三角函数
1.了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算;理解任意角的正弦、余弦、正切的定义;会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切.
2.掌握三角函数的公式(同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及运用.
3.能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明.4.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质;会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ?ω+=x A y 的简图,理解?ω、A 、的物理意义.
5.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决解三角形的计算问题.
三角部分的知识是每年高考中必考的内容,近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点:1.降低了对三角函数恒等变形的要求,加强了对三角函数图象和性质的考查.尤其是三角函数的最大值与最小值、周期.
2.以小题为主.一般以填空题的形式出现,多数为基础题,难度属中档偏易.其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形,如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等.3.更加强调三角函数的工具性,加强了三角函数与其它知识的综合,如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识.
第1课时任意角的三角函数
【学习目标】
1.了解任意角的概念和弧度制,能进行角度与弧度的互化。
2.借助单位圆理解任意角的正弦,余弦,正切的定义,能判断三角函数值的符号。
3.以极度的热情投入学习,体会成功的快乐。
【学习重点】
角的概念推广以后,要准确把握各种角的范围
【学习难点】
确定角所在的象限
[自主学习]
一、角的概念的推广
1.与角α终边相同的角的集合为.
2.与角α终边互为反向延长线的角的集合为.
3.轴线角(终边在坐标轴上的角)
终边在x轴上的角的集合为,
终边在y轴上的角的集合为,
终边在坐标轴上的角的集合为.
4.象限角是指:.
5.区间角是指:.
6.弧度制的意义:圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角,它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系.
7.弧度与角度互化:180o=弧度,1o=弧度,1弧度=≈o.8.弧长公式:l =;
扇形面积公式:S=.
二、任意角的三角函数
9.定义:设P(x, y)是角α终边上任意一点,且|PO| =r,则sinα=;cosα=;tanα=;
10.三角函数的符号与角所在象限的关系:12
-+
-+
cos x,
++
--
sin x,
-+
+-
tan x,
x
y
O x
y
O x
y
O
13α [典型例析]例1. 若α是第二象限的角,试分别确定2α,2
α ,3α
的终边所在位置.
例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此
写出角α的集合: (1)sin α≥23;
(2)cos α≤2
1-.
例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sin α
,cos α,tan α的值.
变式训练 已知角θ的终边经过点P ()(0),sin 4
m m θ≠=
且,试判断角θ所在的
象限,并求cos tan θθ和的值.
例4. 已知一扇形中心角为α,所在圆半径为R . (1) 若α3
π
=
,R =2cm ,求扇形的弧长及该弧所在弓形面积;
(2) 若扇形周长为一定值C(C>0),当α为何值时,该扇形面积最大,并求此最大值.
[当堂检测]
1 若锐角α终边上一点坐标为(2sin3,-2cos3),则角α的弧度数为_______________
2若角α满足条件sin2α<0,sin α-cos α<0,则α在______________象限
3 若cos α=
x
x --43
2 ,又α是第二,三象限角,则x 的取值范围是_______________
4 一个半径为r 的扇形,如果它的周长等于弧所在半圆的弧长,那么该扇形的圆心角度数是________弧度或_____角度,该扇形的面积是____________________
[学后反思]____________________________________________________ _______
_____________________________________________________________
第2课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式
【学习目标】
4. 理解同角三角函数的基本关系式。
5. 掌握正弦,余弦的诱导公式。
6. 以极度的热情投入学习,体会成功的快乐。 【学习重点】 公式的灵活运用 【学习难点】 公式的灵活运用 [自主学习] 1.同角公式:
(1) 平方关系:____________________ (2) 商数关系:_____________________ 2.诱导公式:
公式一 sin(α+2k π)=______________
cos(α+2k π)=______________ (k ∈Z) tan(α+2k π)=______________
公式二 sin(-α)=______________
cos(-α)=______________ (k ∈Z)
tan(-α)=______________
公式三 sin(π-α)=______________
cos(π-α)=______________ (k ∈Z)
tan(π-α)=______________
公式四 sin(π+α)=______________
cos(π+α)=______________ (k ∈Z)
tan(π+α)=______________
公式五 sin(
απ
-2
)=________________
cos(
απ
-2
)=________________ (k ∈Z) 公式六 sin(
απ
+2
)=________________
cos(
απ
+2
)=________________ (k ∈Z)
规律:_______________________________________ 3.同角三角函数的关系式的基本用途:
根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值;化简同角三角函数式;证明同角的三角恒等式.
