概率论的起源
概率论的起源——机会性游戏
(zz)概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最必需的知识之一。正如十九世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。因此，整个的人类知识系统是与这一理论相联系的……。”
的确，我们只要浏览一下当今的报纸，看一看电视，就会发现在某种程度上概率统计的语言已经成为人类生活中重要的一部分。然而，饶有趣味的是，这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索：人们对于机会性游戏的研究思考。
1. 机会性游戏
所谓机会性游戏就是靠运气取胜一些游戏，如赌博等。这种游戏不是哪一个民族的单独发明，它几乎出现在世界各地的许多地方，如埃及、印度、中国等。著名的希腊历史学家希罗多德（Herodotus）在他的巨著《历史》中写道：早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿的困扰，经常聚集在一起掷骰子和紫云英，这是一种叫做“猎犬与胡狼”的游戏，照一定规则，根据掷出各种不同的紫云英而移动筹码。大约从公元前1200年起，人们把纯天然的骨骼（如脚上的距骨）改进成了立方体的骰子，方法是摩擦骨骼使其成为一个粗糙的立方体，骰子的六面就形成了，再在骰子面上刻上不同的数字。它是游戏中常用的随机发生器，可能因为当时没有表示数字的符号或简单标记，早期骰子各面的数字都被刻成浅浅的印迹。现在相对面的数字之和是7的骰子大约产生于公元前1400年的埃及。到了中世纪，基督教堂曾发起多次活动以反对玩骰子和纸牌，对这种游戏的抵制不仅仅因为是赌博活动，更是因为与赌博相伴随的酗酒和其它恶行的出现。但是，赌博仍然屡禁不止，甚至在1190年的第三次十字军战争中，不得不做出这样一个规定：任何一个骑士身份以下的人不允许赌钱，而骑士和牧师则可以玩，但在24小时之内不得输过20先令。总之，在自古至今各国文献的记载中，有关赌博等机会性游戏的记载的文献是非常丰富的，赌博手册的存在、各种随机发生器的发明，各个时代和国家经常展开的反对赌博的斗争活动等都是早年机会性游戏流传的明证。
在玩骰子游戏的几千年的时间里，概率理论的某些思想可能早应该出现了。但是一直没有迹象表明人们观察到赌博与数学之间的直接关系，甚至没有发现有人意识到骰子点数下落的频率的计算是可能的、有效的，或每一面会以相同的频率出现等这些最简单的概率思想的萌芽。对于概率的思想出现得如此缓慢的现象，人们提出了许多解释的原因。这些解释包括：可能是由于缺少完美平衡和“诚实”的骰子，因而阻碍了人们发现任何可察觉的规律；或者由于缺少适当的数学概念和符号而阻碍了数学的探索；缺乏刺激概率思想研究的经济问题；还有一个更有力的原因可能是“随机”概念本身与时空观念相对：长期以来，人们一直认为：一系列的好运和坏运都是神授的。人们相信上帝或众神以某种预先确定的计划指导着世俗的事件，所以随机不但是不可能的，甚至是不可想象的。古希腊人似乎已得到这样的结论：精确和规律只存在于神的王国，而混沌和无规律则是人类世界的特征。但是他们不愿使理想化的自然规律屈从于一个不完美的物理世界的事实，因而未能发展概率的思想。还有一个解释涉及到道德的规范，赌博长期以来被视为一种不道德的行为，历史上充满了限制、制止赌博的各种尝试。既然赌博被视为不道德的，那么将机会性游戏作为科学研究的对象也就是大逆不道了。然而这些原因没有一个得到广泛的认可，人们对每一个猜测都提出了反驳的理由。
2．概率的萌芽
直到文艺复兴时期，随着阿拉伯数字和计算技术的广泛传播，简单代数和组合数学的发展，并且哲学的思想开始转变、拓展时，随机事件的试验和计算在本质上才有所进展，概率的思想才开始逐渐浮出水面。现在有史可查的对于赌博问题最早加以研究的是从意大利开始的。最初人们研究的重点是赌博输赢的各种可能性或次数。在早期的一些文献中，经常提到对观察的结果如何加以归类计算这类问题，这是一个非常实用的问题，也是赌徒们最迫切关切的问题。比如。1477年意大利但丁的《神曲》的注释本刊印，在该书的“编印缘起”中讲到了投掷三颗骰子可能出现的各种结果，等等。15世纪后期和16世纪早期，当一
些意大利数学家开始思考在包括赌博游戏中各种存在结果的数学的比率时，开始有了对概率第一次纯数学的处理。
卡尔达诺（Girolamo Cardano，1501—1576）是意大利数学和医学教授，他天资聪明，常常不循规蹈矩，有着有趣而丰富的经历。他的最著名的著作是1524年出版的《伟大的艺术》（Ars Magna），其中包括了那时所有发展起来的代数规则，包括求三次和四次方程的根的解法。在他一生中超过40年的时间里，卡尔达诺几乎每天都参与赌博。早年时，他就认定，如果一个人赌博不是为了钱，那么就没有什么能够弥补在赌博中耗去的时间，这些时间本来是可以花在更值得做的事上的，比如学习。作为对在不合适的活动中浪费时间的补偿，他认真地分析了这种活动中的有价值的方面——智力因素，例如，从一副牌中抽出A的概率是多少？同时掷两个骰子，出现点数的和为七的概率是多少？等等。最终，在一本名叫《机会性游戏手册》（Liber de Ludo Aleae）的书中，他公布了这些调查和思考的结果和他关于赌博实践的体会。这本书成书于1526年左右，但直到一百多年后的1663年才出版。在书中他提醒他的赌徒朋友：在分牌时，得到某一张牌的机会是随着前一张牌的选走而增大的。在题为“掷一个骰子”的章节里，他写到：“我能掷出2、4、6，同时也能掷出1、3、5。因此，如果骰子是…诚实?的，那么下赌注就应依据这种等可能性；如果骰子不是“诚实的”，那么它就以一定的或大一点或小一点的比例离开这种等可能性。”这里面已包含了“把概率定义为等可能性事件的比”的思想萌芽，即一个特殊结果的概率是所有达到这个结果的可能的方法的数目被一个事件的所有可能结果的总和所除。此时是第一次，人们看到关于骰子的问题由经验向理论的概率思想的转变。从这一角度来讲，有人认为卡尔达诺可以被称为是“概率论之父”，概率论这一个数学分支应当以此作为起点。但是这种观点并未得到广泛认可。
除了卡尔达诺，伟大的天文学家伽利略也早已开始对掷骰子的问题进行数学化的思考，在一篇写于1613和1623年之间、标题为《关于骰子游戏的思想》（Sopra le Scoperte de I Dadi）的短文中，伽利略解释了在抛掷三枚骰子时为什么会有216种同等可能的结果的问题。他在其短文开头就说，有人曾经要求他解释为什么三枚骰子的某些和数的出现看来似乎有同样大小的可能性，而玩骰子的人们却认为它们不是同等可能的，如和数为10比和数为9更占有优势。伽利略的所用方法的思路是：所有可能的结果有6×6×6=216，三个骰子诸面点数构成和为9的各种组合是：1，2，6；1，3，5；1，4，4；2，2，5；2，3，4；3，3，3。而和为10的组合为1，3，6；1，4，5；2，2，6；2，3，5；2，4，4；3，3，4。但是各种组合出现的几率并非相等，例如，3，3，3的组合只有一种途径掷出，而3，3，4则有三种不同的途径掷出。实际上，9可以有25种不同的途径掷出而10则有27种不同的途径掷出，这就是10比9较常出现的原因。用现在的知识知道，出现和数为9的可能性为25/216，出现和数为10的可能性是27/216。为什么一个赌徒能够区分出这么小的差别？人们认为一个合理的解释是：这种知识来自几百年的积累和代代相传下来的经验。
3．概率的产生
尽管有卡尔达诺和伽利略等先驱者的一些非常重要的工作，而概率论历史学家大多赞同这样一个观点：对于数学中一个非常特别的问题的解法的探求成为数学化的概率科学产生的标志之一，这个问题被称作“点问题”。所谓“点问题”是指当游戏在完成前被终止时，怎样处理两名技能相当的游戏者的赌金分配问题，其依据是游戏者的得分数或是游戏终止时的点数。意大利的帕巧利（Luca Pacioli，1445—1509）早在1494年出版的《算术书》（Summa de Arithmetica）一书中，就提到了赌博中常常遇到的“点问题”，他是最早在数学著作中提到点问题的作者。紧接着，卡尔达诺和他的对手塔尔塔利亚(Nicola Fontana Tartaglia 1499—1557)都讨论过这个问题。然而，所有这些人，对这一问题得出的结论都不正确。直到一百多年后，在1654年，一个名为德.梅勒（de Mere，1607——1684）的法国人把这个问题寄给了当时的数学天才帕斯卡，从此概率论历史上一个决定性的阶段才开始了。
