαα≠∈射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程（确定变量取值范围）。

2019年中科大创新班考试数学模拟试题

参考答案

一、填空题

1、答案：7．

解析：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为133227.2

MRS MNPQ S S -=?-??=正方形

2、答案：480．

解析：对0,7两元素的像而言，因为0)()(=j f i f ,所以，0,7这两个元素的像至少有一个为0，共计有1518*2=-种情形。

对1,6两元素的像而言，此时，3*26*16)()(===j f i f ，对1,6两元素的像有四种可能。同理对2,5有2种，对3,4有4种，共计15*4*2*4=480种

3、答案：5

52．解析：不妨设椭圆E 的方程为22

221(0)+=>>x y a b a b

，P 经过E 的两个焦点，222=+x cy c 222=+a b c ，P 与E 恰有三个交点，所以2=c b ，则E 得离心率等于255

=c e a 4、答案：324+.

解析：如图所示：324tan 2tan tan sin sin sin 3

22sin 2122+==+?=?=???B C A C B A R B R S S AC OG AGC AOC ∥

5、答案：.9

6如图：记MN 与AK 交于点G 并设面ACK 与面CMN 所成的锐角大小为θ。作⊥CO 面ABD 于点O 。延长AO 交于BD 于点X ，易知O 是ABD ?的中心，则

XD BX OX AO ==,2，

又ND AN MB AM 2,2==，因此，M 、O 、N 三点共线。O 是MN 的中点。由MN AO ⊥，CO AO ⊥知

⊥AO 面CMN 。

故ACG ?在面CMN 上的投影为OCG ?。由面积射影定理得

964

3213296413241cos =???===????ACK CMN ACG COG S S S S θ6、答案：??

????+-215215，.解析：设()()cos sin 0z r i r θθ=+>，由已知得11cos i sin 1r r r r θθ????++-= ? ????

?，即2212cos 21r r θ++=，所以2

132cos 25r r θ??+=- ???≤，有15r r +，即2510r r -+≤．解这个一元二次不等式，注意到z r =，可知

515122

z ≤≤．

7、答案：2475+.

解析：显然每个正整数x 皆属于{}n x ，称{}n x 的这种子列为A 型的，记为123,,,a a a ；下面考虑x 不是正整数的情况，称{}n x 的这种子列为B 型的，记为123,,,b b b ；由[]{}x x x =+，其中0{}1x <<，所以20{}1x <<，设2{},x x k k +=为整数，则

2[]{}{},x x x k ++=而由22{}{}[],0{}{}2x x k x x x +=-<+<，得[]1k x -=，所以

[]1x k =-，1,2,3,k = ，并且2{}{}1x x +=，解得51{}2

x -=，于是

11,2

x k =-+1,2,3,k = ，因此任两个相邻自然数之间恰有一个B 型子列的项，从

而11,2k b k -=-+

k a k =，1,2,3,k = ，且{}n x 的前100项自小到大排列是：11225050,,,,,,b a b a b a ，

所以，5050100112475k k k k S b a

===+=+∑∑．

8、答案：39.

解析：首先存在38个连续的正整数，其中每一个数的数码之和不是11的倍数,如下：999981,999982， (1000018)

若39≥m ，至少有3个是10的倍数，这3个数中必有一个数的十位不大于8，且该后至少有19个数在所取的39个连续的正整数中.设这个数为a ，并设它的数码和为)(a S ，现在考虑数a ，a +1,a +2,...,a +9,a +19,这11个数都是所取的39个数中的数，它们的数码之和构成11个连续的正整数，必有一个是11的倍数.

二、解答题

证明：由b c a 2=+，得C

A B sin sin sin 2+=即2cos 2sin 22cos 2sin

4C A C A C A C A -+=++因为02sin ,20≠+<+

展开并整理，得2

cos 2cos 2sin 2sin

3C A C A =所以312tan 2tan =C A 三、解答题

证明：令c bx ax x f ++=2)(，则

c f =)0(，c b a f ++=)1(，c b a f +-=-)1(，且1)0(≤f ，1)1(≤f ，1)1(≤-f ，

则)0(f c =，2)1()1(--=f f b ，2

)0(2)1()1(f f f a --+=，所以当[]1,1-∈x 时，

2)0(2)1()1(2)1()1()0(22f f f f f x f x a bx cx --++--?+?=++)0()1()1(2

1)1(212f x f x f x ?-+-?-+?+=)0(1)1(1)1(1

2f x f x

f x ?-+-?-+?+≤

2212

12122≤-=-+-++≤x x x x 所以命题得证。

四、解答题

证明：引理：抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 在)(00，y x 处的切线斜率是b ax +02。引理的证明：设)(00，y x 处的切线方程为)(00x x k y y -=-，代入抛物线方程得0)(002=-++-+y kx c x k b ax ①