4.诱导公式的作用:
诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90o角的三角函数值.
[典型例析]例1. 已知αsin =5
4
,且α是第二象限角,求cos α,tan α的值
变式训练1 已知tan α=5
12
,求sin α, cos α的值
例2.求值:(1) 已知
53)7cos(,2-=-<<παπαπ,求)2
cos(απ+的值. (2) 已知
11
tan tan -=-αα
,求下列各式的值.
①α
αααcos sin cos 3sin +-;②2cos sin sin 2++ααα
变式训练2:化简:①
)
4sin()8cos(tan )5sin(πθθπθπθ---?
?-,
②
)4cos()4
sin(π
απ
α+
+-
例
3. 已知sin θ +cos θ=51
,θ∈(0,π).求值:
(1)tan θ;(2)sin θ-cos θ;(3)sin 3θ+cos 3θ.
例4.已知
tan α=2,求下列各式的值:
(1)
α
αααcos 9sin 4cos 3sin 2--;
(2)
α
ααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--;
(3)4sin 2
α-3sin αcos α-5cos 2α.
[当堂检测]
1 已知81cos sin =?αα,且2
4π
απ<<,则ααsin cos -的值是( ). 2 )6
19
sin(π-
的值等于( ). 3 若21)sin(=+A π,则=-)2
3
cos(A π_________________. 4 )6
2008sin()6
3sin()6
2sin()6
sin(π
ππ
ππ
ππ
π+
???+
?+
?+
的值等于___________.
5 化简
)cos()2
cos()tan()3cos()2
sin(
πααπ
απαπαπ
--?-+?-?+。
[学后反思]____________________________________________________ _______
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
第3课时 两角和与差的三角函数
【学习目标】
7. 掌握两角和与差的正弦 余弦 正切公式,了解它们的内在联系。 8. 能运用上述公式进行简单的恒等变换。 9. 以极度的热情投入学习,体会成功的快乐。 【学习重点】
三角公式的灵活运用 【学习难点】
三角公式的灵活运用
[自主学习]
1.两角和的余弦公式的推导方法: 2.基本公式
sin(α±β)=_____________________
cos(α±β)= ;
tan(α±β)= .
3.公式的变式
tanα+tanβ=tan (α+β)(1-tanα tanβ)
1-tanα tanβ=)tan(tan tan βαβ
α++
4.常见的角的变换:
2α=(α+β)+(α-β);
α=2βα++2
βα-
α=(α+β)-β =(α-β)+β
2
β
α+=(α-
2β
)-(2α
-β);
)4()4(x x ++-ππ=2
π
[典型例析]
例1.求[2sin50°+sin10°(1+3tan10°)]·ο
80sin 22的值.
例2. 已知α∈(
4
π
,43π),β∈(0,
4π
),cos (α-4
π
)=
5
3
,sin(43π
+β)
=135
,求sin(α+β)的值.
变式训练:
设cos (α-2
β)=-9
1,sin (2α-β)=32,且2
π<α<π,0<β<
2
π,
求cos (α+β).
例3.化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-2
1cos2α·cos2β.
变式训练:化简:(1)
2
sin ??
? ?
?-x 4π+6cos ??
? ?
?-x 4
π; (2)
?
?
? ??+??? ??--απαπα4sin 4tan 21cos 222.
[当堂检测]
⒈ ??+??167cos 43sin 77cos 43cos 的值为___________.
⒉ 若m =---αβααβαsin )cos(cos )sin(,且β为第三象限角,则βcos 的值为
_________________________ 3
如果
2
1
)4tan(,43)tan(=-=
+πββα,那么
)4
tan(π
α+
的值等于
_____________________
4.=?+?15cos 15sin _____________.