帕斯卡（Blaise Pascal，1623——1662）在早年就表现出了超常的数学能力，在数学史中他被称作“最伟大的天才”（Greatest Might-Have-Been），他曾经对微积分、射影几何、概率论等数学分支做出了巨大的贡献。他拥有如此高的数学天赋和非常敏锐的直觉能力，他理应创造更多的发现。不幸的是，在他生命的大部分时间里，他倍受敏感性神经痛和精神幻觉症的折磨。他于1662年去世时年仅39岁。与帕斯卡
共同分享概率论的创始人的声誉的法国另一位数学家费马（Pierre de Fermat，1601—1665）的一生则充满了喜悦与和平。他的职业是一名律师，他把他大部分的空余时间都献给了数学研究。虽然他没受过什么特别的数学训练，但是在数学这一领域中，却取得了同时代其他数学家不可比拟的重大的发现。他和笛卡尔（Descartes，1596——1650）各自独立地发明了解析几何学，为微积分奠定了技术基础。在十七世纪的数论领域里他的成果最为丰富，以后数论成为一个正式的抽象数学领域与他的工作密不可分。作为一个谦逊朴实的人，他很少发表文章，但是他与当时很多一流数学家不断通信，并在他的同时代人中有相当的影响力。费马的众多重要的贡献丰富了数学的很多领域，所以被称为“业余数学家之王”。
德.梅勒是一位军人、语言学家、古典学者，同时也是一个有能力、有经验的赌徒，他经常玩骰子和纸牌。虽然他不是一个全职的数学家，但他经常从数学的角度提出和思考赌博中出现的一些有深度的问题，“点问题” 就是其中之一。这一次，德.梅勒的问题的形式是：假设两个赌博者（德.梅勒和他的一个朋友）每人出30个金币，两人各自选取一个点数，谁选择的点数首先被掷出3次，谁就赢得全部的赌注。在游戏进行了一会儿后，德.梅勒选择的点数“5”出现了2次，而他的朋友选择的点数“3”只出现了一次。这时候，德.梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？德.梅勒的朋友认为，既然掷出他选择的点数的机会是德.梅勒的一半，那么他该拿到德.梅勒所得的一半，即他拿20个金币，德.梅勒拿40个金币。然而德.梅勒争执到：再掷一次骰子，对他来说最糟糕的事是他将失去他的优势，游戏是平局，每人都得到相等的30个金币；但如果掷出的是“5”，他就赢了，并可拿走全部的60个金币。在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币。
他们对这一问题的看法和计算方法不一致，为此而争论不休。后来德.梅勒把这个问题告诉了帕斯卡，帕斯卡对此也很感兴趣，又写信告诉了费马。于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信。在通信中，两人用不同的方法正确地解决了这个问题。在1654年7月29日，帕斯卡写给费马的信中，他提到了这个问题和可能的解决方法，“你的解法非常正确，是给我印象最深的一个，但这些组合太过麻烦。我发现了另一种更为简洁的实在可行的解法。”在1654年10月21日他写给费马的信中提到，当他们互不赞同的时候，能这样通信，保持一致是鼓舞人心的。他说：“先生，您的最后一封信让我非常满意，您有关…点问题?的解法我很钦佩。更是因为我非常理解它完全是属于你的，它与我的解法完全不同，然而却轻易的得到了同样的结果，现在我们又开始和睦了。”在1654年7月和10月的通信中，他们还联系“点问题”思考了其他的问题，比如当两人的技艺不等时，或超过2人参加游戏的赌金的分配问题。尤其是帕斯卡的研究更有效地推动了数学概率理论的发展，他的组合方法具有一般性。他的工作中还蕴涵了概率论中另一重要的思想——数学期望的思想。在十七世纪弥漫着浓重的宗教神学气质的精神环境中，身为神学家的帕斯卡也结合了宗教和数学两种思想于概率的思考中。帕斯卡在他的著作《思想录》中曾经提出一个以“帕斯卡赌注”闻名的问题：“我们既不知道上帝的存在，也不知道上帝的本质。然而我们将倾向于哪一边呢？……，这里进行的是一场赌博，…… 让我们来权衡一下在上帝存在的赌注中的得失。让我们估计这两种可能性，如果你赢了，你赢得所有；如果你输了，你却一无所失。因此，你就不必迟疑去赌上帝的存在吧。”这个论述中已包含了比较明确的数学期望的思想，这种思想成为以后惠更斯（Christian Huggens）和维特（De. Witt）的概率论工作中的一个基本思想，并在以后相当长的时间里在古典概率论的研究中起着重要的作用。
帕斯卡和费马正确解决了“点问题”的这一事件被伊夫斯（Howard Eves）称为“数学史上的一个里程碑”。在概率论的历史上，一般的传统观点则把这一事件看作为数学概率论的起始标志。之所以不把卡尔达诺的著作作为概率论的起源的始点，有这样几个原因：在卡尔达诺的著作中只有一小部分内容是处理机会（chance）的计算的。就像卡尔达诺的大多数作品一样，这种处理似乎只是零碎的和模糊的，混杂于卡尔达诺的个人的一些奇闻轶事、哲学思考、大量流行的赌博者常用的欺骗策略和精明的心理应用等建议之中，并且他的这本著作中所阐述的数学思想对数学家和一般的赌徒几乎都没有什么影响。因为对于当时的数学家而言，概率太游戏化了，而对赌徒而言，概率又太数学化了。而帕斯卡和费马的通信除了正确解决了一些问题和概念之外，还创造了一种研究的传统——用数学方法（主要是组合数学的方法）研究和思
考机会性游戏。这种传统统治这个领域达半个多世纪的时间。所以，综合考虑所有这些因素，这个事件赢得它在数学概率论的历史中的标志性的地位是当之无愧的。
Appendix: 拉普拉斯概率理论的历史研究
二十世纪以来，概率论逐渐渗入到自然科学、社会科学、以及人们的日常生活等几乎无所不在的领域中去。无论在研究领域，还是教育领域，它愈来愈成为一门当今最重要的学科之一。于是，对于概率论历史的研究也日益引起科学史学家们的重视。在概率论发展历史上，十八、十九世纪之交法国最伟大的科学家之一拉普拉斯具有特殊的地位，因此他的概率论的工作为众多概率论历史学家所关注。本文在前人工作的基础上，通过对国内外大量概率论历史的研究资料进行分析，结合对拉普拉斯的原始文献的研究，对拉普拉斯的概率理论展开系统研究，并以此为背景探讨我国概率论方面的最早的译著——《决疑数学》的一些历史问题。
第一章拉普拉斯之前的概率论的历史回顾
主要对拉普拉斯以前的概率论的发展状况做一简单的回顾，力争梳理出早期概率论发展的一个清晰的线索，以及探讨影响概率论发展的几种重要的因素，特别侧重于那些对拉普拉斯本人的工作有着重大影响的人和事件。本章的主要内容如下：
概率论起源于17世纪中叶人们对机会性游戏的数学规律的探讨。这个学科的发展与数学史上一些伟大的名字相联系，如帕斯卡、费尔马、惠更斯、詹姆斯．伯努利、棣莫弗等。他们对这个专题的研究做出了重要的贡献。在十八世纪以前，概率的对象主要限于赌博和一些离散的有限数目集合的研究，所用的数学方法主要是组合数学的方法。十八世纪，伯努利和棣莫弗的著作大大引起了人们对概率论在其它领域的应用的兴趣，例如，用于在观察判断中错误的估计，预测人口组成的改变等，由此吸引了许多纯粹数学家的目光，他们纷纷将更多的数学方法，如分析的方法和几何的方法，引进概率论；另一方面，由于统计学的发展和十八世纪社会和知识氛围的改变，人们对于概率论应用于政治和社会领域中的规律性研究的兴趣日趋浓烈，尤其是在孔多塞等人的倡导下，概率论应用于社会科学的热潮方兴未艾。在这样的一种知识氛围中，拉普拉斯登上了概率论研究的舞台。
第二章拉普拉斯的概率理论的历史研究
