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《概率论与数理统计》期中考试试题汇总

《概率论与数理统计》期中考试试题（一）

一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分）

1．某射手向一目标射击两次，A i 表示事件“第i 次射击命中目标”，i =1，2，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B =（） A ．A 1A 2 B ．21A A C ．21A A D ．21A A

2．某人每次射击命中目标的概率为p (0

D ．p (1-p )

3．已知P (A )=0.4，P (B )=0.5，且A ?B ，则P (A |B )=（） A ．0 B ．0.4 C ．0.8

D ．1

4．一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（） A ．0.2 B ．0.30 C ．0.38 D ．0.57

5．下列选项正确的是（） A ．互为对立事件一定是互不相容的 B ．互为独立的事件一定是互不相容的

C ．互为独立的随机变量一定是不相关的

D ．不相关的随机变量不一定是独立的

6．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数2为的指数分布，Y ～B (6，2

)，则D(X-Y)=( ) A ．1- B ．

74 C ．54

- D ．1

二、填空题（本题共9小题，每小题2分，共18分）

7．同时扔3枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为________. 8．将3个球放入5个盒子中，则3个盒子中各有一球的概率为= _______ _. 9．从a 个白球和b 个黑球中不放回的任取k 次球，第k 次取的黑球的概率是= .

10．设随机变量X ～U (0，5)，且21Y X =-，则Y 的概率密度f Y (y )=________.

11．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度 f (x ,y )=?

??≤≤≤≤，y x ，其他,0,

10,101则P {X +Y ≤

1}=________.

12．设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是40.50.59??

???

，则相关系数,X Y ρ= ________.

13. 二维随机变量(X ，Y )

(1,3,16,25,0.5)N -，则X

;Z X Y

=-+ .

14. 随机变量X 的概率密度函数为5

1,0

()50,0x

X e x f x x -?>?=??≤?

，Y 的概率密度函数为

,11

()20,Y y f y others

?-<

15. 设随机变量X , 1

()3,()3

E X D X ==

，则应用切比雪夫不等式估计得{|3|1}P X -≥≤

三、计算题（本题共5小题，共70分）

16．（8分）某物品成箱出售，每箱20件，假设各箱含0，1和2件次品的概率分别是0.7，0.2和0.1，顾客在购买时，售货员随机取出一箱，顾客开箱任取4件检查，若无次品，顾客则买下该箱物品，否则退货.试求：(1) 顾客买下该箱物品的概率；(2) 现顾客买下该箱物品，问该箱物品确实没有次品的概率.

17．(20分) 设二维随机变量(X ，Y )只能取下列点：(0，0)，（-1，1），（-1，

1），（2，0），且取这些值的概率依次为61，a ，121，125.

求（1）a =？并写出(X ，Y )的分布律；（2） (X ，Y )关于X ，Y 的边缘分布律；问X ，Y 是否独立; （3）{0}P X Y +<; (4) 1X Y =的条件分布律；（5）相关系数,X Y ρ

18．(8分) 设测量距离时产生的随机误差X ～N (0,102)(单位：m)，现作三次独立

测量，记Y 为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知Φ(1.96)=0.975.

(1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p ; (2)问Y 服从何种分布，并写出其分布律；求E (Y ).

19．（24分）设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为

2,0,0

(,)0,

x y ke x y p x y others --?>>=?

? 求: (1) 常数k 的值；(2) 分布函数(,)F x y ；(3) 边缘密度函数()X p x 及

()Y p y ,X 与Y 是否独立;(4) 概率{}P Y X ≤， (5)求Z X Y =+的概率密度;

(6)相关系数,X Y ρ

20.(10分)假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大？

《概率论与数理统计》期中考试试题（二）

一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分）

1．一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为（） A ．

601 B ．45

7 C ．51 D ．157

2．下列选项不正确的是（） A ．互为对立的事件一定互斥

B ．互为独立的事件不一定互斥

C ．互为独立的随机变量一定是不相关的

D ．不相关的随机变量一定是独立的

3．某种电子元件的使用寿命X （单位：小时）的概率密度为

100

,100;()0,100,x p x x x ?≥?

=??

A ．41

B ．31

C ．21

D ．3

4．若随机变量,X Y 不相关，则下列等式中不成立的是． A ．DY DX Y X D +=+)( B. 0),(=Y X Cov C. ()E XY EX EY =? D. ()D XY DX DY =?

5．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数14

为的泊松分布，Y ～B (6，21

)，则D(X-Y)=( )

A ．1-

B ．54-

C ．74

D ．1

6．已知随机变量X 的分布律为，且E (X )=1，

则常数x =（）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

7．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=________.

8. 将2个球放入4个盒子中，则4个盒子中至多有一球的概率为_______ _.

9. 设随机变量X ～E (1)，且21Y X =-，则Y 的概率密度f Y (y )=________. 10. 设随机变量X ～B (4,3

),则{}1P X <=___________.