[学后反思]____________________________________________________ _______
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
第四课时 二倍角的正弦、余弦、正切
【学习目标】
10. 掌握两角和与差的正弦 余弦 正切公式,了解它们的内在联系。 11. 能运用上述公式进行简单的恒等变换。 12. 以极度的热情投入学习,体会成功的快乐。 【学习重点】
三角公式的灵活运用 【学习难点】
三角公式的灵活运用
[自主学习]
1.基本公式:
s in2α= ;
cos2α= = = ; tan2α= . 2.公式的变用:
1+cos2α= ; 1-cos2α= .
[典型例析]例1. 求值:1
40cos 40cos 2)
40cos 21(40sin 2-?+??+?
例2. 已知α为锐角,且21tan =
α,求α
αααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值.
变式训练:化简:)
4
(
sin )4
tan(
21
cos 222απ
απ
α+?--
例3.1)已知
x x x x f cos sin sin 3)(2+-=;
(1) 求)6
25(π
f 的值; (2) 设2341)2(),,0(-
=∈απαf ,求sinα的值.
2) 已知sin(απ
-6
)=
31,求cos(απ23
2+)的值
例4 已知α、β、r 是公比为2的等比数列])2,0[(πα∈,且sinα、sinβ、
sinr 也成等比数列,求α、β、r 的值.
[当堂检测] ⒈)12
sin
12(cos π
π
-(cos
12π+sin 12
π
)=_______________________ ⒉若
2
2
)
4
sin(2cos -=-
π
αα,则ααsin cos +的值为_________________ 3若,2
cos 2sin 1
2sin 2tan 2)(2
x x x x x f -+=则)12(πf 的值为________________
4. 已知sin 2 2α+sin 2α cosα-cos2α=1,α∈(0,2
π
),求si nα、tanα的值.
5 已知3
10
tan 1tan ,4
3-=+<<ααπαπ, ⑴求αtan 的值; ⑵求
)2
sin(28
2
cos 112
cos
2
sin
82
sin 52
2
π
αα
α
α
α
--++的值
[学后反思]____________________________________________________ _______
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
第五课时 三角函数的图像与性质
【学习目标】
13. 能画出正弦函数,余弦函数,正切函数的图像。
14. 了解0),sin(>+=??ωx A y 的实际意义。
15. 了解函数的周期性
16. 以极度的热情投入学习,体会成功的快乐。 【学习重点】
三角函数的图象变换
【学习难点】
三角函数的图象变换
[自主学习]
1.用“五点法”作正弦、余弦函数的图象.
“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ,将其四等分,分别找到图象的 点, 点及“平衡点”.由这五个点大致确定函数的位置与形状.
注:⑴ 正弦函数的对称中心为 ,对称轴为 .
⑵ 余弦函数的对称中心为 ,对称轴为 . ⑶ 正切函数的对称中心为 .
3.“五点法”作y =Asin(ωx +?)(ω>0)的图象.
令x'=ωx +?转化为y =sinx',作图象用五点法,通过列表、描点后作图象. 4.函数y =Asin(ωx +?)的图象与函数y =sinx 的图象关系.