包括两个部分：第一部分对拉普拉斯的《分析概率论》出版之前发表的一些有关概率的论文进行考察。在这个考察中，不仅仅局限于拉普拉斯概率论的技术方面，而从以下几个方面揭示了贯穿于拉普拉斯概率理论发展中的其它因素：首先，拉普拉斯从事概率研究的原动力是受他的决定论的思想所驱使的：概率论是揭示自然科学规律、重建道德科学、证明自然界的先验设计等方面的有效工具。其次，拉普拉斯的概率研究得益于他对概率论历史的深刻理解。他的成果大多受惠于J伯努利、棣莫弗、拉格朗日、达朗贝尔和孔多塞等概率论先驱者的工作：他所研究的每一个概率的问题的解法都可以追溯到他的同时代人或更早的祖先那里去，都有一个名副其实的家谱图，尽管拉普拉斯很少提到这些问题的研究渊源。第三，拉普拉斯的概率论内容具有他那个时代的典型的特征：哲学上的决定论思想与数学工作相混合、十八世纪的分析特性与深奥微妙的科学认识论相结合、个人出人头地的雄心与精湛细致的数学技巧的展示相结合，尤其是十八世纪数学注重应用、轻视逻辑的特点在拉普拉斯的概率论中体现得尤为明显。最后，拉普拉斯的概率论研究中穿插了许多的政治因素，这是法国革命时期的大多数知识分子的主要特点：将政治管理和社会科学也像自然科学一样建立在公正严密的数学基础之上。概率论是接近这个目标的一个主要手段。
第二章的另一部分研究了拉普拉斯的代表作——《分析概率论》。这是本论文的重点之一。1812年首次出版的《分析概率论》标志着概率论历史上的一个重要阶段——古典概率论的成熟。在此书中拉普拉斯综合整理了当时几乎所有已知的概率和统计的问题,汇集了他自己以前概率理论研究的所有成果。在本部分中还依据拉普拉斯的《分析概率论》（第三版）的序言——《概率的哲学探讨》分析了拉普拉斯的概率哲学观点；对卷II的各章的主题内容及其历史发展进行考察研究；由此总结出拉普拉斯的概率理论的主要特点。
第三章拉普拉斯的概率理论在十九世纪的发展
详细考察了拉普拉斯概率论在十九世纪的发展。拉普拉斯概率理论在十九世纪的概率论发展史上占据了一个中心和统治地位，对十九世纪的概率论的发展产生了极大的影响。在拉普拉斯以后的整整一个多世纪
的时间内，概率论甚至统计学的研究都是在拉普拉斯的《分析概率论》的框架内展开的。本章从三个方面考察了拉普拉斯的概率论在十九世纪的发展：拉普拉斯概率论风格的教科书的形成与流行；凯特勒关于拉普拉斯概率论的应用；泊松对拉普拉斯概率理论的继承与发展。
第四章拉普拉斯概率论在十九世纪的衰落
通过对“拉普拉斯概率论的批评和攻击”、“比安内梅对拉普拉斯概率理论的辩护”以及“公理化概率论的产生”等几个方面的考察，勾画出十九世纪拉普拉斯概率论衰落的一个清晰的历史线索；并从数学史的大背景出发探讨了拉普拉斯概率理论衰落的主要原因：从十九世纪初期开始，数学界正在经历着一场深刻的变革，人们对以往的研究的各个分支的数学理论和研究方法展开了全面的检讨，以重建一种“新的数学”。拉普拉斯的概率论深深地扎根在十八世纪的数学传统中。他对概率论这门学科的理解，以及他对概率论研究的实践和方法等都带有浓重的十八世纪数学的风格特征。他所理解的概率论就是一门自然科学，是一门应用学科，检验它的价值的重要标准是它在实践中的有效应用，而不是其自身的严格和逻辑上的相容。所以对拉普拉斯概率论的检查和批判成为十九世纪拉普拉斯概率论历史的一个重要部分，最终导致其在二十世纪初被建立在测度论基础上的公理化体系的现代概率论所代替。
第五章拉普拉斯概率论在中国的传播——《决疑数学》探析
以前述几章对拉普拉斯概率理论发展历史的研究为基础，在以下几方面对历史上的第一本拉普拉斯概率风格的中文译著——《决疑数学》进行了深入地探讨。
1．考察了原来一直有争议的《决疑数学》的原著的问题。通过详细的考证，本文发现《决疑数学》的唯一原著是在《大英百科全书》第八版中托马斯.伽罗威（Thomas
Galloway）所作的“概率论”一文，而与原来人们所认为的《钱伯斯百科全书》（新版）中安德森（R. E. Anderson）的文章没有关系。
2．《决疑数学》原著的确定和发现对于这部著作的研究具有重要意义。借助于托马斯. 伽罗威的原著，本文从拉普拉斯概率论发展的大历史背景出发，全面地论述了《决疑数学》的风格、观点、内容安排、甚至序言中所介绍的背景等。并对前人研究中的一些个别的结论做了修正。
3．从拉普拉斯概率论发展的大的历史背景出发，重新评价《决疑数学》对中国的概率论发展的影响。借助于概率论史学家O. B .舍宁在评价俄语的第一本拉普拉斯概率论风格的著作《概率数学理论的基础》（1846年）对于俄罗斯的概率论发展的影响时所用的标准，重新评价中文的第一部概率论著作——《决疑数学》。鉴于《决疑数学》中所翻译的大多数概率术语并未保留下来，也没有开创一个概率论研究的传统。近代概率论在中国的传播和发展显然与《决疑数学》并没有一个一脉相承的关系。因此本文得出结论：《决疑数学》对概率论这一学科在中国发展的影响是非常有限的。
概率论小结:
概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其起源於十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险等范筹中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。数学家费马向一法国数学家帕斯卡提出下列的问题：「现有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算赢了，当赌徒A赢a局﹝a < s﹞，而赌徒B赢b局﹝b < s﹞时，赌博中止，那赌本应怎样分才合理呢？」於是他们从不同的理由出发，在1654年7月29日给出了正确的解法，而在三年後，即1657年，荷兰的另一数学家惠根斯﹝1629-1695﹞亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论着，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望﹝mathematical expectation﹞这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。
使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各-伯努利﹝1654-1705﹞。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为「伯努利大数定理」，即「在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势」。这一定理更在他死後，即1713年，发表在他的遗着《猜度术》中。
到了1730年，法国数学家棣莫弗出版其着作《分析杂论》，当中包含了着名的「棣莫弗─拉普拉斯定理」。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。而接着拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理
论》中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外，他又和数个数学家建立了关於「正态分布」及「最小二乘法」的理论。另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继他们之後，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。
概率论发展到1901年，中心极限定理终於被严格的证明了，及後数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什麽实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20世纪的30年代，人们开始研究随机过程，而着名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上亦作出了重大贡献，到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范筹，从而开展了不同学科。因此，现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。
概率论的起源与发展