又c

bx ax y ++=0200

故①可化简成[]0)()(00=-++-k b x x a x x ②因为②只有一个实根，所以b ax k +=02引理得证。

设)(00，y x P 为任一正交点，则它是由线

212201cos 2tan x v g x y ?-?=αα与tan ?=x y 22202cos 2ααv g -

2x ?的交点，则两条切线的斜率分别为（由引理）00112222220102

tan ,tan cos cos gx gx k k v v =-+α=-+ααα又由题设121-=k k ，所以

001222220102tan tan 1cos cos gx gx v v αααα????--=- ???????③

又因为)(00，y x P 在两条抛物线上，所以=00x y ,cos 2tan 122001ααv gx -=00x y ,cos 2tan 2

22002ααv gx -代入③式得.1tan 2tan 2200100-=???? ??-???? ??-ααx y x y （※）又因为21tan ,tan αα是方程200022000

022gx y gx t t v x v ??-++= ??? 的两根，所以20120

2tan tan ,v gx αα+=④20001220002tan tan 2v y gx gx x v αα??=+ ???

⑤把④，⑤代入（※）式得2220000022v x y y g -+=220020440022

4,1168v y g x v v g g ??

- ???+=即

中科大创新班考试数学模拟试题参考答案

2019年中科大创新班考试数学模拟试题参考答案一、填空题 1、答案：7．解析：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为 133227.2 MRS MNPQ S S -=?-??=正方形 2、答案：480．解析：对0,7两元素的像而言，因为0)()(=j f i f ,所以，0,7这两个元素的像至少有一个为0，共计有1518*2=-种情形。对1,6两元素的像而言，此时，3*26*16)()(===j f i f ，对1,6两元素的像有四种可能。同理对2,5有2种，对3,4有4种，共计15*4*2*4=480种 3、答案：5 52．解析：不妨设椭圆E 的方程为22 221(0)+=>>x y a b a b ，P 经过E 的两个焦点，222=+x cy c 222=+a b c ，P 与E 恰有三个交点，所以2=c b ，则E 得离心率等于5 = =c e a 4、答案：324+.解析：如图所示：324tan 2tan tan sin sin sin 3 22sin 2122+==+?=?=???B C A C B A R B R S S AC OG AGC AOC ∥

5、答案：.9 6如图：记MN 与AK 交于点G 并设面ACK 与面CMN 所成的锐角大小为θ。作⊥CO 面ABD 于点O 。延长AO 交于BD 于点X ，易知O 是ABD ?的中心，则 XD BX OX AO ==,2，又ND AN MB AM 2,2==，因此，M 、O 、N 三点共线。O 是MN 的中点。由MN AO ⊥，CO AO ⊥知 ⊥AO 面CMN 。故ACG ?在面CMN 上的投影为OCG ?。由面积射影定理得 964 3213296413241cos =???===????ACK CMN ACG COG S S S S θ6、答案：?? ????+-215215，.解析：设()()cos sin 0z r i r θθ=+>，由已知得11cos i sin 1r r r r θθ????++-= ? ???? ?，即2212cos 21r r θ++=，所以2 132cos 25r r θ??+=- ???≤，有1r r +，即210r -+≤．解这个一元二次不等式，注意到z r = ，可知 1122 z ≤≤．

