2017年江苏省镇江市中考数学试卷及答案

2017年江苏省镇江市中考数学试卷

满分：120分

一、填空题：（每小题2分，共12小题，合计24分）

1．（2017江苏镇江，1，2分）3的倒数是．

答案：1

3

，解析：3的倒数是

1

3

．

2．（2017江苏镇江，2，2分）计算：a5÷a3＝．

答案：a2，解析：根据“同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减”可得：a5÷a3＝a2．3．（2017江苏镇江，3，2分）分解因式：9－b2＝．

答案：(3－b)( 3＋b)，解析：运用平方差公式进行因式分解：9－b2＝32－b2＝(3－b)( 3＋b)．

4．（2017江苏镇江，4，2分）当x＝时，分式

5

23

x

x

-

+

的值为零．

答案：5，解析：分式的值为零的条件是分子等于零，且分母不等于零，即x－5＝0，故x＝5．5．（2017江苏镇江，5，2分）如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向奇数的概率是．

答案：2

3

，解析：指针指向转盘中6个扇形的可能性一样，其中由4个扇形里的数字是奇数，

所P(指针指向奇数)＝42 63 =．

6．（2017江苏镇江，6，2分）圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于（结果保留π）．

答案：10π，解析：根据圆锥的侧面积计算公式S＝πlr可得：S＝2×5π＝10π．

7．（2017江苏镇江，7，2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6．点D是AB的中点，过AC 的中点E作EF∥CD交AB于点F，则EF＝．

答案：3

2

，解析：由条件“Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，点D是AB的中点”可得出CD

＝1

2

AB＝3；由条件“过AC的中点E作EF∥CD交AB于点F”可得出△AEF∽△ACD，相似比为1∶

2，所以EF＝1

2

CD＝

3

2

．

8．（2017江苏镇江，8，2分）若二次函数y＝x2－4x＋n的图像与x轴只有一个公共点，则实数n ＝．

答案：4，解析：二次函数y＝x2－4x＋n的图像与x轴只有一个公共点，说明“△＝b2－4ac＝0”，即(－4)2－4×1·n＝0，所以n＝4．

9．（2017江苏镇江，9，2分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D．若∠CAD＝30°，则∠BOD＝．

答案：120，解析：由AC与⊙O相切可得∠CAO＝90°，而∠CAD＝30°，故∠OAD＝60°；由OA ＝OD，可得∠OAD＝∠ODA＝60°；而∠BOD＝∠OAD＋∠ODA＝60°＋60°＝120°．

10．（2017江苏镇江，10，2分）若实数a满足

13

22

a-=，则a对应于图中数轴上的点可以是A、B、

C三点中的点．

2 -3

A B C

答案：B，解析：因为

3

±

2

的绝对值等于

3

2

，所以

13

±

22

a-=，即a＝2或－1；数轴上的点A、B、

C分别－2、－1、1，则符合条件的是点B．

11．（2017江苏镇江，11，3分）如图，△ABC中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD’E’，点D的对应点落在边BC上，已知BE’＝5，D’C＝4，则BC的长为．

答案：2DE∥AC”可得△BDE∽△BAC，即有BD BE

BA BC

=；②由题意可

得BE＝BE’＝5，BD＝BD’＝BC－D’C＝BC－4，AB＝6．设BC＝x，由①、②可列方程：

45 6

x

x

-

=，解之得x

＝2+2

，故BC的长为2+

12．（2017江苏镇江，12，3分）已知实数m满足m2－3m＋1＝0，则代数式2

2

19

2

m

m

+

+

的值等于．

答案：9，解析：由m2－3m＋1＝0，可得：m2＝3m－1，将m2＝3m－1代入2

2

19

2

m

m

+

+

得，

19

31

312

m

m

-+

-+

＝

()()

3131

1919

31

313131

m m

m

m m m

-+

-+=+

+++

＝

2

918

31

m

m

+

+

＝

()

2

92

31

m

m

+

+

；由m2＝3m－1可得m2＋2＝3m＋1，所以

()

2

92

31

m

m

+

+

＝

()

931

31

m

m

+

+

．很显然3m＋1≠0，所以

()