概率论的起源与发展 三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。 因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？ 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。 这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得6局便算赢家。如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终止赌博，应如何分赌本？ 诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但他们自己无法给出答案。 参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。 帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。 在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成
概率的起源和发展
概率论的起源与发展 一、 概率的起源： 三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？ 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。 这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。 二、 数学家们参与赌博： 又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得5局便算赢家。如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终止赌博，应如何分赌本？诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但他们自己无法给出答案。 参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。后来，这些问题被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。 帕斯卡和费尔马两人一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”—— 正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的43，赢了3局的拿这个钱的4 1。为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者 A 赢，或者 B 赢。若是 A 赢满了5局，钱应该全归他；A 如果输了，即 A 、
B 各赢4局，这个钱应该对半分。现在，A 赢、输的可能性都是 2 1，所以，他拿的钱应该是21×1+21×21=43；当然，B 就应该得41。 他们将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。 三、 概率论的初步形成： 惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。 在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成果，终于将此定理证实。 四、著名的“圣彼得堡问题” 1713年，雅可布的著作《猜度术》出版。遗憾的是在他的大作问世之时，雅可布已谢世8年之久。雅可布的侄子尼古拉·贝努利也真正地参与了“赌博”。他提出了著名的“圣彼得堡问题”：甲乙两人赌博，甲掷一枚硬币到掷出正面为一局。若甲掷一次出现正面，则乙付给甲一个卢布；若甲第一次掷得反面，第二次掷得正面，乙付给甲2个卢布；若甲前两次掷得反面，第三次得到正面，乙付给甲5个卢布。一般地，若甲前n －1次掷得反面，第n 次掷得正面，则乙需付给甲2n-1个卢布。问在赌博开始前甲应付给乙多少卢布才有权参加赌博而不致亏损乙方？尼古拉同时代的许多数学家研究了这个问题，并给出了一些不同的解法。但其结果是很奇特的，所付的款数竟为无限大。即不管甲事先拿出多少
概率论与数理统计的发展
数理统计学前沿简介 （陈希孺院士访谈） 一、概率论与数理统计学的产生和发展 记者：陈希孺院士，请你谈谈概率论与数理统计学学科的诞生和发展情况。 陈希孺院士：我们先从数理统计学开始，数理统计学是研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定的结论的科学和艺术。数理统计学所考察的数据都带有随机性（偶然性）的误差。这给根据这种数据所作出的结论带来了一种不确定性，其量化要借助于概率论的概念和方法。数理统计学与概率论这两个学科的密切联系，正是基于这一点。 统计学起源于收集数据的活动，小至个人的事情，大至治理一个国家，都有必要收集种种有关的数据，如在我国古代典籍中，就有不少关于户口、钱粮、兵役、地震、水灾和旱灾等等的记载。现今各国都设有统计局或相当的机构。当然，单是收集、记录数据这种活动本身并不能等同于统计学这门科学的建立，需要对收集来的数据进行排比、整理，用精炼和醒目的形式表达，在这个基础上对所研究的事物进行定量或定性估计、描述和解释，并预测其在未来可能的发展状况。例如根据人口普查或抽样调查的资料对我国人口状况进行描述，根据适当的抽样调查结果，对受教育年限与收入的关系，对某种生活习惯与嗜好（如吸烟）与健康的关系作定量的评估。根据以往一般时间某项或某些经济指标的变化情况，预测其在未来一般时间的走向等，做这些事情的理论与方法，才能构成一门学问——数理统计学的内容。
这样的统计学始于何时？恐怕难于找到一个明显的、大家公认的起点。一种受到某些著名学者支持的观点认为，英国学者葛朗特在1662年发表的著作《关于死亡公报的自然和政治观察》，标志着这门学科的诞生。中世纪欧洲流行黑死病，死亡的人不少。自1604年起，伦敦教会每周发表一次“死亡公报”，记录该周内死亡的人的姓名、年龄、性别、死因。以后还包括该周的出生情况——依据受洗的人的名单，这基本上可以反映出生的情况。几十年来，积累了很多资料，葛朗特是第一个对这一庞大的资料加以整理和利用的人，他原是一个小店主的儿子，后来子承父业，靠自学成才。他因这一部著作被选入当年成立的英国皇家学会，反映学术界对他这一著作的承认和重视。 这是一本篇幅很小的著作，主要内容为8个表，从今天的观点看，这只是一种例行的数据整理工作，但在当时则是有原创性的科研成果，其中所提出的一些概念，在某种程度上可以说沿用至今，如数据简约（大量的、杂乱无章的数据，须注过整理、约化，才能突出其中所包含的信息）、频率稳定性（一定的事件，如“生男”、“生女”，在较长时期中有一个基本稳定的比率，这是进行统计性推断的基础）、数据纠错、生命表（反映人群中寿命分布的情况，至今仍是保险与精算的基础概念）等。 葛朗特的方法被他同时代的政治经济学家佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡在这类问题的研究中不能尚空谈，要让实际数据说话，他的工作总结在他去世后于1690年出版的《政治算术》一书中。 当然，也应当指出，他们的工作还停留在描述性的阶段，不是现代意义下的数理统计学，那时，概率论尚处在萌芽的阶段，不足以给数理统计学的发展提供充分的理论支持，但不能由此否定他们工作的重大意义，作为现代数理统计学发展的几个源头之一，他们以及后续学者在人口、社会、经济等
概率论与数理统计概率历史介绍
概率论与数理统计概率历史介绍