中科大2019创新班真题与答案word

2019年中国科学技术大学创新班考试物理试题一、单项选择及填空 1. 将平面哄左转10°，但AB方向不变，一些关于反射光C D''说法正确的是A A. 与CD不相交，同时平行 C. 与CD相交，夹角为10。 B. 与CD不相交，反向平行 D. 与CD相交，夹角为20 ° 2. 如果把双缝干涉实验中，关闭一个狭缝有什么影响C A. 条纹间距增大 B.中间亮条纹变宽 C. 中间亮纹变细 D. 条纹上移 3. 一个气泡在水底由下到上，上升（认为水温不变）则D A.气泡压强个↑ B.气泡体积 C. 气泡T改变 D.气泡对外做功 4. 如图，一个光滑半圆，小球从A端由静止滑下，在轨道上来回滑动AB A. 由A TB时，小球机械能守恒 B. 在C速度为0 C. BtC过程动量守恒 D. BtC过程动能守恒 5. 一杯水与砝码在天平上平衡，将手指插进水中但不碰到杯底，关于天平移动方向 A

A.水杯处下移 B.硃码下移 C.不变 D. 都有可能 6. 有如图管，管的左端封闭，右端开口，大气压为P 0。A ，B 为两段封闭气体，求P B （用图中给的h 1,h 2,h 3表示） )(P 130h h g +-ρ 7. 用紫光照射Zn 极，照射一段时间后，把Zn 极连接一验电器，则下列说法正确的是C A. Zn 极带正电，验电器带负电 B. Zn 极带负电，验电器带正电 C. 若将带正电的小球靠近Zn 极，则验电器张角变大 D. 若将带正电的小球靠近Zn 极，则验电器张角变小 8. 基态氢原子吸收波长为λ的光子后，释放了波长为2λ的电磁波，则一定正确的是D A. 12λλ= B. 12λλ≠ C. 12λλ≥ D. 12λλ≤ 9. 如图，小船两个人开始船以V 向右运动，A 、B 先后以V 0跳下船，(V 0是向对地面)己知A ，B 的质量为m 0,船的质量为2m 0。，求末态的船速。 A A. 2V B. V -V 0 C. 2(V-V 0) D. 2V -V 0 10、关于热传递，下列说法正确的是 C

2018—2019上学期创新班入学考试数学试卷

安义中学2018-2019学年上学期高一创新班阶段测试数学试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。） 1、已知集合{} ,30≤<∈=x Z x A 则集合A 的非空子集个数为（）个. A. 15 B. 16 C. 7 D. 8 2、设f (x )的定义域是(0,1),则函数y =f (x 2 )的定义域是( ) A.(0,1) B.(?1,1) C.(?1,0) D.(?1,0)∪(0,1) 3、设a 、b ∈R ，集合｛1，a+b,a ｝={0, b a ,b}，则b-a 等于（） A.1 B.-1 C.2 D.-2 4、设集合M={x|x=k 2 +14 ,k ∈Z},N={x|x=k 4 +1 2 ,k ∈Z},则正确的是( ) A.M=N B.M ?≠N C.N ?≠ M D.M ?N=? 5、已知A={0,1} ,B={-1,0,1},f 是从A 到B 的映射，则满足f(0)>f(1)的映射有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 6、若f(1x )=x 1-x ,则当x ≠0且x ≠1时，f(x)等于( ) A. 1x B. 1x-1 C. 11-x D. 1 x -1 7、已知函数f(x)= 3 3x-1ax 2+ax-3 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是( ) A.a>13 B.-12

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

【期末复习】大学概率论与数理统计期末考试试卷答案

20**~20**学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案一．（本题满分8分）某城市有汽车100000辆，牌照编号从00000到99999．一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字8的概率．解：设事件{}8汽车牌照号中含有数字=A ，所求概率为()A P ．…………….2分 ()()40951.010 91155 =-=-=A P A P ．…………….6分二．（本题满分8分）设随机事件，，满足：()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ，()()16 1==BC P AC P ．求随机事件，，都不发生的概率．解：由于AB ABC ?，所以由概率的非负性以及题设，得()()00=≤≤AB P ABC P ，因此有 ()0=ABC P ．…………….2分所求概率为() C B A P ．注意到C B A C B A ??=，因此有…………….2分 ()()C B A P C B A P ??-=1…………….2分 ()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P -+++---=1 8 3 016116104141411=-+++--- =．…………….2分三．（本题满分8分）某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为，()10<

2019年中科大创新班考试数学模拟试题及参考答案

2019年中科大创新班考试数学模拟试题注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。4.本试卷共四大题，满分100分，解答题需写出必要的计算和证明过程。一、填空题（每小题5分，共40分） 1.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为． 2.已知{}7,6,5,4,3,2,1,0=A ，A A f →:，若7=+j i ，则ij j f i f =)()(，那么映射f 的个数是. 3.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于. 4.在锐角ABC △中，G O ,分别是其外心和重心，若AC OG ∥且 75=∠B ,则=+C A tan tan . 5.如图，在单位正四面体ABCD 中，K N M ,,分别在棱BD AD AB 、、上，满足 .41,31===DK DN BM 则面ACK 与面CMN 所夹锐角的余弦值为.