931

31

m

m

+

+

＝9．

二、选择题（每小题3分，共5小题，合计15分）

13．（2017江苏镇江，13，3分）我国对“一带一路”沿线国家不断加大投资，目前已为有关国家创

造了近1 100 000 000美元税收，其中1 100 000 000用科学记数法表示应为

A．0.11×108 B．1.1×109C．1.1×1010D．11×108

答案：B，解析：一般地，一个大于10的数可以写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为正整

数，所以1 100 000 000＝1.1×109，故选B．

14．（2017江苏镇江，14，3分）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是A

B

C

D

答案：C ，解析：这个几何体共两层三排三列，主视图看到的是这个几何体的长和高，故选C ． 15．（2017江苏镇江，15，3分）a ，b 是实数，点A （2，a ）、B （3，b ）在反比例函数2

y x

=-

的图像上，则 A ．a ＜b ＜0

B ． b ＜a ＜ 0

C ．a ＜0＜b

D ． b ＜0＜a

答案：A ，解析：根据题意，得2a ＝－2，3b ＝－2，所以a ＝－1，b ＝－

23．因为－1＜－23

＜0，即a ＜b ＜0．故选A ．

16．（2017江苏镇江，16，3分）根据下表中的信息解决问题：

a 的取值共有 A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．6个

答案：C ，解析：观察上表，由于中位数不大于38，所以中位数是37或37.5或38．①若中位

数是37，则4＋5＋a ＋1≤7，解之得a ≤－3，不符合题意；②若中位数是37.5，则4＋5＋a ＋1＝8，解之得a ＝－2，不符合题意；③若中位数是38，则5＋a ＋1≤11，解之得a ≤5，符合条件的正整数a 的值有1、2、3、4、5共5个．故选C ．

17．（2017江苏镇江，17，3分）点E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边BC 、AD 上，BE ＝DF ，点P

在边AB 上，AP ∶PB ＝1∶n （n ＞1），过点P 且平行于AD 的直线l 将△ABE 分成面积为S 1，S 2的两部分，将△CDF 分成面积为S 3、S 4的两部分，下列四个等式：①S 1∶S 2＝1∶n ，②S 1∶S 4＝1∶(2n ＋1)，③(S 1＋S

4)∶(S 2＋S 3)＝1∶n ，④(S 3－S 1)∶(S 2－S 4)＝1∶(n ＋1)，其中成立的有

l

A ．①②④

B ．②③

C ．②③④

D ．③④

答案：B ，解析：由题意可得△ABE ≌△CDF ，设△ABE 的面积为S ，根据“相似三角形的面积

比等于相似比的平方”则有：S 1＝()211S n ?+，S 2＝()2221n n S n +?+，S 3＝()221n S n ?+，S 4＝()2

21

1n S n +?+．（1）S 1∶S 2＝1∶(n 2＋2n )；（2）S 1∶S 4＝1∶(2n ＋1)；（3） (S 1＋S 4)∶(S 2＋S 3)＝(1+2n +1)∶(n 2+2n +n 2) ＝1∶

n；（4）(S3－S1)∶(S2－S4)＝(n2－1)∶(n2+2n－2n－1)＝1∶1．故选B．

三、解答题：本大题共11个小题，满分81分．

18．（2017江苏镇江，18，8分）（本小题满分8分）

（1）计算：(－2)2＋tan45°－2)0；（2）化简：x(x＋1) －(x＋1)(x－2)

思路分析：（1）先根据乘方、零指数的性质以及特殊角的三角函数值分别求出(－2)2、tan45°、

2)0的值；（2）先运用单项式乘多项式以及多项式乘多项式的法则分别计算x(x＋1) 和(x＋1)(x －2) ．

解：（1）原式＝4＋1－1＝4．

（2）原式＝x2＋x－(x2－x－2)＝x2＋x－x2＋x＋2＝2x＋2．

19．（2017江苏镇江，19，10分）（本小题满分10分）

（1）解方程组：

4

25

x y

x y

-=

?

?

+=

?

；（2）解不等式：

2

1

32

x x-

-

＞．

思路分析：（1）解二元一次方程组的思路是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程，方法有代入消元法和加减消元法；（2）解不等式的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．

解：（1）解法一：

4 2

5 x y

x y

-=

?

?

+=

?

①

②

①＋②，得3x＝9，解得x＝3，

把x＝3代入②，得y＝－1．

原方程组的解为；

3

1 x

y

=?

?

=-?