-2 1 x

P 41 p 41

11. 已知随机变量X 的分布函数为0,

6;6(),6612

6,x x F x x x ≤-??+?

=-<

度p (x )=______________.

12．设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是90.60.625??

???

，则相关系数,X Y ρ= ________.

13.

二

维

随

机

变

量

，

Y )(2,3,9,16,0.4)

N -，则

X ;Z X Y

=-+ .

14. 随机变量X 的概率密度函数为,0

()0,0x X e x f x x -?>=?≤?，Y 的概率密度函数为

,12

()3

0,Y y f y others

?-<

()1,()3

E X D X ==

，则应用切比雪夫不等式估计得{13}P X -<<≥ 三、计算题（本大题共5小题，共70分）

16．（8分）据市场调查显示，月人均收入低于1万元，1至3万元，以及高于3万元的家庭在今后五年内有购置家用高级小轿车意向的概率分别为 0.1，0.2 和 0.7.假定今后五年内家庭月人均收入 X 服从正态分布 N (2, 0.82 ).试求：

(1) 求今后五年内家庭有购置高级小轿车意向的概率；

(2) 若已知某家庭在今后五年内有购置高级小轿车意向，求该家庭月人均收入

在1至3万元的概率.（注：Φ(1.25) =0.8944）

17．（24分）设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为

且已知E （Y ）=1，试求：（1）常数α，β；（2） (X ，Y )关于X ，Y 的边缘分布律；问X ，Y 是否独立; （3）X 的分布函数F(x)；（4）{1}P X Y +<; (5)

1X Y =的条件分布律；（6）相关系数,X Y ρ

18．（8分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （单位：分钟）具有概率密度

()3

103

0.x

e x p x -?>?=???

，；

，其他某顾客在窗口等待服务，若超过9分钟，他就离开. （1）求该顾客未等到服务而离开窗口的概率P {X >9}；

（2）若该顾客一个月内要去银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的

次数，即事件{X >9}在5次中发生的次数，试求P {Y =0}.

19.（20分）二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为

2,01(,)0,

cy x y p x y ?≤≤≤?

??其他

，试求：(1) 常数c ；(2) 关于X 与Y 的边缘概率

密度函数，并讨论X 与Y 是否独立? (3) {1}.P X Y +> (4) X Y 的条件概率密度函数；（5）相关系数,X Y ρ

20．（10分）设市场上每年对某厂生产的29寸彩色电视机的需求量是随机变量

X （单位：万台），它均匀分布于[10，20].每出售一万台电视机，厂方获得利润50万元，但如果因销售不出而积压在仓库里，则每一万台需支付库存费10万

X 0 1 2 0 0.1 0.2

0.1

0.2

α β

元，问29寸彩色电视机的年产量应定为多少台，才能使厂方的平均收益最大?

《概率论与数理统计》期中试卷试题（五）

一、选择题（共5题，每题2分，共计12分） 1．下列选项正确的是（）

A ．互为对立事件一定是互不相容的

B ．互为独立的事件一定是互不相容的

C ．互为独立的随机变量一定是不相关的

D ．不相关的随机变量不一定是

独立的

2. 设事件B A ,两个事件，111

(),(),()2310

P A P B P AB ===，则()P A B = 。

A ．1115

B ．415

C ．56

D ．16

3. 已知()0.5P A =, ()0.4P B =,(|)0.6P B A =，则(|)P A B 等于( ) A.0.2 B.0.45 C.0.6 D.0.75

4. 设每次试验成功的概率为 )10(<

A. np

B. 1

(1)n np p -- C.

p D. 1(1)n p p --

5. 设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数2为的指数分布，Y ～B (6，2

)，则D(X-Y)=( ) A ．1- B ．

74 C ．54

- D ．1

6. 设X ～2(,)N μσ,那么当σ增大时，{2}P X μσ-< 。 A ．增大 B ．减少 C ．不变 D ．增减不定二、填空题：（每小题2分，共18分）

7. 同时扔4枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为________. 8．将3个球放入6个盒子中，则3个盒子中各有一球的概率为= _______ _.

9．从a 个白球和b 个黑球中不放回的任取3次球，第3次取的黑球的概率是= .

10.公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到站，乘客到站的时刻是任意的，则一个

乘客候车时间不超过3 分钟的概率为 11. 已知随机变量X 与Y 的概率分布为

141101k

p X -

110k

p Y

且1)0(==XY P , 则X ，Y 的联合分布律

12. 设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是90.50.536??

???

，则相关系数,X Y ρ= ________.

13．二维随机变量(X ，Y )

(1,2,9,16,0)N -，则X

;2Z X Y

=-+ .

14. 随机变量X 的概率密度函数为5

1,0

()50,0x

X e x f x x -?>?=??≤?