6.设复数z ，11=+z z ，则z 的取值范围是为. 7.严格递增的正实数数列{}n x 满足：{}n x x ∈当且仅当2{}x x +=整数，（其中，等式中的{}x 表示x 的小数部分）．那么，这个数列的前100项之和是． 8.任意m 个正整数中，必有一个数的各位数码之和是11的倍数，则m 的最小值为. 二、解答题（20分）在ABC ?中，角C B A ,,的对边依次成等差数列。求证：3 12tan 2tan =C A .三、解答题（20分）已知对于任意的]1,1[-∈x ，都有12 ≤++c bx ax ，证明：对于任意的]1,1[-∈x ，都有22≤++a bx cx 。四、解答题（20分）在坐标平面内，从原点出发以同一初速度0v 和不同发射角（即发射方向与x 轴正向之间的夹角）[]2 ,,0(παπαα≠∈射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程（确定变量取值范围）。

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考试试题及解答 Prepared on 24 November 2020

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：解：即所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案：解答：由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故另解在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案：解答：似然函数为解似然方程得θ的极大似然估计为

2019年中科大创新班初试数学试题

2019年中国科学技术大学创新班考试数学试题及解析 2019中国科学技术大学创新班考试数学试题更多真题找：新一代韩鹏注意事项 L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.将答案写在答题卡上，写在本卷上无效? 3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回. 4辛卷共四大题，满分侦0分.解答题写出必要的计算和证明过程? 一.填空题(每题5分，共40分) 1. _______________________________________ 平面区域|X+2J|+|3X +4J|<5的面积是_________________________________________________ , 2.方程sin2x + cos3x = 0,xe ［。,2引的所有根之和. 3.设点如,0),4 wN,且{x,x/Jl

X l +工2 +石+*4 二、（20分）设四面体ABCD.可由沿各边中点连线折起国成， 1^1 = 12,1^1 = 10,网| = 8,求四面体ABCD的体积. 三、（20分）设〃是正整数.证明：x = 0是方羿的唯一解. t-o k. 四、（20分）设〃是正整数.⑴证明:存在多项式p“（x）,使得cos伽）= p,（cos&）. （2）在实数范用内完企因式分解p（*）.

概率论与数理统计期末考试卷答案

《概率论与数理统计》试卷A （考试时间：90分钟；考试形式：闭卷）（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =，则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5

中科大概率论期末考试

2012–2013第一学期概率论期末考试试卷一.判断选择题(每题3分，答题请写在试卷上)： 1.设A ，B ，C 是三个随机事件，则在下列不正确的是 .(A)A ∪(B ∩C )=(A ∪B )∩(A ∪C ) (B)(A ∪B )∩C =A ∪(B ∩C ) (C)A ∩(B ∩C )=(A ∩B )∩C (D)A ∩(B ∩C )=(A ∩ˉB )∪(A ∩ˉC )2.设事件A 与自身独立，则A 的概率为 .(A)0 (B)1(C)0或1(D)1/23.设f (x )和g (x )为两个概率密度函数，则下述还是密度函数的是.(A)f (x )/g (x ) (B)f (x )?g (x )(C)(f (x )+g (x ))/2 (D)(1+f (x ))(1?g (x ))4.随机变量X 和Y 独立，Y 和Z 独立，且都有期望方差，则必有.(A)X 和Z 独立 (B)X 和Z 不相关 (C)X 和Z 相关(D)Cov (X ，Y )=05.设0