解法二：

由①得x＝y＋4③

把③代入②，得y＝－1．把y＝－1代入③，得x＝3．

原方程组的解为；

3

1 x

y

=?

?

=-?

（2）解：不等式的两边都乘6，得2x＞6－3(x－2) 5x＞12．

所以原不等式的解集为x＞12

5

．

20．（2017江苏镇江，20，6分）（本小题满分6分）为了解射击运动员小杰的的集训效果，教练统计了他集训前后的两次测试成绩（每次测试射击10次），制作了如图所示的条形统计图．

（1）集训前小杰射击成绩的众数为 ； （2）分别计算小杰集训前后射击的平均成绩； （3）请用一句话评价小杰这次集训的效果．

思路分析：观察条形统计图可以看出，集训前的10次成绩有6次是8环，3次是9环，1次是

10环；集训后的10次成绩有3次是8环，5次是9环，2次是10环．（1）由观察可知集训前小杰射击成绩的众数为8环；（2）分别计算出平均成绩；（3）可以根据第（2）问计算的平均成绩加以评价，也可以从众数、中位数等方面评价．

解：（1）众数为8；

（2）小杰集训前平均成绩＝

8693101

10?+?+?＝8.5（环）；

小杰集训后平均成绩＝

8395102

10

?+?+?＝8.9（环）；

（3）这次集训队小杰的射击成绩提升有成效（通过这次集训小杰射击的平均成绩提高了；

通过这次集训小杰射击的众数由8环提高到9环；通过这次集训小杰射击的中位数由8环提高到9环．只要表达合理即可）．

21．（2017江苏镇江，21，6分）（本小题满分6分）某校5月份举行了八年级生物实验考查，有A

和B 两个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验．小明、小丽、小华都参加了本次考查． （1）小丽参加实验A 考查的概率是 ；

（2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A 考查的概率； （3）他们三人都参加实验A 考查的概率是 ．

思路分析：（1）小丽要么参加实验A 考查，要么参加实验B 考查，只有两种等可能，所以小丽

参加实验A 考查的概率是

1

2

；（2）正确列表或画树状图，注意本题是“有放回”．（3）通过画树状图或枚举所有情况，可以求出他们三人都参加实验A 考查的概率．

次数集训前

集训后

解：（1）

1

2

； （2）列表或画树状图为：

P （小明和小丽都参加实验A 考查）＝

14

； （3）18

．

22．（2017江苏镇江，22，6分）（本小题满分6分）如图，点B 、

E 分别在AC 、D

F 上，AF 分别交

BD 、CE 于点M 、N ，∠A ＝∠F ，∠1＝∠2． （1）求证：四边形BCED 是平行四边形；

（2）已知DE ＝2，连接BN ．若BN 平分∠DBC ，求CN 的长．

思路分析：（1）要证四边形BCED 是平行四边形，结合条件，选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，即由∠A ＝∠F 可推出DE ∥BC ，由∠1＝∠2，而∠1＝∠3，通过等量代换得到∠3＝∠2，可推出DB ∥EC ．（2）运用角BN 平分∠DBC ，结合第（1）问的DB ∥EC 可推出∠NBC ＝∠BNC ，BC ＝CN ．

解：（1）证明：∵∠A ＝∠F ，

∴DF ∥AC ．

又∵∠1＝∠2，∠1＝∠3， ∴∠3＝∠2． ∴DB ∥EC ．

∵DB ∥EC ，DF ∥AC ，

∴四边形BCED 为平行四边形； （2）∵BN 平分∠DBC ，

∴∠DBN ＝∠NBC ， ∵DB ∥EC ， ∴∠DBN ＝∠BNC ， ∴∠NBC ＝∠BNC ，

3

∴BC＝CN．

∵四边形BCED为平行四边形，

∴BC＝DE＝2．

∴CN＝2．

23．（2017江苏镇江，23，6分）（本小题满分6分）如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶角的仰角为37°．已知教学楼和实验楼在同一平地上，观测点距地面的垂直高度AB为15 m．求实验楼的垂直高低CD长（精确到1 m）．