一、概率定义的发展与分析 1.古典定义的历史脉络 古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比． 2.古典定义的简单分析 古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提． 如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”？伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P(n,r)的各种排列（或总数为C(n,r)的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，而且还有数学上的问题． “应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“寻找另一条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律．这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础．“古典定义数学上的问题”在贝特朗（1822—1900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评． 3.统计定义的历史脉络 概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布?伯努利所说：“……这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”． 事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律．1919年，德国数学家冯?米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率．
概率论的发展史
概率论的发展史 摘要：概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。它起源于十七世纪中叶，当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。费马、帕斯卡、惠更斯对这个问题进行了首先的研究与讨论，科尔莫戈罗夫等数学家对它进行了公理化。后来，由于社会和工程技术问题的需要，促使概率论不断发展，隶莫弗、拉普拉斯、高斯等著名数学家对这方面内容进行了研究。发展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及生产生活实际等诸多领域中起着不可替代的作用。 关键词：概率论公理化随机现象赌博问题 17世纪资本主义经济的发展和文艺复兴运动的兴起，给欧洲数学注入了新的活力，欧洲数学家们开始以前所未有的热情投入到数学科学的研究中去。在这一个世纪里，他们不仅建立起了以解析几何和微积分为代表的变量数学，进一步研究现实世界中的必然现象及其规律，而且还开始了对偶然现象的研究，这就是所谓的概率论。记得大数学家庞加莱说过：“若想预见数学的将来，正确的方法是研究它的历史和现状。” 一、概率论的起源 概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。十分有趣的是，这样一门重要的数学分支，竟然起源于对赌博问题的研究。 1653年的夏天，法国著名的数学家、物理学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623——1662）前往浦埃托镇度假，旅途中，他遇到了“赌坛老手”梅累。为了消除旅途的寂寞，梅累向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”的问题。问题是这样的——一次，梅累与其赌友赌掷骰子，每人押了32个金币，并事先约定：如果梅累先掷出三个6点，或其赌友先掷出三个4点，便算赢家。遗憾的是，这场赌注不算小的赌博并未能顺利结束。当梅累掷出两次6点，其赌友掷出一次4点时，梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾。君命难违，但就此收回各自的赌注又不甘心，他们只好按照已有的成绩分取这64个金币。这下可把他难住了。所以，当他碰到大名鼎鼎的帕斯卡，就迫不及待地向他请教了。然而，梅累的貌似简单的问题，却真正难住他了。虽然经过了长时间的探索，但他还是无法解决这个问题。 1654年左右，帕斯卡与费马在一系列通信中讨论了类似的“合理分配赌金”的问题。该问题可以简化为： 甲、乙两人同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。 帕斯卡：若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下，乙胜，甲、乙平分赌注。甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。 费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况： 情1234
从身边实例探究概率的起源与发展
从身边实例探究概率的起源与发展 ——感悟数学之美，体验智慧飞扬 摘要：从生活中常见的“有奖抽签”入手，引出对概率问题的探索。将概率的发展历程分为四个阶段，分别介绍各个阶段的主要成就及代表人物。最后结合探究概率起源与发展的经历，简要概括个人对数学之美的感悟。 关键词：抽签；概率；起源；发展 生活中我们经常看到这样的情景：街头有人席地设摊，招牌上醒目地写着：“有奖抽签销售”，任何人都可以免费从摊主小布口袋中的20个小球（其中有10个红球，10个蓝球）中摸出10个，除摸得5红5蓝这种情况外，其他各种情况均可马上获得奖金（或实物）。奖金设置如下：摸得10红或10蓝者奖50元；摸得9红1蓝或9蓝1红者奖25元；摸得8红2蓝或8蓝2红者奖5元；摸得7红3蓝或7蓝3红者奖1.5元；摸得6红4蓝或6蓝4红奖0.5元。但摸得5红5蓝者必须用6元钱向摊主购买两双袜子。① 很多路人都会被这“优厚的待遇”所冲昏头脑，心想这种抽签不是明摆着给顾客送钱吗？于是一时窃喜，连忙参加这一看上去稳赚不赔的抽签活动。可是冷静下来想一想，这种免费抽签究竟谁获利呢？摊主究竟是真傻呢还是大智若愚呢？要研究这个问题，就会利用到概率知识。那么什么是概率呢？概率是怎样发展起来的呢？根据笔者所搜集的资料，本文主要从这两方面来探究概率的起源与发展。 概率论是一门从数量侧面研究随机现象规律的数学分支。其理论严谨，应用广泛，发展迅速。从历史发展的角度，概率的发展史大致可分为四个阶段，即方法积累阶段、理论概括阶段、系统整理阶段和公理体系阶段。以下我将分别介绍这四个阶段概率论的发展概况，代表人物，主要成就以及四个阶段之间的理论继承与创新关系。 第一阶段：概率论的萌芽——方法积累阶段 说到概率论的起源，就不得不提到历史上著名的“赌徒的难题”。公元1651年，赌徒德·梅尔向数学家帕斯卡请教一个亲身所遇的“分赌金”问题。问题是这样的：一次德·梅尔和赌友掷骰子，各押赌注32个金币，德·梅尔若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。赌博进行了一段时间，德·梅尔已掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”。这时，德·梅尔奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？ 赌友说，德·梅尔要再掷一次“6点”才算赢，而他自己若能掷出两次“4点”也就赢了。这样，自己所得应该是德·梅尔的一半，即得64个金币的三分之一，而德·梅尔得三分之二。德·梅尔争辩说，即使下一次赌友掷出了“4点”，两人也是秋色平分，各自收回32个金币，何况那一次自己还有一半的可能得16个金币呢？所以他主张自己应得全部赌金的四分之三，赌友只能得四分之一②。 德·梅尔的问题居然把帕斯卡给难住了。他为此苦苦想了三年，终于在1654年悟出了一点儿道理。于是他把自己的想法写信告诉他的好友，当时号称数坛“怪杰”的费尔马，两人对此展开热烈的讨论。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被荷兰科学家惠更斯获悉，他独立地进行了研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌金问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中 ①引自《谁获利？》，论文网，2000年 ②引自《概率发展简史》