《概率论与数理统计》期末考试题附答案

《概率论与数理统计》期末考试题一. 填空题（每小题2分，共计60分） 1、A 、B 是两个随机事件，已知0.1p(AB)0.3,)B (p ,5.0)A (p ===，则 =)B -A (p 0.4 、=)B A (p Y 0.7 、=)B A (p 1/3 ,)(B A P ?= 0.3 。 2、一个袋子中有大小相同的红球4只黑球2只， (1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 8/15 。 (2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 4/9 。 (3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 13/21 . 3、设随机变量X 服从参数为6的泊松分布，则{}=≥1X p 1- 6-e 4、设随机变量X 服从B （2，0. 6）的二项分布,则{}==2X p 0.36 , Y 服从B （8，0. 6）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则Y X +服从 B （10，0. 6）分布，=+)(Y X E 6 。 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有则=a _0.3_， X 的数学期望 =)(X E ___0.5_______，Y X 与的相关系数 =xy ρ___0.1_______。 6、三个可靠性为p>0的电子元件独立工作，（1）若把它们串联成一个系统，则系统的可靠性为：3p ；（2）若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为：3)1(1p --； 7、（1）若随机变量X )3,1(~U ，则{ }=20〈〈X p 0.5；=)(2X E _13/3， =+)12(X D 3/4 ．（2）若随机变量X ~)4 ,1(N 且8413.0)1(=Φ则=<<-}31{X P 0.6826 ， (~,12N Y X Y 则+= 3 ， 16 ）。

中科大少年班目前为止出过多少大牛

中科大少年班目前为止出过多少大牛？ 1978年3月，在李政道、杨振宁和丁肇中等著名科学家的倡导下，领导人给予大力支持，中国科大创建少年班并招收了第一批21名学生，平均年龄14岁，最小的11岁，这期就包括当时大名鼎鼎的宁铂、谢彦波等少年。 2014年的时候，做过一个统计，中科大少年班36年走出202位教授。106人美国任教就职“境外大学的教授”指的是担任终身教职序列或终身教职助理教授以上的学者；“少年班教授”在美国人数最多，有106人。中科大少年班37年来共毕业2910名本科生，90%以上考取国内外研究生。其中19%供职于科教界，超过200人成为国内外名校和科研机构教授，其中2人当选美国科学院院士、7人当选美国物理学会会士、5人当选美国电子电气工程师学会（IEEE）会士；另有72%活跃在企业界、金融界，在世界500强任职的约35%，对于到目前为止仅仅不到3000人的毕业生总人数来说，这样的人数还不如现在一所普通大学一年的毕业学生数，而仅仅这些毕业生，其中的大多数已经都成为各个领域的佼佼者，高端成材率相比于一般高校而言实在是高的惊人。 “少年班教授”们执教的学科涵盖物理与力学、计算机软件与

信息技术、生物医药、电气与自动化、化学、地球与环境、机械工程等诸多领域。 2012年，少年班两位校友骆利群（81少）、庄小威（87少）当选美国科学院院士，骆利群同时当选美国人文与科学院院士。骆利群院士： 1981年初中毕业后考取中国科大少年班。1985年，他被中科院生化所免试录取为研究生，1986年1月获中国科大本科生最高荣誉奖——郭沫若奖学金，1987年8月CUSBEA 赴美留学，在美国Brandeis大学生物系攻读博士学位，1992年6月获博士学位。 1987年起骆利群先后在《美国科学院学报》《神经元》《神经科学》《基因与发展》《细胞》《自然》等世界的学术刊物上发表多篇论文。1997年，获得斯坦福大学Sloan奖。2001年，他任美国《神经元》杂志副主编。2005年3月，他当选美国霍华德·休斯医学研究所（HHMI）研究员。同年9月，他获得Jacob K. Javits奖。2012年骆利群当选多个权威学院院士：2012年2月18日美国科学促进会（AAAS）在授予骆利群会士荣誉；4月17日，美国人文与科学院公布骆利群当选院士。5月1日，他当选美国科学院院士。庄小威院士：

《概率论》期末考试试题A卷及答案

07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案一、填空题（满分15分）： 1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为 10 1 。解答：10 1 !5!321=?= p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =?==则=)(B A P q r - 。解答：q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-?=-?=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3 )(===k a k X P k 则a = 3 2 . 解答：32233 111310 =?=-?== ∑ ∞ =a a a a k k 4.设随机变量为ξ与η，已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答： 37 4.065236252)(),cov() ,cov(2)(,,=???-+=-+=-= -+=-ηξηξρηξηξηξη ξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D 5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1 ===-k p q k P k ξ。则ξ的特征函数 =)(t f ξ 。 ()() .1)(:1 1 1 1it it k k it it k k itk it qe pe qe pe p q e e E t f -====∑∑∞ =--∞ =ξ ξ解二、单项选择题（满分15分）： 1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ). ① C B A ??. ② C B A C B A C B A ++