参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．

思路分析：根据题意，将△ACD分割成两个直角三

角形Rt△AED和Rt△AEC，再根据题目中的条件，分别

E

求出CE和DE的长．

解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E．

∴四边形ABDE是矩形．

∵AB＝15，∴ED＝15．

在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠DAE＝45°，

∴AE＝ED＝15．

在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠CAE＝37°，

∴tan37°＝CE

，CE＝AE×tan37°，

AE

∴CE≈11.3

∴CD＝CE＋DE≈26．

答：实验楼的垂直高度即CD的长约为26 m．

24．（2017江苏镇江，24，6分）（本小题满分6分）如图，Rt△ABC中∠B＝90°，AB＝3 cm，BC＝4 cm．点D在AC上，AD＝1 cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B →A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2 cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D处再次相遇后停止运动．设点P原来的速度为x cm/s．

（1）点Q的速度为cm/s（用含x的代数式表示）；

（2）求点P原来的速度．

思路分析：（1）根据条件“两点同时出发，在B点处首次相遇后”，由“时间一定，路程比等于速度比”，可得点Q的速度；（2）由题意可得，点P的运动路程为BC＋CD＝8，点Q的运动路程为AB＋AD＝4，由“时间一定，路程比等于速度比”，可得点P与点Q的运动速度为8∶4，根据这个等量关系可列方程解决问题．

解：（1）4

3

x cm/s．

（2）根据题意，得：x＋2＝2×4

3 x；

解得：x＝1.2

答：点P原来的速度为1.2 cm/s．

25．（2017江苏镇江，25，6分）（本小题满分6分）如图1，一次函数y＝－x＋b与反比例函数

k y

x =

（k≠0）的图像交于点A（1，3）、B（a，1），与x轴交于点D，直线OA与反比例函数

k

y

x

=（k

≠0）图像的另一支交于点C，过点B的直线l垂直于x轴，点E是点D关于直线l的对称点．（1）k＝；

（2）判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由；

（3）如图2，已知点F在x轴正半轴上，OF＝3

2

，点P是反比例函数

k

y

x

=（k≠0）图像位于

第一象限部分上的点（点P在点A的上方），∠ABP＝∠EBF，则点P的坐标为．

x

图1

x

图2

思路分析：（1）将A点坐标代入

k

y

x

=就可以求出k的值；（2）先运用待定系数法求出直线BC

的解析式，再将点E的坐标代入，如果满足直线BC的解析式，则点B、E、C在同一条直线上，否则就不在同一条直线上；（3）由点A、B、E的坐标可以得出△ABE是直角三角形，而∠ABP＝∠EBF，易得△FBP也是直角三角形，过点P作PH⊥l，垂足为H，构造“一线三等角”模型，可以求出P点坐标．

解：（1）k＝3；

（2）设直线BC对应的一次函数表达式为：y＝ax＋n(a≠0)．

把x＝3，y＝1；x＝－1，y＝－3分别代入y＝ax＋n，

得：

31

3

a n

a n

+=

?

?

-+=-

?

．解得：a＝1，n＝﹣2．

∴直线BC的一次函数表达式为：y＝x－2．

∵直线y＝－x＋b过点A（1,3），∴b＝4．∴D（4,0）．

又∵点E是D关于直线l的对称点，∴E（2,0）．

把x＝2，y＝0分别代入y＝x－2的左边和右边．

∵左边＝y＝0，右边＝x－2＝2－2＝0，∴左边＝右边．故点E在直线BC上．即：B、E、C三点在同一直线上；

（3）F（2

3

，

9

2

）．

26．（2017江苏镇江，26，8分）（本小题满分8分）如图1，Rt△ACB中，∠C＝90°，点D在AC上，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．

（1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；

（2）判断BD所在直线与（1）中所作的⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（3）设⊙O交AB于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC，F为垂足．若点D是线段AC的黄金分

割点（即DC AD

AD AC

=）．如图2，试说明四边形DEFC是正方形．图1

图2

思路分析：（1）根据圆的轴对称性可知，圆心O在线段AD的垂直平分线上，所以先画出，AD 的垂直平分线，交AB于点O，再以O为圆心，OA为半径画圆即可；（2）连接OD，设法证明OD⊥DB即可；（3）根据题意易证四边形DEFC