，Y 的概率密度函数为

,11

()20,Y y f y others

?-<

15. 设随机变量X , 1

()3,()3

E X D X ==

，则应用切比雪夫不等式估计得{|3|1}P X -<

三. 计算题(共70分)

16.（16分）(雷达探测器)在钓鱼岛有一台雷达探测设备在工作，若在某区域有一架飞机，雷达以99%的概率探测到并报警。若该领域没有飞机，雷达会以10%的概率虚假报警。现在假定一架飞机以5%的概率出现在该地区。求（1）飞机没有出现在该地区,雷达虚假报警的概率；

（2）飞机出现在该地区,雷达没有探测到的概率；

（3）雷达报警的概率；（4）雷达报警的情况下，飞机出现的概率

17.（20分）把一枚均匀的硬币连抛三次，以X 表示出现正面的次数，Y 表示正、反两面次数差的绝对值，求（1）),(Y X 的联合分布律与边缘分布律；（2）,X Y 是否独立;

(3）{3}P X Y +=,{3,2}P X Y <≤；(4) 1X Y =的条件分布律; (5)XY ρ

18.（20分）设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为

2,0(,)0,

x ae y x p x y -?<

??其它求: (1)a ；（2）边缘密度函数()X p x 及()Y p y , X 与Y 是否独立; (3) 求{4,2}X P Y <>； (4) 21Z Y =-+的概率密度函数 (5) (,)Cov X Y

19.（7分）( 10分) 将n 只球(1)n 号随机地放进n 个盒子(1)n 号中去，一个盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对。记X 为总的配对数，求()E X ，()D X .

20.（7分）假定市场上某种饼干一个月的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒饼干可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于仓库，则每盒赔3元。问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大？

《概率论与数理统计》期中试卷试题（六）

一、选择题（每题2分，共计12分）

1．设A ，B ，C 表示3个事件，则C B A 表示（）

A ．A ，

B ，

C 中有一个发生 B. A ，B ，C 中不多于一个发生 C. A ，B ，C 都不发生 D. A ，B ，C 中恰有两个发生

2. 每次试验成功率为)10(,<

A.64410

)1(p p C - B. 6439)1(p p C - C. 5449)1(p p C - D. 6339)1(p p C - 3. 已知31)()(=

=B P A P ,6

)|(=B A P ，则)(B A P 等于( ) A.7/18 B.11/18 C.1/3 D.1/4

4. 下列选项不正确的是（）

A ．互为对立事件一定是互不相容的

B ．互为独立的事件一定是互不相容的

C ．互为独立的随机变量一定是不相关的

D ．不相关的随机变量不一定是

独立的

5. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是

（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5

6. 设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数2为的指数分布，Y ～B (6，2

)，则D(X-Y)=( )

A ．1-

B ．

74 C ．54

- D ．1

二、填空题：（每题2分，共18分）

7. 同时扔5枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为________.

8．将2个球放入4个盒子中，则2个盒子中各有一球的概率为= _______ _. 9．从a 个白球和b 个黑球中有放回的任取5次球，第5次取的黑球的概率是= .

10.公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到站，乘客到站的时刻是任意的，则一个

乘客候车时间不超过2 分钟的概率为

11. 已知某商店每月销售某种名贵手表的数量X 服从参数为4的泊松分布,求某月恰好售出3只手表的概率(取554≈e )

12. 设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是90.50.516??

???

，则相关系数,X Y ρ= ________.

13．二维随机变量(X ，Y )

(1,2,9,16,0.5)N -，则Y

;21Z X =-+ .

14. 随机变量X 的概率密度函数为5

1,0

()50,0x

X e x f x x -?>?=??≤?

，Y 的概率密度函数为

,11

()20,Y y f y others

?-<

15. 设随机变量X , 1

()3,()3

E X D X ==，用切比雪夫不等式估计{|3|2}P X -≥

三．计算题(共70分)

16.（10分）设有三只外形完全相同的盒子,1号盒子中装有14个黑球,6个白球;2号盒子装有5个黑球,25个白球;3号盒子装有8个黑球42个白球.现在从盒子中任取一盒,再从中任取一球,求: (1)取到的是黑球的概率;

(2)若取到的是黑球,它是取自1号盒子的概率.

17. (10分) 司机通过某高速路收费站等候的时间X （单位：分钟）服从参数

λ=的指数分布.(1)求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p ； (2)若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y 表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y 的分布律，并求(1)P Y ≥。

18.(20分) 将一枚硬币抛3次，以X 表示前2次中出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数．求(1) ),(Y X 的联合分布律以及Y X ,的边缘分布律; (2) P{X+Y=4}, P{X<2}; (3)写出X 的分布函数；（4）2X Y =的条件分布律（5）Cov(X,Y)

19.(10分) 将n 只球(1)n 号随机地放进n 个盒子(1)n 号中去，一个盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对。记X 为总的配对数，求()E X ，()D X .

20.（20分）设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度函数为

(,)0,

Ay y x f x y ?≤≤≤=?

?其他

求：（1）A ; (2) X ，Y 的边缘概率密度, X 与Y 是否独立;（3）1Z X =-+的概率密度函数； (4) )1(>+Y X P ；（5）(,)Cov X Y