振幅变换:y =Asinx(A>0,A≠1)的图象,可以看做是y =sinx 的图象上所有点的纵坐标都 ,(A>1)或 (0 周期变换:y =sinωx(ω>0,ω≠1)的图象,可以看做是把y =sinx 的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的.由于y =sinx 周期为2π,故y =sinωx(ω>0)的周期为 . 相位变换:y =sin(x +?)(?≠0)的图象,可以看做是把y =sinx 的图象上各点向 (?>0)或向 (?<0)平移 个单位而得到的. 由y =sinx 的图象得到y =Asin(ωx +?)的图象主要有下列两种方法: 平移 个单位.后一种方法第二步相位变换是向左(?>0)或向右(?<0)平移 个单位. [典型例析]例1. 已知函数y =Asin(ωx +?)(A>0,ω>0) ⑴ 若A =3,ω=2 1,?=- 3 π ,作出函数在一个周期内的简图. ⑵ 若y 表示一个振动量,其振动频率是π2,当x =24π时,相位是3 π ,求ω和?. 例2.已知函数y=3sin )4 21(π-x (1)用五点法作出函数的图象; (2)说明此图象是由y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的; (3)求此函数的振幅、周期和初相; (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 例3.已知函数 2 3 cos sin 3)(2 + -=x x xcox x f ??? ),(R x R ∈∈?的最小 正周期为π且图象关于6 π =x 对称; (1) 求f(x)的解析式; (2) 若函数y =1-f(x)的图象与直线y =a 在]2 ,0[π 上中有一个交点,求实数a 的范围. 例4 设关于x 的方程cos2x +3sin2x =k +1在[0,2 π ]内有两不同根α,β,求α+β的值及k 的取值范围. [当堂检测] ⒈把函数x x y sin cos 3-= 的图象向右平移m 个单位,所得图象关于y 轴对称,则m 的 最小值是________________________ ⒉把函数x y cos =的图象上的所有点的坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的两倍,然后把图象向左平移4 π 个单位,则所得图形表示的函数的解析式为___________ 3函数)2 5 2sin(π+=x y 的图象的一条对称轴为___________________ 4. 把函数)3sin 3(cos 2 2 x x y -= 的图象适当变换就可以得到)3sin(x y -=的图象,这种变换可以是______________________ [学后反思]____________________________________________________ _______ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ 第六课时 三角函数的性质 【学习目标】 17. 通过三角变换后,得到求最值、单调性及周期的基本型 sin()y A x ω?=+进行求解了解函数的周期性 18. 以极度的热情投入学习,体会成功的快乐。 【学习重点】 最全高考数学统计专题解析版【真题】 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第十一章统计、统计案例 第一部分六年高考荟萃 2013年高考题 1 .(2013年高考陕西卷(理))某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号 落入区间[481, 720]的人数为()A.11 B.12 C.13 D.14 2 .(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))某班级有 50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名 女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))某校从高 一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为()A.588 B.480 C.450 D.120 4 .(2013年高考江西卷(理))总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下 面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 )A.08 B.07 C.02 D.01 5.(2013年高考上海卷(理))盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ___________(结果用最简分数表示) 高三理科数学限时训练 一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的.) 1. 复数z 满足(2)z z i =+,则z =( ) A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 2. 已知实数a ≠0,函数2,1()2,1x a x f x x a x +=?--≥? ,若f (1-a )=f (1+a ),则a 的值为( ) A. 23 B. 23- C. 34 D.34- 3. 曲线y =sin x sin x +cos x -12 在点M ????π4,0处的切线的斜率为 ( ) A .-12 B. 12 C .-22 D. 22 4.若,a b 为实数,则“01ab <<”是“1b a <”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 不充分不必要条件 5. 一个空间几何体的三视图如右上图所示,则该几何体的表面积为( ) A .48 B .32+817 C .48+817 D .80 6. 设F 1,F 2分别为椭圆x 23 +y 2=1的左,右焦点,点A ,B 在椭圆上.