DE ＝DC 即可．

解：（1）如图1，作线段AD 的垂直平分线 ，交AB 于点O ．

以点O 为圆心，OD 为半径画圆； （2）直线BD 是⊙O 的切线．

连接OD ．（如图2）

∵OA ＝OD ，∴∠A ＝∠ODA ． ∵∠CBD ＝∠A ，∴∠ODA ＝∠CBD ． 又∵∠C ＝90°， ∴∠CBD ＋∠BDC ＝90°． ∴∠CDB ＋∠ODA ＝90°．

∴∠ODB ＝180°－（∠CDB ＋∠ODA ）＝90°． 即OD ⊥DB ． ∴DB 是⊙O 的切线．

（3）如图3，在△CBD 与△CAB 中，

∵∠BCD ＝∠ACB ＝90°，∠CBD ＝∠A ，∴△CBD ∽△CAB ． ∴

DC BC

BC AC

=

．即BC 2＝DC ·AC ． ∵点D 是线段AC 的黄金分割点，DC AD

AD AC

=

， 即

AD 2＝DC ·AC ，∴BC ＝AD ．

在△ADE 与△BCD 中， ∴△ADE ≌△BCD ．∴DE ＝DC ． ∵EF ⊥BC ，∴∠EFC ＝90°． 又∵∠ADE ＝90°，∠C ＝90°， ∴四边形DEFC 是矩形．

∵DE ＝DC ，∴四边形DEFC 是正方形．

27．（2017江苏镇江，27，8分）（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边

OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 坐标为（4，t ）（t ＞0）．二次函数y ＝x 2＋bx （b ＜0）的图像经过点B ，顶点为点D ．

（1）当t ＝12时，顶点D 到x 轴的距离等于 ；

（2）点E 是二次函数y ＝x 2＋bx （b ＜0）的图像与x 轴的一个公共点（点E 与点O 不重合）．求

OE ·EA 的最大值即取得最大值时的二次函数表达式；

（3）矩形OABC 的对角线OB 、AC 交于点F ，直线l 平行于x 轴，交二次函数x 2＋bx （b ＜0）的

图像于点M 、N ，连接DM 、DN ．当△DMN ≌△FOC 时，求t 的值．

x

思路分析：（1）将B 点坐标（4,12）代入y ＝x 2＋bx 求出二次函数关系式，再用配方法或二次函

数的顶点坐标公式解决问题；（2）分别用含b 的代数式表示OE 、AE 的长，再运用二次函数的求最值的方法（配方法）求出OE ·EA 的最大值；（3）由△DMN ≌△FOC 可得MN ＝CO ＝t ，再分别用含b 、t 的代数式表示出点M 、N 的坐标，将点M 或点N 的坐标代入y ＝x 2＋bx 就可以求出t 的值．

解：（1）

1

4

； （2）∵二次函数y ＝x 2＋bx 与x 轴交于点E ，∴E （－b ,0）．

∴OE ＝－b ，AE ＝4＋b ．

∴OE ·EA ＝－b (b ＋4)＝－b 2－4b ＝－(b ＋2) 2＋4． ∴当b ＝－2时，OE ·EA 有最大值，其最大值为4． 此时b ＝－2，二次函数表达式为：y ＝x 2－2x ；

（3）过D 作DG ⊥MN ，垂足为G ；过点F 作FH ⊥CO ，垂足为H ．

∵△DMN ≌△FOC ，∴MN ＝CO ＝t ，DG ＝FH ＝2． ∵D （2

b

-，24b -），

∴N （22b t -+，24b -＋2），即N （2

t b -，2

84b -）．

把x ＝2t b

-，y ＝284b -代入y ＝x 2＋bx ，

得284b -＝(2t b

-)2＋b ×(2t b

-)，

解得t ＝±t ＞0，∴t ＝

28．（2017江苏镇江，28，11分）（本小题满分11分）

【回顾】

如图1，△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝3，BC ＝4，则△ABC 的面积等于

．

H

G

【探究】

图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含30°的角，较短的直角边长为a ；另一个含有45°的角，直角边长为b ．小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD （如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°

；小丽用两副这样的三角尺拼成一个矩形EFGH ，如图4，也推出sin75°

．

a

请你写出小明或小丽推出sin75°的具体说理过程． 【应用】

在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D ＝75°，BC ＝6，AC ＝5，AD ＝10．（如图5） （1）点E 在AD 上，设t ＝BE ＋CE ，求t 2的最小值．

（2）点F 在AB 上，将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在AD 上的点G 处，点G 是AD 的中点吗？说