概率论的那些事儿
概率论的那些事 院系：自动化测试与控制系姓名：XXX 学号：1130110XXX 导师：XXXX
摘要：概率史是一门研究随机现象规律的数学分支。它起源于十七世纪中叶，当时在误差分析、人口统计等范筹中，有大量的随机数据资料需要整理和研究，从而孕育出一种专门研究随机现象的规律性的数学。 关键字：概率论博弈发展生活 发展史 概率史是一门研究随机现象规律的数学分支。它起源于十七世纪中叶，当时在误差分析、人口统计等范筹中，有大量的随机数据资料需要整理和研究，从而孕育出一种专门研究随机现象的规律性的数学。另一方面，由于数学家参与讨论分赌本问题导致惠根斯完成了《论赌博中的计算》一书，由此奠定了古典概率论的基础。使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各布伯努利。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理《伯努利大数定理》。之后，法国数学家棣莫弗在他的著作《分析杂论》中提出了著名的《棣莫弗—拉普拉斯定理》。接着拉普拉斯在1812年出版了《概率的分析理论》，首先明确地对概率作了古典的定义。经过高斯和泊松等数学家的努力，概率论在数学中地位基本确立。到了20世纪的30年代，通过俄国数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上的杰出贡献，完全使概率论成为了一门严谨的数学分支。近代又出现了理论概率及应用概率论的分支，概率论被广泛的应用到了不同范筹和不同的学科。今天概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。研究事物发生究数字重复的几率. 随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和p.s.拉普拉斯又导出了第二个 基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数 学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫、a.m.李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方 面a·n·柯尔莫哥洛夫、n.维纳、a·a·马尔可夫、a·r·辛钦、p·莱维及w·费勒等人作了杰出的贡献。在总体上，概率论是一门研究事情发生的可能性的学问，但是最初概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡 尔达诺（Girolam oCardano，1501——1576）开始研究掷骰子等赌博中的一些 简单问题。17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则 是玩家连续掷4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家（相当于赌场）赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用2 个骰子连续掷24 次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2 次出现 6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ，因此 6 倍于前一种规则的次数，也既是24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数
概率论的起源、发展及应用简述
概率论的起源、发展及应用简述 一、概率论概述 数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛。概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。 在一定条件下，在个别试验或观察中呈现不确定性，但在大量重复试验或观察中其结果又具有一定规律性的现象，称为随机现象。亦即事前不可预言的现象，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同，或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能完全肯定。如：以同样的方式抛置硬币却可能出现正面向上也可能出现反面向上；走到某十字路口时，可能正好是红灯，也可能正好是绿灯。研究这类现象的数学工具便是概率论和数理统计。 二、概率论的起源与发展 人类认识到随机现象的存在是很早的。从太古时代起，估计各种可能性就一直是人类的一件要事。早在古希腊哲学家就已经注意到必然性与偶然性问题；我国春秋时期也已有可考词语（辞海）；即使提到数学家记事日程上的可考记载，也至少可推到中世纪。有史记载15世纪上半叶，就已有数学家在考虑这类问题了。 最早对概率论来严格化进行尝试的，是俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯·米西斯。他们都提出了一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的。 从二十世纪二十年代中期起，科尔莫戈罗夫开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述。1926年，他推导了弱大数定律成立的主要条件，后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了一般的结果，推广了切比雪夫不等式，提出了科尔莫戈罗夫不等式，创立了可数集马尔可夫链理论，他最著名的工作是1933年以德文出版的经典性著作《概率论基础》。科
概率论的起源和发展
概率论的起源和发展 概率论是一门既古老又年轻的学科。说它古老，是因为产生概率的重要因素---赌博游戏已经存在了几千年，概率思想早在文明早期就己经开始萌芽了。而说它年轻，则是因为它在十八世纪以前的发展极为缓慢，现代数学家和哲学家们往往忽略了那段历史，他们更愿意把1654年帕斯卡(Pasac)l和费马(Fomrat)之间的七封通信看作是概率论的开端。这样，概率论的“年龄”就比数学大家族中的其它多数成员小很多。一般认为，概率论的历史只有短短的三百多年时间。虽然在早期概率论的发展非常缓慢，但是十八世纪以后，由于社会学，天文学等其它学科的研究需要，使得概率本身的理论得到了迅速发展，它的思想和方法也逐渐受到了其它学科的重视和借鉴。在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用非常广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。无论是在自然科学领域还是社会科学领域，各门学科中都能看到概率论的身影。概率论已经成为一种重要的工具，在社会发展中发挥着巨大的作用。 1、机会的早期计算 古希腊人从航海实践中发现了许多概率经验规律, 古犹太人在纪元之初就有概率加法定律和乘法定律的应用记录。但是由于结果不确定的特点, 人们一直认为随机现象好似运气都由天神决定, 其规则是世俗不可想象的。能够刺激人们思考概率的事情很多, 但最终孕育概率论的却是庸俗的骰子赌博。公元 960 年左右, 怀特尔德大主教计算出掷三个骰子时不计次序所能出现的不同组合有 56 种。十三世纪左右拉丁诗歌《维图拉》指出这 56 种组合出现的机会不是相同的: 3 枚骰子点数一样, 每个点数只有一种方式; 2 枚骰子点数一样而另一枚不一样, 则有 3 种方式; 如果 3 枚都不一样就有 6 种方式。但是这些经验并没有引起更多的思考, 机会的计算仍处于直觉的、散乱的经验水平上。 卡尔扎诺是一位医学博士, 曾在米兰讲授数学, 写过多部医学、数学等方面的著作。