若 F 1A →=5F 2B →,则点A 的坐标是( ) A. (0,1)± B. (0,1) C. (0,1)- D. (1,0)± 7. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给出 下列三个函数:1()3x f x =,2()43x f x =?,385()log 53log 2x f x =??,则( ) A . 123(),(),()f x f x f x 为“同形”函数 B . 12(),()f x f x 为“同形”函数,且它们与3()f x 不为“同形”函数 C . 13(),()f x f x 为“同形”函数,且它们与2()f x 不为“同形”函数 D . 23(),()f x f x 为“同形”函数,且它们与1()f x 不为“同形”函数 8. 函数b x A x f +?+ω=)sin()(的图象如图,则)(x f 的解析式和 ++=)1()0(f f S )2006()2(f f +?+的值分别为( ) A .12sin 2 1)(+π=x x f , 2006=S B .12sin 21)(+π=x x f , 2 12007=S C .12sin 21)(+π=x x f , 2 12006=S D .12 sin 21)(+π=x x f , 2007=S 9. 在区间[—1,1]上任取两数a 、b ,则二次方程02=++b ax x 的两根都是正数的概率是 ( ) A. 128 B.148 C.132 D.18 统计和统计案例 1.该部分常考内容:样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等;有时也会在知识交汇点处命题,如概率和统计交汇等. 2.从考查形式上来看,大部分为选择题、填空题,重在考查基础知识、基本技能,有时在知识交汇点处命题,也会出现解答题,都属于中低档题. 1. 随机抽样 (1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取,适用范围:总体中的个体较少. (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取,适用范围:总体中的个体数较多. (3)分层抽样特点是将总体分成几层,分层进行抽取,适用范围:总体由差异明显的几部分组成. 2. 常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积=组距× 频率 组距 =频率; ②各小长方形的面积之和等于1; ③小长方形的高=频率组距,所有小长方形的高的和为1 组距. (2)茎叶图 在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好. 3. 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列,处在最 中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线和x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (2)方差:s 2=n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2 ]. 标准差: s = 1n [ x 1-x 2 +x 2-x 2 +…+x n -x 2 ]. 4. 变量的相关性和最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数. (2)最小二乘法:对于给定的一组样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),通过求Q = i =1 n (y i -a -bx i )2 最小时,得到线性回归方程y ^ =b ^ x +a ^ 的方法叫做最小二乘法. 5. 独立性检验 对于取值分别是{x 1,x 2}和{y 1,y 2}的分类变量X 和Y ,其样本频数列联表是: y 1 y 2 总计 x 1 a b a +b x 2 c d c +d 总计 a +c b +d n 则K 2 = n ad -bc 2a +b c + d a +c b +d (其中n =a +b +c +d 为样本容量). 考点一 抽样方法 例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A ,编号落入区间[451,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为 ( ) A .7 B .9 C .10 D .15 答案 C 分析 由系统抽样的特点知:抽取号码的间隔为 960 32 =30,抽取的号码依次为9,39,69,…,939.落入区间[451,750]的有459,489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n 项,显然有729=459+(n -1)×30,解得n =10.所以做问卷B 的有10人. 在系统抽样的过程中,要注意分段间隔,需要抽取几个个体,样本就需要分 成几个组,则分段间隔即为N n (N 为样本容量),首先确定在第一组中抽取的个体的号码数,再从后面的每组中按规则抽取每个个体.解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样 第十七章反比例函数 课题 17.1.1 反比例函数的意义课时:一课时【学习目标】 1.理解并掌握反比例函数的概念。 2.会判断一个给定函数是否为反比例函数。 3.会根据已知条件用待定系数法求反比例函数的解析式。 【重点难点】 重点:理解反比例函数的意义,确定反比例函数的表达式。 难点:反比例函数的意义。 【导学指导】 复习旧知: 1.什么是常量?什么是变量?函数是如何定义的? 2.我们学过哪几种函数?每一种函数形式怎样? 3.写出下列问题中的函数关系式并说明是什么函数. (1)梯形的上底长是2,下底长是4,一腰长是6,则梯形的周长y与另一腰长x之间的函数关系式。(2)某种文具单价为3元,当购买m个这种文具时,共花了y元,则y与m的关系式。 学习新知:阅读教材P39-P40相关容,思考,讨论,合作交流完成下列问题。 1.什么是反比例函数?