明理由．

思路分析：【回顾】作A 点作BC 边上的高，运用三角形面积公式可求出△ABC 的面积；【探究】

如图（3），平行四边形ABCD 的面积等于底BC ×高AK ，也等于两副三角尺的面积和＋中间矩形的面积；如图（4），矩形EFGH 的面积等于长FG ×宽EF ，也等于两副三角尺的面积和＋中间平行四边形

的面积；【应用】（1）过点C 作点C 关于直线AD 的对称点M ，则BE ＋CE 的最小值转化为BM 的长；（2）运用反证法证明，先假设G 是AD 的中点，推导出sin ∠CDE 的值与sin75°

的不相符，从而说明假设不成立，即点G 不是AD 的中点．

解：【回顾】3；

【探究】

以图3推导如下：

设图形内部四边形的顶点为P 、Q 、M 、N ．由拼图知，四边形PQMN 是矩形．

过A 作AK ⊥BC ，K 为垂足（如图3）

在Rt △ABP 中，∠APB ＝90°，∠ABP ＝30°，AP ＝a ．

∴AB ＝2a ，BP

．

在Rt △BCQ 中，∠BQC ＝90°，∠CBQ ＝45°．

∴BQ ＝CQ ＝b ，BC

b ．

在Rt △ABK 中，∠AKB ＝90°，∠ABK ＝75°，AB ＝2a ． ∴AK ＝sin75°×AB ＝2a ·sin75°． ∴S 平行四边形ABCD ＝BC ·AK

＝·sin75°． 又∵S 平行四边形ABCD ＝2S △ABP △BCQ ＋S 矩形PQMN

2＋b 2＋

－b )(b －a )

1）ab ．

∴·sin75°

1）ab ． ∴sin75°

1ab

=

以图4推导如下：

设图形内部四边形的顶点为P 、Q 、M 、N ．由拼图知，四边形PQMN 是平行四边形． 过N 作NK ⊥PQ ，K 为垂足（如图4）．

在Rt △PNE 中，∠PEN ＝90°，∠PNE ＝30°，PE ＝a ， ∴PN ＝

2a ，NE ．

在Rt △PFQ 中，∠PFQ ＝90°，∠FQP ＝45°，

∴PF ＝QF

＝b ，PQ ．

在Rt △PNK 中，∠PKN ＝90°，∠NPK ＝75°，PN ＝2a ． ∴NK ＝sin75°×PN ＝2a ·sin75°． ∴S 平行四边形PQMN

＝PQ ·NK ＝·sin75°． ∵S 矩形EFGH ＝2S △PNE ＋2S △PFQ

＋S 平行四边形PQMN

2

＋b 2＋·sin75°．

又∵矩形EFGH ＝

FG ·EF ＝＋b )(a

＋b )

＝

2

＋b 21

）ab ，

∴

2

＋b 2＋

·sin75°

2＋b 21）ab

．

∴sin75°

1ab =

【应用】

（1）作点C 关于AD 的对称点M ，连接CM 交AD 于点H ，连接BM 交AD 于点E ．

则CM ⊥AD （如图）．

此时t ＝BE ＋EC 最小，最小值等于BM 的长．

在Rt △CDH 中，∠CHD ＝90°，∠D ＝75°，CD ＝5，

∴CH

＝CD ·sin75°

＝

5

4

．

在Rt △BCM 中，∠BCM ＝90°，MC ＝2HC

＝5

2

，BC ＝6，

∴BM 2

＝BC 2

＋MC 2

＝62

＋

[

5

2

]2

＝86＋

即t 2的最小值等于86＋

（2）点G 不是AD 的中点．

理由如下：

假设G 是AD 的中点，则GD ＝5．

设DH ＝x ，则GH ＝5－x ．由翻折知GC ＝BC ＝6． ∴在Rt △GHC 中，HC 2＝GC 2－GH 2＝36－(5－x ) 2

， 在Rt △DHC 中，HC 2＝DC 2－DH 2＝25－x 2， ∴36－(5－x ) 2＝25－x 2．

解得：x ＝7

5

．

∴在Rt △DHC 中，HC 2＝DC 2－DH 2＝25－(75)2＝576

25

．

∴HC ＝24

5

．

（在△GCD 中，也可用等积法直接求出HC ＝24

5

）

∴在Rt △DHC 中，sin ∠CDH ＝CH

＝24

．

这与已知sin ∠CDE ＝sin75°相矛盾．

所以假设G 是AD 的中点不成立，即G 不是AD 的中点．