中科大创新班培训-新一代教育讲义简介

——2021物理新一代教育内部资料《科大创新班》初试用书

前言自主招生取消，强基计划出台，但是2020年报名门槛之高，录取人数之少，优惠政策之大幅缩水，使中科大创新班变得更有吸引力了，毕竟只要拿到A档，就可以降到一本线。也正因为如此，近年来科大创新班初试的竞争越来越大，只凭高考课内的知识在初试中只能沦为打酱油，为了能够帮到众多想要准备却苦于没有方向的同学们，我们依托众多优秀中科大毕业生和老师的优势，凭借我们办学多年的经验和强大的教研实力，针对科大历年考过的真题，分析题型和考点，大胆预测出题规律和命题趋势，编撰了这套丛书，内容涵盖了必考的知识点，同时力求范围精准，帮同学们节约时间，让同学们少走弯路，希望能给广大备考学生以一盏明灯！另外我们还为志在必得的同学们提供针对的辅导，以下是培训的介绍！

《新一代教育》创新班培训计划简介创新班培训规划及时间安排第一阶段（2020年10月—2021年2月）学习科创考试范围内的所有知识：补充高考外的知识和能力，打好基本功，全面不遗漏；第二阶段（2021年2月）提高解题能力：讲解概念、算法、步骤、模型等方面具有典型代表和有新意的题目；传授通过上千道题总结出的解题技巧，大量习题训练；培养学员读题和审题能力，独立解决综合题和难题，提升做题水平；第三阶段（2021年清明—五一假期）考试技巧训练，查缺补漏：通过10场以上考试，以考代练，实战提升做题速度和应试能力，大幅提高成绩；根据学生的需求及相对薄弱模块，甄选个别专题进行讲授；第四阶段（5月中旬或高考后两天）梳理考试重点、技巧、易错陷阱，考前押题总结，模拟考试，全面冲刺；第五阶段（初试后，面试前）通过全真的复试面试训练，还原科创复试面试流程，传授面试技巧，多达30条注意事项助力完美进入科大！

2018年《概率论与数理统计》期末考试

期末作业考核《概率论与数理统计》作答一、计算题 1、设)4,3(~2-N X ，试求X 的概率密度为)(x f 。 2、随机变量ξ的密度函数为?? ?∈=其他 ,0),0(,2)(A x x x p ，其中A 为正的常数，试求A 。 3、设随机变量ξ服从二项分布，即),(~p n B ξ，且3=ξE ，7 1=p ，试求n 。 4、已知一元线性回归直线方程为x a y 4??+=，且3=x ，6=y ，试求a ?。答： a ?=0,2 5、设随机变量X 与Y 相互独立，且4)(, 3)(==Y D X D ，求)4(Y X D -。 D(X-4Y)=D(X)+16D(Y)=3+64=67 6、设总体X 的概率密度为 ? ??<<+=,0,10,)1();(其它，x x x f θθθ

式中θ>－1是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，用最大似然估计法求θ的估计量。答： θ的估计量为0.8. 7、设n X X X ,,,21 是取自正态总体),0(2σN 的一个样本，其中0>σ未知。已知估计量∑==n i i X k 122 ?σ是2σ的无偏估计量，试求常数k 。 K=1/（n-1）二、证明题 1．若事件A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立。证明：为了方便,记A （相对立）=C 显然AB 交BC=空集,并且A,C 为空间的一个分割,所以P(B)=P （AB)+P(BC),由于A,B 独立,所以P(BC)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)[1-P(A)]=P(B)P(C),所以B 与A （相对立）相互独立。 2．若事件B A ?，则)()(B P A P ≤。证明：因为B A ? 所以B =AU (B-A) P(B) = P(AU (B-A))=P(A)+P((B-A))>=P(A)