反比例函数的自变量可以取一切实数吗?为什么? 2.仔细观察反比例函数的解析式y=k/x,我们还可以把它写成什么形式? 3.回忆我们学过的一次函数和正比例函数,我们是用什么方法求它们的解析式的?以此类推,我们也可以采用同样的方法来求反比例函数的解析式。 【课堂练习】 1.下列等式中y是x的反比例函数的是() ①y=4x ②y/x=3 ③y=6x-1 ④xy=12 ⑤y=5/x+2 ⑥y=x/2 ⑦y=-√2/x ⑧y=-3/2x 2.已知y是x的反比例函数,当x=3时,y=7, (1)写出y与x的函数关系式;(2)当x=7时,y等于多少? 【要点归纳】 通过今天的学习,你有哪些收获?与同伴交流一下。 1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可); 价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率. 2.【2015·福建】某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望. 3.【2015·山东】若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10 分;若能被10整除,得1分. 整除,得1 (I)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ; (II)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望). 高考数学选择题专项训练(二) 1、函数y =cos 4x -sin 4x 图象的一条对称轴方程是( )。 (A )x =-2π (B )x =-4π (C )x =8 π (D )x =4π 2、已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线,过l 作平面α与m 垂直,则直线n 与平面α的关系是( )。 (A )n //α (B )n //α或n ?α (C )n ?α或n 不平行于α (D )n ?α 3、已知a 、b 、c 成等比数列,a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列,且xy ≠0,那么y c x a +的值为( )。 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 4、如果在区间[1, 3]上,函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x + 21x 在同一点取得相同的最小值,那么下列说法不对.. 的是( )。 (A )f (x )≥3 (x ∈[1, 2]) (B )f (x )≤4 (x ∈[1, 2]) (C )f (x )在x ∈[1, 2]上单调递增 (D )f (x )在x ∈[1, 2]上是减函数 5、在(2+43)100展开式中,有理数的项共有( )。 (A )4项 (B )6项 (C )25项 (D )26项 6、等比数列{a n }的公比q <0,前n 项和为S n , T n =n n a S ,则有( )。 (A )T 1 7、设集合A =ο/,集合B ={0},则下列关系中正确的是( ) (A )A =B (B )A ?B (C )A ?B (D )A ?B 8、已知直线l 过点M (-1,0),并且斜率为1,则直线l 的方程是( ) (A ) x +y +1=0 (B )x -y +1=0 (C )x +y -1=0 (D )x ―y ―1=0 9、已知集合A ={整数},B ={非负整数},f 是从集合A 到集合B 的映射,且f :x → y =x 2(x ∈A ,y ∈B ),那么在f 的作用下象是4的原象是( ) (A )16 (B )±16 (C )2 (D )±2 10、已知函数y =1 -x x ,那么( ) (A )当x ∈(-∞,1)或x ∈(1,+∞)时,函数单调递减 (B )当x ∈(-∞,1)∪(1,+∞)时,函数单调递增 (C )当x ∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)时,函数单调递减 (D )当x ∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)时,函数单调递增 11、在(2-x )8的展开式中,第七项是( ) (A )112x 3 (B )-112x 3 (C )16x 3x (D )-16x 3x 12、设A ={x | x 2+px +q =0},B ={x | x 2+(p -1)x +2q =0}, 若A ∩B ={1},则( )。 (A ) A ?B (B )A ?B (C )A ∪B ={1, 1, 2} (D )A ∪B =(1,-2) §10.2统计及统计案例 考纲解读 分析解读 从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题. (1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6, 所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9, 分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400× =20. (3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60, 所以样本中分数不小于70的男生人数为60× =30. 所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2. 所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2. 五年高考 考点一 抽样方法 1.(2015北京,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( ) 高考复习专题之:概率与统计 一、概率:随机事件A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 1.