他认为赌博是一种社会病, 也有理由作为可以医治的疾病来研究。约在1564 年, 他集中了自己的智慧和赌博经验, 用拉丁文写出著名的《论机会游戏》, 揭示了赌博中的不确定性原理, 成为概率论前史的重要人物。书中, 卡尔扎诺强调赌博的基本原则是同等条件,“如果它们有利于对手, 那么你是傻瓜, 如果有利于自己, 那么你就不公平”。骰子应该是“诚实的”, 几个诚实的骰子联合起来仍然是诚实的, 下注应该根据这种诚实性。等可能思想的提出是卡尔扎诺的贡献之一, 为理解和解决复杂的赌博问题提供了依据。他定义了胜率(有利结果数与不利结果数之比) 表示机会的大小, 计算出了多种赌博的全部可能结果数和有利结果数, 由于当时组合数学还很贫乏, 他的计算在方法上与《维图拉》基本相同。卡尔扎诺还思考了独立事件的乘法法则, 在一番错误推理后他发现了正确方法, 例如一次的胜率是 3:1, 连续两次的胜率是 9:7。卡尔扎诺是第一个深入讨论概率问题的人, 他提出了考虑随机问题的基本原则, 建立了胜率概念和一些运算法则, 对概率理论的形成具有开创性贡献。但是他也犯了不少错误, 例如他认为在掷两个骰子时, 36 次投掷有 1 次机会出现双 6, 平均起来 18次投掷中, 出现双 6 的机会是 50%。这种推理意味着36 次投掷中必定出现一次双 6, 他没有意识到自己的错误。由于该书只有很少部分讨论机会计算, 其等可能思想
最新概率论的起源和发展简史
概率论地起源和发展简史 1引言 现实世界中形形色色地自然现象、社会现象大致可分为两类：一类是事先能确定其结果地现象，即确定性现象，如今天太阳必然会落下去，同性电荷互相排斥等。另一类是事先不能确定其结果地现象为随机现象,这类现象地可能结果不会是一种,如同品种种子播种到肥力均匀地田地里,每粒种子是否发芽、掷一枚骰子,可能结果有6种等，这种随机现象是否有规律,便成为数学研究中地一个问题。概率论就是运用数学方法研究随机现象统计规律性地一门数学学科。概率, 简单地说,就是随机现象出现地可能性大小地一种度量。 2 概率论地起源和发展简史 概率论同其他数学分支一样，是在一定地社会条件下，通过人类地社会实践和生产活动发展起来地一种智力积累．它发源于17世纪中叶,并且是与惠根斯、巴斯加尔、及雅谷、贝努里诸人地名字分不开地。对概率论地兴趣,本来是由于保险事业地发展而产生地,但刺激数学家思考概率论地一些特殊问题却是来自赌博者地请求。《论赌博中地计算》一书,这是概率论最早地论著。概率论虽然起于17世纪,但为此准备基础却是较早地事。例如卡当在其《论赌博》一书中已计算了掷两颗或三颗骰子时在一切可能方法中有多少方法得到某一总点数。17、18世纪之交,有不少数学家从事概率地研究,伯努里地巨著《猜度术》是一项重大地成就,其中包含概率论中地“伯努里定理”,这是“大数定律”地最早形式。 德莫瓦佛地《机会地学说》包含“德莫佛—拉普拉斯定理”。在概率论地系统理论产生之前,许多数学家已认识到了很多实际问题中地随机变量都是由大量相互独立因素综合影响形成地。而其中每一个个别地因素在总地影响中地作用都是很
微小地,这样形成地随机变量往往近似服从正态分布,从理论上来证明这个事实是一个中心问题,概率论就是围绕这个中心发展起来地。 2.1概率论地起源 概率论起源于对赌博问题地研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们地研究除了赌博外还与当时地人口、保险业等有关，但由于卡丹等人地思想未引起重视，概率概念地要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。 点数问题地圆满解决标志着概率论地创立.所谓点数问题是:A,B赌博,其技巧相当,约定谁先胜s局则获全部赌金.若当A胜s1局而B胜s2局时(s1
概率论与数理统计的起源与发展
概率论与数理统计的起源与发展 张伟超 （哈尔滨工业大学，能源学院1202102班，学号1120200225）摘要：概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科，研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现的每一种现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法来研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在有一些人们不能认识或者根本不知道的随机因素的作用下，发生了随机现象。这样，人们可以通过试验来观察随机现象，从而得到规律。概率论的起源比较早，但是真正意义上确定其地位的不到200年。 关键词：概率论与数理统计，起源，发展，应用。 正文 1，概率论与数理统计 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其基本规律，透过表面的偶然性，找出其内在的规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，是的人们可以利用以成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他学科提供了解决办法的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础的，基于有效地观测，收集，整理，分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观测的问题作出推断和预测，直到为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 2，其起源
概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolam oCardano，1501——1576）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。有人对博弈中的一些问题发生争论，其中的一个问题是“赌金分配问题”，他们决定请教法国数学家帕斯卡（Pascal)和费马（Fermat）基于排列组合方法，研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了分赌注问题、赌徒输光问题。他们对这个问题进行了认真的讨论，花费了3年的思考，并最终解决了这个问题，这个问题的解决直接推动了概率论的产生。其中显著的是1654年，费马与帕斯卡的通信中关于分赌注问题的讨论被公认为是概率论诞生的标志。问题是这样的：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算赢了，当赌徒A赢a局(a 概率论与数理统计课程报告 概率论的起源、发展和应用 作者： 摘要：本文介绍了概率论的起源、发展，和概率论在自动控制、科学管理和保险赔偿等方面的应用应用。 关键词：概率论，起源，发展，应用 1 引言 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1／2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。 2 概率论的起源 概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家（相当于现在的赌场）赢。按照这 概率论的起源与发展 概率论的起源与发展 摘要：概率论历史相当悠久,本文将介绍概率论产生的历史背景和发展情况,并论及一些优秀的权率论学者在发展这门学科中所作的贡献。英国数学家格雷舍(Glaisher,1848—1928)曾经说过:“任何企图将一种科目和它的历史割裂开来,我确信,没有哪一种科目比数学的损失更大。”了解和研究概率论发展的历史,有助于加深对这门学科研究对象、研究方法的了解;有利于总结成功经验和失败教训, 关键词：概率论，起源，发展，古典概率，初等概率，分析概率 1.