“懒得考清华北大”的女孩子,进了中科大少年班,她的父母是怎样教育的

“懒得考清华北大”的女孩，高考后去了哪里？她父母是怎样做的？高考不是唯一的出路，但却是改变人生最佳途径。在今天的社会，每个家庭都非常重视教育，父母都知道教育对于孩子是非常重要，不是有一句话不是说知识决定命运，教育改变人生吗。父母们，都希望自己的子女有出息，家中有一高考学生的话，一家人会把他当作大熊猫一样的爱护。高考真的万众瞩目，而在高考中能取胜，考进一个自己心仪的学校，那就会成为爸妈茶余饭在村头巷尾向父老乡亲炫耀的资本了，要是能考进清华北大，那就不光是爸妈的脸上有光了，而是一个县的光荣了。广东少女口吐狂言能上清华北大是很多人的梦想，但是也有不想上，在广东就一个16岁的少女在高考前说：“懒得考清华北大”，这在别人看来真是狂妄之极，高考成绩出来了，让人大吃一惊。这个少女叫冼奇琪，冼奇琪的父母为孩子的成长创造非常好的条件，冼奇琪从小就受到系统的教育，非常重视冼奇琪的学习兴趣的培养。同时还注意培养孩子的学习目标的教育，所以小奇琪从小就一个品学兼优的学霸，学习目标明确，学习兴趣浓厚，还在初中的时候，就对自己的人生有了明确的规划，并为此坚持不懈的努力。高二那年，冼奇琪打算参加当年的高考，她表示清华北大不是她的目标，她想上的中科大，少年班，这个中科大少年班可不一般，它被称为中国的“麻省理工”在全国招收人数非常少，且有岁数限制，必须

高二以下学生，经过高考取得高分，再经过学校的初试和复试，取得高分，才有资格被录取，其报考难度胜过清华北大。冼奇琪报考的那一年，在全国只招48人，冼奇琪以663分，超出录取线139分的好成绩，跨了少年班的大门。要想成功就要找准定位，不懈努力冼奇琪在15岁的时通过书籍，了解到中科大少年班的信息，通过分析，她觉得少年班的这种培养方式很适合自己，她非常喜欢这种方式。她为实现自己的目标，总结出了适合自己的学习方法：1、要协调自己与老师的节奏，以自己的节奏为主。2、要认真阅读课本上录，并根据以往的考题，找出每一个章节的重点。3、劳逸结合，坚持不懈。好成绩是父母与孩子共同努力的结果现在很多父母，为了孩子的成绩真费心费力费钱，见了补习班就报，见了学习资料就买，搞得孩子比大人忙，比大人累，孩子都被学习和成绩压弯了腰，成了小老头，小老太。他忽略了孩子兴趣的培养，思维能力的开发，他们要的只是分数，可很多时候，却拔苗助长，事与愿违。冼奇琪的父母是怎么做的呢？他们十分重孩子兴趣的培养与引导，在孩子还小的时候就注意发现的兴趣并加以引导，注意孩子自我管理能力的培养，在这样的家庭气氛成长起来的孩子自然具有很强的独立意识，学习自觉性当然也不必说了。

概率论与数理统计期末考试题及答案

模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率； 4、已知随机变量X 的密度函数为：,0 ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??为未知参数，12,,,n X X X L 为其样本，1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为：。 9、设样本129,,,X X X L 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间：；二、计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它

求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4,||,02,(,)0, y x x x y ?<<??

2020年中科大少年创新班初试数学试题

2020年中国科学技术大学创新班初试数学试卷 1.若z +ˉz =1，则|z +1|?|z ?i |的取值范围是(?1,√2] 解：可转化为直线x =1 2上的点到(?1,0)与(0,?1)距离之差的取值范围求得为(?1,√2]2.若|5x +6y |+|9x +11y | 1，则满足条件的点(x,y )组成的面积为2 3.函数f (x )=3√3+1x 的离心率是2√334.若a 1=1，a 2=3，a n =2a 2n ?1a n ?2+a n ?1，求a n =n ∏k =2 (2k ?1)5.若x 2?y 2=4p 2，其中x,y ∈Z +，p 为素数，则x 3?y 3=6p 4+2 6.已知a =2020 2020，b =√20192021·20212019，c =20192021+202120192 ，则a ，b ，c 大小顺序是b 1或k