随机事件A 的概率0()1P A ≤≤,其中当()1P A =时称为必然事件;当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0; 注:求随机概率的三种方法: (一)枚举法 例1如图1所示,有一电路AB 是由图示的开关控制,闭合a ,b ,c , d , e 五个开关中的任意两个开关,使电路形成通路.则使电路形成通 路的概率是 . 分析:要计算使电路形成通路的概率,列举出闭合五个开关中的任意 两个可能出现的结果总数,从中找出能使电路形成通路的结果数,根据概率的意义计算即可。 解:闭合五个开关中的两个,可能出现的结果数有10种,分别是a b 、a c 、a d 、a e 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ,其中能形成通路的有6种,所以p(通路)= 106=5 3 评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算. (二)树形图法 例2小刚和小明两位同学玩一种游戏.游戏规则为:两人各执“象、虎、鼠”三张牌,同时各出一张牌定胜负,其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象,若两人所出牌相同,则为平局.例如,小刚出象牌,小明出虎牌,则小刚胜;又如, 两人同时出象牌,则两人平局.如果用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌,用A 1、B 1、C 1分别表示小明 的象、虎、鼠三张牌,那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少? 分析:为了清楚地看出小亮胜小刚的概率,可用树状图列出所有可能出现的结果,并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。 解:画树状图如图树状图。由树状图(树形图)或列表可知,可能出现的结果有9种,而且每种结果出现的可能性相同,其中小刚胜小明的结果有3种.所以P (一次出牌小刚胜小明)= 31 点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通过画树形图的方法来计算概率 (三)列表法 例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上,从中随机摸出两张,并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数.请你用画树形(状)图或列表的方法求:(1)组成的两位数是偶数的概率;(2)组成的两位数是6的倍数的概率. 分析:本题可通过列表的方法,列出所有可能组成的两位数的可能情况,然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数 高考数学选择题专项训练(十)1、平面α与平面β平行,它们之间的距离为d (d>0),直线a在平面α内,则在平面β内与直线a相距2d的直线有()。 (A)一条(B)二条(C)无数条(D)一条也没有2、互不重合的三个平面可能把空间分成()部分。 (A)4或9 (B)6或8 (C)4或6或8 (D)4或6或7或8 3、若a, b是异面直线,a?α,b?β,α∩β=c,那么c()。(A)同时与a, b相交(B)至少与a, b中一条相交(C)至多与a, b中一条相交(D)与a, b中一条相交, 另一条平行4、直线a//平面M,直线b?/M, 那么a//b是b//M的()条件。(A)充分不必要(B)必要而不充(C)充要(D)不充分也不必要5、和空间不共面的四个点距离相等的平面的个数是()。 (A)7个(B)6个(C)4个(D)3个 6、在长方体相交于一个顶点的三条棱上各取一个点,那么过这三点的截面一定是()。 (A)三角形或四边形(B)锐角三角形(C)锐角三角形或钝角三角形(D)钝角三角形7、圆锥底面半径为r,母线长为l,且l>2r, M是底面圆周上任意一点,从M拉一条绳子绕侧面转一周再回到M,那么这条绳子的最短长 度是( )。 (A )2πr (B )2l (C )2lsin l r π (D )lcos l r π 8、α、β是互不重合的两个平面,在α内取5个点,在β内取 4个点,这些点最多能确定的平面个数是( )。 (A ) 142 (B )72 (C )70 (D )66 9、各点坐标为A(1, 1)、B(-1, 1)、C(-1, -1)、D(1, -1),则 “点P 在y 轴”是“∠APD =∠BPC ”的( )。 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件 (D )不充分也不必要条件 10、函数y =1-|x -x 2|的图象大致是( )。 (A ) (B ) (C ) (D ) 11、若直线y =x +b 和函数y =21x -有两个不同的交点,则b 的取值范围是( )。 (A )(-2, 2) (B )[-2, 2] ( C )(-∞,-2)∪[2, +∞) (D )[1, 2) 11.1 与三角形有关线段 11.1.1 三角形边 1.通过具体实例,认识三角形概念及其基本要素. 2.学会三角形表示及根据“是否有边相等”对三角形进行分类. 3.掌握三角形三边关系. 阅读教材P2~4,完成预习内容. 知识探究 (一)三角形 1.定义:由不在____________三条线段首尾________所组成图形叫做三角形. 2.有关概念 如图,线段AB,BC,CA是三角形________,点A,B,C是三角形________,∠A,∠B,∠C是相邻两边组成角,叫做三角形________,简称三角形角. 3.表示方法:顶点是A,B,C三角形,记作“________”,读作“____________”. (1)三角形表示方法中“△”代表“三角形”,后边字母为三角形三个顶点,字母顺序可以自由安排,即△ABC,△ACB,△BAC,△BCA,△CAB,△CBA为同一个三角形. (二)三角形分类 1.等边三角形:三条边都________三角形.最全高考数学统计专题解析版【真题】
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