引言：概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，随机现象是相对于决定性现象而言的，在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1／2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。 2.概率论的起源：现代人认为概率论的早期研究大约在十六世纪到十七世纪之间。这段期间，欧洲进入文艺复兴时期，工业革命已开始蔓延。伴随工业发展提出的误差问题，伴随航海事业发展产生的天气预报问题，伴随商业发展而产生的贸易、股票、彩票和银行、保险公司等，加之人们越来越需要了解的患病率、死亡率、灾害规律等问题，急需创立一门分析研究随机现象的数学学科。概率论应社会实践的需要出现了。在这个时期，意大利著名物理学家伽俐略就曾对物理实验中出现的误差进行了科学的研究，把误差作为一种随机现象，并估计了他们产生的概率。 有人认为，概率论的起源是对赌博的研究，这种看法是不全面的。概率论和其它学科一样，其生命力来源于生产力发展的需要。但是，也应当尊重历史，早期刺激数学家思考概率论的一些特殊问题是来自赌博者的请求。意大利医生兼数学家卡当，据说曾大量地进行过赌博。他在赌博时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽。据说卡当曾参加过这样的一种赌法：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。已知骰子的六个面上分别为1~6点，那么，赌注下在多少点上最有利？卡当说押7最好，因为两个骰子朝上的面共有36种可能，点数之和分别可为2~12共11种，点数之和为7出现的概率是6/36=1/6，即是最容易出现的和数。 在那个时代，虽然概率论的萌芽有些进展，但还没有出现真正的概率论。十七世纪中叶，法国贵族德·美黑在骰子赌博中，由于有要急近处理的事情必须中途停止赌博，要靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但不知用什么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教。正是这封信使概率论向前迈出了第一步。帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题。于是，一个新的数学分 摘要：概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。它起源于十七世纪中叶，当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。费马、帕斯卡、惠更斯对这个问题进行了首先的研究与讨论，科尔莫戈罗夫等数学家对它进行了公理化。后来，由于社会和工程技术问题的需要，促使概率论不断发展，隶莫弗、拉普拉斯、高斯等著名数学家对这方面内容进行了研究。发展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及生产生活实际等诸多领域中起着不可替代的作用。 关键词：概率论公理化随机现象赌博问题 17世纪资本主义经济的发展和文艺复兴运动的兴起，给欧洲数学注入了新的活力，欧洲数学家们开始以前所未有的热情投入到数学科学的研究中去。在这一个世纪里，他们不仅建立起了以解析几何和微积分为代表的变量数学，进一步研究现实世界中的必然现象及其规律，而且还开始了对偶然现象的研究，这就是所谓的概率论。记得大数学家庞加莱说过：“若想预见数学的将来，正确的方法是研究它的历史和现状。” 一、概率论的起源 概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。十分有趣的是，这样一门重要的数学分支，竟然起源于对赌博问题的研究。 1653年的夏天，法国著名的数学家、物理学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623——1662）前往浦埃托镇度假，旅途中，他遇到了“赌坛老手”梅累。为了消除旅途的寂寞，梅累向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”的问题。问题是这样的——一次，梅累与其赌友赌掷骰子，每人押了32个金币，并事先约定：如果梅累先掷出三个6点，或其赌友先掷出三个4点，便算赢家。遗憾的是，这场赌注不算小的赌博并未能顺利结束。当梅累掷出两次6点，其赌友掷出一次4点时，梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾。君命难违，但就此收回各自的赌注又不甘心，他们只好按照已有的成绩分取这64个金币。这下可把他难住了。所以，当他碰到大名鼎鼎的帕斯卡，就迫不及待地向他请教了。然而，梅累的貌似简单的问题，却真正难住他了。虽然经过了长时间的探索，但他还是无法解决这个问题。 1654年左右，帕斯卡与费马在一系列通信中讨论了类似的“合理分配赌金”的问题。该问题可以简化为： 甲、乙两人同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中 关于概率论与数理统计的起源发展及 其应用 经济与管理学院 信息管理与信息系统 1121010116 高寒 摘要：概率论与数理统计起源于生活，通过科学的数学研究分析进行深层次的提高于理论化，最终将理论作用于实际，造福于我们平日的生产生活。通过本学期概率论与数理统计这门课的学习，我基本掌握了基本的概率知识，这对于自己以后的发展和创新有着很大的帮助。本文将围绕概率论与数理统计的起源与发展，概率论与数理统计的基本内容，概率论与数理统计在实际生活中的应用展开，来阐述我对本门课程的理解。 关键词：概率；生活；应用；起源；发展 一：概率论与数理统计的起源与发展 概率论产生于十七世纪，本来是有保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。 早在1654年，意大利医生兼数学家卡当，据说曾大量地进行过赌博。他在赌博时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽。 在那个时代，虽然概率论的萌芽有些进展，但还没有出现真正的概率论。 十七世纪中叶，法国贵族德·美黑在骰子赌博中，由于有要急近处理的事情必须中途停止赌博，要靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但不知用什么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教。正是这封信使概率论向前迈出了第一步。 帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题。于是，一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台。 三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。 在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论的发展，从17世纪到19 世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。 概率论的第一本专著是1713年问世的雅各·贝努利的《推测术》。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该树种，表述并证明了著名的"大数定律"。所谓"大数定律"，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。 为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。 20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气概率论的起源、发展和应用
概率论的起源与发展
概率论的发展史
关于概率论与数理统计的起源发展及其应用